Zusammenfassung der 5. Vorlesung (10.05.2010)

Zusammenfassung der 5. Vorlesung (10.05.2010)
2.2 Verschränktheit bipartiter reiner Zustände : Die Verschränktheit bipartiter reiner Zustände lässt sich sehr einfach beschreiben, weil es ein Theorem gibt, das Zerlegungen dieser Zustände in gewissem Sinne kanonisch
auszeichnet. Dies sind die Schmidt Zerlegungen, die bereits in dem Buch
von Johann v. Neumann [Mathematische Grundlagen der Quantenmechanik.
Berlin, J. Springer. (Die Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften
in Einzeldarstellungen, Bd. XXXVIII) (1932)] im Zusammenhang mit bipartiten (aus zzwei Teilen zusammengesetzten)Systemen behandelt wird. Natürlich
lassen sich auch N -partite Systeme in zwei Teile zerlegen, für die die Schmidt
Zerlegungen gelten. Jedoch gibt es (N − 1)! verschiedene Möglichkeiten, das
System in elementare Bestandteile zu zerlegen und jede führt im Allgemeinen
zu einer anderen, für die Art der Zerlegung spezifischen Aussage über die
Verschränktheit.
Satz (Schmidtzerlegung, Schmidtdarstellung): Sei Ψ ∈ H1 ⊗ H2 ,
kΨk = 1, etwa dim H1 = M1 , dim H2 = M2 . Dann gibt es eine eindeutige
Folge nicht zunehmender positiver reeller Zahlen {ci }i=0,1,...,(R−1) , R ≤ M1 ,
PR−1 2
ci = 1, und ferner
R ≤ M2 , c0 ≥ c1 ≥ c2 ≥ · · · ≥ c(R−1) > 0,
0
Orthonormalsysteme {ψi }i=0,1,2,...,(R−1) ⊂ H1 , {ϕi }i=0,1,2,...,R−1 ⊂ H2 mit
Ψ=
R−1
X
ci ψi ⊗ ϕi .
i=0
Die ci heißen die Schmidtkoeffizienten von Ψ, R heist der Schmidrang von Ψ.
Die Orthonormalsysteme sind genau dann eindeutig, wenn die Schmidtkoeffizienten paarweise voneinander verschieden sind.
Beweis: Sei
tr2 |Ψ >< Ψ| =
R−1
X
λi |ψi >< ψi |
i=0
die Spektraldarstellung der partiellen Sprur von |Ψ >< Ψ|, wobei die Numerierung so gewählt sein, dass λ0 ≥ λ1 ≥ λ2 ≥ · · · ≥ λR−1 > 0 ist. Dann
bezeichne {ψi }i=0,1,2,...,(M1 −1) eine Verlängerung des Orthonormalsystems der
1
Eigenvektoren zu einer Orthonormalbasis in H1 . Ist dann {φi }i=0,1,2,...,M2 −1
eine beliebige Orthonormalbasis in H2 , dann gilt
Ψ=
M
2 −1
1 −1 M
X
X
i=0
dik ψi ⊗ φk ,
dik =< ψi ⊗ φk , Ψ >,
k=0
und damit
tr2 |Ψ >< Ψ| =
M
1 −1 M
2 −1
X
X
|ψi >< ψi ⊗ φk , Ψ >< Ψ, ψj ⊗ φk >< ψj |.
i,j=0 k=0
Also ist
M
2 −1
X
< ψi ⊗ φk , Ψ >< Ψ, ψj ⊗ φk >=
M
2 −1
X
dik dik =
k=0
k=0
δi,j λi falls i < R
,
0
sonst
weil die |ψi >< ψj | linear unabhängige Operatoren sind. Für Ψ ergibt sich
damit
M
R−1 p
2 −1
X
X
d
√ik φk .
Ψ=
λi ψi ⊗
λi
i=0
k=0
Mit
ci :=
p
λi
und ϕi :=
M
2 −1
X
k=0
d
√ik φk
λi
hat Ψ die behauptete Darstellung, denn < ϕi , ϕj >= δij und die Koeffizienten
sind als die positiven Wurzeln der Eigenwerte eines selbstadjungierten Operators eindeutig bestimmt und haben die behaupteten Eigenschaften. Das
Orthonormalsystem der Eigenfunktionen ist genau dann eindeutig, wenn der
Operator nicht entartet ist, anderenfalls lassen sich in den Eigenräumen beliebig Orthonormalsysteme wählen.
Der Fall der Entartung einer partiellen Spur und der damit gegebenen
Freiheit in der Wahl von Orthnormalsystemen (etwa der ψi ) von Eigenvektoren hat große physikalische Bedeutung. Wir betrachten diesen Fall deshalb
etwas genauer. Falls etwa ci−1 > ci = ci+1 = · · · = ci+n > ci+n+1 gilt, ist mit
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jeder unitären n × n-Matrix
ci
i+n
X
ψk ⊗ ϕk = ci
k=i
i+n
X
δlm ψl ⊗ ϕm = ci
l,m=i
= ci
i+n
X
Vlk V mk ψl ⊗ ϕm
k,l,m=i
i+n
X
i+n
X
k=i
l=i
!
Vlk ψl
⊗
i+n
X
!
V mk ϕm .
l=i
Diese Gleichung drückt explizit aus, welche Wahlmöglichkeiten für die Schmidtdarstellung eines reinen Zustands Ψ ∈ H1 ⊗ H2 bestehen.
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