Vorlesung 9

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9.Vorlesung EP WS2008/9
I. Mechanik
5. Mechanische Eigenschaften von Stoffen
a) Deformation von Festkörpern
b) Hydrostatik, Aerostatik
c) Oberflächenspannung und Kapillarität
6. Hydro- und Aerodynamik
a) Kontinuitäts- und Bernoulli-Gleichung
b) Viskosität
Versuche:
Messung der Oberflächenspannung
Büroklammer auf Wasser
Druck in Seifenblasen
Kapillaren
Bernoulli (Druckänderung bei Änderung des Rohrdurchmessers)
Abdecken eines Hauses
Turbulente und laminare Strömungen
Magnuseffekt in Wasser
EP WS 2008/09 Dünnweber/Faessler
c) Oberflä
Oberflächenspannung u. Kapillaritä
Kapillarität
Grenzflächen zwischen flüssig, fest und gasförmig
Epot
Beobachtung: Oberfläche einer Flüssigkeit an Gas verhält sich wie
eine elastische Haut.
r
Beispiele:
Wassertropfen,
Seifenblase
Kraft F zwischen
zwei Molekülen
F
→
r
← F
F=0
Moleküle einer Flüssigkeit ziehen sich an !
Kohäsion = Anziehung zwischen den Molekülen einer Flüssigkeit
- Im Inneren einer Flüssigkeit hat jedes Molekül viele Nachbarn
(keine resultierende Anziehung, geringe Energie)
- An der Oberfläche zum Gas gibt es weniger Nachbarn, d.h. es muß
Arbeit geleistet werden um die Oberfläche zu vergrößern, d.h. um
Moleküle an die Oberfläche zu bringen.
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c) Oberflä
Oberflächenspannung
Oberflächenspannung:
Bei der Vergrößerung einer Flüssigkeitsoberfläche
um ∆A muß Arbeit ∆W verrichtet werden.
Oberflächenspannung
σ=
∆W
∆A
 J 
 m2 
 
Beispiel:
Benötigte Arbeit ∆W beim Herausziehen
einer Lamelle, siehe Bilder rechts u unten.
Vernachlässigung von Schwerkraft und resultierender Hubarbeit.
∆W ≡ F⋅ ∆s = σ⋅ ∆A = σ⋅ (2L⋅ ∆s)
σ = F / 2L
In diesem Fall bildet sich eine Oberfläche ∆A auf beiden Seiten,
deshalb Randlänge = 2— Bügellänge L.
F
Querschnitt des Bügels mit beidseitigen Flüssigkeitsoberflächen.
Oberflächenspannung σ =
am Rand angreifende Kraft
Länge des Randes
N
 m 
(alternative Definition)
Versuch Messung der Oberflächenspannung mit Lamelle
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σ: eine Konstante, in begrenztem Bereich der äusseren Spannung
(wie bei E,G,K), abhängig von Temperatur, evtl. gelösten Stoffen und
von Umgebung (Außenmedium)
Beispiele:
Wasser
: 7.29 . 10-2 J/m2
Benzol
: 2.90 . 10-2 J/m2
Quecksilber : 47.1 . 10-2 J/m2
Tenside verringern die Oberflächenspannung drastisch.
Ungestörte Oberflächen nehmen immer die kleinstmögliche
Gesamtfläche ein (Minimalflächen).
Wenn keine äußeren Kräfte wirken → Kugelgestalt, weil Kugel bei gegebenem
Volumen die kleinste Oberfläche hat.
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∆h
Versuch Büroklammer
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Versuch mit Seifenblasen
Innendruck einer Seifenblase mit Kugelradius r als Folge der
Oberflächenspannung σ :
∆p = pinnen – paussen = 2 σ / r
Verbindet man verschieden große Seifenblasen,
dann schluckt die große die kleine
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Kapillaren
Grenzflächen zwischen fest und flüssig:
Abhängig davon, ob die Anziehungskraft
(Adhäsion) zwischen Flüssigkeits- und
Festkörpermolekülen oder die Kohäsion
der Flüssigkeitsmoleküle stärker ist.
Bei vollständiger Benetzung ist ϕ=0
Bei Kapillaren führt unterschiedliche Adhäsion entweder zu
Kapillar-Attraktion
Bsp.: Glas - Wasser
oder
Kapillar- Depression
Bsp.: Glas - Quecksilber
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Kapillaren
Steighöhe:
2σ
h=
r ⋅ ρ Flüss ⋅ g
(Herleitung:
Glaskapillare vollständig benetzt
F0= Randlänge— σ = 2πr— σ
FG=(V— ρ)— g = π r² — h— ρ— g
F0=FG → 2r— σ= r²— h— ρ— g → obige Formel)
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6. HydroHydro- und Aerodynamik
6. Hydro- und Aerodynamik:
(Strömung von Fluiden, also flüssigen und gasförmigen Substanzen)
blaue Linien im linken Bild
• Bahnen von Partikeln der Flüssigkeit
• Dichte der Linien ist ein Maß für die
Geschwindigkeit
•Strömungsfeld charakterisiert durch
Geschwindigkeitsverteilung im Raum
•stationär = nicht zeitabhängig
• (zunächst ohne Reibung, Viskosität)
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a) Kontinuitätsgleichung
Volumenstrom und Kontinuitätsgleichung :
Volumenstrom durch eine Fläche Ai
I = ∆V ∆t
Kontinuitätsgleichung (für inkompressibles,
ideales Fluid)
I = ∆V ∆t = A i ⋅ v i = const.
→ v1/v2 = A2/A1
Die Strömungsgeschwindigkeit
nimmt an einer Engstelle zu,
Ursache der Beschleunigung ?
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b) Bernoulli -Gleichung
Energiebilanz an der Engstelle:
Beschleunigung ← Kraft auf Strecke (Arbeit) ← Druckdifferenz (p2 > p1)
Aus Energieerhaltung: kinetischer Energie + Stempelarbeit p∆V= const. folgt
(ρ ⋅ v 2 2) + p = const = Gesamtdruc k
Bernoulli Gleichung
Staudruck (dynamischer Druck) + Stempeldruck (statischer Druck) = const.
Ändert sich außer dem Rohrdurchmesser auch noch die Höhe h über
dem Boden (ansteigendes oder abfallendes Rohr), so muß zusätzlich
der Schweredruck berücksichtigt werden:
(ρ ⋅ gh ) + (ρ ⋅ v 2 2) + p = const.
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(Detaillierte Herleitung der Bernoulli-Gleichung
Ekin= ½ ∆M ·v1² < ½ ∆M ·v2² ,
weil wegen der Kontinuitätsgleichung v1/v2 = A2 /A1.
Energie-Erhaltung:
½ ∆M ·v2² - ½ ∆M ·v1² = Arbeit durch Druck
1444442444443
F1· ∆x1 – F2· ∆x2
=p1·A1· ∆x1 – p2·A2·∆x2=p1·∆V – p2·∆V
½ ∆M ·v²2 + p2·∆V = ½ ∆M·v²1+p1·∆V = const. (d.h. überall).
Geteilt durch ∆V: ρ ⋅ v 2
+ p = const.
2
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Folgen der Bernoulli-Gl.: Hydrodynamisches Paradoxon:
In Bereichen mit hoher Strömungsgeschwindigkeit herrscht ein
reduzierter statischer Druck
Bunsenbrenner
Haus im Sturm
Innendruck > stat. Druck oben
Zerstäuber
Tragfläche
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Weitere Beispiele für die Verringerung des statischen Drucks in
Regionen hoher Geschwindigkeit:
Die Gebiete zusammengedrängter Stromlinien (Unterdruck) ziehen
An den Seiten der Scheibe (→Drehmoment im mittleren Bild)
Beispiel: fallende Blätter
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„Magnus-Effekt“ bei Umströmung eines rotierenden Körpers
Wegen Adhäsion an der
Kugeloberfläche führt Kugel eine
Wasserschicht mit sich herum*.
(*Superposition der Geschwindigkeiten,
s. z.B. Bergmann-Schäfer Bd I)
Dadurch ist Strömungsgeschwindigkeit des Wassers
rechts größer als links.
Der gleiche Effekt tritt bei
rotierenden Bällen in Luft auf.
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b) Viskosität
Strömung viskoser Flüssigkeiten und Gase
Kohäsionskräfte behindern die Bewegung der Teilchen in einem
Fluid (→innere Reibung). Wir betrachten zunächst laminare Strömung.
Flüssigkeitsschichten gleiten aneinander vorbei und üben eine Schubspannung auf die benachbarten Schichten aus. Ist die Adhäsion zur
Wand größer als die Kohäsion, so haftet die an die Wand angrenzende
Schicht (v=0). Andernfalls bewegt sie sich reibend an der Wand (→äußere
Reibung). Die innere Reibungskraft ist proportional zum GeschwindigkeitsGradienten ∆v/∆z:
Reibungskraft
FR = −η ⋅ A ⋅
∆v
∆z
Materialkonstante η
=„Viskosität“
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η in [Pa · s] (Pascalsekunde) =
 Ns 
 m2 
 
Zahlenwerte für η bei 20°C in Einheiten [Pa · s]:
Stoff
Öl
Wasser
Luft
Blut
η
~1
10-3
2·10-5
4,4·10-3
Flüssigkeiten mit η unabhängig von ∆v/∆
∆z heißen Newtonsche Flüssigkeiten. Blut ist eine
nicht-Newtonsche Flüssigkeit (oben ist der Mittelwert seiner Viskosität eingetragen).
Eine Druckdifferenz ∆p= p1-p2 = FR/A ist nötig, um konstanten
Volumenstrom I = ∆V/∆t z.B. durch ein Rohr zu erreichen.
Für Newtonsche Flüssigkeiten und laminare Stoffe (unverwirbelt) gilt
∆ p = Rs I
p1
p2
mit Rs= Konstante = Strömungswiderstand, der von Rohrgeometrie
und Viskosität abhängt. Damit ergibt sich ein Druckgefälle
beim Durchströmen eines Rohrsystems, siehe Bild u Versuch:
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Bei gleichmäßiger Strömung muss die
Reibungskraft durch eine Druckdifferenz
ausgeglichen werden.
Es folgt ein linearer Druckabfall im Rohr:
I = ∆V/∆
∆t =
 1 
 ∆p
 Rs 
Bei hohen Geschwindigkeiten v> vk geht die
laminare Strömung in
eine turbulente über
vk≈ 1000 η/ρr
mit r = Rohrradius.
Rs steigt dramatisch
(etwa prop. v2)
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Strömung nach Hagen-Poiseuille
Strömt ein viskoses Fluid durch ein Rohr (Ader), so
bildet sich eine parabolische Geschwindigkeitsverteilung aus u(r) ~ (R-r)2
d.h. Strömungswiderstand RS = (8ηL/πR4)
Der gesamte Volumenstrom ist
•proportional zur Druckdifferenz
•umgekehrt proportional zur Viskosität
•und umgekehrt proportional zur Rohrlänge
•proportional zur vierten Potenz des Radius
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Folgen der R4 Abhängigkeit des Volumenstroms
Bei Verengung des Rohrs entweder starke Stromreduzierung oder
zur Kompensation starke Druckerhöhung notwendig ...
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Blutkreislauf
•Blutkreislauf ist parallel angelegt, Lunge und Körper aber in Serie
•Gesamtquerschnittsfläche der
Kapillaren ist ca. 1000-fach
größer als in der Aorta, also
die Geschwindigkeit
entsprechen kleiner
Druck
Gesamt-Querschnitt
•Druckabfall erfolgt in den
Kapillaren mit kleinem Radius
mittlere Geschwindigkeit
Arterien
Kapillaren
Venen
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•Druckabfall erfolgt in den Kapillaren mit kleinem Radius
•um Hagen Poiseuille zu entschärfen, reduziert sich die
Viskosität des Bluts in den Kapillaren (Fahraeus-Lindquist Effekt)
Arterien, Venen
Kapillaren
Ordnung der roten
Blutkörperchen reduziert
Strömungswiderstand
~
dv
dz
= Druck
Rote Blutkörperchen in einer
Glaskapillare von 10 µm Durchmesser
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Bemerkung zum Blutkreislauf beim Menschen
Typische Drucke im Blutkreislauf:
im Lungenkreislauf p = 10 bis 20 Torr
im Körperkreislauf p = 70 bis 140 Torr
Blutvolumen gepumpt: ca. 5 Liter/Minute
Aortadurchmesser ca. 2,5 cm. Gesamtquerschnitt der verzweigten Blutgefäße (Kapillaren) entspricht dem Tausendfachen des Querschnitts in
der Aorta. Deshalb ist die Geschwindigkeit in den Kapillaren ein Tausendstel
der Geschwindigkeit in der Aorta (Kontinuitätsgleichung). Die Geschwindigkeit in den Kapillaren ist 0,3 mm/sek. Kleiner Radius in den Kapillaren ergibt
sehr hohen Widerstand, d.h. der Druckabfall erfolgt im Wesentlichen in den
dünnen Blutgefäßen.
Blutverteilung im Körper kann über die Radiusänderung der Adern gesteuert
werden.
Beim gesunden Körper ist die Blutströmung im allgemeinen laminar (Ausnahme Herzklappen). Beim kranken Körper werden durch Ablagerungen an
den Blutgefäßen turbulente Strömungen auftreten, die hörbar werden. Im
Körperkreislauf variiert der Blutdruck zwischen der Systole (Kontraktion des
Herzens) mit ca. 140 Torr und der Diastole mit 80 Torr (Rückbewegung im
Herzen). Die Aorta ist elastisch und gleicht Druckschwankungen, die von der
Pumpe Herz erzeugt werden, aus.
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Blutdruckmessung
•Druck in einer großen Arterie ist etwa gleich dem in der Aorta
•Abdrücken des Blutflusses mit Manschette bis kein Puls mehr spürbar
•Druckablassen bis Turbulenzgeräusche hörbar (systolischer Druck)
•Ablassen bis Turbulenzgeräusche verschwinden, das Blut zirkuliert jetzt
laminar (diastolischer Druck)
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Viskositätsmessung
Kugelfallviskosimeter:
Stokes’sche Reibung bremst ~ η r v
Schwerkraft (-Auftrieb) beschleunigt ~ ρ r3
Konstante Sinkgeschwindigkeit, wenn
beide Kräfte sich kompensieren, ist
proportional zum Quadrat des Radius
h
Medizin: Messung der Blutsenkung (Sinkgeschwindigkeit der im
Blutplasma suspendierten roten Blutkörperchen), durch
Agglomeration bei Infektionen reduziert
alternative Meßmethoden: Kapillarviskosimeter (s. nächste Seite),
Rotationsviskosimeter
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