1. Logik und Mengenlehre - iks.hs

1. Logik und Mengenlehre
1. Geben Sie die Wahrheitstafeln für die Ausdrücke
a) p _ q b) p ^ (q ! p) an.
p und q sind dabei logische Variable.
2. Gegeben sind die Aussagen:
p : Der Umfang eines Kreises mit Radius 1 ist 2 .
q : Der Merseburger Rabe ist weiß
.
r : 2 > 3:
s : Die Zugspitze ist der höchste Berg in Deutschland.
Bestimmen Sie die Wahrheitswerte der logischen Ausdrücke a) p ^ q, b) q _ r, c) p _ s,
d) q ! s, e) p $ r, f) (p ! s) ! r, g) (p ^ q) _ s.
3. Gegeben sind die Mengen A = [1; 4]; B = [3; 5); C = (0; 6]; D = f4; 5g; E = [5; 7).
Bestimmen Sie A [ B; A \ B; A [ C; B [ D; AnB; CnB; A \ D; C \ E; A [ B [ E. Welche
zwei Mengen sind disjunkt? Welche Mengen sind Teilmengen von C?
xg und B = fx : x2
4. Gegeben sind die Mengen A = fx : 3x + 4 <
Bestimmen Sie A \ B und BnA.
5. Lösen Sie die Ungleichung:
a)
c)
x2
2;
b)
5x + 7
> 1;
3x 6
2x 3
> x;
x 1
d)
jx
j4x
7j
2j + 7 > 2x
6. Lösen Sie die Gleichung:
jxj + j1
xj = 2
7. Lösen Sie die Gleichung:
x4
13x2
4=
1
40
5:
4g [ f1g.
8. Bestimmen Sie alle Lösungen (x; y) des Gleichungssystems
x2
x
4y 2 = 0
3y
5 = 0
2. Rechnen mit reellen Zahlen
1. Berechnen Sie die Summen
a)
4
X
(i
b)
2) i;
i=1
n
X
(3i
1) :
i=1
2. Lösen Sie in folgenden Ausdrücken die Klammern auf:
a)
xy +
z
x
5
a + b2
; b)
3
3. Bestimmen Sie alle reellen Lösungen der Gleichungen:
d)
p
p
a) 5u9 = 99 u, b) 3x = 100 2x , c) 8 + x + 2 = x + 4,
10v
ln (2t + 3) = 1 + ln t, e) v 2 + v =
; f) 41=x = 17
v+5
3. Zahlenfolgen und Reihen
1. Bestimmen Sie die Grenzwerte
a)
d)
g)
p
n 3n4
;
n!1 n4 + n3 + 2
lim
b)
lim
n!1
1
4
n
n=2
6n3 n
1
lim p
; e) lim 1 +
5=2
n!1
n!1
3n
n (3n + 4)
p
25n2 n
7n2 + n
:
lim
; h) lim 2 p
n!1
n!1 n
n+1
n 1
2
;
c)
17n2 + 1
p
;
n!1 n n + 10n
lim
6n+1
;
f)
n2 11n
;
n!1 2n3 + 3
lim
2. Bestimmen Sie die Summenwerte der unendlichen Reihen
a)
1
X
2
3n
;
n=0
b)
1
X
22n 6
n
5
n
:
n=0
4. Funktionen I
1. Geben Sie den größ
tmöglichen De…nitions- und Wertebereich der folgenden Funktionen
an:
x+2
; b) f (x) = ln (1 2x) ; c) f (x) = x + jx + 2j ;
x+1
p
p
d) f (x) = arcsin (ln x) ; e) f (x) = 4
1 x2 ; f) f (x) = e x 1 :
a) f (x) =
Zu a), b), d), e) und f) sind wenn möglich die Umkehrfunktionen zu bestimmen.
Hinweis: Stellen Sie die jeweilige Funktion gra…sch dar.
2. Bestimmen Sie die Nullstellen der Funktion
a) f (x) = x3 + 3x2
4;
b) f (x) = x3 + 6x2
7x:
Geben Sie die Zerlegung in Elementarfaktoren an.
Hinweis: Überlegen Sie, ob ggf. 0, 1 oder -1 eine Nullstelle ist.
3. Bestimmen Sie von der folgenden Funktion die Nullstellen, Pole und die Lücken
x3 + 2x2 3x
;
x2 2x 15
x3 5x2 22x
c) f (x) =
x2 4
a) f (x) =
b) f (x) =
16
:
Geben Sie jeweils die Gleichung der Asymptoten an.
3
x4
4x3
x2
3x2 + 14x
3x 4
8
;
5. Komplexe Zahlen
1. Berechnen Sie
a)
c)
(1
2j)(2 j) 10
;
4 3j
(2j + 1)(j 2) + 1
:
(2 j)2 2 + j
5 + 5j j
e ;
4 3j
b)
d) Geben Sie die exponentielle Darstellung (Euler-Darstellung) der Zahl in c) an.
2. Geben Sie die komplexen Zahlen z1 = 4j; z2 =
Darstellung an. Berechnen Sie
z15 z22
z34
9
p
9j; z3 = 3 3 + 3j in exponentieller
mit Hilfe der exponentiellen Darstellung. Geben Sie das Ergebnis in algebraischer Darstellung an.
3. Geben Sie die exponentielle Darstellung der Zahl u =
und Imaginärteil der Zahl 2 99 u68 .
4. Geben Sie die Zahlen u =
6 10j
1+4j
an. Bestimmen Sie Real-
p
1 + j 3 und v = 1
j in exponentieller Darstellung
u15
an. Bestimmen Sie Real- und Imaginärteil der Zahl 20 . Notieren Sie das Ergebnis in
v
algebraischer Darstellung.
p
5. Geben Sie die Zahl z = 3 3 3j in exponentieller Darstellung an! Bestimmen Sie
14
1
z . Geben Sie das Ergebnis in algebraischer Darstellung an.
6
6. Berechnen Sie (1 j)13 unter Verwendung der exponentiellen Darstellung. Geben Sie
das Ergebnis in algebraischer Darstellung an.
7. Geben Sie alle Lösungen z 2 C der Gleichungen
a) z 2
b) z 2
8jz
15 = 0
4z + 8 = 0
an.
4