Analysis - Vordiplom-Zusammenfassung

Analysis - Vordiplom-Zusammenfassung
Vorlesung: Prof. Dr. Schmeißer
Zusammenfassung: Fabian Stutzki
22. September 2008
Die Zusammenfassung bezieht sich auf Analysis I (WS04/05), Analysis II
(SS05) und Analysis III (WS05/06). Sie dient der Vorbereitung auf das Vordiplom bei Herrn Prof. Dr. Schmeißer. Fehler (auch bei kleineren Tipfehlern)
und Anmerkungen bitte an [email protected].
Inhaltsverzeichnis
1 Reelle und komplexe Zahlen
1.1 Reelle Zahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2 Komplexe Zahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1
1
1
2 Konvergenz und Stetigkeit
2.1 Grenzwerte von Folgen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2 Konvergenz von Reihen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3 Grenzwerte und Stetigkeit von Funktionen . . . . . . . . . . .
2
2
2
2
3 Differentiation und Integration
3.1 Differentiation . . . . . . . . .
3.2 Stammfunktionen . . . . . . .
3.3 Riemannsche Integrale . . . .
3
3
3
3
(Teil 1)
. . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . .
4 Differentiation und Integration (Teil 2)
4.1 Klassen integrierbarer Funktionen . . .
4.2 Höhere Ableitungen . . . . . . . . . . .
4.3 Folgen und Reihen von Funktionen . .
4.4 Uneigentliche Integrale . . . . . . . . .
4.5 Einfache Differentialgleichungen . . . .
1
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4
4
4
5
5
5
5 Differentiation im Rn
5.1 Metrische und normierte Räume .
5.2 Stetige Funktionen (Abbildungen)
5.3 Partielle Ableitungen . . . . . . .
5.4 Differentierbare Abbildungen . . .
. . . . . . . .
in metrischen
. . . . . . . .
. . . . . . . .
. . . . .
Räumen
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6 Gewöhnliche Differentialgleichungen
6.1 Systeme linearer DGLen 1. Ordnung mit konstanten Koeffizienten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.2 Lineare DGL n-ter Ordnung mit konstanten Koeffizienten . . .
6.3 Existenz- und Unitätssätze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5
5
5
6
8
8
8
9
9
7 Integration im Rn
10
7.1 n-dimensionale Riemann-Integral . . . . . . . . . . . . . . . . 10
7.2 Kurvenintegrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
7.3 Oberflächenintegral im R3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
8 Vektoranalysis, Integralsätze
12
8.1 Vektorfelder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
8.2 Integralsätze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
8.3 Ergänzungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
9 Partielle Differentialgleichungen
9.1 Laplace-Poisson-Gleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9.2 Cauchy-Probleme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9.3 Separationsansatz (Fouriersche Methode) . . . . . . . . . . . .
13
13
15
15
10 Komplexe Funktionen
10.1 Komplexe Differentierbarkeit . . . . . .
10.2 Integration . . . . . . . . . . . . . . . .
10.3 Singularitätentheorie . . . . . . . . . .
10.4 Eigenschaften holomorpher Funktionen
15
15
16
17
18
1
1.1
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Reelle und komplexe Zahlen
Reelle Zahlen
Bolzano-Weierstraß: Jede unendliche und beschränkte Menge reeller Zahlen besitzt mindestens einen Häufungspunkt.
Vollständigkeitsaxiom für Folgen: Jede beschränkte Folge reeller Zahlen besitzt mindestens eine konvergente Teilfolge.
2
1.2
Komplexe Zahlen
Fundamentalsatz der Algebra: Jedes Polynom P vom Grad n ∈ N, n >
0 besitzt mindestens eine Nullstelle z0 mit P (z0 ) = 0.
2
Konvergenz und Stetigkeit
2.1
Grenzwerte von Folgen
2.2
Konvergenz von Reihen
Majoranten, Wurzel, Quotienten, Leibniz
2.3
Grenzwerte und Stetigkeit von Funktionen
Zwischenwertsatz (Bolzano): f : [a, b] → R stetig auf [a, b] (d.h. stetig
in jedem Punkt x ∈ [a, b]). Sei w ∈ R mit f (a) < w < f (b). Dann
existiert ein ξ ∈ (a, b) mit f (ξ) = w
Beweis: oBdA f (a) < 0, f (b) > 0 und w = 0 (sonst f (x) − w betrachten). Sei
⇒
⇒
M := {x ∈ [a, b] : f (x) < 0}
M ⊂ [a, b] beschränkt und M 6= ∅
∃ supM =: ξ ∈ (a, b)
Bleibt zu zeigen, dass f (ξ) = 0. Wähle Folge (xk ) in M mit xk →
ξ. Da f stetig und f (xk ) < 0
⇒
f (ξ) = f (lim xk ) = lim f (xk ) 6 0
Annahme f (ξ) < 0, dann
⇒
⇒
∃ δ > 0 ∀x ∈ Uδ (ξ) ∩ [a, b] :
Widerspruch zu ξ = supM
f (ξ) = 0
f (x) < 0
Satz vom Minimum / Maximum (Weierstraß): Sei K ⊂ C kompakt
und f : K → R stetig auf K. Dann gilt:
f (K) = {f (z) : z ∈ K} ⊂ R ist kompakt
3
und
∃U ∈ K ∧ V ∈ K mit
f (u) = infz∈K f (z) = inff (K)
f (v) = supz∈K f (z) = supf (K)
Beweis: 2.3.3/6
Cauchy-Konvergenzkriterium für gleichmäßige Konvergenz: Beweis:
2.3.7/6
Weierstraß-Kriterium für gleichmäßige Konvergenz: Beweis: 2.3.7/7
3
3.1
Differentiation und Integration (Teil 1)
Differentiation
1. Mittelwertsatz (Lagrange): Sei f : [a, b] → R stetig und diffbar ⇒
∃ ξ ∈ (a, b) mit
f (b) − f (a)
= f 0 (ξ)
b−a
2. Mittelwertsatz (Cauchy): Seien f, g : [a, b] → R stetig, diffbar und
g 0 (x) 6= 0 auf (a, b) ⇒ ∃ ξ ∈ (a, b) mit
f (b) − f (a)
f 0 (ξ)
= 0
g(b) − g(a)
g (ξ)
Beweis: 3.1.2/4
l’Hospitalsche Regel: Seien x0 ∈ [a, b], f, g : (a, b) → R diffbar, g 0 (x) 6= 0
0 (x)
auf (a, b), limx→x0 f (x) = limx→x0 g(x) = 0 und ∃ limx→x0 fg0 (x)
= c.
Dann existiert
f (x)
∃ lim
=c
x→x0 g(x)
Analog für limx→x0 f (x) = limx→x0 g(x) = ±∞
Beweis: 3.1.4/1, folgt aus zweitem Mittelwertsatz
4
3.2
Stammfunktionen
3.3
Riemannsche Integrale
Dorbouxsche Definition:
Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung: f : [a, b] → R stetig. Dann existiert eine Funktion Φ(x) : [a, b] → R stetig und diffbar
mit Φ0 (x) = f (x). Φ(x) ist Stammfunktion von f auf [a, b].
Z
b
f (x) dx = Φ(b) − Φ(a)
a
Beweis: hn Nullfolge hn 6= 0 und Mittelwertsatz ∃ξ ∈ [a, b] mit
Rb
Rb
g
f
g
=
f
(ξ)
a
a
Z
x+hn
F (x + hn ) − F (x) =
f (t) dt = f (ξn )hn
x
⇒
lim
n→∞
F (x + hn ) − F (x)
=
hn
lim f (ξn )
n→∞
stetig
= f ( lim ξn ) = f (x)
n→∞
Substitution: f : [a, b] → R stetig, ϕ : [c, d] → [a, b] bijektiv, stetig, diffbar
und ϕ0 (x) 6= 0
Z
b
d
Z
f (ϕ(t))|ϕ0 (t)| dt
f (x) dx =
c
a
4
Differentiation und Integration (Teil 2)
4.1
Klassen integrierbarer Funktionen
4.2
Höhere Ableitungen
Leibnizsche Produktregel: f, g : (a, b) → R n-mal diffbar
⇒
∃ (f · g)
(n)
n X
n
(x) =
f (n−k) (x) · g (k) (x)
k
k=0
Beweis: 4.2.1/2 durch vollständige Induktion (Serie 16, Aug 1)
5
Satz von Taylor: f : (a, b) → R (n+1)-mal stetig differentierbar, x, x0 ∈
(a, b). Dann gilt:
f 00 (x0 )
f (x) = f (x0 ) + f 0 (x0 ) · (x − x0 ) +
(x − x0 )2 + . . .
2!
Z
1 x
(x − t)n · f (n+1) (t) dt
+
n! x0
Z
n
X
f (k) (x0 )
1 x
k
=
(x − x0 ) +
(x − t)n · f (n+1) (t) dt
k!
n!
x
0
{z
}
|k=0
{z
} |
Rn (x)
Tn (x)
Beweis: 4.2.1/3 durch Induktion aus HDI
Mittelwertsatz der Integralrechnung: f : [a, b] → R stetig, g(x) > 0
auf [a, b] ⇒
∃ ξ ∈ (a, b), so dass
Z b
Z b
f (x) · g(x) dx = f (ξ)
g(x) dx
a
a
Insbesondere gilt für g(x) = 1
Z b
f (x) dx = f (ξ)(b − a)
| {z }
a
| {z }
Fläche
Integral
Beweis: 4.2.1/5
Restglied nach Lagrange: Beweis: 4.2.1/6
4.3
Folgen und Reihen von Funktionen
4.4
Uneigentliche Integrale
4.5
Einfache Differentialgleichungen
5
5.1
Differentiation im Rn
Metrische und normierte Räume
Heine-Borel-Satz: (X, d) metrischer Raum, dann gilt: K ⊂ X kompakt ⇔
Aus jeder offenen Überdeckung (UαS
) lässt sich eine endliche Teilüberdeckung auswählen.
Das heißt K ⊂ α Uα mit Uα offen ⇒ ∃ α1 , . . . , αn
S
mit K ⊂ ni=1 Uαi
6
5.2
Stetige Funktionen (Abbildungen) in metrischen
Räumen
Kontraktion T ist eine Abbildung, die den Abstand zweier Punkte verkleinert:
∃q : 0 < q < 1 ∀x, y ∈ X : d(T (x), T (y)) 6 qd(x, y)
Damit ist eine Kontraktion gleichzeitig Lipschitz-stetig (Lipschitzkonstante q < 1).
Banachscher Fixpunktsatz: Sei (X, d) vollständig metrischer Raum (d.h.
jede Cauchy-Folge konvergiert), T : X → X Kontraktion. Dann besitzt
T genau einen Fixpunkt z ∈ X (⇔ ∃!z ∈ X : T (z) = z). Das Iterationsverfahren xn+1 = T (xn ) konvergiert für jeden Startwert x0 ∈ X
gegen den Fixpunkt z, d.h. limn→∞ xn = z in (X, d). Es gelten die
Fehlerabschätzungen
n
q d(x0 , z)???
d(xn , z) 6
qn
d(x0 , x1 )
1−q
Beweis: 5.2.3/3: z eindeutig bestimmt: Annahme T (z 1 ) = z 1 und
T (z 2 ) = z 2
d(z 1 , z 2 ) = d(T (z 1 ), T (z 2 )) 6 q · d(z 1 , z 2 ) ⇒
Wid. da 0 < q < 1
Existenz von z:
d(xn+1 , xn ) 6 q n d(x1 , x0 )
für m > n:
d(xm , xn ) 6 d(xm , xm−1 ) + d(xm−1 , xn )
m−1−n
X
n
. . . 6 q d(x1 , x0 )
qk
k=0
n
6
q
d(x1 , x0 )
1−q
⇒ (xn )n Cauchy-Folge, da Raum vollständig existiert Grenzwert limn→∞ xn = z
Cauchy-Schwarz-Ungleichung: a, b ∈ Rn
v
v
u n
n
n
X
u
X
uX
u
t
ak b k 6
|ak |2 · t
|bk |2
k=1
7
k=1
5.3
Partielle Ableitungen
Satz von Schwarz: Exisieren f,j , f,k und f,j,k , dann existiert auch f,k,j und
es ist f,k,j = f,j,k (Vertauschbarkeit der partiellen Ableitungen)
Beweis: 5.3.2 auf einem 2δ-Quadrat im R2 betrachten, mit Mittelwertsatz die Ableitung nach x und anschließend nach y konstruieren.
Das gleiche nochmal erst für y und dann für x ⇒ gleich, wenn
δ→0
Satz von Taylor im Rn : Ω ⊂ Rn offen, f ⊂ C m+1 (Ω), x0 , x ∈ Ω mit ∀ t ∈
[0, 1] : x0 + t(x − x0 ) ∈ Ω Verbindungsgerade. Dann ∃ ϑ = ϑ(x0 , x) mit
0 < ϑ < 1, so dass gilt:
f (x) = Tm (x) + Rm (x)
X Dα f (x0 )
(x − x0 )|α|
mit Taylor-Polynom Tm (x) =
|α|!
06|α|6m
X
und Restglied Rm (x) =
|α|=m+1
Dα f (x0 + ϑ(x − x0 ))
(x − x0 )|α|
|α|!
Beweis: 5.3.3/3 Betrachte h(t) = f (x0 + t(x − x0 ))
⇒
h(0) = f (x0 ), h(1) = f (x)
nach Kettenregel folgt
h0 (t) =
⇒
h(m) (t) =
n
X
j=1
n
X
Dj f (x0 + t(x − x0 )) · (xj − x0j )
...
n
X
Djm . . . Dj1 f (x0 + t(x − x0 ))
j1 =1
jm =1
·(xj1 − x0j1 ) . . . (xjm
− x0jm )
Taylor für n = 1 ergibt
h(t) = h(0) +
h(m) (0) m
h0 (0)
t + ... +
t + R̄m (t)
1!
m!
und somit für f (x) = h(1):
f (x) = f (x0 ) +
n
X
j=1
8
Dj f (x0 )(xj − x0j ) + . . .
... +
1 X α
D f (x0 )(x − x0 )|α|
|α|!
|α|=m
⇒
α
X
f (x) =
06|α|6m
D f (x0 )
(x − x0 )|α| + R̄m (1)
|α|!
Lokale Extremwerte: 5.3.4, siehe Analysis Zusammenfassung
5.4
Differentierbare Abbildungen
Jacobi-Matrix:
Diffeomorphismus:
Auflösungssatz:
Extrema mit Nebenbedingungen:
6
6.1
Gewöhnliche Differentialgleichungen
Systeme linearer DGLen 1. Ordnung mit konstanten Koeffizienten
Anfangswertproblem: A n × n-Matrix, b(t), x(t), x0 , ẋ(t) n-dimensionale
Vektoren, gesucht ist x(t), so dass
ẋ(t) = A · x(t) + b(t) ∀t ∈ R
und
x(0) = x0
Aus linearer Algebra: ∃! reguläre Matrix S, so dass SAS −1 = D eine
komplexe obere Dreiecksmatrix ist.
Sei z 0 ∈ Cn , ∃! Lösung χ(t) des AWP. Sei
L = {χ(t) : R → Cn stetig diffbar und χ̇(t) = Aχ(t)}
Lösung des homogenen Systems (b(t) = 0), dann ist L komplexer Vektorraum mit dim L = n. Ferner definiert man den Anfangswertisomorphismus J : Cn → L durch J(z 0 ) = χ(t, z 0 ) für chi(t, z 0 ) Lösung des
Anfangswertes mit z 0 ∈ C
Für A reell, b : R → Rn stetig, z 0 = u0 +iv 0 dann ist χ(t) = ϕ(t)+iψ(t)
Lösung des Anfangswertproblems χ̇ = Aχ + b und χ(0) = u0 + iv 0 :
ϕ̇(t)
ϕ(0)
ψ̇(t)
ψ(0)
=
=
=
=
9
Aϕ(t) + b(t)
u0
Aψ(t)
v0
6.2
Lineare DGL n-ter Ordnung mit konstanten Koeffizienten
6.3
Existenz- und Unitätssätze
Integraloperator n = 1: Gegeben DGL ẋ = f (t, x) x(t0 ) = x0 auf a 6
t 6 b und c < x < d
ϕ(t) : [α, β] → (c, d) Lösung und stetig diffbar
Z t
Z t
f (s, ϕ(s)) ds
ϕ̇(s) ds =
⇔
t0
t0
Z t
f (s, ϕ(s)) ds
⇔ ϕ(t) = x0 +
t0
Integraloperator:
(Kj ϕ)(t) =
x0j
Z
t
+
vj (s, ϕ
~ (s)) ds


(K1 ϕ
~ )(t)

...
(K ϕ
~ )(t) = 
(Kn ϕ
~ )(t)
t0
Satz von Picard-Lindelöf (lokal): Sei [α, β] ⊂ [a, b], so dass t0 ∈ [α, β], v(t, x)
sowie f stetig und Lipschitz-Bedingung ⇒ ∃! Integralkurve ϕ(t) mit
ϕ̇(t) = v(t, ϕ(t)) und ϕ(t0 ) = x0
Globaler Existenz- und Unitätssatz: ẋ = f (x, t) mit f stetig und LipschitzBedingung in x
⇔
⇒
∀x0 ∈ Rn
∃L > 0 : ∀t ∈ [a, b] und ∀x1 , x2 ∈ Rn gilt:
k f (x1 , t) − f (x2 , t) k6 L k x1 − x2 k
∃! Lösung mit ẋ = f (x, t) und x(t0 ) = x0
Beweis: z.z. Integraloperator ist kontraktiv ⇒
punktsatz ⇒ ∃ eindeutige Lösung
Picard Approximation: für ϕ0 ∈ X gilt
K l ϕ0 = K(K l−1 ϕ) →l→∞ ϕ in X
10
Banachscher Fix-
7
7.1
Integration im Rn
n-dimensionale Riemann-Integral
Integration über Rechtecke:
Satz von Fubini: Sei Q = A × B, A k-dim, B l-dim Rechteck. f (x, y) =
f : Q → R sei Riemann-integrierbar auf Q und
R
1. Für jedes feste x ∈ A existiere B f (x, y) dy, dann ist
Z Z
Z
Z
f (x, y) dy dx =
f=
f d(x, y)
A
B
Q
Q
R
2. Für jedes feste y ∈ B existiere A f (x, y) dx
Z
Z
Z Z
f d(x, y)
f=
f (x, y) dx dy =
B
Q
Q
A
Beweis: 7.1.2/1, dabei zu zeigen:
Z
z.z.
z}|{ Z Z
f d(x, y) 6
f (x, y) dy dx
A
Q
B
Z Z
6
|{z}
klar
f (x, y) dy
A
B
Z
dx 6
|{z}
z.z.
f d(x, y)
Q
charakteristische Funktion: Benötigtes Gebiet Ω in Rechteck Q legen
und mit charakteristischer Funktion
1 x∈Ω
χΩ (x) =6
0 x∈
/Ω
integrieren
Normalbereich B ⊂ R2 in y-Richtung ⇔ ∃ [a, b] ⊂ R∃ ϕ, ψ stetig, so dass
B = {(x, y) : a 6 x 6 b, ϕ(x) 6 y 6 ψ(x)}
Mit f : B → R stetig
Z
⇒
Z
b
Z
f (x, y) d(x, y) =
B
f (x, y) dy
a
11
!
ψ(x)
ϕ(x)
dx
Jordansche Nullmenge M:
endlich viele abgeschlossene RechtS :⇔ ∃ P
ecke Qj , so dass M ⊂ j Qj und j µ(Qj ) < ε
Jordan-messbar: Beschränkte Menge Ω ⊂ Rn heißt jordan-messbar ⇔
Rand ∂Ω Jordansche Nullmenge
Berechnung durch Transformation: Seien A,B kompakt und Jordan-messbar.
Sei g : A → B stetig diffbar und surjektiv (g(A) = B), ferner N ⊂ A
jordansche Nullmenge mit g injektiv und Jacobi-Matrix ungleich Null
auf A\N . Sei f : B → R stetig, dann gilt:
Z
Z
∂(g1 , g2 , . . . , gn ) du
f (x) dx =
f (g(u)) ∂(u1 , u2 , . . . , un ) B
A
Uneigentliche Integrale: Grenzprozess an Problemstellen, wo f oder Ω
unbeschränkt.
7.2
Kurvenintegrale
Parameterdarstellung: ϕ : [a, b] → Rn stetig mit Γ = {x = ϕ(t) : t ∈ [a, b]}
Rb
Rbp
Bogenlänge von Γ: L(Γ) = a kϕ̇(t)k dt = a ϕ̇21 (t) + . . . + ϕ̇2n (t) dt
Kurvenintegral 1.Art: f : Ω → R stetig mit Linienelement ds = kϕ̇(t)k dt
Z
Z
b
f (ϕ(t)) kϕ̇(t)k dt
f ds =
Γ
a
Kurvenintegral 2.Art: v : Ω → Rn stetiges Vektorfeld:
Z
Z b
v dx =
v(ϕ(t)) · ϕ̇(t) dt
Γ
7.3
a
Oberflächenintegral im R3
Parameterdarstellung: g : G ⊂ R2 → R3 stetig diffbar, B ⊂ G kompakt
und jordan-messbar und S = g(B) = {g(u, v) : (u, v) ∈ B}
1 ∂g2 ∂g3
Flächeninhalt von S: mit gu = ∂g
,
,
, E = gu · gu , G = gv · gv und
∂u ∂u ∂u
F = gu · gv
12
Z
kgu × gv k d(u, v)
ZB p
1 + gu2 + gv2 d(u, v)
=
B
Z
√
=
E · G − F d(u, v)
ω(S) =
B
Oberflächenintegral 1.Art: f : Ω → R stetig mit Oberflächenelement
dS = kgu × gv k d(u, v)
Z
Z
f dS =
f (g(u, v)) kgu × gv k d(u, v)
S
B
Oberflächenintegral 2.Art: v : Ω → R3 stetig:
Z
Z
v(g(u, v)) · [gu × gv ](u, v) d(u, v)
v ds =
S
8
B
Vektoranalysis, Integralsätze
8.1
Vektorfelder
8.2
Integralsätze
Greensche Formel im Rn
Satz von Stokes: S = g(B) kompakte Fläche, ∂S Rand, g ∈ C 2 (G), v :
Ω → R3 C 1 -Vektorfeld auf Ω, Ω ⊂ R3 offen, S ⊂ Ω. Dann gilt:
Z
Z
v dx
rot v ds =
S
∂S
Beweis: 8.2.2/5 durch Rückführung auf Greensche Formel im R2
Satz von Gauß-Ostrogradski: B Normalbereich, n äußerer Normalenvektor an Rand ∂B, B ⊂ Ω ⊂ R3 , Ω offen, v C 1 -Vektorfeld auf Ω. Dann
gilt:
Z
Z
div v dx =
vn ds
B
∂B
Greensche Sätze: B zulässiger Bereich (also Satz von Gauß anwendbar),
B ⊂ Ω, u, v ∈ C 2 (Ω). Dann gilt:
Z
Z
Z
∂v
u∆v dx =
u
ds −
grad u · grad v dx
B
∂B ∂n
B
13
und
Z
Z
[u∆v − v∆u] dx =
B
8.3
∂B
∂v
∂u
u
−v
∂n
∂n
Ergänzungen
Flächenintegrale im Rn , Oberfläche der Einheitskugel, Differentialoperatoren
in krummlinigen Koordinaten
9
9.1
Partielle Differentialgleichungen
Laplace-Poisson-Gleichung
u harmonisch auf Ω ⇔ u ∈ C 2 (Ω) und ∆u = 0 auf Ω
Ferner: u = u(|x|) ist harmonisch auf Rn \{0} (mit n > 2)
b ln |x| + c
n=2
⇔ u(x) =
b
+c
n>2
|x|n−2
Fundamentallösung der Laplace-Lösung: Für x 6= y setze
1
ln |x − y|
n=2
2π
Γ(x, y) := Γ(|x − y|) =
1
1
n>2
− (n−2)|ωn | |x−y|n−2
Greensche Darstellungsformel: Ω ⊂ Rn zulässiges Gebiet, Ω offen, Ω̄ =
Ω + ∂Ω, u ∈ C 2 (Ω̄), n(x) äußerer Normalenvektor an x ∈ ∂Ω. Für alle
y ∈ Ω gilt:
Z
Z ∂Γ
∂u
(x, y) − Γ(x, y) (x) dS(x)+ Γ(x, y)∆u(x) dx
u(y) =
u(x)
∂n(x)
∂n
Ω
∂Ω
Beweis: 5.1.2/9 ...
Greensche Funktion: Für u harmonisch und Greensche Funktion G(x, y) =
Γ(x, y)+Φ(x, y) mit ∆x Φ(x, y) = 0 ∀y ∈ Ω und G(x, y) = 0 für y ∈ Ω
und x ∈ ∂Ω folgt aus Greenscher Darstellungsformel:
Z
∂G
u(y) =
u(x)
(x, y)dS(x)
∂n(x)
∂Ω
14
Poissonsche Darstellungsformel: Sei ϕ : ∂K → C stetig und
Z
ϕ(x)
1 − |y|2
u(y) =
dS(x)
n
|ωn |
∂K |x − y|
Dann gilt:
∆u(y) = 0 auf K
und
∀y 0 ∈ ∂k :
lim u(y) = ϕ(y 0 )
y→y 0
Beweis: 9.1.3/5 ...
Mittelwerteigenschaft: u ∈ C 2 (Ω) subharmonisch auf Ω :⇔ ∆u(x) > 0
auf Ω
u ∈ C 2 (Ω) superharmonisch auf Ω :⇔ ∆u(x) 6 0 auf Ω ⇔ −u subharmonisch
sphärische Mittelwerteigenschaft: Für u subharmonisch (∆u > 0)
gilt auf jeder Kugel KR (y) mit KR¯(y) < Ω:
Z
1
u(x) dx
u(y) 6
|∂KR | ∂KR (y)
(Analog auch für u superharmonisch oder harmonisch)
Kugel-Mittelwerteigenschaft: Für u subharmonisch (∆u > 0) gilt
auf jeder Kugel KR (y) mit KR¯(y) < Ω:
Z
1
u(y) 6
u(x) dx
|KR | KR (y)
(Analog auch für u superharmonisch oder harmonisch)
Beweis: 9.1.4/2 ...
Max- und Minprinzip: starkes Max-Min-Prinzip: Sei Ω ⊂ Rn Gebiet,
u ∈ C 2 (Ω) mit ∆u > 0 subharmonisch auf Ω und ∃ y 0 ∈ Ω mit
u(y 0 ) = supy∈Ω u(y), dann ist u = const
Analoge Aussage für u superharmonisch und ∃y 0 ∈ Ω mit u(y 0 ) =
infy∈Ω u(y), dann ist u = const.
15
schwaches Max-Min-Prinzip: Sei Ω ⊂ Rn beschränktes Gebiet, u ∈
C 2 (Ω) ∩ C(Ω̄) dann gilt:
u(x) 6 max u ∀x ∈ Ω falls ∆u(x) > 0 auf Ω
∂Ω
u(x) > min u ∀x ∈ Ω falls ∆u(x) 6 0 auf Ω
∂Ω
Beweis: 9.1.5/1 folgt aus Kugelmittelwert-Eigenschaft und anschließender Abschätzung, gleiche Konstante ergibt sich durch stetigen
Polygonzug von y 0 nach y und endlich viele Schritte durch Iteration
Newton-Potential: Ω ⊂ Rn beschränktes zulässiges Gebiet, mit gegebenem f ∈ C(Ω̄), gesucht ist das Newton-Potential u mit −∆u = f
Lösung: mit folgenden Eigenschaften
Z
u(x) =
Γ(|x − y|) ∆f (y) dy
Ω
• u ∈ C 1 (Rn )
R
∂u
(x)
=
• ∂x
Ω
j
∂
Γ(|x
∂xj
− y|) f (y) dy
• für n > 3: lim|x|→∞ u(x) = 0
9.2
Cauchy-Probleme
siehe Zusammenfassung
9.3
Separationsansatz (Fouriersche Methode)
Fourier-Reihen, Laplace-Poisson-Gleichung
10
10.1
Komplexe Funktionen
Komplexe Differentierbarkeit
Cauchy-Riemannsche-Differentialgleichung: f (x, y) = u(x, y)+iv(x, y)
in z0 = x0 + iy0 komplex differentierbar ⇔ u,v (total) diffbar in (x0 , y0 )
und die CRD gelten im Punkt (x0 , y0 ):
ux = vy
und
16
uy = −vx
Beweis: 10.1.2/1 folgt aus vorhergehendem Satz: f diffbar in z0 ⇔
∃c ∈ C und
f (z) − f (z0 ) − c(z − z0 )
→z→z0 0
z − z0
Real- und Imaginärteil trennen. ???
konjugierte Funktion: Sei G ∈ C sternförmiges Gebiet, u harmonisch auf
G ⇒
∃ v harmonisch auf G, dass f (x + iy) = u(x, y) + iv(x, y)
holomorph auf G (v heißt dann konjugierte Funktion)
Beweis: 10.1.2/5 Betrachte Vektorfeld (−uy , ux ), da u harmonisch gilt
(−uy )y = (ux )x ⇒ ∃ v mit grad v = (−uy , ux ) ⇒ aus Satz
von Schwarz ∆v = −uyx + uxy = 0 auch v harmonisch
P
k
Potenzreihen als holomorphe Funktionen: Sei f (z) = ∞
k=0 ak (z−z0 )
für |z − z0 | < R, dann gilt:
1. f beliebig oft komplex differentierbar (insbesondere holomorph)
auf D = KR (z0 )
f (j) =
∞
X
ak · k · (k − 1) · . . . · (k − j + 1)(z − z0 )k−j
k=j
2. ∀k ∈ N0 gilt: ak =
f (k) (z0 )
k!
Über Potenzreihen ist die Exponentialfunktion definiert und damit
auch:
eiz + e−iz
2
z
e + e−z
cosh z =
2
eiz − e−iz
2i
z
e − e−z
sinh z =
2
sin z =
cos z =
10.2
Integration
komplexe Kurvenintegrale:
Stammfunktion: ...
Satz von Gursat: f : G → C holomorph ⇒
Dreieck ∆ ∈ G ist
Z
f (z) dz = 0
∂∆
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für jedes abgeschlossene
Beweis: Dreieck in vier kleinere unterteilen und Interativ vorgehen
Verschärfung: holomorph überall bis auf einen punkt a, dann gilt
Aussage trotzdem
Cauchy-Integralsatz: G einfach zusammenhängendes Gebiet, f : G → C
holomorph. Dann gilt für jede geschlossene stückweise stetig differentierbare Kurve Γ ⊂ G
Z
f (z) dz = 0
Γ
Beweis: zu zeigen, dass f eine Stammfunktion F bestitzt. Definieren F (z) für einen beliebigen stetigen Polygonzug Γ : z → z0 .
Definition ist aber unabhängig von Auswahl von Γ ⇒ F ist
Stammfunktion für f
Cauchy-Integralformel für Ableitungen: G ∈ C offen, f : G → C holomorph. Dann ist f beliebig oft diffbar und es gilt:
I
f (ζ)
k!
(k)
dζ
∀z ∈ Kr (z0 )
f (z) =
2πi |ζ−z0 |=r (ζ − z)k+1
Riemannscher Hebbarkeitssatz: G ⊂ C offen, z0 ∈ G
1. f holomorph in G\{z0 } und stetig in z0 ⇒
f holomorph in z0
2. f holomorph in G\{z0 } und beschränkt in Kδ (z0 ) ⇒
morphe Funktion h : G → C mit h(z) = f (z) ∀z 6= z0
10.3
∃ holo-
Singularitätentheorie
Laurentreihenentwicklung: Kreisring K = K(z0 , r, R), f holomorph auf
K, dann ist ∀z ∈ K absolut konvergent
f (z) =
∞
X
|k=0
ak (z − z0 )k +
−∞
X
ak (z − z0 )k
k=−1
{z
}
{z
}
f1 Hauptteil
H
f (ζ)
1
mit den eindeutig bestimmten Koeffizienten ak = 2πi
|ζ−zo |=ρ (ζ−z0 )k+1 dζ
für alle k ∈ Z0 und r < ρ < R
f1 konvergiert absolut und gleichmäßig auf {z : |z − z0 | > r1 > r} und
ist holomorph auf C \ Kr (z0 ), f2 konvergiert absolut und gleichmäßig
auf {z : |z − z0 | 6 r2 < R} und ist holomorph auf KR (z0 )
f2
18
|
Residuum: Der Hauptteil f1 beschreibt die Singularitäten von f bei z0 , es
wird definiert:
I
1
Res(f, z0 ) = a−1 =
f (z) dz
2πi |z−z0 |=ρ
Residuensatz: G einfach zusammenhängend, f holomorph auf G\{z1 , . . . , zN },
Γ stückweise glatte geschlossene Kurve in G und {z1 , . . . , zN } ∈
/ Γ, dann
folgt:
Z
N
X
f (z) dz = 2πi
n(Γ, zj ) · Res(f, zj )
Γ
mit Umlaufzahl n(Γ, zj ) =
j=1
1
2πi
R
dz
Γ z−zj
Allgemeine Cauchy-Integralformel: G einfach zusammenhängend, f :
G → C holomorph auf G, z ∈ G beliebig, Γ geschlossene stückweise
glatte Kurve in G mit z ∈
/ Γ, dann gilt:
Z
f (ζ)
k!
(k)
dζ
k ∈ N0
n(Γ, z)f (z) =
2πi Γ (ζ − z)k+1
Typen
von Singularitäten: f holomorph auf KR (z0 ) \ {z0 } und f (z) =
P∞
k
k=−∞ ak (z − z0 ) Laurentreihe
• z0 hebbare Singularität :⇔ a−k = 0 für alle k ∈ N
• z0 Pol n-ter Ordnung von f :⇔ a−k 6= 0 und a−k = 0 für alle k > n
• z0 wesentliche Singularität :⇔ a−k 6= 0 für uendlich viele k ∈ N
10.4
Eigenschaften holomorpher Funktionen
Identitätssatz: G ⊂ C Gebiet, f, g : G → C holomorph in G, dann sind
äquivalent:
1. f (z) = g(z) für alle z ∈ G
2. ∃ Menge M ⊂ G, die in G einen Häufungspunkt besitzt, sodass
f (z) = g(z) für alle z ∈ M
3. ∃ z0 ∈ G mit f (k) (z0 ) = g (k) (z0 ) für alle k ∈ N0
f ganze analytische Funktion: ⇔ f holomorph auf ganz C
Fundamentalsatz der Algebra: Polynom P (z) mit Grad = n (n > 1),
dann ∃ z0 ∈ C mit P (z0 ) = 0
19
Maximumprinzip: G ⊂ C Gebiet
• f : G → C holomorph in G und |f | hat lokales Maximum in G ⇒
f = const in G
• f : Ḡ → C stetig, holomorph auf G, G beschränkt ⇒ |f (z)| 6
maxζ∈∂G |f (ζ)| für alle z ∈ Ḡ
Konforme Abbildung: u, v ⊂ C offene Mengen, f : u → v heiß konforme
Abbildung :⇔ f bijektiv und holomorph auf u
Riemannscher Abbildungssatz: G ⊂ C offen, G 6= ∅, dann gilt:
G ist einfach zusammenhängend ⇔ ∃ konforme Abbildung von G auf
Einheitskreis K oder G = C
20