Technische Universität München Zentrum Mathematik Prof. Dr. K. Buchner Dr. S. Ulbrich Wintersemester 2001/2002 Blatt 6 Höhere Mathematik 2 für Physik (Analysis 1) Tutoraufgaben: T 21. Wichtige Grenzwerte Zeigen Sie: √ n a = 1 für alle a ∈ R, a > 0, n→∞ n 1 1 c) lim = für alle k ∈ N0 , n→∞ k nk k! a) lim nk = 0 für alle k ∈ N, z ∈ C, |z| > 1, n→∞ z n √ d) lim n n = 1. b) lim n→∞ T 22. Radioaktiver Zerfall Wir betrachten eine radioaktive Substanz. Sei N (t) die zum Zeitpunkt t vorhandene Zahl von Atomkernen. Aufgrund von Beobachtungen geht man davon aus, daß das Verhältnis der in einem Zeitintervall ∆t zerfallenden Atomkerne zu N (t) gleichbleibt, also N (t + ∆t) − N (t) N (∆t) − N (0) = . N (t) N (0) Weiter ist für jede positive Nullfolge {∆tn }n∈N die Aktivität (Zerfälle pro Sekunde) am Anfang N (0) − N (∆tn ) = λN (0) n→∞ ∆tn lim mit einer Zerfallskonstante λ > 0. a) Zeigen Sie, daß mit N0 = N (0) gilt N (t) = N0 −λt + hn 1+ n n mit einer Nullfolge {hn }n∈N . b) Zeigen Sie, daß für jede Nullfolge {hn }n∈N und jedes x ∈ R die folgenden Grenzwerte existieren und übereinstimmen: ∞ x n X xk x + hn n exp(x) := lim 1 + = lim 1 + = . n→∞ n→∞ n n k! k=0 Leiten Sie daraus die Identität ab N (t) = N0 exp(−λt). c) Folgern Sie aus b), daß exp(x + y) = exp(x) exp(y) für alle x, y ∈ R. Bitte wenden! T 23. Untersuchen Sie die nachstehenden Folgen {an }n∈N auf Konvergenz und bestimmen Sie gegebenenfalls den Grenzwert. √ n √ √ 1 n2 1 1 √ + ··· + √ . a) an = 2n , b) an = 4 n( n n − 1), c) an = √ + √ √ n n n+1 n+ 7 2n Hausaufgaben: H 22. Beweisen Sie: a) Ist {an }n∈N eine nichtnegative reelle Folge, die gegen a konvergiert, so gilt √ √ lim an = a. n→∞ b) Ist {an }n∈N eine reelle Folge und a ∈ R, so daß a Häufungspunkt jeder Teilfolge {ank }k∈N von {an }n∈N ist, dann gilt lim an = a. n→∞ Bemerkung: Man nennt {ank }k∈N eine Teilfolge von {an }n∈N , wenn k ∈ N 7→ nk ∈ N eine streng monoton wachsende Indexfolge ist. H 23. Untersuchen Sie die nachstehenden Folgen {an }n∈N auf Konvergenz und bestimmen Sie gegebenenfalls den Grenzwert: √ √ n √ √ √ n3 + n 4 √ , b) an = n( n + 3 − n − 1), a) an = √ n n 3 5n + 3n2 √ √ 2 √ √ n n +n− n n c) an = n( a − 1), a ≥ 1, d) an = (−1) . n+2 Tip: Verwenden Sie gegebenenfalls T 21. und H 22., a). H 24. Ein Verfahren zur Wurzelberechnung Zu a > 0 sei eine Folge von reellen Zahlen {wn }n∈N0 induktiv definiert durch einen Startpunkt √ w0 ∈ (0, a] und 3awn − wn3 wn+1 = für n ∈ N0 . 2a Zeigen Sie: √ √ a) ∀ n ∈ N0 : wn ∈ (0, a] und {wn }n∈N0 konvergiert monoton wachsend gegen a. b) Es gilt √ √ 3 |wn+1 − a| ≤ √ |wn − a|2 2 a (man nennt dies quadratische Konvergenz). H 25. Zeigen Sie, daß die Folge {an }n∈N mit an = 1 1+ n n+1 monoton fällt und nutzen Sie dies, um die Konvergenz der Folge nachzuweisen. Folgern Sie daraus (ohne Verwendung von T 22.!), daß auch die Folge 1 n bn = 1 + n konvergiert, wobei lim an = lim bn . n→∞ n→∞ ********** Abgabe: Bis Donnerstag, den 6.12.2001, 13.30 Uhr im Briefkasten an der Westseite von S0320.