9.1 Sei p ≡ 3 (mod 4). Setze r = (p + 1)/4. Dann gilt: = 1 + 1 . Falls

1
9.1 Sei p ≡ 3 (mod 4). Setze r = (p + 1)/4. Dann gilt: p4 = 1r + rp
. Falls
nun n einen Primteiler p ≡ 3 (mod 4) hat, schreiben wir n = pm und damit
1
1
+ rmp
. Damit gilt: die Menge derjenigen n, für
in obiger Notation n4 = rm
4
die n nicht Summe zweier Stammbrüche ist, besteht höchstens aus denjenigen
Zahlen, die keine Primteiler ≡ 3 (mod 4) haben. Solche Zahlen lassen sich
aber als Summe von 2 Quadratzahlen darstellen, also gibt es nach Vorlesung
höchstens O(x(log x)−1/2 ) solcher Zahlen ≤ x.
Bemerkung: 1) Man kann zeigen, dass genau die ungeraden Zahlen, die nur
Primteiler ≡ 1 (mod 4) besitzten, nicht Summe höchstens zweier Stammbrüche
sind.
2) Man kann zeigen: Sei m eine fest gewählte natürliche Zahl. Dann ist
die Anzahl derjenigen Zahlen n ≤ x teilerfremd zu m, für die m/n nicht
als Summe höchstens zweier Stmmbrüche geschrieben werden kann, höchstens
O(x(log x)−1/φ(m) ).
3) Viele von Ihnen haben (allerdings ohne Erfolg) versucht, die Ausnahmemenge mit einem Sieb abzuschätzen. Die Idee ist gut und das geht auch,
allerdings benötigt man dazu das halbdimensionale Sieb, für das man eine ganze
Menge mehr Siebtheorie braucht, als wir besprochen haben.
9.2. a) Es gilt
2 X
p
p X
Z(p, h) − Z =
|Z(p, h)|2 −2<
p
h=1
h=1
|
!
p
p
X
|Z|2
|Z|2
ZX
Z(p, h) +
=
|Z(p, h)|2 −
.
p
p
p
h=1
h=1
{z
}
=|Z|2 /p
b) Aus der Vorlesung wissen wir
p
p
X
h=1
X ∗ a 2
.
S
|Z(p, h)| − |Z| =
p 2
2
a (p)
Die zu zeigende Ungleichung folgt jetzt direkt aus der Ungleichung des großen
Siebs.
c) Für festes p kann h 7→ Z(p, h) als Zufallsvariable aufgefasst werden, deren
Mittelwert Z/p ist. Die Formel aus Teil a) ist dann einfach die aus der Schule
bekannte Formel V (X) = E(X 2 ) − E(X)2 , während Teil b) eine obere Abschätzung für die Varianz im Mittel über p ist.
10.1. Sei x√hinreichend groß, A = {n ≤ x}, P = {p ≤ Q} für einen
Parameter Q ≤ x, und für jede Primzahl p ∈ P setze Ωp := {h (p) | h2 + 1 ≡
0 (p)}. Dann ist Q + S(A, P, Ωp ) eine obere Schranke für die gesuchte Anzahl,
denn Primzahlen p > Q der Form n2 + 1 überleben sicher den Siebprozess. Aus
der elementaren Zahlentheorie ist bekannt

 1, p = 2,
−1
2, p ≡ 1 (4),
ω(p) := #Ω(p) = 1 +
=

p
0, p ≡ 3 (4).
1
Das große Sieb impliziert nun
−1
X g(q)

S(A, P, Ωp ) x 
q

q≤Q
wobei die g(q) durch die Koeffizienten der Dirichlet-Reihe
Y 1
2
D(s) = 1 + s
1+ s
2
p
p≡1 (4)
gegeben ist. Sei χ der nicht-triviale Charakter mod 4. Dann sieht man durch
Vergleich der Euler-Produkte
−1
L(s, χ) ζ(s)
1
L(s, χ)ζ(s)
= 1− s
=: L(s, χ)ζ(s)H(s),
D(s) =
2
L(2s, χ ) ζ(2s)
2
ζ(2s)2
wobei H in <s > 1/2 holomorphes Euler-Produkt ohne Nullstellen ist. Damit
ist D holomorph in <s > 1/2 bis auf einen einfachen Pol bei s = 1 mit Residuum
L(1, χ)H(1) = 2 ·
π 36
18
·
= 3.
4 π4
π
(Wir benötigen den Wert nicht.) In Perrons Formel wählen wir jetzt c = 1+ε, T
eine kleine Potenz von x und verschieben den Integrationsweg nach <s = 1/2+ε.
Dann folgt mit Standard-Abschätzungen für ζ(s) und L(s, χ)
!
X
18
x1+ε
1/2+ε 1/2
g(q) = 3 x + O
+
x
x.
{zT }
|
π
T }
| {z
q≤x
vertikales Integral
mit Konveixtätsschranke
Fehler in Perron
horizontale Integrale
Mit partieller Summation folgt
Aufgabe ist gezeigt.
P
q≤Q
g(q)/q log x, und die Behauptung der
10.2. a) Klar: x2 ≡ 1 (mod p) ⇔ x ≡ ±1 (mod p). Nach der Formel
für Kern und Bild gibt es damit (p − 1)/2 quadratische Reste und somit auch
(p − 1)/2 quadratische Nichtreste.
√ b) Sicher sind alle Quadrate quadratischer Rest modulo aller p, also A ≥
[√ x]. Wir betrachten jetzt die Siebsituation A = {n ≤ x}, P = {3 ≤ p ≤
x}, Ωp = {quadratische Nichtreste mod p}, also ω(p) = (p − 1)/2. Die zu
untersuchende Kardinalität ist also beschränkt durch S(A, P, Ωp ). Setze
2
Yp−1
Y
2
2
2
g(q) = µ (q)
≥ µ (q)
1−
=: g̃(q)
p+1
p
p|q
p|q
Das große Sieb liefert
−1

S(A, P, Ωp ) x 
2
X
√
q≤ x
g̃(q)
Es gilt
X g̃(q)
q
qs
= ζ(s)
=
Y
1+
p
Y
p
1−
1 − 2/p
ps
2
ps+1
= ζ(s)
Y
p
1
2
− 2s + 2s+1
p
p
1+
1 − 2/p
ps
1
1− s
p
.
Dasselbe Argument wie eben liefert
X
Y
2
3
g̃(q) = Q
1 − 2 + 3 + O(Q1−δ ) Q,
p
p
p
q≤Q
und mit Q =
√
x folgt die Behauptung.
3