Analysis - Prof. Dr.-Ing. Katina Warendorf

Hochschule München
Fakultät 03
Skript zur Vorlesung
Mathematik I: Analysis
Prof. Dr.-Ing. Katina Warendorf
15. Dezember 2014
Erstversion erstellt von Sindy Engel
erweitert von Prof. Dr.-Ing. Katina Warendorf
Inhaltsverzeichnis
1 Mengen
1.1 Begriffe . . . . . . . . . . . .
1.1.1 Mengenrelationen . . .
1.1.2 Operationen . . . . . .
1.2 Spezielle Mengen . . . . . . .
1.3 Menge der reellen Zahlen . . .
1.4 Darstellung und Eigenschaften
1.4.1 Anordnung der Zahlen
1.4.2 Intervalle . . . . . . .
1.5 Beschränktheit von Mengen .
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4
4
4
5
5
5
6
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6
2 Komplexe Zahlen
2.1 Grundbegriffe . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2 Darstellungsformen von komplexen Zahlen . . .
2.2.1 Arithmetische Form . . . . . . . . . . . .
2.2.2 Goniometrische/ Trigonometrische Form
2.2.3 Exponentialform . . . . . . . . . . . . .
2.3 Umrechnungen . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.4 Rechnen mit komplexen Zahlen . . . . . . . . .
2.4.1 Addition und Subtraktion . . . . . . . .
2.4.2 Multiplikation und Division . . . . . . .
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9
9
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3 Reelle Zahlenfolgen
3.1 Definition von Zahlenfolgen . . . . . .
3.1.1 Darstellung . . . . . . . . . . .
3.2 Spezielle Folgen . . . . . . . . . . . . .
3.3 Eigenschaften von Zahlenfolgen . . . .
3.3.1 Konvergenz . . . . . . . . . . .
3.3.2 Beschränktheit und Konvergenz
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4 Funktionen einer Variablen
4.1 Funktionsbegriff . . . . . . . .
4.2 Eigenschaften von Funktionen
4.3 Umkehrfunktion . . . . . . . .
4.4 Verkettete Funktion . . . . . .
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4.5
4.6
Analysis
Stetigkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.5.1 Arten von Unstetigkeitsstellen . . . . . .
Funktionsklassen . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.6.1 Ganzrationale Funktionen . . . . . . . .
4.6.2 Gebrochenrationale Funktionen . . . . .
4.6.3 Wurzelfunktion . . . . . . . . . . . . . .
4.6.4 Exponential- und Logarithmusfunktionen
4.6.5 Trigonometrische Funktionen . . . . . .
4.6.6 Hyperbelfunktionen . . . . . . . . . . . .
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5 Differentialrechnung für Funktionen einer Variablen
5.1 Differentialrechnung . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.1.1 Differential einer Funktion . . . . . . . . . . .
5.1.2 Differentiationsregeln . . . . . . . . . . . . . .
5.1.3 Mittelwertsätze . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.1.4 Regel von l’HOSPITAL . . . . . . . . . . . . .
5.2 Funktionsverhalten und besondere Punkte . . . . . .
5.2.1 Notwendige und hinreichende Bedingung für
Wendepunkte . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.3 Newtoniteration zur Bestimmung von Nullstellen . .
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7 Reihen
7.1 Unendliche Reihe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.1.1 Einführung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.1.2 Konvergenzkriterien . . . . . . . . . . . . . . .
7.2 Potenzreihen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.2.1 Einführung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.2.2 Konvergenz und Eigenschaften von Potenzreihen
7.3 Taylor-Reihen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.3.1 Einführung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.3.2 Entwicklung einer Funktion in eine Potenzreihe
7.3.3 Anwendungen Taylor-Reihe . . . . . . . . . . .
3
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Extremwerte und
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6 Integralrechnung
6.1 Bestimmtes und Unbestimmtes Integral . . . . . . . . . .
6.1.1 Bestimmtes Integral . . . . . . . . . . . . . . . .
6.1.2 Stammfunktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.1.3 Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung
6.1.4 Unbestimmtes Integral . . . . . . . . . . . . . . .
6.2 Integrationsverfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.2.1 Partielle Integration . . . . . . . . . . . . . . . .
6.2.2 Substitution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.2.3 Partialbruchzerlegung . . . . . . . . . . . . . . .
6.2.4 Numerische Integration . . . . . . . . . . . . . . .
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1 Mengen
1.1 Begriffe
Eine Menge M ist eine Zusammenfassung wohlunterscheidbarer Objekte. Die Objekte
heißen Elemente.
x ∈ M : x ist Element in M
x∈
/ M : x ist nicht Element in M
Leere Menge: M = = {}
Beispiel 1.1 Mengen
M1 = {2, 4, 6} aufzählende Form
M2 = {x|(x > 1) ∧ (x < 5)} beschreibende Form
1.1.1 Mengenrelationen
A=B
Gleichheit von 2 Mengen
(A = B) ⇐⇒ (a ∈ A ⇐⇒ a ∈ B)
A⊆B
A ist in B enthalten
(A ⊆ B) ⇐⇒ (a ∈ A ⇒ a ∈ B)
A⊂B
A ist echt in B enthalten
(A ⊂ B) ⇐⇒ (A ⊆ B ∧ ∃ b ∈ B ∧ b ∈
/ A)
1.1.2 Operationen
A∪B
Vereinigung von A u. B
(a ∈ A ∪ B) ⇐⇒ (a ∈ A ∨ a ∈ B)
A∩B
Schnitt von A u. B
(a ∈ A ∩ B) ⇐⇒ (a ∈ A ∧ a ∈ B)
A\B
Differenz von A u. B
Ā
Komplementärmenge
bzgl. einer Grundmenge
M
(a ∈ A\B) ⇐⇒ (a ∈ A ∧ a ∈
/ B)
∀a ∈ M : a ∈ Ā ⇐⇒ (a ∈
/ A)
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Analysis
1.2 Spezielle Mengen
Menge der natürlichen Zahlen: N = {1, 2, 3, 4, . . . }
Menge der ganzen Zahlen: Z = {0, ±1, ±2, ±3, . . . }
Menge der rationalen Zahlen: Q = x|x = ab , a ∈ Z; b ∈ Z\ {0}
x ist ein endlicher oder ein periodischer Dezimalbruch
Menge der reellen Zahlen: R = {x|x = ein Dezimalbruch}
Erweiterung von Q um unendliche, nichtperiodische Dezimalbrüche (π, e, . . . )
Menge der komplexen Zahlen: C = {x|x = a + bj, a, b ∈ R; j 2 = −1}
1.3 Menge der reellen Zahlen
1.4 Darstellung und Eigenschaften
Zahlengerade
Eigenschaften: ∀ a, b ∈ R
1. Mögliche Operationen
a + b, a − b, a · b,
a
, b 6= 0
b
2. Kommutativgesetz
a+b=b+a
a·b=b·a
3. Assoziativgesetz
a + (b + c) = (a + b) + c
a · (b · c) = (a · b) · c
4. Distributivgesetz
a(b + c) = a · b + a · c
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Analysis
1.4.1 Anordnung der Zahlen
3 mögliche Beziehungen:
∀ a, b ∈ R
a<b
a=b
a>b
1.4.2 Intervalle
a, b ∈ R, a < b
1. endliche Intervalle
[ a; b ] = {x| a ≤ x ≤ b}
[ a; b [ = {x| a ≤ x < b}
] a; b ] = {x| a ≤ x < b}
]a; b [ = {x| a < x < b}
abgeschlossenes Intervall
halboffenes Intervall
halboffenes Intervall
offenes Intervall
2. unendliche Intervalle
[a; ∞[ = {x| a ≤ x < ∞}
]a; ∞[ = {x| a < x < ∞}
]-∞; b] = {x| -∞ < x ≤ b}
]-∞; b[ = {x| -∞ < x < b}
]-∞; 0[ = R−
]0; ∞[ = R+
[ 0; ∞ [ = R+
0
]-∞; ∞[ = R
1.5 Beschränktheit von Mengen
Definition 1.1 Beschränktheit
Eine Zahlenmenge M heißt nach oben (unten) beschränkt, wenn eine Zahl S ∈ R
existiert, so dass gilt x ≤ S (x ≥ S) ist, für alle x ∈ M
Jedes S mit dieser Eigenschaft heißt obere (untere) Schranke.
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2 Komplexe Zahlen
2.1 Grundbegriffe
Definition 2.1 Imaginäre Einheit j
Die Definition der Imaginären Einheit j, ergibt sich aus der Lösung der folgenden
Gleichung
x2 + 1 = 0
→ x2 = −1
√
x = ± | {z
−1}
j
Die imaginäre Einheit j ist eine Zahl, für die gilt:
j 2 = −1
Definition 2.2 Komplexe Zahl
Eine komplexe Zahl z ist die Summe aus einer reellen Zahl a und einer imaginären
Zahl bj:
z = a + bj
a heißt Realteil,
b heißt Imaginärteil von z.
Die Menge der komplexen Zahlen wird als C bezeichnet.
Es gilt C = {Z|Z = a + bj, j 2 = −1; a, b ∈ R}
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Analysis
Gauß´sche Zahlenebene
Der Betrag ergibt sich zu: |Z| = r =
√
a2 + b 2
Konjugiert komplexe Zahl
Definition 2.3 Konjugiert komplexe Zahl
Die Zahl Z̄ = a − bj heißt konjugiert komplex zu Z = a + bj.
Dies entspricht in der Gauß’schen Zahlenebene einer Spiegelung an der Re(Z)-Achse.
2.2 Darstellungsformen von komplexen Zahlen
2.2.1 Arithmetische Form
Z = |{z}
a +
Realteil
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b
|{z}
j,
a, b ∈ R
Imaginärteil
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Analysis
2.2.2 Goniometrische/ Trigonometrische Form
Beziehungen:
|Z| = r
b
tan ϕ =
a
b
sin ϕ =
r
a
cos ϕ =
r
a = r · cos ϕ
b = r · sin ϕ
Z = r (cos ϕ + j sin ϕ) ,
0 ≤ ϕ < 2π
bzw.
0° ≤ ϕ < 360°
2.2.3 Exponentialform
Euler’sche Formel: e jϕ = cos ϕ + j · sin ϕ
Z = r · e jϕ ,
0 ≤ ϕ < 2π
bzw.
0° ≤ ϕ < 360°
2.3 Umrechnungen
arithmetische in goniometrische bzw. in Exponentialform
Z = a + bj
Z = r (cos ϕ + j · sin ϕ)
bzw:
Z = r · e j·ϕ
mit:
√
r = a2 + b 2
b
ϕ = arctan
a
Exponentialform in arithmetische
Z = r · ejϕ
a = r · cos (ϕ)
b = r · sin (ϕ)
Z = r · cos (ϕ) + j · r · sin (ϕ)
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2.4 Rechnen mit komplexen Zahlen
2.4.1 Addition und Subtraktion
Definition 2.4 Summenbildung
Die Summen und Differenzbildung erfolgt bei komplexen Zahlen, durch Addition bzw.
Subtraktion der Komponenten (vgl. Vektoraddition)
Z1
Z2
Z1 + Z2
Z1 − Z2
= a1 + b 1 j
= a2 + b 2 j
= (a1 + a2 ) + j (b1 + b2 )
= (a1 − a2 ) + j (b1 − b2 )
Die Addition und Subtraktion von komplexen Zahlen ist ausschließlich in der
arithmetischen Form möglich!
2.4.2 Multiplikation und Division
In arithmetischer Form
Multiplikation
Z1 · Z2 = (a1 + jb1 ) · (a2 + jb2 )
→ Real- und Imaginärteil sortieren
= a1 a2 + a1 b 2 j + a2 b 1 j − b 1 b 2
= (a1 a2 − b1 b2 ) + j (a1 b2 + a2 b1 )
Multiplikation konjugiert komplexer Zahlen
Z = a + bj
Z̄ = a − bj
Z · Z̄ = (a + bj) · (a − bj)
= a2 − b 2 j 2
= a2 + b 2
es entsteht eine reelle Zahl!
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Analysis
Division Dieser Effekt der Produkte konjugiert komplexer Zahlen, wird ausgenutzt zur
Bildung des Quotienten zweier beliebiger komplexer Zahlen.
Z1
Z2
Z1
Z2
Z1
=⇒
Z2
= a1 + b 1 j
= a2 + b 2 j
a1 + b 1 j
=
Erweitern mit dem konjugiert komplexen Nenner
a2 + b 2 j
a1 + b 1 j a2 − b 2 j
=
·
a2 + b 2 j a2 − b 2 j
a1 a2 + b1 b2 + (a2 b1 − a1 b2 ) j
=
a22 + b22
a1 a2 + b 1 b 2
a2 b 1 − a1 b 2
=
+j
2
2
a2 + b 2
a22 + b22
Goniometrische Form/ Exponentialform
Multiplikation
Z1 = r1 · ejϕ1
Z2 = r2 · ejϕ2
in Exponentialform:
Z1 · Z2 = r1 · r2 · ej(ϕ1 +ϕ2 )
analog in goniometrischer Form:
Z1 · Z2 = r1 · r2 (cos (ϕ1 + ϕ2 ) + j sin (ϕ1 + ϕ2 ))
Zwei komplexe Zahlen in goniometrischer bzw. in Exponentialform werden
multipliziert, indem man die Beträge multipliziert, die Winkel jedoch addiert.
Division
Z1 = r1 · ejϕ1
Z2 = r2 · ejϕ2
r1 j(ϕ1 −ϕ2 )
Z1
=
·e
Z2
r2
Z1
r1
= (cos (ϕ1 − ϕ2 ) + j sin (ϕ1 − ϕ2 ))
Z2
r2
Zwei komplexe Zahlen in goniometrischer bzw. in Exponentialform werden dividiert,
indem man die Beträge dividiert, die Winkel jedoch subtrahiert.
Potenzieren und radizieren
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Potenzieren
Z1 = r1 · ejϕ1
Z1n = r1 · ejϕ1
n
Z1n = r1n · en·jϕ1
Z1n = r1n (cos (nϕ1 ) + j sin (nϕ1 ))
Eine komplexe Zahl in goniometrischer bzw. in Exponentialform wird mit n
potenziert, indem man den Betrag mit n potenziert, den Winkel jedoch mit
n multipliziert.
Radizieren
1 = x2 ⇒ x = 1 ∨ x = −1
1 = x4 ⇒ x = 1 ∨ x = −1 ∨ x = j ∨ x = −j
da:
2
j 4 = j 2 = (−1)2 = 1
2
(−j)4 = (−j)2 = (1)2 = 1
√
◦
Für den Ausdruck n x existieren n Lösungen im Abstand von 360
, bei konstanten Ben
trägen. Für die n-te Wurzel aus einer komplexen Zahl Z = a + bj = r · ejϕ gilt:
√
n
ϕ
Z = r n · ej ( n +k·
1
360◦
n
)
Für
k = 0, 1, . . . , n − 1
Die Lösung für k = 0 wird als Hauptwert bezeichnet.
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Analysis
Anwendung: Überlagerung von gleichfrequenten Schwingungen
Allgemeine Sinusschwingung:
s (t) = A · sin (ωt + ϕ)
Zusammenhang zwischen komplexer und reeller Form:
s(t) = A · (cos (ωt + ϕ) + j sin (ωt + ϕ)) = A · ej(ωt+ϕ)
=⇒ s (t) = Im (s(t))
Zwei gleichfrequente Schwingungen überlagern:
s1 (t) = A1 · sin (ωt + ϕ1 )
s2 (t) = A2 · sin (ωt + ϕ2 )
Gesucht wird die Summenfunktion:
sΣ (t) = s1 (t) + s2 (t) = A1 · sin (ωt + ϕ1 ) + A2 · sin (ωt + ϕ2 ) = AΣ sin (ωt + ϕΣ )
Gebildet wird zuerst die komplexe Summe, vom Ergebnis wird der Imaginärteil bestimmt. Bildung der komplexen Summe:
s (t) = s1 (t) + s2 (t)
= A1 · ej(ωt+ϕ1 ) + A2 · ej(ωt+ϕ2 )
= A1 · ejϕ1 ·ejωt + A2 · ejϕ2 ·ejωt
| {z }
| {z }
A1
A2
jωt
= A1 + A2 ·e
| {z }
A
Daraus ergibt sich folgende Vorgehensweise:
1. Übergang zur komplexen Form
s1 (t) = A1 · ejωt
mit A1 = A1 · ejϕ1
s2 (t) = A2 · ejωt
mit A2 = A2 · ejϕ2
2. Addition der komplexen Amplituden
A = A1 + A2
3. Rücktransformation: Bildung des Imaginärteils der komplexen Sinusschwingung
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3 Reelle Zahlenfolgen
3.1 Definition von Zahlenfolgen
Definition 3.1 Zahlenfolge
Unter einer reellen Zahlenfolge (ZF) versteht man eine geordnete Menge reeller Zahlen.
Jedem n ≥ K (meistens K = 0 oder K = 1) n ∈ N wird in eindeutiger Weise eine
reelle Zahl an zugeordnet.
an heißt n-tes Glied der ZF.
(an ) = a0 , a1 , a2 , . . .
3.1.1 Darstellung
1. Analytische Darstellung
Das n-te Folgeglied lässt sich direkt berechnen
an =
1
n
2. Rekursive Darstellung
Das n-te Folgeglied berechnet sich aus dem (n − 1)-ten Folgeglied (ggf. n − 2 . . . )
an = a2n−1 − 1; a0 = 2
→ (an ) = 2, 3, 8, 63 . . .
3. Graphische Darstellung - Zahlenstrahl
Bsp. an ) = n2 − 1
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Analysis
4. Graphische Darstellung - Koordinatensystem
3.2 Spezielle Folgen
1. Arithmetische Folge
Differenz von 2 benachbarten Folgengliedern ist gleich d
a0 , d ∈ R
an = an−1 + d rekursive Darstellung
mit a0 = 1, d = 2 ⇒ (an ) = an−1 + 2 = 1, 3, 5, 7 . . .
an =
analytische Darstellung
2. Geometrische Folge
Quotient von 2 benachbarten Folgengliedern ist gleich q
a0 , q ∈ R
an = q · an−1 rekursive Darstellung
1
1
1 1 1
mit a0 = 1, q = ⇒ (an ) = · an−1 = 1, , , . . .
2
2
2 4 8
an =
analytische Darstellung
3.3 Eigenschaften von Zahlenfolgen
3.3.1 Konvergenz
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Analysis
Definition 3.2 Konvergenz
Eine Zahlenfolge (an ) heißt
1. konvergent gegen den Grenzwert g ∈ R, wenn zu jedem > 0 ein N ∈ N
existiert, so dass gilt |an − g| < , d.h. an ∈ U (g)
lim (an ) = g
n→∞
2. Nullfolge, wenn
lim (an ) = 0
n→∞
3. divergent, wenn sie nicht konvergent ist
4. bestimmt divergent, wenn
lim (an ) = ∞
n→∞
lim (an ) = -∞
n→∞
5. unbestimmt divergent, wenn Sie divergent, aber nicht bestimmt divergent ist.
Definition 3.3 Alternierende Zahlenfolge
Eine ZF heißt alternierend, wenn benachbarte Folgenglieder unterschiedliche
Vorzeichen besitzen.
Beispiel 3.1 Einfache alternierende ZF
1
, n>0
n2
1
1 1
...
(an ) = -1; ; − ;
4
9 16
an = (-1)n ·
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Konvergenz elementarer Folgen
1. Arithmetische Folge an = a0 + n · d

, d > 0 bestimmt divergent

, d = 0 konvergent
lim (an ) =
n→∞

, d < 0 bestimmt divergent
2. Geometrische Folge an = a0 · q n

für




für

für
lim (an ) =
n→∞


für



für
3. Gebrochen rationale Folge cn =
|q| < 1
q=1
q = -1
q>1
q < -1
p(n)
q(n)
mit den Polynomen
p(n) = ak nk + ak−1 nk−1 + · · · + a1 n + a0
q(n) = bl nl + bl−1 nl−1 + · · · + b1 n + b0
vom Grad k bzw l




lim (cn ) =
n→∞



4.
5.
6.
7.
1
=
n→∞ n
√
lim n a =
für
für
für
für
k > l,
k > l,
k<l
k=l
ak
bl
ak
bl
>0
<0
lim
n→∞
lim
n→∞
,
a>0
√
n
n=
an
=
n→∞ n!
lim
Fakultät:
n! = n · (n − 1) · (n − 2) · · · · 1
8.
9.
na
=
, a∈R
n→∞ n!
n
1
lim 1 +
=
n→∞
n
lim
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Analysis
Rechenregeln für konvergente Zahlenfolgen
lim (an ) = a; lim (bn ) = b
n→∞
1.
2.
3.
4.
n→∞
lim (an + bn ) = a + b
lim (an ) · c = a · c
n→∞
n→∞
lim (an · bn ) = a · b
n→∞
lim
n→∞
an
bn
=
a
b
b 6= 0 bn 6= 0
Die Regeln gelten auch für bestimmt divergente Zahlenfolgen, wenn man definiert:
1.
∞+∞=∞
2.
±∞ ± a = ±∞

 ±∞; c > 0
∓∞; c < 0
c · (±∞) =

n.d.; c = 0
3.
c
=0
±∞
∞ · ±∞ = ±∞
-∞ · ±∞ = ∓∞
3.3.2 Beschränktheit und Konvergenz
Definition 3.4 Beschränktheit
Eine Folge (an ) heißt beschränkt gegen eine obere bzw. untere Schranke S ∈ R, falls
für alle Folgenglieder gilt ai ≤ S bzw. ai ≥ S, i ∈ N.
Satz:
1. Jede konvergente Folge ist beschränkt.
2. Jede nach oben bzw. unten beschränkte monoton steigende bzw. fallende Folge
ist konvergent gegen ihr Supremum bzw. Infimum.
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4 Funktionen einer Variablen
4.1 Funktionsbegriff
Definition 4.1 Funktion
Eine Vorschrift f, die jedem Element x ∈ D ⊆ R in eindeutiger Weise ein Element
y ∈ W ⊆ R zuordnet, heißt reelle Funktion.
f : D → W ; y = f (x)
Darstellungsmöglichkeiten
1. Verbale Darstellung
2. Tabelle von Messwerten
3. Grafische Darstellung
4. Analytische Darstellung
a) Explizite Darstellung
y = f (x),
y = f (x) = x2
b) Implizite Darstellung
F (x, y) = 0
4.2 Eigenschaften von Funktionen
Definition 4.2 Beschränkung
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Funktionen sind per Definition beschränkt auf den Definitionsbereich D.
Eine Funktion f : D → W heißt beschränkt, falls ein c > 0 existiert mit
|f (x)| ≤ c,
∀x ∈ D.
Ansonsten heißt die Funktion unbeschränkt.
Definition 4.3 Monotonie
ˆ monoton wachsend
f (x1 ) ≤ f (x2 ) mit x1 < x2 ∀ x ∈ D
ˆ streng monoton wachsend
f (x1 ) < f (x2 ) mit x1 < x2 ∀ x ∈ D
ˆ monoton fallend
f (x1 ) ≥ f (x2 ) mit x1 < x2 ∀ x ∈ D
ˆ streng monoton fallend
f (x1 ) > f (x2 ) mit x1 < x2 ∀ x ∈ D
Definition 4.4 Periodizität
Eine Funktion f heißt auf D periodisch mit der Periode p 6= 0, wenn gilt:
x∈D ⇒ x+p∈D
und
f (x) = f (x + p) = f (x + k · p)
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Analysis
Definition 4.5 Symmetrie
ˆ Eine Funktion f heißt auf D gerade, wenn gilt
x ∈ D ⇒ −x ∈ D
und
f (x) = f (−x)
Symmetrie zur y-Achse (Achsensymmetrie)
ˆ Eine Funktion f heißt auf D ungerade, wenn gilt
x ∈ D ⇒ −x ∈ D
und
f (x) = −f (−x)
Symmetrie zum Koordinatenursprung (Punkt oder Drehsymmetrie um den
Nullpunkt)
4.3 Umkehrfunktion
Es sei y = f (x) eine Funktion x ∈ D, d.h. sie ordnet jedem Element aus D genau ein
Element aus W zu.
Gilt auch die Umkehrung d.h. zu jedem Element y ∈ W gehört genau ein x ∈ D, so
heißt f eineindeutig und besitzt eine Umkehrfunktion, die mit f −1 bezeichnet wird.
Df −1 = Wf
Wf −1 = Df
Vorgehensweise zur Bildung der Umkehrfunktion:
1. Auflösen der Gleichung nach x
2. formales Vertauschen von x und y
y = f −1 (x)
wird nicht angewandt bei technischen Größen
4.4 Verkettete Funktion
Definition 4.6 Verkettete Funktion
Es seien y1 = f (x), x ∈ Df und y1 = g(x), x ∈ Dg . Funktionen mit der Eigenschaft
Wg ⊆ Df heißt (f ◦ g)(x) = f (g(x)) verkettete Funktion.
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Analysis
4.5 Stetigkeit
Definition 4.7 Stetigkeit und Grenzwert
1. Sei f = D → W, x0 ∈ D; g ∈ R heißt linksseitiger bzw. rechtsseitiger Grenzwert,
von f an der Stelle x0 , wenn
lim f (xn ) = g
n→∞
für jede von links bzw. rechts gegen x0 konvergierende Folge (xn ) ∈ D gilt.
Schreibweise:
links: lim− f (x) = g
x→x0
rechts: lim+ f (x) = g
x→x0
g = ±∞ heißt uneigentlicher Grenzwert.
2. g heißt Grenzwert von f in x0 falls
g = lim+ f (x) = lim− f (x)
x→x0
x→x0
Schreibweise:
g = lim f (x)
x→x0
3. f heißt stetig in x0 , falls
g = lim f (x) = f (x0 )
x→x0
ansonsten unstetig. f heißt stetig auf D, falls f ∀x ∈ D stetig ist. (Grafisch: Graph
in einem Zug zeichenbar)
4.5.1 Arten von Unstetigkeitsstellen
Sprung
lim f (x) = g1 6= g2 = lim+ f (x)
x→x−
0
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x→x0
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Lücke
Analysis
lim f (x) = lim+ f (x) = g
x→x−
0
x→x0
Definition 4.8 Stetige Ergänzung
Hat f (x) in x0 eine Lücke, so heißt die durch den Grenzwert der Lücke
vervollständigte Funktion, stetig ergänzt.
(
f (x), x 6= x0
f¯(x) =
g,
x = x0
Polstelle
lim f (x) = ±∞, lim+ f (x) = ±∞
x→x−
0
x→x0
4.6 Funktionsklassen
4.6.1 Ganzrationale Funktionen
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Analysis
Definition 4.9 Ganzrationale Funktion
Eine Funktion der Gestalt
pn (x) = an xn + an−1 xn−1 + · · · + a1 x + a0 ,
a0 , . . . , an ∈ R, an 6= 0
heißt ganzrationale Funktion oder Polynom n-ten Grades.
Satz: Fundamentalsatz der Algebra
Jedes Polynom lässt sich aufspalten in:
pn (x) = an (x − x1 )(x − x2 ) . . . (x − xn )
wobei die xn , die (ggf. komplexen) Nullstellen darstellen.
4.6.2 Gebrochenrationale Funktionen
Definition 4.10 Gebrochenrationale Funktion
Der Quotient zweier Polynome heißt gebrochenrationale Funktion.
f (x) =
pm (x)
am x m + · · · + a0
=
pn (x)
b n x n + · · · + b0
Sie heißt echt gebrochen, falls m < n, ansonsten unecht.
Falls x0 NS von pm (x) und pn (x) ist, so hat f (x) dort eine Lücke.
Falls x0 nur NS von pn (x), so hat f (x) dort einen Pol.
4.6.3 Wurzelfunktion
m
f (x) = x n =
√
n
xm
Beispiel 4.1 Wurzelfunktion
3
f (x) = 3x 2 = 3 ·
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√
2
x3
D = R+
0
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Analysis
4.6.4 Exponential- und Logarithmusfunktionen
Definition 4.11 Exponential- und Logarithmusfunktionen
Sei a ∈ R mit a > 0, a 6= 0, dann heißt
f (x) = ax D = R
Exponentialfunktion mit Basis a. x heißt Exponent.
Es gilt ferner:
f −1 (x) = loga x, D = R+
Logarithmusfunktion von x zur Basis a.
Rechenregeln:
1.
ax · ay = ax+y
2.
ax
= ax−y
ay
3.
(ax )y = ax·y
4.
loga (x · y) = loga x + loga y
5.
x
loga ( ) = loga x − loga y
y
6.
loga xy = y · loga x
7.
loga x = loga b · logb x
⇒
loga x
= logb x (Basiswechsel)
loga b
4.6.5 Trigonometrische Funktionen
1.
f (x) = sin x,
Df = R, Wf = [−1, 1]
Periode p = 2π; ungerade
Funktion
Umkehrfunktion: − π2 ; π2 Definitionsbereich des Sinus zum Finden der Umkehrfunktion
h π πi
f −1 (x) = arcsin x Df −1 = [−1; 1], Wf −1 = − ;
2 2
HS München
25
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2.
f (x) = cos x,
Analysis
Df = R, Wf = [−1, 1]
Periode p = 2π; gerade Funktion
Umkehrfunktion: [0; π] Definitionsbereich des Kosinus zum Finden der Umkehrfunktion
f −1 (x) = arccos x Df −1 = [−1; 1], Wf −1 = [0; π]
3.
f (x) = tan x =
sin x
cos x
o
n
π
Df = x|x ∈ R, x 6= (2k − 1) , k ∈ G , Wf = R
2
Periode p = π; ungerade Funktion
Umkehrfunktion auf: ] − π2 ,
4.
f (x) = cot x =
π
2
[ f −1 = arctan x Df −1 = R, Wf −1 = ] − π2 ,
π
2
[
1
tan x
Df = {x|x ∈ R, x 6= k · π, k ∈ G} , Wf = R
Periode p = π; gerade Funktion
4.6.6 Hyperbelfunktionen
1.
2.
3.
4.
ex − e−x
sinh x =
2
D = R,
W =R
cosh x =
ex + e−x
2
D = R,
W = [ 1; ∞ [
tanh x =
sinh x
ex − e−x
= x
cosh x
e + e−x
D = R,
W = ] − 1; 1 [
coth x =
cosh x
ex + e−x
= x
sinh x
e − e−x
D = R\ {0} ,
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W = R\ [−1; 1]
26
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5 Differentialrechnung für Funktionen
einer Variablen
5.1 Differentialrechnung
Definition 5.1 Differenzierbarkeit
Eine Funktion f auf ] a; b [ heißt an der Stelle x0 (x0 ∈ ]a; b[) differenzierbar, falls der
Grenzwert des Differenzenquotienten
f (x) − f (x0 )
∆y
= lim
x→x0
∆x→0 ∆x
x − x0
lim
existiert.
f 0 (x0 ) heißt Ableitung von f an der Stelle x0 . f heißt diffenzierbar im Intervall ] a; b [,
falls f ∀x ∈ ] a; b [ differenzierbar ist.
Definition 5.2 Tangente und Normale
Tangente:
t(x) = f (x0 ) + f 0 (x0 )(x − x0 )
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Analysis
Normale:
n(x) = f (x0 ) −
1
f 0 (x
0)
(x − x0 )
5.1.1 Differential einer Funktion
Definition 5.3 Differential
Das Differential dy = df = f 0 (x0 ) · dx einer Funktion beschreibt den Zuwachs der
Ordinate auf der, an der Stelle x0 errichteten Tangente bei einer Änderung der Abzisse
von ∆x = dx.
∆y Zuwachs der Funktionswerte
∆y = f (x0 + ∆x) − f (x)
Für kleine ∆x = dx → dy ≈ ∆y
5.1.2 Differentiationsregeln
Seien f (x), g(x) Funktionen
ˆ Summenregel
y(x) = f (x) + g(x)
y 0 (x) = f 0 (x) + g 0 (x)
ˆ Produktregel
y(x) = f (x) · g(x)
y 0 (x) = f 0 (x) · g(x) + f (x) · g 0 (x)
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Analysis
ˆ Quotientenregel
f (x)
g(x)
f 0 (x) · g(x) − f (x) · g 0 (x)
y 0 (x) =
g 2 (x)
y(x) =
ˆ Kettenregel
y(x) = f (g(x)) = f (x) ◦ g(x)
y 0 (x) = g 0 (x) · f 0 (g(x))
Innere Ableitung mal äußerer Ableitung
ˆ Ableitung der Umkehrfunktion
Sei f : D → W umkehrbar und differenzierbar. dann hat f −1 : W → D die
Ableitung:
−1 0
f (x) =
1
f 0 (f −1 (x))
5.1.3 Mittelwertsätze
Satz: Satz von ROLLE
Eine Funktion f (x) sei auf [a, b] stetig und auf ] a, b [ differenzierbar und sei
f (a) = f (b). Dann existiert mindestens eine Stelle x0 ∈ [a, b] mit f 0 (x0 ) = 0
Satz: Mittelwertsatz der Differentialrechnung
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29
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Analysis
Eine Funktion f (x) sei auf [a, b] stetig und auf ] a, b [ differenzierbar. Dann existiert
(a)
mindestens eine Stelle x0 ∈ [a, b] mit f 0 (x0 ) = f (b)−f
(Steigung der Sekante)
b−a
5.1.4 Regel von l’HOSPITAL
Seien f (x), g(x) differenzierbar auf ] a, b [ und g 0 (x) 6= 0 ∀ x ∈ ] a, b [
Weiterhin seien
lim f (x) = lim g(x) = ±∞ oder 0
x→a
x→a
Dann gilt
lim =
x→a
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f (x)
f 0 (x)
= lim 0
g(x) x→a g (x)
30
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Analysis
5.2 Funktionsverhalten und besondere Punkte
Monotonie:
streng monoton steigend
f 0 (x) > 0
monoton steigend
f 0 (x) ≥ 0
streng monoton fallend
f 0 (x) < 0
monoton fallend
f 0 (x) ≤ 0
Krümmung:
f 0 (x)
f 00 (x)
>0
>0
>0
<0
<0
>0
streng monoton steigend
Linkskurve
Rechtskurve
<0
<0
streng monoton fallend
Linkskurve
Rechtskurve
Extremwerte:
lokales Maximum:
f (xH ) > f (x) ∈ U (xH )
lokales Minimum:
f (xT ) < f (x) ∈ U (xT )
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31
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Analysis
5.2.1 Notwendige und hinreichende Bedingung für Extremwerte
und Wendepunkte
Extremwerte:
1.
f 0 (xE ) = 0
2.
f 0 (xE ) = · · · = f (n−1) (xE ) = 0,
f n (xE ) 6= 0
wenn n ungerade → bei xE kein Extremwert
(
f (n) (xE ) > 0 ⇒ Minimum
n gerade:
f (n) (xE ) < 0 ⇒ Maximum
Häufig ist schon f 00 (xE ) 6= 0.
Wendepunkte:
Änderung des Krümmungsverhaltens in xW
1.
f 00 (xW ) = 0
2.
f 00 (xW ) = · · · = f (n−1) (xW ) = 0,
f n (xW ) 6= 0
n gerade → kein Wendepunkt
n ungerade → Wendepunkt
Häufig ist schon f 000 (xW ) 6= 0.
5.3 Newtoniteration zur Bestimmung von Nullstellen
t(x) = f (x0 ) + f 0 (x0 )(x − x0 )
Berechnung von x1 (Nullstelle von t0 (x))
0 = f (x0 ) + f 0 (x0 )(x1 − x0 )
x1 = −
f (x0 )
+ x0
f 0 (x0 )
Allgemein:
xn = −
f (xn−1 )
+ xn−1
f 0 (xn−1 )
Konvergenzkriterium für Startwert x0
f (x0 ) · f 00 (x0 ) [f 0 (x )]2 < 1
0
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32
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6 Integralrechnung
6.1 Bestimmtes und Unbestimmtes Integral
6.1.1 Bestimmtes Integral
Rechteck: ∆xk · f (xk )
Zb
f (x) dx = lim
n
X
n→∞
a
f (xk )∆xk
k=1
Eigenschaften
Zb
Zb
1.
f (x) dx = f (t) dt
a
2.
a
Zb
f (x) dx = −
a
3.
f (x) dx = 0
Zb
Zc
f (x) dx +
a
5.
f (x) dx =
Zb
Zb
f (x) dx +
f (x) dx
a
Zb
k · f (x) dx = k ·
a
7.
Zc
b
Zb
a
6.
f (x) dx
b
Za
a
4.
Za
f (x) dx
a
Zb
g(x) dx =
a
(f (x) + g(x)) dx
a
Zb
f (x) ≤ g(x) auf [a, b] =
Zb
f (x) dx ≤
a
g(x) dx
a
33
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Analysis
6.1.2 Stammfunktion
Definition 6.1 Stammfunktionen
F (x) heißt Stammfunktion von f (x), falls F 0 (x) = f (x) .
Seien F1 (x), F2 (x) zwei Stammfunktionen von f (x), dann folgt aus F10 = F20 = f , dass
F10 − F20 = (F1 − F 2)0 = 0. Damit gilt: (F1 − F 2) = C, mit C ∈ R. Es ergibt sich also
direkt der folgende Satz.
Satz: Stammfunktion
Seien F1 (x), F2 (x) zwei Stammfunktionen von f (x). Dann unterscheiden sich
F1 (x), F2 (x) nur um eine additive Konstante.
F1 (x) = F2 (x) + C
Sei F (x) eine Stammfunktion von f (x), dann gilt:
Zb
f (x) dx = F (b) − F (a)
a
6.1.3 Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung
Der Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung stellt den Zusammenhang
zwischen der Differentiation und der Integration her.
Satz: Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung
Sei f stetig auf einem Intervall I. Für einen beliebigen Punkt a ∈ I sei
(Integralfunktion)
Z x
f (t)dt.
F (x) =
a
Dann gilt:
1. F ist eine Stammfunktion von f , d.h. F ist in I differenzierbar und es gilt
F 0 (x) = f (x).
2. Für jede Stammfunktion G von f und a, b ∈ I gilt:
Zb
f (x) dx = G(b) − G(a).
a
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34
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6.1.4 Unbestimmtes Integral
Definition 6.2 Unbestimmtes Integral
R
R
Unter f (x) dx versteht man die Menge aller Stammfunktionen von f (x). f (x) dx
heißt unbestimmtes Integral.
Folgerung:
R
Sei F (x) irgend eine Stammfunktion von f (x), dann ist f (x) dx = F (x) + C wobei C
alle reellen Zahlen durchläuft.
6.2 Integrationsverfahren
6.2.1 Partielle Integration
(u · v)0 = u0 v + uv 0
⇒ u·v
Zb
0
0
0
= (u · v) − u v
Zb
u · v dx =
a
Z
0
Zb
0
(u · v) dx −
a
Zb
Za
|
u0 v dx
a
Zb
v]ba
−
u · v 0 dx = u · v −
Z
u · v 0 dx = [u ·
u0 · v dx
a
u0 · v dx
6.2.2 Substitution
R
Allgemeines Verfahren zur Lösung von: f (x)dx
1. Aufstellung der Substitutionsgleichung:
u = g1 (x) ⇒
du
du
= g10 (x) ⇒ dx = 0
dx
g1 (x)
x = g2 (u) ⇒
dx
= g20 (u) ⇒ dx = g20 (u) · du
du
|
{z
}
oder
Ableitung nach u
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Analysis
2. Durchführung der Substitution:
Einsetzen in das Integral ⇒ Integral, das nur noch von u abhängt, x muss wegfallen
Z
Z
f (x)dx = h(u)du
3. Berechnung des neuen Integrals in Abhängigkeit von u:
Z
h(u)du = H(u) + C
4. Rücksubstition:
Z
Z
f (x)dx = h(u)du = H(u) + C = F (x) + K
6.2.3 Partialbruchzerlegung
Echt gebrochenrationale Funktion:
Z(x)
,
f (x) =
N (x)
N (x), Z(x) sind Polynome, Nennergrad>Zählergrad, falls nicht zuerst Polynomdivision .
Partialbruchzerlegung einer echt gebrochenrationalen Funktion:
1. Bestimmung der Nullstellen (Beschränkung hier auf reelle NS) des Nenners mit
Vielfachheit.
2. Jeder Nullstelle wird ein Partialbruch zugeordnet:
A
x − x0
A2
A1
+
x0 : Zweifache Nullstelle ⇒
x − x0 (x − x0 )2
..
..
..
.
.
.
A1
An
x0 : n-fache Nullstelle ⇒
+ ··· +
x − x0
(x − x0 )n
x0 : einfache Nullstelle ⇒
3. Berechnung der Konstanten A bzw. Ai durch Summation der Brüche, Hauptnennerbildung und Einsetzen geeigneter Werte.
R
Berechnung des Integrals f (x)dx:
Nach der Partialbruchzerlegung von f (x), werden die Brüche einzeln integriert.
FormelnZhierfür:
A
dx = A · ln |x − x0 | + C
x − x0
Z
Ai
Ai
dx =
i
(x − x0 )
(1 − i)(x − x0 )i−1
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Analysis
6.2.4 Numerische Integration
Gesucht ist eine (angenäherte) Lösung von
b
Z
f (x)dx
a
Dazu wird das Integrationsintervall in Teilintervalle eingeteilt.
Zerlegung des Integrationsintervalles [a, b] in: a = x0 < x1 < · · · < xn = b
= xi − xi−1
mit der festen Schrittweite: h = b−a
n
Trapez-Regel (Verfahren 2. Ordnung)
Begrenzung durch Polynome 1. Ordnung: Geradenstücke
Z
b
a
h
f (x)dx =
2
f (a) + 2
n−1
X
!
f (xk ) + f (b)
+R
k=1
Der Rest R lässt sich abschätzen durch:
|R| ≤
b−a 2
h max |f 00 (x)|
a≤x≤b
12
Simpson-Regel (Verfahren 4. Ordnung)
Begrenzung durch Polynome 2. Ordnung: Parabelstücke (gerade Anzahl von Teilintervallen n = 2m)
Z
a
b
h
f (x)dx =
3
f (a) + 2
m−1
X
f (x2k ) + 4
m
X
!
f (x2k−1 ) + f (b)
+R
k=1
k=1
Der Rest R lässt sich abschätzen durch:
|R| ≤
b−a 4
h max |f (4) (x)|
a≤x≤b
180
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7 Reihen
7.1 Unendliche Reihe
7.1.1 Einführung
Zahlenfolge (geordnete Menge reeller Zahlen):
(an ) = 1, 4, 9, 16 . . .
Partialsumme:
s1 = a1 = 1
s2 = a1 + a2 = 1 + 4 = 5
s3 = a1 + a2 + a3 = 1 + 4 + 9 = 14
..
.
sk = a1 + a2 + a3 + · · · + ak
Definition 7.1 Unendliche Reihe
Die Folge (sn ) der Partialsummen einer unendlichen Zahlenfolge (an ) heißt unendliche
Reihe.
Symbolische Schreibweise:
∞
X
an = a1 + a2 + a3 + · · · + ak + . . .
n=1
Definition 7.2 Konvergenz und Divergenz einer unendlichen Reihe
P
Eine unendliche
Reihe ∞
n=1 an heißt konvergent, falls die Folge ihrer Partialsummen
Pn
(sn ) = k=1 ak einen Grenzwert besitzt.
lim sn = lim
n→∞
n→∞
n
X
ak = s
k=1
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Symbolische Schreibweise:
∞
X
an = s
n=1
P
Konvergiert die Summe der Beträge ∞
n=1 |an |, so heißt die Reihe absolut konvergent.
Die Reihe heißt divergent, falls sie nicht konvergiert:
Ist s = ∞ heißt die Reihe bestimmt divergent, sonst unbestimmt divergent.
7.1.2 Konvergenzkriterien
Notwendige Bedingung
Für die Konvergenz einer unendlichen Reihe
P∞
n=1
an mit an > 0 ist die Bedingung
lim an = 0
n→∞
notwendig!, aber nicht hinreichend (d.h. es existieren Folgen, die die Bedingung erfüllen
und trotzdem divergieren).
Quotienten- und Wurzelkriterium
Erfüllen alle Glieder einer unendlichen Reihe
an+1 =q<1
lim
n→∞ an P∞
n=1
an die Bedingung:
bzw.
lim
n→∞
p
n
|an | = q < 1
so ist die Reihe konvergent.
Ist q > 1 so ist die Reihe divergent.
Für q = 1 kann keine Aussage getroffen werden (Extrauntersuchung notwendig)
Rechenregeln für konvergente Reihen
1. Konstante Faktoren
∞
X
an = s
n=1
⇒
∞
X
n=1
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c · an = c ·
∞
X
an = c · s
n=1
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2. Summen konvergenter Reihen
∞
X
⇒
∞
X
n=1
∞
X
an ±
n=1
∞
X
an = s
bn = t
n=1
bn =
n=1
∞
X
(an ± bn ) = s ± t
n=1
3. Produkte absolut konvergenter Reihen
∞
X
an = s
n=1
∞
X
an ·
n=1
∞
X
bn = t
n=1
∞
X
bn
seien absolut konvergent
∞
X
= s·t=
wn
n=1
n=1
wn = an · b1 + an · b2 + an · b3 + an · b4 + · · · + an · bk + . . .
7.2 Potenzreihen
7.2.1 Einführung
Definition 7.3 Potenzreihe
Unter einer Potenzreihe versteht man eine unendliche Reihe vom Typ:
(I)
P (x) =
∞
X
an x n = a0 + a1 x + a2 x 2 + a3 x 3 . . .
n=0
oder
(II)
P (x) =
∞
X
an (x − x0 )n = a0 + a1 (x − x0 ) + a2 (x − x0 )2 + . . .
n=0
x0 heißt Entwicklungszentrum.
Für x0 = 0 erhalten wir die Gleichung (II) in der Form (I).
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7.2.2 Konvergenz und Eigenschaften von Potenzreihen
Definition 7.4 Konvergenzbereich
Die Menge aller x-Werte für die eine Potenzreihe konvergiert heißt Konvergenzbereich
der Potenzreihe.
Konvergenzverhalten: P
P∞
n
n
Zu jeder Potenzreihe ∞
n=0 an (x − x0 ) gibt es eine positive Zahl r,
n=0 an x bzw.
Konvergenzradius genannt, mit den folgenden Eigenschaften:
1. Die Potenzreihe konvergiert für |x| < r bzw. |x − x0 | < r
2. Sie divergiert für |x| > r bzw. |x − x0 | > r
3. An den Randpunkten |x| = r bzw. |x − x0 | = r kann keine Aussage getroffen
werden → hier müssen Extrauntersuchungen durchgeführt werden
Berechnung des Konvergenzradius
Der Konvergenzradius r einer Potenzreihe
∞
X
an x
n=0
n
bzw.
∞
X
an (x − x0 )n
n=0
kann nach folgenden Formeln berechnet werden:
an oder r = lim √1
r = lim r→∞ an+1 r→∞ n an
Eigenschaften von Potenzreihen
1. Eine Potenzreihe konvergiert innerhalb ihres Konvergenzbereiches absolut.
2. Eine Potenzreihe darf innerhalb ihres Konvergenzbereiches gliedweise differenziert
und integriert werden. Die neuen Potenzreihen besitzen den gleichen Konvergenzradius wie die Ausgangsreihe.
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3. Zwei Potenzreihen dürfen innerhalb ihres gemeinsamen Konvergenzbereiches (Durchschnitt) gliedweise addiert und subtrahiert werden. Sie dürfen auch miteinander
multipliziert (Cauchy-Produkt: ausmultiplizieren) werden. Die neuen Potenzreihen
konvergieren mindestens im gemeisamen Konvergenzbereich der Ausgangsreihen.
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7.3 Taylor-Reihen:
Entwicklung einer Funktion in eine Potenzreihe
7.3.1 Einführung
Ziel: Funktion f (x) als Potenzreihe darstellen
∞
X
f (x) =
an xn
n=0
oder
f (x) =
∞
X
an (a − x0 )n
n=0
Zweck:
ˆ Annäherung einer Funktion durch ein Polynom
ˆ Herleitung von Näherungsformeln
ˆ Integration durch Potenzreihenentwicklung
ˆ Näherungsweises Lösen von transzendenten Gleichungen
Beispiel: Geometrische Reihe
∞
X
xn = 1 + x + x2 + x3 + . . .
p (x) =
konvergiert für |x| < 1
n=0
=
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1
= f (x)
1−x
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7.3.2 Entwicklung einer Funktion in eine Potenzreihe
Mac Laurinsche Reihe
Annahme:
1. Entwicklung von f (x) in eine Potenzreihe vom Typ f (x) = a0 + a1 x + a2 x2 + . . .
ist möglich und eindeutig
2. f (x) ist in einer Umgebung von x = 0 beliebig oft diefferenzierbar.
d.h. f (0) , f 0 (0) , f 00 (0) . . . können berechnet werden
Ableitungen:
f 0 (x) = a1 + 2a2 x + 3a2 x2 + 4a4 x3 + . . .
f 00 (x) = 2a2 + 6a2 x + 12a4 x2 + . . .
f 000 (x) = 6a2 + 24a4 x + . . .
für x = 0:
f (0) = a0
f 0 (0) = a1
f 00 (0) = 2a2
f 00 (0)
f 00 (0)
=
2
2!
f 000 (0)
f 000 (0)
⇒a3 =
=
6
3!
f n (0)
⇒an =
n!
⇒a2 =
f 000 (0) = 6a3
f (n) (0) = n! · an
Entwicklung in eine Mac Laurinsche Reihe:
Unter bestimmten Voraussetzungen lässt sich f (x) in eine Potenzreihe der Form
f 0 (0)
f 00 (0) 2
f (x) = f (0) +
x+
x + ...
1!
2!
f (x) =
∞
X
f (n) (0)
n=0
n!
· xn
(mit0! = 1)
entwickeln.
Symmetrieeigenschaften: Ist f (x) eine gerade Funktion, so ist die Reihenentwicklung
gerade (d.h. es treten nur gerade Exponenten auf: x0 , x2 , x4 , x6 , . . .
Ist f (x) eine ungerade Funktion, so ist die Reihenentwicklung auch ungerade (d.h. es
treten nur ungerade Exponenten auf: x1 , x3 , x5 , x7 , . . .
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Taylorsche Reihe
Entwicklung in Taylorreihe:
f 0 (x0 )
f 00 (x0 )
f 000 (x0 )
(x − x0 ) +
(x − x0 )2 +
(x − x0 )3 . . .
1!
2!
3!
∞
X
f (n) (x0 )
=
(x − x0 )n
n!
n=0
f (x) = f (x0 ) +
mit dem Entwicklungszentrum x0
Für x0 = 0 ergibt sich die MacLaurinsche Reihe
Konvergenzbereich: |x − x0 | < r
7.3.3 Anwendungen Taylor-Reihe
1. Näherungspolynome
Mac Laurinsche Reihe:
f 00 (0) 2
f n (0) n f (n+1) (0) (n+1)
f 0 (0)
x+
x + ··· +
x +
x
f (x) = f (0) +
...
1!
2!{z
n! } (n + 1)!
|
|
{z
}
Tn (x)
Restglied Rn (x)
f (x) = Tn (x) + Rn (x) Taylorsche Formel
Tn (x): Mac Laurinsches Polynom vom Grade n
Rn (x): Restglied, bestimmt die Größe des Fehlers, Rn (x) = 0 für n → ∞
Der Fehler wird abgeschätzt mit Hilfe des Restglieds nach Lagrange:
Rn (x) =
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f (n+1) (xθ) (n+1)
x
(n + 1)!
0<θ<1
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Geometrische Deutung der Näherungspolynome
Näherungspolynom erster Ordnung (Linearisierung von f (x)):
T1 (x) = f (0) + f 0 (0) · x
Steigung von f (x) stimmt in 0 mit T1 (x) überein.
Näherungspolynom zweiter Ordnung:
T2 (x) = f (0) + f 0 (0) · x +
f 00 (0) 2
x
2
Krümmung von f (x) stimmt in 0 mit T2 (x) überein.
Weitere Näherungspolynome lassen sich entsprechend mit der allgmeinen TaylorEntwicklung bilden.
2. Integration nach Reihenentwicklung
3. Lösen von Transzendenten Gleichungen
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