Vorlesung Mathematik 2 1

Vorlesung Mathematik 2
1
B.Grabowski
2. Februar 2017
1
(C) Prof.Dr.B.Grabowski, HTW des Saarlandes, 2016, Skript zur Vorlesung Mathematik 2
Zusammenfassung
Das vorliegende Papier umfasst den Inhalt der Vorlesung Mathematik 2 MST und MB und gibt
Hinweise zu weiterführender Literatur. Wir verweisen auch auf die übliche Mathematik-StandardLiteratur, z.B. [Pap01]. Zur Ergänzung der im Skript enthaltenen Übungsaufgaben, d.h. zum weiteren Üben und zum Durchführen von Selbst-Kontrollen (Klausuren) verweisen wir auf unseren
E-Learning-Tutor MathCoach.
Inhaltsverzeichnis
1 Komplexe Zahlen
1.1 Definition der komplexen Zahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2 Darstellungsformen komplexer Zahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.1 Die Normalform . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.2 Die trigonometrische Form einer komplexen Zahl . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.3 Umrechnungen zwischen Normalform und trigonometrischer Form . . . . .
1.2.3.1 Umrechung von TF in NF . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.3.2 Umrechnung von NF in TF . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.4 Die Eulerform einer komplexen Zahl . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3 Rechenoperationen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3.1 Ordnungsrelationen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3.2 Addition und Subtraktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3.3 Multiplikation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3.3.1 Multiplikation in NF . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3.3.2 Multiplikation in EF . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3.4 Division . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3.4.1 Division in NF . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3.4.2 Division in EF . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.4 Erweiterte arithmetische Operationen: Potenzieren, Wurzelziehen, Logarithmieren
1.4.1 Das Potenzieren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.4.2 Der natürliche Logarithmus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.4.3 Wurzel-Ziehen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.5 Anwendung komplexer Zahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.5.1 Linearfaktorzerlegung (LFZ) von Polynomen . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.5.2 Schwingungen als komplexe Zeiger . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.5.2.1 Darstellung von Schwingungen durch sin- und cos-Funktionen . .
1.5.2.2 Darstellung von harmonischen Schwingungen als komplexe Zeiger
1.5.2.3 Überlagerung (Addition, Superposition) gleichfrequenter Schwingungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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2 Reellwertige Funktionen in einer Veränderlichen
2.1 Abbildungen und Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2 Darstellungsformen von Abbildungen . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3 Eindeutigkeits-Eigenschaften von Funktionen und Umkehrfunktionen
2.3.1 Injektiv, Surjektiv und Bijektiv . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3.2 Umkehrfunktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.4 Allgemeine Eigenschaften von Funktionen . . . . . . . . . . . . . . .
2.4.1 Symmetrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.4.2 Monotonie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.4.3 Periodizität . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.4.4 Beschränkheit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.4.5 Nullstelle einer Funktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.5 Koordinatentransformationen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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3 Grenzwerte
3.1 Zahlenfolgen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.1.1 Was sind Zahlenfolgen? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.1.2 Allgemeine Eigenschaften von Zahlenfolgen . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.1.3 Häufungspunkte und Grenzwert einer Zahlenfolge . . . . . . . . . . . . . . .
3.1.4 Berechnung von Grenzwerten und Grenzwertsätze . . . . . . . . . . . . . .
3.2 Grenzwerte von Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2.1 Definition des Grenzwertes von Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2.1.1 Grenzwert einer Funktion für x → ±∞ . . . . . . . . . . . . . . .
3.2.1.2 Grenzwert einer Funktion für x → x0 , rechtsseitige und linksseitige
Grenzwerte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2.2 Grenzwertsätze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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4 Stetigkeit von Funktionen, Unstetigkeitsstellen und Asymptoten
4.1 Asymptoten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2 Stetigkeit von Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.3 Unstetigkeitstellen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.4 Gebrochen rationale Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.4.1 Berechnung von Asymptoten . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.4.2 Unstetigkeitsstellen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.4.3 Das Vorzeichendiagramm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.4.4 Beispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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5 Differentialrechnung
5.1 Ableitungen einer Funktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.2 Zusammenhang zwischen Differenzierbarkeit und Stetigkeit . . .
5.3 Ableitungen elementarer Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . .
5.4 Ableitungsregeln für zusammengesetzte Funktionen . . . . . . . .
5.4.1 Die Summen- und Faktorregel . . . . . . . . . . . . . . . .
5.4.2 Die Produktregel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.4.3 Die Quotientenregel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.4.4 Die Kettenregel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.4.5 Die Ableitung einer Umkehrfunktion . . . . . . . . . . . .
5.4.6 Logarithmische Differentiation . . . . . . . . . . . . . . .
5.4.7 Ableitungstraining . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.5 Untersuchung von Funktionen mit Hilfe der Differentialrechnung
5.5.1 Die Monotonie einer Funktion und ihre 1. Ableitung . . .
5.5.2 Krümmungsverhalten, Wende- und Sattelpunkte . . . . .
5.5.3 Extremwerte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.5.4 Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.6 Kurvendiskussion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.7 Berechnung von Grenzwerten mit Hilfe der Differentialrechnung .
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2.6
2.5.1 Parallelverschiebung . . . . . .
2.5.2 Drehung . . . . . . . . . . . . .
Elementare Funktionen . . . . . . . . .
2.6.1 Ganzrationale Polynome . . . .
2.6.2 Gebrochen rationale Polynome
2.6.3 Algebraische Funktionen . . . .
2.6.4 Exponentialfunktionen . . . . .
2.6.5 Logarithmus-Funktionen . . . .
2.6.6 Trigonometrische Funktionen .
2.6.7 Arcus-Funktionen . . . . . . .
2.6.8 Hyperbel-Funktionen . . . . . .
2.6.9 Area-Funktionen . . . . . . . .
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72
Kapitel 1
Komplexe Zahlen
Bei der Übertragung von Signalen haben wir es mathematisch häufig mit der Lösung quadratischer
Gleichungen zu tun.
Wollen wir die Gleichung x2 + 4 = 0 lösen, so stellen wir fest, dass es keine reelle Zahl x gibt, die
diese Gleichung löst. Es ist
x2 + 4 = 0
⇔ x2 = −4 √
⇔ x1/2 = ± −4
√
√
⇔ x1/2 = ± −1 · 4
√
⇔ x1/2 = ± −1 · 2.
Die beiden Lösungen x1/2 sind in R nicht definiert, weil dort Wurzeln aus negativen Zahlen nicht
√
definiert sind. Wenn wir aber zu den reellen Zahlen R die Zahl −1 einfach hinzunehmen und alle
in R erlaubten
√ Rechenoperationen (wie +, -, *, /, Potenzieren, Wurzelziehen usw.) auch für die
neue Zahl −1 zulassen, so entsteht eine neue größere Zahlenmenge, die dann auch die Lösungen
x1/2 der obigen Gleichung enthält. Die Zahlen in dieser Menge haben dann folgende Gestalt:
√
z = a + −1 · b, a ∈ R, b ∈ R, und werden als komplexe Zahlen bezeichnet.
Wir werden uns deshalb zunächst mit der Menge der komplexen Zahlen und dem Rechnen mit
diesen Zahlen beschäftigen.
1.1
Definition der komplexen Zahlen
Definition 1.1 Zahlen der Gestalt
z = a + j · b, wobei a, b ∈ R und j =
√
−1 sind
heißen komplexe Zahlen.
a = Re(z) heißt Realteil von z, b = Im(z) heißt Imaginärteil von z, j =
Einheit (Schreibweisen: j, i).
√
−1 heißt Imaginäre
Die Menge C = {a + j · b| a ∈ R, b ∈ R} heißt Menge der komplexen Zahlen.
Beispiele für komplexe Zahlen: 2j,
√
−j 17,
3 + π · j,
4,
−4.
Wir bemerken, dass reelle Zahlen spezielle komplexe Zahlen sind, und zwar für b = 0.
3
Kapitel 1 Komplexe Zahlen
4
In der Menge C der komplexen Zahlen sind alle quadratischen Gleichungen lösbar!
Beispiel:
x2 − 2x + 10 =√0
√
⇔ x1/2 = 1 ± 1 − 10 = 1 ± −9
⇔ x1/2 = 1 ± j · 3.
Bemerkung:
Wie wir im Beispiel gesehen haben, erhalten wir zwei Lösungen der quadratischen Gleichung
x2 − 2x + 10 = 0: x1 = 1 + 3j und x2 = 1 − 3j. Die beiden Lösungen unterscheiden sich dadaurch,
dass ihre Imaginärteile entgegengesetzte Vorzeichen haben.
Man kann zeigen, dass quadratische Gleichungen immer genau zwei Lösungen in C der Gestalt z1 =
a + jb und z2 = a − jb haben. Man nennt ein solches Lösungspaar Paar konjugiert komplexer
Zahlen.
Definition 1.2 Sei z = a + jb. Dann heißt z ∗ = a − jb konjugiert komplexe Zahl (bzw.
konjugiert Komplexe) zu z.
Beispiele: z1 = 2 + j · 3 ⇒ z1∗ = 2 − j · 3,
z2 = 1 − j ⇒ z2∗ = 1 + j.
Bemerkung: Es gilt: Re(z) = Re(z ∗ ) und Im(z) = −Im(z ∗ ).
Aufgabe 1.1 Geben Sie Realteil, Imaginärteil und die konjugiert Komplexe zu z an!
a) z = −1 + 3j
b) z = 4 − j
Aufgabe 1.2 Lösen Sie folgende quadratische Gleichungen!
a) z 2 + 3 · z + 6, 25 = 0
b) 3z 2 + 12z + 39 = 0
c) z 2 + 9 = 0
1.2
1.2.1
Darstellungsformen komplexer Zahlen
Die Normalform
Definition 1.3 Die Darstellung
z =a+j·b
der komplexen Zahl heißt Normalform (NF).
Kapitel 1 Komplexe Zahlen
5
Eine komplexe Zahl z = a + jb ist eindeutig durch ihren Realteil a und ihren Imaginärteil b
bestimmt. Das Paar (a, b) kann man sich grafisch als Punkt oder als Vektor
veranschaulichen.
a
Und tatsächlich wird eine komplexe Zahl z = a + jb grafisch als Ortsvektor
dargestellt, wir
b
bezeichen ihn als komplexen Zeiger z.
Im(z)
z = a + jb
b
Re(z)
a
Die Koordinatenachsen werden als Realteil-Achse (x-Achse) und Imaginärteil-Achse (y-Achse)
bezeichnet.
Bemerkung: Offensichtlich sind zwei komplexe Zahlen z1 = a1 + j · b1 und z2 = a2 + j · b2 gleich,
wenn a1 = a2 und b1 = b2 ist.
Beispiele:
Im(z)
z2 = −1 + 2j
2
z1 = 2 + j
1
Re(z)
−1
2
z1∗ = 2 − j
−1
Wir sehen, dass die konjugiert komplexe Zahl z ∗ zu einer komplexen Zahl z durch Spiegelung an
der Realteil-Achse entsteht.
1.2.2
Die trigonometrische Form einer komplexen Zahl
Wie wir an der grafischen Darstellung der komplexen Zahl als Vektor sehen, kann man sie auch
eindeutig durch die Länge |z| ihres Zeigers und ihren Winkel ϕ zur x-Achse beschreiben.
Im(z)
z = a + jb
b
|z|
Re(z)
ϕ
a
Wir können folgende Zusammenhänge zwischen a, b, |z| und ϕ herstellen:
Kapitel 1 Komplexe Zahlen
6
Nach Pythagoras erhalten wir die Länge des Zeigers gemäß |z| =
Definition 1.4 |z| =
√
√
a2 + b2 .
a2 + b2 heißt Betrag der komplexen Zahl z = a + j · b.
Gemäß den Gesetzen in rechtwinkligen Dreiecken gilt weiterhin
a = |z| · cos(ϕ) und b = |z| · sin(ϕ).
Daraus
z =
=
=
ergibt sich ausgehend von der NF
a + jb
|z| · cos(ϕ) + j · |z| · sin(ϕ)
|z|(cos(ϕ) + j · sin(ϕ))
Definition 1.5 Die Darstellung
z = |z| (cos (ϕ) + j · in (ϕ))
heißt trigonometrische Form (TF) von z.
Dabei sind |z| die Länge des Zeigers von z und ϕ der Winkel von der positiven Realteil-Achse zu z
in mathematisch positiver Drehrichtung (d.h. von Re(z)-Achse zu z gehen wir entgegengesetzt zum
Uhrzeigersinn).
Beispiele:
Abbildung 1.1: Beispiele für komplexe Zahlen in trigonometrischer Form
Bemerkung:
In der TF einer komplexen Zahl ist der Winkel ϕ nicht eindeutig bestimmt.
Kapitel 1 Komplexe Zahlen
7
1. Verwendung von Perioden
Im(z)
z = |z| · (cos(ϕ) + j · sin(ϕ)) = |z| · (cos(ϕ + 2π) + j · sin(ϕ + 2π))
ϕ
Re(z)
Addieren wir 2 · π oder ein ganzzahliges Vielfaches k · 2 · π dieser Zahl zu ϕ, so entspricht das
einer vollständigen Drehung bzw. k Drehungen des komplexen Zeigers im Zeigerdiagramm
und wir erhalten im Ergebnis die gleiche komplexe Zahl. Dasgleiche trifft für die Subtraktion
von k · 2π von ϕ zu.
Das heißt, es gilt:
z
= |z| (cos (ϕ) + j · sin (ϕ))
= |z| (cos (ϕ + k · 2π) + j · sin (ϕ + k · 2π)) , k ∈ Z.
Beispiel: Es ist z = 2(cos(90◦ ) + jsin(90◦ ) = 2(cos(450◦ ) + jsin(450◦ )).
2. Verwendung der negativen Winkeldrehrichtung
Im(z)
z = |z| · (cos(ϕ) + j · sin(ϕ)) = |z| · (cos(α) − j · sin(α))
α + ϕ = 2π
ϕ
Re(z)
α
In der TF von z haben wir den Winkel ϕ in mathematisch positiver Drehrichtung (d.h.
entgegengesetzt zur Uhrzeigerrichtung) bestimmt. Wir können z aber auch durch den
Winkel α = 2π − ϕ beschreiben, den wir in mathematisch negativer Drehrichtung (in
Uhrzeigerrichtung) erhalten.
Es gilt ϕ = 2π − α. Setzen wir das in die TF von z ein und berücksichtigen die Eigenschaften
der Periodizität von sinus und cosinus, so ergibt sich
Kapitel 1 Komplexe Zahlen
z
=
=
=
=
8
|z| (cos (ϕ) + j · sin (ϕ))
|z| (cos (2π − α) + j · sin (2π − α))
|z| (cos (−α) + j · sin (−α)) (Periodizität von sin und cos)
|z| (cos (α) − j · sin (α)) (Symmetrie von sin und cos)
Satz 1.1 Sei ϕ = 2π − α. Dann gilt:
z
=
=
|z| (cos (ϕ) + j · sin (ϕ))
|z| (cos (α) − j · sin (α))
Beispiel: Es ist z = 2(cos(270◦ ) + jsin(270◦ )) = 2(cos(90◦ ) − jsin(90◦ )).
Aufgabe 1.3 Skizzieren Sie folgende komplexe Zahlen im Zeigerdiagramm!
a) z1 = 2 (cos(30◦ ) − j · sin(30◦ ))
b) z2 = 4 (cos(390◦ ) + j · sin(390◦ ))
c) z3 = −3 + 2j
d) z4 = z2∗
1.2.3
Umrechnungen zwischen Normalform und trigonometrischer Form
1.2.3.1
Umrechung von TF in NF
Ist die komplexe Zahl in TF gegeben:
z = |z|(cos(ϕ) + j · sin(ϕ)) = |z| · cos(ϕ) + j · |z| · sin(ϕ),
so können wir sie leicht in die NF umwandeln. Denn in rechtwinkligen Dreiecken gilt:
Im(z)
z
|z|
Gegenkathete
Hypothenuse
= sin(ϕ) ⇒
b
|z|
= sin(ϕ)
Ankathete
Hypothenuse
= cos(ϕ) ⇒
a
|z|
= cos(ϕ)
b
Re(z)
ϕ
a
Daraus folgt a = |z|cos(ϕ) und b = |z|sin(ϕ) und wir erhalten
z
Analog gilt:
=
=
|z|cos(ϕ) + j
a
+ j
|z|sin(ϕ)
b
Kapitel 1 Komplexe Zahlen
9
z
=
=
|z|cos(ϕ) − j
a
− j
|z|sin(ϕ)
b
Beispiel:
Wie lautet die komplexe Zahl z = 2(cos(90◦ ) − j · sin(90◦ )) in Normalform?
Lösung:
Es ist cos(90◦ ) = 0 und sin(90◦ ) = 1 und folglich erhalten wir:
z
= 2(cos(90◦ ) − j
= 2 · cos(90◦ ) − j
= 2·0
− j
=
−j
sin(90◦ ))
2 · sin(90◦ )
2·1
2
Aufgabe 1.4 Rechnen Sie folgende komplexe Zahlen in NF um! Prüfen Sie Ihr Ergebnis,
indem Sie die komplexe Zahl im Zeigerdiagramm darstellen!
a) z1 = 2(cos(π) + j · sin(π))
b) z2 = −j · sin(135◦ )
c) z3 = 3 · cos( π4 ) − j · 3 · sin( π4 )
1.2.3.2
Umrechnung von NF in TF
Sei z = a + jb eine komplexe Zahl in NF. Wollen wir ihre TF bestimmen, müssen wir den Betrag
|z| und den Winkel ϕ von z bestimmen.
Der Betrag ergibt sich gemäß
|z| =
√
a2 + b2
Zur Berechnung des Winkels nutzen wir wieder Gesetzmäßigkeiten in rechtwinkligen Dreiecken
aus. Es gilt:
Im(z)
z
Gegenkathete
Ankathete
|z|
b
= tan(ϕ) ⇒ ab = tan(ϕ)
⇒ ϕ = tan−1 ( ab ) = arctan( ab )
Re(z)
ϕ
a
Bei der Berechnung des Winkels ϕ müssen wir allerdings noch den Quadranten berücksichtigen,
indem dem komplexe Zeiger liegt.
Wir unterscheiden dabei 2 Fälle.
Kapitel 1 Komplexe Zahlen
10
1. Fall: Der komplexe Zeiger liegt direkt auf einer Achse des Koordinatensystems.
Im(z)
z2
Re(z)
z3
z1
z4
z1
z2
z3
z4
Fall
: a > 0, b = 0
: a = 0, b > 0
: a < 0, b = 0
: a = 0, b < 0
Winkel
ϕ=0
ϕ = 90◦ = π2
ϕ = 180◦ = π
ϕ = 270◦ = 32 π
2. Fall: Der komplexe Zeiger liegt nicht direkt auf einer Koordinatenachse.
Kapitel 1 Komplexe Zahlen
Fall
11
Skizze
Im(z)
Winkel
z
1.Quadrant : a > 0, b > 0
|z|
tan(ϕ) =
b
ϕ = arctan( ab )
Re(z)
ϕ
b
a
a
Im(z)
z
2.Quadrant : a < 0, b > 0
tan(α) =
|z|
b
b
|a|
ϕ=π−α
ϕ
α
Re(z)
b
ϕ = π − arctan( |a|
)
a
Im(z)
Re(z)
a
α
tan(α) =
3.Quadrant : a < 0, b < 0
|b|
|a|
ϕ=π+α
b
|z|
|b|
)
ϕ = π + arctan( |a|
z
Im(z)
Re(z)
a
α
tan(α) =
4.Quadrant : a > 0, b < 0
ϕ=
|z|
b
ϕ=
z
Aufgabe 1.5 Füllen Sie in der 4.Zeile der Tabelle die 3. Spalte aus!
Beispiel: Stellen Sie z = −2 + 2j in TF dar!
Lösung:
Betrag: |z| =
√
√
4 + 4 = 2 2.
Winkel: Die komplexe Zahl liegt (weil a < 0 und b > 0 ist) im 2. Quadranten. Demzufolge ist
Kapitel 1 Komplexe Zahlen
12
b
ϕ = π − arctan( |a|
) = π − arctan(1) = π −
π
4
= 34 π.
Wir erhalten als Ergebnis:
√
z = −2 + 2j = 2 2 cos
3
4π
+ j · sin
3
4π
Im(z)
z
2
√
2 2
ϕ = 34 π
Re(z)
−2
Aufgabe 1.6 Rechnen Sie folgende komplexe Zahlen in TF um! Prüfen Sie Ihr Ergebnis,
indem Sie die komplexe Zahl im Zeigerdiagramm darstellen!
a) z1 = 2 + 3j
b) z2 = −4j
c) z3 = −3 − 2j
d) z4 = z2∗
1.2.4
Die Eulerform einer komplexen Zahl
Die Eulerform einer komplexen Zahl basiert auf ihrer trigonometrischen Form, d.h. auf der Angabe
von Betrag und Winkel.
Diese Form erhalten wir unter Verwendung des folgenden Satzes, der besagt, dass man die Funktionen cos(x), sin(x) und ex als Polynome unendlicher Ordnung (sogenannte Potenz- oder TaylorReihen) darstellen kann.
Satz 1.2
Es gilt
1. cos(x) = 1 −
x2
2!
+
x4
4!
+
2. sin(x) = x −
x3
3!
+
x5
5!
− ....
3. ex = 1 +
x
1!
+
x6
6! ....
x2
2! ....
Auf der Basis dieses Satzes kann man nun für x = jϕ einen Zusammenhang zwischen cos(x), sin(x)
und ex herstellen.
Kapitel 1 Komplexe Zahlen
13
Zunächst sei bemerkt, dass gilt:
j 2 = −1, j 3 = −j, j 4 = 1, j 5 = j usw. usf.
Setzen wir nun x = jϕ in die Gleichung für ex ein, so erhalten wir
ejϕ
= 1 + (jϕ)
1!
= 1 + jϕ
2
= 1 − ϕ2!
=
+
−
+
cos(ϕ)
(jϕ)2
2!
ϕ2
2!4
ϕ
4!
+
−
∓
(jϕ)3
3!
jϕ3
3!
···)
4
+ (jϕ)
4!
4
+ ϕ4!
+ j(ϕ
+
+
+
−
(jϕ)5
5!
jϕ5
5!
ϕ3
3!
+
−
+
j · sin(ϕ)
(jϕ)6
6!
ϕ6
6!5
ϕ
5!
+ ...
− ...
∓ ···)
Satz 1.3 Es gilt:
1. ejϕ = cos(ϕ) + j · sin(ϕ)
2. e−jϕ = cos(ϕ) − j · sin(ϕ)
Definition 1.6
Sei z = |z|(cos(ϕ) + jsin(ϕ)) eine komplexe Zahl. Die Darstellung
z
=
=
|z| ejϕ
|z| ej(ϕ+k·2π) ,
k∈Z
heißt Eulerform (EF) der komplexen Zahl z.
Bemerkungen:
1. Hat man die TF der komplexen Zahl, also ϕ und |z|, so hat man auch die EF von z. D.h.,
die Umrechnung einer komplexen Zahl von NF in EF bzw. EF in NF erfolgt analog zur
Umrechnung von NF in TF bzw. TF in NF.
2. Die EF einer komplexen Zahl ist genauso wie die TF nicht eindeutig im Winkel.
3. Ist z = |z|ejϕ , so ist die konjugiert Komplexe gleich z ∗ = |z|e−jϕ .
Beispiele
1. Wie lautet die EF von z = −2 + 2j?
Lösung:
√
Wir rechnen die NF zuerst in TF um: wie wir oben gesehen haben ist |z| = 2 2 und ϕ = 34 π.
Daraus ergibt sich
√ die 3EF, es ist:
z = −2 + 2j = 2 2(ej 4 π) .
π
2. Wie lautet die NF von z = 3e− 4 ?
Lösung:
π
z = 3e− 4 = 3(cos( π4 ) − jsin( π4 )) =
√3
2
− j √32 .
Kapitel 1 Komplexe Zahlen
14
Aufgabe 1.7 Rechnen Sie folgende komplexe Zahlen in EF um! Prüfen Sie Ihr Ergebnis,
indem Sie die komplexe Zahl im Zeigerdiagramm darstellen!
a) z1 = 2 + 3j
b) z2 = −4j
c) z3 = −3 − 2j
d) z4 = z2∗
Aufgabe 1.8 Rechnen Sie folgende komplexe Zahlen in NF um! Prüfen Sie Ihr Ergebnis,
indem Sie die komplexe Zahl im Zeigerdiagramm darstellen!
a) z1 = 2e−jπ
π
b) z2 = 4ej 2
2
c) z3 = 3e−j 3 π
d) z4 = ej
1.3
11
3 π
Rechenoperationen
1.3.1
Ordnungsrelationen
1. Gleichheit
Definition 1.7 2 komplexe Zahlen z1 = a1 + jb1 = |z1 | ejϕ1 und z2 = a2 + jb2 = |z2 | ejϕ2
sind gleich,wenn sie in ihrem Real- und ihrem Imaginärteil übereinstimmen, bzw. wenn
die Beträge gleich sind und die Winkel bis auf ein Vielfaches von k·2π gleich sind. D.h., es gilt:
z1 = z2
⇔ a1 = a2 ∧ b1 = b2
⇔ |z1 | = |z2 | ∧ ϕ1 = ϕ2 ± k · 2π, k ∈ Z.
2. Anordnungen
Komplexe Zahlen werden durch 2 Parameter a und b bestimmt. Deshalb kann man sie nicht
ordnen. Beispielsweise kann man nicht sagen, welche der beiden komplexen Zahlen z1 =
1 + 2j, z2 = 2 + 1j kleiner ist. D.h. in C gibt es keine Ordnungsrelation < (bzw >). Es gibt
in C nur = und 6=.
Kapitel 1 Komplexe Zahlen
1.3.2
15
Addition und Subtraktion
Die Addition und Subtraktion zweier komplexer Zahlen erfolgt nur in NF. Das Ergebnis liegt dann
wieder in NF vor.
Definition 1.8
Seien z1 = a1 + j · b1 , z2 = a2 + j · b2 . Dann ist
z1 ± z2 = (a1 + jb1 ) ± (a2 + jb2 ) = (a1 ± a2 ) + j · (b1 ± b2 )
D.h., 2 komplexe Zahlen werden addiert bz. subtrahiert, indem man ihre Real- und Imaginärteile
addiert bzw. subtrahiert.
Geometrisch entspricht das der Vektoraddition bzw. -subtraktion.
Beispiel.
Seien z1 = 1 − 2j und z2 = 2 + j. Ermitteln Sie u = z1 + z2 und w = z1 − z2 geometrisch und
rechnerisch!
Lösung:
Rechnerisch:
u = z1 + z2 = 1 − 2j + (2 + j) = 3 − j
w = z1 − z2 = 1 − 2j − (2 + j) = 1 − 2j − 2 − j = −1 − 3j
Geometrisch:
Vektoraddition
und -subtraktion.
1
3
1
u , −2
+ 21 = −1
und w , −2
− 21 =
−1
−3
Im(z)
z2
Re(z)
u
z1
z2
Aufgabe 1.9 Ermitteln Sie in obiger Grafik die komplexe Zahl w = z1 − z2 durch
Vektorsubtraktion!
Aufgabe 1.10
π
Seien z1 = 2 + 3j, z2 = 2 − 4j, z3 = 2ej·π , z4 = 2e−j 4 .
Kapitel 1 Komplexe Zahlen
16
Berechnen Sie folgende komplexe Zahlen! Prüfen Sie Ihr Ergebnis, indem Sie die Ergebnisse grafisch
im Zeigerdiagramm ermitteln!
a) u1 = z1 + z2
b) u2 = z1 − z3
c) u3 = z1∗ + z4∗
1.3.3
Multiplikation
Man kann 2 komplexe Zahlen die beide in NF vorliegen, miteinander multiplizieren. Das Ergebnis
liegt wieder in NF vor.
Man kann aber auch 2 komplexe Zahlen die beide in EF vorliegen, miteinander multiplizieren.
Das Ergebnis liegt dann in EF vor.
D.h., die zu multiplizierenden komplexen Zahlen müssen die gleiche Darstellungsform besitzen.
1.3.3.1
Multiplikation in NF
Definition 1.9
Seien z1 = a1 + j · b1 , z2 = a2 + j · b2 . Dann ist
z1 · z2 = (a1 + jb1 ) · (a2 + jb2 ) = (a1 a2 − b1 b2 ) + j(b1 a2 + a1 b2 )
Beispiel.
Sei z1 = 3 + 4j und z2 = 2 − 5j. Dann ist
z1 · z2 = (3 + 4j) · (2 − 5j) = 6 + 8j − 15j − 20j 2 = (6 + 20) + j(8 − 15) = 26 − 7j
1.3.3.2
Multiplikation in EF
Definition 1.10
Seien z1 = |z1 | · ejϕ1 , z2 = |z2 | · ejϕ2 . Dann ist
z1 · z2 = |z1 | · ejϕ1 · |z2 | · ejϕ2 = |z1 ||z2 | · ej(ϕ1 +ϕ2 ) .
D.h., die Beträge werden multipliziert und die Winkel addiert.
Beispiel.
π
Sei z1 = 3ej 2 und z2 = 2e−jπ . Dann ist
π
π
π
π
z1 · z2 = 3ej 2 · 2e−jπ = 3 · 2ej 2 · e−jπ = 6ej( 2 −π) = 6e−j 2 .
Aufgabe 1.11
a) Multiplizieren Sie z1 = −2 + 3j und z2 = 1 + j und stellen Sie das Ergebnis in NF und EF
dar!
Kapitel 1 Komplexe Zahlen
17
π
b) Was bedeutet die Mulltiplikation von z mit ej 4 geometrisch? Was passiert mit z im Zeigerdiagramm?
π
2
c) Multiplizieren Sie z1 = 4ej 2 und z2 = 3e−j 3 π !
d) Zeigen Sie dass gilt: z · z ∗ = |z|2 !
e) Multiplizieren Sie z1 = 4ej
1.3.4
2π
3
und z2 = 1 − j!
Division
Analog zur Multiplikation kann man 2 komplexe Zahlen nur dann dividieren, wenn sie entweder
beide in NF oder beide in EF vorliegen. Das Ergebnis liegt im ersten Fall wieder in NF und im 2.
Fall in EF vor.
1.3.4.1
Division in NF
Liegen die zu dividierenden komplexen Zahlen in NF vor, so gehen wir wie folgt vor.
Wir erweitern den komplexen Bruch mit der konjugiert komplexen des Nenners und machen
dadurch den Nenner reell. Danach multiplizieren wir den Zähler aus und sortieren die komplexe
Zahl nach Real- und Imaginärteil. Das Ergebnis liegt dann in NF vor.
Betrachten wir dazu ein Beispiel.
Beispiel
z = 1−2j
3+4j
=
(1−2j)·(3−4j)
32 +42
=
−5−10j
25
(1−2j)·(3−4j)
(3+4j)·(3−4j)
=erweitern
= − 15 − 25 j
Aufgabe 1.12
a) Berechnen Sie
−2+3j
1+j !
b) Berechnen Sie 1j !
c) Berechnen Sie
1.3.4.2
z
z∗ !
Division in EF
Definition 1.11
Seien z1 = |z1 | · ejϕ1 , z2 = |z2 | · ejϕ2 . Dann ist
z1
z2
=
|z1 |·ejϕ1
|z2 |·ejϕ2
=
|z1 |
|z2 |
· ej(ϕ1 −ϕ2 ) .
Kapitel 1 Komplexe Zahlen
18
D.h., die Beträge werden dividiert und die Winkel subtrahiert.
Beispiel.
π
Sei z1 = π3ej 2 und zπ2 = 2e−jπ . Dann ist
j
z1
3e 2
3
ej 2
3 j( π
3 j 3π
2 +π) =
2 .
z2 = 2e−jπ = 2 · e−jπ = 2 e
2e
Aufgabe 1.13
a) Berechnen Sie z =
und EF dar!
z1
z2
mit z1 = −2 + 3j und z2 = 1 + j und stellen Sie das Ergebnis z in NF
b) Was bedeutet die Division von z durch ej
gramm?
pi
4
geometrisch? Was passiert mit z im Zeigerdia-
π
2
c) Berechnen Sie z =
z1
z2
mit z1 = 4ej 2 und z2 = 3e−j 3 π !
d) Berechnen Sie z =
z1
z2
mit z1 = 4ej
2π
3
und z2 = 1 − j!
Aufgabe 1.14
Weisen Sie folgende Rechengesetze für die Division nach!
1
j
= −j
∗ ∗ z
= z1∗
b) zz21
2
1|
c) zz12 = |z
|z2 |
a)
1.4
Erweiterte arithmetische Operationen:
Wurzelziehen, Logarithmieren
Potenzieren,
Definition 1.12 Wir betrachten die Gleichung
z n = a, z ∈ C, a ∈ C, n ∈ Q
Sind 2 der 3 Größen z, n, a gegeben, so können wir aus dieser Gleichung die dritte Größe berechnen.
Je nachdem, welche der 3 Größen zu berechen ist, sprechen wir vom Potenzieren, Wurzelziehen oder
Logarithmieren.
Ges.: a = z n ,
√
• Wurzelziehen: Geg.: n, a, Ges.: z = n a,
• Potenzieren: Geg.: z, n,
• Logarithmieren: Geg.: z, a,
Ges.: n = logz (a).
Alle drei Operationen werden im komplexen nur in EF durchgeführt.
Kapitel 1 Komplexe Zahlen
1.4.1
19
Das Potenzieren
Definition 1.13 Sei z = |z| ejϕ . Dann ist
z n = |z| ejϕ
n
n
= |z| · ejnϕ
Aufgabe 1.15
Berechnen Sie
π 4
a) ej 4 und geben Sie das Ergebnis in EF und NF an!
π 6
b) 2e−j 2 und geben Sie das Ergebnis in EF und NF an!
1.4.2
Der natürliche Logarithmus
Sei z = |z| ejϕ . Wir wollen den natürlichen Logarithmus ln(z) berechnen. Dieser ist für komplexes
z nicht eindeutig.
Um alle Werte für ln(z) zu finden, stellen wir z in der allgemeinen EF dar:
z = |z| ejϕ = |z| ej(ϕ+k·2π) , k ∈ Z
Daraus folgt in Anwendung des
Logarithmengesetzes ln(a · b) = ln(a) + ln(b):
ln(z) = ln |z| ej(ϕ+k·2π)
= ln (|z|) + ln ej(ϕ+k·2π)
= ln (|z|) + j (ϕ + k · 2π) , k ∈ Z
Satz 1.4 Sei z = |z| ejϕ . Dann sind alle Lösungen n der Gleichung en = z, n ∈ C (e = Eulersche
Zahl) gegeben durch
n = ln(z) = ln(|z|) + j(ϕ + k · 2π), k ∈ Z
Für k=0 erhalten wir die sogenannte Hauptlösung: ln(z) = ln(|z|) + jϕ.
Kapitel 1 Komplexe Zahlen
20
Abbildung 1.2: Grafische Darstellung aller Lösungen n = ln(z) der Gleichung en = z
Aufgabe 1.16
Berechnen Sie ln(z) und stellen Sie die Ergebnisse grafisch dar!
π
a) z = 2ej 3
b) z = 1 + j
1.4.3
Wurzel-Ziehen
Suchen wir für ein gegebenes n ∈ N und eine gegebene komplexe Zahl a ∈ C die Lösung
√ z ∈ C der
Gleichung z n = a, so sprechen wir vom Wurzelziehen; wir schreiben für die Lösung n a.
Die Aufgabenstellung lautet dann:
a) Geben Sie alle Lösungen z ∈ C von z n = a an!
oder äquivalent dazu:
√
b) Berechnen Sie n a!
Die Lösung z der Gleichung z n = a ist nicht eindeutig, wir werden sehen, dass es genau n
verschiedene Lösungen gibt. Um alle Lösungen zu finden, stellen wir a zunächst wieder in der
allgemeinen EF dar:
a = |a|ej(ϕa +k·2π) , k ∈ Z.
Allgemeines Vorgehen beim Wurzelziehen:
Kapitel 1 Komplexe Zahlen
⇔
⇔
⇔
⇔
zn
(|z|ej·ϕ )n
|z|n · ej·nϕ
|z|n =p
|a| und
|z| = n |a| und
21
= a
= |a|ej(ϕa +k·2π)
= |a|ej(ϕa +k·2π)
nϕ = ϕa + k · 2π
ϕ = ϕna + nk · 2π
Darstellen von z in EF und a in erw. EF
z n in EF darstellen
Beträge und Winkel müssen gleich sein
|z| und ϕ berechnen
Die Lösungen z sind also:
zk = |z|ej·ϕk mit |z| =
p
n
|a| und ϕk =
ϕa
n
+
k
n
· 2π, k ∈ Z.
Die Lösungen haben also alle die gleiche Länge. Die Winkel zweier benachbarter Lösungen zk und
zk+1 unerscheiden sich um 2π
n .
ϕ0
ϕ1
ϕ2
..
.
=
=
=
ϕn−1
ϕn
ϕn+1
..
.
=
=
=
ϕa
n
ϕa
n
ϕa
n
+
+
1
n
2
n
ϕa
n
ϕa
n
ϕa
n
+
+
+
n−1
n · 2π
n
n · 2π ,
n+1
n · 2π
..
.
..
.
· 2π
· 2π
ϕ0
, ϕ1
Satz 1.5 Die Gleichung z n = a hat genau n verschiedene komplexe Lösungen:
p
zk = |z|ej·ϕk mit |z| = n |a| und ϕk = ϕna + nk · 2π, k = 0, · · · n − 1.
Die komplexen Lösungszeigerp
zk , k = 0, · · · , n − 1 liegen mit der Zeigerspitze auf dem Kreisbogen
des Kreises mit dem Radius n |a| und bilden ein regelmäßiges n-Eck.
Abbildung 1.3: Grafische Darstellung aller Lösungen z der Gleichung z n = a
Kapitel 1 Komplexe Zahlen
22
Beispiel:
√
Gesucht sind alle Lösungen von z 3 = 2 − 2j bzw. die Wurzel 3 2 − 2j!
Lösung:
√
π
Wir berechnen die EF von a = 2 − 2j. Es ist 2 − 2j = 8e−j 4 .
Damit erhalten wir:
⇔
⇔
⇔
⇔
für k
z3
(|z|ej·ϕ )3
|z|3 · ej·3ϕ
√
|z|3 =√ 8 und
|z| = 6 8 und
= 0, 1, 2.
= √
2 − 2j
π
= √8ej(− 4 +k·2π)
π
8ej(− 4 +k·2π)
=
3ϕ = − π4 + k · 2π
π
+ k3 · 2π
ϕ = − 12
Darstellen von z in EF und a in erw. EF
z n in EF darstellen
Beträge und Winkel müssen gleich sein
|z| und ϕ berechnen
Wir erhalten
die √
3 Lösungen:
√
◦
π
6
z0 = √
8e−j 12 = 6 8e−j·15
√
◦
π
6
6
−j( 12
− 13 ·2π)
= √8ej·105
z1 = √8e
π
6
6
−j( 12
j·225◦
− 23 ·2π)
z2 = 8e
= 8e
Abbildung 1.4: Grafische Darstellung aller Lösungen z der Gleichung z 3 = 2 − 2j
Aufgabe 1.17
Berechnen Sie
a) z 3 = j
√
b) 4 1 + j
und stellen Sie die Lösungen grafisch dar!
Kapitel 1 Komplexe Zahlen
1.5
1.5.1
23
Anwendung komplexer Zahlen
Linearfaktorzerlegung (LFZ) von Polynomen
Wir betrachten Polynome Pn (x) der Ordnung n, d.h. Funktionen der Gestalt:
Pn (x) = an xn + an−1 xn−1 + ... + a1 x + a0 , ai ∈ Q, x ∈ C.
Beispiele:
Polynom 2.Ordnung (Parabel) n=2: P (x) = 2x2 + 4x + 2.
Polynom 4. Ordnung n=4: P (x) = x4 + 3x3 − x − 7.
Satz 1.6 : (Hauptsatz der linearen Algebra)
Sei Pn (x) = an xn + an−1 xn−1 + ... + a1 x + a0 , ai ∈ Q, x ∈ C. ein Polynom n.ter Ordnung. Dann
gilt:
1. Pn (x) hat genau n komplexe Nullstellen.
2. Pn (x) hat höchstens n reelle Nullstellen.
3. Ist xv = αv + jβv , βv 6= 0 eine komplexe Nullstelle von Pn (x), dann ist auch die konjugiert komplexe x∗v = αv − jβv Nullstelle von Pn (x). D.h. komplexe Nullstellen treten immer
paarweise als Paar konjugiert komplexer Nullstellen (xv , x∗v ) auf.
4. Ist xv Nullstelle von Pn (x), so heißt (x − xv ) Linearfaktor (LF) von Pn (x).
Es gilt:
Pn (x) = (x − xv ) · Pn−1 (x), wobei Pn−1 (x) ein Polynom n-1-ter Ordnung ist.
D.h., wir können von Pn (x) den LF (x − xv ) abspalten.
5. Seien x1 , ..., xn die n komplexen Nullstellen von Pn (x). Dann gilt:
Pn (x) = an (x − x1 )(x − x2 ) · ... · (x − xn )
(Linearfaktorzerlegung (LFZ) von Pn (x).)
Aufgabe 1.18
Welche Nullstellenkombinationen sind für das Polynom P (x) = 3x3 − 8x2 + 4x + 15 nicht möglich?
a) 3 relle Nullstellen
b) 3 komplexe Nullstellen
c) 2 reelle und eine komplexe Nullstelle
d) 1 reelle und 2 komplexe Nullstellen
Begründen Sie Ihre Angaben!
Kapitel 1 Komplexe Zahlen
24
Beispiel: Bestimmen Sie die LFZ von P4 (x) = 2x4 + 4x3 + 2x2 + 16x − 24!
Lösung:
Dieses Polynom hat genau 4 Nullstellen, entweder 4 reelle oder 2 reelle und ein Paar konjugiert
komplexer Nullstellen oder 2 Paare konjugiert komplexer Nullstellen.
Um diese zu bestimmen gehen wir wie folgt vor:
1. Wir raten die erste Nullstelle.
Dabei verwenden wir folgenden Satz.
Satz 1.7 Hat P (x) = an xn + · · · + a1 x + a0 eine ganzzahlige Nullstelle, so ist sie Teiler von
a0 .
In unserem Beispiel ist a0 = −24. D.h., wir probieren alle Teiler von a0 = −24 durch, das
sind {1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24, −1, −2, −3, −4, −6, −8, −12, −24} .
Wir erhalten als eine erste Nullstelle von P4 (x) den Wert x0 = 1.
2. Wir spalten den Linearfaktor (x − x0 ) von P4 (x) ab. Das geschieht durch Polynomdivision
P4 (x)/(x − x0 ) oder durch Anwendung des Hornerschemas.
Das Hornerschema kann man zum Berechnen des Funktionswertes Pn (x) für vorgegebenes x
oder zur Abspaltung von LF verwenden.
x
an
0
bn
an−1
cn−1
bn−1
an−2
cn−2
bn−2
···
···
···
a1
c1
b1
a0
c0
Pn (x)
Dabei ist bj = aj + cj und cj−1 = bj · x, j = n, n − 1, · · · 1.
Ist x = x0 eine Nullstelle, so steht in der rechten unteren Ecke der Tabelle Pn (x) = 0 und
die Werte bn , bn−1 , bn−2 , · · · , b1 in der letzten Zeile der Tabelle sind die Koeffizienten des
reduzierten Polynoms Pn−1 (x), d.h. es ist:
Pn (x) = (x − x0 ) · (bn xn−1 + bn−1 xn−2 + ... + b2 x + b1 ).
Wir wenden das Hornerschema auf unser Beispiel für die Nullstelle x0 = 1 an:
x1 = 1
2
0
2
4
2
6
2
6
8
16
8
24
-24
24
0
Das reduzierte Polynom ist also P3 (x) = 2x3 + 6x2 + 8x + 24
und es gilt:
P4 (x) = P3 (x) · (x − x0 ) = (x − 1) 2x3 + 6x2 + 8x + 24 .
Kapitel 1 Komplexe Zahlen
25
3. Bestimmung der Nullstellen des reduzierten Polynoms P3 (x) = 2x3 + 6x2 + 8x + 24.
Wir erhalten durch Einsetzen (raten) eines Wertes aus der Menge der Zahlen
{1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24, −1, −2, −3, −4, −6, −8, −12, −24} (ganzzahlige Teiler von 24) die
Nullstelle x1 = −3.
Wir wenden nun wieder das Hornerschema an, um den LF (x-(-3)) abzuspalten und erhalten:
2 6 8 24
x2 = −3
-6 0 -24
2 0 8
0
Ds heißt es ist P3 (x) = 2x3 +6x2 +8x+24 = (x+3)·(x2 +8) bzw. P4 (x) = (x−1)·(x+3)·(x2 +8).
4. Bestimmung der Nullstellen des reduzierten
Polynoms P√2 (x) = x2 + 8.
√
2
Die Lösungen x + 8 = 0 sind x2 = +j 8 und x2 = −j 8.
Als Ergebnis erhalten wir also folgende LFZ von P4 (x):
√
√
P4 (x) = 2x4 + 4x3 + 2x2 + 16x − 24 = (x − 1)(x + 3)(x − j 8)(x + j 8).
Als reelle LFZ bezeichnet man:
P4 (x) = 2x4 + 4x3 + 2x2 + 16x − 24 = (x − 1)(x + 3)(x2 + 8).
Aufgabe 1.19
Zerlegen Sie folgende Polynome in Linearfaktoren!
a) P (x) = 3x3 − 4x2 + 1
b) P (x) = 4x6 + 8x3 + 4
1.5.2
Schwingungen als komplexe Zeiger
1.5.2.1
Darstellung von Schwingungen durch sin- und cos-Funktionen
Schwingungen werden in der Mathematik i.A. durch die trigonometrische Funktionen Sinus
oder Cosinus dargestellt. Die einfachste Form sind Schwingungen der Form y = sin(x) und
y = cos(x), x ∈ R.
Kapitel 1 Komplexe Zahlen
26
Abbildung 1.5: Die sin(x)-Schwingung
Eigenschaften der Funktion y = sin(x):
1. Die Amplitude A ist gleich 1. (D.h.,|sin(x)| ≤ 1).
2. y = sin(x) ist periodisch, die Periode T ist T = 2·π, d.h. es gilt sin(x) = sin(x+k·2π), k ∈ Z.
3. Die Anzahl der Schwingungen im Intervall der Länge 2π wird als Kreisfrequenz ω bezeichnet. Diese Anzahl ist ω = 2π
T = 1.
4. Die Frequenz f einer Schwingung ist gleich f =
einem Intervall der Länge T stattfindet.
1
T
und bedeutet, dass 1 Schwingung in
5. Die y = sin(x)-Funktion ist achsensymmetrisch, d.h. es gilt: sin(x) = −sin(−x).
Aufgabe 1.20
a) Skizzieren Sie die Funktion y = cos(x)!
b) Welche Amplitude, Periode, Kreisfrequenz und Frequenz besitzt y = cos(x)?
c) Welche Symmetrieeigenschaft besitzt y = cos(x)?
Satz 1.8 Es gilt:
sin(x) = cos(x − π2 ) und cos(x) = sin(x + π2 )
Kapitel 1 Komplexe Zahlen
27
Der Satz besagt, dass eine Schwingung sowohl durch die sinus-Funktion, als auch durch die
cosinus-Funktion dargestellt werden kann.
Schwingungen starten nicht immer im Koordinatenursprung. Die allgemeine Form einer Schwingung ist
y = A · sin(ω · x + ϕ) oder y = A · sin(ω · x + ϕ)
Abbildung 1.6: Schwingungen y1 = A · sin(ω · x + ϕ) und y2 = A · sin(ω · x + ϕ)
Eigenschaften der Schwingungen y1 (x) = A · sin(ω · x + ϕ) und y2 (x) = A · cos(ω · x + ϕ).
1. Amplitude= A (D.h.,|sin(x)| ≤ A).
2. Kreisfrequenz = ω.
3. Periode T =
2·π
ω
4. Frequenz f =
1
T
bzw. ω =
=
2π
T .
ω
2π .
5. Phase = ϕ. D.h. die sinus-Schwingung y1 (x) startet im Punkt x0 =
die cosinus-Schwingung y2 (x) startet im Punkt x0 mit y2 (x0 ) = 1.
−ϕ
ω
mit y1 (x0 ) = 0 und
6. Symmetrieeigenschaft (achsen- oder punktsymmetrisch) muss nicht erfüllt sein.
Aufgabe 1.21
Worin besteht der einzige Unterschied beim Zeichnen von y1 = A · sin(ω · x + ϕ) im Gegensatz zum
Zeichnen von y2 = A · cos(ω · x + ϕ)
Beispiel:
Skizzieren Sie y(t) = 2sin 3t −
Lösung:
Π
2
!
Kapitel 1 Komplexe Zahlen
28
A = 2 , ϕ = − Π2 , ω = 3.
Amplitude: 2
Start: 3t − Π2 = 0 ⇒ t = Π6
2
4
Periode: T = 2Π
ω = 3Π = 6Π
Abbildung 1.7: Skizze
Aufgabe 1.22
a) Skizzieren Sie die Funktion y1 (x) = 3sin(2 · x + π4 )!
b) Welche Amplitude, Kreisfrequenz, Periode, Frequenz und Phase besitzt y1 (x)?
c) Skizzieren Sie die Funktion y2 (x) = 3cos(2 · x + π4 )!
Wir können uns auf die Darstellung einer Schwingung durch die Sinus-Funktion beschränken, weil
jeder cosinus durch einen sinus dargestellt werden kann, wie folgender Satz beagt.
Satz 1.9 Es gilt:
A · sin(ω · x + ϕ) = A · cos(ω · x + ϕ − π2 )
A · cos(ω · x + ϕ) = A · sin(ω · x + ϕ + π2 )
Aufgabe 1.23
Wie lautet die Gleichung der Funktion y(x) = 2 · cos(2 · x −
A · sin(ω · x + ϕ)?
π
4)
in der Darstellung y1 (x) =
Kapitel 1 Komplexe Zahlen
29
Aufgabe 1.24
Folgender Graf zeigt eine Schwingung.
a) Wie lautet die sinus- Funktionsgleichung? D.h. wie groß sind A, ω und φ in der Schwingungsgleichung y = A · sin(ω · x + ϕ)?
b) Wie lautet die cosinus- Funktionsgleichung? D.h. wie groß sind A, ω und φ in der Schwingungsgleichung y = A · cos(ω · x + ϕ)?
Bemerkung
Wir haben hier nur Schwingungen betrachtet, deren Amplitude A konstant ist. Man bezeichnet
solche Schwingungen als harmonische Schwingungen. Ändert sich die Amplitude bei Änderung
von x, d.h. A = A(x), so handelt es sich nicht mehr um eine harmonische Schwingung. Typische
Beispiele sind die sogenannten gedämpften Schwingungen oder die verstärkten Schwingungen.
Kapitel 1 Komplexe Zahlen
30
Abbildung 1.8: Harmonische und gedämpfte Schwingungen
Aufgabe 1.25
Durch welche Amplitudenfunktion A = A(x) kann man eine harmonische Schwingung y =
Asin(ωx + ϕ) dämpfen? Wie kann man sie verstärken?
Aufgabe 1.1
Lösen Sie folgende Aufgaben zu Schwingungen in MathCoach!
a) Zeichne die Sinus-Funktion!
b) Welche Grafik geh"ort zur Funktionsgleichung?
c) Wie lautet die Funktionsgleichung zur Grafik?
1.5.2.2
Darstellung von harmonischen Schwingungen als komplexe Zeiger
Die Sinus-Transformation
Eine Schwingung der Form y(t) = A · sin(ωt + ϕ) an der Stelle t kann man als Imaginärteil der
komplexen Zahl y(t) = A·ej(ωt+ϕ) = A(cos(ωt+ϕ)+j ·sin(ωt+ϕ) auffassen, es ist y(t) = Im(y(t)).
Definition 1.14 Die Zuordnung
reell
komplex
y(t) = A · sin(ωt + ϕ) ⇔ y(t) = A · ej(ωt+ϕ) = A(cos(ωt + ϕ) + j · sin(ωt + ϕ))
heißt Sinustransformation. Es ist y(t) = Im(y(t)).
y(t) = A · ej(ωt+ϕ) = A · ejϕ · ejωt heißt komplexe Schwingung. y(0) = A · ejϕ heißt komplexe
Amplitude bzw. komplexer Scheitelwert der Schwingung y(t).
Kapitel 1 Komplexe Zahlen
Folgende Grafik zeigt ein- und dieselbe Schwingung in reeller und in komplexer Darstellung.
Abbildung 1.9: Schwingung in reeller Form und in komplexer Form
Aufgabe 1.26
Vervollständigen Sie die folgende Tabelle!
31
Kapitel 1 Komplexe Zahlen
32
Abbildung 1.10: Formeln und Graf von Schwingungen in reeller Form und in komplexer Form
1.5.2.3
Überlagerung (Addition, Superposition) gleichfrequenter Schwingungen
Satz 1.10
Seien
y1 (t) = A1 · sin(ωt + ϕ1 ) und
y2 (t) = A2 ∗ sin(ωt + ϕ2 )
zwei gleichfrequente harmonische Schwingungen.
Dann gilt:
y(t) = y1 (t) + y2 (t) = A · sin(ωt + ϕ),
d.h., die Summe (Überlagerung, Superposition) zweier gleichfrequenter harmonischer Schwingungen
ist wieder eine harmonische Schwingung der gleichen Frequenz.
Kapitel 1 Komplexe Zahlen
33
Wir betrachten nun folgende Aufgabe:
Gegeben:
y1 (t) = A1 ∗ sin(ωt + ϕ1 ) und y2 (t) = A2 ∗ sin(ωt + ϕ2 ).
Gesucht:
y(t) = y1 (t) + y2 (t) = A · sin(ωt + ϕ), d.h., gesucht sind A und ϕ.
Lösung:
Diese Aufgabe lässt sich bequem lösen, indem wir die Schwingungen als komplexe Zeiger darstellen.
Der Lösungsweg ist der folgende:
1. Komplexe Darstellung der Schwingungen y1 (t) und y2 (t).
y1 (t) ⇒ y1 (t) = A1 · ejϕ1 · ejωt = y1 (0) · ejωt
y2 (t) ⇒ y2 (t) = A2 · ejϕ2 · ejωt = y2 (0) · ejωt
2. Addition der komplexen Schwingungen, d.h. Addition der beiden komplexen Scheitelwerte
y(t)
= y1 (t) + y2 (t) = y1 (0) + y2 (0) · ejωt
= A1 ejϕ1 + A2 ejϕ2 ejωt
Wir addieren nun die beiden komplexen Amplituden wie folgt:
• y1 (0) = A1 ejϕ1 und y2 (0) = A2 ejϕ2 in NF darstellen.
• und addieren. Graphisch entspricht das der Addition der beiden Vektoren y1 (0) und
y2 (0). Das Resultat liegt in NF vor.
• Das Ergebnis der Addition transformieren wir nun in EF! Es ist dann
y1 (0) + y2 (0) = A1 ejϕ1 + A2 ejϕ2
= A · ejϕ
3. Die überlagerte Schwingung ist dann
y(t) = y1 (0) + y2 (0) · ejωt = A · ejϕ · ejωt = A · ej·(ωt+ϕ) .
Diese transformieren wir über die Sinustransformation zurück, es ist
y(t) = y1 (t) + y2 (t) = Im(y(t)) = A · sin(ωt + ϕ)
Hausaufgabe 1 : "Ubungsblatt
Kapitel 2
Reellwertige Funktionen in einer
Veränderlichen
In diesem Kapitel beschäftigen wir uns mit allgemeinen grundlegenden Eigenschaften von reellwertigen Funktionen in einer Veränderlichen. Ergänzend verweisen wir auf das Lehrbuch [Pap01].
Zum zusätzlichen interaktiven Rechner-(web-)basierten Üben und zur Klausurvorbereitung verweisen wir auf unseren E-learning-Turor MathCoach.
2.1
Abbildungen und Funktionen
Häufig muss man Zusammenhänge zwischen 2 Größen x und y beschreiben. Das geschieht durch
eine Vorschrift f, die festlegt, welchem x-Wert welcher y-Wert zugeordnet wird.
Beispiel 1:
Parabel:
y = x2 oder f (x) = x2 oder f : x 7−→ x2 , für x ∈ R.
Beispiel 2:
Beschreibung des Weges s in Abhängigkeit von der Zeit t (y=s, x=t):
1
s(t) = − gt2 + s0 , für t ∈ R≥0 .
2
Definition 2.1
Unter einer Abbildung verstehen wir ein Tripel (D, f, B), wobei gilt:
f ist die Funktionsvorschrift, die beschreibt, wie jedem x ∈ D ein y ∈ B zugeordnet wird.
Wird durch f jedem x ∈ D genau ein y ∈ B zugeordnet, so bezeichnen wir f auch als Funktion.
x wird als unabhängige Variable und y als abhängige Variable bezeichnet.
D ⊆ R ist die Menge aller x-Werte, für die die Abbildung erklärt ist und wird als Definitionsbereich
bezeichnet.
B ⊆ R ist der Bildbereich, d.h. die Menge von y-Werten. Er umfasst mindestens den sogenannten
Wertebereich W, wobei W gleich der Menge aller y-Werte ist, die auch tatsächlich durch f(x)
angenommen werden, d.h. es ist W = {y ∈ R | ∃x ∈ D mit f (x) = y}.
34
Kapitel 2 Reellwertige Funktionen in einer Veränderlichen
35
Schreibweisen: (D, f, B) oder y = f (x), x ∈ D, y ∈ B oder
f : x ∈ D 7−→ y = f (x) ∈ B.
Bemerkung: Wird der Definitionsbereich D bzw. Bildbereich B nicht angegeben, so ist D = R. bzw.
B = R.
2
Beispiele:
(1) f (x) = x2 , x ∈ R. (Hier sind D = R, B = R, W = R≥0 ).
(2) f (x) = x2 , x ∈ [−2, 2]. (Hier sind D = [−2, 2], B = R, W = [0, 4]).
(3) f : x ∈ R 7−→ y = x2 ∈ R. (Hier sind D = R, B = R, W = R≥0 ).
(4) y 2 = x, x ∈ [0, 4]. (Hier sind D = [0, 4], B = R, W = [−2, 2]).
Die Abbildungen (1), (2) und (3) sind Funktionen und (4) ist keine Funktion, siehe auch folgende
Grafiken für (2) und (4) in Abbildung 2.1.
Abbildung 2.1: Funktion und Abbildung
Bemerkungen:
Da der Wertebereich unserer Funktionen/Abbildungen aus reellen Zahlen besteht, spricht mann
auch von reellwertigen Funktionen/Abbildungen im Unterschied z.B. zu komplexwertigen Funktionen.
Ist bei Funktionen nur eine unabhängige Variable im Spiel, so spricht man von einer Funktion in
einer Veränderlichen, ansonsten von einer Funktion in mehreren Veränderlichen.
Kapitel 2 Reellwertige Funktionen in einer Veränderlichen
36
Beispiel einer Funktion in 2 Veränderlichen:
f (x, y) = x2 + y 2 , (x, y) ∈ D ⊆ R2 .
Wir beschäftigen uns in diesem Kapitel nur mit Funktionen in einer Veränderlichen.
Aufgabe 2.1
(Lösung: Seite ??)
Welche der folgenden Tripel sind Funktionen:
a) D = R, B = R, f : x 7−→ x2 √
b) D = R≥0 , B = D, f : x 7−→ x
2
für x≤0
c) D = R, B = R, f : x 7−→ {xex für
x≥0
1
d) D = R\{0}, f (x) = x
x rational
e) D = [0, 1], B = {0, 1}, f (x) = {01 wenn
wenn x irrational
2
f) D = N, B = P, f (x) = x − x + 41,
wobei gilt: N ={0,1,2,....}, P=Menge aller Primzahlen ={2,3,5,7,11,13,17,.......}
Aufgabe 2.2
(Lösung: Seite ??)
Geben Sie für folgende Abbildungen jeweils den Wertebereich W an!
a) D = R, B = R, f : x 7−→ sin(x2 ) + 2
b) D = R\{0}, B = R, f : x 7−→ 2sin(3x + 1)
2
für x≤0
c) D = R, B = R, f : x 7−→ {xex für
x>0
1
d) D = R\{0}, f (x) = x
2.2
Darstellungsformen von Abbildungen
1. Explizite Darstellung
y = f (x)
Explizite Darstellungen werden angewendet, wenn es sich um eindeutige Abbildungen, also
Funktionen handelt.
Beispiele: y = cos(x), x ∈ R; f (x)
= ln(x), x > 0;
 0 wenn x ≥ 0
√
1 wenn 0 < x ≤ 2 , x ∈ R.
f : x 7−→ x2 + 1, x ∈ R; f (x) =

2 wenn x > 2
2. Implizite Darstellung
Nicht eindeutige Abbildungen stellt man i.A. implizit dar, d.h., der Zusammenhang zwischen
x und y wird durch eine Gleichung der Form
F (x, y) = 0
Kapitel 2 Reellwertige Funktionen in einer Veränderlichen
37
beschrieben. Ist dieser Zusammenhang nicht eindeutig, so lässt er sich oft nicht mehr nach y
umstellen, also explizit formulieren.
Beispiele: x2 + y 2 − r2 = 0, x ∈ [0, r]; x − 3y 2 + 2 = 0, x > 0.
3. Parameterische Darstellung
Häufig wird in Physik und Technik, sowie in der Computergrafik die Parameterdarstellung
für Kurven verwendet, bei der der Zusammenhang zwischen x und y durch einen reellen
Parameter t ∈ I ⊆ R beschrieben wird:
x(t)
x = x(t), y = y(t), t ∈ I ⊆ R bzw. ~r(t) =
, t ∈ I.
y(t)
Diese Darstellung nennt man Parameterdarstellung (siehe Abbildung 2.2). t kann z.B. als
Zeit oder als Winkel aufgefasst werden.
Abbildung 2.2: Parameterdarstellung einer Kurve
Beispiele
(1) Kreis mit Radius r: ~r(t) =
x(t)
rcos(2πt)
= rsin(2πt)
, t ∈ [0, 1].
y(t)
x(t)
1
2
= y(t) = 1 + t 1 , t ∈ I =
(2) Gerade in der Ebene: ~r(t)
R.
(3) Funktion y = f (x), x ∈ D : x(t) = t, y(t) = f (t), t ∈ D.
(4) Schiefer Wurf: Ein Körper wird vom Boden aus mit der Anfangsgeschwindigkeit v~o und
mit dem Abwurfwinkel αo in die Höhe geworfen (siehe Abbildung 2.3).
Die Luftwiederstandskraft soll vernachlässigt werden. In waagerechter Richtung (x-Richtung)
bewegt sich der Körper dann mit konstanter Geschwindigkeit | v~o |= vo cos(αo ) und in senkrechter Richtung (y-Richtung) erfolgt eine gleichförmig beschleunigte Bewegung. D.h. der
schiefe Wurf kann wie folgt parametrisch dargestellt werden:
g
x(t) = vo tcos(αo ), y(t) = vo tsin(αo ) − t2 , t ≥ 0,
2
(g ist die Erdbeschleunigung).
Kapitel 2 Reellwertige Funktionen in einer Veränderlichen
38
Abbildung 2.3: Schiefer Wurf
(5) Zykloide: Eine gewöhnliche Zykloide entsteht, wenn ein Kreis auf einer Geraden abrollt
und wir die Bewegung eines Punktes auf dem Kreis beschreiben. Z.B. bewegt sich ein Punkt
auf einem Reifen eines fahrenden Fahrrades (z.B. das Ventil) auf einer gewöhnlichen Zykloide.
Abbildung 2.4: Gewöhnliche Zykloide
Diese Zykloide kann wie folgt parametrisch beschrieben werden:
x(t) = r(t − sin(t)), y(t) = r(1 − cos(t)), t ∈ [0, 2π],
wobei r den Radius des Kreises und t den Parameter (’Wälzwinkel’) bezeichnet.
Bemerkung:
Kurven bzw. Abbildungen in Parameterdarstellung können manchmal in explizite Form umgewandelt werden. Dazu stellt man die Variable x(t) nach t um und setzt dieses t in y(t) ein.
Beispiel: Gegeben sei folgende Abbildung in Parameterform:
x(t) = 1 + 2t, y(t) = 1 + t, t ∈ [a, b] ⊆ R.
Stellen wir x(t)=x nach t um, so ergibt sich: t = x−1
2 .
Setzen wir dieses t in y(t) ein, so erhalten wir: y(t) = 1 + t = 1 +
In expliziter Form lautet also die Abbildung:
y=
1
1
x + , x ∈ [1 + 2a, 1 + 2b].
2
2
x−1
2
= 12 x + 12 .
Kapitel 2 Reellwertige Funktionen in einer Veränderlichen
39
4. Darstellung in Polarkoordinaten
Zur mathematischen Beschreibung und grafischen Darstellung auf dem Computer von geometrischer Figuren, wie Kreisen, Spiralen usw. eignet sich besonders die folgende Darstellung.
Hier wird ein Punkt (x,y) der Abbildung f in Polarkoordinaten dargestellt:
x(r, φ) = r · cos(φ), y(r, φ) = r · sin(φ).
Der Abbildungs-Zusammenhang zwischen x und y wird dann als Zusammenhang zwischen r
und φ also z.B. durch r = r(φ), φ ∈ Dφ dargestellt, siehe Abbildung 2.5).
Abbildung 2.5: Darstellung einer Abbildung in Polarkoordinaten: r = r(φ)
Beispiele:
(1) Kreis mit Radius R und Mittelpunkt (0, 0): r(φ) = R, φ ∈ [0, 2π].
(2) Archimedische Spirale: Die Archimedische Spirale wird durch folgende Abbildung in Polarkoordinaten dargestellt:
r = r(φ) = aφ, φ ∈ [0, 2π], a ist eine fest vorgegebene natürliche Zahl.
Für die grafische Darstellung der Archimedischen Spirale stellen wir zunächst eine Wertetabelle der Funktion r(φ) auf, hier für φ in der Schrittweite π/8, a = 2 .
φ 0
r 0
π/8
π/4
π/4
π/2
···
···
2π
4π
Wir zeichnen dann Strahlen mit den Winkeln φ in das Koordinatensystem ein und tragen
an jedem Strahl den entsprechenden Radius r = r(φ) = aφ ab, siehe Abbildung 2.6). Die
entsprechenden sich ergebenden Punkte werden verbunden und ergeben die Archimedische
Spirale.
Kapitel 2 Reellwertige Funktionen in einer Veränderlichen
40
Abbildung 2.6: Archimedische Spirale r = aφ für a = 2, φ ∈ [0, 2π]
Aufgabe 2.3
(Lösung: Seite ??)
Beschreiben Sie einen Halb-Kreis mit dem Radius R, dem Mittelpunkt 0 und Werten y ≥ 0
a) explizit,
b) implizit,
c) parametrisch,
d) in Polardarstellung.
Aufgabe 2.4
(Lösung: Seite ??)
a) Geben Sie die Gerade y = 3x − 7 in Parameterform an!
b) Geben Sie die Funktion f (x) = 3x2 − 1 in Parameterform an!
c) Beschreiben Sie den schiefen Wurf in expliziter Form!
d) Beschreiben Sie die parametrisch gegebene Funktion
x(t)
1
2
~r(t) =
=
+t
,t ∈ I = R
y(t)
1
1
in expliziter Form!
Aufgabe 2.5
(Lösung: Seite ??)
a) Geben Sie einen Kreis mit dem Radius R und dem Mittelpunkt (3, 4) in Polarkoordinatendarstellung an!
b) Skizzieren Sie die sogenannte Kardioide: r = 1 + cos(φ), φ ∈ [0, 2π]!
Kapitel 2 Reellwertige Funktionen in einer Veränderlichen
2.3
41
Eindeutigkeits-Eigenschaften von Funktionen und Umkehrfunktionen
In diesem Abschnitt betrachten wir Eigenschaften von eindeutigen Abbildungen, also Eigenschaften
von Funktionen.
2.3.1
Injektiv, Surjektiv und Bijektiv
1. Injektive Funktionen
Definition 2.2 Eine Funktion (D, f, B) heißt injektiv, falls es zu jedem y ∈ B höchstens ein
x ∈ D gibt mit der Eigenschaft: f (x) = y. (Siehe Abbildungen 2.7 und 2.8)
2
2. Surjektive Funktionen
Definition 2.3 Eine Funktion (D, f, B) heißt surjektiv, falls es zu jedem y ∈ B mindestens
ein x ∈ D gibt mit der Eigenschaft: f (x) = y, d.h., falls der Bildbereich gleich dem
Wertebereich der Funktion, also B = W ist. (Siehe Abbildungen 2.7 und 2.8)
2
3. Bijektive Funktionen
Definition 2.4 Eine Funktion (D, f, B) heißt bijektiv, falls sie
a) injektiv und b) surjektiv ist. (Siehe Abbildungen 2.7 und 2.8).
2
Abbildung 2.7: Schematische Darstellung injektiver, surjektiver und bijektiver Funktionen
Kapitel 2 Reellwertige Funktionen in einer Veränderlichen
42
Abbildung 2.8: Beispiele für injektive, surjektive und bijektive Funktionen
2.3.2
Umkehrfunktionen
Für bijektive Funktionen gibt es zu jedem y ∈ B genau ein x ∈ D mit f (x) = y und - da f
Funktion, also eindeutig ist - auch umgekehrt zu jedem x ∈ D genau ein y ∈ B mit f (x) = y. Für
solche Funktionen kann man die Abbildungsvorscrift y=f(x) nach x umstellen, also die zugehörige
Umkehrfunktion x=g(y) bilden.
Definition 2.5
Sei durch (D, f, W) eine bijektive Funktion f gegeben. Dann
(W, g, D)Umkehrfunktion von f falls gilt:
y = f (x) genau dann, wenn x = g(y) für alle Paare (x, y) ∈ DxW.
Bezeichnung: g = f −1 .
heißt
die
Funktion
2
Bezeichnen wir die unabhängige Variable wieder mit x und die abhängige Variable mit y, so
lautet die Umkehrfunktion y = g(x) = f −1 (x). Zeichnen wir diese und die Ausgangsfunktion
y = f (x) in ein und dasselbe Koordinatensystem, so erkennen wir, dass sich f und g = f −1 an der
Winkelhalbierenden y = x spiegeln.
Abbildung 2.9: y = f (x) und die Umkehrfunktion y = f −1 (x)
Beispiel:
y = f (x) = ln(x), x ∈ D = R>0 und y ∈ W = R. Die Umkehrfunktion ist also x = f −1 (y) = ey mit
dem Definitionsbereich R und dem Wertebereich R>0 .
Kapitel 2 Reellwertige Funktionen in einer Veränderlichen
Abbildung 2.10: y = ln(x) und die Umkehrfunktion y = ex
Aufgabe 2.6
(Lösung: Seite ??)
Welche der folgenden Funktionen sind injektiv oder/und surjektiv oder/und bijektiv?
a) D = R, B = R, f : x 7−→ x2 √
b) D = R≥0 , B = D, f : x 7−→ x
2
für x≤0
c) D = R, B = R, f : x 7−→ {xex für
x>0
d) D = R\{0}, f (x) = x1
x rational
e) D = [0, 1], B = {0, 1}, f (x) = {01 wenn
wenn x irrational
Aufgabe 2.7
(Lösung: Seite ??)
Geben Sie die Umkehrfunktion der folgenden Funktion an:
3
f (x) = 10x · , D = R, B = R>0 .
4
Skizzieren Sie diese Funktion und die Umkehrfunktion in einem Koordinatensystem!
2.4
Allgemeine Eigenschaften von Funktionen
In diesem Abschnitt betrachten wir weitere Eigenschaften von Funktionen.
2.4.1
Symmetrie
Definition 2.6
Sei (D, f, B) eine Funktion.
1. f heißt achsensymmetrisch bzw. gerade, wenn für alle x ∈ D gilt:
f (x) = f (−x).
Der Graph der Funktion wird an der y-Achse gespiegelt.
43
Kapitel 2 Reellwertige Funktionen in einer Veränderlichen
44
2. f heißt punktsymmetrisch bzw. ungerade, wenn für alle x ∈ D gilt:
f (x) = −f (−x) bzw. − f (x) = f (−x).
Der Graph der Funktion wird am Ursprung gespiegelt.
2
Abbildung 2.11: Symmetrie-Eigenschaften
Beispiele:
(1) f (x) = x4 , x ∈ R.
f ist achsensymmetrisch, denn es gilt f (−x) = (−x)4 = x4 = f (x).
(2) f (x) = x3 , x ∈ R.
f ist punktsymmetrisch, denn es gilt f (−x) = (−x)3 = −(x3 ) = −f (x).
(3) f (x) = sin(x), x ∈ R.
f ist punktsymmetrisch, denn es gilt f (−x) = sin(−x) = −sin(x).
(4) f (x) = x3 · sin(x), x ∈ R.
Wir untersuchen zuerst die beiden Teilfunktionen, aus denen f zusammengesetzt ist. Es gilt
(−x)3 = −(x3 ) und sin(−x) = −sin(x), d.h. beide Teilfunktionen von f sind punktsymmetrisch. Daraus folgt aber, dass ihr Produkt, also f , achsensymmetrisch ist, denn es gilt:
f (−x) = (−x)3 · sin(−x) = −(x3 ) · (−sin(x)) = x3 · sin(x).
Bemerkung: Wie man sich leicht selbst überlegt, ist das Produkt zweier achsensymmetrischer
Funktionen und das Produkt punktsymmetrischer Funktionen achsensymmetrisch, während das
Produkt einer achsensymmetrischen mit einer punktsymmetrischen Funktion punktsymmetrisch
ist.
2.4.2
Monotonie
Definition
Sei (D, f, B) eine Funktion. Dann heißt diese Funktion im Bereich M ⊆ D
1. monoton steigend, falls für alle x1 , x2 ∈ M mit x1 < x2 gilt
f (x1 ) ≤ f (x2 ).
2. streng monoton steigend, falls für alle x1 , x2 ∈ M mit x1 < x2 gilt
f (x1 ) < f (x2 ).
Kapitel 2 Reellwertige Funktionen in einer Veränderlichen
45
3. monoton fallend , falls für alle x1 , x2 ∈ M mit x1 < x2 gilt
f (x1 ) ≥ f (x2 ).
4. streng monoton steigend, falls für alle x1 , x2 ∈ M mit x1 < x2 gilt
f (x1 ) > f (x2 ).
2
Beispiel: f : R → R; x 7−→ x2
Sei x1 < x2 . Gilt dann x21 < x22 ? In dieser Allgemeinheit nicht, denn z.B. ist
−2 < −1 aber (−2)2 > (−1)2 . Wir zerlegen den Definitionsbereich in die beiden Teil-Bereiche
(−∞, 0] und [0, ∞).
Verhalten von f im Bereich (−∞, 0]:
Es gilt: x1 < x2 ⇒ x21 > x22 ⇔ f (x1 ) > f (x2 ).
Folglich ist die Funktion in diesem Bereich streng monoton fallend.
Verhalten von f im Bereich [0, ∞):
Es gilt: x1 < x2 ⇒ x21 < x22 ⇔ f (x1 ) < f (x2 ).
Folglich ist die Funktion in diesem Bereich streng monoton wachsend.
2.4.3
Periodizität
Definition
Eine Funktion (D, f, B) heißt periodisch mit der Periode T, falls für alle x ∈ D und k ∈ Z gilt
f (x) = f (x + kT ), k ∈ Z
2
Abbildung 2.12: Periodizität
Beispiel: Die Periode der Funktion f : x 7−→ sin(ax + φ), D = R
ist: T = 2π
a .
2.4.4
Beschränkheit
Definition
Eine Funktion (D, f, B), D ⊆ R, B ⊆ R, heißt auf A ⊆ D
Kapitel 2 Reellwertige Funktionen in einer Veränderlichen
46
1. nach oben beschränkt, falls es eine Schranke S0 gibt, so dass
f (x) ≤ S0 für alle x ∈ A gilt.
2. nach unten beschränkt, falls es eine untere Schranke Sn gibt, so dass
f (x) ≥ Sn für alle x ∈ A gilt.
3. beschränkt, falls sie sowohl nach oben als auch nach unten beschränkt ist, d.h. es gibt dann
ein S mit |f (x)| ≤ S für alle x ∈ A.
2
Beispiel: f : x 7−→ sin(2x + pi
4 ), D = R
ist beschränkt auf ganz D. Es gilt S = 1 bzw. f (x) ≤ 1 für alle x ∈ D.
2.4.5
Nullstelle einer Funktion
Definition
Sei durch (D, f, B), D ⊆ R, B ⊆ R, eine Funktion gegeben. Dann heißt x0 Nullstelle von f , wenn
gilt: f (x0 ) = 0.
2
Beispiel: f : x 7−→ f (x) = sin(2x − π4 ), x ∈ R.
Die Schwingungsdauer (Periode) dieser Funktion ist T = 2 ∗ π2 = π.
Eine Nullstelle ergibt sich an der Stelle x = x0 , für die 2x − π4 = 0 gilt, also bei x0 = π8 . Die
anderen Nullstellen ergeben sich von x0 aus gesehen nach jeweils einer halben Schwingungsdauer,
also an den Stellen xk = x0 + k T2 = π8 + k π2 . Alle Nullstellen sind demzufolge gegeben durch
xk =
π
π
+ k , k ∈ Z.
8
2
Aufgabe 2.8
(Lösung: Seite ??)
Sei f (x) = (3x2 − 1)sin(2x + π/2), x ∈ R.
a)Skizzieren Sie sin(2x + π/2)!
b)Untersuchen Sie f (x) auf Symmetrie, Periodizität und Beschränktheit!
c) Geben Sie alle Nullstellen von f (x) an!
d) Für welche x-Werte ist 3x2 − 1 streng monoton wachsend?
Aufgabe 2.9
(Lösung: Seite ??)
Zeigen Sie, dass das Produkt einer geraden mit einer ungeraden Funktion ungerade ist!
Kapitel 2 Reellwertige Funktionen in einer Veränderlichen
2.5
2.5.1
47
Koordinatentransformationen
Parallelverschiebung
Verschieben wir das x-y-Koordinatensystem parallel um a in x-Richtung und um b in y-Richtung,
so erhalten wir ein neues Koordinatensystem mit den Achsen u und v.
Abbildung 2.13: Parallelverschiebung (Translation)
Wir erkennen folgende Beziehungen:
u = x−a
x =
bzw.
v = y−b
y =
u+a
v+b
(2.1)
Wir stellen uns nun die Frage, wie die Gleichung einer Funktion y = f (x) im neuen (u,v)Koordinatensystem aussieht. Dazu setzen wir die in (2.1) gegebenen Beziehungen x = u+a, y = v+b
in die Funktion ein und erhalten
y
= f (x) ⇔
v + b = f (u + a) ⇔
v
= f (u + a) − b
Beispiel: Wie lautet die Gleichung der Funktion y = 2+3x in einem um 2 Einheiten in positiver xRichtung und um 3 Einheiten in Richtung der negativen y-Achse verschobenen Koordinatensystem?
Es ist a=2 und b=-3. Die Funktionsgleichung lautet folglich:
v
v
v
2.5.2
= f (u + 2) + 3 ⇔
= 2 + 3(u + 2) + 3 ⇔
= 3u + 11
Drehung
Die Drehung eines Koordinatenystems entgegen dem Urzeiger um den Winkel α ist in Abbildung
2.14 dargestellt.
Kapitel 2 Reellwertige Funktionen in einer Veränderlichen
48
Abbildung 2.14: Drehung gegen den Urzeiger um den Winkel α
Wir erkennen folgende Beziehungen:
u =
=
=
=
OE
OD
+
OD
+
ysin(α) +
v
DE
und
BP
xcos(α)
=
=
=
=
OA
DB
DC
− BC
ycos(α) − xsin(α)
D.h. es gilt folgende Beziehung zwischen alten Koordinaten (x,y) und neuen Koordinaten (u,v):
u = xcos(α) + ysin(α) und v = ycos(α) − xsin(α)
In Matrizenschreibweise erhalten wir:
u
cos(α)
sin(α)
x
=
·
v
−sin(α) cos(α)
y
Die Matrix
cos(α)
sin(α)
−sin(α) cos(α)
(2.2)
wird als Drehungsmatrix bezeichnet. Mit der inversen Drehungsmatrix
−1 cos(α)
sin(α)
cos(α) −sin(α)
=
−sin(α) cos(α)
sin(α) cos(α)
erhalten wir die Transformation von neuem (u,v)-Koordinatensystem zum alten (x,y) - Koordinatensystem, bzw. die Transformation bei Drehung des (u,v)-Systems in Urzeigerrichtung um den
Winkel α:
x
cos(α) −sin(α)
u
=
·
(2.3)
y
sin(α) cos(α)
v
Beispiel: Wie lautet die Gleichung der Funktion y = 2x + 1 in einem um α = 20◦ nach links
gedrehten Koordinatensystem?
Es ist sin(20◦ ) = 0, 34 und cos(20◦ ) = 0, 94. Aus den Transformationsgleichungen ergibt sich dann:
y
0, 34u + 0, 94v
0, 34u + 0, 94v
v
v
= 2x + 1 ⇔
= 2x + 1 ⇔
= 2(0, 94u − 0, 34v) + 1 ⇔
⇔
= 2·0,94u−0,34u+1
0,94+2·0,34
1
= 1,54
u
+
1,62
1,62
Kapitel 2 Reellwertige Funktionen in einer Veränderlichen
49
Aufgabe 2.10
(Lösung: Seite ??)
Sei f (x) = (3x2 + 2x − 1), x ∈ R.
Wie lautet die Gleichung dieser Funktion in einem um 45◦ nach rechts gedrehten und um a = 2
und b = 4 in positive x- bzw. y-Richtung verschobenen Koordinatensystem? Geben Sie diese
Gleichung in impliziter Form in den Koordinaten u (unabhängige Variable) und v (abhängige
Variable) an!
2.6
Elementare Funktionen
Unter elementaren Funktionen versteht man folgende Klassen von Funktionen:
1)Ganzrationale Polynome, 2)Gebrochen rationale Polynome, 3)Algebraische Funktionen (Abbildungen), 4)Exponentialfunktionen, 5)Logarithmusfunktionen, 6)Trigonometrische Funktionen,
7)Arcus-Funktionen, 8)Hyperbel-Funktionen, 9)Area-Funktionen.
2.6.1
Ganzrationale Polynome
P (x) = ao + a1 x + · · · + an xn , ai ∈ R, x ∈ D ⊆ R
(Nullstellenbestimmung, LFZ, Hornerschema, Polynomendivision, Koeffizientenbestimmung bei
der Anpassung eines Polynoms n.ten Grades an n+1 Messdatenpaare (xi , yi ), i = 1, ..., n + 1,
für ein Polynom 2. Ordnung (Parabel): Scheitelpunktsform, p-q-Formel)
Aufgabe 2.11
(Lösung: Seite ??)
Geben Sie ein ganzrationales Polynom an, welches durch die 4 Punkte (−2, 0), (−1, 0), (0, 1), (1, 2)
verläuft!
Aufgabe 2.12
(Lösung: Seite ??)
Von einer ganzrationalen Funktion y = f (x) sei folgendes bekannt.
f (x) ist eine gerade Funktion mit den einzigen Nullstellen x1 = 3 und x2 = 6 (jeweils einfach).
Der Funktionsgraph schneidet die y-Achse an der Stelle y(0) = −3. Wie lautet die Gleichung der
Funktion f (x)?
Aufgabe 2.13
(Lösung: Seite ??)
a) Geben Sie die LFZ der Funktion f (t) = −2t4 − 2t3 − 4t + 8 an!
b) Wie lautet der Funktionswert an der Stelle t = 5?
Kapitel 2 Reellwertige Funktionen in einer Veränderlichen
2.6.2
50
Gebrochen rationale Polynome
P (x) =
Zn (x)
, x ∈ D ⊆ R,
Nm (x)
wobei Zn (x) und Nm (x) Polynome vom Grad n und m sind.
echt gebrochen: n < m, unecht gebrochen: n ≥ m.
Beispiele: P (x) =
x4 −7
2x3 +3x2 −x+12 , P (x)
=
2x+7
x2 +1 , x
∈ R.
(Polynomendivision, Nullstellen, Polstellen, (später: Partialbruchzerlegung)).
Aufgabe 2.14
(Lösung: Seite ??)
Eine gebrochen rationale Funktion besitzt folgende Eigenschaften:
a) Nullstellen des Zählers: x1 = 2 (einfach), x2 = −4 (dopelt)
b) Nullstellen des Nenners: x3 = −1, x4 = 1
c) y(0) = 4
Wie lautet die Funktionsgleichung?
2.6.3
Algebraische Funktionen
Bei algebraischen Funktionen wird der Zusammenhang zwischen x und y durch die implizite Form
F (x, y) = 0 beschrieben. Algebraische Funktionen sind Lösungen der Gleichung
F (x, y) = an (x)y n + an−1 (x)y n−1 + · · · + a1 (x)y + ao (x) = 0,
wobei die Koeffizientenfunktionen ak (x), k = 0, · · · n Polynome der Variablen x sind.
Beispiele: 2y + 3x2 y − 3x = 0, (x − 2)2 + (y + 3)2 = 16.
Bemerkung: Im Allgemeinen sind allgebraische Funktionen nicht eindeutig und damit keine Funktionen sondern Abbildungen.
Kegelschnitte
Besondere Algebraische Funktionen sind die sogenannten Kegelschnitte, die durch algebraischen
Gleichung vom Typ:
Ax2 + By 2 + Cx + Dy + E = 0(a2 + B 2 6= 0)
implizit definiert sind (siehe auch Abbildung 2.15). Das sind z.B.:
• Kreis mit dem Mittelpunkt (xo , yo ) und dem Radius R:
(x − xo )2
(y − yo )2
+
=1
R2
R2
Parameterdarstellung:
x(φ) = xo + Rcos(φ), y(φ) = yo + Rsin(φ), φ ∈ [0, 2π).
Kapitel 2 Reellwertige Funktionen in einer Veränderlichen
51
• Ellipse mit dem Mittelpunkt (xo , yo ) und den Halbachsen a und b auf der x- bzw. y-Achse:
(y − yo )2
(x − xo )2
+
=1
a2
b2
Parameterdarstellung:
x(φ) = xo + acos(φ), y(φ) = yo + bsin(φ), φ ∈ [0, 2π).
• Hyperbel mit dem Mittelpunkt (xo , yo ) und den Halbachsen a und b:
(y − yo )2
(x − xo )2
−
=1
a2
b2
• Parabel mit dem Scheitelpunkt (xo , yo ) und dem Parameter p:
(y − yo )2 = 2p(x − xo )
Abbildung 2.15: Kegelschnitte
Beispiel: Welcher Kegelschnitt wird durch folgende algebraische Gleichung dargestellt?
16x2 + 4y 2 + 64x − 24y + 64 = 0
Lösung: Zunächst ordnen wir die Glieder:
16x2 + 64x + 4y 2 − 24y + 64 = 0
Durch quadratische Ergänzung folgt dann weiter:
Kapitel 2 Reellwertige Funktionen in einer Veränderlichen
52
16(x2 + 4x) + 4(y 2 − 6y) + 64 = 0 ⇔ 16(x + 2)2 + 4(y − 3)2 = 36
2
(y−3)2
⇔ 94 (x + 2)2 + 19 (y − 3)2 = 1 ⇔ (x+2)
=1
9/4 +
9
Folglich handelt es sich um eine Ellipse mit dem Mittelpunkt (−2, 3) und den Halbachsen a = 3/2
und b = 3.
Aufgabe 2.15
(Lösung: Seite ??)
Welche Kegelschnitte werden durch folgende algebraische Gleichungen dargestellt?
a) 4x2 + 9y 2 − 4x + 24y = 127
b) 2y 2 − 9x + 12y = 0
c) x2 − 2x − 4y 2 + 8y = 4
2.6.4
Exponentialfunktionen
y = ax , x ∈ R mit a > 0 und a 6= 1
heißt Exponentialfunktion.
Anwendung: Beschreiben von Abkling- bzw. Aufladevorgängen.
(Skizzieren für a < 1, a > 1, Eigenschaften bestimmen, Lösen von Exponentialgleichungen)
Aufgabe 2.16
(Lösung: Seite ??)
Skizzieren Sie die Exponentialfunktion y = ax , x ∈ R für a > 1 und für a < 1!
Aufgabe 2.17
(Lösung: Seite ??)
Der Kolben eines KFZ-Stoßdämpfers lege beim Einschieben einen Weg x nach dem Zeitgesetz:
x(t) = 30cm 1 − e−at
zurück. Nach 0,1s ist er ca. 5,44cm eingeschoben. Nach welcher Zeit ist der Kolben um 15,2cm
eingeschoben?
2.6.5
Logarithmus-Funktionen
y = loga (x), x ∈ R>0 , a > 0, a 6= 1
heißt Logarithmusfunktion. Sie ist die Umkehrfunktion zur Exponentialfunktion.
Kapitel 2 Reellwertige Funktionen in einer Veränderlichen
53
Abbildung 2.16: Logarithmusfunktionen
(Skizzieren für a < 1, a > 1, Eigenschaften bestimmen, Logarithmengesetze, Lösen von
Exponential- und Logarithmusgleichungen)
Aufgabe 2.18
(Lösung: Seite ??)
Lösen Sie folgende Gleichungen!
a)ex + 2e−x = 3
b)(log√10 (x))2 − 2log100 (x) = 2
c)ln( x) + 1, 5ln(x) = ln(2x)
2.6.6
Trigonometrische Funktionen
sin(x), cos(x), tan(x) =
cos(x)
sin(x)
, cot(x) =
, x ∈ R.
cos(x)
sin(x)
Anwendung: Z.B. Darstellung von harmonischen Schwingungen Asin(ωx + φ), bzw. Acos(ωx + φ).
Für trigonometrische Funktionen gelten wichtige Beziehungen:
1. cos ensteht durch Verschiebung des sin um π/2 nach links:
π
cos(x) = sin x +
2
2. sin ensteht durch Verschiebung des cos um π/2 nach rechts:
π
sin(x) = cos x −
2
(2.4)
(2.5)
3. Satz von Phytagoras:
(sin(x))2 + (cos(x))2 = 1
(2.6)
sin(2α) = 2sin(α)cos(α)
(2.7)
4. Additionstheoreme:
Kapitel 2 Reellwertige Funktionen in einer Veränderlichen
54
(Skizzieren, Bogenmaß, Gradmaß, Darstellung als komplexer Zeiger, Überlagern von gleichfrequenten Schwingungen, Alle Eigenschaften: Nullstellen, Polstellen, Monotonie, Symmetrie, Periodizität,
Beschränktheit kennen, Additionstheoreme).
Aufgabe 2.19
(Lösung: Seite ??)
Skizzieren Sie sin(x), cos(x), tan(x), cot(x)!
Aufgabe 2.20
(Lösung: Seite ??)
Zeigen Sie, dass aus den allgemeinen Additionstheoremen
sin(x1 ± x2 ) = sin(x1 )cos(x2 ) ± cos(x1 )sin(x2 )
cos(x1 ± x2 ) = cos(x1 )cos(x2 ) ∓ sin(x1 )sin(x2 )
die Beziehungen
a) sin(2x) = 2sin(x)cos(x) b)cos(2x) = cos2 (x) − sin2 (x)
c) sin2 (x) = 21 (1 − cos(2x)) d)cos2 (x) = 21 (1 + cos(2x))
folgen!
Aufgabe 2.21
(Lösung: Seite ??)
Skizzieren Sie die Funktionen
a) 2sin(2x + π/3)
b) 3cos(4x − π/2)
c) cos2 (3x + π/2)
d) 3sin(2x + π/4) + 2cos(2x + π/4)
(Hinweis zu c) und d):Überlegen Sie sich zunächst eine einfachere Darstellung für die Funktion!)
2.6.7
Arcus-Funktionen
Als Arcus-Funktionen (arcsin(x), arccos(x), arctan(x), arccot(x)) werden die Umkehrfunktionen
der trigonometrischen Funktionen (sin(x), cos(x), tan(x), cot(x)) bezeichnet. Da die trigonometrischen Funktionen auf dem Definitionsbereich D = R nicht bijektive sind, schränkt man zur
Definition der Umkehrfunktionen den Definitionsbereich D ein.
f (x) = sin(x), x ∈ R ist z.B. im Intervall [− π2 , π2 ] bijektiv. In diesem Intervall ist die Umkehrfunktion, die als Arcus-Sinus bezeichnet wird, definiert (siehe Abbildung 2.17).
Kapitel 2 Reellwertige Funktionen in einer Veränderlichen
55
Abbildung 2.17: Arcussinus-Funktion
Definition
Die Funktion
π π
f (x) = arcsin(x), x ∈ [−1, 1], y = f (x) ∈ W = [− , ]
2 2
ist die Umkehrfunktion von y = sin(x), d.h., es gilt:
π π
y = arcsin(x) ⇔ x = sin(y), ∀x ∈ [−1, 1], ∀y ∈ [− , ].
2 2
2
Analog definieren wir die Umkehrfunktionen der anderen trigonometrischen Funktionen.
Definition
• Die Funktion
f (x) = arccos(x), x ∈ [−1, 1], y = f (x) ∈ W = [0, π]
ist die Umkehrfunktion von y = cos(x), d.h., es gilt:
y = arccos(x) ⇔ x = cos(y), ∀x ∈ [−1, 1], ∀y ∈ [0, π].
• Die Funktion
π π
f (x) = arctan(x), x ∈ R, y = f (x) ∈ W = [− , ]
2 2
ist die Umkehrfunktion von y = tan(x), d.h., es gilt:
π π
y = arctan(x) ⇔ x = tan(y), ∀x ∈ R, ∀y ∈ [− , ].
2 2
• Die Funktion
π π
f (x) = arccot(x), x ∈ R, (y = f (x) ∈ W = [− , ])
2 2
ist die Umkehrfunktion von y = cot(x), d.h., es gilt:
π π
y = arccot(x) ⇔ x = cot(y), ∀x ∈ R, ∀y ∈ [− , ].
2 2
2
Kapitel 2 Reellwertige Funktionen in einer Veränderlichen
56
Beispiel (Lösen einer trigonomertischen Gleichung):
Bestimmen Sie alle x ∈ R für die gilt: sin(2x + π/3) = 0.5.
(Skizzieren können, Eigenschaften kennen, Lösen trigonometrischer Gleichungen).
Aufgabe 2.22
(Lösung: Seite ??)
Skizzieren Sie die Arcus-Funktionen y = arccos(x), y = arctan(x), y = arccot(x) in ihrem Definitionsbereich!
Aufgabe 2.23
(Lösung: Seite ??)
Bestimmen Sie alle Nullstellen folgender Funktionen!
a) f (x) = sin(2x + p
5) − 0, 4
b) p
f (x) = sin(x) − 1 − sin2 (x)
√
c) cos(x − 1) − 1/ 2
Aufgabe 2.24
(Lösung: Seite ??)
√
Beweisen Sie: sin(arccos(x)) = 1 − x2
2.6.8
Hyperbel-Funktionen
Befestigen wir an zwei Punkten P1 und P2 , die sich in gleicher Höhe befinden, eine Kette, so nimmt
diese unter dem Einfluss der Schwerkraft die geometrische Form einer sogenannten Kettenlinie an
(siehe Abbildung 2.18).
Mathematisch kann man die Kettenlinie durch eine der als Hyperbelfunktionen bezeichneten
Funktion y = cosh(x) beschreiben.
Kapitel 2 Reellwertige Funktionen in einer Veränderlichen
57
Abbildung 2.18: Kettenlinie y = c · cosh(ax)
Hyperpelfunktionen setzen sich aus den beiden e-Funktionen ex und e−x zusammen.
Die Definitionsgleichungen der Hyperbelfunktionen lauten:
Sinus hyperbolicus:
y = sinh(x) = 21 (ex − e−x ), x ∈ R
+ e−x ), x ∈ R
Cosinus hyperbolicus:
y
= cosh(x)
=
1 x
2 (e
Tangens hyperbolicus:
y
= tanh(x)
=
sinh(x)
cosh(x) , x
∈R
Cotangens hyperbolicus:
y
= coth(x)
=
coth(x)
sinh(x) , x
∈ R \ {0}
Die Hyperbelfunktionen besitzen ähnliche Eigenschaften wie die trigonometrischen Funktionen,
d.h. für sie existieren Additionstheoreme. Eine wichtige Beziehung ist die folgende:
(cosh(x))2 − (sinh(x))2 = 1
Aufgabe 2.25
(Lösung: Seite ??)
Zeigen Sie dass gilt: cosh2 (x) − sinh2 (x) = 1.
Aufgabe 2.26
(Lösung: Seite ??)
Ein durchhängendes Seil genüge der Funktionsgleichung y = acosh(x/a). Berechnen Sie gemäß der
Skizze in Abbildung 2.19) den Durchhang H für a = 20m und l = 90m.
Kapitel 2 Reellwertige Funktionen in einer Veränderlichen
58
Abbildung 2.19: Kettenlinie y = c · cosh(ax)
2.6.9
Area-Funktionen
Die Umkehrfunktionen der Hyperbelfunktionen sind die Areafunktionen. Die Funktionen
sinh(x), tanh(x) und coth(x) sind auf dem gesamten Definitionsbereich bijektiv und damit umkehrbar. Bei y = cosh(x) müssen wir den Definitionsbereich einschränken, wir wählen das Intervall
[0, ∞). Als Wertebereich für cosh(x) erhalten wir für dieses Intervall den Bereich [1, ∞).
Weiterhin erhalten wir:
p
1
y = cosh(x) = (ex + e−x ) ⇔ x = ln(y + y 2 − 1)
2
Daraus ergibt sich nach Umbennennung der Variablen die Funktion arcosh(x):
p
y = cosh(x) = ln(x + x2 − 1), x ∈ [1, ∞)
Bezeichnung und Schreibweise
Areasinus hyperbolicus:
Areacosinus hyperbolicus:
Areatangens hyperbolicus:
Areacotangens hyperbolicus:
der
y
y
y
y
Areafunktionen:
= arsinh(x),
= arcosh(x),
= artanh(x),
= arcoth(x),
x∈R
x ∈ [1, ∞)
x ∈ (−1, 1)
|x| > 1
Aufgabe 2.27
(Lösung: Seite ??)
Geben Sie die Formeln, Definitions- und Wertebereich für alle Umkehrfunktionen der Hyperbelfunktionen an!
Kapitel 3
Grenzwerte
Das Rechenverfahren „Bilden von Grenzwerten“ ist ein mathematisches Werkzeug, das in vielen
Situationen benötigt wird. So zum Beispiel können wir mit diesem Rechenverfahren untersuchen,
ob eine Funktion y = f (x), x ∈ D stetig auf D ist oder, wenn nicht, welche Art Unstetigkeit
vorliegt.
Wir schauen uns in diesem Kapitel den Grenzwertbegriff an und beginnen dabei mit einer besonderen Klasse von Funktionen, nämlich den Zahlenfolgen. Anschließend werden wir den Grenzwertbegriff auf allgemeine Funktionen in einer Veränderlichen verallgemeinern.
3.1
3.1.1
Zahlenfolgen
Was sind Zahlenfolgen?
Beispiel
Lässt man einen Tennisball aus einer Höhe h fallen, so kann man feststellen, dass er anschließend
lediglich auf 60% der Höhe h und bei jedem weiteren Aufprall auf 60% der vorigen Höhe steigt.
Abbildung 3.1: Prellender Tennisball
Ordnet man jedem Aufprall seine zugehörige Fallhöhe zu, so entsteht eine Funktion, bei der den
natürlichen Zahlen jeweils eine reelle Zahl zugeordnet wird:
59
Kapitel 3 Grenzwerte von Funktionen in einer Veränderlichen
60
1 7→200 = a1
2 7→120 = a2
3 7→72 = a3
usw.
Allgemein bezeichnet man solche Funktionen als Folgen.
Definition 3.1
Unter einer reellen Zahlenfolge versteht man eine eindeutige Abbildung von der Menge der natürlichen Zahlen in die Menge der reellen Zahlen, d.h. eine Funktion der Gestalt
f : n ∈ N −→ an = f (n) ∈ R
Wir verwenden folgende Schreibweisen für Zahlenfolgen:
• Angabe einer Bildungsvorschrift: f (n) = an , n ∈ N oder han in∈N oder nur han i
• Aufzählung der ersten Folgeglieder a1 , a2 , a3 , . . .
Die Zahlen a1 , a2 , . . . , an , · · · heißen die Glieder der Folge, an ist das n-te Glied der Folge und wird
als allgemeines Glied der Folge bezeichnet.
Beispiele:
a) − 21 , − 14 , − 16 , . . .
n
b) an = n+1
,n ∈ N
1
c) − 2n n∈N
In jedem Fall kann man zu einer Zahlenfolge, deren Glieder nur aufgezählt wurden, ein Bildungsgesetz für das allgemeine Glied an finden, wie die folgenden Beispiele zeigen:
1
a) han i = − 12 , − 14 , − 16 , . . . Bildungsgesetz: an = − 2n
und n ∈ N
b) han i = 13 , 23 , 33 , . . . Bildungsgesetz: an = n3 und n ∈ N
c) han i = 0, 12 , 23 , 43 , . . . Bildungsgesetz: an = 1 −
1
n
und n ∈ N
Anschaulich können Zahlenfolgen durch einen Graph dargestellt werden (siehe oben), indem jedem
Wertepaar (n; an ) ein Punkt Pn in einem rechtwinkligen Koordinatensystem zugeordnet wird.
Die Einzelpunkte dürfen natürlich nicht miteinander verbunden werden, da keine Zwischenwerte
existieren.
Aufgabe 3.1
Geben Sie das Bildungsgesetz der folgenden Zahlenfolgen an!
a) han i = 2, 4, 8, 16, 32, . . . .
b) han i = 1, − 12 , 13 , − 14 , 15 , . . . .
c) han i = 21 , 23 , 34 , 45 , . . . .
√
√
√
d) han i = 2 10, 3 10, 4 10, . . . .
e) han i = 12 , 23 , 14 , 45 , 61 , 67 , . . . .
Kapitel 3 Grenzwerte von Funktionen in einer Veränderlichen
3.1.2
61
Allgemeine Eigenschaften von Zahlenfolgen
Definition 3.2
• Eine Zahlenfolge han in∈N mit wechselndem Vorzeichen heißt alternierend.
• Eine Zahlenfolge han in∈N heißt
– (streng) monoton wachsend, falls ∀n ∈ N gilt: an (<) ≤ an+1 .
– (streng) monoton fallend, falls ∀n ∈ N gilt: an (>) ≥ an+1 .
– andernfalls heißt sie nicht monoton.
• Eine Zahlenfolge han in∈N heißt
– nach oben beschränkt, falls gilt: ∃B ∈ R∀n ∈ N : an ≤ B. B heißt obere Schranke der
Zahlenfolge.
– nach unten beschränkt, falls gilt: ∃A ∈ R∀n ∈ N : an ≥ A. A heißt untere Schranke
der Zahlenfolge.
– beschränkt, falls sie sowohl nach oben, als auch nach unten beschränkt ist.
– andernfalls heißt sie unbeschränkt.
Beispiel.
Untersuchen Sie die Zahlenfolge han i = 21 , 23 , 34 , 45 , . . . . auf die Eigenschaften Alternierend,
Monotonie, Beschränktheit!
Geben Sie im Falle der Beschränktheit eine obere bzw. untere Schranke an!
Lösung: Die Zahlenfolge ist offensichtlich nicht alternierend.
Wir untersuchen die Monotonie.
Behauptung (Vermutung): han i ist streng monoton wachsend.
Beweis: Wir müssen zeigen: an < an+1 ∀n ∈ N.
n
n
Es ist an = n+1
. Demzufolge müssen wir zeigen, dass gilt: n+1
<
n+1
n+2 ∀n
∈ N.
Nun ist:
an
< an+1
n
< n+1
⇔ n+1
n+2
⇔ n(n + 2) < (n + 1)(n + 1) .
⇔ n2 + 2n < n2 + 2n + 1
⇔ 0
< 1
Da die letze Ungleichung wahr ist und diese äquivalent zur Behauptung ist, ist auch die Behauptung wahr.
Wir untersuchen die Beschränktheit.
Die Zahlenfolge ist nach unten beschränkt, es gilt A =
Die Zahlenfolge ist nach oben beschränkt, es gilt an =
Damit ist unsere Zahlenfolge beschränkt.
1
2
n
≤ an = n+1
∀n ∈ N.
≤ 1 = B∀n ∈ N
n
n+1
Aufgabe 3.2
Untersuchen Sie folgenden Zahlenfolgen auf die Eigenschaften Alternierend, Monotonie, Beschränktheit! Geben Sie im Falle der Beschränktheit eine obere bzw. untere Schranke an!
Kapitel 3 Grenzwerte von Funktionen in einer Veränderlichen
62
a) han i = 2, 4, 8, 16, 32, . . . .
b) han i = 1, − 12 , 13 , − 14 , 15 , . . . .
√
√
√
c) han i = 2 10, 3 10, 4 10, . . . .
d) han i = 12 , 23 , 14 , 45 , 61 , 67 , . . . .
3.1.3
Häufungspunkte und Grenzwert einer Zahlenfolge
Wir wollen uns nun die Begriffe Häufungspunkt und Grenzwert einer Zahlenfolge zunächst an
Beispielen klarmachen.
Beispiel 1:
Betrachten wir zunächst die Folge
an =
1
n
1 2 1 4 1 6
, , , , , , . . . , d.h. es ist an = falls n gerade und an =
falls n ungerade.
2 3 4 5 6 7
n
n+1
Wir tragen die Folgeglieder an auf einer Zahlengeraden ab und erhalten folgendes Bild
Abbildung 3.2: Häufungspunkte einer Folge
Wir sehen, dass unsere Zahlenfolge aus zwei Teilfolgen besteht. Die eine strebt von rechts monoton
fallend gegen 0, die andere von links monoton wachsend gegen 1. Wir sehen auch, dass in jeder
-Umgebung (0 − , 0 + ) von 0 stets unendlich viele Glieder der Folge an liegen, egal wie klein
wir > 0 auch wählen. Und auch in jeder -Umgebung (1 − , 1 + ) von 1 liegen stets unendlich
viele Glieder der Folge an . Punkte auf der Zahlengeraden mit dieser Eigenschaft nennt man
Häufungspunkte der Zahlenfolge.
Definition 3.3
Sei han in∈N eine Zahlenfolge. Dann heißt b ∈ R Häufungspunkt der Zahlenfolge han in∈N , falls in
jeder -Umgebung (b − , b + ) mit > 0 unendlich viele Folgeglieder von han in∈N liegen.
Beispiel 2:
Betrachten wir nun die Zahlenfolge han i : an = 1 − n1 .
Eine Wertetabelle liefert folgende Zahlenwerte:
Kapitel 3 Grenzwerte von Funktionen in einer Veränderlichen
n
an
1
0
2
3
1
2
2
3
···
···
10
0, 9
···
···
100
0, 99
···
···
63
1000
0, 999
Wir sehen:
a) Die Folgeglieder sind alle echt kleiner als 1 und somit nach oben durch 1 beschränkt: an < 1
b) Die Folgeglieder sind streng monoton wachsend; d.h. es ist an = 1 −
1
n
<1−
1
n+1 ∀n
∈ N.
c) Mit größer werdendem Index n unterscheiden sich die Folgenglieder immer weniger von 1.
Wie wir im Bild unten links und rechts sehen, liegen in jeder noch so kleinen -Umgebung von 1
unendlich viele Glieder der Folge. D.h., 1 ist ein Häufungspunkt unserer Zahlenfolge.
Aber im Unterschied zum o.g. Beispiel liegen außerhalb jeder dieser -Umgebungen jeweils nur
endlich viele Folgeglieder. D.h., dass es keinen weiteren Häufungspunkt geben kann, 1 ist der
einzige Häufungspunkt.
Abbildung 3.3: Konvergenz einer Folge gegen b=1
Definition 3.4 Besitzt eine Zahlenfolge han i genau einen Häufungspunkt b, so nennt man ihn
Grenzwert der Zahlenfolge und schreibt lim an = b. In diesem Fall heißt die Zahlenfolge han i
n→∞
konvergent (gegen b).
1 ist also der Grenzwert unserer Zahlenfolge, es gilt lim 1 −
n→∞
1
n
= 1.
Wie wir in c) festgestellt haben, unterscheiden sich mit größer werdendem Index n die Folgenglieder
immer weniger von b = 1.
Diesen Sachverhalt können wir wie Bild oben rechts verdeutlicht, auch wie folgt beschreiben:
Satz 3.1 b ist Grenzwert (also einziger Häufungspunkt der Zahlenfolge han i)
⇐⇒ ∀ > 0∃n0 ∈ N∀n ≥ n0 : |an − b| ≤ .
Kapitel 3 Grenzwerte von Funktionen in einer Veränderlichen
64
Wir können 2 weiteren Sachverhalte formulieren:
Satz 3.2 Es gilt:
1) Besitzt die Zahlenfolge han i einen oder mehrere Häufungspunkte bi , so existiert für jeden
ihrer Häufungspunkte eine in han i enthaltene Teilfolge hak i, die gegen bi konvergiert, d.h. für
die lim ak = bi gilt.
k→∞
2) Ist die Zahlenfolge han i nach oben (unten) beschränkt und monoton wachsend (fallend), so
ist sie konvergent.
Aufgabe 3.3
Machen Sie sich die Aussage 1) des Satzes am Beispiel 1 und die Aussage 2) am Beispiel 2 klar!
Definition 3.5 Besitzt eine Zahlenfolge han i den Grenzwert b = ∞ oder b = −∞, so heißt die
Zahlenfolge bestimmt divergent. Die Grenzwerte b = ∞ bzw. b = −∞ werden als uneigentliche
Grenzwerte bezeichnet.
Eine nicht konvergente und nicht bestimmt divergente Zahlenfolge heißt divergent.
Beispiele:
han i = hni = 1, 2, 3, 4, . . .
n
han i = h(−1) i = −1, 1, −1, 1, −1, . . .
ist bestimmt
lim an = ∞
divergetn.
Es
gilt:
n→∞
ist divergent, die Folge hat 2 Häufungspunkte 1 und −1.
Satz 3.3 Es gilt:
Jede Zahlenfolge han i, die mehr als einen Häufungspunkt besitzt, ist divergent.
Aufgabe 3.4
Welche der folgenden Zahlenfolgen ist konvergent, bestimmt divergent oder divergent? Geben Sie
eine Begründung an!
a) han i = 2, 4, 8, 16, 32, . . . .
b) han i = 1, 12 , 13 , 41 , 15 , . . . .
√
√
√
c) han i = 2 10, 3 10, 4 10, . . . .
d) han i = 12 , 23 , 14 , 45 , 61 , 67 , . . . .
3.1.4
Berechnung von Grenzwerten und Grenzwertsätze
Definition 3.6 Zahlenfolgen mit dem Grenzwert b = 0 heißen auch Nullfolgen.
Beispiel:
han i = n1 = 1, 21 , 13 , . . . ist eine Nullfolge mit lim
n→∞
1
n
= 0.
Kapitel 3 Grenzwerte von Funktionen in einer Veränderlichen
65
Definition 3.7 Eine Zahlenfolge hbn i heißt durch die Folge han i dominiert, falls gilt: ∃n0 ∈ N
mit |bn | ≤ |an | für alle n ≥ n0 .
Satz 3.4 (Nullfolgen)
Seien han i eine Nullfolge, d.h. lim an = 0 und hbn i eine durch han i dominierte Folge.
n→∞
Dann gilt auch: lim bn = 0.
n→∞
(D.h. Jede durch eine Nullfolge dominierte Folge ist ebenfalls eine Nullfolge).
Beispiele:
1
1
1) hbn i = D21n ist wegen
E 2n ≤ n eine Nullfolge.
(−1)n ċos(2n)
2) hbn i =
ist wegen
n
2
˙
(−1)n ċos(2n) |(−1)n ||cos(2n)|
= |cos(2n)|
≤ 21n ≤ n1 eine Nullfolge.
=
2n
|2n |
2n
D
E
n
3) hbn i = (−3)
ist wegen
n!
n
(−3)n |(−3)n |
n! = |n!| = 3n! ≤ n1 für alle n ≥ 10 (Beweis durch Vollständige Induktion) eine Nullfolge.
Satz 3.5 (Grenzwerte von Verknüpfungen konvergenter Zahlenfolgen)
Seien han i und hbn i zwei konvergente Folgen mit lim an = a und lim bn = b (|a| < ∞, |b| < ∞).
n→∞
n→∞
Dann gilt:
1) lim (an ± bn ) = a ± b
n→∞
2) lim (an · bn ) = a · b
n→∞
3) lim (c · an ) = c · a für alle c ∈ R
n→∞
4) Wenn an = C für alle n ∈ N ist, so gilt: lim an = C
n→∞
5)
lim an
n→∞ bn
=
a
b
falls b 6= 0
6) lim (an )k = ak
n→∞
7) lim
n→∞
√
k
an =
√
k
a
Satz 3.6 (Grenzwerte von Verknüpfungen von bestimmt divergenten, beschränkten und Nullfolgen)
Seien han i , hbn i , hcn i und hdn i 4 Zahlenfolgen mit lim an = ±∞ (bestimmt divergent), lim bn =
n→∞
b, |b| < ∞ (konvergent), lim cn = 0 (Nullfolge) und hdn i sei beschränkt.
n→∞
Dann gilt:
1
n→∞ an
=0
bn
n→∞ an
=0
dn
n→∞ an
=0
an
n→∞ bn
= lim an = ±∞
lim an
n→∞ dn
= lim an = ±∞
1) lim
2) lim
3) lim
4) lim
5)
n→∞
n→∞
n→∞
Kapitel 3 Grenzwerte von Funktionen in einer Veränderlichen
66
6) lim c1n = +∞ falls cn ≥ 0 und lim c1n = −∞ falls cn < 0.
n→∞
n→∞
D E
1
ist
divergent,
falls
hc
i
alterniert.
n
cn
7) Sei hgn i eine weitere Zahlenfolge mit lim gn = ±∞ (bestimmt divergent).
n→∞
Dann gilt: lim (an · gn ) = ±∞
n→∞
Satz 3.7 (Besondere Grenzwerte)
Es gilt:
n
1) lim 1 + n1 = 2, 71828182... = e (Eulersche Zahl).
n→∞
2) lim c · q n = 0, ofalls |q| < 1(c ∈ R).
n→∞
3) lim
√
n
n→∞
n = 1.
4) Sei q > 0. Dann gilt: lim
√
n
n→∞
q = lim
√
n+c
n→∞
q = 1 für alle c ∈ N.
Beispiel 1: Berechnen Sie den Grenzwert lim 2 · 1 − n1 !
n→∞
Lösung:
Gemäß Grenzwertsatz über die Verknüpfung
konvergenter
Zahlenfolgen gilt:
lim 2 · 1 − n1 = 2 · lim 1 − n1 = 2 · 1 − lim n1 = 2 · (1 − 0) = 2
n→∞
n→∞
n→∞
Beispiel 2:
Berechnen Sie den Grenzwert lim
√
4
n→∞
3n4 +5n−13
2n−1
!
Lösung:
Hier haben wir es mit einem Grenzwert vom Typ
wertsätze nicht direkt anwenden.
∞
∞
zu tun und folglich können wir die Grenz-
Wir führen folgenden Trick durch.
Wir erweitern Zähler und Nenner mit n1k , wobei k die höchste im Term vorkommende Potenz von
n ist und vereinfachen dann Zähler und Nenner so weit es geht.
In unserem Falle ist k = 1. Damit erhalten wir:
√
4
3n4 +5n−13
2n−1
=
√
4
q
3n4 +5n−13
2n−1
·
n
n
=
4 3n4 +5n−13
n4
2n−1
n
q
4
=
13
3+ n53 − n
4
1
2− n
Jetzt sehen wir, dass der Zähler und der Nenner jeweils gegen eine feste Zahl konvergieren; der
Zähler konvergiert gegen sqrt[4]3 und der Nenner gegen 2. Folglich konvergiert auch der Bruch
und es ist
√
4
4 +5n−13
lim 3n2n−1
n→∞
= lim
n→∞
q
4 3+ 5 − 13
n3
n4
1
2− n
=
√
4
3+0−0
2−0
=
√
4
3
2 .
Beispiel 3:
√
√
Berechnen Sie den Grenzwert lim ( 7n + 10 − 7n) !
n→∞
Kapitel 3 Grenzwerte von Funktionen in einer Veränderlichen
67
Lösung:
Hier haben wir es mit einem Grenzwert vom Typ ∞ − ∞ zu tun und folglich können wir die
Grenzwertsätze nicht direkt anwenden.
Wir führen folgenden Trick durch.
√
√
Wir erweitern den Term mit dem zugeörigen anderen Teil ( 7n + 10 + 7n) der 3. Binomischen
Formel und erhalten
√
√
( 7n + 10 − 7n) =
√
√
√
√
( 7n+10− 7n)( 7n+10+ 7n)
√
√
7n+10+ 7n
=
√
√7n+10−7n
7n+10+ 7n
=
√
10 √
.
7n+10+ 7n
Wir sehen nun, dass der Zähler konstant ist und der Nenner gegen ∞ konvergiert. Folglich gilt
gemäß Satz über die Grenzwerte von divergenten, beschränkten und Nullfolgen
√
√
lim ( 7n + 10 − 7n) = lim
n→∞
n→∞
√
10 √
7n+10+ 7n
= 0.
Kapitel 3 Grenzwerte von Funktionen in einer Veränderlichen
3.2
3.2.1
68
Grenzwerte von Funktionen
Definition des Grenzwertes von Funktionen
Den Grenzwertbegriff einer Zahlenfolge kann man auf den Grenzwert einer Funktion y = f (x), x ∈
R u"bertragen.
3.2.1.1
Grenzwert einer Funktion für x → ±∞
Beispiel:
Betrachtet man den Graph dieser Funktion, so stellt sich die Frage, ob die Funktionswerte
y = f (x) auch unendlich groß werden, wenn die x-Werte unendlich groß werden, oder ob sie sich
immer mehr einem Zahlenwert g (zB. g = 3) annähern, der als eine kleinste obere Schranke für
alle Funktionswerte angesehen werden kann?
Definition 3.8 Sei f : x ∈ D ⊆ R → y = f (x) ∈ B ⊆ R eine Funktion von D in B. Besitzt
die Funktion f (x) die Eigenschaft, dass für jede bestimmt divergente Zahlenfolge hxn i mit
lim xn = ∞ die Folge ihrer Funktionswerte hf (xn )i stets gegen dieselbe Zahl g strebt, so heißt g
n→∞
der Grenzwert der Funktion für x → ∞ und man schreibt: lim f (x) = g.
x→∞
D.h. es gilt:
lim f (x) = g ⇐⇒ ∀ hxn i mit lim xn = ∞ gilt lim f (xn ) = g.
x→∞
n→∞
n→∞
Entsprechendes gilt auch für den Grenzwert x → −∞:
lim f (x) = g ⇐⇒ ∀ hxn i mit lim xn = −∞ gilt lim f (xn ) = g.
x→−∞
n→∞
n→∞
Wachsen die Funktionswerte über alle Grenzen an, so ist g = +∞ oder g = −∞. Man bezeichnet
diese g als uneigentlichen Grenzwerte.
Beispiel:
Geprüft werden soll das Verhalten
der Funktion f (x) =
ist der Grenzwert lim 2x−1
.
x
2x−1
x
für x gegen ∞, d.h. zu berechnen
x→∞
Eine Umformung des Funktionsterms liefert lim
x→∞
2x−1
x
= lim 2 −
x→∞
1
x
.
Diesem Term „sieht“ man jetzt direkt an, wie er sich benimmt. Da für immer größer werdende
x-Werte der Summand x1 gegen Null strebt, bleibt die von x unabhängige Zahl 2 übrig, d.h. es ist
lim 2x−1
= 2.
x
x→∞
Wir können den Grenzwert auch formal in Anwendung der obigen Definition berechnen.
Kapitel 3 Grenzwerte von Funktionen in einer Veränderlichen
Sei hxn i eine beliebige Zahlenfolge mit mit
69
lim xn = ∞. Aus dem Grenzwertsatz für
n→∞
bestimmt divergente Zahlenfolgen folgt dann lim x1n = 0 und aus dem Grenzwertn→∞
satz für Verknüpfungen
von Zahlenfolgen
folgt dann für die Folge der Funktionswerte
lim f (xn ) = lim 2xxnn−1 = lim 2 − x1n = lim 2 − lim x1n = 2 − 0 = 2.
n→∞
n→∞
Demzufolge ist: lim
x→∞
n→∞
2x−1
x
n→∞
n→∞
= 2.
Abbildung 3.4: Funktionsgraph von f (x) =
2x−1
x
Anschaulich ist das klar: Wenn die x-Werte weiter immer größer werden, so nähern sich die
Funktionswerte immer mehr dem Wert g = 2 an.
3.2.1.2
Grenzwert einer Funktion für x → x0 , rechtsseitige und linksseitige Grenzwerte
In vielen Fällen interessiert man sich weniger für das Verhalten einer Funktion für große x-Werte,
sondern man braucht verlässliche Auskunft darüber, wie sich eine Funktion in der Umgebung einer
besonderen kritischen Stelle x0 benimmt.
Es gibt z.B. Stellen, so genannte Defintionslücken, an denen die Funktion nicht definiert ist. Hier
existiert zwar kein Funktionswert, doch können uns Grenzwertuntersuchungen wichtige Informationen über die Funktion an dieser Stelle geben.
Wir unterscheiden dabei, wie sich die Funktion f (x) verhält, wenn wir x von links gegen x0
streben lassen und wie sie sich verhält, wenn wir x von rechts gegen x0 streben lassen.
Kapitel 3 Grenzwerte von Funktionen in einer Veränderlichen
70
Abbildung 3.5: Linksseitiger, rechtsseitiger und beidseitiger Grenzwert von Funktionen
Zunächst stellen wir folgendes fest:
1) Eine beliebige von links gegen x0 strebende Zahlenfolge hxn i können wir allgemein wie folgt
darstellen: xn = x0 − hn mit hn > 0 und lim hn = 0.
n→∞
2) Eine beliebige von rechts gegen x0 strebende Zahlenfolge hxn i können wir allgemein wie folgt
darstellen: xn = x0 + hn mit hn > 0 und lim hn = 0.
n→∞
3) Eine beliebige gegen x0 strebende Zahlenfolge hxn i können wir allgemein wie folgt darstellen:
xn = x0 + hn mit lim hn = 0.
n→∞
Definition 3.9 (Linksseitiger Grenzwert)
Sei y = f (x) eine Funktion von D in B ⊆ R. Gilt dann für jede im Definitionsbereich der Funktion
liegende von links gegen x0 konvergierende Zahlenfolge hxn i , d.h xn = x0 − hn mit hn > 0 und
lim hn = 0 stets lim f (xn ) = glinks mit |glinks | < ∞, so heißt glinks linksseitiger Grenzwert
n→∞
n→∞
von f (x) für x gegen x0 .
Die symbolische Schreibweise lautet: lim f (x) = glinks oder lim<0 f (x) = glinks .
x→x−
0
x→x0
(gelesen: Limes von f (x) für x von links gegen x0 gleich glinks ).
D.h., es ist lim− f (x) = glinks ⇐⇒ ∀ hxn i mit xn = x0 − hn , hn > 0 und lim hn = 0 gilt
x→x0
n→∞
lim f (x0 − hn ) = glinks )
n→∞
Definition 3.10 (Rechtsseitiger Grenzwert)
Sei y = f (x) eine Funktion von D in B ⊆ R. Gilt dann für jede im Definitionsbereich der Funktion
liegende von rechts gegen x0 konvergierende Zahlenfolge hxn i , d.h xn = x0 + hn mit hn > 0
Kapitel 3 Grenzwerte von Funktionen in einer Veränderlichen
71
und lim hn = 0 stets lim f (xn ) = grechts mit |grechts | < ∞, so heißt grechts rechtsseitiger
n→∞
n→∞
Grenzwert von f (x) für x gegen x0 .
Die symbolische Schreibweise lautet: lim f (x) = grechts oder lim>0 f (x) = grechts .
x→x+
0
x→x0
(gelesen: Limes von f (x) für x von rechts gegen x0 gleich grechts ).
D.h., es ist lim+ f (x) = grechts ⇐⇒ ∀ hxn i mit xn = x0 + hn , hn > 0 und lim hn = 0 gilt
n→∞
x→x0
lim f (x0 + hn ) = grechts
n→∞
Definition 3.11 (Beidseitiger Grenzwert)
Sei y = f (x) eine Funktion von D in B ⊆ R. Gilt dann für jede im Definitionsbereich der Funktion
liegende und gegen x0 konvergierende Zahlenfolge hxn i mit lim xn = x0 stets lim f (xn ) = g mit
n→∞
n→∞
|g| < ∞, so heißt g Grenzwert von f (x) für x gegen x0 .
Die symbolische Schreibweise lautet: lim f (x) = g oder f (x) −→ g.
x→x0
x→x0
(gelesen: Limes von f (x) für x gegen x0 gleich g).
D.h., es ist lim f (x) = g ⇐⇒ ∀xn = x0 + hn mit lim hn = 0 gilt lim f (x0 + hn ) = g
x→x0
n→∞
n→∞
Bemerkung: Es ist bei allen drei Grenzwertdefinitionen keineswegs gefordert, dass die Funktion
f (x) an der Stelle x0 definiert ist. Es ist also möglich, dass die Funktion an einer Stelle einen
Grenzwert besitzt, obwohl sie dort nicht definiert ist.
Wie obige Abbildung 3.5 (rechts) verdeutlicht, muss der beidseitige Grenzwert nicht immer existieren. Allerdings existiert er immer, wenn der linksseitige und der rechtsseitige Grenzwert existieren
und identisch sind.
Satz 3.8 Es gilt:
lim− f (x) = glinks und lim+ f (x) = grechts existieren und es ist glinks = grechts =: g ⇐⇒
x→x0
x→x0
lim f (x) = g
x→x0
Beispiel 1:
Wir wollen wissen, wie sich die Funktion f (x) = x2 für x → x0 verhält.
Zunächst berechnen wir den linksseitigen Grenzwert:
Sei xn = x0 − hn , hn > 0 und lim hn = 0 eine beliebige von links gegen x0 konvergierende
n→∞
Zahlenfolge.
Dann gilt für die Zahlenfolge der Funktionswerte:
f (xn ) = x2n = (x0 −hn )2 = x20 −2x0 ·hn +(hn )2 und wir erhalten in Anwendung der Grenzwertsätze
für Zahlenfolgen für den Grenzwert der Folge der Funktionswerte:
lim f (xn ) = lim (x20 − 2x0 · hn + (hn )2 ) = lim x0 2 − 2x0 · lim hn + lim h2n = x0 2 − 0 + 0 = x0 2 .
n→∞
n→∞
n→∞
n→∞
n→∞
Kapitel 3 Grenzwerte von Funktionen in einer Veränderlichen
72
Folglich ist: lim− f (x) = x0 2 .
x→x0
Berechnen wir nun den rechtsseitigen Grenzwert:
Sei xn = x0 + hn , hn > 0 und lim hn = 0 eine beliebige von rechts gegen x0 konvergierende
n→∞
Zahlenfolge.
Dann gilt für die Zahlenfolge der Funktionswerte:
f (xn ) = x2n = (x0 +hn )2 = x20 +2x0 ·hn +(hn )2 und wir erhalten in Anwendung der Grenzwertsätze
für Zahlenfolgen für den Grenzwert der Folge der Funktionswerte:
lim f (xn ) = lim (x20 + 2x0 · hn + (hn )2 ) = lim x20 + 2x0 · lim hn + lim h2n = x20 + 0 + 0 = x20 .
n→∞
n→∞
n→∞
n→∞
n→∞
Folglich ist: lim+ f (x) = x20 .
x→x0
Linksseitiger und rechtsseitiger Grenzwert existieren und sind gleich. Nach obigem Satz existiert
dann auch der beidseitige Grenzwert und ist gleich dem linksseitigen und rechtsseitigen Grenzwert,
d.h. es gilt für alle x0 : lim f (x) = x0 2 = f (x0 ).
x→x0
Bemerkung: Eine solche Stelle x0 , bei der der Grenzwert von f (x) für x → x0 gleich dem
Funktionswret f (x0 ) ist, wird auch als Stetigkeitsstelle von x0 bezeichnet.
Beispiel 2:
Wir wollen wissen, wie sich die Funktion f (x) =
|x|
x
für x → x0 = 0 verhält.
Zunächst berechnen wir den linksseitigen Grenzwert:
Sei xn = x0 − hn = −hn , hn > 0 und lim hn = 0 eine beliebige von links gegen x0 = 0
n→∞
konvergierende Zahlenfolge.
Dann gilt für die Funktionswerte:
hn
f (xn ) = |xxnn | = |−hn|
−hn = −hn = −1 und wir erhalten in Anwendung der Grenzwertsätze für
Zahlenfolgen für den Grenzwert der Folge der Funktionswerte:
lim f (xn ) = lim (−1) = −1 = glinks .
n→∞
n→∞
Folglich ist: lim− f (x) = −1.
x→0
Berechnen wir nun den rechtsseitigen Grenzwert:
Sei xn = x0 + hn = hn , hn > 0 und lim hn = 0 eine beliebige von rechts gegen x0 = 0
n→∞
konvergierende Zahlenfolge.
Dann gilt für die Funktionswerte:
hn
f (xn ) = |xxnn | = |hn|
hn = hn = +1 und wir erhalten in Anwendung der Grenzwertsätze für
Zahlenfolgen für den Grenzwert der Folge der Funktionswerte:
lim f (xn ) = lim (1) = 1 = grechts .
n→∞
n→∞
Folglich ist: lim+ f (x) = +1.
x→0
Damit sind linsseitiger und rechtsseitiger Grenzwert zwar existent, aber verschieden voneinander.
Nach obigem Satz existiert dann der beidseitige Grenzwert lim f (x) nicht.
x→0
Eine solche Stelle x0 wird auch als Unstetigkeitsstelle bzw. Sprungstelle von f (x) bezeichnet.
Aufgabe 3.5
Berechnen Sie den links- den rechtsseitigen und ggf. den beidseitigen Grenzwert von
2x
f (x) = |x|
für x → x0 = 0!
Untersuchen Sie dazu mittels Grenzwertsätzen für Zahlenfolgen das Verhalten der Folge der Funktionswerte f (xn ) für xn = x0 − hn , xn = x0 + hn , hn > 0 und lim hn = 0.
n→∞
Kapitel 3 Grenzwerte von Funktionen in einer Veränderlichen
73
Aufgabe 3.6
Berechnen Sie den links- den rechtsseitigen und ggf. den beidseitigen Grenzwert von
für x → x0 = 0!
f (x) = cos(x)
x
Untersuchen Sie dazu mittels Grenzwertsätzen für Zahlenfolgen das Verhalten der Folge der Funktionswerte f (xn ) für xn = x0 − hn , xn = x0 + hn , hn > 0 und lim hn = 0.
n→∞
Aufgabe 3.7
Berechnen Sie den links- den rechtsseitigen und ggf. den beidseitigen Grenzwert von
f (x) =
(1+x2 )2 −(1−x2 )2
(1+x2 +x)(1+x2 −x)−1
für x → x0 = 0!
Vereinfachen Sie dazu zunächst die Funktion f (x) so weit es geht und untersuchen Sie dann mittels
Grenzwertsätzen für Zahlenfolgen das Verhalten der Folge der Funktionswerte f (xn ) für
xn = x0 − hn und xn = x0 + hn , hn > 0 und lim hn = 0.
n→∞
3.2.2
Grenzwertsätze
Da Grenzwerte von Funktionen auf Grenzwerten von Zahlenfolgen beruhen, lassen sich analoge
Grenzwertsätze formulieren, die es uns erlauben, auch Grenzwerte von komplizierteren bzw. zusammengesetzten Funktionen zu berechnen.
Satz 3.9 (Grenzwerte für zusammengesetzte Funktionen): Unter der Voraussetzung, daß die
Grenzwerte lim f (x) und lim g(x) existieren, gilt:
x→x0
x→x0
1) lim [c · f (x)] = c ·
x→x0
lim f (x) , für alle c ∈ R
x→x0
2) lim [f (x) ± g (x)] = lim f (x) ± lim g (x)
x→x0
x→x0
3) lim [f (x) · g (x)] =
x→x0
4) lim
x→x0
5) lim
f (x)
g(x)
p
n
x→x0
x→x0
lim g(x)
q
n
lim f (x)
x→x0
x→x0
x→x0
n
lim f (x)
x→x0
7) lim a
falls lim g (x) 6= 0
x→x0
6) lim [f (x)] =
=a
lim f (x)
x→x0
8) lim [loga f (x)] = loga
x→x0
x→x0
lim f (x)
=
f (x) =
f (x)
x→x0
x→x0
n
x→x0
lim f (x) · lim g (x)
lim f (x)
x→x0
Bemerkung: Diese Regeln bleiben gültig, wenn man den beidseitigen Grenzwert x → x0 überall
entweder durch den linksseitigen Grenzwerte x → x−
0 oder durch den rechtsseitigen Grenzwert
x → x+
ersetzt!
0
Kapitel 3 Grenzwerte von Funktionen in einer Veränderlichen
74
Beispiel:
2
−2x+5
Wir wollen den Grenzwert lim x cos(x)
berechnen.
x→0
Offensichlich strebt der Zähler f (x) = x + 1 für x → 0 gegen 5 und der Grenzwert des Nenners für
x → 0 gegen 1. D.h., beide beidseitigen Grenzwerte existieren und der Grenzwert des Nenners ist
ungleich 0. D.h., es liegt der Fall 4) des Satzes vor.
2
−2x+5
Demzufolge gilt lim x cos(x)
= 51 = 5.
x→0
3(x2 −1)
.
x→−1 x+1
Aufgabe 3.8 Berechnen Sie den Grenzwert lim
Kapitel 3 Grenzwerte von Funktionen in einer Veränderlichen
75
Satz 3.10 (Grenzwerte vom Typ ±∞): Es gilt:
1
x→±∞ x
1) lim x = 0, lim x = ∞, lim
x→∞
x→0
2) lim
f (x)
3) lim
f (x)
x→x0 g(x)
x→x0 g(x)
4)
lim f (x)
x→x0 g(x)
5) lim
f (x)
x→x0 g(x)
=0
= 0 falls lim g(x) = ±∞ und f (x) in einer Umgebung von x0 beschränkt ist.
x→x0
= 0 falls lim g(x) = ±∞ und lim f (x) existiert.
x→x0
x→x0
= ±∞ falls lim g(x) = 0 und lim f (x) existiert und ist 6= 0.
x→x0
x→x0
= ±∞ falls lim f (x) = ±∞ und lim g(x) existiert und ist 6= 0.
x→x0
x→x0
−x
x
6) Für a > 1 ist lim a = ∞ und lim a
x→∞
x→∞
= 0.
Bemerkung: Diese Regeln bleiben gültig, wenn man den beidseitigen Grenzwert x → x0 überall
entweder durch den linksseitigen Grenzwerte x → x−
0 oder durch den rechtsseitigen Grenzwert
x → x+
ersetzt!
0
Beispiel:
x+1
Wir wollen den Grenzwert lim x−1
berechnen.
x→1
Offensichlich strebt der Zähler f (x) = x + 1 für x → 1 gegen 2, d.h., der Grenzwert des Zählers
existiert und ist ungleich 0. Der Grenzwert des Nenners ist aber für x → 1 gleich 0. D.h., es liegt
x+1
der Fall 4) des Satzes vor und es gilt lim x−1
= ±∞.
x→1
Welches Vorzechen liegt aber vor?
Dazu betrachten wir den linksseitigen und rechtsseitigen Grenzwert getrennt.
Betrachten wir zunächst den linksseitigen Grenzwert. Sei xn = x0 − hn = 1 − hn , hn > 0 und
lim hn = 0 eine beliebige von links gegen x0 = 1 konvergierende Zahlenfolge.
n→∞
Dann gilt für die Funktionswerte:
+1
2
n
f (xn ) = xxnn −1
= 2−h
−hn = 1 − hn und wir erhalten in Anwendung der Grenzwertsätze für
Zahlenfolgen für den Grenzwert der Folge der Funktionswerte:
lim f (xn ) = lim (1 − h2n ) = 1 − lim h2n = 1 − ∞ = −∞ = glinks .
n→∞
n→∞
n→∞
Folglich ist: lim− f (x) = −∞.
x→1
Betrachten wir nun den rechtsseitigen Grenzwert. Sei xn = x0 + hn = 1 + hn , hn > 0 und
lim hn = 0 eine beliebige von rechts gegen x0 = 1 konvergierende Zahlenfolge.
n→∞
Dann gilt für die Funktionswerte:
+1
n
f (xn ) = xxnn −1
= 2+h
= 1 + h2n und wir erhalten in Anwendung der Grenzwertsätze für
hn
Zahlenfolgen für den Grenzwert der Folge der Funktionswerte:
lim f (xn ) = lim (1 + h2n ) = 1 + lim h2n = 1 + ∞ = ∞ = grechts .
n→∞
n→∞
n→∞
Folglich ist: lim+ f (x) = ∞.
x→1
Damit sind links- und rechtsseitiger Grenzwert ungleich, d.h. der beidseitige Grenzwert existiert
nicht. Darüber hinaus strebt die Funktion gegen ±∞; wir bezeichnen deshalb x0 = 1 auch als
Polstelle von f (x) mit wehcselndem Vorzeichen (siehe nächstes Kapitel zum Thema Unstetigkeitsstellen).
2
Aufgabe 3.9 Berechnen Sie den Grenzwert lim sin(x)
.
x→0
Kapitel 3 Grenzwerte von Funktionen in einer Veränderlichen
76
Bemerkung: Die Grenzwerte :
lim ln(x)
x−1 =
x→1
0 0
0
0 00
x
x→∞ ln(x)
, lim
=
0
∞0
0 ∞0
, lim 1 +
x→∞
lassen sich wie viele Grenzwerte von Typ
1 x
x
0 0
0
0 00 ,
0
0
=0 10 ∞ und lim
x→−1
0
∞0 0 00 ∞0
0 ∞0 , 1
ex+1 − x ) =0 ∞0 −0 ∞0
und 0 ∞0 −0 ∞0
nicht mit den Grenzwertsätzen, sondern nur unter Verwendung der Differentialrechnung (siehe
Kapitel Differentialrechnung, Regeln von Bernoulli und L’Hospital) berechnen.
Kapitel 4
Stetigkeit von Funktionen,
Unstetigkeitsstellen und Asymptoten
4.1
Asymptoten
Eine Anwendung der Grenzwertberechnung für Funktionen ist das Untersuchen des Verhaltens der
Funktion für x → ∞ bzw. x → −∞. So interessiert bei der Modellierung von Wachstumsvorgängen, ob und wann eine Sättigung erreicht wird und wie groß die Funktionswerte maximal werden
können. Ähnliches interessiert für den Spannungsverlauf u(t) von Kondensatoren bei Auflade- und
Entladevorgängen oder für den Temperaturverlauf bei Erwärmungs- oder Abkühlungsvorgängen.
Von besonderer Bedeutung ist dabei zu untersuchen, ob die Funktion f (x) sich dabei einer Geraden
annähert und ob diese Näherung von oben oder unten erfolgt. Eine solche Gerade nennt man
Asymptote.
Definition 4.1 Eine Gerade g(x) = a·x+b heißt Asymptote von f (x) für x → ∞ bzw. x → −∞,
falls gilt
lim (f (x) − g(x)) = 0 bzw. lim (f (x) − g(x)) = 0.
x→∞
x→−∞
Beispiel.
Wir wollen nachprüfen, ob die Funktion f (x) = x − e−x für x → ∞ eine Asymptote besitzt und
wenn ja, ob sie von oben oder unten dagegen konvergiert.
Lösung: Offensichtlich strebt e−x für x → ∞ gegen 0 und folglich gilt für g(x) = x dass
lim (f (x) − g(x)) = 0 ist. Damit ist g(x) = x die Asymptote von f (x) für x → ∞.
x→∞
Da e−x > 0 für alle x > 0 ist, ist f (x) = x − e−x < g(x) = x für alle x > 0 und folglich strebt f (x)
für x → ∞ von unten gegen die Asymptote g(x) = x.
Aufgabe 4.1 Bestimmen Sie die Asymptoten von f (x) =
3(x2 −1)+2x
x
und untersuchen Sie, ob die Funktion von oben oder unten gegen die jeweilige Asymptote
konvergiert.
Hinweis:
Führen Sie zuerst eine Polynomendivision durch und stellen Sie eine Vermutung über die Gestalt
der Asymptote auf!
77
Kapitel 4 Stetigkeit von Funktionen in einer Veränderlichen
4.2
78
Stetigkeit von Funktionen
Wie wir gesehen haben, verhalten sich Funktionen f (x) für x → x0 sehr unterschiedlich. Manchmal
sind der links- und rechtsseitige Grenzwert von f (x) für x → x0 identisch, manchmal sind diese
Grenzwerte nicht nur identisch, sondern sogar gleich dem Funktionswert f (x0 ) an der Stelle x0 .
Solche Funktionen bezeichnen wir als stetig in x0 .
Manchmal existieren zwar rechtsseitiger und linksseitiger Grenzwert, sind aber nicht identisch.
Manchmal sind linksseitiger und rechtsseitiger Grenzwert dabei sogar unbestimmt, d.h. gleich ∞
oder gleich −∞. Und schließlich gibt es Funktionen, die an einer Stelle x0 nicht definiert sind,
deren Grenzwert lim f (x) aber existiert.
x→x0
Häufig ist es in der Praxis von Interesse zu untersuchen, welche dieser genannten Eigenschaften
f (x) an bestimmten kritischen Stellen x0 besitzt.
Wir beginnen mit der Eigenschaft der Stetigkeit.
Definition 4.2 (Stetigkeit)
Sei y = f (x) eine Funktion von D in B ⊆ R und sei f (x) in x0 ∈ D definiert.
1) f (x) heißt stetig (linksseitig stetig; rechtsseitig stetig) in x0 falls gilt:
lim f (x) = f (x0 ) ( lim− f (x) = f (x0 ); lim+ f (x) = f (x0 ))
x→x0
x→x0
x→x0
D.h., f (x) ist stetig in x0 , falls f in x0 definiert ist und der Grenzwert von f (x) für x gegen
x0 gleich dem Funktionswert f (x0 ) ist.
2) f (x) heißt stetig (linksseitig stetig; rechtsseitig stetig) auf einer Menge A ⊆ D, falls f (x)
stetig (linksseitig stetig; rechtsseitig stetig) in allen x0 ∈ A ist.
Satz 4.1 Es gilt: f (x) ist stetig in x0 ⇐⇒ f (x) ist sowohl linksseitig als auch rechtsseitig stetig
in x0 .
Beispiel 1:
Wie wir oben gesehen haben, ist die Funktion f (x) = x2 stetig auf ganz R, denn es gilt für alle
x0 ∈ R : lim f (x) = x20 = f (x0 ).
x→x0
Beispiel 2:
Wie wir oben gesehen haben, ist die Funktion f (x) = |x|
x an der Stelle x = x0 = 0 nicht definiert
und damit weder links- noch rechtsseitig noch stetig in x0 = 0.
Beispiel 3:
−1 für x < 0
Die Funktion f (x) =
an der Stelle x = x0 = 0 rechtsseitig stetig, aber
1
für x ≥ 0
nicht linksseitig stetig und damit auch nicht stetig in x0 = 0.
Zur Untersuchung der Stetigkeit von Funktionen hilft uns der folgende sogenannte Stetigkeitssatz,
der aus dem Grenzwertsatz für zusammengesetzte Funktionen folgt.
Kapitel 4 Stetigkeit von Funktionen in einer Veränderlichen
79
Satz 4.2 (Stetigkeitssatz):
√
1) Die elementaren Funktionen cos(x), sin(x), ex , ln(x), n x, sowie Polynome endlicher Ordnung in x sind setig auf ihrem maximalen Definitionsbereich.
2) Sind f (x) und g(x) stetig in x0 , so sind auch
a) c · f (x), für alle c ∈ R
b) f (x) ± g (x)
c) f (x) · g (x)
f (x)
g(x)
falls g(x0 ) 6= 0 ist
p
e) n f (x)
d)
n
f ) f (x)
g) af (x)
h) loga f (x)
i) die Verknüpfung f (g(x)), falls f in x = g(x0 ) definiert ist
stetig in x0 .
Beispiel:
Wir wollen den Grenzwert lim cos(x)
x−1 berechnen.
x→0
Aus obigem Satz Teil 1) folgt, dass der Zähler cos(x) und ebenfalls der Nenner x − 1 stetig in
x0 = 0 sind. Aus Teil 2) d) folgt dann, dass auch der Bruch h(x) = cos(x)
x−1 stetig in x0 = 1 ist und
folglich gilt: lim cos(x)
x−1 = h(0) =
x→0
cos(0)
0−1
=
1
−1
= −1.
Aufgabe 4.2
Berechnen Sie folgende Grenzwerte
q
a) lim 2
cos(x)
x2 +1
x→0
2
+7
b) lim xx3 −1
x→2
4.3
Unstetigkeitstellen
Nicht alle Funktionen sind auf Ihrem gesamten Definitionsbereich stetig. Im folgenden Bild sehen
Sie verschiedenen Arten von Unstetigkeiten an einer Stelle xo .
Kapitel 4 Stetigkeit von Funktionen in einer Veränderlichen
80
Abbildung 4.1: Verschiedene Arten von Unstetigkeitsstellen
Definition 4.3 (Unstetigkeitsstellen)
(1) Eine Funktion f (x), x ∈ D ⊆ R hat in x0 eine Sprungstelle ⇐⇒ glinks = lim f (x) und
x→x−
0
grechts = lim+ f (x) existieren und sind ungleich (glinks 6= grechts ).
x→x0
(2) Eine Funktion f (x), x ∈ D ⊆ R hat in x0 ∈
/ D eine Definitionslücke bzw. behebbare Unstetigkeitsstelle ⇐⇒ glinks = lim− f (x) und grechts = lim+ f (x) existieren und sind gleich
x→x0
x→x0
(glinks = grechts = g). Die Behebung der Unstetigkeit erfolgt mittels Definitionserweiterung
f (x0 ) = g.
(3) Eine Funktion f (x), x ∈ D ⊆ R hat in x0 eine Polstelle ⇐⇒ glinks = lim− f (x) = ±∞
x→x0
und grechts = lim+ f (x) = ±∞. Man nennt x0 Polstelle mit wechselndem Vorzeichen, falls
x→x0
sich die Vorzechen von glinks und grechts unterscheiden; andernfalls Polstelle mit gleichem
Vorzeichen.
Beispiel 1:
Aus der Regelungstechnik ist die so genannte Sprungfunktion eine häufig vorkommende Funktion,
deren Funktionsgleichung aus zwei Teilen zusammengesetzt wird:
(
0
für t < 0
f : u = f (t) =
u0 für t ≥ 0
Diese Funktion besitzt keine Definitionslücke, denn auch für t = 0 ist der Funktionswert f (0) = u0
vorgegeben. Für den Grenzwert an dieser Stelle gilt aber, dass die Annäherung von links, also für
t < 0 den Wert 0 liefert, während die Annäherung von rechts u0 ergibt. Damit ist f (t) in t0 = 0
unstetig und besitzt an dieser Stelle eine Sprungstelle.
Beispiel 2:
Wir wollen untersuchen, wie sich die Funktion f (x) =
nichtdefinierten Stelle x0 = 1 verhält.
x2 −1
x+1 , x
∈ R, x 6= 1, an ihrer kritischen und
Kapitel 4 Stetigkeit von Funktionen in einer Veränderlichen
81
Nähere Auskunft gibt die faktorisierte Form der Funktion, die wir durch Anwendung der 3. Binomischen Formel auf den Zähler (bzw. durch Linearfaktorzerlegung des Zählers) erhalten:
f (x) =
(x − 1) · (x + 1)
.
x+1
Für jedes x 6= −1 darf man kürzen und erhält
f (x) = x − 1.
Diese Funktion ist eine Gerade, die an der nicht definierten Stelle x = −1 ein Loch hat. Im Graf
wird diese Lücke durch einen kleinen Kringel angedeutet.
Eine Gerade y(x) = x−1 ist auf ganz R stetig, d.h. auch in x = −1 und es gilt für den Funktionswert
an dieser Stelle y(−1) = −2.
Damit hat unsere Funktion f (x) an der Stelle x = −1 einen links- und rechtsseitiger Grenzwert,
die beide gleich −2 sind:
lim f (x)
x→−1−
lim f (x)
x→−1+
=
=
lim
(x2 −1)
x→−1−
x+1
(x2 −1)
lim x+1
x→−1+
lim (x − 1) = −2
=
x→−1−
lim (x − 1) = −2
=
x→−1+
Demzufolge hat f (x) an der Stelle x = −1 eine behebbare Unstetigkeit. Wir können f (x) zu einer
stetigen Funktion fE (x) durch die Hinzunahme dieser Stelle erweitern, d.h. durch die Definition:
x − 1 falls x 6= −1
fE (x) =
−2
falls x = −1
Beispiel 3:
Wir untersuchen die Funktion f (x) = x1 , x ∈ R, x 6= 0 an ihrer kritischen Stelle x0 = 0, d.h. die
Grenzwerte glinks = lim x1 und grechts = lim x1 . Offensichtlich strebt (siehe Grenzwertsatz ...)
x→0−
x→0+
glinks = lim− x1 gegen einen der beiden Größen plus oder minus ∞. Da aber
x→0
x < 0 (links von 0), kann der Grenzwert nur −∞ sein, also glinks =
Analog erhalten wir grechts = lim
x→0+
1
x
lim x1
x→0−
1
x
< 0 ist für alle
= −∞.
= +∞. Damit ist x0 = 0 eine Polstelle von f (x) =
1
x
mit
wechselndem Vorzeichen.
Aufgabe 4.3 Untersuchen Sie die Stetigkeit folgender Funktionen an ihren jeweiligen
kritischen Stellen x0 ! Geben Sie im Falle einer Unstetigkeitsstelle an, um welche Art Unstetigkeit
-Polstelle, behebbare Unstetigkeit, Sprungstelle - es sich handelt!
a. f (x) =
4.4
x−3
x−3
für x0 = 3
b. f (x) =
x2 −4
x+2
für x0 = −2
c. f (x) =
2·x
x−2
für x0 = 2.
Gebrochen rationale Funktionen
Die Untersuchung der Stetigkeit und von Unstetigkeitsstellen und von Asymptoten ist insbesondere
für gebrochen rationale Funktionen von Interesse, die in der Regelungstechnik eine größere Rolle
spielen.
Eine gebrochen rationale Funktion ist ein Bruch zweier Polynome.
Kapitel 4 Stetigkeit von Funktionen in einer Veränderlichen
82
(x)
Sei also f (x) = ppm
eine gebrochen rationale Funktion, wobei pm (x) und pn (x) Polynome in x
n (x)
vom Grad m bzw. n sind. Für beide Polynome können wir die Nullstellen bestimmen und sie in
Linearfaktoren zerlegen; durch Linearfaktoren, die in Zähler und Nenner vorkommen, können wir
kürzen.
Wir nehmen an, f (x) ist vollständig gekürzt und nicht weiter kürzbar!
4.4.1
Berechnung von Asymptoten
Asymptoten können wir mittels Polynomendivision ermitteln.
Dabei gilt folgender Satz:
Satz 4.3 Seien pm (x) und pn (x) zwei Polynome in x der Ordnung m bzw. n. Sei f (x) =
eine gebrochen rationale Funktion.
Dann gilt:
pm (x)
pn (x)
(a) Ist m > n + 1, so hat f (x) keine Asymptote.
(b) Ist m < n, so ist die Asymptote gleich der x-Achse.
(c) Ist m = n, so ist die Asymptote gleich einer Konstanten C.
(d) Ist m = n + 1, so ist die Asymptote eine Gerade mit dem Anstieg > 0.
4.4.2
Unstetigkeitsstellen
(x)
eine gebrochen rationale Funktion, wobei pm (x) und pn (x) Polynome in x vom
Sei f (x) = ppm
n (x)
Grad m bzw. n sind. Die Definitionslücken von f (x) sind die Nullstellen des Nenners.
Satz 4.4 Es gilt:
1) Definitionslücken, deren Linearfaktoren sich vollständig aus dem Nenner herauskürzen
lassen, sind behebbare Unstetigkeitsstellen.
(x)
2) Seien alle Linearfaktoren in f (x) = ppm
, die in Zähler und Nenner vorkommen, herausgen (x)
kürzt.
Dann sind die Nullstellen des Nenners Polstellen.
(D.h., die Nullstellen des Nenners sind Polstellen, sofern sie keine behebbaren Unstetigkeitsstellen sind.)
(x)
3) Seien alle Linearfaktoren in f (x) = ppm
, die in Zähler und Nenner vorkommen, herausgen (x)
kürzt.
Nullestellen des Zählers sind Nullstellen, sofern sie keine behebbaren Unstetigkeitsstellen
(bzw. Definitionslücken) sind.
4.4.3
Das Vorzeichendiagramm
Um zu untersuchen, ob die Funktion von oben oder unten gegen die Asymptote konvergiert und
wie das verhalten der Funktion an den Polstellen ist, kann man das sogenannte Vorzeichendiagramm verwenden.
Mit dem Vorzeichendiagramm kann man die Bereiche f“ur x bestimmen, in denen die Funktion
f (x) positiv ist und diejenigen, in denen sie negativ ist.
Wir werden das Vorzeichendiagramm genauer in den nachfolgenden Beispielen erklären.
Kapitel 4 Stetigkeit von Funktionen in einer Veränderlichen
4.4.4
83
Beispiele
Wir wollen die Analyse von gebrochen rationalen Funktionen im Zusammenhang an einigen Beispielen erläutern.
Beispiel 1:
Wir untersuchen die Funktion f (x) =
x2 +2x−3
,x
x+3
∈ R, x 6= −3.
Schritt 1. Wir vereinfachen zunächst unsere Funktion.
Dazu bestimmen wir die Nullstellen des Zählers und zerlegen den Zähler in Linearfaktoren.
(Der Nenner liegt schon als Linearfaktor vor !)
Es ist offensichtlich: x2 + 2x − 3 = (x + 3)(x − 1) und wir erhalten für unsere Funktion die
einfache Gestalt:
f (x) =
(x+3)(x−1)
x+3
= x − 1, x ∈ R, x 6= −3
Der Linearfaktor (x + 3) im Nenner lasst sich vollständig rauskürzen.
Schritt 2. Wir untersuchen die Unstetigkeitsstellen und Nullstellen.
Wir sehen, dass die problematische Stelle x = −3 gar nicht problematisch ist. Unsere
Funktion hat an dieser Stelle eine behebbare Unstetigkeit. Sie lässt sich an dieser Stelle
stetig erweitern durch die Hinzunahme des Wertes f (−3) = −4.
Und die Funktion hat eine Nullstelle in x = 1.
Schritt 3 Wir bestimmen die Asymptote.
Aufgrund der Gestalt von f (x) stellen wir fest: Die Asymptote ist gleich der Funktion selber.
Abbildung 4.2: Graf der Funktion f (x) =
x2 +2x−3
,x
x+3
6= −3
Kapitel 4 Stetigkeit von Funktionen in einer Veränderlichen
Beispiel 2:
Wir untersuchen die Funktion f (x) =
x−1
x2 +2x−3 , x
84
∈ R, x ∈
/ {−3, 1}.
Schritt 1. Wir vereinfachen zunächst unsere Funktion.
Dazu bestimmen wir die Nullstellen des Nenners und zerlegen den Nenner in Linearfaktoren. (Der Zähler liegt schon als Linearfaktor vor).
Es ist offensichtlich: x2 + 2x − 3 = (x + 3)(x − 1) und wir erhalten für unsere Funktion
die einfache Gestalt:
f (x) =
x−1
(x+3)(x−1)
=
1
x+3 , x
∈ R, x ∈
/ {−3, 1}
Schritt 2. Wir bestimmen die Unstetigkeitsstellen.
Der Linearfaktor (x − 1) im Nenner lasst sich vollständig rauskürzen. D.h. die problematische Stelle x = 1 ist nicht problematisch. Unsere Funktion hat an dieser Stelle eine
behebbare Unstetigkeit. Sie lässt sich an dieser Stelle stetig erweitern durch die
Hinzunahme des Wertes f (1) = 41 .
Der Linearfaktor (x + 3) lässt sich nicht herauskürzen. Wir sehen, dass für den linksund rechtsseitigen Grenzwert gilt:
lim 1
x→−3− x+3
= −∞ und
lim 1
x→−3+ x+3
=∞.
Damit ist x = −3 eine Polstelle mit wechselndem Vorzeichen.
3.Schritt: Wir bestimmen die Nullstellen.
Die Funktion hat keine Nullstellen, da im Zähler keine Linearfaktoren vorkommen.
4.Schritt: Wir bestimmen die Asymptote und untersuchen, ob sich die Funktion von unten oder
oben an die Asymptote annähert.
1
x→−∞ x+3
Es gilt lim
1
x→∞ x+3
= lim
=0.
Folglich ist die x-Achse die Asymptote sowohl für x −→ −∞ als auch für x −→ ∞.
1
Da für alle x < −3 gilt x+3
< 0, strebt f (x) für x −→ −∞ von unten gegen die x-Achse.
1
Da für alle x > −3 gilt x+3 > 0, strebt f (x) für x −→ ∞ von oben gegen die x-Achse.
5.Schritt: Wir zeichnen den Graf.
Dazu zeichnen wir alle Polstellen, Nullstellen und behebbare Unstetigkeitsstellen ein
und anschließend die Asymptote. Danach können wir die Funktion einzeichnen unter
Berücksichtigung ihres Grenz-Verhaltens an den Polstellen und der Asymptote.
Kapitel 4 Stetigkeit von Funktionen in einer Veränderlichen
Abbildung 4.3: Graf der Funktion f (x) =
85
x−1
x2 +2x−3 , x
6= −3, x 6= 1
Beispiel 3:
Betrachten wir nun ein Beispiel für eine Funktion, bei der nach Herauskürzen von Linearfaktoren sowohl im Zähler als auch im Nenner Linearfaktoren übrig bleiben.
Wir untersuchen die Funktion f (x) =
(x2 −1)(x+2)
(x−3)(x2 +3x+2) , x
∈ R, x ∈
/ {−1, −2, 3}.
1. Schritt: Wir zerlegen das Zähler- und das Nennerpolynom in Linearfaktoren. (D.h. Nullstellen
von Zähler und Nenner bestimmen).
(x2 −1)(x+2)
(x−1)(x+1)(x+2)
Offensichtlich gilt: f (x) = (x−3)(x
2 +3x+2) = (x−3)(x+1)(x+2) .
2. Schritt: Wir kürzen nun alle Linearfaktoren heraus, die in Zähler und Nenner vorkommen. D.h.
alle Nullstellen, die Nullstellen von Zähler und Nenner sind und deren zugehörige Linearfaktoren sich vollständig herauskürzen lassen, sind behebbare Unstetigkeitsstellen.
Wir können die Definition fon f (x) an diesen Stellen stetig erweitern.
Wir erhalten für unsere Funktion:
f (x) =
(x2 −1)(x+2)
(x−3)(x2 +3x+2)
=
(x−1)(x+1)(x+2)
(x−3)(x+1)(x+2)
=
x−1
x−3 .
D.h., x = −1 und x = −2 sind behebbare Unstetigkeitsstellen; wir können f (x) an
diesen Stellen wie folgt erweitern: f (−1) = 12 und f (−2) = 53 .
3. Schritt: Wir schauen uns nun die vollständig gekürzte Funktion f (x) = x−1
x−3 genau an.
Alle Nullstellen des Zähler sind nun Nullstellen von f (x) und alle Nullstellen des Nenners
sind Polstellen von f (x). In unserem Falls ist also x = 1 eine Nullstelle von f (x). Und
es ist x = 3 eine Polsstelle von f (x).
4. Schritt: Wir untersuchen nun das Vorzeichen des Grenzwertes von f (x) für x → Polstelle; ist
dieser Grenzwert gleich +∞ oder −∞) von f (x) ? Dazu können wir bequemerweise
das sogenannte Vorzeichendiagramm verwenden: Wir zeichen die Zahlengerade und
tragen darauf alle Nullstellen von Zähler und Nenner ab; hier x = 1 und x = 3. Dann
zeichen wir unter der Zahlengeraden jeweils einen Strich von −∞ bis zu der jeweiligen
Kapitel 4 Stetigkeit von Funktionen in einer Veränderlichen
86
Nullstelle. Der Bereich eines Striches ist gerade der Bereich, in welchem der zugehörige
Linearfaktor (x − x0 ) negativ ist.
Nun zählen wir die Anzahl der Striche:
Dort wo diese Anzahl gerade ist, enthält f (x) gerade eine gerade Anzahl von negativen
Linearfaktoren und ist in diesem Bereich folglich positiv.
Dort wo diese Anzahl ungerade ist, enthält f (x) gerade eine ungerade Anzahl von negativen Linearfaktoren und ist in diesem Bereich folglich negativ.
In dem Bereich, wo sich kein Strich befindet, sind alle Linearfaktoren von f (x) positiv,
folglich ist f (x) in diesem Bereich positiv.
Abbildung 4.4: Das Vorzeichendiagramm für die Funktion f (x) =
x−1
x−3
5. Schritt: Wir berechnen nun die Asymptote von f (x).
x−1
2
Dazu führen wir am besten eine Polynomendivisison durch: f (x) = x−3
= 1 + x−3
.
2
Der Rest x−3 konvergiert sowohl für x → ∞ als auch x → −∞ gegen 0, d.h. die
Asymptote von f (x) ist in beiden Fällen gleich a(x) = 1.
6. Schritt: Wir untersuchen, ob f (x) von unten oder oben gegen die Asymptote konvergiert.
2
2
Der Rest x−3
ist für x → ∞ positiv, d.h. f (x) = 1 + x−3
> 1. Folglich konvergiert f (x)
für x → ∞ von oben gegen die Asymptote a(x) = 1.
2
2
Der Rest x−3
ist für x → −∞ negativ, d.h. f (x) = 1 + x−3
< 1. Folglich konvergiert
f (x) für x → −∞ von unten gegen die Asymptote a(x) = 1.
7. Schritt: Skizze des Grafen von f (x):
Kapitel 4 Stetigkeit von Funktionen in einer Veränderlichen
Abbildung 4.5: Graf der Funktion f (x) =
87
(x2 −1)(x+2)
(x−3)(x2 +3x+2) , x
∈ R, x ∈
/ {−1, −2, 3}
Bisher haben wir die Unstetigkeitsstellen berechnet. Umgekehrt können wir aus dem Wissen,
welche Null-Pol-, behebbaren Unstetigkeitsstellen und Asymptote eine gebrochen rationale
Funktion besitzt, ihre Funktionsgleichung herleiten.
Beispiel.
Ein gebrochen rationales Polynom f (x) hat folgende Nullstellen: x0 = −2, x1 = 2, x2 = 3
und Polstellen x3 = −1 (doppelt) und x4 = −4. An der Stelle x = 1 hat es den Wert
f (x) = 1. Welchen Wert nimmt das Polynom an der Stelle x = 0 an?
Lösung:
Wir stellen zuerst die Gleichung des Polynoms f (x) auf.
Die Nullstellen liefern die Linearfaktoren des Zählers
a(x + 2)(x − 2)(x − 3)
und die Polstellen die Linearfaktorzerlegung des Nenners
b(x + 1)(x + 4)2 .
Daraus ergibt sich für f (x) die Gestalt:
f (x) =
Den Faktor
Es ist
a
b
a
b
(x+2)(x−2)(x−3)
(x+1)(x+4)2
erhalten wir aus der Angabe, dass f (1) = 1 ist.
f (1) =
a
b
(1+2)(1−2)(1−3)
(1+1)(1+4)2
=
a
b
−6
50
= 1 ⇐⇒
a
b
= − 50
6 .
Kapitel 5 Differentialrechnung einer Funktion in einer Veränderlichen
88
Demzufolge ist die Gleichung des Polynoms:
f (x) = −
50
6
(x+2)(x−2)(x−3)
(x+1)(x+4)2
.
Der Funktionswert des Polynoms an der Stelle x = 0 ist f (0) = − 25
4 .
Aufgabe 4.4 Sei f (x) =
(x2 +x−2)(x2 −2x−3)(x2 −2x−35)
,x
(x2 −6x−7)(x2 +x−6)
∈ R, x ∈
/ {−1, 7, 2, −3}
a) Geben Sie die Definitionslücken, behebbaren Unstetigkeitsstellen, Polstellen, Nullstellen
und Asymptoten von f (x) !
b) Berechnen Sie alle links- und rechtsseitigen Grenzwerte an den Polstellen!
c) Ermitteln Sie, ob f (x) für x → −∞ und x → ∞ von unten oder oben gegen die
Asymptote konvergiert.
d) Skizzieren Sie den Grafen von f (x).
Aufgabe 4.5
Ein gebrochen rationales Polynom f (x) hat folgende Nullstellen: x0 = 1, x1 = 4 (doppelt)
und Polstellen x2 = −1, x3 = −2. Weiterhin ist f (2) = 1. Wie lautet die Gleichung der
Funktion f (x)?
Aufgabe 4.6
Ein gebrochen rationales Polynom f (x) hat folgende Nullstellen: x0 = 1, x1 = 4 (doppelt)
und Polstellen x2 = −1, x3 = −2. Die Asymtote ist g(x)=2x+1. Welchen Wert f (3) hat das
Polynom an der Stelle x = 3?
Kapitel 5
Differentialrechnung
5.1
Ableitungen einer Funktion
Häufig interessiert man sich für die Stärke der Änderung des Funktionswertes ∆f = f (x +
h) − f (x) im Verhältnis zur Änderung des Argumentes x um h.
Mit der Fragestellung, ob kleine Änderungen von x zu großen Änderungen im Funktionswert
führen oder nicht, beschäftigt sich die sogenannte Sensitivitätsanalyse.
Definition 5.1 Die Größe
f (x + h) − f (x)
∆f
=
∆x
h
heißt Differenzenquotient von f bei Änderung von x um h.
Der Differenzenquotient ist gleich der Steigung der Senkanten durch die Punkte P 0 =
(x, f (x)) und P 1 = (x + h, f (x + h)).
89
Kapitel 5 Differentialrechnung einer Funktion in einer Veränderlichen
90
Abbildung 5.1: Grafische Darstellung des Differenzenquotienten
Lassen wir jetzt h gegen 0 gehen, d.h. P 0 gegen P 1, so entsteht aus der Sekanten eine
Tangente und aus dem Anstieg der Sekanten wird der Anstieg der Tangenten, den wir als
Differentialquotienten oder 1.Ableitung von f an der Stelle x bezeichnen.
Definition 5.2 Die Größe
f (x + h) − f (x)
df
(x) = lim
h→0
dx
h
heißt Differentialquotient bzw. 1. Ableitung von f an der Stelle x.
Definition 5.3 Eine Funktion y = f (x) heißt an der Stelle x = x0 differenzierbar, wenn
der Grenzwert:
∆y
f (x0 + ∆x) − f (x0 )
lim
= lim
∆x→0 ∆x
∆x→0
∆x
vorhanden ist. Man bezeichnet ihn als erste Ableitung von y = f (x) an der Stelle x = x0
oder als Differentialquotient an der Stelle x = x0 und schreibt:
y 0 (x0 ) , f 0 (x0 ) oder
dy
|x=x0
dx
Kapitel 5 Differentialrechnung einer Funktion in einer Veränderlichen
91
5.2 Zusammenhang zwischen Differenzierbarkeit und
Stetigkeit
5.3
Ableitungen elementarer Funktionen
Betrachten wir ein Beispiel. Sei die Funktion y = f (x) = x2 gegeben.
Gesucht sei die Steigung der Tangente an diese Funktion in einem Kurvenpunkt P x0 /x20 .
Dazu müssen wir den Differenzenquotienten
0 gehen lassen.
∆f
∆x
berechnen und anschließend h = ∆x gegen
Wir wählen also einen
zweiten Kurvenpunkt
Q , der sich von P durch Zugabe von ∆x
2
unterscheidet d.h., Q x0 + ∆x/ (x0 + ∆x) .
Abbildung 5.2: Grafische Darstellung des Differenzenquotienten in P für die Parabel y = x2
Die durch P und Q verlaufende Sekante hat die Steigung:
f (x0 + ∆x) − f (x0 )
∆f
=
∆x
∆x
2
(x0 + ∆x) − (x0 )2
=
∆x
2
2
(x0 ) + 20 · ∆x + (∆x) − (x0 )2
=
∆x
∆x · (2 · x0 + ∆x)
=
∆x
= 2 · x0 + ∆x
Die Steigung der Tangente an diese Funktion im Kurvenpunkt P x0 /(x0 )2 erhalten wir,
indem wir im Differenzenquotienten ∆f
∆x h = ∆x gegen 0 gehen lassen; wir erhalten:
Kapitel 5 Differentialrechnung einer Funktion in einer Veränderlichen
f 0 (x0 ) =
df
lim ∆f
dx |x=x0 = ∆x→0
∆x
92
= lim (2 · x0 + ∆x) = 2 · x0 .
∆x→0
Die Kurventangente an f (x) = x2 besitzt also an der Stelle x = x0 bzw. im Punkt
P (x0 /f (x0 )), die Steigung 2 · x0 .
Und dieses Ergebnis gilt allgemein, d.h. für jeden beliebigen Wert von x0 .
Wir können uns also merken: für die Funktion f (x) = x2 gilt stets f 0 (x) = 2 · x.
Abbildung 5.3: Grafische Darstellung des Differentialquotienten in P für die Parabel y = x2
Diese Grenzwert - Untersuchungen wurden bereits für elementare Funktionen durchgeführt,
die Ergebnisse findet man in Formelsammlungen tabelliert.
Die Ableitungen einiger elementarer Funktionen
Funktion f (x)
Ableitung: f 0 (x)
Konstante Funktion
c = const.
0
n−1
Potenzfunktion
xn , (n ∈ R) n · xq
(Potenzregel)
√
1
1
1
n
n
Wurzelfunktionen
x = xn
n ·
xn−1
Trigonometr. Funktionen sin x
cos x
cos x
− sin x
Exponentialfunktionen
ex
ex
1
Logarithmusfunktionen
ln x
x
5.4
Ableitungsregeln für zusammengesetzte Funktionen
Wir kennen nun die Ableitungen einiger elementarer Funktionen, wie f (x) = ex , f (x) =
sin(x) usw..
Welche Ableitung besitzen nun aus diesen zusammengesetzte Funktionen wie zum Beispiel
f (x) = 3 · ex +
4·sin(x)+5
cos(x)
− 5 · ln(2x4 ).
Kapitel 5 Differentialrechnung einer Funktion in einer Veränderlichen
93
Wir werden im Folgenden sehen, dass wir für zusammengesetzte Funktionen den Grenzwert
des Differenzenquotienten nicht mehr ’zu Fuß’ berechnen müssen, sondern dass wir Ableitungsregeln anwenden können. Diese ergeben sich unmittelbar aus den Grenzwertsätzen für
Funktionen.
Folgende Tabelle zeigt eine Zusammenfassung dieser Regeln.
Im Anschluss werden wir einige davon genauer betrachten.
Wichtige Ableitungsregeln für zusammengesetzte Funktionen:
Funktion f (x)
Ableitung: f 0 (x)
Faktorregel
y = c · f (x)
y 0 = c · f 0 (x) , c: konstant
p
0
Wurzelfunktionen
y = f (x)
y 0 = f√(x)
2·
f (x)
Quotientenregel
Kettenregel
xn , (n ∈ R)
y = f1 (x) + f2 (x) + . . .
y = u (x) · v (x)
y =u·v·w
y = u(x)
v(x)
y = F (u (x)) = f (x)
Umkehrfunktion
y = f (x) ⇔ x = g (y)
n · xn−1 (Potenzregel)
y 0 = f10 (x) + f20 (x) + . . .
y 0 = u0 (x) · v (x) + u (x) · v 0 (x)
y 0 = u0 vw + uv 0 w + uvw0
0
0
(x)
y 0 = v(x)·u (x)−u(x)·v
v2
dy
dy du
y 0 = dx
= du
· dx
äußere Abl. mal innere Abl.
1
g 0 (y) = f 01(x) ⇔ dx
dy = dy
Logarithmische Differentiation
y = ax
y 0 = (ln a) · ax
Potenzregel
Summenregel
Produktregel
5.4.1
dx
Die Summen- und Faktorregel
Satz 5.1 Die Summen- und Faktorregel (Linearität der Ableitung).
Voraussetzung:
Seien f (x) und g(x) in x = xo differenzierbar, d.h. es existieren die Grenzwerte
f 0 (xo ) = limx→xo
f (xo +h)−f (xo )
h
und g 0 (xo ) = limx→xo
g(xo +h)−g(xo )
.
h
Behauptung:
Dann gilt für beliebige reelle Zahlen a, b ∈ R und h(x) = af (x) + bg(x) :
h(xo )0 = (af (xo ) + bg(xo ))0 = af 0 (xo ) + bg 0 /xo ).
.... Beweis... (fehlt noch, siehe Papula)
Als Spezialfall dieses Satzes erhalten wir (für b = 0) die Faktorregel:
(a · f (x))0 = a · f 0 (x)
Natürlich können wir nach dieser Linearitätsregel auch mehr als die Summe zweier Funktionen ableiten.
Beispiel zur Linearität der Ableitung.
Nach diesem Satz gilt:
h0 (x)
= (4x3 + 3 · ex + 5cos(x) − 5 · ln(x))0
= (4x3 + 3 · ex )0 + (5cos(x) − 5 · ln(x))0
= 4(x3 )0 + 3 · (ex )0 + 5(cos(x))0 − 5 · (ln(x))0
= 4 · 3 · x2 + 3 · ex − 5 · sin(x) − 5 · x1
Kapitel 5 Differentialrechnung einer Funktion in einer Veränderlichen
5.4.2
94
Die Produktregel
Satz 5.2 (Die Produktregel)
Voraussetzung:
Seien f (x) und g(x) in x = xo differenzierbar, d.h. es existieren die Grenzwerte
f 0 (xo ) = limx→xo
f (xo +h)−f (xo )
h
und g 0 (xo ) = limx→xo
g(xo +h)−g(xo )
.
h
Behauptung:
Dann gilt für h(x) = f (x) · g(x) :
h(xo )0 = (f (xo ) · g(xo ))0 = f 0 (xo ) · g(xo ) + f (xo ) · g 0 /xo ).
.... Beweis... (fehlt noch, siehe Papula)
Natürlich können wir nach dieser Produktregel auch das Produkt von mehr als 2 Funktionen
ableiten.
Beispiel zur Produktregel.
Nach diesem Satz gilt:
h0 (x)
5.4.3
=
=
=
=
=
=
(4x3 · ex · 5ln(x))0
20(x3 · ex · ln(x))0
20(x3 · ex )0 · ln(x) + 20(x3 · ex ) · (ln(x))0
20[(x3 )0 · ex + x3 · (ex )0 ] · ln(x) + 20(x3 · ex ) ·
20(3x2 · ex + x3 · ex ) · ln(x) + 20 · x2 · ex
20 · x2 · ex · ((3 + x) · ln(x) + 1)
1
x
Die Quotientenregel
Satz 5.3 (Die Quotientenregel)
Voraussetzung:
Seien f (x) und g(x) in x = xo differenzierbar, d.h. es existieren die Grenzwerte
f 0 (xo ) = limx→xo
Behauptung:
Dann gilt für h(x) =
f (x)
g(x)
f (xo +h)−f (xo )
h
.... Beweis... Als Hausaufgabe vergeben
Beispiel zur Quotienregel.
Nach diesem Satz gilt:
=
=
=
3
x
+e 0
( 4xln(x)
)
g(xo +h)−g(xo )
.
h
:
(xo ) 0
) =
h(xo )0 = ( fg(x
o)
h0 (x)
und g 0 (xo ) = limx→xo
(4x3 +ex )0 ·ln(x)−(4x3 +ex )·(ln(x))0
(ln(x))2
x
(12x2 +ex )·ln(x)−(4x2 + ex )
(ln(x))2
f 0 (xo )·g(xo )−f (xo )·g 0 (xo )
.
(g(xo ))2
Kapitel 5 Differentialrechnung einer Funktion in einer Veränderlichen
5.4.4
95
Die Kettenregel
Satz und Beweis ...(fehlt noch) (siehe Papula)
Beispiel zur Kettenregel.
Wir wollen die Funktion
q
y = h(x) =
3
(x2 − 4x + 10)
2
ableiten. Diese kann man wie folgt in eine innere und die äußere Funktion zerlegen:
h(x) = f (u(x)) mit:
innere Funktion: u (x) = x2 − 4x + 10
2
äußere Funktion f (u) = u 3
Die Ableitungen dieser Funktionen und von h nach der Kettenregel zeigt folegende Tabelle:
innere Funktion
Ableitungen:
Ergebnis:
5.4.5
2
u (x) = x2 − 4x + 10 und äußere Funktion y = f (u) = u 3
1
dy
u0 = du
f 0 (u) = du
= 23 u− 3
dx = 2x − 4
2
dy
dy du
4x−8
y 0 = dx
= du
· dx = 32 u− 3 · (2x − 4) = 3· √
3 2
x −4x+10
Die Ableitung einer Umkehrfunktion
Sei die Ableitung der Funktion y = f (x) nach x gesucht.
Angenommen wir kennen die Umkehrfunktion f −1 (y) = g(y) = x von f (x) und auch ihre
Ableitung g 0 (y) nach y.
Dann kann man wie folgt vorgehen. Es gilt:
1=
dy
dy
=
=
df (x)
dy
df (x)
dx
= df (g(y))
dy
· dg(y)
dy (nach Kettenregel)
Beispiel zur Ableitung einer Umkehrfunktion.
Wir suchen die Ableitung der Funktion y = f (x) = arctan(x).
Die Umkehrfunktion dieser Funktion ist x = g(y) = tan y.
Die Ableitung der Umkehrfunktion ist g 0 (y) = cos12 (y) = 1 + tan2 (y).
An der Stelle y = arctan(x) ist die Ableitung der Umkehrfunktion gleich
g 0 (y) = 1 + tan2 (y) = 1 + tan2 (arctan(x)) = 1 + x2 .
Damit erhalten wir nach o.g. Regel das Ergebnis:
(arctan(x))0 = y 0 =
5.4.6
1
g 0 (y)
=
1
1+tan2 (y)
=
1
1+x2
Logarithmische Differentiation
Wir wissen, dass nach Potenzregel gilt: (xn )0 = n · x(n−1) .
Kapitel 5 Differentialrechnung einer Funktion in einer Veränderlichen
96
Manchmal müssen wir Funktionen der Form h(x) = f (x)g(x) ableiten. Im Unterschied zur
obigen Potenzfunktion ist nun der Exponent von x abhängig, d.h. keine Konstante mehr.
Deshalb <b>gilt nicht:</b> (f (x)g(x) )0 = g(x) · f (x)g(x)−1 !
Wir können aber wie folgt vorgehen. Diesen Weg nennt man logarithmische Differentiation.
Es gilt:
f (x)g(x) = eln(f (x)
g(x)
= eg(x)·ln(f (x))
und folglich ist nach Kettenregel
(f (x)g(x) )0
g(x)
= eln(f (x)
· (g(x) · ln(f (x))0
g(x)
= (f (x)
) · (g(x) · ln(f (x))0
Den Term (g(x) · ln(f (x)) leiten wir nun nach der Produktregel ab.
Beispiel für die logarithmische Differentiation.
Wir suchen die Ableitung der Funktion h(x) = (x + 1)x . Hier ist f (x) = x + 1 und g(x) = x.
Und folglich ist:
((x + 1)x )0 = (x + 1)x · (x · ln((x + 1))0
Nach Produktregel gilt:
(x · ln((x + 1))0 = ln(x + 1) +
x
x+1
Daraus ergibt sich das Ergebnis:
((x + 1)x )0 = (x + 1)x · (ln(x + 1) +
5.4.7
x
x+1 )
Ableitungstraining
Aufgabe 5.1 Es sind die Ableitungsfunktionen der folgenden Funktionen zu bilden:
√
1
3x2 + x
√
(b) y = x2 · 3x − 1
(e) y = 24 · e 2 x
(c) y = sin (ωx − π)
(f) y = (2x + 1) e−x
(a) y =
(d) y = sin2 (ωx)
Aufgabe 5.2 Differenzieren Sie folgende Ausdrücke:
(a) y =
(b) y =
(c) y =
p√
3
1
√
3 2
x
1
√
3 x
x
(d) y =
(e) y =
√
2
x
3x +
−
√
3
1
x3
Aufgabe 5.3 Differenzieren Sie folgende Ausdrücke:
2x
2
Kapitel 5 Differentialrechnung einer Funktion in einer Veränderlichen
(a) y =
(b) y =
x−2
x2 −2x−3
√
x
x2 +4x+1
(c) y =
√
x+√ x
1− x
(d) y =
1−x
√
1+ x
97
Aufgabe 5.4 Differenzieren Sie folgende Ausdrücke:
(a) y = ln x1
√
(b) y = x · ln (4x)
x
(c) y = x·ln(x)
(d) y = ln (4x − 1)
(e) y =
√
1−x
Aufgabe 5.5 Differenzieren Sie folgende Ausdrücke:
√
1 − x2
p
(b) y = ln (x)
√
(c) y = ln ( x)
(a) y =
(d) y =
√x+1
1+x2
(e) y =
p
(f) y = √
sin (x)
1
cos(x)
Aufgabe 5.6 Differenzieren Sie folgende Ausdrücke:
(a) y =
x
sin(x)
√
(b) y = tan x
(c) y =
ln(x)
tan(x)
(d) y = cos 1 − x2
Aufgabe 5.7 Differenzieren Sie folgende Ausdrücke:
(a) y = e−2x · sin (3x)
(b) y =
ln(x)
ex
Aufgabe 5.8
Ableitungstrainer!
MathCoach-Aufgabe: Üben Sie die Ableitungsregeln!
5.5 Untersuchung von Funktionen mit Hilfe der Differentialrechnung
Bei der Untersuchung von Funktionen gibt es einige typische Eigenschaften, die wichtige
Informationen über den Verlauf des Graphen einer Funktion geben und die sich relativ einfach
mit Hilfe der Ableitungen der Funktion bestimmen lassen.
Nachfolgend sind einige dieser Eigenschaften beschrieben und an Beispielen erläutert.
Kapitel 5 Differentialrechnung einer Funktion in einer Veränderlichen
5.5.1
98
Die Monotonie einer Funktion und ihre 1. Ableitung
Definition 5.4 Wir nennen eine Funktion f (x), x ∈ D auf einer Menge
1. Monoton wachsend (m.w.) auf M, falls für alle x1 , x2 ∈ A gilt:
2. Streng monoton wachsend (s.m.w.) auf M, falls für alle x1 , x2 ∈ A gilt:
3. Monoton fallend (m.wf ) auf M, falls für alle x1 , x2 ∈ A gilt:
4. Streng monoton fallend (s.m.f.) auf M, falls für alle x1 , x2 ∈ A gilt:
M subseqD
x1 < tx2 ⇒ f (x1 ) ≤ f (x2 )
x1 < x2 ⇒ f (x1 ) < f (x2 )
x1 < x2 ⇒ f (x1 ) ≥ f (x2 )
x1 < x2 ⇒ f (x1 ) > f (x2 )
Im Intervall M1 ist die Funktion streng monoton steigend, in M2 ist die Funktion konstant
und in M3 ist sie wieder streng monoton steigend. Über alle drei Intervalle gesehen ist die
Funktion monoton wachsend.
Wie kann man möglichst einfach und zuverlässig bei einer gegebenen Funktionsgleichung die
Abschnitte der Funktion bestimmen, bei denen sie m.w. oder m.f. ist?
Die 1. Ableitung der Funktion kann hier weiterhelfen. Schauen wir uns folgende Abbbildung
an.
Wir sehen, ist f (x) streng monoton steigend in einem offenen Intervall M 1, so
Intervall nur positive Steigungen der Tangenten; d.h. die 1. Ableitung von f (x)
x ∈ M 1 immer größer Null.
Umgekehrt, ist f (x) streng monoton fallend in einem offenen Intervall M 3, so
Intervall nur negative Steigungen der Tangenten; d.h. die 1. Ableitung von f (x)
x ∈ M 2 immer kleiner Null.
Ist f (x) konstant, wie im Intervall M 2, so ist ihre 1. Ableitung gleich 0.
gibt es im
ist für alle
gibt es im
ist für alle
Satz 5.4 (Monotonie und erste Ableitung)
Sei f (x), x ∈ M auf einer Menge M R definiert und differenzierbar. Dann gilt: f (x) ist
1. Monoton wachsend (m.w.) auf M
⇔ für alle x ∈ M gilt: f 0 (x) ≥ 0
2. Streng Monoton wachsend (s.m.w.) auf M ⇔ für alle x ∈ M gilt: f 0 (x) > 0
3. Monoton fallend (m.f.) auf M
⇔ für alle x ∈ M gilt: f 0 (x) ≤ 0
4. Streng Monoton fallend (s.m.f.) auf M
⇔ für alle x ∈ M gilt: f 0 (x) < 0
Beispiel Beispiel.
Untersuchen Sie, in welchen Bereichen aus R die Funktion
Kapitel 5 Differentialrechnung einer Funktion in einer Veränderlichen
99
2
f (x) = − (x − 3)
streng monoton wachsend und streng monoton fallen ist!
Die erste Ableitung von f (x) ist f 0 (x) = −2x + 6.
Daraus folgt wegen
f 0 (x) > 0 ⇔ −2x + 6 > 0 ⇔ x > 3,
f 0 (x) < 0 ⇔ −2x + 6 < 0 ⇔ x > 3,
f 0 (x) = 0 ⇔ −2x + 6 = 0 ⇔ x = 3,
folgendes Ergebnis
f (x) ist s.m.w. auf R
f (x) ist s.m.f. auf R
5.5.2
⇔
⇔
für alle x > 3.
für alle x < 3.
Krümmungsverhalten, Wende- und Sattelpunkte
Das Krümmungsverhalten einer Funktion kann man sich gut veranschaulichen. Anschaulich
kann linksgekrümmte Bereiche gut von rechtsgekrümmten Bereichen unterscheiden. Dazu
stellt man sich den Graph der Funktion als eine Straße vor, die man immer von links nach
rechts durchfährt. Bei einer Linkskrümmung steuert man nach links in die Kurve, bei einer
Rechtskrümmung nach rechts. Den Punkt P, bei dem sich das Krümmungsverhalten ändert,
bezeichnet man als Wendepunkt.
Im Bild ist der Graph einer ganzrationalen Funktion dargestellt:
f (x) = 0, 125x3 − 0, 375x2
− 1, 125x + 2, 375
Mathematisch exakt wird die Krümmung wie folgt definiert.
Definition 5.5 (Konvex und Konkav).
Sei f (x), x ∈ D eine reellwertige Funktion. Weiterhin sei für je 2 Punkte
P1 = (x1 , f (x1 )), P2 = (x2 , f (x2 ))gxx12 (x) die Gerade durch die beiden Punkte. Die
Funktion f (x), x ∈ D heißt auf einer Menge M subseqD
1. rechtsgekrümmt bzw. konkav,
2. linksgekrümmt bzw. konvex,
falls für alle x1 , x2 ∈ M, gilt:
[
gx1 x2 (x) < f (x) für alle x mit x1 < x < x2
falls für alle x1 , x2 ∈ M, gilt:
[
gx1 x2 (x) > f (x) für alle x mit x1 < x < x2
Punkte P ∈ D, in denen das Krümmungsverhalten der Funktion wechselt, bezeichnet man
als Wendepunkte.
Einen Wendepunkt P = (xo , f (xo )) mit wagerechter Tangente, d.h. mit f 0 (xo ) = 0, heißt
Sattelpunkt.
Wie im Fall der Monotonie, kann man das Krümmungsverhalten mit Hilfe der Ableitungen
bestimmen. Betrachten wir dazu die folgende Abbildung.
Kapitel 5 Differentialrechnung einer Funktion in einer Veränderlichen
100
Dieses Bild zeigt die Darstellung von f und der
1. Ableitungen.
Wir können daran die Gültigkeit des folgenden Satzes erkennen.
Satz 5.5 (Krümmungsverhalten).
Sei f (x), x ∈ M auf einer Menge M R definiert und 2 mal differenzierbar. Dann gilt: f (x) ist
1. Rechtsgekrümt bzw. konkav auf M ⇔ für alle x ∈ M ist f 0 (x) monoton wachsend
⇔ für alle x ∈ M ist f 0 (x) ≥ 0
2. Linksgekrümt bzw. konvex auf M
⇔ für alle x ∈ M ist f 0 (x) monoton fallend
⇔ für alle x ∈ M ist f 0 (x) ≤ 0
Beispiel. Sei
f (x) = 2x4 − 8x3 + 9x2 −
27
8
Wir wollen von dieser Funktion:
(a) die Intervalle in denen die Funktion rechts- bzw. linksgekrümmt ist,
(b) und die Wendepunkte
bestimmen.
Zur Untersuchung benötigt man die 2. Ableitung der Funktion:
f 0 (x) = 8x3 − 24x2 + 18x
f 00 (x) = 24x2 − 48x + 18
Faktorisieren der 2. Ableitung: f 00 (x) = 24 x − 23 · x − 12
Die Darstellung im Vorzeichendiagramm liefert:
Die Nullstellen der 2. Ableitung liegen damit bei. x = 32 und x = 12 . An diesen x–Werten
liegt jeweils ein Wendepunkt vor, weil sich das Krümmungsverhalten dort ändert.
Es liegt eine Linkskrümmung
in denen die 2. Ableitung größer gleich
vor in den Intervallen,
Null ist, also in I1 = −∞; 12 und in I2 = 23 ; ∞ .
Die Wendepunkte liegen in W1 23 /0
W2 12 / − 2
Auch ohne Darstellung des Vorzeichendiagramms sieht man der faktorisierten Funktionsgleichung direkt an, dass für beide Werte ein Vorzeichenwechsel stattfindet und damit ein
Krümmungswechsel.
Kapitel 5 Differentialrechnung einer Funktion in einer Veränderlichen
5.5.3
101
Extremwerte
Definition 5.6 (Extremwerte).
Sei f (x), x ∈ D eine reellwertige Funktion. Sei xo ∈ D und U (xo ) = (xo − , xo + ) ⊂ D
mit > 0 eine-Umgebung von xo .
Dann heißt xo ∈ D
1. lokales Minimum von f (x)
falls für alle
f (xo ) ≤ f (x)
2. lokales Maximum von f (x)
falls für alle
f (xo ) ≥ f (x)
3. globales Minimum von f (x) falls für alle
f (xo ) ≤ f (x)
4. globales Maximum von f (x) falls für alle
f (xo ) ≥ f (x)
x ∈ U (xo ) gilt:
x ∈ U (xo ) gilt:
x ∈ D gilt:
x ∈ D gilt:
Die Funktion besitzt an den Stellen x1 und x2
eine waagerechte Tangente.
In einem lokalen Extremwert von f (x) ist die Steigung der Tangenten an f stets Null.
Satz 5.6 (notwendige Bedingung für einen Extremwert)
Besitzt f (x) in xo einen lokalen Extremwert, so ist f 0 (xo ) = 0.
Die Umkehrung dieses Satzes gilt allerdings nicht. Es kann auch Stellen im Definitionsbereich einer Funktion geben, bei denen die Steigung Null ist, aber trotzdem kein lokaler
Extremwert, sondern ein Sattelpunkt vorliegt.
In x0 = 3 besitzt die Funktion f (x) = (x−3)3 +2
zwar eine waagerechte Tangente, aber es gibt dort
weder Maximum noch Minimum.
Es gilt folgender Satz.
Satz 5.7 (Hinreichende Bedingung für lokale Extremwerte) Sei f (x), x ∈ M auf einer Menge
M R definiert und n+1 mal differenzierbar. Sei xo ∈ M und f (v) (xo ) die v.te Ableitung von f
in xo . Sei weiterhin f (xo ) = 0 und f (v) (xo ) = 0 für v = 1, ..., n und f (n+1) (xo ) 6= 0.
Behauptung:
Kapitel 5 Differentialrechnung einer Funktion in einer Veränderlichen
102
Ist n gerade, so ist xo ein Sattelpunkt von f (x).
Ist n ungerade, so ist xo ein lokales Extremum von f (x). Für f (n+1) (xo ) > 0 ist xo ein lokales
Minimum, für f (n+1) (xo ) < 0 ist xo ein lokales Maximum von f (x).
Beispiel.
Sei
f (x) = 2x4 − 8x3 + 9x2 −
27
8
Wir wollen von dieser Funktion alle:
(a) lokalen und globalen Extremstellen
(b) und alle und Sattelpunkte
bestimmen.
Die 1. und 2. Ableitung ist:
f 0 (x) = 8x3 − 24x2 + 18x
f 00 (x) = 24x2 − 48x + 18.
Faktorisieren der 1. Ableitung durch Ausklammern von x führt zu: f 0 (x) = 8x · x −
Waagerechte Tangenten gibt es bei den Nullstellen der 1. Ableitung, also bei x1 =
und x2 = 0.
3
2
3 2
2
.
= 1, 5
Dies sind also die möglichen Extremstellen. Diese können allerdings auch Sattelpunkte sein.
Um das auszuschließen, betrachten wir die 2. Ableitung an den beiden Stellen.
An der Stelle x2 = 0 ergibt sich: f 00 (0) = 18 > 0. Das bedeutet, x2 ist ein lokales Minimum
von f (x).
An der Stelle x1 = 1, 5 ergibt sich: f 00 (1, 5) = 0.
Das bedeutet, dass wir die 3. Ableitung von f (x) an dieser Stelle untersuchen müssen.
Es ist f 000 (x) = 48x − 48 und folglich f 000 (1, 5) > 0. Demnach ist x1 ein Sattelpunkt von f (x).
Da x2 das einzige lokale Minimum von f (x) ist, ist x2 globales Minimum von f (x).
5.5.4
Aufgaben
Aufgabe 5.9 Zusammenhang Monotonie / Extremwerte und 1. Ableitung.
Aufgabe 5.10 Bestimmen Sie von den nachfolgenden Funktionen die Monotonieintervalle, die Extremwerte und die Intervalle mit gleicher Krümmung. Verwenden Sie bitte
dazu die Vorzeichendiagramme.
(a) f : f (x) = 3x3 − 2x2 − x
(b) f (x) =
1 4
12 x
−
1 3
6x
−x
2
(c) f (x) = x3 − 3x2 + 4
(d) f (x) = 61 x3 + x 5x2 − 21 x + 11
x
Aufgabe 5.11 Die Funktion f : x 7→ 2 eex −4
+4 ist auf ganzem Körper der reellen
Zahlen definiert.
(a) Berechnen Sie die Koordinaten des Schnittpunkts S von dem Graph der Funktion mit
der y–Achse. Bestimmen Sie rechnerisch das Verhalten von f für unendliche x.
(b) Untersuchen Sie das Monotonieverhalten von f mit Hilfe der ersten Ableitung.
Kapitel 5 Differentialrechnung einer Funktion in einer Veränderlichen
103
Aufgabe 5.12 Die Konsumausgaben C (Y ) (in / Monat) eines Haushaltes hängen
vom Haushaltseinkommen Y (in / Monat) in folgender Weise ab:
C (Y ) = 10000 ·
Y + 900
Y + 9000
(a) Ermitteln Sie für ein monatliches Einkommen von 2.000 die zugehörige marginale Konsumquote und geben die ökonomische Interpretation des Ergebnisses an!
(b) Wie verhält sich die marginale Konsumquote bei wachsendem Einkommen? Und die
Konsumausgaben?
(c) Wie viel wird bei einem monatlichen Einkommen von 2000 für jeden zusätzlich einkommenden Euro gespart?
Sparfunktion: S = S (Y ) = Y − C (Y )
Aufgabe 5.13 Ein Unternehmen produziert ein Gut gemäß folgender Produktionsfunktion:
x (r) = −0, 1r3 + 6r2 + 12, 3r
wobei x der Ertrag (Output) in Mengeneinheiten (ME) ist und r der Input (z.B. Arbeitskräfte,
Rohstoffe, Hilfsstoffe, . . . ), ebenfalls angegeben in ME. Pro Referenzperiode stehen maximal
36 ME vom Produktionfaktor (=Input) r zur Verfügung.
(a) Für welchen Input ist der Ertrag maximal?
(b) Für welchen Input erfolgt der Übergang von wachsenden zu fallenden Grenzerträgen
(„Schwelle des Ertragsgesetzes“)?
(c) Wo wird der Durchschnittsertrag maximal?
Aufgabe 5.14
Zusammenhang Monotonie / Extremwerte und 1. Ableitung.
5.6
Kurvendiskussion
Somit haben wir nun sämtliche Möglichkeiten kennen gelernt, um eine unbekannte Funktion
möglichst schnell und effizient zu charakterisieren, um sie letztendlich zeichnen zu können.
Hierbei bietet sich folgendes Schema an, welches im Anschluss am Beispiel der ganzrationalen
Funktion f (x) = x2 + 5x + 6 vorgestellt wird.
Kapitel 5 Differentialrechnung einer Funktion in einer Veränderlichen
104
Diskussionschema
1. (maximale) Definitionsmenge
Bei ganzrationalen Funktionen ist dies R, bei gebrochen rationalen, Wurzel- und Logarithmusfunktionen müssen nicht definierte Bereiche ausgeklammert werden.
2. Nullstellen der Funktion
Wie eingeübt wird der Funktionsterm faktorisiert, so dass die Nullstellen direkt ablesbar
sind.
3. 1. und 2. Ableitung bestimmen
Üblicherweise bildet man direkt am Anfang beide Ableitungen, um sich im Anschluss
auf die Analyse konzentrieren zu können.
4. Extremstellen bestimmen und Funktionswert ausrechnen
Die Nullstellen der 1. Ableitung sind die möglichen Extremstellen. Die tatsächlichen
Extremstellen erhält man über eine Vorzeichentabelle oder dem Einsetzen der möglichen
Stellen in die 2. Ableitung.
5. Montonieintervalle
Die Monotonieintervalle kann man aus der Vorzeichentabelle direkt ablesen.
6. Wendepunkte bestimmen
Die Nullstellen der 2. Ableitung sind die möglichen Wendestellen. Die tatsächlichen
Wendestellen erhält man über eine Vorzeichentabelle oder dem Einsetzen der möglichen
Stellen in die 3. Ableitung.
7. Krümmungsintervalle
Die Krümmungsintervalle lassen sich aus dieser Vorzeichentabelle ablesen.
8. (herkömmliche) Symmetrie
Es gibt zwei herkömmliche Symmetrien: Symmetrie zur y–Achse: f (x) = f (−x) und
Symmetrie zum Ursprung: f (x) = −f (−x). Diese kann man entweder einfach nachrechnen oder auch häufig aufgrund vorher herausgefundener Eigenschaften ausschließen. So
schließen eine unsymmetrische Defintionsmenge sowie unsymmetrische Null–, Extrem–
oder Wendestellen herkömmliche Symmetrie von Beginn an aus.
9. Grenzwerte bilden
Die Grenzwerte werden an den Grenzen des Definitionsbereiches gebildet.
10. Skizze der Funktion
Die erhaltenen Punkte (Nullstelle, Extrem- und Wendestellen) werden in das Koordinatensystem gezeichnet und können aufgrund der weiteren Informationen durch den
Funktionsgraphen verbunden werden.
Beispiel: f (x) = x2 + 5x + 6
(a) Definitionsmenge: Dmax = R
(b) Nullstellen:
f (x) = 0
2
⇔ x + 5x + 6 = 0
⇔ (x + 3) (x + 2) = 0
⇔ x = −3 ∨ x = −2
(c) Ableitungen:
f 0 (x) = 2x + 5
f 00 (x) = 2
Kapitel 5 Differentialrechnung einer Funktion in einer Veränderlichen
(d) Extremstellen: Tabelle:
f 0 (x) = 0
2x + 5 = 0
x = −2, 5
x
f 0 (x)
f (x)
(−4)
−
mo. fa.
−2, 5
0
TP
105
(0)
+
mo. wa.
(e) Monotonie:
f ist auf ]−∞; −2, 5] streng monoton fallend
f ist auf [−2, 5; ∞[ streng monoton wachsend
(f) Wendepunkte:
f 00 (x) = 2 6= 0
Also existieren keine Wendepunkte, da schon die notwendige Bedingung nicht erfüllt ist.
(g) Krümmung:
f 00 (x) = 2 > 0
Somit ist die Funktion auf ganz R linksgekrümmt.
(h) einfache Symmetrie:
keine, z.B. wegen unsymmetrischer Nullstellen −2 und −3
(i) Grenzwerte:
lim f (x) = lim x2 + 5x + 6 = +∞
x→∞
x→∞
lim f (x) = lim x2 + 5x + 6 = +∞
x→−∞
x→∞
(j) Skizze:
Aufgabe 5.15 f : x 7→
x2 −3
x2 −9 .
Geben Sie den maximalen Definitionsbereich der
Funktion f , die Nullstellen von f und das Symmetrieverhalten von dem Graphen der Funktion
f an.
Aufgabe 5.16 Die Investitionsfunktion einer Wohnungsbaugesellschaft beschreibt den Zusammenhang zwischen dem (effektiven) Kapitalmarktzinssatz i (z.B. i = 0, 02
entspricht 2% p.a.) und den Investitionsausgeben I (i) für den Wohnungsbau (in Mio. / Jahr):
I = I (i) =
5000
250 · i + 1
D = {i ∈ R : 0 ≤ i ≤ 1} = [0; 1]
Bestimmen Sie die Nullstellen, Polstellen, Funktionswerte an den Rändern von D, lokale
Extremstellen, Monotoniebereiche, Wendepunkte und das Krümmungsverhalten. Zeichnen
Sie den Funktionsgraph.
Kapitel 5 Differentialrechnung einer Funktion in einer Veränderlichen
106
Aufgabe 5.17 Gegeben sei die folgende Preis–Absatz–Funktion für ein Gut (p:
Preis in GE/ME, p > 0 und x: Menge in ME).
(
180 − 2x , 0 ≤ x ≤ 60
p (x) =
78 − 0, 3x , x > 60
Die Gesamtkostenfunktion lautet: K (x) = 15x + 3000
(a) Ermitteln Sie die Gewinnfunktion.
(b) Analysieren Sie die Gewinnfunktion (Kurvendiskussion)!
Aufgabe 5.18 Die XYZ GmbH möchte ihr neues Produkt — ein Waschmittel —
vermarkten. Pro 100 kg, die abgesetzt werden, erzielt die Firma einen Erlös von 10 . Die
Firma möchte eine aufwändige Werbekampagne starten, die einmalig Fixkosten in Höhe von
10.000 verursacht und zusätzlich pro Werbetag 20.000 kostet.
Die kumulierte Absatzmenge x (in 100 kg) des neuen Waschmittels hängt von der Laufzeit t (in Tagen) der Werbekampagne ab und wird durch folgende funktionale Beziehung
beschrieben:
x = x (t) = 100000 · 1 − e−0,1t
,t ≥ 0
(a) Ermitteln Sie die Gewinnfunktion für das neue Produkt in Abhängigkeit von der Laufzeit
der Werbekampagne.
(b) Analysieren Sie die Gewinnfunktion (Kurvendiskussion)!
Hinweis: G (t) = 0 ⇔ t = 49, 13 und t = 0, 126
5.7 Berechnung von Grenzwerten mit Hilfe der Differentialrechnung
Literaturverzeichnis
[Pap01] L.Papula.
Mathematik für Ingenieure.
schweig/Wiesbaden, Band 2, 2010.
107
Friedr. Vieweg und Sohn, Braun-