EP Vorlesung 15 II) Wärmelehre 13.Wärmekapazität

13.Wärmekapazität
EP Vorlesung 15
II) Wärmelehre
10. Temperatur und Stoffmenge
11. Ideale Gasgleichung
12. Gaskinetik
13. Wärmekapazität
14. Hauptsätze der Wärmelehre
Versuche:
Wärmekapazität von Festkörpern
gleiche Massen, gleiche Molmenge
Mechanisches „Wärmeäquivalent“
Lufttisch mit Teilung (Entropie)
Kolin (Stirling) Maschine
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13.Wärmekapazität
Spezifische Wärmekapazitäten cp und cv beim idealen Gas:
cv (isochore Wärmezufuhr, ∆V=0):
∆Wvol = p ⋅ ∆V= 0
Wärmezufuhr führt allein zur Erwärmung (oder Phasenübergang)
cp (isobare Wärmezufuhr): System-Erwärmung und zusätzliche vom System
nach außen abgegebene mechanische Volumenarbeit in Höhe von
∆Wvol = p⋅∆
⋅∆V
= n⋅⋅R⋅∆
⋅∆T
( 2.= folgt aus allg Gasgl. bei gegebenem ∆T)
⋅∆
⋅∆
∆Q = n ⋅ c p ∆T = n ⋅ c V ∆T + p ⋅ ∆V = n ⋅ c V ∆T + n ⋅ R ⋅ ∆T
Daraus folgt:
c p − cV = R
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13. Wärmekapazität
Wärmemenge zur Erwärmung von 1Mol ideales Gas mit i Freiheitsgraden:
∆Qmol = ∆ Ekin , mol
i
= R∆T
2
isochor:
∆Qmol = cV ⋅ ∆T
isobar:
∆Qmol = cp ⋅ ∆T
cv = i ⋅ R
2
(
)
cp = i + 1 ⋅ R
2
cv
cp
i
1-atomig
3/2 R
5/2 R
3 Translation
2-atomig
5/2 R
7/2 R
3 Translation, 2 Rotation
3-atomig,
nicht
linear
6/2 R
8/2 R
3 Translation, 3 Rotation
Bei höheren Temperaturen können noch weitere Freiheitsgrade, von
Schwingungen (Vibrationen), wichtig werden (Anstieg von cp und cV).
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13. Wärmekapazität
Festkörper
c ≡ cp
(Volumenausdehnung klein). Isochore Zustandsänderung wäre aufwändig, weil
Kraft zur Konstanthaltung des Volumens groß, siehe Versuch Bolzensprenger.
Bei genügend hohen Temperaturen gilt das Dulong-Petit Gesetz:
6 Freiheitsgrade für Schwingungen um Ruhelage (3für Ekin, 3 für Vpot)
i=6 c = 3.R = 24.9 J/(mol.K)
Beispiele:
Blei:
cPb
J
oder
= 129
kg K
J
25.6
mol K
, MPb = 0,199 kg/mol
J
J
oder 23.3
, MAl = 0,026 kg/mol
Aluminium: c Al = 896
mol
K
kg K
Versuche1 Wärmekapazität von Metallen gleicher Masse, gleicher Molzahl
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13. Wärmekapazität
Flüssigkeiten: (Kein einfaches Gesetz)
 J 
Zahlen-Beispiele: c in Einheiten von 

kg
K


Alkohol 1410 J/(kgK)
Benzol
CCl4
1720
"
860
"
Wasser 4180
“
Ammoniak 4600-6700 “
Vergleich mit Kaloriedefinition:
cH2 0 =
1cal /(1 g ⋅1K )
= 4.18 J /(0.001kg ⋅1K )
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13. Wärmekapazität
Messung der Wärmekapazität eines Körpers mit Mischungskalorimeter
Körper gibt Wärme an das Bad und das Gefäß ab (Nullter Hauptsatz):
∆QK=cK.mK.(TK−TM)
Badflüssigkeit nimmt auf:
∆QB= cB.mB.(TM−TB)
Kalorimetergefäß nimmt auf:
∆QKA=WKA.(TM−TB)
WKA: Wasserwert = Wärmekapazität des Kalorimeters
(berechnet aus einem Mischexperiment
mit bekannten Wärmekapazitäten)
∆QK= ∆QB+∆
∆QKA ⇒ ∆QK=cK.mK.(TK−TM)= cB.mB.(TM−TB) + WKA.(TM−TB)
cK =
(c B ⋅ mB + WKA )(TM − TB )
mK (TK − TM )
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14. Hauptsä
Hauptsätze der Wä
Wärmelehre
Zustandsgröße „Innere Energie“ U:
Die im Inneren eines abgeschlossenen Systems gespeicherte
gesamte Energie (kinetische + potentielle + Wärme + elektrische
Energie) nennt man Innere Energie. Sie ist gleich der Gesamtenergie,
wenn der Schwerpunkt des Systems ruht, d.h. die „äußere“ Energie
=0 ist.
Beispiel: Bei idealem Gas gibt es laut Gaskinetik nur die kinetische
Energie der Moleküle. Bei Erwärmung des Systems von T=0 auf T (d.h. ∆T
= T-0 = T) durch Wärmezufuhr ∆Q gilt:
∆Q = n · cV · T = n · i/2 · R · T = U
(mit n = Molzahl, cV = spezifische molare Wärmekapazität, i = Zahl
der Bewegungsfreiheitsgrade, z.B. i = 3 für einatomiges Gas)
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14. Hauptsä
Hauptsätze der Wä
Wärmelehre
Der Versuch2 „mechanisches Wärmeäquivalent“ zeigt, daß sich
mechanische Energie in Wärmeenergie umwandeln läßt und ebenfalls zur Erhöhung der Inneren Energie eines Systems führen kann.
Er zeigte (historisch) die Äquivalenz von Wärme, gemessen in cal,
und mechanischer Energie, gemessen in Joule.
Die Kupfertrommel erwärmt sich durch Reibung des lose gewickelten Drahtes und leitet
die Wärme in den Wasserbehälter, dessen Temperatur sich um ∆T erwärmt.
Das Drehmoment des Motors
r ist sor eingestellt, daß die Reibungskraft (und damit die
F R = − FG
Zugkraft des Drahtes)
, d.h. der Körper mit Masse m schwebt.
Mechanische Arbeit W = FR · s = m · g · s mit Weg s = Zahl der Umdrehungen x
Trommelumfang.
Die Zunahme an Wärmeenergie (= innere Energie des Wasserbehälters) ist:
∆U=W.
Die Temperaturzunahme ist dann
∆T =
m ⋅g ⋅s
(c Wasser ⋅ M Wasser + c Trommel ⋅ M Trommel )
wie durch Messung von ∆T bestätigt wird.
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14. Hauptsä
Hauptsätze der Wä
Wärmelehre
Der 1.Hauptsatz der Wärmelehre:
Die Summe der einem System von außen zugeführten Wärme ∆Q
und der an ihm verrichteten Arbeit ∆W ist gleich der Zunahme der
inneren Energie:
∆U = ∆Q + ∆W
Andere Formulierungen:
Die Innere Energie eines abgeschlossenen Systems (∆Q=∆W=0)
ist erhalten. (Verallgemeinerung der Energieerhaltung von
makroskopischen auf mikroskopische Systeme)
Ein perpetuum mobile 1. Art ist unmöglich.
(Es gibt keine periodisch arbeitende Maschine, die mehr
Arbeit verrichtet als sie Energie aus ihrer Umgebung
verbraucht.)
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14. Hauptsä
Hauptsätze der Wä
Wärmelehre
Beispiel für den 1. Hauptsatz:
Wenn kein Wärmeaustausch mit Umgebung
(∆Q = 0) dann gilt:
∆U = ∆W
An einem Gasvolumen ist ∆ W = - p∆V
Man erinnere sich: bei Kompression (∆V < 0) ist die von außen geleistete
Arbeit positiv. Daher das Minuszeichen in der Formel.
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14. Hauptsä
Hauptsätze der Wä
Wärmelehre
(Un-)Umkehrbarkeit thermodynamischer Prozesse (“Reversibilität“)
riesiges Energiereservoir im Wasser
Geht aber in der Realität nicht:
Warum ? Wegen 2.Hauptsatz!
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14. Hauptsä
Hauptsätze der Wä
Wärmelehre
4. Wird der Kolben langsam auf die Ausgangsposition zurückgeschoben, so wird am
System Arbeit geleistet (∆W = p ·∆V) und das System kehrt in seinen Ausgangszustand zurück.
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14. Hauptsä
Hauptsätze der Wä
Wärmelehre
Beispiel für irreversiblen Prozess
… p2 wird am Ende des Prozesses etwa gleich p1 sein,
Zustand am wahrscheinlichsten ist !
weil dieser
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14. Hauptsä
Hauptsätze der Wä
Wärmelehre
Entropie S
Eine weitere Zustandsgröße, die Entropie S, ist
ein Maß für die Wahrscheinlichkeit P eines Zustands
( Boltzmanns berühmte Formel:
S = k.ln(P) [J/K]
Die Entropie ist ein Maß für die Unordnung und ist umso größer, je
größer die ‘Unordnung‘ ist.
Bei reversiblen Prozessen ist die Entropieänderung gegeben durch
∆S = ∆Qrev / T
siehe Carnotscher Kreisprozeß
2. Hauptsatz :
Die Entropie bleibt erhalten bei reversiblen
Kreisprozessen. So auch in abgeschlossenen Systemen, wenn keine
irreversiblen Prozesse stattfänden, andernfalls nimmt sie zu.
Andere Formulierung: Es gibt kein perpetuum mobile 2. Art
(d.h. keine Maschine, die Arbeit leistet, indem sie nichts weiter tut,
als einen Körper abzukühlen, siehe unser Ozeandampfer oben).
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14. Hauptsä
Hauptsätze der Wä
Wärmelehre
Kreisprozesse (Wärmekraftmaschinen)
In einem Kreisprozeß soll aus Wärme
mechanische Energie gewonnen werden.
(umgekehrt einfacher: Reibung)
Idealisiert (revers. Zustandsänderungen):
Beispiel Carnot-Prozeß
Expansion:
1->2:
T1
Kompression:
2->3:
T2
T1
3->4:
T2
T1
4->1:
T2
T1
T2
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14. Hauptsä
Hauptsätze der Wä
Wärmelehre
Was lernt man aus dem Carnotprozess?
Innere Energie erhalten, d.h. nach Kreisprozess hat System die gleiche
Energie wie am Anfang. Aus 1.Hauptsatz folgt: ∆Wges+∆Qges= ∆U = 0,
wobei ∆Qges = ∆Q1+∆Q2, Wärmeabgaben nur bei isothermen Zä.
Entropie erhalten. Aus 2. Hauptsatz folgt ∆S = ∆Q1/T1+ ∆Q2/T2 = 0,
d.h. ∆Q2 = -∆Q1· T2/T1
Wenn man als Wirkungsgrad η der Maschine definiert:
η=
− ∆Wges
von Maschine geleistete Arbeit
=
vom warmen Re servoir abgegebene Wärmeenergie
∆Q1
erhält man mit -∆Wges =∆Q1+∆Q2 = ∆Q1-∆Q1 T2/T1 = ∆Q1(1-T2/T1)
T1 − T2
η=
T1
Bei allen realen, irreversiblen Kreisprozessen sind die Wirkungsgrade geringer. Der (idealisierte)
Carnot-Prozeß erhält die Entropie. Realisierbare gute Wirkungsgrade liegen bei 30%.
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14. Hauptsä
Hauptsätze der Wä
Wärmelehre
Zweiter Hauptsatz : (nach Carnot-Kelvin oder Clausius)
Keine zyklisch arbeitende Maschine kann mechanische
Arbeit nur durch Abkühlung eines Wärmereservoirs
erzeugen.
Ein Teil der Wärme muß an ein zweites, kälteres
Reservoir abgegeben werden.
Alle Zustandsänderungen in einem abgeschlossenen
System bewirken eine Zunahme der Entropie:
∆S > 0 : irreversible Prozesse
∆S = 0 : reversible Prozesse (in der Realität selten)
Dritter Hauptsatz: Der absolute Temperaturnullpunkt kann nicht
erreicht werden.
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15. Wärmetransport
Ein Temperaturausgleich zwischen Körpern oder Bereichen eines
Körpers kann durch verschiedene Prozesse zustandekommen.
a) Wärmestrahlung: Kein direkter Kontakt, wichtig bei hohen Temperaturen
b) Wärmeleitung: Kein Transport von Materie, aber Leitung durch Materie
(vor allem Metalle, Festkörper)
c) Wärmeströmung (Konvektion): Wärmetransport mit fließender
Materie (dominant bei schlechten Wärmeleitern)
Ohne Wärmequellen führen diese Prozesse
zu vollständigem Temperaturausgleich (→ Tm)
Eine gute Isolation muss alle Wege ausschließen: Thermoskanne
(versilbert, doppelwandig, evakuiert)
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15. Wärmetransport
a)Wärmestrahlung, d.h.
elektromagnetische Wellen (je nach
Temperatur,
sichtbares oder infrarotes oder UV- oder…. Licht).
LeistungDieser
P: DieTransport
abgestrahlte
Leistung
ist stark
temperaturabhängig
erfolgt
auch durch
Vakuum
(Sonne → Erde).und
proportional zur Oberfläche A:
P/A = 10-8 W/(m2 ·K4) T4
(Stefan-Boltzmannsches Gesetz)
Außerdem verschiebt sich das Maximum
des Farbspektrums mit Wachsen der
Temperatur von rot nach blau
(exakte Beschreibung durch das
Plancksche Strahlungsgesetz).
Wärmestrahlungsleistung der Erde:
40x1012 W
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15. Wärmetransport
Wärmestrahlung
Die Wärmebildkamera basiert auf der starken Temperaturabhängigkeit der abgestrahlten Leistung (P ~ T4), die sie in Falschfarben darstellt → empfindliche Diagnostik in Medizin und Technik.
Verminderte Durchblutung beim Rauchen
Wärmeverlust
sichtbar
Falschfarbendarstellung
rot=hell, blau=dunkel
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15. Wärmetransport
Kosmische Hintergrundstrahlung
Ursprung: heißes Universum im Jahr t ≈ 400000 nach Urknall, Temperatur 3000K
Durch Expansion des Weltalls wurden die Wellenlänge größer → Temperatur kleiner heutige 2.7K Strahlung
Die Anisotropie der Strahlung (. nächste Seite) gibt Auskunft über die Dichteverteilung der
Materie im Jahr 400000 → (Physik-Nobelpreis 2006)
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15. Wärmetransport
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