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HTBLA VÖCKLABRUCK
STET
Rechnen mit Variablen und Termen
2
INHALTSVERZEICHNIS
1.
EINFÜHRUNG .................................................................................................... 3
2.
POTENZEN......................................................................................................... 5
2.1.
Addition und Subtraktion von Potenzen .............................................................................................. 5
2.2.
Multiplikation von Potenzen.................................................................................................................. 5
2.3.
Division von Potenzen............................................................................................................................. 6
2.4.
Potenzieren von Potenzen ...................................................................................................................... 6
2.5.
Potenzieren von Produkten.................................................................................................................... 6
2.6.
Potenzieren von Brüchen ....................................................................................................................... 7
3.
MULTIPLIZIEREN VON KLAMMERAUSDRÜCKEN ......................................... 7
4.
FAKTORISIEREN ............................................................................................... 7
5.
ERWEITERN UND KÜRZEN VON BRUCHTERMEN......................................... 8
6.
ADDITION UND SUBTRAKTION VON BRUCHTERMEN.................................. 9
6.1.
kgV von Termen ..................................................................................................................................... 9
6.2.
Addition und Subtraktion von gleichnamigen Bruchtermen............................................................ 10
6.3.
Addition und Subtraktion von ungleichnamigen Bruchtermen ....................................................... 10
7.
MULTIPLIKATION UND DIVISION VON BRUCHTERMEN ............................. 11
7.1.
Multiplikation ....................................................................................................................................... 11
7.2.
Division .................................................................................................................................................. 11
8.
DOPPELBRUCHTERME .................................................................................. 11
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Rechnen mit Variablen und Termen
3
1. EINFÜHRUNG
Def.: Zahlen, Variable, sowie alle mit Hilfe von Verknüpfungszeichen entstandenen
sinnvollen Verknüpfungen von Zahlen oder Variablen heißen Terme.
Bsp.:
•
6
•
x+z
•
3a
7
Bsp.: Welchen Zahlenwert nimmt der Term T(x) = 3 * x2 - x + 5 für x = -1 an ?
Bsp.: T(x) =
4
x−2
T (2) = ?
Def.: Die Grundmenge G eines Termes ist die Menge aller Zahlen, die für die Belegung der
Variablen des Terms vorgesehen sind.
Bsp.: T (x) =
3x + 1
G = { 1, 2, 3 }
x −1
Def.: Die Definitionsmenge D eines Terms T ist die Menge jener Elemente aus G, für die T
in einen sinnvollen Zahlenwert übergeht ( D ⊆ G ).
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Rechnen mit Variablen und Termen
Bsp.: T =
4
1
G=Z
x
Es gilt:
•
Beim Umformen von Termen gelten für alle Zahlenmengen das
Kommutativgesetz, das Assoziativgesetz und das Distributivgesetz.
d. h. a + b = b + a
a*b=b*a
a + ( b + c) = (a + b) + c
a*(b*c) = (a*b) * c
a*(b+c) = a*b + a*c
•
Terme mit gleichen Variablen werden addiert (subtrahiert), indem man ihre
Koeffizientensumme (Koeffizientendifferenz) mit der gemeinsamen Variablen
multipliziert.
Bsp.: 7y + y - 2y = 6y
Bsp.: 7x + 3y +5z = ?
Läßt sich nicht vereinfachen (verschiedene Variable) !!!
Bezeichnung von Termen:
•
Monome
7a,
3x
4
• Binome
4x+2y
• Trinome
2x + y + z
• Polynome
Oberbegriff
Klammerregeln:
•
a + (b +c ) = a + b + c
2 + (3 + 4) = 2 + 3 +4 = 9
•
a + (b - c ) = a + b - c
2 + (3 - 4) = 2 + 3 - 4 = 1
•
a - (b + c ) = a - b -c
2 - ( 3 +4) = 2 - 3 - 4 = -5
•
a - (b - c ) = a - b + c
2 - ( 3 - 4) = 2 - 3 + 4 = 3
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5
2. POTENZEN
Bsp.:
5*5*5*5 = 54
Allgemein:
an
a........Basis
n.....Exponent
Def.: Es sei a ∈ R, n ∈Z. Unter an versteht man: an = a * a * a *........*a (n-mal)
2.1.
Addition und Subtraktion von Potenzen
Es gilt: Potenzen lassen sich genau dann addieren (subtrahieren), wenn sie sowohl in ihren
Basen als auch in ihren Exponenten übereinstimmen !
Bsp.:
a2bc2 + a2bc2 = 2a2bc2
2.2.
Multiplikation von Potenzen
Es gilt: ∀ a ∈R, m, n ∈ Z :
am * an = am+n
Bsp.: 25* 23 = 28
Bsp.: (x+2y)2 * (x+2y)4 = (x+2y)6
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2.3.
6
Division von Potenzen
Es gilt: : ∀ a ∈R\{0}, m, n ∈ Z :
am : an = am-n
Bsp.: 53: 52 = 51 = 5
2.4.
Potenzieren von Potenzen
Es gilt: ∀ a ∈R, m,n ∈ Z:
(a )
m n
= a m∗ n
Bsp.: (32)4 = 38
Achtung: (am)n = am*n ≠ a m
n
Bsp.: (32)3 = 36
3 2 = 38
3
2.5.
Potenzieren von Produkten
Es gilt: ∀ a,b ∈R, n ∈ Z:
(a * b)n = an * bn
Bsp.: (2*3)2 = 22* 32 = 36
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2.6.
7
Potenzieren von Brüchen
Es gilt: ∀ a,b ∈R, n ∈ Z, b ≠0:
n
an
⎛a⎞
⎜ ⎟ = n
b
⎝b⎠
3
43
⎛4⎞
Bsp.: ⎜ ⎟ = 3
3
⎝3⎠
3. MULTIPLIZIEREN VON KLAMMERAUSDRÜCKEN
Es gilt: Eine Summe wird mit einer Zahl multipliziert, indem man jeden Summanden mit der
Zahl multipliziert und die so erhaltenen Produkte addiert.
d.h.
a(b + c) = ab + ac
Bsp.: 3(5 + 7) = 3*5 + 3 * 7 = 15 + 21 = 36
4. FAKTORISIEREN
Faktorisieren heißt aus einer Summe ein Produkt machen.
Bsp.: 5a + 5b = 5 (a + b)
Bsp.: 17x -34 = 17 (x - 2)
Bsp.: x2 - 9y2 = (x -3y)(x + 3y)
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5. ERWEITERN UND KÜRZEN VON BRUCHTERMEN
Es gilt: Der Wert eines Bruchterms ändert sich nicht, wenn man Zähler und Nenner mit
demselben Term ( ≠ 0) multipliziert oder durch denselben Term ( ≠ 0) dividiert.
Bsp.:
x
5x − 1
5x 2 − x
∗
=
x − 2 5 x − 1 5 x 2 − 11x + 2
Es gilt: Zwei Summen werden miteinander multipliziert, indem man jeden Summanden der
einen Summe mit jedem Summanden der anderen Summe multipliziert und die
entstehenden Produkte addiert.
d.h.
(a + b)*(c + d) = ac + ad + bc + bd
Bsp.: (3x+1)(2x-4) = 6x2 -12x +2x -4 = 6x2 - 10x -4
Wichtige Formeln:
•
(a + b)2 = a2 + 2ab + b2
•
(a - b)2 = a2 - 2ab + b2
•
a2 + b2 = a2 + b2
•
a2 - b2 = (a + b) (a - b)
•
( a + b)3 = a3 + 3a2b+3ab2 + b3
•
( a - b)3 = a3 - 3a2b+3ab2 - b3
•
a3 + b3 = (a + b)(a2 - ab +b2)
•
a3 - b3 = (a - b)(a2 + ab +b2)
Pascal`sches Dreieck:
1
1
1
1
1
1
1
2
3
4
5
6
1
3
6
10
15
1
1
4
10
20
usw.
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1
5
15
1
6
1
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9
Bemerkung: Jede Zeile beginnt und endet mit der Zahl 1. Die anderen Koeffizienten sind
jeweils die Summe der darüberstehenden linken und rechten Zahl.
Es gilt (Binomischer Lehrsatz):
n
⎛ n⎞
k =0
⎝k ⎠
( a + b) n = ∑ ⎜ ⎟ a n−k b k
⎛ n⎞
Def.: ⎜ ⎟ =
⎝k ⎠
n!
k !( n − k )!
Def.: n! = 1.2.3.4.5.........(n-1).n
Beispiel:
⎛ 5⎞
5!
4.5
=
= 2.5 = 10
⎜ ⎟=
⎝ 2 ⎠ 2!3! 2
6. ADDITION UND SUBTRAKTION VON BRUCHTERMEN
6.1.
kgV von Termen
Bsp.: kgV (44xyz3, 36x2y4z ) = ?
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Bsp.: kgV [(x+2)3, x2 - 4, x2 -4x +4] = ?
6.2.
Addition und Subtraktion von gleichnamigen Bruchtermen
Es gilt: Gleichnamige Bruchterme werden addiert (subtrahiert), indem man die Summe
(Differenz) der Terme im Zähler durch den gemeinsamen Nenner dividiert.
Bsp.:
6.3.
a
3a
6a
6a
4a
+
+
−
=
x −1 x −1 x −1 x −1 x −1
Addition und Subtraktion von ungleichnamigen Bruchtermen
Es gilt: Ungleichnamige Bruchterme müssen vor dem Addieren (Subtrahieren) gleichnamig
gemacht werden. Dies geschieht, indem man sie auf den Hauptnenner ( = kgV)
erweitert.
Bsp.: 5 +
Bsp.:
6( x − 3) 35 + 6 x − 18 17 + 6 x
=
=
7
7
7
5a + b
20ab
5a − b
=
−
−
2
2
5a − b 25a − b
5a + b
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11
7. MULTIPLIKATION UND DIVISION VON BRUCHTERMEN
7.1.
Multiplikation
Es gilt: Bruchterme werden multipliziert, indem man das Produkt der Zähler durch das
Produkt der Nenner dividiert.
Bsp.:
5 x 14 10
∗
=
x
7 x2
7.2.
Division
Es gilt: Man dividiert durch einen Bruchterm, indem man mit seinem reziproken Term
multipliziert.
Bsp.: a ÷
b
a
= a∗ = b
a
b
8. DOPPELBRUCHTERME
Def.: Bruchterme, deren Zähler oder Nenner (mind.) einen Bruchterm enthalten, werden
Doppelbruchterme genannt.
5x
5 x7 35
=
Bsp.: 3 =
4 x 4 x3 12
7
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12
7 x + y 2( x − y ) 5 x + y − 5 x − y
+
3x − y 3x + y
2
3
Bsp.:
÷
=
4( 2 x + y ) x − y
16 xy
+
9
2
3
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