Formelsammlung Mathematik

ISME
Formelsammlung
Vorkurs PH
Formelsammlung Mathematik
Inhaltsverzeichnis
1
Bezeichnungen und Symbole
2
2
Arithmetik und Algebra
2
3
Geometrie
4
Wahrscheinlichkeitsrechnung und Kombinatorik
1.1 Zahlenmengen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2 Griechisches Alphabet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3 Logische Symbole . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1 Voraussetzungen . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.1 Potenz- und Wurzelgesetze . . . . . . . .
2.1.2 Binomische Formeln . . . . . . . . . . .
2.1.3 Lineare und quadratische Gleichungen .
2.1.4 Lineare und quadratische Funktionen . .
2.2 Unterrichtsinhalt . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.1 Exponential- und Logarithmusfunktionen
2.2.2 Folgen und Reihen . . . . . . . . . . . .
3.1 Voraussetzungen . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.1.1 Ebene Figuren . . . . . . . . . . . . . .
3.1.2 Körper . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.1.3 Winkel . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.1.4 Kongruenz und Ähnlichkeit . . . . . . .
3.2 Unterrichtsinhalt . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2.1 Winkelmasse . . . . . . . . . . . . . . .
3.2.2 Trigonometrie am rechtwinkligen Dreieck
3.2.3 Trigonometrie am allgemeinen Dreieck .
3.2.4 Trigonometrie am Einheitskreis . . . . .
3.2.5 Trigonometrische Grundbeziehungen . .
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2
2
2
2
2
2
3
3
4
4
4
5
5
5
6
7
7
8
8
8
9
9
9
10
4.1 Einführung in die Wahrscheinlichkeitsrechnung . . . . . . . . . . . . . . . . 10
4.2 Kombinatorik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
4.3 Vertiefung in die Wahrscheinlichkeitsrechnung . . . . . . . . . . . . . . . . 12
Version vom 9. August 2017
Zu, Fr
1
ISME
1
Formelsammlung
Vorkurs PH
Bezeichnungen und Symbole
1.1
Zahlenmengen
natürliche Zahlen
ganze Zahlen
rationale Zahlen
reelle Zahlen
N = {1, 2, 3, . . .}
Z = {. . . , −2, −1, 0, 1, 2, . . .}
Q = { pq | p ∈ Z, q ∈ N}
R
1.2
Griechisches Alphabet
Alpha
Beta
Gamma
Delta
Epsilon
Zeta
A, α
B, β
Γ, γ
∆, δ
E, ε
Z, ζ
1.3
H, η
Θ, θ, ϑ
I, ι
K, κ
Λ, λ
M, µ
Eta
Theta
Iota
Kappa
Lambda
Mü
N, ν
Ξ, ξ
O, o
Π, π
P, ρ
Σ, σ, ς
Nü
Xi
Omikron
Pi
Rho
Sigma
T, τ
Υ, υ
Φ, ϕ
X, χ
Ψ, ψ
Ω, ω
Tau
Ypsilon
Phi
Chi
Psi
Omega
Logische Symbole
<, ≤
>, ≥
≈
6=
2
kleiner, kleiner gleich
grösser, grösser gleich
ungefähr
ungleich
∧
∨
∩
∪
und
oder
Schnittmenge
Vereinigung
⊆
*
∈
∈
/
Teilmenge von
keine Teilmenge von
Element von
kein Element von
Arithmetik und Algebra
2.1
Voraussetzungen
2.1.1
Potenz- und Wurzelgesetze
a, b > 0 und n, m ∈ R
am · an
an · b n
am
an
an
bn
m n
(a )
a−n
a −n
b
2.1.2
= am+n
= (a · b)n
= am−n
a n
=
b
= am·n
1
= n
a n
b
=
a
a, b > 0 und k, n, m ∈ N
√
m
n
am = a n
1
1
a− n = √
n
a
r
√
n
a
a
√
= n
n
b
b
√
√
√
n
n
n
a· b =
a·b
√
√
n
n
( am )k =
amk
q
√
n √
k
am = nk am
√
√
kn
akm = n am
Binomische Formeln
(a + b)2 = a2 + 2ab + b2
(a − b)2 = a2 − 2ab + b2
(a + b) · (a − b) = a2 − b2
2
ISME
Formelsammlung
2.1.3
Vorkurs PH
Lineare und quadratische Gleichungen
a) lineare Gleichungen
ax + b = 0
⇒
x = − ab
b) quadratische Gleichungen
√
−b
±
b2 − 4ac
ax + bx + c = 0 ⇒ x1,2 =
2a
Satz von Vieta: x1 + x2 = − ab und x1 · x2 = ac
2
2.1.4
Lineare und quadratische Funktionen
a) lineare Funktionen
y = mx + q
∆y
m = ∆x
ist die Steigung
q ist der y -Achsenabschnitt
b) quadratische Funktionen
Normalform y = ax2 + bx + c
2
Scheitelpunkt S(− 2ab , 4ac−b
)
4a
Scheitelpunktform y = a(x − u)2 + v
Scheitelpunkt S(u, v)
Nullstellenform y = a(x − x1 )(x − x2 )
Nullstellen x1 , x2 (falls es Nullstellen hat)
a > 0: Parabel nach oben geönet
a < 0: Parabel nach unten geönet
c) Nullstellen und Schnittpunkte
i)
Nullstelle der linearen Funktion: x0 = − mq
ii)
Nullstellen x1 , x2 der quadratischen Funktion:
Lösungen der Gleichung ax2 + bx + c = 0
resp. a(x − x1 )(x − x2 ) = 0
iii)
Zur Bestimmung der Schnittpunkte SP1 , SP2
sind die Funktionen gleichzusetzen.
3
ISME
2.2
2.2.1
Formelsammlung
Vorkurs PH
Unterrichtsinhalt
Exponential- und Logarithmusfunktionen
Denition
Dekadischer Logarithmus
natürlicher Logarithmus
x = loga (b) ⇔ ax = b
Basiswechselsatz
loga (x) =
Logarithmengesetze
loga (pq) = loga (p) + loga (q)
p
loga q = loga (p) − loga (q)
loga (pn ) = n · loga (p)
y = ex
y = b · ax
e ≈ 2.71828
a > 0, a 6= 1, b Anfangswert
p
a = 1 ± 100
x > 0, a > 0, a 6= 1
x>0
y = loga (x)
y = ln(x)
2.2.2
log10 (b) = lg(b)
loge (b) = ln(b)
lg(x)
lg(a)
natürliche Exponentialfunktion
allgemeine Exponentialfunktion
Wachstum resp. Zerfall
allgemeine Logarithmusfunktion
natürliche Logarithmusfunktion
Folgen und Reihen
Folge
(an ) n ∈ N, an n-tes Folgenglied
n
P
Reihe (Teilsummenfolge) sn = a1 + a2 + a3 + . . . + an =
ak
k=1
arithmetische Folge:
konstante Dierenz
explizite Darstellung
rekursive Darstellung
d = an+1 − an
an = a1 + (n − 1) · d
an+1 = an + d
arithmetische Reihe:
sn =
n
2
· (a1 + an ) = a1 · n +
geometrische Folge:
q = an+1
an
an = a1 · q n−1
an+1 = an · q
n·(n−1)·d
2
konstanter Quotient, q 6= 0, q 6= 1
explizite Darstellung
rekursive Darstellung
geometrische Reihe:
n
1−q
1−q
1
a1 · 1−q
s n = a1 ·
s∞ =
für |q| < 1
4
ISME
3
Vorkurs PH
Geometrie
3.1
A
O
G
Formelsammlung
Voraussetzungen
Flächeninhalt
Inhalt der Oberäche
Inhalt der Grundäche
3.1.1
M
V
π
Inhalt der Manteläche
Volumen
Kreiszahl ≈ 3.14159
h Höhe
u Umfang
r Radius
Ebene Figuren
Dreieck:
allgemeines Dreieck:
A = g·h
2
g Grundlinie
h zugehörige Höhe
rechtwinkliges Dreieck:
A=
a·b
2
=
c·h
2
Satz des Pythagoras: a2 + b2 = c2
Höhensatz: h2 = p · q
Kathetensatz: a2 = p · c, b2 = q · c
gleichseitiges
√ Dreieck:
A=
h=
3 2
s
4
√
3
s
2
Viereck:
Trapez:
(a + c) · h
A=
2
Deltoid:
A=
e·f
2
Parallelogramm:
Rhombus (Raute):
A = a · ha
A=s·h=
Rechteck:
A =√
a·b
d = a2 + b 2
e·f
2
Quadrat:
A =√
s2
d = 2s
Kreis: A = r 2 π
u = 2rπ = dπ mit d Durchmesser
2
πα
Kreissektor: A = r360
◦
rπα
Kreisbogen: b = 180
◦
5
ISME
Formelsammlung
3.1.2
Vorkurs PH
Körper
Prisma:
O = 2G + M
V =G·h
Quader:
O = 2(ab + ac + bc)
V = abc
√
Raumdiagonale d = a2 + b2 + c2
Würfel:
O = 6s2
V = s3
√
Raumdiagonale d = 3 s
Zylinder:
O = 2r2 πh + 2rπh
M = 2rπh
V = r2 πh
Kugel:
O = 4r2 π
V = 43 r3 π
Pyramide:
O =G+M
V = G3· h
gerader Kegel:
2
Pyramidenstumpf:
O = G1 + G2 + M
√
V =h
3 (G1 + G1 · G2 + G2 )
gerader Kegelstumpf:
O = r π + rπs
O = r1 2 π + r2 2 π + (r1 + r2 )πs
M = rπs
2
V = r 3πh
M = (r1 + r2 )πs
2
2
V = πh
3 (r1 + r1 r2 + r2 )
6
ISME
3.1.3
Formelsammlung
Vorkurs PH
Winkel
Winkel an Geraden:
Nebenwinkel: Zwei Nebenwinkel ergeben zusammen
einen gestreckten Winkel.
α + β = 180◦
Scheitelwinkel:
Scheitelwinkel (α) sind gleich gross.
Stufenwinkel (α) an geschnittenen
Parallelen (h k g) sind gleich gross.
Stufenwinkel:
Wechselwinkel (β) an geschnittenen
Parallelen sind gleich gross.
Wechselwinkel:
Winkel am Kreis:
_
b = AB Kreisbogen
AB
Kreissehne
γ
Peripheriewinkel (Umfangswinkel) auf dem Bogen b
δ
Peripheriewinkel auf dem Ergänzungsbogen zu b
ϕ
Zentriwinkel (Mittelpunktswinkel)
. Alle Peripheriewinkel auf demselben Bogen b
sind gleich gross.
. Ein Peripheriewinkel ist halb so gross wie der
zugehörige Zentriwinkel: γ = ϕ2
. Ein Peripheriewinkel und ein solcher auf dem
Ergänzungsbogen ergeben zusammen einen
gestreckten Winkel.
γ + δ = 180◦
. Satz des Thales:
Liegt ein Punkt C auf dem Kreis mit dem
Durchmesser AB , so gilt
^ACB = 90◦ .
. Umkehrsatz:
Hat das Dreieck ABC bei C einen rechten
Winkel, so liegt C auf dem Kreis über AB .
3.1.4
Kongruenz und Ähnlichkeit
Kongruenzsätze:
Zwei Dreiecke sind kongruent, wenn sie in Folgendem übereinstimmen:
sss
in ihren drei Seitenlängen.
sws
in zwei Seitenlängen und in dem eingeschlossenen Winkel.
Ssw
in zwei Seitenlängen und in jenem Winkel, der der längeren Seite gegenüberliegt.
wsw
in einer Seitenlänge und in den dieser Seite anliegenden Winkeln.
7
ISME
Formelsammlung
Vorkurs PH
Ähnlichkeitssätze:
Zwei Dreiecke sind ähnlich, wenn sie in Folgendem übereinstimmen:
sss im Verhältnis aller drei entsprechenden Seiten.
sws
im Verhältnis zweier entsprechender Seiten und dem eingeschlossenen Winkel.
Ssw
im Verhältnis zweier entsprechender Seiten und dem der längeren Seite gegenüberliegenden Winkel.
in zwei Winkeln.
In ähnlichen Dreiecken sind einander entsprechende Seitenverhältnisse gleich.
ww
Strahlensätze:
1. Strahlensatz: AB k A0 B 0 ⇔ SA : SA0 = SB : SB 0 und SA : AA0 = SB : BB 0
2. Strahlensatz: AB k A0 B 0 ⇒ SA : SA0 = AB : A0 B 0
Die Strahlensätze gelten auch, falls der Scheitel S zwischen den beiden Parallelen liegt.
Die Umkehrung des 2. Strahlensatzes gilt nicht.
Das kleinere Fünfeck (A, B ) wird mit dem Faktor k am Zentrum Z gestreckt. Dabei entsteht das
grössere Fünfeck (A0 , B 0 ) mit ZA0 = k · ZA.
Sein Flächeninhalt ist k2 -mal so gross.
3.2
3.2.1
Unterrichtsinhalt
Winkelmasse
Gradmass α =
180◦ ·b
π
Bogenmass b =
α·π
180◦
Gradmass 0◦ 30◦ 45◦ 60◦ 90◦ 180◦ 360◦
π
π
π
Bogenmass 0 π6
π
2π
4
3
2
3.2.2
Trigonometrie am rechtwinkligen Dreieck
G Gegenkathete, A Ankathete, H Hypotenuse
G
H
A
cos α =
H
G
tan α =
A
A
cot α =
G
sin α =
=
=
sin α
cos α
1
tan α
8
ISME
Formelsammlung
3.2.3
Trigonometrie am allgemeinen Dreieck
Sinussatz
b
a
c
sin α = sin β = sin γ = 2r
Cosinussatz
a2 = b2 + c2 − 2bc cos α
b2 = a2 + c2 − 2ac cos β
c2 = a2 + b2 − 2ab cos γ
Vorkurs PH
(r Umkreisradius)
γ
α = ac sin β
Flächenberechnung A = ab sin
= bc sin
2
2
2
= 2r2 sin α · sin β · sin γ
= abc
4r
p
= s · (s − a) · (s − b) · (s − c)
Inkreisradius
%= A
s =
q
(s − a) · (s − b) · (s − c)
s
3.2.4
Trigonometrie am Einheitskreis
3.2.5
Trigonometrische Grundbeziehungen
cos2 α + sin2 α = 1
sin(90◦ − α)
cos(90◦ − α)
cos(90◦ + α)
cos(180◦ + α)
=
=
=
=
(s = a + 2b + c ; Heron )
sin(90◦ + α)
sin(180◦ − α)
sin(180◦ + α)
cos(180◦ − α)
Trigonometrischer Pythagoras
=
=
=
=
cos α =
sin α
− sin α =
− cos α
cos(−α)
sin(−α)
9
ISME
4
Formelsammlung
Vorkurs PH
Wahrscheinlichkeitsrechnung und Kombinatorik
4.1
Ω
ω
E
E
Einführung in die Wahrscheinlichkeitsrechnung
Ergebnisraum
Ergebnis
Ereignis
Gegenereignis
n
nω
hω
P (E)
Anzahl Versuche
absolute Häugkeit von w
relative Häugkeit von w
Wahrscheinlichkeit von E
A ∪ B : A oder B (alles farbige)
A ∩ B : A und B (alles zweifarbige)
relative Häugkeit
hω = nnω
g
Anzahl der günstigen Fälle
Gleichwahrscheinlichkeit P (E) = m
= Anzahl der möglichen Fälle
Gegenwahrscheinlichkeit P (E) = 1 − P (E)
Additionssätze
P (A ∪ B) = P (A) + P (B) − P (A ∩ B)
P (A ∪ B) = P (A) + P (B) für A, B unvereinbar
Baumdiagramm:
1. Pfadregel: Die Wahrscheinlichkeit eines Ergebnisses eines mehrstugen Zufallsexperiments ist gleich dem Produkt der Wahrscheinlichkeiten entlang des zugehörigen
Pfades.
Beispiel:
P (A ∩ B) = p · q1
2. Pfadregel: Die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses E ist die Summe der Wahrscheinlichkeiten aller Pfade, die in E enden.
Beispiel:
P (B) = p · q1 + p · q2
10
ISME
4.2
Formelsammlung
Vorkurs PH
Kombinatorik
im Folgenden gilt: n, k ∈ N mit k ≤ n
Fakultät
Binomialkoezient
n! = 1 · 2 · 3 · . . . · n
0! = 1
1! = 1
n
n!
=
k! · (n − k)!
k
n · (n − 1) · . . . · (n − k + 1)
=
1 · 2 · ... · k
n
n
=
=1
n
0
n
=n
1
ohne Wiederholung
mit Wiederholung
(ohne Zurücklegen)
(mit Zurücklegen)
{a, b, c}
{a, a, b}
n!
(n − k)!
nk
Variation
(mit Beachtung der Reihenfolge)
(a, b) 6= (b, a)
aus n Objekten k auswählen
Kombination
(ohne Beachtung der Reihenfolge)
{a, b} = {b, a}
aus n Objekten k auswählen
Permutation
(ki Elemente der i-ten Art)
n Objekte, alle kommen vor
n!
n
k
n+k−1
k
n!
k1 ! · k2 ! · . . . · ks !
11
ISME
4.3
Formelsammlung
Vorkurs PH
Vertiefung in die Wahrscheinlichkeitsrechnung
Bernoulli - Experiment
(Ziehen mit Zurücklegen)
(Binomische Verteilung)
n Gesamtumfang der Stichprobe
k Anzahl der Erfolge
p Wahrscheinlichkeit für Erfolg
q = 1 − p Wahrscheinlichkeit für Misserfolg
Pn (k) = P (genau k Erfolge in n Versuchen)
n
=
· pk · q n−k
k
Hypergeometrische Verteilung N Gesamtumfang der Stichprobe
(Ziehen ohne Zurücklegen)
n kleine Stichprobe aus dem Gesamtumfang
T1 1. Teilmenge
T2 2. Teilmenge
T1 + T2 = N
k Anzahl der Erfolge aus T1
Pn (k) = P (genau k der Teilmenge T1 )



T
T
1
2

 ·

k
n−k


=
N 

n
12