6. ¨Ubungsblatt zu Vektoranalysis Kassel, den 25.11.2010 16i

6. Übungsblatt zu Vektoranalysis
Kassel, den 25.11.2010
16i) Beweisen Sie Satz 2.18 der Vorlesung.
ii) Es sei E eine offene Teilmenge von Rn , und es gelte 1 ≤ k ≤ n. Gibt es dann zwei
verschiedene k-Flächen φ1 und φ2 in E, so dass für alle k-Formen ω in E die Beziehung
R
φ1
ω=
R
φ2
ω
gilt?
17) Es sei E eine offene Teilmenge von Rn .
i) Die Abbildung f : E → R sei stetig differenzierbar. Ferner sei γ : [a, b] → Rn eine
stetig differenzierbare Kurve in E. Zeigen Sie:
R
γ
df = f (γ(b)) − f (γ(a)).
ii) Es seien γ1 : [a1 , b1 ] → Rn ,..., γm : [am , bm ] → Rn stetig differenzierbare Kurven in E
mit γi (bi ) = γi+1 (ai+1 ) für 1 ≤ i < m und γm (bm ) = γ1 (a1 ). Ferner sei τ := γ1 + ...+ γm .
Zeigen Sie, dass für alle reellen Zahlen α1 , ..., αn gilt:
R
τ
(α1 dx1 + ... + αn dxn ) = 0.
18) Für – zunächst feste – reelle Zahlen a1 , a2 , b1 , b2 mit a1 < a2 und b1 < b2 definiere
γ1 : [a1 , a2 ] → R2 , γ2 : [b1 , b2 ] → R2 , γ3 : [a1 , a2 ] → R2 und γ4 : [b1 , b2 ] → R2 durch
γ1 (t) := (t, b1 ), γ2 (t) := (a2 , t),
γ3 (t) := (a1 + a2 − t, b2 ), γ4 (t) := (a1 , b1 + b2 − t).
γ1 , γ2 , γ3 und γ4 durchlaufen also den positiv orientierten Rand des Rechtecks mit den
Eckpunkten (a1 , b1 ), (a2 , b1 ), (a2 , b2 ) und (a1 , b2 ).
Es sei τ := γ1 + γ2 + γ3 + γ4 .
Unter welchen notwendigen und hinreichenden Bedingungen – an die reellen Zahlen α
und β und die nichtnegativen ganzen Zahlen k, l, m, n – gilt für alle möglichen Wahlen
von a1 , a2 , b1 und b2 die Beziehung
R
τ
(αxk y l dx + βxm y n dy) = 0 ?