Vorkurs Physik, Medizinphysik und Lehramt Physik ¨Ubung 01

Wintersemester 2017/18
Technische Universität Dortmund
Vorkurs Physik, Medizinphysik und
Lehramt Physik
Prof. Dr. Gudrun Hiller, Prof. Dr. Shaukat Khan
Übung 01: Reelle und Komplexe Zahlen,
Trigonometrie
Mo., der 25. September 2017
1
Quadratische Gleichungen
Berechnen Sie die reellen Nullstellen von
(a) f (x) = x2 + 2x − 1,
(b) f (x) = 4(x − 3)2 x,
(c) f (x) = x4 + x2 − 12,
(d) f (x) = ax2 + bx + c, für a, b, c ∈ R .
2
Quadratische Gleichungen, Teil 2
Berechnen Sie alle komplexen Nullstellen von
(a) f (z) = z 2 + z + 2,
(b) f (z) = z 6 + 2z 4 + z 2 ,
(c) f (z) = z 2 − 2ız + 3.
3
Exponentialfunktion und Logarithmen
Lösen Sie die Gleichungen
(a)
1
5
ln(x) −
1
15
ln(x3 ) + 2 ln(x) = 9,
(b) log3 (x − 1) = 2,
(c) (7x−1 )x+2 = (7x+2 )x+5 .
4
Halbwertszeit
Betrachten Sie die Funktion f (x) = A · b−λx .
(a) Für welches x nimmt f (x) den Wert
A
2
an?
(b) Was muss für A, b und λ gelten, damit f (0) = 1, und f (1) = 1e ?
5
Schwingung
Skizzieren Sie die Funktion
x(t) = 3 sin
6
1
π
t+
2
4
3
− .
2
Die komplexe Ebene
Zeichnen Sie in der komplexen Ebene ı, ı2 , ı3 , ı4 und ı5 ein. Was ist 1ı ?
7
Betrag, Argument, Real- und Imaginärteil
Zeichnen Sie die Zahlen in der komplexen Ebene und berechnen Sie den Betrag, das Argument
sowie Real- und Imaginärteil. Geben Sie die komplexe Zahl in Polardarstellung an.
(a) z = 3 + 4ı,
(b) z =
−2+7ı
15ı ,
(c) z =
1+ı
1−ı ,
(d) Allgemein zz∗ mit z = a + ıb,
√
(e) z = 3 2 exp ı π4 .
8
Summe, Produkt und Quotient
Berechnen Sie für z1 = a + ıb und z2 = c + ıd den Real- und Imaginärteil von
(a) z1 + z2 ,
(b) z1 · z2 ,
(c)
z1
z2 .
9
Konjugation und Betrag
Vergleichen Sie
(a) (z1 ± z2 )∗ mit z1∗ ± z2∗ ,
(b) (z1 · z2 )∗ mit z1∗ · z2∗ ,
∗
z∗
(e) zz12
mit z1∗ ,
2
(d) |z1 + z2 | mit |z1 | + |z2 |,
(e) |z1 − z2 | mit |z1 | − |z2 |.
10
Additionstheorem
Zeigen Sie, dass
sin(α + β) = sin(α) cos(β) + cos(α) sin(β),
cos(α + β) = cos(α) cos(β) − sin(α) sin(β).
Hinweis: Gehen Sie von der Polardarstellung eıΦ = cos(Φ) + ı sin(Φ) aus, formen Sie geeignet
um und beachten Sie, was gelten muss, damit zwei komplexe Zahlen gleich sind.
11
Trigonometrische Identitäten
Verwenden Sie die Eulersche Formel, um die folgenden Identitäten zu überprüfen:
(a) cos(2x) =
1−tan2 (x)
,
1+tan2 (x)
(b) sin2 (x) =
1
2
(1 − cos(2x)),
(c) cos3 (x) =
1
4
(3 cos(x) + cos(3x)).
12
Mehr trigonometrische Identitäten
Schreiben Sie die folgenden Ausdrücke in polynomieller Form:
(a) sin(arccos(x)),
(b) cos(arctan(x)).