Mathematische Methoden der Physik

Mathematische Methoden der Physik
Jan-Cornelius Molnar
Revision: 23. Juni 2008
Inhaltsverzeichnis
1
2
3
4
5
6
7
8
9
Differentialrechnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1
Differentationsregeln . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Integration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1
Stammfunktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2
Integrationsregeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Vektoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.1
Basisvektoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2
Skalar Produkt und Betrag . . . . . . . . . . . . . . .
3.3
Vektorprodukt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Komplexe Zahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.1
Komplex Konjugierte . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2
Funktionen komplexer Variablen . . . . . . . . . . .
4.3
Exponentialfunktion . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.4
Logarithmus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Gewöhnliche Differentialgleichungen . . . . . . . . . . . . .
5.1
Lineare Differentialgleichungen 1. Ordnung . . . . .
5.2
Nichtlineare Differentialgleichung 1. Ordnung . . .
5.3
Lineare Differentialgleichungen höherer Ordnung .
5.4
Green’sche Funktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Differenzial- und Integralrechnung mit mehreren Variablen
6.1
Totales Differential . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.2
Variablen Transformation . . . . . . . . . . . . . . .
6.3
Mehrdimensionale Integrale . . . . . . . . . . . . . .
6.4
Variablen Transformation . . . . . . . . . . . . . . .
Vektoranalysis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.1
Linien- und Oberflächenintegrale . . . . . . . . . . .
7.2
Ableitungsoperatoren . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.3
Gauß’scher Integralsatz . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.4
Integralsatz von Stokes . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.5
Anwendung: Coulomb Potential . . . . . . . . . . .
Krummlinige Koordinaten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.1
Zylinderkoordinaten . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.2
Kugelkoordinaten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Fourierreihe und Fouriertransformation . . . . . . . . . . . .
9.1
Fourierreihe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2
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3
6
8
10
12
13
14
15
16
18
19
20
20
23
26
27
29
31
33
41
43
44
45
48
55
56
61
64
66
66
69
71
72
73
73
1. DIFFERENTIALRECHNUNG
1 Differentialrechnung
Ableiten ist der Prozess in dem bestimmt wird, wie sich eine Funktion f (x) ändert unter einer
Variation ihres Arguments x.
1.1 Beispiel (Geschwindigkeit eines Massenpunktes)
Bei gleichförmiger Bewegung gilt
x(t) = v ⋅ t + x
mit der Geschwindigkeit
v=
x(t + ∆t) − x(t) ∆x
≡
.
∆t
∆t
y
x(t)
∆x

t
t + ∆t
x
◁
Die Ableitung bestimmt somit das Prinzip, mit dem wir die Geschwindigkeit eines Massenpunktes auf beliebige Wege x(t) verallgemeinern können.
Auf einem kleinen Bereich ∆x = x − x ändert sich die Funktion f (x) um den kleinen Wert
∆ f = f (x ) − f (x ).
3∣
1. DIFFERENTIALRECHNUNG
f (x)
y
∆f

x
∆x
x
x
Für kleine ∆x beschreibt somit der Quotient
∆f
f (x ) − f (x )
=
∆x
x − x
das Verhalten der Funktion f (x) im Punkt x .
1.2 Definition (Ableitung)
Die formale Definition der Ableitung folgt mittels des Grenzwerts.
f (x + ∆x) − f (x)
d
f (x) ≡ f ′ (x) = lim
∆x→
dx
∆x
(1.1)
⋊
Eine Funktion f (x) heißt differenzierbar, wenn dieser Grenzwert existiert. Da f ′ (x) wieder
Funktion der Variable x ist, können wir höhere Ableitungen bilden mittels
f (n−) (x + ∆x) − f (n−) (x)
dn
(n)
f
(x)
≡
f
(x)
=
lim
∆x→
dx n
∆x
1.3 Beispiel (Ableitungen)
d
• dx
(x n ) = nx n−
↬
↫
4∣
n
∆ f = (x + ∆x)n − x n = ∑ ( )x n−k ∆x k − x n
k
k
n
= ( )∆x x n− + σ(∆x)
k
(1.2)
1. DIFFERENTIALRECHNUNG
•
d ax
dx e
•
d
dx
•
d
dx
•
d
dx
= ae ax
ln x =

x
sin x = cos x
cos x = − sin x
• nicht differenzierbar in x = 
f (x) = ∣x∣
⎧

⎪
⎪
⎪
d
⎪
∣x∣ = sgn(x) = ⎨
⎪
dx
⎪
⎪
⎪
⎩−
x>
x=
x<
y

d
∣x∣ = δ(x) Dirac δ-Funktion
dx 
x
◁
1.4 Definition (Taylor Reihe)
Die Ableitungen beschreiben das Verhalten um einen bestimmten Punkt. Daher können wir
eine differenzierbare Funktion in einer kleinen Umgebung als Taylor Reihe approximieren.
f (x) = f (x ) + f ′ (x )(x − x ) +
5∣
f ′′ (x )
(x − x ) + σ((x − x ) )
!
(1.3)
⋊
1. DIFFERENTIALRECHNUNG
Achtung Die Approximation kann nicht immer durch Mitnahme höherer Terme beliebig genau
gemacht werden.
Die erste Ableitung beschreibt die Steigung der Kurve während die zweite Ableitung die Krümmung
einer Kurve ergibt. Bei der Bewegung x(t) eines Massenpunktes beschreibt die erste Ableitung
die Geschwindigkeit
v=
d
x(t) ≡ ẋ(t),
dt
während die zweite Ableitung die Beschleunigung ergibt
d
x(t) ≡ ẍ(t).
dt 
⇒ Newton’sche Gesetz: m ẍ(t) = F(x, t)
a=
1.1 Differentationsregeln
Die Ableitung ist eine lineare Operation, d.h.
(a ⋅ f (x))′ = a f ′ (x)
( f (x) + g(x))′ = f ′ (x) + g ′ (x)
Produktregel
↬
↫
( f (x) ⋅ g(x))′ = f ′ (x)g(x) + f (x)g ′ (x)
(1.4)
f (x + ∆x)g(x + ∆x)
= ( f (x) + f ′ (x)∆x + σ(∆x  ))(g(x) + g ′ (x)∆x + σ(∆x  ))
= f (x) ⋅ g(x) + ∆x( f ′ (x)g(x) + f (x)g ′ (x) + σ(∆x  ))
´¹¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹¸¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¶
f (x)g(x)
Kettenregel Betrachte die Funktion f (g(x)). Für die Ableitung erhalten wir
↬
d
d
d
f (g(x)) = ( f (g))
g(x)
dx
dg
dx
f (g(x + ∆x)) ≃ f (g(x) + ∆x g ′ (x) ≃ f (g(x)) + f ′ (g(x)) ⋅ g ′ (x) ∆x
´¹¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹¸¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹¶
´¹¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹¸¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¶
∆g
6∣
f (g(x))′
+σ(∆x  )
(1.5)
1. DIFFERENTIALRECHNUNG
↫
Umkehrfunktion
7∣
y = f (x) ⇒ x = f − (y)
d −


f (y) = d
= ′ −
dy
( dx f (x)) f ( f (y))
2. INTEGRATION
2 Integration
b
b
Das Integral I = ∫ f (x) dx ≡ ∫ dx f (x) kann als Fläche unter der Kurve f (x) verstanden
a
werden.
a
Die formale Definition folgt ebenfalls aus einem Grenzwertprozess. Dazu wird das Intervall
a ≤ x ≤ b in eine große Anzahl von kleinen Intervallen aufgeteilt
a = ξ < ξ < ξ < ... < ξ n = b
und dann folgende Summe geformt
n
S = ∑ f (x i )(ξ i − ξ i− ).
(2.1)
i=
y
f (x)

a
b
x
Die Positionen x i sind beliebig im Intervall ξ i+ ≤ x i ≤ ξ i . Das (Riemann’sche) Integral erhält
man nun im Limes, wenn man die Länge der Intervalle ξ i− ≤ x ≤ ξ i gegen Null streben lässt.
8∣
2. INTEGRATION
y
f (x)
a = ξ

x
ξ
x
ξ
x
ξ
x
ξ
x
ξ
x
b = ξ
x
Eine Funktion f (x) heißt integrierbar, wenn dieser Grenzwert existiert. Desweiteren muss er
eindeutig sein, d.h., unabhängig von der Wahl von ξ i und x i .
2.1 Beispiel
b
∫


dx x = b 

Unterteile das Intervall  ≤ x ≤ b mit ∆x = nb . Wähle x i = ξ i , so gilt für die Summe
n
 n
∑k
n k=
k=
 n(n + ) b  n + 
=
= b 
n

 n
S = ∑ ∆x ⋅ k ⋅ ∆x = b 
Den Grenzwert ∆x → c erhalten wir somit für n → ∞ und das Integral wird zu
I=
b
∫
a
b n +  b
=
n→∞ 
n

dx x = lim
◁
2.2 Bemerkung Jedes Integral kann geschrieben werden als
b
∫
a
n
f (x) = lim ∑ f (x i )∆x,
n→∞
i=
mit ∆x =
Das Integral hat folgende Eigenschaften
9∣
b−a
f (x i )∆x.
n
(2.2)
⊸
2. INTEGRATION
b
• ∫ dx  = 
a
a
• ∫ dx f (x) = 
a
c
b
c
• ∫ dx f (x) = ∫ dx f (x) + ∫ dx f (x)
a
a
b
b
b
b
• ∫ dx [ f (x) + g(x)] = ∫ dx f (x) = ∫ dx g(x)
a
a
a
∞
b
• ∫ dx f (x) = lim ∫ dx f (x)
b→∞ a
a
Falls a < b, so definiert man
b
∫
a
dx f (x) = −
a
∫
b
dx f (x)
(2.3)
2.1 Stammfunktion
Ersetzt man die obere Integrationsgrenze b durch x, so definiert das Integral eine neue Funktion
F(x) =
x
∫
a
du f (u)
(2.4)
Diese Funktion lässt sich jetzt differenzieren
F(x + ∆x) =
x+∆x
∫
a
du f (u) =
= F(x) +
x+∆x
∫
x
Somit folgt die Ableitung
x
∫
a
du f (u) +
x+∆x
∫
x
du f (u)
d
F(x + ∆x) − F(x)
F(x) = lim
∆x→
dx
∆x

= lim
∆x→ ∆x
x+∆x
∫
x
du f (u)

[∆x f (x) + σ(∆x  )] = f (x)
= lim
∆x→ ∆x
10∣
du f (u)
2. INTEGRATION
y
I ≈ ∆x f (x)

∆x
x
2.3 Definition (Stammfunktion)
Jede Funktion F(x) mit
d
F(x) = f (x)
dx
heißt Stammfunktion von f (x) oder unbestimmtes Integral.
(2.5)
⋊
Alle Stammfunktionen unterscheiden sich nur durch eine Konstante: G(x) = F(x)+ c ist ebenfalls eine Stammfunktion zu f (x).
Man schreibt daher für das unbestimmte Integral
F(x) =
∫
dx f (x)
(2.6)
Das bestimmte Integral folgt somit aus der Stammfunktion
b
∫
a
dx f (x) = F(b) − F(a) ≡ F∣ba
Es folgen sogleich eine Reihe elementarer Integrale
• ∫ dx x n =
x n+
n+
• ∫ dx e ax = a e ax
• ∫ dx
a
x
= a ⋅ ln ∣x∣
• ∫ dx cos bx = b sin bx
11∣
(2.7)
2. INTEGRATION
2.2 Integrationsregeln
Substitution Es sei y = g(x) so gilt
∫
d y f (y) =
2.4 Bemerkung Schreibe
b
∫
a
d y f (y) =
dx g ′ (x) f (g(x))
∫
d
dx
y = g ′ (x) ⇒ d y = g ′ (x)dx
g − (b)
∫
g − (a)
(2.8)
dx g ′ (x) f (g(x))
⊸
Partielle Integration
∫
2.5 Beispiel
12∣
dx f ′ (x)g(x) = f (x)g(x) −
∫

dx √
 − x
∫
dx ln x =
∫
=
x=sin y
∫
∫
d y cos y √
= y = arcsin x
dx f (x)g ′ (x)

 − sin y
dx ′  ⋅ ln x = x ln x −
f (x)
= x ln x − x
∫
=
∫
dx x ⋅
(2.9)
d y cos y

x

cos y
◁
3. VEKTOREN
3 Vektoren
3.1 Definition (Skalar)
Physikalische Größen, die nur von ihrem Betrag abhängen
• T: Temperatur
• p: Druck
• m: Masse
• α=
e
ħc
≈


: Feinstrukturkonstante
3.2 Definition (Vektor)
Physikalische Größen, die durch ihren Betrag und ihre Richtung bestimmt sind
• v⃗: Geschwindigkeit
⃗ Kraft
• F:
⃗ elektrisches Feld
• E:
⋊
⋊
Einen Vektor stellen wir durch einen Pfeil im Raum dar mit seiner Länge bestimmt durch seinen
Betrag.
Addition
a⃗ + b⃗ = b⃗ + a⃗ ∶ kommutativ
⃗ + c⃗ ∶ assoziativ
a⃗ + (b⃗ + c⃗) = (a⃗ + b)
Skalare Multiplikation λ ⋅ a⃗:
(λ + µ)a⃗ = λ a⃗ + µ a⃗
⃗ = λ a⃗ + λ b⃗
λ(a⃗ + b)
a⃗
a⃗ + b⃗
b⃗
Addition
13∣
a⃗
b⃗
a⃗
a⃗
Skalare Multiplikation
3. VEKTOREN
3.1 Basisvektoren
Für 3 beliebige Vektoren, die nicht in einer Ebene liegen, können wir jeden Vektor darstellen
als
a⃗ = a e⃗ + a e⃗ + a e⃗
(3.1)
Die drei Vektoren e⃗ , e⃗ , e⃗ formen eine Basis; die Skalare a , a , a heißen Komponenten des
Vektors a⃗ zu dieser Basis.
3.3 Bemerkung Meistens werden die Basisvektoren orthogonal aufeinander gewählt aber es ist
nicht notwendig.
⊸
Im Allgemeinen gilt
1. Die Anzahl Vektoren in der Basis ist bestimmt durch die Dimension des Raumes.
2. Die Vektoren in der Basis sind linear unabhängig, d.h.,
c e⃗ + c e⃗ + ... + c n e⃗n ≠ 
für alle c i , außer c i = .
Im 3-dimensionalen kartesischen Koordinatensystem (x, y, z) haben wir die natürliche Basis
der Einheitsvektoren e⃗x , e⃗y , e⃗z entlang der x, y, z Achsen.
z
az
e⃗z
ax
x
14∣
e⃗x
a⃗
e⃗y
ay
y
3. VEKTOREN
Für eine gewählte Basis können wir somit jeden Vektor in seinen Komponenten schreiben
⎛ a x ⎞ ⎛ a ⎞
a⃗ = ⎜ a y ⎟ ≡ ⎜ a ⎟
⎝ a z ⎠ ⎝ a ⎠
(3.2)
Die Addition und skalare Multiplikation hat in Komponentenschreibweise die Form:
⎛ a ⎞ ⎛ b ⎞ ⎛ a + b ⎞
• a⃗ + b⃗ = ⎜ a ⎟ + ⎜b ⎟ = ⎜ a + b ⎟
⎝ a  ⎠ ⎝b  ⎠ ⎝ a  + b  ⎠
⎛ a ⎞ ⎛ λa ⎞
• λ a⃗ = λ ⎜ a ⎟ = ⎜ λa ⎟
⎝ a ⎠ ⎝ λa ⎠
3.2 Skalar Produkt und Betrag
3.4 Definition (Skalarprodukt)
Das Skalarprodukt im dreidimensionalen kartesischen Raum ist definiert durch
a⃗ ⋅ b⃗ = a x b x + a y b y + az bz ≡ < a⃗∣b⃗ > .
3.5 Definition (Betrag)
Der Betrag eines Vektors ist bestimmt durch das Skalarprodukt mit sich selbst.
a = ∣ a⃗∣ =
√
a⃗ ⋅ a⃗ =
√
ax + ay + az
Für die natürliche Basis e⃗x , e⃗y , e⃗z folgt somit
e⃗x ⋅ e⃗y = e⃗x ⋅ e⃗z = e⃗y ⋅ e⃗z = 
∣ e⃗x ∣ = ∣ e⃗y ∣ = ∣ e⃗z ∣ = 
Das Skalarprodukt kann auch geschrieben werden als
⃗
mit dem Winkel ϑ zwischen den beiden Vekoren a⃗ und b.
15∣
(3.4)
⋊
orthogonal
normiert
3.6 Bemerkung Die Basis heißt orthonormiert.
⃗ cos ϑ
a⃗ ⋅ b⃗ = ∣ a⃗∣∣b∣
(3.3)
⋊
⊸
3. VEKTOREN
a⃗
b⃗
ϑ
3.3 Vektorprodukt
Das Vektorprodukt wird geschrieben als
c⃗ = a⃗ × b⃗
wobei c⃗ orthogonal auf a⃗ und b⃗ steht, mit dem Betrag
⃗ sin ϑ,
∣c⃗∣ = ∣ a⃗∣∣b∣
der Fläche des Parallelogramms.
c⃗
ϑ
a⃗
b⃗
⃗ c⃗ ein rechthändiges Dreibein.
Zudem bilden a⃗, b,
Es gelten die Rechenregeln
⃗ × c⃗ = a⃗ × c⃗ + b⃗ × c⃗,
( a⃗ + b)
⃗
b⃗ × a⃗ = − a⃗ × b.
16∣
(3.5)
3. VEKTOREN
In den Koordinaten der natürlichen Basis e⃗x , e⃗y , e⃗z hat das Vektorprodukt die Form
⎛ a x ⎞ ⎛b x ⎞ ⎛ a y b z − a z b y ⎞
a⃗ × b⃗ = ⎜ a y ⎟ × ⎜b y ⎟ = ⎜ az b x − a x bz ⎟ = c⃗.
⎝ az ⎠ ⎝ bz ⎠ ⎝ax b y − a y bx ⎠
3.7 Beispiel
⎛x(t)⎞
Bewegung eines Massenpunktes: ⃗r (t) = ⎜ y(t)⎟
⎝ z(t) ⎠
⎛ẋ(t)⎞
d
⃗
⃗
Geschwindigkeit: v (t) = dt r (t) = ⎜ ẏ(t)⎟
⎝ ż(t) ⎠
⃗
Drehimpuls: L = m(⃗r × v⃗)
Lorentz-Kraft: F⃗ = q( E⃗ +v⃗ × B⃗ )
®
®
el. Feld
Beschleunigung: a⃗(t) =
17∣
d
⃗
dt v (t)
Magnetfeld
=
d
⃗
dt  r (t)
⎛ẍ(t)⎞
= ⎜ ÿ(t)⎟
⎝ z̈(t) ⎠
(3.6)
◁
4. KOMPLEXE ZAHLEN
4 Komplexe Zahlen
Die Gleichung z 2 = − hat keine Lösung in den reellen Zahlen. Man kann jedoch die reellen
Zahlen R erweitern, sodass diese Gleichung ebenfalls zwei Lösungen besitzt.
Dazu führt man die imaginäre Einheit ein
i mit der Definition i  = −
(4.1)
Die beiden Lösungen obiger Gleichung nehmen die Form an
z = ±i
Eine Zahl in diesem erweiterten Raum kann somit einen Realteil und einen Imaginärteil besitzen und heißt komplexe Zahl.
z= x +
®
Realteil
iy
®
Imaginärteil
x, y ∈ R
(4.2)
Das Rechnen mit komplexen Zahlen verhält sich gleich wie mit reellen Zahlen:
(x + i y) + (u + iv) = (x + u) + i(y + v)
(x + i y) ⋅ (u + iv) = xu − yv + i(xv + uy)
(4.3)
Eine komplexe Zahl kann in der komplexen Ebene dargestellt werden.
Re z = x = r cos(φ)
Im z = y = r sin(φ)
√
r = x  + y  ≡ ∣z∣
y
φ = arctan ≡ arg(z)
x
: Real-Teil
: Imaginär-Teil
(4.4)
: Betrag von z
: Argument von z
Iz
z
y
r
φ

18∣
x
Rz
4. KOMPLEXE ZAHLEN
4.1 Bemerkung
z ⋅ z = r (cos φ + i sin φ )r (cos φ + i sin φ )
= r r (cos φ cos φ − sin φ sin φ + i(cos φ sin φ + sin φ cos φ ))
= r r [cos(φ + φ ) + i sin(φ + φ )]
(4.5)
d.h. Multiplikation zweier komplexer Zahlen multipliziert ihren Betrag und addiert ihr Argument.
Iz
z ⋅ z
r + r
φ + φ
z
r
φ
r
z
φ
Rz
⊸
4.1 Komplex Konjugierte
4.2 Definition (Komplexe Konjugation)
Es gibt eine spezielle Funktion, das Komplex Konjugierte, das jeder komplexen Zahl eine neue
komplexe Zahl zuordnet mittels
z = x + i y ⇒ z̄ = x − i y.
Es gelten die Relationen
z + z̄ =  Re z
z − z̄ =  Im z
z ⋅ z̄ = ∣z∣
⋊
(4.6)
Es gelten die Rechenregeln
(z + z ) = z + z
(z ⋅ z ) = z ⋅ z
(z + iz ) = z − iz
19∣
(4.7)
4. KOMPLEXE ZAHLEN
4.3 Bemerkung Die Division von komplexen Zahlen erfolgt am einfachsten mit folgendem Trick
z x + i y z ⋅ z¯ (x + i y)(u + iv) xu + yv + i(xv + yu)
=
=
=
=
z u + iv
∣z ∣
u + v 
u + v 
⊸
4.2 Funktionen komplexer Variablen
4.4 Beispiel
f (z) = z  = (x + i y) = x  − y  + ix y
Die Ableitung von komplexen Funktionen folgt analog zur Ableitung reeller Funktionen
f (z + ∆z) − f (z)
d
f (z) = lim
δz→
dz
∆z
◁
(4.8)
4.5 Bemerkung Falls eine komplexe Funktion differenzierbar in einer kleinen Umgebung ist, so
heißt sie analytisch.
⊸
4.6 Beispiel
d n
z = n ⋅ z n−
dz
Re z, Im z, z̄, ∣z∣ sind nicht differenzierbar
◁
4.3 Exponentialfunktion
4.7 Definition (Exponentialfunktion)
Die exponential Funktion exp(z) ist definiert mittels der Potenzreihe
∞
exp(z) = ∑  + z +
n=
z z z
+ + +...
 ! !
4.8 Bemerkung Die Potenzreihe konvergiert für alle z ∈ C
exp() ≡ e
exp(x) ≡ e x
⇒ exp(z) ≡ e z
20∣
Eulersche Zahl
für x ∈ R
Erweiterung von e z auf komplexe Zahlen
(4.9)
⋊
⊸
4. KOMPLEXE ZAHLEN
Die Exponentailfunktion hat folgende Eigenschaften
↬
↫
↬
d
exp(z) = exp(z)
dz
∞
 d n ∞

d ∞  n
d
(∑ z ) = ∑
exp(z) =
z =∑
z n−
dz
dz n= n!
n= n! dz
n= (n − )!
∞

= ∑ z n = exp(z)
n= n!
exp(z ) ⋅ exp(z ) = exp(z + z )
∞
∞
 m
 n m
 n
z ) ( ∑
z ) = ∑
z ⋅ z
n= n!m!
m= m!
n= n!
∞
exp(z ) ⋅ exp(z ) = ( ∑
∞
=∑
l=
m
m=

(z + z )l = exp(z + z )
l!
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
k
n
↫
Von besonderem Interesse ist der Wert von e z für ein imaginäres z = iφ:
21∣
e iφ ⋅ e iφ = ∣e iφ ∣ = e  = e iφ e −iφ = 
⇒ e iφ liegt auf dem Einheitskreis
4. KOMPLEXE ZAHLEN
Iz

exp z
φ
Rz
Aus der Definition von exp(iφ) folgt
(iφ)n ∞ (−)k n ∞ (−)l  ln +
=∑
φ +i ∑
φ
.
n= n!
k= (k)!
l= (l + )!
´¹¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¸¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹¶ ´¹¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¸ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¶
∞
e iφ = ∑
cos φ
(4.10)
sin φ
Daraus ergeben sich die Relationen
e iφ = cos(φ) + i sin(φ)
e iφ + e −iφ
cos(φ) =

iφ
e − e −iφ
sin(φ) =
i
4.9 Bemerkung Es gilt die Euler’sche Gleichung
e iπ +  = .
Jede komplexe Zahl kann somit geschrieben werden als
z = r ⋅ e iφ .
22∣
(4.11)
⊸
4. KOMPLEXE ZAHLEN
Iz
z
y
r
φ
x

Rz
4.10 Beispiel
z n = (re iφ )n = r n e inφ
(e iφ ) = e iφ = cos φ + i sin φ
= (cos φ + i sin φ) = cos φ − sin φ +i  sin φ cos φ
´¹¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¸¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹¶ ´¹¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹¸¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹¶
= cos(φ) + i sin(φ)
cos φ
i sin φ
◁
4.11 Bemerkung cos (z) und sin (z) sind nun ebenfalls für komplexe Zahlen definiert. Insbesondere gilt
e i⋅ix + e −i⋅ix e −x + e x
=
= cosh x


e −x − e x
e x − e −x
sin ix =
=i
= i sinh x
i

⊸
cosh x = cos ix = cos ix − sin ix = cosh x + sinh x
◁
cos ix =
4.12 Beispiel
4.4 Logarithmus
4.13 Definition (Logarithmus Funktion)
Der Logarithmus ist definiert als Umkehrfunktion von exp(z):
z = e w ⇔ w = ln z
23∣
⋊
4. KOMPLEXE ZAHLEN
Schreiben wir z = re iφ = re i(φ+k⋅π) für k ∈ Z, so gilt
ln(z) = ln (re i(φ+k⋅π) ) = ln(r) + ln (e i(φ+k⋅π) ) = ln(r) + i(φ + k ⋅ π).
Somit ist der Logarithmus nicht mehr eindeutig.
Die Exponentialfunktion bildet den Bereich x ∈ (−∞, ∞) und y ∈ [, π) bereits auf die gesamte komplexe Ebene ab. Daher wissen wir nicht mehr, von welchem k wir gestartet sind. Der
Logarithmus hat daher einen Schnitt in der komplexen Ebene, in dem die Funktion nicht stetig
ist. Die Lage des Schnittes kann im Prinzip frei gewählt werden.
Mit Hilfe des Logarithmus’ lassen sich jetzt auch beliebige Wurzeln und Potenzen definieren.
f (z) = zv = exp(v ⋅ ln z)
Für v =  erhalten wir die Winkelfunktion
f (z) =
√
z.
Die Vieldeutigkeit des Logarithmus wird auf die Winkelfunktion vererbt
√ √
√ φ
z = re iφ = r e i  +kiπ
k = , 
Die Vieldeutigkeit kann elegant interpretiert werden durch das Einführen von Riemannschen
Blättern. Man√interpretiert die z-Ebene bestehend aus 2 Riemannschen Blättern: Das erste Blatt
wird mittels z auf die obere Halbebene in der w-Ebene abgebildet. Das zweite Riemannsche
Blatt wird auf die untere Halbebene abgebildet.
w
Iz
Iz
Rz
Rz
√
w
24∣
4. KOMPLEXE ZAHLEN
Die beiden Riemannschen Blätter heißen Riemannsche Flächen. Die Wurzel Funktion ist dann
analytisch von der Riemannschen Fläche nach C (außer z = ). Der Schnitt ist die Kreuzungslinie der beiden Blätter.
4.14 Bemerkung Für den ln(z) ist die Riemannsche Fläche eine Spirale.
4.15 Beispiel
Lösungen von z n =  haben die Form
25∣
z = ei n
π
⊸
5. GEWÖHNLICHE DIFFERENTIALGLEICHUNGEN
5 Gewöhnliche Differentialgleichungen
Differentialgleichungen treten in der Physik sehr häufig auf
5.1 Beispiel (Radioaktiver Zerfall)
Die Anzahl Atome, die in einem Zeitintervall ∆t zerfallen, ist proportional zur Anzahl Teilchen
und der Rate Γ.
∆N = −N(t) Γ ⋅ ∆t
dN(t)
⇒
= −ΓN(t)
∆t→ dt
(5.1)
Die DG hat die Lösung N(t) = N e −Γt mit N als Atomzahl zur Zeit t = .
◁
5.2 Beispiel (Harmonischer Oszillator)
m ẍ(t) = F = −mω x
⇒ẍ(t) + ω x = 
Die DG hat die Lösung x(t) = Ae iωt + Be −iωt . Da x(t) reell ist, muss gelten A∗ = B =
die allgemeinste Lösung hat die Form
x  iφ
 e
und
x(t) = x cos(ωt + φ)
mit x und φ bestimmt durch die Anfangs-/Randbedingungen.
v(x) =  x 
b
x
26∣
◁
5. GEWÖHNLICHE DIFFERENTIALGLEICHUNGEN
5.1 Lineare Differentialgleichungen 1. Ordnung
Lineare DG 1. Ordnung haben die Form
y ′ = a(x)y + b(x),
(5.2)
und benötigen im Allgmeinen eine Anfangsbedingung
y() = y ,
(5.3)
um eine spezielle Lösung zu bestimmen.
Der triviale Fall
Ist a(x) = , so ist die Lösung bestimmt durch das Integral von b(x).
y(x) =
y
∫

du b(u) + y
(5.4)
5.3 Beispiel (Geschwindigkeit eines Teilchens mit zeitabhängiger Kraft)
F(t)
v̇ =
⇒v=
m
t
∫

F(t)
dt + v
m
◁
Der homogene Fall
Eine homogene Differentialgleichung hat die Form
y ′ = a(x)y.
(5.5)
5.4 Bemerkung Eine Eigenschaft von linearen homogenen Differentialgleichungen ist, dass für die
Lösungen y , y auch folgende Funktionen Lösungen sind:
• λy (x)
• y (x) + y (x)
Die Lösung der Differentialgleichung finden wir mittels Division von y:
y′
d
=
ln y = a(x)
y dx
⇒ ln y(x) =
x
∫

⇒y(x) = y e ∫
27∣
x
du a(u) + c ≡ A(x) + c
du a(u)
= y e A(x)
⊸
5. GEWÖHNLICHE DIFFERENTIALGLEICHUNGEN
Der inhomogene Fall
Zusätzlich zur homogenen Gleichung haben wir noch einen Treiber b(x).
y ′ − a(x)y = b(x)
(5.6)
Für zwei Lösungen y (x) und y (x) gilt, dass
y (x) − y (x)
eine Lösung der homogenen Gleichung ist.
↬
[y (x) − y (x)] − a(x) [y (x) − y (x)]
= [y′ (x) − a(x)y (x)] − [y′ (x) − a(x)y (x)]
´¹¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¸¹¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¶ ´¹¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¸¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¶
′
b(x)
↫
b(x)
=b(x) − b(x) = 
Eine Lösung erhält man mittels Multiplikation der DG mit e −A(x)
⇒e −A(x) y ′ − a(x)e −A(x) y = b(x)e −A(x)
´¹¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¸¹¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¶
⇒
(e −A(x) )′
d
(ye −A(x) ) = b(x)e −A(x)
dx
⇒y(x) = e
x
A(x)
∫
du b(u)e −A(u) +
´¹¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¸¹¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¶

partikuläre Lösung
y e A(x)
´¹¹ ¹ ¹ ¸¹ ¹ ¹ ¹ ¶
homogene Lösung
5.5 Beispiel (Beschleunigter Massenpunkt mit linearem Luftwiderstand)
mv̇ =
Beschleunigung
v=
28∣
F
®
−
R⋅v
±
Luftwiderstand
F
R
R
( − e −t m ) + v e −t m
R
®
v∞
(5.7)
5. GEWÖHNLICHE DIFFERENTIALGLEICHUNGEN
v(t)
v∞

t
m/R
◁
5.2 Nichtlineare Differentialgleichung 1. Ordnung
Die allgemeine Form lautet
dy
= F(x, y),
dx
(5.8)
und ist im Allgemeinen nicht geschlossen lösbar, außer in Spezialfällen, von denen wir einige
untersuchen wollen.
Separierbare Differentialgleichungen
Falls F(x, y) separierbar ist, d.h.
F(x, y) = f (x)g(y),
so können wir die Differentialgleichung umschreiben auf
y′
= f (x)
g(y)
integrieren mit x
y′
⇒
dx
=
g(y)
∫

=
dx f (x)
g(y)
¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¸¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¶
´¹¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹¸¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹¶ ´¹¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹H(x)+c
∫
dy
G(y)
Falls G(y) invertierbar ist, erhalten wir
y(x) = G − (H(x) + c)
29∣
∫
5. GEWÖHNLICHE DIFFERENTIALGLEICHUNGEN
5.6 Beispiel
Kettengleichung: Freihängendes Seil/Kette
√
y ′′ = α  + (y ′ )
v(x) =  x  
Fg
F⊥
dx
dy
F⊥
F
x
Setze u = y ′
u′
√
=α
 + u

⇒ du √
=
 + u
cosh(z)
∫ dz √ + sinh (z) = ∫
= z = arcsinh u = ∫ dx α = αx + c
∫
⇒y ′ = u = sinh(αx + c )

⇒y = cosh(αx + c ) + c̃
α
Bernoulli-Gleichung
y ′ = a(x)y + b(x)y ν

dz
cosh(z)
cosh(z)

◁
Mit einer geschickten Substitution kann diese Gleichung auf die Form einer inhomogenen Differentialgleichung gebracht werden.
y′
= a(x)y −ν + b(x)
yν

v′
′
(y −ν ) =
−ν
−ν
−ν
Setze y = v und man erhält
v ′ = ( − ν)a(x)v + ( − ν)b(x)
⇒ Löse mit dem Trick von Gleichung 5.7
30∣
5. GEWÖHNLICHE DIFFERENTIALGLEICHUNGEN
5.3 Lineare Differentialgleichungen höherer Ordnung
Die allgemeine Form ist
n
∑ a i (x)y (i) (x) = b(x).
(5.9)
i=
Die Lösung der Differentialgleichung ist eindeutig bestimmt durch das Anfangswertproblem
y() = y , y () () = y , ..., y (n−) () = y
()
(n−)
(5.10)
: elektrischer Schwingkreis
(5.11)
5.7 Beispiel (Differentialgleichung 2. Ordnung)
L
®
Induktion
Ï +
R
®
Widerstand
İ +
dV

I=
C
dt
®
°
Kapazität
ext. Drive
◁
ist durch die Vorgabe von I() und İ() bestimmt.
Allgemeiner Lösungsansatz
• Finde n unabhängige Lösungen y (x), ..., y n (x) für die homogene Gleichung mit b(x) =
.
⇒ y c (x) = C y (x) + C y (x) + ... + C n y n (x)
Lösung der homogenen Gleichung.
• Finde eine partikuläre Lösung y p (x) der inhomogenen Gleichung mit b(x) ≠ .
• Die allgemeine Lösung hat die Form
y(x) = y c (x) + y p (x)
(5.12)
Konstante Koeffizienten
Homogene Gleichung
an
dn y
d n− y
dy
+
a
+ ... + a
+ a y = 
n−
n
n−
dx
dx
dx
(5.13)
Mit dem Ansatz y = e λx mit λ ∈ C können wir die Differentialgleichung in eine algebraische
Gleichung umwandeln:
a n λ n + a n− λ n− + . . . + a λ + a = 
Die Gleichung hat genau n Lösungen λ . . . λ n . Es ist jetzt nötig, 3-Fälle zu unterscheiden:
31∣
5. GEWÖHNLICHE DIFFERENTIALGLEICHUNGEN
1. Alle λ i sind reell und verschieden. Somit sind y i (x) = e λix linear unabhängig und die
Lösung hat die Form
y c (x) = C e λ x + C e λ x + . . . + C n e λ n x
(5.14)
2. Einige λ i sind komplex. Falls a i reell sind, so ist λ i ebenfalls eine Lösung. So können wir
schreiben (λ i = α + iβ)
y i (x) = C i e (α+iβ)x + C i e (α−iβ)x
= Ae αx cos (βx + φ)
(5.15)
(5.16)
3. Einige Lösungen sind mehrfache Nullstellen λ = λ = . . . = λ k ≡ λ. Dann sieht man, dass
die Funktionen
e λx , xe λx , x  e λx , . . . , x k− e λx
ebenfalls Lösungen sind. Wir erhalten somit wieder n unabhängige Lösungen.
5.8 Beispiel
y c = (C + C x + . . . + C k x k− )e λx + C k+ e λ k+ x + . . . + C n e λ n x
y ′′ (x) − y ′ + y = 
(5.17)
Ansatz y = e λx
⇒(λ − λ + )e λx = 
⇒ = λ − λ +  = (λ − )
⇒e x , xe x sind Lösungen
↬ (xe x )′′ − (xe x )′ + xe x = xe x + e x − (xe x + e x ) + xe x =  ↫
Die Lösung ist somit y c (x) = (C + xC )e x .
Inhomogene Gleichung
an
dn y
dy
+
.
.
.
+
a
+ a = b(x)

dx n
dx
◁
(5.18)
Es gibt keine allgemeine Methode, die eine partikulär Lösung liefert. Für spezielle b(x) helfen
aber folgende Ansätze.
1. b(x) = Ae Γx mit Γ reell oder komplex
Ansatz: y p (x) = Be Γx
2. b(x) = A sin(Γx) + A cos(Γx)
Ansatz: y p (x) = B sin(Γx) + B cos(Γx)
32∣
5. GEWÖHNLICHE DIFFERENTIALGLEICHUNGEN
3. b(x) = A + A x + . . . + A n x n
Ansatz: y p (x) = B + B x + . . . + B n x n
4. Falls b(x) eine Summe oder ein Produkt von obigen Formen ist, so ist der Ansatz ebenfalls eine Summe oder Produkt der entsprechenden Ansätze.
5.9 Beispiel
y ′′ + y = cos x
Ansatz: y p (x) = B cos x + B sin x
⇒ − B  cos x − B  sin x + B cos x + B sin x = cos x
⇒ − B + B = 
− B + B = 

⇒y p (x) = − cos x

⇒y c (x) = C cos x + C sin x
⇒B = −
B = 


: partikulär Lösung
: homogene Lösung
⇒Vollständige Lösung:

y(x) = y p (x) + y c (x) = − cos x + C cos x + C sin x

◁
5.10 Bemerkung Die allgemeine Lösung folgt aus der Summe der partikulär Lösung y p und der
Lösung der homogenen Gleichung y c .
y(x) = y p (x) + y c (x)
(5.19)
⊸
5.4 Green’sche Funktion
Betrachte die inhomogene Differentialgleichung
d
d
y + a y + by = f (x),

dx
dx
für einen allgemeinen Treiber f (x). Die Lösung des homogenen Problems kennen wir.
33∣
(5.20)
5. GEWÖHNLICHE DIFFERENTIALGLEICHUNGEN
Frage Gibt es einen speziellen Treiber h(x, z), sodass wir mit einer Lösung von
d
d
G(x, z) + a G(x, z) + bG(x, z) = h(x, z)

dx
dx
eine Lösung zur obigen Gleichung finden für einen beliebigen Treiber f (x):
y(x) =
∞
∫
−∞
dz G(x, z) f (z)
(5.21)
(5.22)
∞
5.11 Bemerkung Der Ansatz y(x) = ∫−∞ dz G(x, z) f (z) folgt aus der Linearität der Differentialgleichung:
• Ist y(x) Lösung zum Treiber f (x)
⇒ c y(x) ist Lösung zum Treiber c f (x)
• Ist y (x) Lösung zu f (x) und y (x) Lösung zu g(x)
⇒ y (x) + y (x) ist Lösung zum Treiber f (x) + g(x)
∞
Einsetzen von y(x) = ∫ dz G(x, z) f (z) in die Differentialgleichung liefert
−∞
d
d
y(x) + a y(x) + by(x)

dx
dx
⎡
⎤
⎢
⎥
∞
⎢ 
⎥
⎢d
⎥
d
⎢
=
dz f (z) ⎢  G(x, z) + a G(x, z) + bG(x, z)⎥⎥
dx
⎢ dx
⎥
−∞
⎢´¹¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¸¹¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¶⎥
⎢
⎥
h(x,z)
⎣
⎦
f (x) =
=
∫
∞
∫
−∞
dz f (z)h(x, z)
⊸
(5.23)
(5.24)
(5.25)
d.h., der spezielle Treiber h(x, z) muss die Eigenschaft haben
∞
∫
−∞
f (z)h(x, z) = f (x)
(5.26)
Die Funktion, die diese Eigenschaft besitzt wird in der Physik als Dirac-Delta Funktion bezeichnet, mit der Notation h(x, z) ≡ δ(x − z) und ist mathematisch gesehen eine Distribution oder
uneigentliche Funktion. Als nächstes untersuchen wir diese Funktion im Detail.
34∣
5. GEWÖHNLICHE DIFFERENTIALGLEICHUNGEN
Dirac-δ-Funktion
Die wichtigste Eigenschaft der δ-Funktion ist
∞
∫
−∞
dx δ(x − x ) f (x) = f (x ),
(5.27)
für alle Funktionen f (x). ↬ f (x) soll beliebig oft differenzierbar sein. ↫
Wir können die δ-Funktion beliebig genau approximieren mit der Funktion

x
h ε (x) = √ e − ε
επ
(5.28)
y
h ε (x − x )
x − ε x x + ε
Für kleine ε gilt somit
∞
∫
−∞
∞
=
Es gilt
•
∫
−∞
dx h ε (x − x ) f (x)
dx h ε (x − x ) [ f (x ) + f ′ (x )(x − x ) +
∞
∫
−∞
z=
35∣
x
dx h ε (x − x ) f (x ) = f (x )
x−x 
√
ε
=
∞
∫
−∞
∞


dz √ e −z = f (x )
π
−∞
´¹¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¸ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹¶
f (x )
∫

f ′′ (x )
(x − x ) + σ(x − xo)]

 −(x−x )
dx √ e ε
επ
5. GEWÖHNLICHE DIFFERENTIALGLEICHUNGEN
•
∞
∫ h (x − x ) f (x )(x − x )
−∞
ε
=
z=x−x 
f (x )
′

∞
∫

′′
∫ h (x − x )  f
−∞
z=
Somit folgt
∞
∫
−∞
ε
x−x 
√
ε
=

 ′′
f (x )


= f ′′ (x ) ⋅ ε



dz √
επ
−∞
•
∞
′

z
punktsymmetrisch
z=
(x )(x − x )
∞
∫
e− є
±
−∞


dz ε √ z  e −z
π
→ 
ε→
dx h ε (x − x ) f (x) = f (x ) +
 ′′
f (x )ε + σ(ε ) → f (x )
ε→

(5.29)
Die Frage ist somit, ob man das Integral mit dem Limes vertauschen kann
∞
∫
−∞
dx δ(x − x ) f (x) = f (x ) = lim
ε→
′′
=
′′
∞
∫
−∞
∞
∫
−∞
dx h ε (x − x ) f (x)
dx lim h ε (x − x ) f (x)
ε→
 −(x−x )
⇒ δ(x − x )′′ =′′ lim h ε (x − x ) = lim √ e ε
ε→
ε→
πε
⎧
⎪
⎪ x ≠ x 
=⎨
⎪
⎪
⎩∞ x = x 
Wir sehen, dass die δ-Funktion keine eigentliche Funktion ist sondern, dass sie erst Sinn ergibt, indem man über sie integriert. Trotzdem ist es möglich, mit ihr als abstraktes Objekt zu
rechnen.
Eigenschaften der δ-Funktion
36∣
5. GEWÖHNLICHE DIFFERENTIALGLEICHUNGEN
∞
• ∫−∞ dx δ(x) = 
• ∫−η dx f (x)δ(x) = f () für beliebige η > 
η
↬
η
∫
−η
dx f (x)δ(x) = lim
ε→
∫
−η
dx h ε (x) f (x)
⎤
⎡
⎢
⎥
⎢ ∞
⎥
−η
∞
⎢
⎥
⎢
⎥
⎢
= lim ⎢ dx h ε (x) f (x) −
dx h ε (x) f (x) −
dx h ε (x) f (x)⎥⎥
ε→ ⎢
⎥
−∞
η
⎢−∞
⎥
⎢´¹¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¸¹¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¶ ´¹¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¸¹¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¶ ´¹¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¸¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹¶⎥
⎢
⎥
=
f ()
=
⎣
⎦
= f ()
∫
↫
η
∫
∫
• δ(x) = δ(−x)
∞
∞
∞
↬ ∫−∞ dx δ(x) f (x) = f () = ∫−∞ dx δ(x) f (−x) = ∫−∞ dx δ(−x) f (x) ↫
• δ(x) ⋅ x = 
∞
∞
↬ ∫−∞ dx f (x) x δ(x) = ∫−∞ dx g(x) δ(x) = g() = f () ⋅  =  ↫
5.12 Beispiel
∞
• ∫−∞ dx f (x)[δ(x − ) + δ(x + )] = f () + f (−)
⎧
⎪
⎪ f (c)
b
• ∫a dx f (x)δ(x − c) = ⎨
⎪
⎪
⎩
• ∫− dx x  δ(x − ) = 

• ∫− dx x  δ(x + ) = 
a<c<b
c < a oder c > b

∞
• ∫−∞ dx e −x δ(x − y  ) = e −y

Alternative Funktionsfolgen, die gegen die δ-Funktion konvergieren
37∣
sin Nx
x
•

π
•
 ε
π ε  +x 
für N → ∞
für ε → 
◁
5. GEWÖHNLICHE DIFFERENTIALGLEICHUNGEN
y
N
y

π
)
sin ( Nx
x

ε
x
 ε
π ε +x 
x
5.13 Bemerkung Mathematisch ist die δ-Funktion eine Distribution.
• Mit S bezeichnen wir den Schwartz-Raum. Für f ∈ S gilt, f ∈ C ∞ und x α f (x)
 α ∈ N
→
x→±∞
• Distributionen sind stetige lineare Abbildungen vom Schwartz-Raum in die Menge der
reellen Zahlen.
T ∶ f ∈S→R
mit T(α f + βg) = αT( f ) + βT(g).
5.14 Beispiel
• Für eine Funktion h(x) erhalten wir die Distribution
• Die Abbildung
H( f ) ≡
ist gerade die δ-Funktion.
∫
⊸
dx h(x) f (x)
f (x) ↦ f (x )
• Weitere Distributionen sind auch
oft als δ ′ (x − x ) bezeichnet.
38∣
f (x) ↦ f ′ (x )
◁
5. GEWÖHNLICHE DIFFERENTIALGLEICHUNGEN
Green’sche Funktion für den Oszillator
Die Differentialgleichung für die Green’sche Funktion lautet
d
d
G(x, z) + a G(x, z) + bG(x, z) = δ(x − z)

dx
dx
(5.30)
z+ε
Integrieren wir diese Gleichung um eine kleine Umgebung ∫z−ε dx erhalten wir
z+ε
∫
z−ε
⇔[
d
dx  G(x, z) + a
dx
z+ε
z+ε
∫
z−ε
d
G(x, z) + b
dx
z+ε
∫
z−ε
d
z+ε
G(x, z)] + [G(x, z)]z−ε + G(z, z)ε
dx
z−ε
dx G(x, z) = 
Die Funktion G(x, z) ist aber stetig bei x = z und nur die Ableitung hat einen Sprung.
G(x, z)
x
z
Somit gilt für ε → 
[
x+ε
d
G(x, z)] = G ′ (z + ε, z) − G ′ (z − ε, z) = 
dx
x−ε
Da aber δ(x − z) =  für x ≠ z gilt
d
d
G(x, z) + a G(x, z) + bG(x, z) = 

dx
dx
x≠z
(5.31)
(5.32)
und G(x, z) kann konstruiert werden aus der Lösung der homogenen Gleichung mit obiger
Bedingung für x = z.
5.15 Beispiel
Green’sche Funktion zur Differentialgleichung für x ∈ [, π ] mit
d
π
G(x, z) + G(x, z) = δ(x − z) G(, z) =  G( , z) = 

dx

39∣
5. GEWÖHNLICHE DIFFERENTIALGLEICHUNGEN
Ansatz: G(x, z) = A(z) sin x
G(x, z) = B(z) cos x
x<z
x>z
Somit folgt:
Stetigkeit: A(z) sin z − B(z) cos z = 
Springen in Ableitung: − A(z) cos z + B(z) sin z = −
A(z) = − cos z
B(z) = − sin z
Die Green’sche Funktion hat die Form
⎧
⎪
⎪− sin z cos x x ≥ z
G(x, z) = ⎨
⎪
⎪
⎩− cos z sin x x < z
y
∂
∂x G(x, z)
x
z
z
π/
5.16 Beispiel
Finde eine partikulär Lösung zur Differentialgleichung auf dem Intervall [, π ]
y ′′ (x) + y ′ (x) =

sin x
⇒ y(x) =

G(x, z)
sin z
π

∫

dz
= − cos x
x
∫

dz
sin z
− sin x
sin z
= −x cos x + sin x ln sin x
40∣
π

∫
x
dz
cos z
sin z
x
◁
◁
6. DIFFERENZIAL- UND INTEGRALRECHNUNG MIT MEHREREN
VARIABLEN
6 Differenzial- und Integralrechnung mit mehreren
Variablen
Die Verallgemeinerung der Ableitung für Funktionen mit mehreren Variablen wird mittels der
partiellen Ableitung erreicht.
• Funktion f (x, y)
• partielle Ableitung
∂f
f (x + ∆x, y) − f (x, y)
= lim
∆x→
∂x
∆x
f (x, y + ∆y) − f (x, y)
∂f
= lim
∂y ∆y→
∆y
Die partielle Ableitung entspricht der normalen Ableitung wobei die weiteren Variablen fixiert
werden.
6.1 Bemerkung Äquivalente Schreibweisen
∂f
≡ ∂x f ≡ fx
∂x
Manchmal gibt man die Variable, die fixiert werden soll, noch explizit an
(
∂f
)
∂x y
6.2 Beispiel
⊸
∶ partielle Ableitung nach x mit y fixiert
f (x, y) = x  y − e x y
⇒ ∂ x f = x  y − ye x y
∂ y f = x  − xe x y
∂ ∂
( f ) = x y − y  e x y
∂x f =
∂x ∂x
∂ ∂
( f ) = −x  e x y
∂y f =
∂y ∂y
∂ ∂
( f ) = x  − e x y − x ye x y
∂x ∂y
∂ ∂
( f ) = x  − e x y − x ye x y
∂ y ∂x f =
∂y ∂x
∂x ∂ y f =
41∣
◁
6. DIFFERENZIAL- UND INTEGRALRECHNUNG MIT MEHREREN
VARIABLEN
6.3 Bemerkung
le spielt.
• Es gilt allgemein, dass die Reihenfolge der partiellen Ableitungen keine Rol-
∂
∂
f (x, y) =
f (x, y)
∂x∂y
∂y∂x
(6.1)
• Die Verallgemeinerung für Funktionen mit mehr als zwei Variablen folgt analog.
6.4 Beispiel
f (x, y, z) = x yz
⇒ ∂ x f = yz
∂ y f = xz
∂z f = x y
Kettenregel
Die Variablen x, y der Funktion f (x, y) hängen von einem Parameter t ab ⇒ x(t), y(t).
Die Ableitung der Funktion f (x(t), y(t)) nach t ist somit gegeben durch
↬
↫
∂ f ∂ f ∂x ∂ f ∂y
=
+
∂t ∂x ∂t ∂y ∂t
∂f
∂f
∆x +
∆y + σ(∆x, ∆y)
∂x
∂y
∂ f ∂x
∂ f ∂y
=
∆t +
∆t
∂x ∂t
∂y ∂t
∆ f ∂ f ∂x ∂ f ∂y
df
⇒
≅ lim
=
+
dt ∆t→ ∆t ∂x ∂t ∂y ∂t
∆ f (x, y) =
6.5 Beispiel
• f (x, y) = xe −y mit x =  + t, y = t 
d
f (x(t), y(t)) = e −y(t) ⋅  − x(t)e −y(t) t 
dt
² ® ´¹¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¸¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¶ ¯
∂f
∂x
dx
dt
∂f
∂y
= [ − t  ( + t)] e −t
42∣

dy
dt
⊸
◁
(6.2)
6. DIFFERENZIAL- UND INTEGRALRECHNUNG MIT MEHREREN
VARIABLEN
• f (x, y) = ∫ dx e −zx
y

∂

f = e −z y
∂y
∂
f =
∂z
y
∫

∂

dx e −zx =
∂z
y
∫

dx − x  e −zx

y=t
z=t
⎡ t
⎤
⎤
⎡ y
⎥
⎥
⎢
d ⎢⎢

 −zx  ⎥
−tx ⎥
−z y 
⎢
⎢ dx e ⎥ = e
⋅ t − ⎢ dx x e ⎥ ⋅ 
⎥
dt ⎢⎢
⎥
⎢
⎥
⎦
⎣
⎣
⎦

◁
∫
∫
6.1 Totales Differential
Wir betrachten die Funktion f (x, y) auf R . Das totale Differential ist eine lineare Abbildung,
die jedem Vektor v⃗ = (v x , v y ) eine reelle Zahl zuordnet.
[d f ] (v⃗) =
∂f
∂f
d
f (x + v x t, y + v y t) =
vx + v y
dt
∂x
∂y
(6.3)
Insbesondere haben wir die speziellen Differentiale
[dx](v⃗) = v x
[d y](v⃗) = v y
und somit können wir schreiben
[d f ] (v⃗) =
∂f
∂f
dx +
dy
∂x
∂y
(6.4)
6.6 Bemerkung
• Das totale Differential wird in der Physik oft als infinitesimale Änderung
von f unter infinitesimalem dx und d y interpretiert.
• Es ist jedoch besser es zu interpretieren, dass für v⃗ = (∆x, ∆y) gilt
∆ f ≅ [d f ](v⃗) =
∂f
∂f
∆x +
∆y
∂x
∂y
Ein Differential A(x, y)dx + B(x, y)d y heißt exakt, wenn die Funktion f (x, y) existiert mit
∂f
∂x
∂f
B(x, y) =
∂y
A(x, y) =
43∣
⊸
6. DIFFERENZIAL- UND INTEGRALRECHNUNG MIT MEHREREN
VARIABLEN
Eine notwendige Bedingung, dass ein Differential exakt ist (und auf topologisch sehr vielen
Gebieten auch hinreichend), ist
∂A(x, y) ∂B(x, y)
=
∂y
∂x
(6.5)
6.7 Beispiel
• y dx + x d y ⇒ f (x, y) = x y + c
• y dx + x d y ⇒ inexakt
• Anwendung finden wir vor allem in der Thermodynamik
dF = −
S
®
dT
°
Entropie Änderung der Temperatur
− p dV ∶ Freie Energie
®
Druck
∂F
∂F
) = −S
(
) = −p
∂T V
∂V T
∂p
∂S
) =( )
∶ Maxwell Relation
⇒(
∂V T
∂T V
⇒(
◁
6.2 Variablen Transformation
Wir betrachten die Funktion f (x , . . . , x n ). Die Variablen x i sind aber ebenfalls Funktionen
von n-anderen Variablen u i :
x i = x i (u , . . . , u n )
aus der Kettenregel folgt somit
n
n
∂x j ∂ f
∂f
∂ f ∂x j
)
=∑
= ∑(
∂u i j= ∂x j ∂u i j= ∂u i ∂x j
6.8 Beispiel (Polarkoordinaten)
x = r ⋅ cos φ
y = r ⋅ sin φ
√
x  − y
y
φ = arctan
x
⇒ r=
44∣
(6.6)
6. DIFFERENZIAL- UND INTEGRALRECHNUNG MIT MEHREREN
VARIABLEN
⇒
∂r
x
= cos φ
=√
∂x
x  + y
−( xy )
∂φ
sin φ
=
y  =−
∂x  + ( x )
r

∂φ
cos φ
x
=
y  =
∂y  + ( x )
r
∂r
= sin φ
∂y
y
r
φ
x
Somit gilt
sin φ
∂φ
r
cos φ
∂ y = sin(φ)∂r −
∂φ
r
∂ x = cos(φ)∂r −
◁
6.3 Mehrdimensionale Integrale
Das bestimmte Integral
b
∫
a
dx f (x)
kann aufgefasst werden als Integral über die eindimensionale Region a ≤ x ≤ b der Funktion
f (x).
a
45∣
b
x
6. DIFFERENZIAL- UND INTEGRALRECHNUNG MIT MEHREREN
VARIABLEN
Mehrdimensionale Integrale erweitern dies nun auf höherdimensionale Regionen:
Das bestimmte Integral von f (x, y) auf der Fläche A ist definiert als
I=
∫
A
dx d y f (x, y).
(6.7)
y
A
x
Die formale Definition folgt analog zum Riemann’schen Integral über den Grenzwert.
N
S = ∑ f (x p , y p )∆A p
(6.8)
p=
y
A
Ap
(x p , y p )
x
Unterteile die Fläche A in N Unterflächen ∆A p p =  . . . N und wähle einen beliebigen Punkt
(x p , y p ) in A p . Falls die Summe S gegen einen eindeutigen Wert konvergiert für ∆A p → ,
existiert das Integral mit
I=
46∣
∫
A
dx d y f (x, y) = lim S
∆A p →
(6.9)
6. DIFFERENZIAL- UND INTEGRALRECHNUNG MIT MEHREREN
VARIABLEN
Der bequemen Weg das Integral zu berechnen ist zuerst das Integral über einen horizontalen
Streifen zu berechnen
⎤
⎡ x (y)
⎥
⎢
⎥
⎢
⎢
dx f (x, y)⎥ d y
⎥
⎢
⎢x (y)
⎥
⎦
⎣
∫
und im zweiten Schritt das Integral über y zu berechnen
I=
d
∫
c
⎛ x (y)
⎞
dy ⎜
dx f (x, y)⎟
⎝x (y)
⎠
∫
y
A
d
a
b
dy
x (y)
x
x (y)
c
6.9 Bemerkung Als Alternative kann auch zuerst das Integral über y berechnet werden und im
zweiten Schritt über x.
y
y (x)
y (x)
dy
d
a
A
b
x
c
6.10 Beispiel
• Die Fläche A sei das Quadrat mit Seitenlänge 1 und f (x, y) = x y 
47∣
⊸
6. DIFFERENZIAL- UND INTEGRALRECHNUNG MIT MEHREREN
VARIABLEN
y

 x
∫
A

∫

dx d y x y =


∫

dy

dx x y =
∫





d y y [ x  ] =
  

∫

d y y =

∫



⎛
dy y
⎝


∫

dx x
⎞
⎠
• Die Fläche A des Dreiecks beschränkt durch die Linien x = , y =  x + y = 
y

x+y=
 x
∫
A
dy dy xy =

=
=
−y

∫


∫



dy y

∫

dx x =
Wir betrachten das Integral auf dem Bereich A
48∣
∫
A
dx d y f (x, y)
∫

−y

d y y ([ x  ] )
 

    −  + 
d y y ( − y) = − + =

  

6.4 Variablen Transformation
I=

◁
6. DIFFERENZIAL- UND INTEGRALRECHNUNG MIT MEHREREN
VARIABLEN
wobei die Variablen x(u, v), y(u, v) ebenfalls Funktionen von den Variablen u, v sind.
⇒ fˆ(u, v) = f (x(u, v), y(u, v))
Im Folgenden wollen wir untersuchen, wie das Integral in den neuen Variablen aussieht.
y
y
(x , y )
b
v = const
C
A
u = const
(u , v )
C′
b
A′
∆v
∆u
x
x
Zuerst müssen wir den Integrationsbereich A in den neuen Integrationsbereich A′ umformen.
D.h., der Bereich A ist beschränkt mit der geschlossenen Kontur C. Der Integrationsbereich A′
in den neuen Variablen ist beschränkt mit der Kontur C ′ :
• (u , v ) ∈ C ′ ⇒ (x (u , v ), y (u , v )) ∈ C
• (u, v) ∈ A′ ⇒ (x(u, v), y(u, v)) ∈ A
Die Integration in den x, y Koordinaten ist der Limes von kleinen Volumenelementen.
y
y
e⃗v
dAuv
∆v
e⃗u
∆u
x
49∣
x
6. DIFFERENZIAL- UND INTEGRALRECHNUNG MIT MEHREREN
VARIABLEN
Daher müssen wir die Fläche dAuv für ein kleines Quadrat ∆u ⋅ ∆v berechnen: dAuv ist ein
Parallelogramm aufgespannt mit
e⃗u = (
e⃗v = (
∂u x(u, v)
)
∂u y(uv, )
∂v x(u, v)
)
∂v y(uv, )
∶ Tangentenvektor an die Linie v = const
∶ Tangentenvektor an die Linie u = const
⇒ dAuv = ∆u ⋅ ∆v ⋅ ∣ e⃗u ∣∣ e⃗v ∣∣ sin φ∣
∂x ∂y ∂x ∂y
∣ ∆u ⋅ ∆v
−
=∣
∂u ∂v ∂v ∂u ´¹¹ ¹ ¹ ¹¸¹ ¹ ¹ ¹ ¶
´¹¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹¸¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¶ du dv
J : Jacobian
Somit folgt aus der Definition des Integrals
I=
∫
A
N
dx d y f (x, y) = lim ∑ f (x p , y p )∆Ap
∆Ap→ p=
N
= lim ∑ f (x(u p , v p ), y(u p , v p )) ∣
∆u∆v→ p=
=
∫
= ∫
A′
A′
du dv f (x(u, v), y(u, v)) ∣
du dv fˆ(u, v)J(u, v)
(6.10)
∂x ∂y ∂x ∂y
∣ ∆u ⋅ ∆v
−
∂u ∂v ∂v ∂u
∂x ∂y ∂x ∂y
∣
−
∂u ∂v ∂v ∂u
mit dem Jacobian
∂y
∂y
∂x
∂x
(u, v) (u, v) − (u, v) (u, v)∣
∂u
∂v
∂v
∂u
J(u, v) = ∣
6.11 Beispiel

∫

dx

=



√
dy √
 − x   − y
[J(φ, ϑ) = cos(φ) cos(ϑ)]
π

π


∫ dφ ∫ dϑ cos φ cos ϑ √ − sin φ√ − cos ϑ

π 
=( )

50∣
∫

(6.11)


◁
6. DIFFERENZIAL- UND INTEGRALRECHNUNG MIT MEHREREN
VARIABLEN
Polar Koordinaten
x = r cos φ
y = r sin φ
y
r
φ
⇒ J(r, φ) = ∣
⇒
∫
A
∂x ∂y ∂x ∂y
∣
−
∂r ∂φ ∂φ ∂r
= ∣ cos(φ)r cos(φ) − sin(φ)(−)r sin(φ)∣ = r
dx d y f (x, y) =
∫ dφ dr r f (r cos(φ), r sin(φ))
= ∫ dφ dr r fˆ(r, φ)
A′
A′
6.12 Beispiel
f (x, y) = e −(x +y )
A ∶= Kreis mit Radius R

51∣
x

(6.12)
6. DIFFERENZIAL- UND INTEGRALRECHNUNG MIT MEHREREN
VARIABLEN
y
R
x
⇒ fˆ(r, φ) = e −r
I=
∫
A
π
=

dx d y e −(x
 +y  )
R
∫ dφ ∫ dr re


−r 
R
=
∫ dφ dr re
A′
= π
R
∫ dr re

−r 
−r 
 

= π [ e −r ] = π ( − e −R )


◁
Als Anwendung können wir jetzt das Integral
f =
∞
∫
dx e −x
−∞

berechnen:
∞
∞
∞
⎛
⎛
⎞
⎞ ⎛
⎞
F =
dx e −x
=
dx e −x
d y e −y
⎝−∞
⎠ ⎝−∞
⎠ ⎝−∞
⎠

∫
=
∞
∫
−∞
⇒F =
dx
∞
∫
−∞
∞
∫
−∞
dy e
dx e −x =

∫
−(x  +y  )
√
∫
=
π
∞
∫ dφ ∫ dr re


−r 
=π
π
Die Verallgemeinerung der Variablen Transformation in höheren Dimensionen ergibt:
f (x , . . . , x n )
52∣
x i (u i , . . . , u j )
6. DIFFERENZIAL- UND INTEGRALRECHNUNG MIT MEHREREN
VARIABLEN
I=
∫ dx . . . , dx
= ∫ du . . . , du

n

n
A
A′
f (x , . . . , x n )
fˆ(u , . . . , u n ) J(u , . . . , u n )
Der Jacobian ist stets durch die Variablentransformationsmatrix gegeben
⎛ ∂u
M=⎜ ⋮
⎝ ∂x
∂x 
∂u n
...
⋮
...
∂x n
∂u  ⎞
⋮ ⎟
∂x n ⎠
∂u n
n × n Einträge,
wobei J = det M ∶ Determinante von M (siehe Lineare Algebra).
In der dritten Dimension lautet er
und
∂x
⎛ ∂u
∂x
M=⎜
⎜ ∂v
∂x
⎝ ∂w
∂y
∂u
∂y
∂v
∂y
∂w
∂z
∂u ⎞
∂z ⎟
∂v ⎟
∂z ⎠
∂w
J = ∂u x(∂v y∂w z − ∂w y∂v z)
− ∂u y(∂v x∂w z − ∂w x∂v z)
+ ∂u z(∂v x∂w y − ∂w x∂v y)
Kugelkoordinaten
x = r cos(φ) sin(ϑ)
y = r sin(φ) cos(ϑ)
z = r cos(ϑ)
√
⇒ r = x  + y + z
53∣
6. DIFFERENZIAL- UND INTEGRALRECHNUNG MIT MEHREREN
VARIABLEN
z
⃗r
ϑ
y
φ
x
Die Fläche r = const beschreibt eine Kugel mit Zentrum (, , ) und Radius r.
• r ∈ [, ∞)
• φ ∈ [, π)
• ϑ ∈ [, π)
I=
∫
A
dx d y dz f (x, y, z) =
∫ dφ d ϑ sin(ϑ) dr r fˆ(r, φ, ϑ)

A′
6.13 Beispiel
Volumen der Kugel: A = {(x, y, z) ∣ x  + y  + z  ≤ R  }
∫
A
dx d y dz  =
=
54∣
π
π
R
∫ dφ ∫ dϑ sin ϑ ∫ dr R

² ´¹¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¸ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¶ ´¹¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹¸¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¶



π
π 
R



πR 

◁
7. VEKTORANALYSIS
7 Vektoranalysis
Wir sind interessiert an Funktionen von Rm → Rn .
• f (x): reelle Funktion
• f (⃗r ): skalares Feld ϕ(⃗r ), E(⃗r )
• f⃗(x): Raumkurve, x⃗(t), v⃗(t)
⃗ ⃗r ), E(
⃗ ⃗r )
• f⃗(⃗r ): Vektorfeld, F(
Ableiten eines Vektors:
⎛ x (t) ⎞ n
⎜ x (t) ⎟
x⃗(t) = ⎜  ⎟ = ∑ x i (t) e⃗i
⎜ ⋮ ⎟ i=
⎝x n (t)⎠
⎛ ẋ (t) ⎞ n
d
⎜ ẋ (t) ⎟
⇒ x⃗(t) = ⎜  ⎟ = ∑ ẋ i (t)e⃗i
⎜ ⋮ ⎟ i=
dt
⎝ẋ n (t)⎠
⎛ A (⃗r ) ⎞ n
A (⃗r ) ⎟
⃗ ⃗r ) = ⎜
⎜  ⎟ = ∑ A i (⃗r )e⃗i
A(
⎜ ⋮ ⎟ i=
⎝A n (⃗r )⎠
⎛ ∂ x A (⃗r ) ⎞ n ∂
∂ ⃗
⇒
A(⃗r ) = ⎜∂ x A (⃗r )⎟ = ∑ A i (⃗r )e⃗i
∂x
⎝∂ x A (⃗r )⎠ i= ∂x
7.1 Bemerkung Mittels Kettenregel ermitteln wir das Verhalten von verschiedenen Punkten
•
•
•
d
⃗
du (ϕ a )
d
⃗
du ( a ⋅
⃗
= ϕ ddua⃗ + ( dϕ
du ) a
⃗ = a⃗ d ⃗b + ( d a⃗ ) b⃗
b)
du
du
d
⃗
du ( a ×
⃗ = ( d a⃗ ) × b⃗ + a⃗ × ( d ⃗b )
b)
du
du
7.2 Beispiel
Kugelkoordinaten
⎛r cos(φ) sin(ϑ)⎞
⃗r (r, φ, ϑ) = ⎜ r sin(φ) sin(ϑ) ⎟
⎝ r cos(ϑ) ⎠
55∣
⊸
7. VEKTORANALYSIS
cos(φ) sin(ϑ)⎞
d ⃗r ⎛
= ⎜ sin(φ) sin(ϑ) ⎟
dr ⎝
cos(ϑ) ⎠
⇒ e⃗r =
−r sin(φ) sin(ϑ)⎞
d ⃗r ⎛
= ⎜ r cos(φ) sin(ϑ) ⎟
dφ ⎝
⎠

e⃗φ =
r cos(φ) cos(ϑ)⎞
d ⃗r ⎛
= ⎜ r sin(φ) cos(ϑ) ⎟
e⃗ϑ =
dϑ ⎝
−r sin(ϑ) ⎠
⇒∣ e⃗φ ∣ = ∣ e⃗ϑ ∣ = r
∣ e⃗r ∣ = 
e⃗r ⋅ e⃗φ = e⃗r ⋅ e⃗ϑ = e⃗φ ⋅ e⃗ϑ = 
◁
7.1 Linien- und Oberflächenintegrale
Ein Linienintegral ist gegeben durch Ausdrücke von der Form
I=
⃗ y, z),
d ⃗r A(x,
∫
C
wobei C eine Kurve im Raum darstellt. Die Kurve ist parametrisiert durch einen Parameter t.
t ↦ ⃗r (t) ∈ C
[t , t ] → R
mit ⃗r (t ) = ⃗r A , ⃗r (t ) = ⃗r B . Die Berechnung des Linienintegrals erfolgt dann mittels
d ⃗r =
⇒I=
d
⃗r (t) ⋅ dt
dr
t
∫
t
dt [
d
⃗ ⃗r (t))
⃗r (t)] ⋅ A(
dt
7.3 Beispiel
⃗ ⃗r )
Die Arbeit entlang eines Weges ⃗r (t) im Kraftfeld F(
W=
56∣
∫
C
⃗ ⃗r )
d ⃗r F(
◁
7. VEKTORANALYSIS
7.4 Bemerkung Das Integral ist unabhängig von der Parametrisierung der Kurve C:
t = f (s) ⇒ ⃗r ( f (s)) ≡ ⃗r̂(s)
⇒I=
∫
C
⃗ ⃗r ) =
d ⃗r A(
dt= f ′ (s)ds,t= f (s)
=
t
∫
t
s
∫
s
dt [
d ⃗r ⃗
] A(⃗r (t))
dt
d ⃗r ⃗
] A(⃗r (t))
dt
´¹¹ ¹ ¹ ¹ ¸ ¹ ¹ ¹ ¹ ¶
ds f ′ [
d⃗
r
dt
⊸
7.5 Beispiel
F⃗ =
x

−y
( )

+y x
cos(φ)
⃗r (φ) = R (
)
sin(φ)
d
− sin(φ)
⃗r = R (
)
cos(φ)
dφ
⇒I=
=
π
∫

π
∫

R
− sin(φ) − sin(φ)
)(
)
dφ R (

cos(φ)
cos(φ) (cos (φ) + sin (φ))R 
dφ = π
◁
7.6 Bemerkung Weitere Linienintegrale
∫
C
d ⃗r f (⃗r ) =
t
t
Bogenlänge
∫
⇒
C
∫
C
∫
C
57∣
ds =
t
∫
t
∫
dt f (⃗r (t))
dt ∣
d ⃗r
: Vektorgröße
dt
d ⃗r (t)
∣
dt
ds ϕ(⃗r ) : Skalare Größe
⃗ ⃗r ) : Vektorgröße
ds F(
⊸
7. VEKTORANALYSIS
7.7 Beispiel (Länge einer Geraden)
⃗r (t) = (
∫
C
t
)
sin(φ)t
ds =

∫
dt

√
≤t≤
 + sin(φ) =
√
 + sin (φ)
◁
7.8 Beispiel (Umfang eines Kreises)
cos(φ)
⃗r (φ) = R (
)
sin(φ)
L=
∫
C
ds =
π
∫

√
dφ R sin (φ) + cos (φ) = R ⋅ π
◁
Eine Fläche im R können wir darstellen mit Hilfe von zwei Parametern.
⎛x(u, v)⎞
⃗r (u, v) = ⎜ y(u, v)⎟
⎝ z(u, v) ⎠
7.9 Beispiel
Eine Ebene aufgespannt durch a⃗ und b⃗ durch den Punkt ⃗r hat die Form
⃗
⃗r (u, v) = ⃗r + u a⃗ + v b.
Eine Kugel mit dem Radius R
⎛cos(φ) sin(ϑ)⎞
⃗r (φ, ϑ) = ⎜ sin(φ) sin(ϑ) ⎟ .
⎝ cos(ϑ) ⎠
◁
Die Vektoren
∂
⃗r (u, v)
∂u
∂
e⃗v = ⃗r (u, v)
∂v
e⃗u =
beschreiben die Tangentenvektoren an die Linien auf der Fläche mit v = const und u = const.
Das Flächendifferential dA in einem Punkt hat somit die Form
dA = ∣ e⃗u (u, v) × e⃗v (u, v)∣ = ∣
du dv
58∣
d ⃗r
d ⃗r
(u, v) × (u, v)∣ du dv
du
dv
7. VEKTORANALYSIS
Somit ist der Flächeninhalt einer Fläche im R gegeben durch
FB =
∫∫
B
du dv ∣
7.10 Beispiel
Darstellung der Fläche
d
d
⃗r (u, v) × ⃗r (u, v)∣
du
dv
⎛−⎞
⎛−⎞
⎛⎞
⃗r (u, v) = ⎜⎟ + u ⎜  ⎟ + v ⎜  ⎟
⎝⎠
⎝⎠
⎝⎠
⎛−⎞
⇒ e⃗u = ⎜  ⎟
⎝⎠
⎛−⎞
e⃗v = ⎜  ⎟
⎝⎠
RRR  RRR
RR⎛ ⎞RR √
d ⃗r
d ⃗r
⇒ ∣ (u, v) × (u, v)∣ = RRRR⎜⎟RRRR = 
RRR⎝ ⎠RRR
du
dv
RR  RR
FB =

∫
−v
dv

∫

√
du  =

∫

√
dv ( − v) =
√


◁
Bei einem Oberflächenintegral wird jetzt jeder Punkt auf der Oberfläche mit einer Funktion
gewichtet.
∫
S
ds ϕ(⃗r ) =
∫
B
du dv ϕ(⃗r (u, v)) ∣
d ⃗r
d ⃗r
(u, v) × (u, v)∣ : Skalares Integral
du
dv
Es ist jedoch auch möglich vektorielle Oberflächenintegrale zu definieren. Insbesondere ist das
Oberflächenelement
d A⃗ =
d ⃗r d ⃗r
× dudv = n⃗dA
du dv
eine Vektorgröße, wobei der Einheitsvektor n⃗ senkrecht auf der Oberfläche steht.
n⃗ =
d⃗r
du
d⃗r
∣ du
×
×
d⃗r
dv
d⃗r
∣
dv
Die Richtung von n⃗ hängt von der Orientierung der Oberfläche ab. Bei geschlossenen Flächen,
wie z.B. einer Kugel, wird die Orientierung normalerweise so gewählt, dass n⃗ nach außen zeigt.
59∣
7. VEKTORANALYSIS
7.11 Beispiel (Kugel)
⎛cos(φ) sin(ϑ)⎞
⃗r (ϑ, φ) = ⎜ sin(φ) sin(ϑ) ⎟
⎝ cos(ϑ) ⎠
− sin(φ) sin(ϑ)⎞
∂⃗r ⎛
e⃗φ =
= ⎜ cos(φ) sin(ϑ) ⎟
∂φ ⎝
⎠

e⃗ϑ =
cos(φ) cos(ϑ)⎞
∂⃗r ⎛
= ⎜ sin(φ) cos(ϑ) ⎟
∂ϑ ⎝
− sin(ϑ) ⎠

⎛cos(φ) sin (ϑ)⎞
⎛cos(φ) sin(ϑ)⎞

⇒ e⃗ϑ × e⃗φ = ⎜ sin(φ) sin (ϑ) ⎟ = sin(ϑ) ⎜ sin(φ) sin(ϑ) ⎟
⎝ cos(ϑ) sin(ϑ) ⎠
⎝ sin(ϑ) ⎠
∣⃗
e ϑ × e⃗φ ∣ = ∣ sin(ϑ)∣
⎛cos(φ) sin(ϑ)⎞
⇒n⃗ = ⎜ sin(φ) sin(ϑ) ⎟ = ⃗r (ϑ, φ)
⎝ cos(ϑ) ⎠
◁
Wir finden jetzt die weiteren Oberflächenintegrale
⃗ ⃗r ) =
⃗ v) ⋅ ( ∂⃗r × ∂⃗r ) : skalare Größe
d ⃗s F(
du dv F(u,
∂u ∂v
∫
S
∫
S
∫
S
∫
d ⃗s ϕ(⃗r ) =
B
∫
B
⃗ ⃗r ) =
d ⃗s × F(
du dv ϕ(u, v) (
∫
B
du dv (
∂⃗r ∂⃗r
× ) : Vektorgröße
∂u ∂v
∂⃗r ∂⃗r
⃗ v) : Vektorgröße
× ) × F(u,
∂u ∂v
7.12 Beispiel
• Der Tragflügel eines Flugzeugs erzeugt durch seine Form und den Luftstrom verschiedene Drücke auf der Unter- und Oberseite. Bezeichnen wir mit p(⃗r ) das erzeugte Druckfeld, so ist der Auftrieb des Flugzeugs gegeben durch
F⃗ =
∫
S
d ⃗s p(⃗r ) : wobei S die Oberfläche der Tragflächen ist.
• Eine Flüssigkeit fließt mit einem Geschwindigkeitsfeld v⃗(⃗r ). D.h. jedem Punkt ⃗r ordnen
wir die lokale Geschwindigkeit der Flüssigkeit zu. Zudem hat sie eine Massendichte ρ(⃗r ).
Die lokale Masse, die pro Zeiteinheit durch die Oberfläche fließt, ist gegeben durch
M=
60∣
∫
S
d ⃗s ⋅ v⃗(⃗r )ρ(⃗r ).
◁
7. VEKTORANALYSIS
7.2 Ableitungsoperatoren
7.13 Definition (Gradient)
Ein Skalarfeld ϕ(⃗r ) ordnet jedem Punkt ⃗r im Raum eine reelle Zahl zu. Der Gradient des Skalarfeldes ist definiert als
∂ϕ
∂ϕ
∂ϕ
e⃗x +
e⃗y +
e⃗z .
∇ϕ(⃗r ) =
∂x
∂y
∂z
Somit ist ∇ϕ(⃗r ) ein Vektorfeld. In seinen Komponenten hat es die Form (in der natürlichen
Basis)
⎛∂ x ϕ⎞
∇ϕ(⃗r ) = ⎜∂ y ϕ⎟ .
⎝ ∂z ϕ ⎠
⋊
Das Verhalten des Skalarfeldes von einem Punkt ⃗r lässt sich mit dem Gradienten sehr einfach
beschreiben.
⃗r (s) = ⃗r + s a⃗
∂ϕ(⃗r (s))
= a⃗ ⋅ ∇ϕ(⃗r ) : Richtungsableitung
⇒
ds
Der Gradient zeigt somit in die Richtung der stärksten Zunahme des Skalarfeldes.
Die Gleichung ϕ(⃗r ) = const bestimmt eine Fläche im R , wobei der Gradient immer senkrecht
auf dieser Fläche steht.
7.14 Definition (Ableitungsoperator)
Der Name Ableitungsoperator kommt von der Eigenschaft, dass jedem Skalarfeld ein Vektorfeld
zugeordnet ist. Daher schreibt man auch oft
∇ = ∂ x e⃗x + ∂ y e⃗y + ∂z e⃗z , : Nabla
wobei für jedes Skalarfeld gilt
∇ϕ(⃗r ) = (∂ x e⃗x + ∂ y e⃗y + ∂z e⃗z )ϕ(⃗r ) = ∂ x ϕ e⃗x + ∂ y ϕ e⃗y + ∂z ϕ e⃗z
7.15 Beispiel
ϕ(x, y, z) = x yz
ϕ(x, y, z) = MmG √

x  + y + z
⇒Fg = −∇ϕ = MmG √
61∣
⎛ yz ⎞
∇ϕ = ⎜ xz ⎟
⎝ yx ⎠
x
+

y
+
⋊
: Gravitationspotential

z 
⎛x ⎞
⎜ y ⎟ : Gravitationskraft
⎝z ⎠
◁
7. VEKTORANALYSIS
7.16 Definition (Divergenz)
⃗ ⃗r ), das jedem Punkt ⃗r einen Vektor zuordnet.
Betrachte ein Vektorfeld A(
⎛Ax ⎞
⃗
Die Divergenz von A = ⎜ A y ⎟ ist definiert als
⎝ Az ⎠
∂A x ∂A y ∂Az
+
+
.
div A⃗ ≡ ∇ ⋅ A⃗ =
∂x
∂y
∂z
Die Divergenz eines Vektorfeldes beschreibt physikalisch Quellterme.
⋊
⃗
• Die Divergenz eines E-Feldes
verschwindet, wenn keine Ladungen vorhanden sind: div E⃗ =
.
• Für das Geschwindigkeitsfeld v⃗(⃗r ) und die Massendichte ρ(⃗r ) einer fließenden Flüssigkeit
gilt div [ρ(⃗r )v⃗(⃗r )] = , wenn keine Quelle/Abfluss vorhanden ist.
7.17 Beispiel
⎛x ⎞
⃗
A(x, y, z) = ⎜ y ⎟ ⇒ div A⃗ = 
⎝z ⎠
⎛ y⎞
⃗
A(x, y, z) = ⎜ z ⎟ ⇒ div A⃗ = 
⎝x ⎠
◁
7.18 Definition (Laplace Operator)
Die Kombination von Gradient und Divergenz ergibt den Laplace Operator für ein Skalarfeld
ϕ(⃗r ).
∆ϕ(⃗r ) = div ∇ϕ(⃗r ) = ∂x ϕ + ∂y ϕ + ∂z ϕ
7.19 Beispiel
Gravitationspotential ϕ(⃗r ) = MmG √x  +y  +z 
⋊
⇒ ∆ϕ(⃗r ) =  für ⃗r ≠ 
Da aber bei ⃗r =  eine Quelle/Masse sitzt, die ein Gravitationsfeld erzeugt, sollte also div ∇ϕ(⃗r )
bei ⃗r =  nicht verschwinden. In der Tat gilt:
∆ϕ(⃗r ) = πMmG δ(x)δ(y)δ(z),
´¹¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¸ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹¶
δ(⃗r )
mit der bekannten δ-Funktion.
62∣
◁
7. VEKTORANALYSIS
7.20 Definition (Rotation)
⃗ ⃗r ) mittels
Die Rotation ist definiert für ein Vektorfeld A(
⃗ ⃗r ) = ∇ × A(
⃗ ⃗r )
rot A(
= e⃗x (∂ y Az − ∂z A y ) + e⃗y (∂z A x − ∂ x Az ) + e⃗z (∂ x A y − ∂ y A x )
⎛ ∂ y Az − ∂z A y ⎞
= ⎜ ∂z Ax − ∂x Az ⎟
⎝∂ x A y − ∂ y A x ⎠
und ist somit wieder ein Vektorfeld.
Die physikalische Interpretation ist, dass die Rotation Wirbel/Drehungen beschreibt:
⋊
⎛⎞
⃗
Betrachte das Kraftfeld F(x, y, z) = ⎜x ⎟.
⎝⎠
Ein Objekt das wir in einem solchen Feld platzieren, beginnt sich um seine eigenen Achse zu
drehen.
⎛  ⎞ ⎛⎞
⃗
rot F = ⎜  ⎟ = ⎜⎟ : Drehachse des Objekts
⎝∂ x F y ⎠ ⎝  ⎠
7.21 Beispiel
Maxwell Gleichung Elektrodynamik
E⃗ ∶ elektrisches Feld,
ρ ∶ Ladungsdichte,
div E⃗ = πρ(⃗r )
div B⃗ = πρ(⃗r )
Quantenmechanik des Wasserstoffatoms
iħ∂ t ψ(⃗r , t) =
Navier-Stokes
ρ(
63∣
B⃗ ∶ magnetisches Feld
j ∶ Ladungsstrom

rot E⃗ + ∂ t B⃗ = 
L

rot B⃗ + ∂ t E⃗ = j(⃗r
L
l
ħ
∆ψ(⃗r , t) + ψ(⃗r , t)
m
∣⃗r ∣
d v⃗
+ v⃗ ⋅ ∇ ⋅ v⃗) = −∇p + µ∆v⃗
dt
◁
7. VEKTORANALYSIS
7.22 Bemerkung Für ein Skalarfeld ϕ(⃗r ) gilt
↬
↫
rot ∇ϕ(⃗r ) = 
⎛∂ x ϕ⎞ ⎛ ∂ y ∂z ϕ − ∂z ∂ y ϕ ⎞ ⎛⎞
rot ⎜∂ y ϕ⎟ = ⎜ ∂z ∂ x ϕ − ∂ x ∂z ϕ ⎟ = ⎜⎟
⎝ ∂z ϕ ⎠ ⎝∂ x ∂ y ϕ − ∂ y ∂ x ϕ⎠ ⎝⎠
⃗ ⃗r ) gilt
Für ein Vektorfeld A(
⃗ ⃗r ) = 
div rot A(
Zudem sind folgende Relationen einfach zu beweisen
⊸
⃗ = (∇ϕ) ⋅ A⃗ + ∇ ⋅ A⃗
∇ ⋅ (ϕ A)
⃗ = (∇ϕ) × A⃗ + ϕ(∇ × A)
⃗
∇ × (ϕ A)
⃗ = B⃗ ⋅ (∇ × A)
⃗ − A⃗ ⋅ (∇ × B)
⃗
∇ ⋅ (A⃗ × B)
⃗ = A(∇
⃗ ⋅ B)
⃗ − B(∇
⃗ ⋅ A)
⃗ + (B⃗ ⋅ ∇)A⃗ − (A⃗ ⋅ ∇)B⃗
∇ × (A⃗ × B)
⃗ = ∇(∇ ⋅ A)
⃗ − ∆ A⃗
∇ × (∇ × A)
7.3 Gauß’scher Integralsatz
Die Integralsätze stellen einen Zusammenhang her zwischen den Ableitungsoperatoren und
den Oberflächenintegralen. Der Gauß’sche Integralsatz besagt
∫
V
⃗ ⃗r ) =
d ⃗r div A(
∫
S=∂V
⃗ ⃗r ) =
d ⃗s ⋅ A(
∫
S=∂V
⃗ ⃗r ),
ds n⃗ ⋅ A(
wobei ∂V die Oberfläche des Volumens V beschreibt und n⃗ senkrecht auf der Oberfläche steht
und nach außen zeigt.
64∣
7. VEKTORANALYSIS
↬ Für einen Quader mit dem Volumen V gilt
dV div A⃗
∫
V
=
=
=
a
b
∫
dx

b
∫
dy
∫
dz A x (a, y, z) −
∫
dx

c
∫

a
b
∫
dx

∫

d ⃗s ⋅ A⃗
∫
∂V =S
dz [∂ x A x + ∂ y A y + ∂z Az ]
∫


a
+
dy
c

+
∫

c
b
c
∫
dy

dz A y (x, b, z) −
d y Az (x, y, c) −
a
∫
dx

∫
c
∫

a

dz A x (, y, z)
∫

b
dx
∫

dz A y (x, , z)
d y Az (x, y, )
Für ein allgemeines Volumen folgt der Satz durch Zerlegen des Volumens in kleine Quader und
mittels einem Grenzwert. ↫
7.23 Bemerkung Falls das umschlossene Gebiet Löcher aufweist, so müssen diese Löcher bei der
Bestimmung des Randes berücksichtigt werden.
⊸
7.24 Beispiel
Betrachte das Vektorfeld
⎛x ⎞
⃗
⃗
A = r = ⎜ y⎟ ,
⎝z ⎠
⇒ div A⃗ = 
mit dem Volumen V einer Kugel mit Radius R.
⇒
∫
V
∫
π
d ⃗r div A⃗ =  R  = πR 

S=∂V
ds n⃗ ⋅ ⃗r =
π
π
∫

dφ
∫

d ϑ sin(θ) ⋅ R  = πR 
Kontinuitätsgleichung Die Änderung der Teilchenzahl von einer Flüssigkeit im Volumen V hat
die Form
∂ t Nv (t) = ∂ t
65∣
∫
V
d ⃗r φ(⃗r )t =
∫
V
d ⃗r ∂ t φ(⃗r , t),
φ(⃗r , t) : Teilchendichte
7. VEKTORANALYSIS
Teilchenfluss aus dem Volumen: ∫ d ⃗r ⋅ φ(⃗r , t)v⃗(⃗r , t)
∂V =S
´¹¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¸ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹¶
j(⃗r ,t)∶ Teilchenstrom
⇒ ∂ t Nv (t) =
d ⃗r ∂ t φ(⃗r , t) = −
∫
V
=−
∫
V
∫
∂V =S
d ⃗s ⃗j(⃗r , t)
d ⃗r div j(⃗r , t) ∶ gilt für alle Volumen V
⇒ ∂ t φ(⃗r , t) + div j(⃗r , t) = 
◁
7.4 Integralsatz von Stokes
Der Satz von Stokes verbindet Oberflächenintegrale mit Linienintegralen entlang der Begren⃗ ⃗r ) gilt
zungslinie der Oberfläche. Für ein Vektorfeld A(
∫
S
⃗ ⃗r )) =
d ⃗s ⋅ (rot A(
∫
C=∂S
⃗ ⃗r ).
d ⃗r ⋅ A(
Dabei bildet der Normalenvektor n⃗ auf der Oberfläche mit der Umlaufrichtung der Linie C
eine rechtshändige Schraube.
7.25 Bemerkung Die Fläche soll orientierbar sein, der Satz ist nicht anwendbar auf ein Möbiusband.⊸
Für ein Vektorfeld mit rot A⃗ =  gilt somit, dass alle geschlossenen Linienintegrale verschwinden.
∫
C
⃗ ⃗r ) = 
d ⃗r A(
⇒ man kann jedoch nun zeigen, dass somit ein Skalarfeld ϕ existiert mit
⃗ ⃗r ) = ∇ϕ(⃗r ).
A(
7.5 Anwendung: Coulomb Potential
Eine homogen gefüllte Kugel mit Masse M erzeugt ein Gravitationspotential
ϕ(⃗r ) =
66∣
α
∣r∣
∶ α = MmG
∶ ∣r∣ > R Radius der Kugel
π 
∶M=
R ρ

7. VEKTORANALYSIS
Mittels dem Gradienten erzeugt dies das Gravitationsfeld
⃗ ⃗r ) = −∇ϕ(⃗r ) = −α
F(
⃗r
.
∣r∣
⃗ ⃗r ) =  für ⃗r ≠ . Es bleibt somit die Frage, was bei ⃗r =  passiert. AlWeiter gilt, dass div F(
lerdings macht das Resultat keinen Sinn für ∣r∣ < R, da sich innerhalb der Kugel das Potential
verändert. Der Satz von Gauß besagt wiederum für S eine Kugel mit Radius > R
∫
S
⃗ ⃗r ) =
d ⃗s ⋅ F(
=
π
π
∫

π
∫

∫
dφ

π
dφ
=
∫

∫
Satz von Gauß
dϑ sin(ϑ)α ⋅
⃗r ⃗r
⋅
⋅ ∣r∣
∣r∣ ∣r∣
d ϑ sin(ϑ)α = πα ∶ unabhängig von L
⃗ ⃗r ),
d ⃗r div F(
V
also muss die div F⃗ innerhalb des massiven Körpers gerade so sein, dass sich die Konstante πα
ergibt.
Der Körper hat eine homogene Massendichte und daher lässt sich das Potential schreiben
ϕ(⃗r ) =
∫
V
d ⃗r
α

πR  ∣r − r ′ ∣
Für ∣r∣ > R ergibt dies ϕ(⃗r ) =
⎧
⎪
⎪ α −
ϕ(⃗r ) = ⎨ α R
⎪
⎪
⎩ ∣r∣

α ∣r∣
 R
α
∣r∣ ,
aber innerhalb des Körpers wird das Potential zu
∣r∣ < R
∣r∣ > R
und das Gravitationsfeld wird zu
⎧
⃗r
⎪
⎪α ∣R  ∣
⃗
⃗
⃗
F(r ) = −∇ϕ(r ) = ⎨ ⃗r
⎪
⎪
⎩α ∣r∣
und die Divergenz
⎧
⎪
⎪ α
⃗
div F(⃗r ) = ⎨ R
⎪
⎪
⎩
∣r∣ < R
∣r∣ > R
∣r∣ < R
∣r∣ > R
Der Satz von Gauß ist somit erfüllt für den realen Fall einer homogenen Kugel.
Um jetzt das Verhalten einer reinen Punktladung zu untersuchen, lassen wir den Radius der
Kugel gegen Null gehen, behalten die Masse aber konstant.
67∣
7. VEKTORANALYSIS
⃗ ⃗r ) aber gegen eine -dimensionale δ-Funktion
Im Limes R →  konvergiert div F(
⃗ ⃗r ) → πδ ⃗r
div F(
R→
⃗ ⃗r ) = π unabhängig von R und für R →  ist alles Gewicht in einer kleinen Kugel
↬ ∫ d ⃗r div F(
um den Ursprung konzentriert. ↫
Somit gilt für das Potential einer punktförmigen Masse
α
⃗ ⃗r ) = α ⃗r
F(
∣⃗r ∣
∣r∣
∆ϕ(⃗r ) = −παδ(⃗r )
ϕ(⃗r ) =
7.26 Bemerkung In der Elektrostatik hat das Potential eines geladenen Punktteilchens (Elektron/Proton)
ebenfalls das Potential ϕ(⃗r ) ∼ ∣⃗r∣ . Daher der Name Coulomb Potential.
⊸
68∣
8. KRUMMLINIGE KOORDINATEN
8 Krummlinige Koordinaten
Die drei häufigsten Koordinatensysteme sind
x, y, z ∶ Kartesische Koordinaten
r, φ, z ∶ Zylinder Koordinaten
r, φ, ϑ ∶ Kugel Koordinaten
Eine gemeinsame Eigenschaft dieser Systeme ist, dass sie orthogonal sind und, dass der LaplaceOperator separiert. (siehe später)
Die Koordinaten Transformation hat im Allgemeinen die Form
x = x (u , u , u )
x = x (u , u , u )
x = x (u , u , u )
⎛ x ⎞
⃗r (u , u , u ) = ⎜x ⎟ .
⎝x ⎠
Die Tangentenvektoren an die Koordinatenlinien sind definiert als
 ∂⃗r
T⃗i ≡ e⃗u i =
h i ∂u i
mit h i = ∣
∂⃗r
∣
∂u i
Wir sind interessiert an orthogonalen Koordinatensystemen mit
⎧
⎪
⎪ i ≠ j
e⃗u i ⋅ e⃗u j = δ i j = ⎨
⎪
⎪
⎩ i = j
Somit bilden in jedem Punkt ⃗r die Vektoren e⃗u i eien Orthonormierte Basis. Die Vektoren e⃗u i
hängen somit explizit vom Raumpunkt ⃗r ab.
8.1 Bemerkung Wir können auch schreiben
e⃗u = e⃗u × e⃗u
Ein Skalarfeld ϕ(⃗r ) können wir einfach in den neuen Koordinaten ausdrücken
ϕ(u , u , u ) = ϕ(⃗r (u , u , u )).
⃗ ⃗r ) müssen wir zusätzlich die neue Basis e⃗u berücksichtigen.
Für ein Vektorfeld A(
i
⃗ ⃗r ) = ∑ e⃗u Au (u , u , u ).
A(
i
i

i=
Au i erhalten wir mittels dem Skalarprodukt
Au i = A⃗ ⋅ e⃗u i .
69∣
⊸
8. KRUMMLINIGE KOORDINATEN
8.2 Bemerkung In den krummlinigen Koordinaten sind jetzt Au i und e⃗u i von u , u , u abhängig.

∂Au i
∂ e⃗u i
]
⇒ ∂u j A⃗ = ∑ [
+ Au i
∂u j
∂u j
i=
8.3 Beispiel
Geschwindigkeitsvektor v⃗ in Zylinder-Koordinaten
v⃗(t) =
d
d
⃗r (t) =
(r e⃗r + z e⃗z ) = ṙ e⃗r + r e⃗˙r + ż e⃗z + z e⃗˙z
dt
dt
Im Folgenden wollen wir untersuchen, wie sich die Ableitungsoperatoren transformieren.
⊸
◁
8.4 Definition (Gradient)
Die Komponente von ∇ϕ in e⃗u i ist
(∇ϕ)u i = ∇ϕ ⋅ e⃗u i = ∇ϕ ⋅
  ∂x j ∂ϕ
 ∂⃗r
=
∑
hu i ∂u i hu i j= ∂u i ∂x j

 ∂ϕ
∂u i ϕ(⃗r (u , u , u )) =
hu i
hu i ∂u i
 ∂ϕ
⇒ ∇ϕ = ∑ e⃗u i
h i ∂u i
i
=
⋊
8.5 Definition (Divergenz)
Für die Divergenz in krumlinigen Koordianten gilt
⃗  , u , u ) =
div A(u

∂
∂
[
(hu hu Au ) +
(hu hu Au )
hu hu hu ∂u
∂u
∂
(hu hu Au ) ]
+
∂u
↬ Betrachte den Anteil e⃗u i Au
∇ ⋅ (e⃗u Au ) = ∇ ⋅ ((e⃗u × e⃗u )Au )
= ∇ ⋅ (hu hu Au (∇u × ∇u ))
= ∇(hu hu Au ) ⋅ (∇u × ∇u )
+ hu hu Au ∇ ⋅ (∇u × ∇u )

e⃗u ⋅ ∇(hu hu Au )
=
hu hu 
∂

=
(hu hu Au )
hu hu hu ∂u
und analog für die anderen Komponenten. ↫
70∣
⋊
8. KRUMMLINIGE KOORDINATEN
8.6 Definition (Laplace Operator)
Als wichtige Anwendung erhalten wir den Laplace Operator in krummlinigen Koordinaten
∇ϕ(u , u , u ) =

∂ hu hu ∂ϕ
∂ hu hu ∂ϕ
[
(
)+
(
)
hu hu hu ∂u
hu ∂u
∂u
hu ∂u
+
∂ hu hu ∂ϕ
(
)]
∂u
hu ∂u
⋊
8.7 Definition (Rotaion)
Zur Vollständigkeit noch die Rotaion
⃗  , u , u ) =
rot A(u
∂
∂

(hu Au ) −
(hu Au )]
e⃗u [
hu hu
∂u
∂u

∂
∂
(hu Au ) −
(hu Au )]
+
e⃗u [
hu hu
∂u
∂u
∂
∂

(hu Au ) −
(hu Au )]
e⃗u [
+
hu hu
∂u
∂u
8.1 Zylinderkoordinaten
Wir haben die Transformation
⎛x ⎞ ⎛r cos(φ)⎞
⃗r = ⎜ y ⎟ = ⎜ r sin(φ) ⎟
⎝z ⎠ ⎝ z ⎠
mit  ≤ r < ∞,  ≤ ϕ < π, −∞ < z < ∞
⎛cos(φ)⎞
e⃗r = ⎜ sin(φ) ⎟
⎝  ⎠
⎛− sin(φ)⎞
e⃗φ = ⎜ cos(φ) ⎟
⎝  ⎠
⎛⎞
e⃗z = ⎜⎟
⎝⎠
71∣
hr = 
hφ = r
hz = 
⋊
8. KRUMMLINIGE KOORDINATEN
∇ϕ = e⃗r
∫
∂
 ∂
∂
ϕ + e⃗φ ϕ + e⃗z ϕ
∂r
r ∂φ
∂z
 

∆ϕ = [ ∂r r∂r +  ∂ φ + ∂z ] ϕ
r
r


= ∂r ϕ + ∂r ϕ +  ∂φ ϕ + ∂z ϕ
r
r
dr  =
∫
dφ
∫
dr r
∫
dz
8.2 Kugelkoordinaten
⎛x ⎞ ⎛r cos(φ) sin(ϑ)⎞
⃗r = ⎜ y ⎟ = ⎜ r sin(φ) sin(ϑ) ⎟
⎝ z ⎠ ⎝ r cos(ϑ) ⎠
mit  ≤ r < ∞,  ≤ ϑ ≤ π,  ≤ φ < π.
⎛cos(φ) sin(ϑ)⎞
e⃗r = ⎜ sin(φ) sin(ϑ) ⎟ ,
⎝ cos(ϑ) ⎠
hr = 
⎛cos(φ) cos(ϑ)⎞
e⃗ϑ = ⎜ sin(φ) cos(ϑ) ⎟ ,
⎝ − sin(ϑ) ⎠
⎛− sin(φ)⎞
e⃗φ = ⎜ cos(φ) ⎟ ,
⎝  ⎠
hϑ = r
h φ = r sin(ϑ)


e⃗φ ∂ φ ϕ]
∇ϕ = [ e⃗r ∂r ϕ + e⃗ϑ ∂ ϑ ϕ +
r
r sin(ϑ)



∂φ ] ϕ
∆ϕ = [  ∂r (r  ∂r ) + 
∂ ϑ (sin(ϑ)∂ ϑ ) +  
r
r sin(ϑ)
r sin (ϑ)
∫
72∣
d ⃗r =
∫
dr r 
∫
d ϑ sin(ϑ)
∫
dφ
9. FOURIERREIHE UND FOURIERTRANSFORMATION
9 Fourierreihe und Fouriertransformation
9.1 Fourierreihe
Im Folgenden sind wir an periodischen Funktionen f (x) interessiert, mit Periode L, d.h.
f (x + L) = f (x)
Insbesondere dürfen die Funktionen auch komplexwertig sein, und sollen die Dirichlet Bedingung erfüllen.
1. ∣ f (x)∣ ist integrierbar
2. f (x) ist stückweise stetig
3. f (x) hat endlich viele Extrema
4. f (x) = lim  [ f (x + ε) + f (x − ε)]
ε→
Ein spezielles Set von solchen Funktionen ist
f n (x) = e i k n
kn =
x
Insbesondere gilt

L
L
∫

dx
f n (x) f m∗ (x)
πn
,
L

=
L
n ∈ Z.
L
∫
dx e i
π
L

x(n−m)
= δ n,m .
9.1 Definition (Fourierkoeffizienten)
Die Fourierkoeffizienten einer Funktion f (x) sind definiert als

fˆ(n) =
L
L
∫e

−i k n x
f (x) ≡ c n .
9.2 Definition (Fourierreihe)
Die Fourierreihe hat somit die Form
⋊
∞
∑ fˆ(n)e i k n x ,
n=−∞
und es gilt, dass diese Reihe konvergiert und die Funktion identisch zu f (x) ist, d.h. wir können
f (x) darstellen als
∞
f (x) = ∑ fˆ(n)e i k n
n=−∞
L

fˆ(n) =
L
∫

x
kn =
dx e −i k n x f (x).
πn
L
Somit können wir jede Funktion in elementare Schwingungen zerlegen.
73∣
⋊
9. FOURIERREIHE UND FOURIERTRANSFORMATION
9.3 Bemerkung e ikx = cos(kx) + i sin(kx) und somit haben wir die Funktion in sin und cos zerlegt.
⊸
9.4 Bemerkung Alternative Form der Fourierreihe
∞
∞
f (x) = ∑ fˆ(n)e ik n x = ∑ fˆ(n) cos(k n x) + i fˆ(n) sin(k n x)
n=−∞
n=−∞
∞
∞
= fˆ() + ∑ ( fˆ(n) + fˆ(−n)) cos(k n x) + i ∑ ( fˆ(n) − fˆ(−n)) sin(k n x)
n= ´¹¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¸ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¶
n= ´¹¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¸ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¶
±
a


=
bn
∞
a
+ ∑ a n cos(k n x) + ∑ b n sin(k n x)
 n=
n=
L

mit a n =
L

bn =
L
9.5 Bemerkung
an
∞
∫

L
∫

dx cos(k n x) f (x)
dx sin(k n x) f (x)
⊸
• Falls f (x) reell ist, so gilt fˆ(n) = fˆ∗ (−n) (a n , b n ∈ R)
• Falls f (x) symmetrisch ist, d.h. f (x) = f (−x), so gilt fˆ(n) = fˆ(−n) (b n = )
• Falls f (x) symmetrisch und reell ist, so ist fˆ(n) symmetrisch und reell. (a n ∈ R, b n =
)
⊸
Die Idee für den Beweis für den obigen Satz hat die Form
N
mit

FN (x) = ∑ fˆ(n)e ik n x =
L
n=−N

D N (x − y) ≡
L
sin (
L
∫

dy ∑ e
π(N+  )(x−y)
)
L
)
sin ( π(x−y)
L
N
n=−N
= e −iN
ik n (x−y)
f (y) =
L
∫

 − (e i L (x−y) )
π
π
(x−y)
L
d y D N (x − y) f (x)
N+
 − e i L (x−y)
π
Die Funktion D N (x) gleicht aber der Funktionenreihe, die gegen eine δ-Funktion konvergiert,
d.h.
L
∫

74∣
d y D(x − y) = .
9. FOURIERREIHE UND FOURIERTRANSFORMATION
Formal gilt daher
∞
∑ δ (x − y + jL) ,
D N (x − y) →
N→∞
j=−∞
und somit
FN (x) →
N→∞
∞
L
d y ∑ δ (x − y + jL) f (y) = f (x)
∫
j=−∞

9.6 Bemerkung Die Relation
∞
∞
∑ e ik n x = ∑ δ (x + jL)
n=−∞
j=−∞
wird in der Physik oft verwendet.
9.7 Bemerkung Für die Fourierkoeffizienten gilt die Gleichung

L
75∣
L
∫

∞

∣ f (x)∣ = ∑ ∣ fˆ(n)∣ : Satz von Parseval
n=−∞

⊸
⊸