Höhere Mathematik 2 f¨ur Physik (Analysis 1)

Technische Universität München
Zentrum Mathematik
Prof. Dr. K. Buchner
Dr. S. Ulbrich
Wintersemester 2001/2002
Blatt 6
Höhere Mathematik 2 für Physik (Analysis 1)
Tutoraufgaben:
T 21. Wichtige Grenzwerte
Zeigen Sie:
√
n
a = 1 für alle a ∈ R, a > 0,
n→∞
n 1
1
c) lim
=
für alle k ∈ N0 ,
n→∞ k nk
k!
a) lim
nk
= 0 für alle k ∈ N, z ∈ C, |z| > 1,
n→∞ z n
√
d) lim n n = 1.
b) lim
n→∞
T 22. Radioaktiver Zerfall
Wir betrachten eine radioaktive Substanz. Sei N (t) die zum Zeitpunkt t vorhandene Zahl von
Atomkernen. Aufgrund von Beobachtungen geht man davon aus, daß das Verhältnis der in
einem Zeitintervall ∆t zerfallenden Atomkerne zu N (t) gleichbleibt, also
N (t + ∆t) − N (t)
N (∆t) − N (0)
=
.
N (t)
N (0)
Weiter ist für jede positive Nullfolge {∆tn }n∈N die Aktivität (Zerfälle pro Sekunde) am Anfang
N (0) − N (∆tn )
= λN (0)
n→∞
∆tn
lim
mit einer Zerfallskonstante λ > 0.
a) Zeigen Sie, daß mit N0 = N (0) gilt
N (t) = N0
−λt + hn
1+
n
n
mit einer Nullfolge {hn }n∈N .
b) Zeigen Sie, daß für jede Nullfolge {hn }n∈N und jedes x ∈ R die folgenden Grenzwerte
existieren und übereinstimmen:
∞
x n X xk
x + hn n
exp(x) := lim 1 +
= lim 1 +
=
.
n→∞
n→∞
n
n
k!
k=0
Leiten Sie daraus die Identität ab
N (t) = N0 exp(−λt).
c) Folgern Sie aus b), daß
exp(x + y) = exp(x) exp(y) für alle x, y ∈ R.
Bitte wenden!
T 23. Untersuchen Sie die nachstehenden Folgen {an }n∈N auf Konvergenz und bestimmen Sie gegebenenfalls den Grenzwert.
√
n
√ √
1
n2
1
1
√
+ ··· + √ .
a) an = 2n
,
b) an = 4 n( n n − 1),
c) an = √ + √
√
n
n
n+1
n+ 7
2n
Hausaufgaben:
H 22. Beweisen Sie:
a) Ist {an }n∈N eine nichtnegative reelle Folge, die gegen a konvergiert, so gilt
√
√
lim an = a.
n→∞
b) Ist {an }n∈N eine reelle Folge und a ∈ R, so daß a Häufungspunkt jeder Teilfolge {ank }k∈N
von {an }n∈N ist, dann gilt lim an = a.
n→∞
Bemerkung: Man nennt {ank }k∈N eine Teilfolge von {an }n∈N , wenn k ∈ N 7→ nk ∈ N
eine streng monoton wachsende Indexfolge ist.
H 23. Untersuchen Sie die nachstehenden Folgen {an }n∈N auf Konvergenz und bestimmen Sie gegebenenfalls den Grenzwert:
√
√
n
√
√ √
n3 + n 4
√
,
b) an = n( n + 3 − n − 1),
a) an = √
n
n
3 5n + 3n2
√
√
2
√ √
n n +n− n
n
c) an = n( a − 1), a ≥ 1,
d) an = (−1)
.
n+2
Tip: Verwenden Sie gegebenenfalls T 21. und H 22., a).
H 24. Ein Verfahren zur Wurzelberechnung
Zu a > 0 sei eine Folge von reellen Zahlen {wn }n∈N0 induktiv definiert durch einen Startpunkt
√
w0 ∈ (0, a] und
3awn − wn3
wn+1 =
für n ∈ N0 .
2a
Zeigen Sie:
√
√
a) ∀ n ∈ N0 : wn ∈ (0, a] und {wn }n∈N0 konvergiert monoton wachsend gegen a.
b) Es gilt
√
√
3
|wn+1 − a| ≤ √ |wn − a|2
2 a
(man nennt dies quadratische Konvergenz).
H 25. Zeigen Sie, daß die Folge {an }n∈N mit
an =
1
1+
n
n+1
monoton fällt und nutzen Sie dies, um die Konvergenz der Folge nachzuweisen. Folgern Sie
daraus (ohne Verwendung von T 22.!), daß auch die Folge
1 n
bn = 1 +
n
konvergiert, wobei lim an = lim bn .
n→∞
n→∞
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Abgabe: Bis Donnerstag, den 6.12.2001, 13.30 Uhr im Briefkasten an der Westseite von S0320.