Mathematik - Schulbuchzentrum Online

Dr. Claus-Günter Frank und Prof. Dr. Ludwig Paditz
unter Mitarbeit von Johannes Schornstein
Mathematik
Jahrgangsstufe 13
Berufliche Gymnasien
Nichttechnische Fachrichtungen
Bestellnummer 21543
www.bildungsverlag1.de
Bildungsverlag EINS
Sieglarer Straße 2, 53842 Troisdorf
ISBN 978-3-427-21543-1
© Copyright 2007: Bildungsverlag EINS GmbH, Troisdorf
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sonstigen Bildungseinrichtungen.
3
Vorwort
Vorwort
Die beruflichen Gymnasien in Sachsen bauen auf einem mittleren Schulabschluss auf
und führen nach zentralen Prüfungen zur allgemeinen Hochschulreife. Im Mathematikunterricht der dreizehnten Jahrgangsstufe liegt das Schwergewicht auf der
Integralrechnung und der Wahrscheinlichkeitsrechnung, daneben wird aber auch
Stoff aus der Linearen Algebra bzw. Analytischen Geometrie vermittelt. Das vorliegende Buch enthält diese und alle weiteren Inhalte des neuen Lehrplans für berufliche Gymnasien nichttechnischer Richtung in Sachsen. Die parallele Verwendung
mehrerer Lehrbücher erübrigt sich daher.
Neben grafikfähigen Taschenrechnern (GTR) werden im Mathematikunterricht der
Oberstufe Computer Algebra Systeme (CAS) zunehmend an Bedeutung gewinnen.
Wir geben ihnen in diesem Buch vier Aufgabenbereiche:
• Als Kontrolleur bei Aufgaben, die Schülerinnen und Schüler von Hand (händisch) lösen sollen. Sie können nun sehr oft selbstständig beurteilen, ob ihre
Lösung richtig ist oder nicht.
• Als Rechner, der manche umfangreiche und schwierige Rechenarbeit übernimmt
und so die Bearbeitung weiterer interessanter Aufgaben ermöglicht.
• Als Visualisierer, da er Abbildungen, die bisher vorgegeben werden mussten,
erstellen und verändern kann.
• Als Ideengeber, da die Schülerinnen und Schüler experimentieren können, bis
ihnen die richtige Idee kommt.
Neben dem GTR Casio CFX-9850 verwenden wir in den Wahlpflichtbereichen das
CAS Class Pad 300 plus, um einen Einblick in seine Verwendungsmöglichkeiten zu
geben. Allerdings haben wir bewusst darauf verzichtet, die Bedienung des Rechners
in den Vordergrund zu stellen. Deshalb können alle Aufgaben und Beispiele auch
mit anderen Modellen bearbeitet werden.
Unser Ziel ist es, den Schülerinnen und Schülern zu vermitteln, diese Werkzeuge vernünftig einzusetzen: Wann sollte etwas von Hand gerechnet und wann dem Rechner
überlassen werden, wann können sie den Rechenergebnissen vertrauen und wann
nicht.
Wir empfehlen dringend, sich mit der Programmierung des GTR zu beschäftigen.
Sein Nutzen wird dadurch stark erhöht. Einige Beispiele und Anregungen finden
sich im Buch.
Mit * gekennzeichnete Aufgaben stellen erhöhte Anforderungen an den Bearbeiter.
Eine Vielzahl neuer Aufgaben, vorzugsweise Aufgaben, die eigenverantwortliches
Arbeiten verlangen, wurde hinzugefügt.
Aufgaben, die die Verwendung des GTR erfordern, erkennt man häufig an der Formulierung „bestimmen Sie näherungsweise“ oder „bestimmen Sie mit dem GTR“.
Für Anregungen und Korrekturen sind wir dankbar und werden sie gerne in der
nächsten Auflage berücksichtigen (Rückmeldungen bitte unter [email protected]).
Die Verfasser
4
Zeichen und Begriffe
Zeichen und Begriffe
A ⫽ {0; 1; 2; 3}
A ⫽ {x ⱍ x 苸 ⺞ ∧ x ⬍ 4}
aufzählende Form einer endlichen Menge
beschreibende Form einer endlichen Menge; A ist die Menge
aller x, für die gilt: x ist eine natürliche Zahl und x ist kleiner
als 4.
2僆A
2 ist Element von A.
4僆A
4 ist kein Element von A.
{ } oder 0
leere Menge; Sie enthält kein Element.
D
Definitionsbereich, Definitionsmenge
W
Wertebereich, Wertemenge
L
Lösungsmenge
⺞ ⫽ {0; 1; 2; …}
Menge der natürlichen Zahlen (einschließlich der Null)
⺪ ⫽ {…; ⫺2; ⫺1; 0; 1; 2; …}
Menge der ganzen Zahlen
⺡
Menge der rationalen Zahlen
⺢
Menge der reellen Zahlen
⺞*, ⺪*, ⺡*, ⺢*
Mengen ⺞, ⺪, ⺡, ⺢ ohne die Null
⺪+, ⺡+, ⺢+
positive Zahlen der Mengen ⺪, ⺡, ⺢ (einschließlich der Null)
⺪*+ , ⺡*+ , ⺢*+
positive Zahlen der Mengen ⺪, ⺡, ⺢ (ohne die Null)
⺪ ⫺, ⺡ ⫺, ⺢ ⫺
negative Zahlen der Mengen ⺪, ⺡, ⺢ (einschließlich der Null)
⺪*⫺, ⺡*⫺, ⺢*⫺
negative Zahlen der Mengen ⺪, ⺡, ⺢ (ohne die Null)
|a|
Betrag von a. | a | ist diejenige der beiden reellen Zahlen a und
⫺a, die nicht negativ ist.
f: x 哫 f (x)
Funktion: x abgebildet auf f von x
(abgekürzte Sprechweise: x Pfeil f von x)
f (x)
Funktionsterm, Funktionswert von x
lim
Limes: Grenzwert
f⬘(x)
Vorschrift der Ableitungsfunktion (kurz: Ableitung); wertgleich dem Differenzialquotienten
f ⬙ (x), f ⵮ (x), f (4) (x), …, f (n) (x) höhere Ableitungen
b
兰 f (x) d x
bestimmtes Integral zwischen der unteren Grenze a und der
oberen Grenze b (kurz: Integral von a bis b)
aជ , bជ , cជ
aជ T, bជ T, cជT
A, B, C
Vektoren (Spaltenvektoren)
transponierte Vektoren (Zeilenvektoren)
Matrizen
inverse Matrix zu A
Einheitsmatrix
Nullmatrix
Leontief-Matrix
Leontief-Inverse
Punkte der Ebene
Punkte des Anschauungsraums
Ursprung
Strecke zwischen den Punkten A und B
Vektor vom Ursprung O zum Punkt A; Ortsvektor von A
Vektor von A nach B
häufig beliebiger Punkt auf einer Geraden, Ebene, …
Ortsvektor von X
Gerade
Ebene
Skalarprodukt der Vektoren aជ und bជ
Länge (Betrag) des Vektors aជ
Normalenvektor
a
A⫺1
E
O
E⫺A
(E ⫺ A)⫺1
P(x1/x2), Q(x/y)
P(x1/x2/x3), Q(x/y/z)
O(0/0), O(0/0/0)
AB
>
OA ⫽ aជ
>
>
>
AB ⫽ OB⫺OA
X
>
OX ⫽ xជ
g
E
aជ * bជ
|aជ |
nជ
Inhaltsverzeichnis
1
Flächen- und Körperberechnung
1.1
1.1.1
1.1.2
1.2
1.3
1.4
1.5
1.6
1.7
1.7.1
1.7.2
1.8
1.8.1
1.8.2
1.9
1.10
1.10.1
1.10.2
1.10.3
Flächeninhalt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Flächenproblem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Änderungsrate und Bestand . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Rechteckverfahren: Flächeninhaltsberechnungen mit dem Grenzwert
Integralfunktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Hauptsatz der Differenzial- und Integralrechnung . . . . . . . . . . . . .
Eigenschaften des bestimmten Integrals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Flächenberechnungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Numerische Integration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Sehnen-Trapez-Verfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Regel von Simpson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Weitere Anwendungen des bestimmten Integrals . . . . . . . . . . . . . . .
Volumina von Rotationskörpern . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Anwendungen in den Wirtschaftswissenschaften und in der Physik .
Integration von Exponential- und Winkelfunktionen . . . . . . . . . . . .
Integrationsmethoden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Lineare Substitution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Allgemeine Substitution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Produktintegration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2
Anwendungen der Matrizenrechnung
2.1
2.2
2.2.1
2.2.2
Mehrstufige Produktionsprozesse . . . .
Input-Output-Modell . . . . . . . . . . . . .
Volkswirtschaftliche Gesamtrechnungen
Leontief-Modell . . . . . . . . . . . . . . . . .
3
Zufallsgrößen, Verteilungen und Tests (Johannes Schornstein)
3.1
3.1.1
3.1.2
3.1.3
3.2
3.2.1
3.2.2
3.3
3.3.1
3.3.2
3.3.3
3.3.4
3.4
3.4.1
3.4.2
3.4.3
3.4.4
Grundlagen der Wahrscheinlichkeitsrechnung . . . . . . . . . . . . . . . .
Deterministisches und stochastisches Experiment . . . . . . . . . . . . .
Von der relativen Häufigkeit zur Wahrscheinlichkeit . . . . . . . . . . .
Was ist Wahrscheinlichkeit? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Rechnen mit Wahrscheinlichkeiten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Regeln zur Berechnung von Wahrscheinlichkeiten; Baumdiagramm
Laplace-Wahrscheinlichkeit und Kombinatorik . . . . . . . . . . . . . . .
Zufallsgröße . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Definition der Zufallsgröße . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Wahrscheinlichkeits- und Verteilungsfunktion . . . . . . . . . . . . . . .
Erwartungswert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Varianz und Standardabweichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Verteilungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Binomialverteilung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Hypergeometrische Verteilung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Näherung für die Binomialverteilung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Normalverteilung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
..........................
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7
7
8
15
25
36
42
47
55
56
58
61
61
63
70
72
72
74
77
......................
79
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79
92
92
93
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7
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. . . 111
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111
111
117
124
127
128
133
146
146
148
150
152
158
158
165
167
175
6
Inhaltsverzeichnis
3.5
3.5.1
3.5.2
3.5.3
Hypothesentest . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Fehler erster und zweiter Art . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Einseitige und zweiseitige Tests . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Vertrauensintervall für einen unbekannten Mittelwert m (Ludwig Paditz)
....
....
....
...
179
179
182
184
4
Bedingte Wahrscheinlichkeit (Johannes Schornstein)
4.1
4.2
Einführung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187
Unabhängigkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194
5
Kreise, Kugeln und Kegelschnitte
5.1
5.1.1
5.1.2
5.1.3
5.2
5.2.1
5.2.2
5.3
5.4
5.4.1
5.4.2
5.4.3
5.5
5.5.1
5.5.2
5.5.3
5.5.4
5.5.5
5.5.6
Geraden und Ebenen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Geraden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Ebenen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Schnitt von Geraden und Ebenen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Kreise (Ludwig Paditz) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Kreisgleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Polarkoordinaten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Kugeln (Ludwig Paditz) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Lagebeziehungen von Kreisen und Kugeln zu Geraden und Ebenen
(Ludwig Paditz) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Kreis–Gerade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Kreis–Kreis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Kugel–Ebene . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Kegelschnitte (Ludwig Paditz) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Beispiele und Definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Herleitung von Kegelschnittgleichungen in kartesischen Koordinaten
Kegelschnitt mit 0 ⬍ e ⬍ 1 (Ellipse) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Kegelschnitt mit e ⫽ 1 (Parabel) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Kegelschnitt mit e ⬎ 1 (Hyperbel) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Kegelschnitt mit e ⫽ 0 (Kreis) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6
Prüfungsaufgaben
. . . . . . . . . . . . 187
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 200
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200
200
202
207
218
218
220
224
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232
232
234
237
244
244
247
251
257
260
265
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. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 269
Verzeichnis der Definitionen und Sätze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 305
Sachwortverzeichnis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 307
Bildquellenverzeichnis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 312
218
5
Kreise, Kugeln und Kegelschnitte
5.2
Kreise
5.2.1
Kreisgleichungen
(Ludwig Paditz)
Der Kreis gehört zu den wichtigsten Elementen der ebenen Geometrie.
Definition 5.3
Ein Kreis ist die Menge aller Punkte P in der euklidischen Ebene, die von einem
vorgegeben Punkt M denselben (positiven) Abstand c haben.
Man bezeichnet M als den Mittelpunkt des Kreises und c als den Radius des Kreises.
Archimedes: „Störe meine Kreise nicht.“
(Plastik, Freiherr-vom-Stein-Gymnasium,
Fulda)
Manchmal wird der Begriff Kreis nicht
im Sinne einer Linie sondern anstelle der
Kreisfläche verwendet. Wir werden den
Begriff Kreis nur im Sinne der Definition als Kreislinie oder Ortskurve benutzen. Der Inhalt der Kreisfläche heißt
Flächeninhalt des Kreises und die Länge
der Kreislinie heißt Umfang.
Um Kreise in der Ebene darzustellen,
bedienen wir uns der bekannten kartesischen Koordinaten, aber führen auch
neue Darstellungsformen wie Polarkoordinaten oder Parameterform ein.
Als Hilfsmittel dienen elementare Vektorrechnung und bei einigen Beispielen der
GTR oder das CAS.
y
4
P (x/y)
2
O (0/0)
0
–2
0
–2
2
4
x – xM
6
y – yM
8
x
M (xM/yM)
–4
–6
Wir bezeichnen im Koordinatensystem den Ursprung mit
O(0/0), den Kreismittelpunkt
mit M(xM/yM) und die Kreispunkte mit P(x/y).
219
Kreise
5
>
>
>
Für jeden Kreispunkt P gilt: OP ⫽ OM ⫹ MP. Durch Umstellen erhalten wir den
>
>
>
>
Vektor MP ⫽ OP ⫺ OM. Die Länge des Vektors MP ist der Radius c des Kreises.
>
Man nennt die Länge eines Vektors auch seinen Betrag und schreibt ⱍ MP ⱍ ⫽ c. Die
Länge des Vektors folgt aus dem Satz des Pythagoras:
>
ⱍ MP ⱍ2 ⫽ (x ⫺ xM)2 ⫹ (y ⫺ yM)2
bzw.
c2 ⫽ (x ⫺ xM)2 ⫹ (y ⫺ yM)2.
Satz 5.4
Die Vektorform der Kreisgleichung ist:
>
>
(OP ⫺ OM)2 ⫽ c2
>
bzw.
冢冢xy冣 ⫺ 冢xy 冣冣
M
M
2
⫽ c2.
Aus der Länge des Vektors MP folgt die Mittelpunktform der Kreisgleichung:
(x ⫺ xM)2 ⫹ (y ⫺ yM)2 ⫽ c2.
Impuls
Versuchen Sie die Definition für eine Kugel anzugeben und deren Gleichung in
Vektorform und Mittelpunktform darzustellen.
beispiele
1. Der Mittelpunkt eines Kreises ist M(⫺5/10). Weiterhin ist bekannt, dass Punkt
P(1/1) zum Kreis gehört. Gesucht ist die Mittelpunktform der Gleichung dieses
Kreises.
Zur Lösung ermitteln wir erst den Radius c als Abstand der gegebenen Punkte P
und M durch Einsetzen in die Mittelpunktform:
c2 ⫽ (x ⫺ xM)2 ⫹ (y ⫺ yM)2 ⫽ (1 ⫺ (⫺5))2 ⫹ (1 ⫺ 10)2 ⫽ 117
Für den Radius gilt: c ⫽ 冪117 艐 10,82. Die gesuchte Kreisgleichung lautet:
(x ⫹ 5)2 ⫹ (y ⫺ 10)2 ⫽ 117.
2. Ein Kreis, dessen Gleichung nicht bekannt ist, enthält die Punkte P(1/1),
Q(⫺3/8), R(2/⫺4). Da für alle drei Punkte die Kreisgleichung erfüllt sein muss,
können wir ein System aus drei quadratischen Gleichungen aufstellen:
c2 ⫽ (1 ⫺ xM)2 ⫹ (1 ⫺ yM)2
c2 ⫽ (⫺3 ⫺ xM)2 ⫹ (8 ⫺ yM)2
c2 ⫽ (2 ⫺ xM)2 ⫹ (⫺4 ⫺ yM)2
(1)
(2)
(3)
Durch Gleichsetzen der rechten Seiten von (1) und (2) bzw. (1) und (3) mit anschließender Vereinfachung entsteht ein eindeutig lösbares lineares Gleichungs-
220
5
Kreise, Kugeln und Kegelschnitte
system. Wir lassen es das CAS lösen und erkennen in den Abbildungen die üblichen Rechenschritte.
Die Gleichungen (1) bis (3) wurden unter den symbolischen Variablen G1 bis G3
gespeichert. Anschließend wurden der Radius eliminiert und das System auf zwei
Gleichungen G4 und G5 reduziert. Mit dem Gleichungslöser erhalten wir nun die
gesuchten Mittelpunktskoordinaten xM ⫽ ⫺18,5 und yM ⫽ ⫺5,5 und daraus den
Radius c ⫽ 冪422,5 艐 20,55. Die Kreisgleichung lautet:
(x ⫹ 18,5)2 ⫹ (y ⫹ 5,5)2 ⫽ 422,5.
Eine abschließende Probe zeigt, dass die Punkte P(1/1), Q(⫺3/8), R(2/⫺4) die
gefundene Gleichung erfüllen.
5.2.2
Polarkoordinaten
Wir haben bisher immer kartesische Koordinaten benutzt, um Punkte in der x-yEbene zu beschreiben. Punkte in der Ebene können aber auch durch einen Kreis
um den Ursprung und eine Gerade durch den Ursprung eindeutig bestimmt werden!
beispiel
y
P (5; 51,57°)
5
y
51,57°
O
x
Ein Punkt P liegt auf einem Kreis mit dem Radius
r ⫽ 5 um den Ursprung und einer Geraden, die die
positive x-Achse im Winkel 51,57° (bzw. 0,90 im Bogenmaß) schneidet. Welche kartesischen Koordinaten
hat er?
Da die Seiten x, y, r ein rechtwinkliges Dreieck bilden, gilt x ⫽ 5 ⋅ cos(51,57°) 艐 3,11 und
y ⫽ 5 ⋅ sin(51,57°) 艐 3,92. Der Punkt P hat die kartesischen Koordinaten P(3,11/3,92).
221
Kreise
5
y
3,92
y
P (5; 51,57°)
P (3,11/3,92)
Polarkoordinaten
5
kartesische Koordinaten
51,57°
O
3,11
x
x
O
Ein Punkt P wird durch seinen Abstand r vom Ursprung und den eingeschlossenen Winkel { (griech. Buchstabe theta) der Halbgeraden durch den Ursprung und
P mit der positiven x-Achse beschrieben. Man schreibt P(r; {) mit r ⭓ 0 und
⫺p ⬍ { ⱕ p.
Die Darstellung von Punkten in der Form P(r; {) nennt man Polarkoordinaten.
Wir schreiben zur Unterscheidung von kartesischen Koordinaten ein Semikolon
statt eines Schrägstrichs: P(r; {) statt P(x/y).
Impuls
冢
冣
1
Was ist der Unterschied zwischen den Punkten P1 (0; 0), P2 (0; p), P3 0; ⫺ p ?
2
Erinnern Sie sich an die Richtung des Nullvektors.
Definition 5.5
Der Ursprung O des Polarkoordinatensystems ist definiert als ein Punkt der
Koordinatenebene, von dem die Bezugsrichtung als Strahl (Halbgerade) ausgeht.
Der Ursprung hat die Polarkoordinaten O(0; 0).
Wir wählen als Bezugsrichtung die positive x-Achse und als Ursprung des Polarkoordinatensystems den Ursprung des kartesischen Koordinatensystems.
Satz 5.6
Aus dem rechtwinkligen Dreieck mit den Seiten x, y, r folgen die Transformationsgleichungen zur Umrechnung von Polarkoordinaten in kartesische Koordinaten:
x ⫽ r ⋅ cos({) und y ⫽ r ⋅ sin({).
Für den umgekehrten Weg von kartesischen zu Polarkoordinaten gelten:
y
y
y
⫽ tan⫺1
r ⫽ 冪x2 ⫹ y2 und tan({) ⫽ bzw. { ⫽ arctan
x
x
x
im 1. und 4. Quadranten bzw.
y
y
{ ⫽ p ⫹ arctan
⫽ p ⫹ tan⫺1
im 2. Quadranten bzw.
x
x
y
y
⫽ ⫺p ⫹ tan⫺1
im 3. Quadranten.
{ ⫽ ⫺p ⫹ arctan
x
x
冢冣
冢冣
冢冣
冢冣
冢冣
冢冣
Der Tangens ist für x ⫽ 0 nicht definiert, aber die Anschauung zeigt, dass es sich
um Punkte auf der y-Achse handeln muss, die mit der x-Achse einen Winkel von
90° einschließt. Die Punkte der y-Achse haben also stets die Koordinate
222
5
Kreise, Kugeln und Kegelschnitte
p
p
für positive y und { ⫽ ⫺90° ⫽ ⫺ für negative y.
2
2
Die Kreisgleichung in Polarkoordinaten wird für Kreise um den Ursprung sehr
einfach:
r ⫽ const.
Der Kreis hat überall den gleichen Radius r, der nicht von { abhängig ist.
Aber auch die Gleichung eines Kreises, dessen Mittelpunkt nicht im Ursprung
liegt, kann in Polarkoordinaten dargestellt werden.
{ ⫽ 90° ⫽
beispiele
1. Die Kreisgleichung r ⫽ ⫺5 ⋅ cos({) mit ⫺p ⬍ { ⱕ p ist in kartesische Koordinaten umzurechnen.
Wir multiplizieren die Gleichung mit r und erhalten r2 ⫽ ⫺5 ⋅ r ⋅ cos({). Mit
r2 ⫽ x2 ⫹ y2 und x ⫽ r ⋅ cos({) erhalten wir x2 ⫹ y2 ⫽ ⫺5 x. Umformen und quadratische Ergänzung ergeben die Kreisgleichung.
x 2 ⫹ 5 x ⫹ y2 ⫽ 0
x2 ⫹ 5 x ⫹ 6,25 ⫹ y2 ⫽ 6,25
(x ⫹ 2,5)2 ⫹ y2 ⫽ 6,25
Der Kreis hat den Mittelpunkt M(⫺2,5/0) und den Radius r ⫽ 2,5.
2. Gegeben ist ein Kreis mit dem Mittelpunkt M(⫺5/10) und dem Radius r ⫽ 冪117.
Die Kreisgleichung in kartesischen Koordinaten lautet:
(x ⫹ 5)2 ⫹ (y ⫺ 10)2 ⫽ 117.
Wir wollen sie in Polarkoordinaten umrechnen.
Die Transformationsgleichungen liefern eine quadratische Gleichung für r:
(r ⋅ cos({) ⫹ 5)2 ⫹ (r ⋅ sin({) ⫺ 10)2 ⫽ 117
Diese lösen wir durch Ausmultiplizieren und Anwenden der p-q-Formel.
r2 ⋅ cos2 ({) ⫹ 10 ⋅ r ⋅ cos({) ⫹ 25 ⫹ r2 ⋅ sin2 ({) ⫺ 20 ⋅ r ⋅ sin({) ⫹ 100 ⫽ 117
r2 ⋅ (cos2 ({) ⫹ sin2 ({)) ⫹ 2 ⋅ (5 ⋅ cos({) ⫺ 10 ⋅ sin({)) ⋅ r ⫹ 8 ⫽ 0
r2 ⫹ 2 ⋅ (5 ⋅ cos({) ⫺ 10 ⋅ sin({)) ⋅ r ⫹ 8 ⫽ 0, da cos2 ({) ⫹ sin2 ({) ⫽ 1
Mit p ⫽ 2 ⋅ (5 ⋅ cos({) ⫺ 10 ⋅ sin({)) und q ⫽ 8 erhalten wir zwei Gleichungen
für denselben Kreis
r ⫽ ⫺(5 ⋅ cos({) ⫺ 10 ⋅ sin({)) ⫾ 冪(5 ⋅ cos({) ⫺ 10 ⋅ sin({))2 ⫺ 8.
Im Grafikfunktions-Menü wählen wir F3 (TYPE) und dann F2 (r ⫽). Anschließend geben wir die Gleichung ein und drücken dann F6 (DRAW).
Diese Beispiele lassen erahnen, dass die Darstellung der Kreisgleichung in kartesischen Koordinaten oder Polarkoordinaten von Fall zu Fall unterschiedlich großen
Rechenaufwand bedeutet.
5
223
Kreise
In manchen Fällen hilft eine dritte Darstellungsform, die Parameterform, den
Rechenaufwand gering zu halten. Dabei werden die Koordinaten x und y als Funktion einer dritten Größe t erzeugt. Die Größe t nennt man Parameter.
Das Gleichungspaar
x ⫽ x(t) und y ⫽ y(t)
heißt Parameterdarstellung und der Definitionsbereich für t Parameterbereich
oder Parameterintervall.
Mit Blick auf den trigonometrischen Pythagoras sin2 (t) ⫹ cos2 (t) ⫽ 1 kann aus der
Mittelpunktform der Kreisgleichung die Parameterform abgeleitet werden:
x(t) ⫽ xM ⫹ r ⋅ cos(t)
mit ⫺p ⬍ t ⱕ p.
y(t) ⫽ yM ⫹ r ⋅ sin(t)
y
4
P (x(t)/y(t))
2
5
0
–2
0
2
4
M (3/–2)
–2
y(t) – yM = 5 · sin(t)
6
8
x
t
x(t) – xM = 5 · cos(t)
–4
–6
Die Parameterdarstellung kann als eine Kombination aus kartesischen Koordinaten und Polarkoordinaten angesehen werden. Der Mittelpunkt wird in kartesischen Koordinaten angegeben und der Kreis in seinem eigenen „Polarkoordinatensystem“ mit dem „Winkel“ t.
Diese Parameterdarstellung wird bei
der Überlagerung von Schwingungen
zu Lissajous 1-Figuren gebraucht. An
die Eingänge x und y des Oszilloskops
werden je eine harmonische Schwingung angelegt. Aus der Lissajous-Figur
lassen sich kleine Unterschiede in Frequenz und Phase ablesen, und so beispielsweise der Bildaufbau von Fernsehern und Röhrenmonitoren richtig einstellen.
Frequenzverhältnis 1 : 3, Phasendifferenz
p
2
1 Jules Antoine Lissajous (1822–1880), französischer Physiker
224
5
Kreise, Kugeln und Kegelschnitte
zusammenfassung
Kreisgleichungen in unterschiedlichen Darstellungsformen
y
P (xM + c · cos(t)/yM + c · sin(t))
P (x/y)
P (r; {)
y
c
y – yM = c · sin(t)
M (xM/yM) t
x – xM = c · cos(t)
yM
{
x
xM
x
Kartesische Koordinaten: (x ⫺ xM)2 ⫹ (y ⫺ yM)2 ⫽ c2
Polarkoordinaten:
2
2
r ⫽ xM ⋅ cos({) ⫹ yM ⋅ sin({) ⫾ 冪(xM ⋅ cos({) ⫹ yM ⋅ sin({))2 ⫺ (xM
⫹ yM
⫺ c2)
Parameterform: x(t) ⫽ xM ⫹ c ⋅ cos(t) und y(t) ⫽ yM ⫹ c ⋅ sin(t)
5.3
Kugeln
(Ludwig Paditz)
Sie haben schon im Impuls auf Seite 219 überlegt, wie Kugeln zu definieren und
in Gleichungen darzustellen sind. Tatsächlich sind Definition und Darstellung ähnlich wie beim Kreis. Wir vereinbaren: Eine Kugel ist die Kugelschale, ihr Volumen
ist der Rauminhalt der Kugel und ihre Oberfläche der Flächeninhalt der Kugel.
Definition 5.7
Eine Kugel ist die Menge aller Punkte P im dreidimensionalen Raum, die von
einem vorgegeben Punkt M denselben (positiven) Abstand c haben.
>
>
>
>
Für den Ortsvektor OP jedes Kugelpunktes P gilt: OP ⫽ OM ⫹ MP. Durch
>
>
>
Umstellen erhalten wir den Vektor MP ⫽ OP ⫺ OM. Der Betrag des Vektors
>
>
MP ist der Radius c der Kugel: ⱍ MP ⱍ ⫽ c.