Differential– und Integralrechnung I (Unterrichtsfach)

MATHEMATISCHES INSTITUT
DER UNIVERSITÄT MÜNCHEN
D. Rost, M. Jeblick
WS 2016/17
Blatt 5
28.11.2016
Übung zur Vorlesung
Differential– und Integralrechnung I (Unterrichtsfach)“
”
-Lösungssvorschlag1. a) Für 0 < x < 1 ergibt sich zunächst
lim xn = 0,
n→∞
und mit y > 0 und damit y n > 0 ergibt sich
0<
xn
< xn −→ 0.
n→∞
1 + yn
Aus dem Schrankenlemma 1.19 folgt damit lim an = 0.
n→∞
n
b) Für x = 1 ist x = 1 und damit
1
1 + yn
an =
für alle n ∈ N; somit erhält man:
• Für 0 < y < 1 ist
1 + y n −→ 1 und damit
|{z} n→∞
lim an = 1.
n→∞
→0
• Für y = 1 ist y n = 1 und damit an =
1
2
für alle n ∈ N; insbesondere ist
1
lim an = .
n→∞
2
• Für 1 < y ist
1 + y n −→ ∞ und damit
|{z} n→∞
lim an = 0.
n→∞
→∞
c) Für x > 1 erhält man
xn
an =
=
1 + yn
1
xn
1
+
yn
xn
=
1
xn
1
n
+ xy
für alle n ∈ N mit
xn −→ ∞
n→∞
Damit erhält man:
und damit
1
−→ 0.
xn n→∞
• Für 0 < y < x ist xy < 1, also
y n
x n
1
1
0< n +
−→ 0 und damit (wegen n +
>0)
x
x
y
|{z}
| x{z } n→∞
→0
lim an = ∞.
n→∞
→0
• Für y = x ist
y
x
= 1, also
y n
1
−→ 1 und damit
+
xn
|{z}
| x{z } n→∞
→0
• Für x < y ist
y
x
lim an = 1.
n→∞
=1
> 1, also
y n
1
−→ ∞ und damit
+
xn
|{z}
| x{z } n→∞
lim an = 0.
n→∞
→∞
→0
2. Wir zeigen, daß (xn )n∈N eine Cauchy- Folge in den reellen Zahlen ist. Sei ε > 0. Wähle
n0 ∈ N so, daß n0 > 1ε . Dann gilt für alle n, m ≥ n0 , o.E. n ≥ m,
m
n
n
n
X
X
1 X 1 X 1 1
−
|xn − xm | = =
=
2
2
2
i
i
i
i2
i=m+1
i=m+1
i=1
i=1
1
1
n
n
n
n
≤ i(i−1)
X
X
X
X
i2
1
1
1
1
1
≤
=
−
−
=
i(i − 1) i=m+1 i − 1 i
i − 1 i=m+1 i
i=m+1
i=m+1
=
n−1
X
1
i=m
n
X
1
1
1
1
1
−
=
−
≤
≤
< ε.
i i=m+1 i
m n
m
n0
Also ist (xn )n∈N eine Cauchy-Folge.
Da die reellen Zahlen vollständig sind, ist die Folge (xn )n∈N somit konvergent.
3. a) Seien an =
1
n
1
und
n2
lim ( an ) =
n→∞ bn
an
bn
= n für alle n ∈ N; dann ist lim an = 0
1
und damit abnn
n2
lim ( an ) = −∞.
n→∞ bn
= −n für alle n ∈ N; dann ist lim an = 0
sowie bn =
sowie lim bn = 0 und
n→∞
damit
b) Seien an = − n1 sowie bn =
sowie lim bn = 0 und
n→∞
c) Seien an =
c
n
sowie bn =
1
n
n→∞
∞.
und damit
an
bn
n→∞
= c für alle n ∈ N; dann ist lim an = 0 sowie
n→∞
lim bn = 0 und lim ( abnn ) = c.
n→∞
n→∞
(−1)n n1 sowie
bn = n1 und damit abnn = (−1)n für alle n ∈ N; dann ist
d) Seien an =
lim an = 0 sowie lim bn = 0, und die Folge ( abnn )n∈N ist beschränkt und divergent.
n→∞
n→∞
4. Sei (x0n )n∈N konvergent mit Grenzwert a ∈ R, also x0n −→ a. Setzen wir in der für alle
n→∞
x, y ∈ R gültigen Ungleichung
|f (x) − f (y)| ≤ q · |x − y|
x = x0n und y = a, so erhalten wir
0 ≤ |f (x0n ) − f (a)| ≤ q · |x0n − a| −→ 0,
n→∞
also gilt nach dem Schrankenlemma 1.19, daß f (x0n ) − f (a) −→ 0, also
n→∞
xn = f (x0n ) −→ f (a).
n→∞
Damit ist die Folge (xn )n∈N konvergent mit Grenzwert f (a).
ODER SO (ohne Verwendung des Grenzwerts a):
Wir zeigen, daß (xn )n∈N eine Cauchy-Folge ist:
Sei dazu ε > 0. Weil (x0n )n∈N konvergent ist, ist (x0n )n∈N eine Cauchy-Folge. Es gibt also ein
n0 ∈ N, so daß für alle n, m ≥ n0 gilt |x0n − x0m | < qε (wir können o.E. q > 0 annehmen).
Damit gilt für n, m ≥ n0
|xn − xm | = |f (x0n ) − f (x0m )| ≤ q |x0n − x0m | < q ·
ε
= ε.
q
Die Folge (xn )n∈N ist also ebenfalls eine Cauchy-Folge in R und daher konvergent.