Mathematik 1 (Analysis)

Mathematik 1 (Analysis)
J. Schicho
Vorlesungsmitschrift SS 2003
1. Funktionen
Darstellung von Funktionen
• Wertetabelle
Beispiel:
A = {1, 2, 3, 4}
B = {A, B, C, D, …, X, Y, Z}
1
2
3
4
•
A
A
Z
X
Graph
mit sich selbst, × oder 2 .
xy-Ebene ist ein Produkt von
d.h. {( x, y ) | x ∈ , y ∈ } (Menge aller Paare bzw. Produktmenge.
Wenn A und B endlich sind:
Produktmenge = {(1, A), (1, B), …, (2, A), …, (4, Z)}
f = {(1, A), (2, A), (3, Z), (4, X)}
•
Funktionsvorschrift
x
x2
Schreibweise: f : A → B; x
Ausdruck
A … Urmenge, Menge der Stellen
B … Bildmenge
Ausdruck … Funktionsvorschrift
Beispiel:
f:
→ ; 2x
x 2 (Æ falsche Syntax)
↓
2x = y
y
x=
2
y2
2
x =
4
y2
y
4
f −1 f : A → A
f f −1 : B → B
idA identisch
idB identisch
Eine Funktion g : B → A und für die g f = id A ist, heißt linksinverse Funktion von f.
Berechnen der inversen Funktion falls die Funktion durch Term gegeben ist.
f : A → B; x
Ansatz:
F ( x)
y = F ( x)
y = 7x − 2
y + 2 = 7x
y+2
=x
7
Versuch x auf eine Seite zu bringen
Umkehrfunktion: f −1 : B → A; y
y+2
7
Weitere Bezeichnungen:
f : A → B sei eine beliebige Funktion
Das Bild von f geschrieben f(A) ist die Funktion definiert als
{b | es gibt ein a ∈ A so dass f (a) = b} .
Es gilt: f ( A) ⊆ B
f ( A) = B Æ f surjektiv.
Jede Funktion f : A → B induziert eine Relation ∼ f durch a1 ∼ f a2 ⇔ f ( a1) ∼ f ( a2 ) .
Das ist eine Äquivalenzrelation d.h.
a1 ∼ a1
Reflexivität
a1 ∼ a2 ⇒ a2 ∼ a1
Symmetrie
a1 ∼ a2 ∧ a2 ∼ a3 ⇒ a1 ∼ a3
Transitivität
2. Reelle Zahlen
"Antike Def.": Eine reelle Zahl ist eine Proportion von zwei messbaren Größen.
Bsp:
:
= 2,1
"Rechenoperationen" sind in der Regel geometrisch definiert.
Bsp. Addition:
:
:
+
:
=
Vermutung: Jede Proportion lässt sich beschreiben als Verhältnis zweier natürlicher Zahlen.
Falsch: Das Verhältnis von Seite und Diagonale eines Quadrats lässt sich nicht durch Zahlen
ausdrücken.
"irrationale Proportion"
d :s = 2
d
2 ist keine rationale Zahl der Form
p∈
q∈
.
s
Einführung des Dezimalsystems
Def.: Eine Dezimalzahl ist eine endliche Kette von Zeichen aus {0, 1, …, 9, ., +, -} mit
folgenden syntaktischen Eigenschaften:
[ + | - ] Zahlen . Zahlen
1,0 : 3,0 = 0,3333… Æ kein endlicher String
Def. 1: Ein unendlicher String aus einem Alphabet Σ (in unserem Fall {0, 1, …, 9, ., +, -}) ist
eine Zeichenkette die nie abbricht.
Def. 2: Ein String ist eine Funktion
z.B.: 1,234 wobei
1 , 2 3 4
f(1)
f(2) f(3) f(4)
→Σ
Def. 3: Eine unendliche Dezimalentwicklung ist ein unendlicher String aus dem Alphabet Σ
(wie oben), mit den obigen syntaktischen Beschränkungen.
0,999999...
Problem:
 müssten die selben reellen Zahlen sein.
1, 000000... 
Wir definieren eine Äquivalenzrelation auf den unendlichen Dezimalentwicklungen.
a∼b⇔a=b
oder
a endet mit einer unendlichen Folge von 9en,
b endet mit einer unendlichen Folge von 0en
und der Teil vor diesen beiden unendlichen Folgen unterscheidet sich um 1 oder umgekehrt.
z.B.: 0,23999… ~ 0,24000…
Æ Def: Eine reelle zahl ist eine Äquivalenzklasse von Dezimalentwicklungen.
Beobachtung: Jede Klasse hat entweder ein oder zwei Elemente, d.h. jede reelle Zahl besitzt
entweder eine oder zwei Dezimalentwicklungen.
Darstellung von unendlichen Dezimalentwicklungen am Computer
Periodische Dezimalentwicklung
0,3333333… = 0,'3'
d.h. Σ wird erweitert mit ', was die Periode markiert.
0,23'9'
1,'0' : 7,'0' = 0,'142857'
Satz: Jede rationale zahl lässt sich als periodische Dezmalentwicklung darstellen.
Nichtperiodische Dezimalentwicklungen:
π = 3.14159265358979323846264338328…
α = 0,12345678910111213141516171819202122…
2 = 1.41421356237309504880168872421…
α lässt sich endlich beschreiben durch ein kurzes Programm (Algorithmus) dass diese
unendliche Zeichenkette ausdrückt.
Unendliche Dezimalentwicklungen die sich durch eine Turingmaschine (Programm) endlich
beschreiben lassen heißen gesetzmäßig oder berechenbar.
Wie rechnet man mit diesen reellen Zahlen?
(d.h. Klassen von unendlichen Dezimalentwicklungen)
Bsp.: Addition
Versuch 1: Verschiebe so dass "," untereinanderstehen.
23,147908...
+ 0, 053664...
Æ Die Methode wie bei endlichen Dezimalzahlen "von rechts nach links" ist hier nicht
möglich.
Versuch 2: Abbruch bei n-ter Stelle hinter "," für n = 1, 2, 3, 4, 5, …
23,1
+ 0, 0
23,1
23,14
+ 0, 05
23,19
23,147
+ 0, 053
23, 200
23,1479
+ 0, 0536
23, 2015
Summe ist 23,2015… Æ scheint zu funktionieren
Das Ergebnis ergibt sich als Grenzwert einer Folge
a1 = 23,1; a2 = 23,19; ...
Grenzwert:
lim an = 23, 201...
(näheres über Grenzwert später)
1→∞
Dieser Versuch zielt darauf ab, eine Turingmaschine "T+" zu konstruieren, die drei Bänder
hat. (Zwei Lese- und ein Schreibband). Auf den ersten beiden Bändern werden die Eingaben
(Summanden) geschrieben (durch eine Turingmaschine "TA" und "TB") und auf das
Ausgabeband das Ergebnis.
Band 1: 0,33333…
Band 2: 0,66666…
Um die erste Ziffer des Resultates zu berechnen müsste "T+" unendlich weit nach rechts
lesen. Wenn die beiden Eingaben wie oben sind kann "T+" die erste Ziffer des Resultats nicht
schreiben. Æ lässt sich reparieren durch die zusätzliche Ziffer -1.
Bsp.: 0,333332
0,666666
1,0000-1
Def.: Eine reelle Zahl heißt berechenbar wenn sie sich beliebig genau approximieren lässt,
d.h. es gibt ein Programm, das bei Eingabe n eine (endliche) Dezimalzahl an ausgibt, so dass
an − α ≤ 10− n .
3. Folgen und Reihen
Def.: Eine Folge von reellen Zahlen ist eine Funktion
Notation:
→
.
Ist a : → eine Folge, so schreiben wir an für a(n) .
Die Funktion n an wird geschrieben (an ) n .
Æ Arithmetische Folge: an = kn + d
(d, d+k, d+2k, …)
(kn + d ) n
Æ Konstante Folge: cn = (c, c, c, c,...)
Æ Geometrische Folge:
an +1
= const.
an
an = aq n ; (aq n ) n
(a, aq, aq², aq³, …)
Æ Rekursiv definierte Folge: a0 = a; an +1 = qan (rekursive def. der geometrischen Folge)
Fibonecci-Folge: a0 = 1; a1 = 1; an + 2 = an +1 + an
Spezialfall: Iteration von F: a0 = a; an +1 = f (an ) , wobei f : →
Beilspiel: f : x cos x , d.h. a0 = 0; an +1 = cos an
(1; 0,540; 0,858; 0,654; 0,793; 0,791; 0,764; 0,723; 0,750; …)
Grenzwert: 0,739.
Konvergiert gegen einen Fixpunkt von f. In diesem Fall: cos(0, 739) = 0, 739 .
Ein Wert x sodass f ( x) = x heißt Fixpunkt von f. Iterationen von Funktionen führen zu
Fixpunkten. „Attraktive Fixpunkte“ x sond solche, bei denen rekursive Folgen an +1 = f (an )
gegen x konvergieren, wenn der Startwert a0 in einem Intervall um x liegt.
(„Attraktionsgebiet“).
Das muss nicht immer so sein:
Beispiel: Iteration f : → ; x 4 x(1 − x)
1
a0 = ; an +1 = 4an (1 − an )
3
Die Folge hat keinen Grenzwert, sondern zeigt chaotisches Verhalten im Intervall
[0,1]. (Intervall [0,1] = {x ∈ | 0 ≤ x ≤ 1} )
Die Folge kommt jeder Zahl α ∈ [0,1] unendlich oft beliebig nahe.
Eigenschaften von Folgen
Def.:
(an ) n heißt monoton steigend (fallend) wenn für alle n gilt an +1 ≥ an
(an +1 ≤ an ) .
(an ) n heißt streng monoton steigend (fallend) wenn für alle n gilt
an +1 > an (an +1 < an ) .
 monoton steigend wenn k ≥ 0
 monoton fallend wenn k ≤ 0

Beispiel: (kn + d ) n ist  streng monoton steigend wenn k > 0
 streng monoton fallend wenn k < 0

(an ) n heißt nach oben beschränkt (nach unten beschränkt) wenn es eine Zahl M gibt
sodass für alle n gilt an ≤ M (an ≥ M ) .
Beispiel:
n+2
n+2
ist nach unten durch 0 ( an =
≥ 0)
n +1
n +1
n+2
≤ 2 ).
und ist nach oben durch 2 beschränkt ( an =
n +1
an =
Beweis:
n+2
≤2
n +1
n + 2 ≤ 2(n + 1)
n + 2 ≤ 2n + 2
0≤n
ist richtig für alle n ∈
.
Eine Folge heißt genau dann beschränkt, wenn sie sowohl nach oben als auch nach unten
beschränkt ist.
Geometrische Folge (2n ) n ist unbeschränkt.
Wähle M := 3n dann gilt 2n ≤ 3n , daher ist (a n ) n beschränkt.
Wichtig: Zuerst M wählen, unabhängig von n!
Proposition (Sätzchen):
Jede monoton steigende Folge ist nach unten beschränkt.
Jede monoton fallende Folge ist nach oben beschränkt.
Eine Folge (an ) n heißt Nullfolge wenn es für jedes Intervall [−Σ | Σ] um 0 (d.h. Σ > 0 ) gilt
dass nur endlich viele Folgeglieder außerhalb liegen. (Das heißt die Folge bleibt beliebig nahe
bei 0, konvergiert gegen 0).
Beispiel: an =
1
ist eine Nullfolge
n
Σ = 10−6
Fast alle Folgeglieder an liegen im Intervall [−10−6 |10−6 ] , denn
an ≥ 0 ≥ −10−6
1
an ≤ 10−6 ⇔ ≤ 10−6 ⇔ n ≥ 106
n
Die Folgeglieder ( a1000000 , a1000001 , ... ) sind alle im Intervall.
Beispiel: (aq n ) n ist eine Nullfolge wenn |q|<1.
Insbesondere sind Nullfolgen beschränkt.
Grenzwert
Def 1.: Die Folge (an ) n hat den Grenzwert a genau dann, wenn die Folge (an − a )n eine
Nullfolge ist.
Def 2.: (äquivalent dazu): Die Folge (an ) n hat den Grenzwert a, wenn für jedes Intervall
[a − Σ | a + Σ] (Σ > 0) gilt, dass nur endlich viele Glieder außerhalb liegen.
Beispiele:
n+2
hat den Grenzwert 1.
n +1
a0 = 0; an +1 = cos an hat den Grenzwert a=0,739…
an =
Def.: Sei (an )n eine Folge a ∈ . Eine reelle Zahl a heißt Häufungswert der Folge, wenn
jedes Intervall [a − Σ | a + Σ] (Σ > 0) unendlich viele Folgeglieder enthält.
Beispiele:
( a( −1) n ) n besitzt zwei Häufungswerte, nämlich a und –a.
(a, -a, a, -a, a, …)
n n +1

 ( −1) ⋅
 besitzt zwei Häufungswerte, nämlich 1 und -1.
n n

(-1; 1,5; -1,33; 1,25; -1,2; 1,17; …)
Diese Folge besitzt zwei Teilfolgen mit Grenzwert -1, 1.
Satz: Sei (an ) n eine Folge a ∈ .
Die folgenden Aussagen sind äquivalent:
1) a ist Häufungswert der Folge (an )n .
2) Es existiert eine Teilfolge (bn ) n = ( a f ( n ) ) mit Grenzwert a.
n
Grenzwert Notation
a ist Grenzwert von (an ) n .
a = lim an
Falls (an ) n keinen Grenzwert besitzt, so hat der Ausdruck lim an keinen
n →∞
n →∞
Wert.
Rechenregeln für den Grenzwert
Addition und Multiplikation von Folgen erfolgt Gliedweise.
(an ) n + (bn ) n = (an + bn ) n
(an ) n ⋅ (bn ) n = (an ⋅ bn ) n
Wenn (an ) n und (bn ) n konvergieren (d.h. es existiert ein Grenzwert) so gilt
( ) ( )
lim ( a ⋅ b ) = ( lim a ) ⋅ ( lim b )
lim ( an + bn ) = lim an + lim bn
n →∞
n →∞
Beispiel:
n+2
n →∞ n + 1
lim
Nebenrechnung:
n →∞
n
n
n →∞
n →∞
n
n →∞
n
1 
1

= lim 1 +
= lim1 + lim
= 1+ 0 = 1

n →∞
n →∞
n →∞ n + 1
 n +1
n+2
n +1
=
n +1
1
1
+
= 1+
n +1 n +1
n +1
Konvergenzrate ist eine Funktion N :
Wenn n ≥ N (Σ) ⇒ an ∈ [a − Σ, a + Σ] .
+
→
so dass für alle Σ, n gilt:
Beispiel:
Wenn z.B. Σ = 10−6 , dann liegen alle Folgeglieder ab N(10-6) in einem 10-6-Intervall
um den Grenzwert.
D.h. um den Grenzwert bis auf Genauigkeit 10-6 zu bestimmen, reicht es das
N(10-6)-te Glied auszurechnen.
1
Folge  
N(10-6)=10-6
n
 n
Grenzwert ist höchstens 10-6 von a1000000 entfernt.
Æ sehr schlechte Konvergenz.
  1 n 
(an ) n =  1 +   Grenzwert e = 2, 7182...
 n  

n
um 4 Stellen berechnen zu können sind 10000 Berechnungen nötig.
Æ schlechte Konvergenz.
Gute Konvergenz: Geometrische Folge (|q|<1)
  1 n 
1
q = , a = 1;
   
2
  2  n
n
1
lim   = 0
n→∞ 2
 
Für Konvergenzrate N : + → muss gelten aN ( Σ ) ∈ [−Σ, Σ]
Konvergenzrate:
an ∈ [−Σ | Σ] für n ≥ N (Σ)
n
1
  > 0 ≥ −Σ
2
1
1
1
1
n
Σ = log 1
2
  = n ≤Σ⇔2 ≥ ⇔n≥
2
log 2
Σ
Σ
2
−6
Σ = 10
log106
6
N (Σ) =
=
= 18
log 2
0, 27
n
log
1
Wenn N (Σ) ~ log  
(Anm.: ~…proportional)
Σ
(d.h. um m Stellen zu berechnen ( Σ = 10−6 , N (Σ) ~ m ) braucht man ~m Folgeglieder), so heißt
die Konvergenz linear.
Behauptung: Die Folge a0 = 0, an +1 = cos an konvergiert linear.
Noch schnellere Konvergenz: Quadratische Konvergenz.
Um m Stellen zu berechnen braucht man ca. log m Folgeglieder.
2
an +
an
Beispiel:
an +1 =
Æ quadratisch konvergierende Folge.
2
Groß O- und klein o-Notation
(wichtig für Folgen ohne Grenzwert)
Def.: Es seien (an ) n und (bn ) n zwei Folgen reeller Zahlen. Man sagt:
•
•
a 
an ist ein O(bn ) wenn die Folge  n  beschränkt ist.
 bn  n
a 
an ist ein o(bn ) wenn die Folge  n  eine Nullfolge ist.
 bn  n
Beispiele:
•
an = (n + 1)(n + 2)
bn = n 2
an (n + 1)(n + 2) n 2 + 3n + 2
3 2
=
=
= 1+ + 2
2
2
bn
n
n
n n
an
= 1 , insbesondere ist
n →∞ b
n
lim
 an 
  beschränkt.
 bn  n
Daher ist an ein O(bn ) .
Æ (n+1)(n+2) wächst höchstens quadratisch.
•
1
2
an = n ⋅ n = n ⋅ n 2 = n 3
bn = n 2
2
2
1
−2
−
an n 3
1
3
= 2 =n =n 2 =
Æ Nullfolge
bn n
n
Daher ist an ein o(bn ) .
Proposition:
¾ Wenn an ein o(bn ) ist, dann ist es auch ein O(bn ) .
¾ Wenn an ein O(bn ) und bn ein O(cn ) ist, dann ist auch an ein O(cn ) .
Beweis:
cn cn bn
= ⋅
an bn an
Wenn
cn
< M1,
bn
bn
c
≤ M 2 , dann ist n ≤ M 1 ⋅ M 2
an
an
¾ Wenn an ein o(bn ) und bn ein o(cn ) ist, dann ist auch an ein o(cn ) .
¾ Wenn an und bn beide O(cn ) sind, dann auch an + bn bzw. an − bn .
¾ Wenn an und bn beide o(cn ) sind, dann auch an + bn bzw. an − bn .
¾ n a ist o(nb ) falls a < b.
¾ log n ist o(n) .
¾ n k ist o(2n ) für alle k ∈
Beispiel:
.
Laufzeit eines Algorithmus:
Wenn die Eingabe Länge n hat, terminiert der Algorithmus z.B. nach höchstens
5
n
sin + log(n) + n 3 + 2n + 7 Schritten.
2
Æ einfachere, aber fast genauso informative Aussage:
Die Anzahl der Schritte bis zur Termination ist ein O (2n ) . ( 2n wächst am
stärksten.)
Reihen
Sei (an ) n eine Folge.
Wir definieren die folgenden Teilsummen:
s0 = a0
s1 = a0 + a1
s2 = a0 + a1 + a2
sn +1 = sn + an +1
n
sn = a0 + ... + an = ∑ ai
i =0
Jede Folge ist eine Reihe.
Beweis: Sei (bn )n eine beliebige Folge.
Definiere (an ) n durch a0 = b0 , an = bn − bn −1 .
sn = a0 + a1 + a2 + ... + an
Dann ist
= b0 + b1 − b0 + b2 − b1 + ... + bn − bn −1 = bn
fundamentales Beispiel:
(an ) n = (a ⋅ q n ) n , a, q ∈
n
n
sn = ∑ ( a ⋅ q ) = a ⋅ ∑ q i
i
i =0
i =0
sn = a + aq + aq 2 + aq 3 + ... + aq n 

q ⋅ sn = aq + aq 2 + aq 3 + ... + aq n −1
 rekursive Darstellung

a + q ⋅ sn = a + aq + aq 2 + ... + aq n −1 = sn +1
s0 = a, sn +1 = a + q ⋅ sn
Æ rekursive Definition der geometrischen Reihe.
Die Reihe besitzt einen Grenzwert, falls |q| < 1.
Das ist der Fixpunkt der Funktion x a + qx .
Berechnung des Grenzwerts:
x = a + qx
x − qx = a
x(1 − q) = a
a
x=
1− q
 n
 ∞
lim  ∑ an  = ∑ ai
n →∞
 i =0  i =0
Æ
∞
a
∑ (aq ) = 1 − q
i =0
i
Beispiel Achilles
Achilles läuft 10 mal so schnell wie die Schildkrod. Schildkrod hat einen Vorsprung
von 100m.
Distanz bei der Achilles Schildkrod einholt:
1
1
1
100 + 10 + 1 + +
+
+ ...
10 100 1000
Æ
i
∞
i
100 100
1
=
= 111,1m
100   =
∑
9
 10  1 − 1
i =0
10
Konvergenzkriterien für Reihen
•
•
notwendiges Kriterium: falls Reihe konvergiert ist dieses erfüllt.
hinreichendes Kriterium: falls Kriterium erfüllt, ist Reihe konvergent.
Satz: Es sei (an ) n eine Folge.
 n

Die Reihe ( sn ) n =  ∑ an  kann nur dann konvergent sein, wenn (an ) n eine Nullfolge
 i =0 n
ist. (notwendiges Kriterium).
Beispiel:
Geometrische Reihe: Quotient q = 1, a = 1.
∞
∞
∞
i =0
i =0
i =0
∑ aqi = ∑1i = ∑1 = 1 + 1 + 1 + ...
Æ Grenzwert existiert nicht, da (1)n keine Nullfolge ist.
q = -1, a = 1
∞
∞
i =0
i =0
∑ aqi = ∑ (−1)i = 1 − 1 + 1 − 1 + 1 − ...
Æ Grenzwert existiert nicht. (2 Häufungswerte, 0 und 1).
Beispiel einer Nullfolge, deren Reihe der Teilsummen keinen Grenzwert hat.
„Harmonische Reihe“
n
∞
1
1
1
1 1 1
an
sn = ∑
= 1 + + + + ...
∑
n
2 3 4
i =1 i
i =1 i
Beweis: Abschätzung durch eine andere Reihe:
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
1+ + + + + + + + +
+ + + + + + + ...
2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
+ + + + + + + + + + + + + + + + ...
2 4 4 8 8 8 8 16 16 16 16 16 16 16 16 32
1
2
1
2
1
2
1 1 1 1
+ + + + ... = ∞
2 2 2 2
1
2
Satz: Es sei (an ) n eine Folge. Wenn zwei reelle Zahlen a,q < 1 existieren, so dass an ≤ aq n
∞
∑a .
für alle n, dann konvergiert die Reihe
i =0
i
Beweis:
Idee: Die Reihe ist „kleiner“ als eine geometrische Reihe. Von der geometrischen
Reihe weiß man dass ein Grenzwert existiert.
Beispiel.:
1
an = n
2 ⋅n
Grenzwert
n
∞
1
1
1
existiert weil n ≤ 1 ⋅   . (hinreichendes Kriterium)
∑
i
2 ⋅n a  2 
i =1 2 ⋅ i
q <1
Zweites hinreichendes Kriterium:
Satz: Es sei (an ) n eine monoton fallende Nullfolge. Dann konvergiert die Reihe
∞
∑ (−1) a
= a0 − a1 + a2 − a3 + ... .
i
i
i =1
Beispiel:
1
n
∞
1
1 1 1 1
(−1) = −1 + − + − + ...
∑
2 3 4 5
i
i =1
Grenzwert existiert:
(an ) n =
1_
+2
1_
+4
0
-1
1_
-3
-1
Beweis:
Das Intervall zwischen sn und sn +1 enthält alle nachfolgenden Teilsummen. Die Länge
des Intervalls ist an +1 und das ist eine Nullfolge.
Folgen von Elementen im 2 . D.h. Paare (a1 , b1 ), ( a2 , b2 ), (a3 , b3 ),... oder Punkte in der Ebene.
Irgendwo in der Ebene gibt es eine Häufungsstelle Æ Grenzwert.
Def.: Folge
(( a , b ))
n
n
n
von Elementen in
2
heißt beschränkt wenn es eine Zahl M gibt so
dass für alle n gilt − M ≤ an ≤ M und − M ≤ bn ≤ M . (quadratisches Kastl).
Def 1.: Ein Element (a,b) ist Grenzwert der Folge
(( a , b ))
n
n
n
wenn es für jedes Σ > 0 einen
Index N gibt so dass alle nachkommenden Folgeglieder (aN + n , bN + n ) in einer Σ Umgebung von (a,b) liegen. (In einem Kreis mit Mittelpunkt (a,b) und Radius Σ .
Def 2.: Eine Folge
(( a , b ))
n
n
n
ist konvergent wenn die Folgen (an )n und (bn ) n beide
(
)
konvergent sind. In diesem Fall gilt lim(an , bn ) = lim an , lim bn .
n →∞
n →∞
n →∞
4. Stetigkeit
GW = f( GW )
Æ stetige Funktion
f( GW )
GW
Æ unstetige Funktion
Weg-Zeit-Funktionen sind immer stetig.
Def.: Es sei f : → eine Funktion.
Dann heißt f stetig wenn für jede konvergente Folge (an )n gilt die Folge der
(
)
Funktionswerte ( f (an ) )n ist ebenfalls konvergent, und lim f (an ) = f lim an .
n →∞
n →∞
(Limesanwendung und Funktion werden vertauscht.)
Vorteil dieser Definition gegen über „zeichnen ohne abzusetzen“: Sie lässt sich
verallgemeinern auf Funktionen f : 2 → , bzw. 2 → 2 , bzw. m → n .
m
Def.: Eine Funktion f :
(a1,i ,..., am ,i )i im
m
→
n
heißt stetig wenn für jede konvergente Folge
die Folge der Funktionswerte ( f (a1,n ,..., am ,i ) )i konvergiert und
(
)
lim f (a1,i ,..., am,i )i = f lim(a1,i ,..., am ,i ) .
i →∞
i →∞
Beispiel:
plus
mal
2
2
→ , ( a, b )
→ , ( a, b)
a+b
ab
Beweis:
Grenzwertsätze für + und *.
lim(an + bb ) = lim an + lim bn
n →∞
n →∞
n →∞
Æ stetig
Æ stetig
analog für *.
Satz: Die Komposition von zwei stetigen Funktionen ist stetig. D.h. wenn f :
und g : → stetig, dann ist auch f g : → stetig.
→
stetig
Folgerung:
Alle Polynomfunktionen (Kompositionen von + und *) sind stetig.
Polynomfunktion:
x a1 x r + a2 x r −1 + ... + ar
a1 ,..., ar
Koeffizienten ∈ .
Beispiel:
x 2 − 1; x17 + 4 x3 − 5; ...
Weitere wichtige stetige Funktionen:
exp a : → ; x a x
log a : + → ; x log a x (Die eindeutig bestimmte Zahl y sodass a y = x .)
sin : → ; x sin x
cos : → ; x cos x
 π π
tan :  − ,  → ; x
 2 2
tan x
Mittelwertsatz:
Es sei f :[a, b] → stetig. Es seien f (a) ≠ 0 und f (b) ≠ 0 von unterschiedlichen
Vorzeichen. (D.h. f (a) < 0 , f (b) > 0 oder umgekehrt.) Dann existiert eine Nullstelle
c ∈ [a, b] und f (c) = 0 .
f( b)
a
Nullstelle
b
f( a)
Da der Funktionsgraph ohne absetzen gezeichnet werden kann, muss die x-Achse
irgendwann gekreuzt werden. Kreuzungspunkt Æ Nullstelle.
Verfahren zum Auffinden der Nullstelle: (Bisektionsverfahren) (vgl. Binäres suchen)
• Untersuche das Vorzeichen des Funktionswerts beim Mittelpunkt des Intervalls
der Definitionsmenge.
• Falls 0: Nullstelle gefunden.
• Falls +/- schränke die Suche auf den linken/rechten Teil des Intervalls ein bei
dem der Vorzeichenwechsel passiert.
Wie schnell konvergiert dieses Verfahren?
Nach n Schritten ist der Suchraum ein Intervall der Länge
D.h.
b−a
.
2n
b−a
b−a
=Σ
N n −n
2n
 2 
b−a
b−a

2n =
 N (Σ) = log 2

Σ
2 

b−a
n = log 2 
Æ lineare Konvergenz.

 Σ 
Um n Stellen zu kennen, sind O(n) (Operationen) Iterationen
auszuführen.
Maximumsatz:
Es sei f :[a, b] → eine stetige Funktion. Dann existiert ein c ∈ [a, b] sodass
f (c) ≥ f ( x) für alle x ∈ [a, b] .
a
c
b
Für unstetige Funktionen muss der Maximumsatz nicht funktionieren.
200
150
100
50
0.2
0.4
0.6
0.8
1
f :[0,1] → ;
1
 falls x ≠ 0
f ( x) =  x
0 falls x = 0
Erweiterung des Definitionsbereichs von stetigen Funktionen
Es sei ]a, b[ ein Intervall, ]a, b[ = {x | a < x < b} .
Weiters sei f : ]a, b[ →
eine stetige Funktion.
Angenommen, für jede Folge (an ) n mit an ∈ ]a, b[ und
lim an = a
n →∞
konvergiert
Grenzwert ist Randpunkt
( f (an ) )n
und der Grenzwert ist immer die selbe Zahl c.
Folge der Funktionswerte
Dann lässt sich f auf den Randpunkt fortsetzen:
−
f
: [ a, b[ → ,
f fortges.
 f ( x) falls x ∈ ]a, b[
f ( x) = 
c falls x = a
−
Beispiel:
f : ]1, 2[ → ; x
Folge an = 1 +
2
x2 − 1
x −1
1
n
2
 1
 n +1
1 +  − 1

 −1
1 
 n

=
=
1
1
1+ −1
n
n
2
2
( n + 2n + 1 − n ) n = 2n + 1
=
n2
n
 x2 − 1
falls x > 1

c = 2 f ( x) =  x − 1
2 falls x = 1

Bemerkung:
x 2 − 1 ( x − 1)( x + 1)
=
= x +1
x −1
x −1
−
  n + 1 2 
 n 2 + 2n + 1 n 2 
− 2 n =
 
 − 1 n = 
n2
n 

 n 

2n + 1
=2
n →∞
−−
n
Æ lim
Æ stetig.
Analog spricht man von stetigen Fortsetzungen von Funktionen auf den rechten Randpunkt
bzw. auf den fehlenden Punkt a im Definitionsbereich D = − {a} .
Beispiel:
x2 −1
ist für x ∈
x −1
− {1} → ; x
f:
− {1} definiert und lässt sich auf x = 1 stetig
fortsetzen.
Def.: Wenn f : D2 →
−
stetig und f : D1 →
−
−
so dass D1 ⊂ D2 und f die Einschränkung
−
von f auf D1 ist, und f stetig, so heißt f eine stetige Fortsetzung von f auf D2 .
Satz: Falls D1 =
− {a}, D2 =
, dann gibt es höchstens eine stetige Fortsetzung.
Beispiel:
Stetige Funktion, die sich nicht fortsetzen lässt:
1
f : − {0} → ; x
x
7.5
5
2.5
-10
-5
5
10
-2.5
-5
-7.5
-10
Zusammenstückeln von stetigen Funktionen aus Funktionen die auf Intervallen definiert
sind
Es seien a = a1 < a2 < a3 < ... < an = b Zahlen, die das Intervall [ a, b ] in Teilintervalle
unterteilen. [ a, b ] = [ a1 , a2 ] ∪ [ a2 , a3 ] ∪ ... ∪ [ an −1 , an ] .
Weiters seien fi : [ ai , ai +1 ] →
stetig ( i = 1,..., n − 1 ).
Außerdem gelte fi (ai +1 ) = f i +1 (ai +1 ) (Æ Randpunkte stimmen überein)
Dann ist die Splinefunktion f durch Zusammenstückeln der fi definiert wie folgt:
f ( x) = f i ( x), falls x ∈ [ ai , ai +1 ] .
Die Funktion ist stetig.
a = a1
a2
a3
a4
 x für x ∈ [ 0, ∞[
x =
− x für x ∈ ]−∞, 0]
5. Differentialrechnung
Es sei f eine Zeit-Weg-Funktion.
A bewegt sich von Punkt p0 nach p1 . Zum Zeitpunkt f befindet sich A im Punkt f(t).
f (t0 ) = p0 , f (t1 ) = p1 .
p1
p0
t0
t
t3
t4
t1
Wie groß ist die Geschwindigkeit von A zum Zeitpunkt t?
Durchschnittliche Geschwindigkeit zwischen Zeitpunkt t3 und t4 ?
zurückgelegter Weg f (t4 ) − f (t3 )
=
t4 − t3
verstrichene Zeit
Was ist aber die augenblickliche Geschwindigkeit?
Idee: Berechne die augenblickliche Geschwindigkeit als Grenzwert:
 1
f  t +  − f (t )
n
lim 
n →∞
 1
t +  −t
 n
Geometrischer Zugang:
f : → sei eine Funktion.
x∈
T … Tangente an Graph im Punkt p.
p
T
p = ( x, f ( x ) )
x
Grenzwert-Konstruktion:
(x’, f( x’))
G
f( x’) - f( x)
(x, f (x))
x’ - x
f ( x ') − f ( x)
x '− x
Steigung von G =
Wenn x ' in einer Folge gegen x konvergiert, dann konvergiert die so konstruierte
Gerade G gegen die Tangente T.
Def.: Es sei f :
→
eine stetige Funktion. x ∈
.
f ( y ) − f ( x)
stetig fortsetzbar auf ganz
Wenn die Funktion Fx : − {x} → ; y
y−x
ist, insbesondere auf x = y, dann heißt f im Punkt differenzierbar und der Wert an
f ( y ) − f ( x)
der Stelle x, Fx ( y ) = lim
heißt Ableitung von f bei x.
y→x
y−x
Gebräuchliche Notationen:
•
•
Beispiel 1:
f :x
df
.
dx
Wenn f bei jedem Punkt x differenzierbar ist dann bezeichnet man die Funktion
x
Ableitung von f bei x als f '.
Ableitung von f bei x:
xn , n ∈
.
y n − xn
( y − x)( y n −1 + y n − 2 x + y n −3 x 2 + ... + yx n − 2 + x n −1 )
= lim
y→x y − x
y→x
y−x
n −1
n−2
n −1
= lim( y + yx + ... + x )
lim
y→x
Fx ( y ) := y n −1 + ... + x n −1
f '( x) = Fx ( x) = x n −1 + ... + x n −1 = nx n −1
=
Beispiel 2:
exp :
→ ; x
ex
Folge die gegen x konvergiert: ( yn ) n = x +
e −e
y−x
y
lim
y→x
x
= lim
y→x
x+
1
n
−e
1
x+ −x
n
e
x
= lim
n →∞
1
.
n
1
x n
e e −e
1
n
= lim e x
n →∞
1
n
1
n
e −1
e −1
= e x lim
→∞
n
1
1
n
n
von x nicht abhängig
Die numerische Berechnung zeigt:
lim
n →∞
1
n
e −1
=1
1
n
Æ exp' :
Beispiel 3:
ln :
+
→ ; x
ex .
ln x = log e ( x); x ∈ +
ln( y ) − ln( x)
Berechne den Grenzwert: lim
.
y→x
y−x
1
Folge, die gegen x konvergiert: yn = x + . In diesem Fall ist eine Folge mit Produkt
n
1
x
besser: yn = x(1 + ) = x + .
n
n
→ ; x
  1 
 1
ln  x  1 +   − ln x
ln x + ln 1 +  − ln x
 n 
 n
= lim
lim 
n →∞
n
→∞
x
x
x+ −x
n
n

 1
 1
ln  1 + 
 1 ln 1 + n  

  = 1 lim  n  = 1
= lim 
n →∞ x
1
1
x x →∞
x




n
n


1
Æ ln' : + → ; x
.
x
 1
ln  1 + 
n
= lim 
n →∞
x
n
=
Rechenregeln für Ableitung
•
Wenn f , g : → differenzierbar, dann ist auch h : → , h( x) = f ( x) + g ( x)
(Summenfunktion) differenzierbar, und es gilt h '( x) = f '( x) + g '( x) .
• f differenzierbar, λ ∈ . h( x) = λ f ( x) differenzierbar, h '( x) = λ f '( x) .
Æ Differenzieren ist „linear“.
Beispiel:
f ( x) = 7 x 3 + 14 x − 2 x + 5
( x n ) ' = nx n −1
( x 3 ) ' = 3 x 2 , ( x 2 ) ' = 2 x, ( x) ' = 1x 0 = 1, (5) ' = 0
f '( x) = 21x 2 + 28 x − 2 (Æ Summe der Teilfunktionen (7 x 3 ) ' = 21x 2 , (14 x 2 ) ' = 28 x, ... )
Produktregel:
h( x ) = f ( x ) ⋅ g ( x )
h '( x) = f '( x) ⋅ g ( x) + f ( x) ⋅ g '( x)
Beweis:
f differenzierbar Æ f ( y ) − f ( x) = ( y − x) Fx ( y )
g differenzierbar Æ g ( y ) − g ( x) = ( y − x)Gx ( y )
f '( x) = Fx ( x)
g '( x) = Gx ( x)
h( y ) − H ( x ) =
=
=
f ( y ) g ( y ) − f ( x) g ( x) =
( f ( x) + ( y − x) Fx ( x) )( g ( x) + ( y − x)Gx ( y ) ) − f ( x) g ( x)
=
f ( x) g ( x) + ( y − x) Fx ( y ) g ( x) + ( y − x)Gx ( y ) f ( x) + ( y − x) 2 Fx ( y )Gx ( y ) − f ( x) g ( x) =
=
y − x ( Fx ( y ) g ( x) + Gx ( y ) f ( x) + ( y − x) Fx ( y )Gx ( y ) ) = ( y − x) H x ( y )
Hx ( y)
h '( x) = H x ( x) = Fx ( x) g ( x) + Gx ( x) f ( x) + ( x − x) Fx ( x)Gx ( x) =
=
f '( x) g ( x) + g '( x) f ( x)
Quotientenregel:
Es seien f , g :
→ differenzierbar, x ∈ , g ( x) ≠ 0 .
f '( x) g ( x) − f ( x) g '( x)
f ( x)
Dann ist h( x)
bei x differenzierbar, und h '( x) =
2
g ( x)
( g ( x) )
Kettenregel:
Es seien f , g : → differenzierbar.
Dann ist h = f g : → , h( x) = f ( g ( x) ) wieder differenzierbar und
h '( x) = f ' ( g ( x) ) g '( x) .
Beispiel:
f:
+
xα
→ ; x
Für reelle α ist
definiert.)
( )
α
α∈
1
nur für positive Zahlen definiert. ( ( −1) 2 = −1 ist nicht
ln xα = α ln x
/ exp auf beiden Seiten
α
xα = eln x = e(α ln x )
g ( x) = α ln x
daher xα = exp g ( x ) = exp ( g ( x) )
1
1
= xα α
f '( x) = exp' ( g ( x) ) g '( x) = exp ( g ( x) ) α
x
x
α
−1
α −1
α −1
= x αx
= αx x
=
αx
exp( x) = e x
=
gleiches Ergebnis
für allgemeine α .
Beispiele aus den eingangs erwähnten Anschauungen für Ableitung
•
Tangente an Kreis
(x, f (x))
1
f( x)
0 x
-1
1
Halbkreis ist Graph der Funktion f : [ −1,1] → ; x
(Pythagoras x 2 + ( f ( x) ) = 1, daher f ( x) = 1 − x 2 .)
2
1
2
Kettenregel: f ( x) = g h = g ( h( x) ) mit g ( x) = x = x
h( x) = 1 − x 2
 12  1 − 12 1 1 1 1
=
g '( x) =  x  ' = x =
2 12 2 x
  2
x
h '( x) = −2 x
f '( x) =
1 1
−2 x
x
⋅ (−2 x) =
=−
2
2 h( x )
2 1− x
1 − x2
(u , 1 - u 2 )
T
-1
0
u
1
1 − x2 .
Steigung: −
x
Æ −
1 − x2
Gerade T: y = −
u
u
1− u2
x+d .
1− u2
)
(
d ist so zu wählen, dass u, 1 − u 2 auf T liegt:
1− u2 = −
u
u+d
1− u2
u
d = 1− u2 − −
u
1− u2
)
(
Gleichung der Kreistangente an u, 1 − u 2 :
y=−
•
u
1− u2
x + 1− u2 −
−u
1− u2
u
Weg-Zeit-Funktion für ein Teilchen im freien Fall
Zum Zeitpunkt t = 0 wird Körper A losgelassen und bewegt sich im freien Fall
nach unten. f(t) ist die zurückgelegte Entfernung zur Zeit t.
Geschwindigkeit zum Zeitpunkt t:
Geschwindigkeitsdifferenz v(t)
v(t ) − v(0)
= const.
t −0
Erdbeschleunigung a = 9,81m / s 2
v(t ) − 0
= a, v(t ) = at
t
Suchen:
Funktion f mit f '(t ) = at (“Stammfunktion“).
dt n
= n ⋅ f n −1
n=2
dt
dt 2
= 2t
dt
a
f (t ) = t 2 erfüllt das. Die Funktion beschreibt tatsächlich die Weg2
Zeit-Abhängigkeit im freien Fall.