2 Komplexe Zahlen

2
2.1
Komplexe Zahlen
Der Körper der komplexen Zahlen Sei
R2 = {(x, y) : x, y ∈ R}.
R2 können wir als Punkte in der Ebene oder als Vektoren mit Komponenten x und y auffassen.
Für (x, y), (x′ , y ′ ) ∈ R2 definieren wir die Summe durch
(x, y) + (x′ , y ′ ) = (x + x′ , y + y ′ ).
Dies ist die übliche Addition zweier ebener Vektoren: Wir verschieben (x′ , y ′ ) so, dass sein Fußpunkt
auf dem Endpunkt von (x, y) steht, der Endpunkt des so verschobenen Vektors zeigt dann auf den
Endpunkt der Summe (siehe die folgende Abbildung links).
y
y
(x,y)
(x,y)+(x’,y’)
α(x,y)
(x,y)
(x’,y’)
x
Für α ∈
x
R und (x, y) ∈ R ist die Skalarmultiplikation definiert durch
α (x, y) = (αx, αy).
Für α ≥ 0 ist der Ergebnisvektor die Verlängerung oder Verkürzung um das α-fache (siehe Abbildung rechts). Bei α < 0 kehrt sich zusätzlich die Orientierung um.
Bis hierin haben wir nur die üblichen Operationen für Vektoren definiert, was in anderen Raumdimensionen genauso geht. Die Vektoren bilden mit der Addition und dem Vektor (0, 0) eine abelsche Gruppe, die Inverse von (x, y) ist (−x, −y). Mit Hilfe der Multiplikation
(x, y) · (x′ , y ′ ) = (xx′ − yy ′ , xy ′ + yx′ )
kann man, wie wir gleich sehen werden, auf den ebenen Vektoren einen Körper definieren. Diese
etwas geheimnisvolle Definition ist diesem Ziel geschuldet: Im Wesentlichen gibt es nur diese eine
Möglichkeit, aus den Vektoren einen Körper zu machen und sie funktioniert nur im ebenen Fall.
Das Element (1, 0) ist neutral bezüglich dieser Multiplikation und die Inverse von (x, y) 6= (0, 0) ist
³ x
−y ´
,
(x, y)−1 =
x2 + y 2 x2 + y 2
wegen
³
(x, y) · (x, y)−1 = (x, y)
=
³
−y ´
x
,
x2 + y 2 x2 + y 2
x2
−y 2
−xy
xy ´
−
,
+
x2 + y 2 x2 + y 2 x2 + y 2 x2 + y 2
= (1, 0).
R
Da die übrigen Körperaxiome sich leicht nachrechnen lassen, ist der 2 zusammen mit den so
definierten Operationen ein Körper, den wir den Körper der komplexen Zahlen nennen und mit
bezeichnen.
13
C
Wir können die Elemente von
gilt
C der Form (x, 0) mit der reellen Zahl x identifizieren, denn es
(x, 0) + (y, 0) = (x + y, 0)
(x, 0) · (y, 0) = (xy − 0 · 0, x · 0 + y · 0) = (xy, 0).
Die komplexe Zahl i = (0, 1) heißt imaginäre Einheit. Es gilt
i2 = (0, 1) · (0, 1) = (0 · 0 − 1 · 1, 0 · 1 + 0 · 1) = (−1, 0) = −1.
R
Damit haben wir Kurzbezeichnungen für die beiden kanonischen Einheitsvektoren des 2 , nämlich
1 = e1 und i = e2 . Statt z = (x, y) schreiben wir daher z = x + iy und können unter Beachtung
von i2 = −1 normal“ rechnen (z ′ = x′ + iy ′ )
”
z + z ′ = (x + iy) + (x′ + iy ′ ) = (x + x′ ) + i(y + y ′ ),
z · z ′ = (x + iy) · (x′ + iy ′ ) = xx′ − yy ′ + i(xy ′ + yx′ ).
Der Leser sollte sich davor hüten, die imaginäre Einheit zu verrätseln, weil sich das Wort imaginär
so rätselhaft anhört. Nach wie vor sind die komplexen Zahlen die ebenen Vektoren, auf denen eine
Multiplikation definiert ist, die sie zu einem Körper machen. Und die ebenen Vektoren sind genauso
wenig imaginär wie alles andere in der Mathematik auch.
2.2
Komplexe Konjugation und Absolutbetrag
z = x − iy
p
|z| = x2 + y 2
Für z = x + iy setzen wir
komplexe Konjugation von z,
Absolutbetrag von z,
wobei |z| nach dem Satz des Pythagoras mit der Länge des Vektors (x, y) übereinstimmt. Die
komplexe Konjugation bedeutet geometrisch die Spiegelung des Vektors an der x-Achse.
Ferner definieren wir Real- und Imaginärteil einer komplexen Zahl z = x + iy durch
Re z = x,
Im z = y.
Kommen wir nun zu den Rechenregeln für komplexe Zahlen:
Satz 2.1 Für komplexe Zahlen z, z ′ gilt:
z
(a) z −1 = 2 für z 6= 0.
|z|
(b) |z|2 = zz.
(c) (z ± z ′ ) = (z ± z ′ ),
zz ′ = zz ′ ,
³z´
z′
=
z
für z ′ 6= 0.
z′
¯z¯
|z|
¯ ¯
¯ ′¯ = ′ .
z
|z |
1
1
(e) Re z = (z + z), Im z = (z − z).
2
2i
(f) |Re z| ≤ |z|, |Im z| ≤ |z|.
¯
¯
(g) |z + z ′ | ≤ |z| + |z ′ |, ¯ |z| − |z ′ | ¯ ≤ |z − z ′ |.
(d) |z| = |z|,
|zz ′ | = |z| |z ′ |,
14
Beweis: Die Beweise folgen aus den Definitionen, es muss allerdings nachgerechnet werden. (b)
folgt aus
zz = (x + iy)(x − iy) = x2 + y 2 = |z|2
und daraus bekommen wir (a) durch Erweiterung des Bruchs
1
z
1·z
=
= 2.
z
z·z
|z|
Der erste Teil von (c) und (d) folgt direkt aus der Definition der komplexen Konjugation. Die
Produktregel in (c) erhalten wir aus
zz ′ = (x + iy)(x′ + iy ′ ) = xx′ − yy ′ + i(yx′ + xy ′ )
= (x − iy)(x′ − iy ′ ) = zz ′ .
Mit (b) folgt die Produktregel in (d)
|zz ′ |2 = zz ′ zz ′ = zzz ′ z ′ .
Genauer brauchen wir uns nur noch die Dreiecksungleichung (g) anzuschauen, die wir mit (b)-(f)
beweisen
|z + z ′ |2 = (z + z ′ )(z + z ′ ) = zz + z ′ z ′ + zz ′ + z ′ z
= |z|2 + |z ′ |2 + 2Re zz ′ ≤ |z|2 + |z ′ |2 + 2|zz ′ |
= |z|2 + |z ′ |2 + 2|z| |z ′ | = (|z| + |z ′ |)2 .
Für die zweite Ungleichung in (g), inverse Dreiecksungleichung genannt, verwenden wir die erste
|z| = |z − z ′ + z ′ | ≤ |z − z ′ | + |z ′ |.
Das umgekehrte Vorzeichen bekommt man, wenn man hier die Rollen von z und z ′ vertauscht.
Der obige Beweis der Dreiecksungleichung zeigt, dass die aus dem Reellen bekannte binomische
Formel für |a + b|2 nicht gilt, sondern
|a + b|2 = |a|2 + 2Re ab + |b|2 .
Beispiel 2.2 Wir zeigen
½
z∈
C
¾
©
ª
|z − 1|
:
< 1 = z : Re z > 0 .
|z + 1|
In solchen Fällen ist es immer einfacher, die Rechnung nicht auf den reellen Fall zurückzuführen.
Daher
(z − 1)(z − 1)
|z|2 − z − z + 1
|z − 1|2
=
=
|z + 1|2
(z + 1)(z + 1
|z|2 + z + z + 1
=
|z|2 − 2Re z + 1
.
|z|2 + 2Re z + 1
Dies ist genau dann < 1, wenn Re z > 0.
Durch einfaches Nachrechnen zeigt man für ai , bi ∈
¯2
¯ n
n
n
¯
¯X
X
X
¯
¯
2
|bi |2 −
|ai | ·
ai bi ¯ =
¯
¯
¯
i=1
i=1
i=1
C, i = 1, . . . , n,
X
1≤i<j≤n
|ai bj − aj bi |2 .
Hieraus folgt die Cauchy-Ungleichung
¯
¯2
n
n
n
¯X
¯
X
X
¯
¯
2
(2.1)
ai bi ¯ ≤
|bi |2
|ai | ·
¯
¯
¯
i=1
i=1
15
i=1
2.3 Polardarstellung komplexer Zahlen Zu jedem reellen Vektor (x, y) mit x2 + y 2 = 1 gibt
es genau ein φ ∈ [0, 2π) mit x = cos φ, y = sin φ. φ ist dabei der im Gegenuhrzeigersinn gemessene
Winkel zwischen der positiven reellen Achse und dem Strahl vom Nullpunkt zum Punkt (x, y). Aus
diesem Grund können wir eine komplexe Zahl z = x + iy mit z 6= 0 eindeutig in der Form
z = r(cos φ + i sin φ)
mit 0 ≤ φ < 2π,
r = |z| > 0
schreiben. r ist der von uns bereits definierte Absolutbetrag und φ = arg z heißt Argument von z.
Für das Produkt der beiden Zahlen a = r(cos φ + i sin φ) und b = s(cos ψ + i sin ψ) ergibt sich
wegen der Additionstheoreme für Sinus und Cosinus
a · b = rs(cos φ cos ψ − sin φ sin ψ + i(sin φ cos ψ + cos φ sin ψ))
= rs(cos(φ + ψ) + i sin(φ + ψ))
Der Ortsvektor a · b besitzt demnach die Länge |ab| und
zeigt in Richtung φ + ψ. Beim Produkt zweier komplexer
Zahlen werden die Beträge multipliziert und die Argumente addiert.
αβ
β
α
ψ
ϕ
ϕ+ψ
Re z
0
√
Beispiel 2.3 Für z = 1 + i gilt |z| = 2 und damit
√
π
π
π
π
1 + i = 2(cos + i sin ), (1 + i)2 = 2(cos + i sin ) = 2(0 + i · 1) = 2i.
4
4
2
2
Mit dieser geometrischen Deutung der Multiplikation können wir die komplexen Wurzeln, also
die Lösungen der Gleichung z n = α leicht bestimmen. Ist r = |α| und φ = arg α, so haben wir
√
genau n Lösungen, die alle den Betrag n r und die Argumente (φ + 2kπ)/n für k = 0, 1, . . . , n − 1
besitzen. Die Lösungen von z n = 1 werden komplexe Einheitswurzeln genannt,
zk = cos
2kπ
2kπ
+ i sin
,
n
n
k = 0, 1, . . . , n − 1.
Sie liegen auf dem komplexen Einheitskreis und bilden dort ein reguläres n-Eck.
Da man im Komplexen kein klares Verfahren hat, um die Wurzel eindeutig zu machen, ist man
√
im Gegensatz zum Reellen übereingekommen, alle Lösungen von z n = α als komplexe Wurzeln n α
zu bezeichnen.
Beispiel 2.4 Wir bestimmen alle Lösungen der Gleichung z 6 −iz 3 = 1. Mit w = z 3 folgt w2 −iw =
1 und
i
1
3
i
1√
(w − )2 = 1 − =
3.
⇒ w± = ±
2
4
4
2 2
Es gilt w± = cos φ± + i sin φ± mit φ+ = π/6 und φ− = 5π/6. Damit bekommen wir die 6 Lösungen
³π
³ 5π 2kπ ´
³ 5π 2kπ ´
³π
2kπ ´
2kπ ´
+ i sin
, cos
+ i sin
, k = 0, 1, 2.
+
+
+
+
cos
18
3
18
3
18
3
18
3
2.4
Konvergenz komplexer Zahlenfolgen
Der Kreis um a ∈
C mit Radius ε
C : |z − a| < ε} ⊂ C
heißt ε-Umgebung von a. Eine Folge (zn ), zn ∈ C, konvergiert gegen ξ
Bε (a) = {z ∈
Umgebung von ξ fast alle Folgenglieder liegen.
16
∈
C, wenn in jeder ε-
Satz 2.5 Mit zn = xn + iyn und ξ = a + ib gilt zn → ξ genau dann, wenn xn → a und yn → b in
.
R
Beweis: Mit den Rechenregeln (f) und (g) in Satz 2.1 gilt für jede komplexe Zahl z = x + iy
(2.2)
|x|, |y| ≤ |z| ≤ |x| + |y|.
zn → ξ ist äquivalent zu
|zn − ξ| < ε
für alle n ≥ N.
Mit (2.2) folgt daraus auch |xn − a|, |yn − b| < ε und damit xn → a und yn → b.
Gilt umgekehrt xn → a und yn → b, so folgt wieder aus (2.2) für genügend große n
|zn − ξ| < 2ε,
was zn → ξ impliziert.
Für Reihen komplexer Zahlen wirdP
Konvergenz wie im Reellen mitPder Konvergenz der Partialsummen definiert. Entsprechend heißt zn absolut konvergent, wenn P |zn | konvergiert.
Nach dem
P
letzten Satz ist dies äquivalent dazu, dass die beiden reellen Reihen
Re zn und
Im zn absolut
konvergent sind. Daher bleiben Majoranten-, Wurzel- und Quotientenkriterium für die absolute
Konvergenz komplexer Reihen gültig.
2.5 Die stereographische Projektion Im Rellen gibt es die Konstruktion, die reellen Zahlen
um die beiden Punkte“ ±∞ zu ergänzen, was den Vorteil hat, dass man den Satz von Bolzano”
Weierstraß nun auf jede Folge anwenden kann. Ist die Folge beschränkt, lässt sich eine konvergente
Teilfolge auswählen; ist sie unbeschränkt, so kann man eine gegen ∞ oder −∞ bestimmt divergente
Teilfolge auswählen.
Im Komplexen scheitert die angegebene Konstruktion. Hier nimmt man nur einen Punkt ∞ zu
C hinzu und fügt, intuitiv gesprochen, die großen Werte zu diesem einen Punkt ∞ zusammen.
N
Z
z
0
z
Z
C C
C
C
Wir schreiben = ∪{∞} und nennen die erweiterten komplexen Zahlen. Um geometrisch
darzustellen, gehen wir von der Einheitssphäre S des 3 aus. Mit Ausnahme des Nordpols N =
(0, 0, 1) können wir jedem Punkt von S vermöge
(2.3)
z=
R
x1 + ix2
1 − x3
eine komplexe Zahl z zuordnen. Diese Beziehung können wir nach x ∈ S \ {N } auflösen. Zunächst
folgt aus der Definition
x2 + x22
1 + x3
|z|2 = 1
=
2
(1 − x3 )
1 − x3
17
und daher
(2.4)
x3 =
|z|2 − 1
.
|z|2 + 1
Mit diesem Ergebnis gehen wir nach (2.3) zurück und erhalten
z+z
1 + |z|2
.
z−z
x2 =
i(1 + |z|2 )
x1 =
(2.5)
Als letztes bilden wir den Nordpol N auf den Punkt ∞ ab und haben damit die erweiterten
komplexen Zahlen als Riemannsche Zahlenkugel dargestellt. Die Halbkugel x3 < 0 wird auf den
Kreis |z| < 1 und die Halbkugel x3 > 0 auf |z| > 1 abgebildet.
Schreiben wir z = x + iy, so folgt aus (2.3)
x : y : −1 = x1 : x2 : x3 − 1,
was bedeutet, dass die Punkte (x, y, 0), (x1 , x2 , x3 ) und (0, 0, 1) alle auf einer Geraden liegen. Damit
liegt eine Zentralprojektion mit N als Zentrum vor, die man stereographische Projektion nennt. Wie
wir später sehen werden, ist die stereographische Projektion maßstabstreu und winkeltreu. Sie wird
daher auch in der Kartographie eingesetzt, hauptsächlich für Karten der Polkappen.
Offenbar wird jede Gerade in der z-Ebene auf einen Kreis abgebildet, der durch den Nordpol
läuft. Allgemeiner wird jeder Kreis in S auf eine Gerade oder einen Kreis in der z-Ebene abgebildet.
Um dies zu beweisen, machen wir zunächst die Beobachtung, dass jeder Kreis in S in einer Ebene
α1 x1 + α2 x2 + α3 x3 = α liegt, wobei wir α12 + α22 + α32 = 1 und 0 ≤ α < 1 annehmen dürfen. Im
Bildraum besitzt diese Gleichung die Form
α1 (z + z) − α2 i(z − z) + α3 (|z|2 − 1) = α(|z|2 + 1)
oder
(α − α3 )(x2 + y 2 ) − 2α1 x − 2α2 y + α + α3 = 0.
Für α 6= α3 ist dies die Gleichung eines Kreises, ansonsten eine Gerade. Umgekehrt kann jeder
Kreis oder jede Gerade in der z-Ebene in dieser Form geschrieben werden. und entspricht daher
einem Kreis auf S.
C
Wir können auf eine Metrik einführen, indem wir den Abstand zweier Punkte auf S bestim′
′
′
′
men. Seien zunächst
P 2z, z P∈ ′2 mit den zugehörigen Punkten (x1 , x2 , x3 ) und (x1 , x2 , x3 ) auf S.
Dann gilt wegen
xi = xi = 1
(2.6)
C
(x1 − x2 )2 + (x2 − x′2 )2 + (x3 − x′3 )2 = 2 − 2(x1 x′1 + x2 x′2 + x3 x′3 ).
Aus (2.4) und (2.5) folgt
x1 x′1 + x2 x′2 + x3 x′3 =
=
(z + z)(z ′ + z ′ ) − (z − z)(z ′ − z ′ ) + (|z|2 − 1)(|z ′ |2 − 1)
(1 + |z|2 )(1 + |z ′ |2 )
4Re zz ′ + (|z|2 − 1)(|z ′ |2 − 1)
.
(1 + |z|2 )(1 + |z ′ |2 )
Wir verwenden |z − z ′ |2 = |z|2 + |z ′ |2 − 2Re zz ′ und erhalten
x1 x′1 + x2 x′2 + x3 x′3 =
(1 + |z|2 )(1 + |z ′ |2 ) − 2|z − z ′ |2
(1 + |z|2 )(1 + |z ′ |2 )
18
Aus (2.6) folgt dann
(x1 − x2 )2 + (x2 − x′2 )2 + (x3 − x′3 )2 =
4|z − z ′ |2
(1 + |z|2 )(1 + |z ′ |2 )
und für die Metrik d(z, z ′ ) = kx − x′ k schließlich
(2.7)
2|z − z ′ |
.
d(z, z ′ ) = p
(1 + |z|2 )(1 + |z ′ |2 )
Für z ′ = ∞ erhalten wir durch Grenzübergang
2
d(z, ∞) = p
.
1 + |z|2 )
Auf beschränkten Teilmengen von
Für |z|, |z ′ | ≤ M gilt nämlich
C ist die Metrik d(z, z′) äquivalent zur Standardmetrik |z−z′|.
2
|z − z ′ | ≤ d(z, z ′ ) ≤ 2|z − z ′ |.
1 + M2
C
Damit erzeugt d den gleichen Konvergenzbegriff auf beschränkten Folgen. Auf können wir daher
die Konvergenz bezüglich d nehmen und für Folgen mit |zn | → ∞ auch lim zn = ∞ schreiben. Dann
gilt wieder der Satz von Bolzano-Weierstraß: Jede Folge in
besitzt eine bezüglich der Metrik d
konvergente Teilfolge.
C
19