Formelsammlung, Klausur 1

Formelsammlung, Klausur 1
Mathematik I, M, Übungen
Reihen
Komplexe Zahlen
z = a + bi, a = Re(z) Realteil, b = Im(z) Imaginärteil
Komplex konjugierte Zahl:
|z| =
p
√
a2 + b2 = z z̄
Polarkoordinaten:
z = r(cos ϕ + i sin ϕ) = reiϕ
Vektorrechnung
Länge eines Vektors:
 
x1 q
x2  = x2 + x2 + x2
1
2
3
x3 Kreuzprodukt:
    

x1
y1
x2 y3 − x3 y2
x2  × y2  = x3 y1 − x1 y3 
x3
y3
x1 y2 − x2 y1
Skalarprodukt:
   
x1
y1
x2  · y2  = x1 y1 + x2 y2 + x3 y3
x3
y3
Parameterfreie Ebenengleichung:
~n · ~x = C, ~n senkrecht zur Ebene und C eine Konstante
Winkel ϕ zwischen Vektoren ~x und ~y :
cos ϕ =
(
n
q =
n=0
∞
X
z̄ = a − bi
Betrag:
∞
X
~x · ~y
|~x| |~y |
Fläche des von ~x und ~y aufgespannten Parallelogramms:
|~x × ~y |
Volumen des von ~x, ~y , ~z aufgespannten Parallelepipeds:
|~x · (~y × ~z)|
1
1−q
divergent
für |q| < 1
sonst
1
divergiert
n
n=0
∞
X
1
konvergiert für α > 1
nα
n=0
P∞
Majorantenkriterium: Besitzt n=1Pan eine konvergente
∞
Majorante, dann konvergiert auch
P∞ n=1 an .
Minorantenkriterium: Besitzt P
n=1 an eine divergente
∞
Minorante, dann divergiert
auch
n=1 an .
p
n
Wurzelkriterium: Ist |an | ≤ q für ein q < 1 und
P∞alle n
ab einem
Index
N
,
dann
konvergiert
die
Reihe
n=1 an .
p
Ist n |an | ≥ 1 ab einem Index N , dann divergiert die
Reihe.
Quotientenkriterium: Ist aan+1
≤ q für ein q < 1 und
n
alle n ab einem
N , dann konvergiert die Reihe
Index
P∞
an+1 n=1 an . Ist an ≥ 1 ab einem Index N , dann divergiert die Reihe.
Leibniz-Kriterium: Ist (an )n∈N
P∞eine monotone Nullfolge,
dann konvergiert die Reihe n=1 (−1)n an .
Funktionen
ex+y = ex ey
∞
x n X xn
=
ex = lim 1 +
n→∞
n
n!
n=0
ln(xy) = ln(x) + ln(y)
ln(xa ) = a ln(x)
ln(1) = 0
sin(x + 2π) = sin(x), cos(x + 2π) = cos(x)
π
π
sin(x + ) = cos(x), cos(x + ) = − sin(x)
2
2
sin(−x) = − sin(x), cos(−x) = cos(x)
sin(x + y) = sin(x) cos(y) + cos(x) sin(y)
cos(x + y) = cos(x) cos(y) − sin(x) sin(y)
Folgen
Geometrische Folge:


0
n
lim q = 1
n→∞


divergent
sin(x)
cos(x)
, cot(x) =
cos(x)
sin(x)
tan(x + π) = tan(x), cot(x + π) = cot(x)
tan(x) =
für |q| < 1
für q = 1
sonst
Majorantenkriterium: Konvergiert (an )n∈N gegen a und
gilt |bn − a| ≤ |an − a| für alle n, dann konvergiert auch
(bn )n∈N gegen a.
Monotoniekriterium: Jede beschränkte monotone Folge
in R ist konvergent.
tan(−x) = − tan(x),
cot(−x) = − tan(x)
Satz von Weierstraß: Ist f auf dem Intervall [a, b] stetig,
dann gibt es einen Punkt in [a, b] mit maximalem Funktionswert sowie einen mit minimalem Funktionswert.
Zwischenwertsatz: Ist f auf dem Intervall [a, b] stetig,
dann kommt jeder Wert zwischen f (a) und f (b) irgendwo
in [a, b] als Funktionswert vor.