Themen: Der Körper der komplexen Zahlen Die Mandelbrot

11 Komplexe Zahlen
Themen:
◮
Der Körper der komplexen Zahlen
◮
Die Mandelbrot-Menge
◮
Der Fundamentalsatz der Algebra
Addition ebener Vektoren
Sei
R2 = {(x, y ) : x, y ∈ R}.
R2 können wir als Punkte in der Ebene oder als Vektoren mit
Komponenten x und y auffassen.
Addition ebener Vektoren
Sei
R2 = {(x, y ) : x, y ∈ R}.
R2 können wir als Punkte in der Ebene oder als Vektoren mit
Komponenten x und y auffassen.
Für (x, y ), (x ′ , y ′ ) ∈ 2 definieren wir die Summe durch
R
(x, y ) + (x ′ , y ′ ) = (x + x ′ , y + y ′ ).
Dies ist die übliche Vektoraddition.
Addition ebener Vektoren
y
(x,y)
(x,y)+(x’,y’)
(x’,y’)
x
Wir verschieben (x ′ , y ′ ) so, dass sein Fußpunkt auf dem Endpunkt
von (x, y ) steht, der Endpunkt des so verschobenen Vektors zeigt
dann auf den Endpunkt der Summe
Skalarmultiplikation
y
α(x,y)
(x,y)
x
Für α ∈
durch
R und (x, y ) ∈ R ist die Skalarmultiplikation definiert
α (x, y ) = (αx, αy ).
Skalarmultiplikation
y
α(x,y)
(x,y)
x
Für α ∈
durch
R und (x, y ) ∈ R ist die Skalarmultiplikation definiert
α (x, y ) = (αx, αy ).
Für α ≥ 0 ist der Ergebnisvektor die Verlängerung oder Verkürzung
um das α-fache. Bei α < 0 kehrt sich zusätzlich die Orientierung
um.
R2 als Vektorraum
Mit den so definierten Operationen ist der
der Dimension 2.
R
R2 ein Vektorraum über
R2 als Vektorraum
R
Mit den so definierten Operationen ist der 2 ein Vektorraum über
der Dimension 2.
Die natürliche Basis wird von den kanonischen Einheitsvektoren
R
e1 = (1, 0),
gebildet.
e2 = (0, 1),
Die Multiplikation
zweier ebener Vektoren ist definiert durch
(x, y ) · (x ′ , y ′ ) = (xx ′ − yy ′ , xy ′ + yx ′ ).
Die Multiplikation
zweier ebener Vektoren ist definiert durch
(x, y ) · (x ′ , y ′ ) = (xx ′ − yy ′ , xy ′ + yx ′ ).
Diese etwas geheimnisvolle Definition ist einem einzigen Ziel
geschuldet: Im Wesentlichen gibt es nur diese eine Möglichkeit, aus
den Vektoren einen Körper zu machen und sie funktioniert nur im
ebenen Fall.
Die Multiplikation
(x, y ) · (x ′ , y ′ ) = (xx ′ − yy ′ , xy ′ + yx ′ ).
Diese Operation ist assoziativ und kommutativ. (1, 0) ist das
neutrale Element.
Die Multiplikation
(x, y ) · (x ′ , y ′ ) = (xx ′ − yy ′ , xy ′ + yx ′ ).
Diese Operation ist assoziativ und kommutativ. (1, 0) ist das
neutrale Element.
Die Inverse von (x, y ) 6= (0, 0) ist
³ x
−y ´
,
(x, y )−1 =
x2 + y2 x2 + y2
Beweis
Denn es gilt
³
(x, y ) · (x, y )−1 = (x, y )
=
³
x
−y ´
,
x2 + y2 x2 + y2
x2
−y 2
−xy
xy ´
−
,
+
x2 + y2 x2 + y2 x2 + y2 x2 + y2
= (1, 0).
Der Köprer der komplexen Zahlen
R
Der 2 zusammen mit den Operationen Addition und Multplikation
ist ein Körper, den wir den Körper der komplexen Zahlen nennen
und mit bezeichnen.
C
Der Köprer der komplexen Zahlen
R
Der 2 zusammen mit den Operationen Addition und Multplikation
ist ein Körper, den wir den Körper der komplexen Zahlen nennen
und mit bezeichnen.
Wir können die Elemente von der Form (x, 0) mit der reellen
Zahl x identifizieren, denn es gilt
C
C
(x, 0) + (y , 0) = (x + y , 0)
(x, 0) · (y , 0) = (xy − 0 · 0, x · 0 + y · 0) = (xy , 0).
Die imaginäre Einheit
Die komplexe Zahl i = (0, 1) heißt imaginäre Einheit. Es gilt
i 2 = (0, 1) · (0, 1) = (0 · 0 − 1 · 1, 0 · 1 + 0 · 1) = (−1, 0) = −1.
Die imaginäre Einheit
Die komplexe Zahl i = (0, 1) heißt imaginäre Einheit. Es gilt
i 2 = (0, 1) · (0, 1) = (0 · 0 − 1 · 1, 0 · 1 + 0 · 1) = (−1, 0) = −1.
Klar, i löst die im Reellen nicht auflösbare Gleichung x 2 = −1.
Die imaginäre Einheit
Die komplexe Zahl i = (0, 1) heißt imaginäre Einheit. Es gilt
i 2 = (0, 1) · (0, 1) = (0 · 0 − 1 · 1, 0 · 1 + 0 · 1) = (−1, 0) = −1.
Klar, i löst die im Reellen nicht auflösbare Gleichung x 2 = −1.
Aber Nachteil: kann nicht angeordnet werden, weil im
angeordneten Körper stets a2 ≥ 0 gilt.
C
Bitte keine Geheimnisse!
Der Name ”imaginäre Einheit” ist historisch bedingt. In unserer
Vorstellung soll immer der 2 sein, der durch eine glückliche
Fügung zu einem Körper gemacht werden kann.
C
R
Bitte keine Geheimnisse!
Der Name ”imaginäre Einheit” ist historisch bedingt. In unserer
Vorstellung soll immer der 2 sein, der durch eine glückliche
Fügung zu einem Körper gemacht werden kann.
Durch die imaginäre Einheit haben wir eine einfache Schreibweise
für die Basisvektoren gefunden:
C
R
1 = (1, 0) (=Identifikation mit den reellen Zahlen),
i = (0, 1) (=Definition).
Schreibweise mit imaginärer Einheit
Statt z = (x, y ) schreiben wir z = x + iy und können unter
Beachtung von i 2 = −1 „normal“ rechnen (z ′ = x ′ + iy ′ )
z + z ′ = (x + iy ) + (x ′ + iy ′ ) = (x + x ′ ) + i(y + y ′ ),
z · z ′ = (x + iy ) · (x ′ + iy ′ ) = xx ′ − yy ′ + i(xy ′ + yx ′ ).
Komplexe Konjugation
Für z = x + iy definieren wir die komplexe Konjugation z von z
durch
z = x − iy
Die komplexe Konjugation bedeutet geometrisch die Spiegelung des
Vektors (x, y ) an der x-Achse.
Absolutbetrag, Real- und Imaginärteil
Für z = x + iy definieren wir den Absolutbetrag
p
|z| = x 2 + y 2 .
Nach dem Satz des Pythagoras ist |z| die Länge des Vektors (x, y ).
Entsprechend gibt |z − z ′ | den Abstand zwischen den Punkten z
und z ′ an.
Absolutbetrag, Real- und Imaginärteil
Für z = x + iy definieren wir den Absolutbetrag
p
|z| = x 2 + y 2 .
Nach dem Satz des Pythagoras ist |z| die Länge des Vektors (x, y ).
Entsprechend gibt |z − z ′ | den Abstand zwischen den Punkten z
und z ′ an.
In z = x + iy heißt x der Realteil und y der Imaginärteil von z.
Schreibweise:
x = Re z, y = Im z.
Rechenregeln für komplexe Zahlen I
(a) |z|2 = z · z.
Mit z = x + iy ist z · z = (x + iy )(x − iy ) = x 2 + y 2 .
Rechenregeln für komplexe Zahlen I
(a) |z|2 = z · z.
Mit z = x + iy ist z · z = (x + iy )(x − iy ) = x 2 + y 2 .
z
(b) z −1 = 2 für z 6= 0.
|z|
Wir machen den Nenner reell:
z −1 =
z
x − iy
1
=
= 2.
x + iy
(x + iy )(x − iy )
|z|
Rechenregeln für komplexe Zahlen I
(a) |z|2 = z · z.
Mit z = x + iy ist z · z = (x + iy )(x − iy ) = x 2 + y 2 .
z
(b) z −1 = 2 für z 6= 0.
|z|
Wir machen den Nenner reell:
z −1 =
z
x − iy
1
=
= 2.
x + iy
(x + iy )(x − iy )
|z|
Man nennt die Abbildung z → z/|z|2 auch Spiegelung am
Einheitskreis, weil das Äußere des Einheitskreises auf das Innere
abgebildet wird und umgekehrt.
Rechenregeln für komplexe Zahlen I
(a) |z|2 = z · z.
Mit z = x + iy ist z · z = (x + iy )(x − iy ) = x 2 + y 2 .
z
(b) z −1 = 2 für z 6= 0.
|z|
Wir machen den Nenner reell:
z −1 =
z
x − iy
1
=
= 2.
x + iy
(x + iy )(x − iy )
|z|
Man nennt die Abbildung z → z/|z|2 auch Spiegelung am
Einheitskreis, weil das Äußere des Einheitskreises auf das Innere
abgebildet wird und umgekehrt.
z −1 ist daher die Komposition der Spiegelung am Einheitskreis mit
der Spiegelung an der reellen Achse.
Rechenregeln für komplexe Zahlen II
z
= ′ für z ′ 6= 0.
z′
z
Bei allen Operationen lässt sich die komplexe Konjugation separat
ausführen. Beweisbeispiel:
(c) (z ± z ′ ) = (z ± z ′ ),
zz ′ = zz ′ ,
³z ´
zz ′ = (x − iy )(x ′ − iy ′ ) = xx ′ − yy ′ − i(xy ′ + yx ′ ) = zz ′ .
Rechenregeln für komplexe Zahlen II
z
= ′ für z ′ 6= 0.
z′
z
Bei allen Operationen lässt sich die komplexe Konjugation separat
ausführen. Beweisbeispiel:
(c) (z ± z ′ ) = (z ± z ′ ),
zz ′ = zz ′ ,
³z ´
zz ′ = (x − iy )(x ′ − iy ′ ) = xx ′ − yy ′ − i(xy ′ + yx ′ ) = zz ′ .
¯z ¯
|z|
¯ ¯
¯ ′¯ = ′ .
z
|z |
Dies folgt auch aus der anschaulichen Vorstellung von |z| als
Streckenlänge.
(d) |z| = |z|, |zz ′ | = |z| |z ′ |,
Rechenregeln für komplexe Zahlen III
1
1
(e) Re z = (z + z), Im z = (z − z).
2
2i
Rechnet man im Kopf nach.
Rechenregeln für komplexe Zahlen III
1
1
(e) Re z = (z + z), Im z = (z − z).
2
2i
Rechnet man im Kopf nach.
(f) |Re z| ≤ |z|,
|Im z| ≤ |z|.
Auch klar wegen |x|, |y | ≤ (x 2 + y 2 )1/2 .
Die Dreiecksungleichung
(g) |z + z ′ | ≤ |z| + |z ′ |.
Dies nennt man die Dreiecksungleichung. Man kann z, z ′ als Seiten
eines Dreiecks auffassen, z + z ′ ist dann die dritte Seite.
Die Dreiecksungleichung
(g) |z + z ′ | ≤ |z| + |z ′ |.
Dies nennt man die Dreiecksungleichung. Man kann z, z ′ als Seiten
eines Dreiecks auffassen, z + z ′ ist dann die dritte Seite.
Die Ungleichung besagt daher, daß die Länge einer Seite immer ≤
der Summe der Längen der anderen Seiten ist.
Die Dreiecksungleichung
(g) |z + z ′ | ≤ |z| + |z ′ |.
Dies nennt man die Dreiecksungleichung. Man kann z, z ′ als Seiten
eines Dreiecks auffassen, z + z ′ ist dann die dritte Seite.
Die Ungleichung besagt daher, daß die Länge einer Seite immer ≤
der Summe der Längen der anderen Seiten ist.
Beweis:
|z + z ′ |2 = (z + z ′ )(z + z ′ ) = |z|2 + zz ′ + zz ′ + |z ′ |2
= |z|2 + 2Re zz ′ + |z ′ |2 ≤ |z|2 + 2|z| |z ′ | + |z ′ |2
= (|z| + |z ′ |)2
Die umgekehrte Dreiecksungleichung
¯
¯
(h) ¯ |z| − |z ′ | ¯ ≤ |z − z ′ |.
Hier können wir z − z ′ als dritte Seite des Dreiecks auffassen.
Daher: Die Differenz zweier Seiten ist ≤ der dritten Seite.
Die umgekehrte Dreiecksungleichung
¯
¯
(h) ¯ |z| − |z ′ | ¯ ≤ |z − z ′ |.
Hier können wir z − z ′ als dritte Seite des Dreiecks auffassen.
Daher: Die Differenz zweier Seiten ist ≤ der dritten Seite.
Beweis: Wir wenden die Dreiecksungleichung an
|z| = |z − z ′ + z ′ | ≤ |z − z ′ | + |z ′ | ⇔ |z| − |z ′ | ≤ |z − z ′ |
Den Absolutbetrag auf der linken Seite bekommt man, indem man
die Rollen von z und z ′ vertauscht.
Aufgabe
Man zeige
½
z∈
C
¾
©
ª
|z − 1|
:
< 1 = z : Re z > 0 .
|z + 1|
Aufgabe
Man zeige
½
z∈
C
¾
©
ª
|z − 1|
:
< 1 = z : Re z > 0 .
|z + 1|
Lösung:
|z − 1|2
|z|2 − z − z + 1
(z − 1)(z − 1)
=
=
|z + 1|2
(z + 1)(z + 1
|z|2 + z + z + 1
=
|z|2 − 2Re z + 1
.
|z|2 + 2Re z + 1
Dies ist genau dann < 1, wenn Re z > 0.
Sinus und Cosinus
a
g
ϕ
h
sin φ =
g
Gegenkathete
= ,
Hypotenuse
h
cos φ =
Ankathete
a
= .
Hypotenuse
h
Parametrisierung des Einheitskreises
Befindet sich der Punkt (x, y ) auf dem Einheitskreis, so ist die
Hypotenusenlänge 1 und wir haben
x = cos φ,
.
y = sin φ.
(x,y)
y
ϕ
x
Polardarstellung
Eine komplexe Zahl z = x + iy mit z 6= 0 lässt sich eindeutig in der
Form
z = r (cos φ + i sin φ) mit 0 ≤ φ < 2π,
schreiben.
r = |z| > 0,
Polardarstellung
Eine komplexe Zahl z = x + iy mit z 6= 0 lässt sich eindeutig in der
Form
z = r (cos φ + i sin φ) mit 0 ≤ φ < 2π,
r = |z| > 0,
schreiben.
r ist der von uns bereits definierte Absolutbetrag und φ = arg z
heißt Argument von z.
Polardarstellung
Eine komplexe Zahl z = x + iy mit z 6= 0 lässt sich eindeutig in der
Form
z = r (cos φ + i sin φ) mit 0 ≤ φ < 2π,
r = |z| > 0,
schreiben.
r ist der von uns bereits definierte Absolutbetrag und φ = arg z
heißt Argument von z.
φ ist der im Gegenuhrzeigersinn gemessene Winkel zwischen der
positiven reellen Achse und dem Strahl vom Nullpunkt zum Punkt
(x, y ).
Multiplikation in Polardarstellung
Für das Produkt der beiden Zahlen
z = r (cos φ + i sin φ),
z ′ = s(cos ψ + i sin ψ)
Multiplikation in Polardarstellung
Für das Produkt der beiden Zahlen
z = r (cos φ + i sin φ),
z ′ = s(cos ψ + i sin ψ)
ergibt sich wegen der Additionstheoreme für Sinus und Kosinus
z · z ′ = rs(cos φ cos ψ − sin φ sin ψ + i(sin φ cos ψ + cos φ sin ψ))
¡
¢
= rs cos(φ + ψ) + i sin(φ + ψ) .
zz’
z’
ψ
ϕ
ϕ+ψ
0
z
Re z
Multiplikation in Polardarstellung
Der Ortsvektor zz ′ besitzt demnach die Länge |zz ′ | und zeigt in
Richtung φ + ψ. Beim Produkt zweier komplexer Zahlen werden die
Beträge multipliziert und die Argumente addiert.
Beispiel
√
Für z = 1 + i gilt |z| = 2 und damit
√ ³
π
π´
1 + i = 2 cos + i sin
,
4
4
³
π´
π
= 2(0 + i · 1) = 2i.
(1 + i)2 = 2 cos + i sin
2
2
Lösung der Gleichung z n = a
N
R
Für n ∈ und a ∈ mit a > 0 wollen wir alle Lösungen der
Gleichung z n = a bestimmen.
Lösung der Gleichung z n = a
N
R
Für n ∈ und a ∈ mit a > 0 wollen wir alle Lösungen der
Gleichung z n = a bestimmen.
Ist z = r (cos φ + i sin φ) eine Lösung, so muß gelten:
◮
r n = a, weil die Beträge multipliziert werden,
◮
nφ = 2kπ, weil die Winkel addiert werden und das Ergebnis in
Richtung 1 zeigen muß.
Lösung der Gleichung z n = a
N
R
Für n ∈ und a ∈ mit a > 0 wollen wir alle Lösungen der
Gleichung z n = a bestimmen.
Ist z = r (cos φ + i sin φ) eine Lösung, so muß gelten:
◮
r n = a, weil die Beträge multipliziert werden,
◮
nφ = 2kπ, weil die Winkel addiert werden und das Ergebnis in
Richtung 1 zeigen muß.
Daher gibt es genau n Lösungen
zk =
¡
√
2kπ
2kπ ¢
n
a cos
,
+ i sin
n
n
k = 0, 1, . . . , n − 1.
Kreise und Kreisscheiben
©
Kr (a) = z ∈
C:
ª
|z − a| = r ,
a∈
C, r ∈ R
ist der Kreis mit Mittelpunkt a und Radius r . |z − a| gibt ja den
Abstand zwischen z und a an.
Kreise und Kreisscheiben
©
Kr (a) = z ∈
C:
ª
|z − a| = r ,
a∈
C, r ∈ R
ist der Kreis mit Mittelpunkt a und Radius r . |z − a| gibt ja den
Abstand zwischen z und a an.
Die Parameterdarstellung ist
©
ª
Kr (a) = z = a + r (cos φ + i sin φ) : 0 ≤ φ < 2π .
Kreise und Kreisscheiben
©
Kr (a) = z ∈
C:
ª
|z − a| = r ,
a∈
C, r ∈ R
ist der Kreis mit Mittelpunkt a und Radius r . |z − a| gibt ja den
Abstand zwischen z und a an.
Die Parameterdarstellung ist
©
ª
Kr (a) = z = a + r (cos φ + i sin φ) : 0 ≤ φ < 2π .
Klar, {|z − a| < r } ist die zugehörige offene Kreisscheibe und
{|z − a| ≤ r } die zugehörige abgeschlossene Kreisscheibe.
Die Mandelbrot-Menge
Für c ∈
C betrachte die Iteration
zn+1 = zn2 + c für n ≥ 0,
z0 = 0.
Die Mandelbrot-Menge
Für c ∈
C betrachte die Iteration
zn+1 = zn2 + c für n ≥ 0,
z0 = 0.
Die Mandelbrotmenge ist definiert durch
©
ª
M = c ∈ : Die Folge (zn ) ist beschränkt .
C
R
Dabei heißt eine Folge beschränkt, wenn es ein K ∈ gibt mit
|zn | ≤ K für alle n ∈ . Anschaulich kann man dann alle
Folgenglieder in einem Kreis vom Radius K einsperren.
N
Die Mandelbrot-Menge
1.25
1.00
0.75
0.50
0.25
0.00
-0.25
-0.50
-0.75
-1.00
-2.00 -1.75 -1.50 -1.25 -1.00 -0.75 -0.50 -0.25 0.00 0.25 0.50
Die Mandelbrot-Menge
Die Mandelbrot-Menge wird numerisch bestimmt, indem man
einige hundert Iterationen von zn+1 = zn2 + c durchführt. Aber wie
entscheidet man, ob die Folge beschränkt bleibt?
Die Mandelbrot-Menge
Die Mandelbrot-Menge wird numerisch bestimmt, indem man
einige hundert Iterationen von zn+1 = zn2 + c durchführt. Aber wie
entscheidet man, ob die Folge beschränkt bleibt?
Dazu braucht man Theorie!
Aussagen zur Mandelbrotmenge
(a) Für die Punkte c mit |c| > 2 gilt |zn | → ∞, insbesondere liegen
diese c außerhalb von M.
Aussagen zur Mandelbrotmenge
(a) Für die Punkte c mit |c| > 2 gilt |zn | → ∞, insbesondere liegen
diese c außerhalb von M.
(b) Gilt für ein Folgenglied |zn | > 2, so ist |zn | → ∞, insbesondere
gehört das zugehörige c nicht zu M.
Beweis von (b)
Wegen (a) können wir |c| ≤ 2 annehmen. Sei |zn | > 2, also
|zn | = 2 + ε mit ε > 0. Durch vollständige Induktion über k zeigen
wir
|zn+k | ≥ 2 + 4k ε, k ≥ 0.
Beweis von (b)
Wegen (a) können wir |c| ≤ 2 annehmen. Sei |zn | > 2, also
|zn | = 2 + ε mit ε > 0. Durch vollständige Induktion über k zeigen
wir
|zn+k | ≥ 2 + 4k ε, k ≥ 0.
Für k = 0 ist das richtig. Unter der Voraussetzung, dass diese
2
Abschätzung für k richtig ist, folgt aus zn+k+1 = zn+k
+c
IV
|zn+k+1 | ≥ |zn+k |2 − |c| ≥ (2 + 4k ε)2 − |c|
≥ 4 + 4 · 4k ε − |c| ≥ 2 + 4k+1 ε.
Numerik der Mandelbrotmenge
Wir führen K Iterationen mit Parameter c durch. Wenn für ein k
erstmals zk > R ≥ 2 erreicht wird, färben wir den Bildpunkt zu c in
Abhängigkeit von k ein. Ansonsten färben wir den Punkt schwarz.
Numerik der Mandelbrotmenge
Wir führen K Iterationen mit Parameter c durch. Wenn für ein k
erstmals zk > R ≥ 2 erreicht wird, färben wir den Bildpunkt zu c in
Abhängigkeit von k ein. Ansonsten färben wir den Punkt schwarz.
Wir können entscheiden, ob c ∈
/ M, aber nicht c ∈ M.
Der Fundamentalsatz der Algebra
Ein komplexes Polynom p vom Grad n ≥ 1 ist von der Form
p(z) = an z n + an−1 z n−1 + . . . + a1 z + a0 ,
ak ∈
C,
an 6= 0.
Der Fundamentalsatz der Algebra
Ein komplexes Polynom p vom Grad n ≥ 1 ist von der Form
p(z) = an z n + an−1 z n−1 + . . . + a1 z + a0 ,
ak ∈
C,
an 6= 0.
Fundamentalsatz der Algebra Ein komplexes Polynom p vom
Grad n ≥ 1 hat genau n Nullstellen, wenn man mehrfache
Nullstellen auch mehrfach zählt.
Der Fundamentalsatz der Algebra
Ein komplexes Polynom p vom Grad n ≥ 1 ist von der Form
p(z) = an z n + an−1 z n−1 + . . . + a1 z + a0 ,
ak ∈
C,
an 6= 0.
Fundamentalsatz der Algebra Ein komplexes Polynom p vom
Grad n ≥ 1 hat genau n Nullstellen, wenn man mehrfache
Nullstellen auch mehrfach zählt.
Obwohl ein Satz der Algebra gibt es nur analytische Beweise.
Darstellung ebener Abbildungen als Vektorfeld
2
f(x,y) =
2
( x2xy- y )
Darstellung ebener Abbildungen als Vektorfeld
2
f(x,y) =
R
R
2
( x2xy- y )
Eine Abbildung f : 2 → 2 wird graphisch dargestellt, indem man
im Punkt (x, y ) den Vektor (f1 (x, y ), f2 (x, y )) einzeichnet.
Darstellung ebener Abbildungen als Vektorfeld
f(z) = z 2
Darstellung ebener Abbildungen als Vektorfeld
f(z) = z 2
Wie viele Umdrehungen macht z 2 , wenn wir entlang eines Kreises
um den Nullpunkt laufen?
Umdrehungen von z n
z n = r n (cos nφ + i sin nφ)
Demnach dreht sich der Vektor zu z n genau n-mal, wenn wir mit
ihm entlang eines Kreis um den Nullpunkt laufen.
Umdrehungen von z n
z n = r n (cos nφ + i sin nφ)
Demnach dreht sich der Vektor zu z n genau n-mal, wenn wir mit
ihm entlang eines Kreis um den Nullpunkt laufen.
Satz 2 Sei
p(z) = an z n + an−1 z n−1 + . . . + a1 z + a0 ,
ak ∈
C,
an 6= 0,
und Kr (z0 ) der Kreis um z0 mit Radius r . Sei p 6= 0 auf Kr (z0 ).
Umdrehungen von z n
z n = r n (cos nφ + i sin nφ)
Demnach dreht sich der Vektor zu z n genau n-mal, wenn wir mit
ihm entlang eines Kreis um den Nullpunkt laufen.
Satz 2 Sei
p(z) = an z n + an−1 z n−1 + . . . + a1 z + a0 ,
ak ∈
C,
an 6= 0,
und Kr (z0 ) der Kreis um z0 mit Radius r . Sei p 6= 0 auf Kr (z0 ).
Dann gibt die Umdrehungszahl von p entlang Kr (z0 ) die Zahl der
innerhalb von Kr (z0 ) gelegenen Nullstellen von p an.
Beweis des Fundamentalsatzes
Wir zeigen: Für große r ist die Umdrehungszahl entlang Kr (0)
gerade n.
Beweis des Fundamentalsatzes
Wir zeigen: Für große r ist die Umdrehungszahl entlang Kr (0)
gerade n.
Wir teilen p(z) durch r n an und erhalten
zn
p(z)
=
+ q(z).
r n an
rn
Beweis des Fundamentalsatzes
Wir zeigen: Für große r ist die Umdrehungszahl entlang Kr (0)
gerade n.
Wir teilen p(z) durch r n an und erhalten
zn
p(z)
=
+ q(z).
r n an
rn
Für z ∈ Kr (0) gilt |z| = r und damit
|q(z)| ≤
|an−1 |r n−1 + . . . + |a1 |r + |a0 |
.
r n |an |
Beweis des Fundamentalsatzes
Wir zeigen: Für große r ist die Umdrehungszahl entlang Kr (0)
gerade n.
Wir teilen p(z) durch r n an und erhalten
zn
p(z)
=
+ q(z).
r n an
rn
Für z ∈ Kr (0) gilt |z| = r und damit
|q(z)| ≤
|an−1 |r n−1 + . . . + |a1 |r + |a0 |
.
r n |an |
Durch Wahl eines genügend großen r können wir |q(z)| ≤ 1/2
erreichen. Damit wird durch q(z) die Drehung des Einheitsvektors
z n /r n nur gestört, die Umdrehungszahl n bleibt erhalten.
Beweis des Fundamentalsatzes
p(z) ist stetig, d.h. die Werte von p(z) ändern sich nur wenig,
wenn wir z ein wenig ändern.
Beweis des Fundamentalsatzes
p(z) ist stetig, d.h. die Werte von p(z) ändern sich nur wenig,
wenn wir z ein wenig ändern.
Ist p(z0 ) 6= 0, so p(z) ∼ p(z0 ) für z ∈ Kr ′ (z0 ) für kleines r ′ . Daher
ist die Umdrehungszahl auf Kr ′ (z0 ) gerade 0.
Beweis des Fundamentalsatzes
p(z) ist stetig, d.h. die Werte von p(z) ändern sich nur wenig,
wenn wir z ein wenig ändern.
Ist p(z0 ) 6= 0, so p(z) ∼ p(z0 ) für z ∈ Kr ′ (z0 ) für kleines r ′ . Daher
ist die Umdrehungszahl auf Kr ′ (z0 ) gerade 0.
Wir überführen Kr (0) in stetiger Weise zu Kr ′ (z0 ). Die
Umdrehungszahl entlang dieser Kreise kann sich nur ändern, wenn
irgendwann auf dem Rand eines dieser Kreise eine Nullstelle steht.
Beweis des Fundamentalsatzes
p(z) ist stetig, d.h. die Werte von p(z) ändern sich nur wenig,
wenn wir z ein wenig ändern.
Ist p(z0 ) 6= 0, so p(z) ∼ p(z0 ) für z ∈ Kr ′ (z0 ) für kleines r ′ . Daher
ist die Umdrehungszahl auf Kr ′ (z0 ) gerade 0.
Wir überführen Kr (0) in stetiger Weise zu Kr ′ (z0 ). Die
Umdrehungszahl entlang dieser Kreise kann sich nur ändern, wenn
irgendwann auf dem Rand eines dieser Kreise eine Nullstelle steht.
Wir haben Satz 2 nicht vollständig bewiesen, aber gezeigt, daß p
mindestens eine Nullstelle z1 besitzt. Wir schreiben
p(z) = q(z)(z − z1 ) und verfahren mit q(z) genauso. Damit ist der
Fundamentalsatz vollständig bewiesen.