Universität des Saarlandes Fakultät 7 – Physik und Mechatronik

Universität des Saarlandes
Fakultät 7 – Physik und Mechatronik
Fachrichtung 7.1 – Theoretische Physik
Prof. Dr. L. Santen
Saarbrücken, den 01.10.2015
Übungen zum mathematischen Vorkurs für Studienanfänger
Übungsblatt zu den Ergänzungen (E1)
Aufgabe 1 (Komplexe Zahlen)
Gegeben seien die folgenden komplexen Zahlen:
z1 = 3 + 5i , z2 = 1 + i , z3 =
a) Berechnen Sie z1 + z2 , z2 + z̄4 , z̄3 − 4z2 ,
z2
z̄3 ,
3
, z4 = 4
2−i
.
b) Berechnen Sie |z1 |, |z2 |, |z3 | und |z4 |.
c) Geben Sie die Polardarstellung der Zahlen z1 bis z4 an.
Aufgabe 2 (Beweis)
Zeigen Sie, dass für beliebige Zahlen zi ∈ C , i ∈ {1, . . . , n} gilt:
n
X
zi z̄j ≥ 0 .
i,j=1
Aufgabe 3 (Theorem von de Moivre)
Zeigen Sie das Theorem von de Moivre:
(cos(x) + i sin(x))n = cos(nx) + i sin(nx) .
Aufgabe 4 (Additionstheoreme)
Zeigen Sie die Gültigkeit der folgenden trigonometrischen Additionstheoreme:
a) cos(x + y) = cos(x) cos(y) − sin(x) sin(y)
b) sin(x + y) = sin(x) cos(y) + sin(y) cos(x)
c) sin(2x) = 2 sin(x) cos(x) =
2 tan(x)
1+tan2 (x)
d) cos(2x) = cos2 (x) − sin2 (x) = 1 − 2 sin2 (x) = 2 cos2 (x) − 1 =
x−y
e) sin(x) + sin(y) = 2 sin( x+y
2 ) cos( 2 )
f) sin(x) sin(y) = 12 (cos(x − y) − cos(x + y))
1−tan2 (x)
1+tan2 (x)