G.1.2. Elementare Mengenlehre Wozu braucht man Kenntnisse über

G.1.2. Elementare Mengenlehre
Wozu braucht man Kenntnisse über Mengen?
• Die Sprache der Mengenlehre ist die Sprache, in der mathematische Resultate heute
fast immer formuliert werden.
• Manche Programmiersprachen, z.B. PASCAL, haben einen Datentyp für Mengen, mit
dem man besser arbeiten kann, wenn man sich in der Mengenlehre auskennt.
G.1.2.1. Cantors Mengendefinition
Eine Menge ist eine Zusammenfassung von
bestimmten wohl unterschiedenen Objekten
unserer Anschauung und unseres Denkens zu
einem Ganzen.
Die eben erwähnten Objekte heißen Elemente
der Menge.
Zum Vergleich:
Auszug aus einem PASCAL-Buch
„Der Datentyp set ermöglicht die
Zusammenfassung einer variablen
Anzahl von Komponenten gleichen
Typs, des so genannten Grundtyps…“
G.1.2.2. Wie schreibt man Mengen auf?
1. aufzählend ( bei endlichen Mengen ):
Name der Menge = { Element Nr. 1; …; Element Nr. n }
/
↑ ↑
3
Mengenklammer
Elemente durch Semikolon
Mengenklammer
oder Komma getrennt
2. durch charakteristische Eigenschaften:
Name der Menge = { x Eigenschaft(en) von x } = {x A( x) ist wahr }
G.1.2.3. Die leere Menge
Die Menge, die keine Elemente hat, heißt leere Menge. Bezeichnungen: ∅ ; {}
Vorsicht! {∅} ist nicht leer!
G.1.2.4. Wichtige Zahlenmengen
Nr. Abkürzungen Menge der…
Typische Elemente
1)
… natürlichen Zahlen ( ohne 0 ) 1; 2; 3; …
`, N
2)
… natürlichen Zahlen ( mit 0 )
alle aus 1); 0
` 0 , N0
3)
4)
],Z
_, Q
… ganzen Zahlen
… rationalen Zahlen
5)
\,R
… reellen Zahlen
6)
^, C
… komplexen Zahlen
alle aus 2); -1; -2; …
1 1 7
alle aus 3); ; − ; ;…
2 3 6
alle aus 4); 2; 3 3; π ;…
alle aus 5); i;3 + 5i; …
Bemerkung zu G.1.2.4.:
In der Literatur, besonders in Informatiklehrbüchern, gehört die 0 manchmal zu ` dazu. Also
aufpassen!
G.1.2.5. Das Elementzeichen
Ist M eine Menge, so bedeuten:
x ist ein Element der Menge M ;
• x∈M
…
x ist kein Element der Menge M .
…
• x∉M
→Aufgaben 2,3
G.1.2.6. Beziehungen zwischen zwei Mengen M und N
Nr. Bezeichnung
Symbol
M⊆N
1)
M ist Teilmenge von N
( M ⊂ N vermeiden ! )
2)
M =N
M ist gleich N
M yN
3)
M ist echte Teilmenge von N
( M ⊂ N vermeiden ! )
Zeigt man so:
x∈M ⇒ x∈ N
x∈M ⇔ x∈ N
M ⊆ N und
es gibt x ∈ N mit x ∉ M
Bemerkungen zu G.1.2.6.:
1. Beachten Sie bei Nr. 3):
M yN ⇔
( M ⊆ N ∧ ¬( für alle x ∈ N gilt x ∈ M ) ) ⇔
( M ⊆ N ∧ es gibt x ∈ N mit x ∉ M )
Merke:
„Für alle x gilt A( x ) .“
negiert man wie folgt:
„Es gibt ein x , für das A( x ) nicht gilt.“
2. Merke entsprechend:
„Es gibt ein x mit A( x ) .“
negiert man wie folgt:
„Für alle x gilt A( x ) nicht.“
3. Verwendet man die Zeichen „ ∀ “ für „für alle“ und „ ∃ “ für „es gibt“, so kann man
die obigen Merkregeln auch formal notieren:
(¬ (∀x : A( x )) ) ⇔ ( ∃x : ¬A( x) )
(¬ (∃x : A( x )) ) ⇔ ( ∀x : ¬A( x) )
→ Aufgabe 4
G.1.2.7. Verknüpfungen von zwei Mengen M und N
Nr. Bezeichnung
Symbol ist die folgende Menge
1) Durchschnitt von M und N
M ∩N
{x x ∈ M ∧ x ∈ N }
2)
Vereinigung von M und N
M ∪N
{x x ∈ M ∨ x ∈ N }
3)
Differenzmenge von M und N
M \N
{x x ∈ M ∧ x ∉ N }
→ Aufgabe 5
G.1.2.8. Gesetzmäßigkeiten der Mengenlehre
Für alle Mengen M , N und P gelten:
1. M ∩ N = N ∩ M ;
Kommutativgesetze
2. ( M ∩ N ) ∩ P = M ∩ ( N ∩ P) ;
Assoziativgesetze
3. M ∪ ( N ∩ P ) = ( M ∪ N ) ∩ ( M ∪ P ) ;
Distributivgesetze
M ∪N = N ∪M
( M ∪ N ) ∪ P = M ∪ ( N ∪ P)
M ∩ ( N ∪ P) = ( M ∩ N ) ∪ ( M ∩ P)
4. M \ ( N ∩ P ) = ( M \ N ) ∪ ( M \ P ) ;
Regeln von de Morgan
M \ ( N ∪ P) = (M \ N ) ∩ (M \ P)
G.1.2.9. Die Produktmenge von zwei Mengen M und N
Gegeben sind zwei Mengen M und N .
1. M × N = {(m; n) m ∈ M ∧ n ∈ N } heißt die Produktmenge oder das kartesische
Produkt von M und N .
(m; n) nennt man ein geordnetes Paar mit 1. Koordinate m und 2. Koordinate n .
Zwei geordnete Paare stimmen genau dann überein, wenn sie in der 1. Koordinate und
in der 2. Koordinate übereinstimmen.
2. Ist M = N , so schreibt man M 2 statt M × M .
Bemerkungen zu G.1.2.9.:
1. Da man Punkte im Raum durch 3 Koordinaten beschreibt, ist es klar, dass auch
Verallgemeinerungen von Interesse sind. Also:
M × N × P = {(m; n; p) m ∈ M ∧ n ∈ N ∧ p ∈ P} für Mengen M , N , P ;
die Elemente von M × N × P nennt man Tripel.
M1 × ... × M n = {(m1;...; mn ) m1 ∈ M1 ∧ ... ∧ mn ∈ M n } für Mengen M 1 ;...; M n ;
die Elemente aus M 1 × ... × M n nennt man n -Tupel.
2. Mit Elementen aus Produktmengen haben Sie es beim Programmieren immer dann zu
tun, wenn Sie mit Feldern ( Arrays ) bzw. Strukturen ( Records ) arbeiten.
→ Aufgabe 6
Das Zeichnen des Graphen einer Funktion verdeutlicht, dass in der Mathematik nicht nur
Elemente von Produktmengen, sondern auch Teilmengen von Produktmengen von Interesse
sind. Daher ist der folgende Begriff von Bedeutung:
G.1.2.10. Relationen
Sind M und N Mengen, so heißt eine Teilmenge R ⊆ M × N eine ( binäre ) Relation
zwischen M und N .
Für m ∈ M und n ∈ N schreibt man statt ( m; n) ∈ R oft mRn .
Ist M = N , so spricht man auch von einer Relation auf M .
Ganz besonders wichtig für die weiteren Betrachtungen sind solche Relationen, die
Funktionen liefern:
G.1.2.11. Der Funktionsbegriff
1. Abstrakte Begriffsbildung als spezielle Relation:
Sind M und N nicht leere Mengen, so heißt eine Relation f ⊆ M × N eine
Funktion von M nach N , falls es zu jedem m ∈ M genau ein n ∈ N gibt mit
( m; n) ∈ f .
2. Übliche konkrete Begriffsbildung:
Schreibt man in der Situation aus 1.
• f : M → N statt f ⊆ M × N ,
• n = f ( m) statt ( m; n) ∈ f ,
so erhält man:
Eine Funktion f : M → N besteht aus drei Größen:
• zwei nicht leeren Mengen M und N ,
• einer Funktionsvorschrift f , die jedem Element m ∈ M genau ein Element
n ∈ N , genannt f ( m) , zuordnet.
In diesem Kontext nennt man die zugehörige Relation gemäß 1. auch Graph von f
mit Abkürzung G f , also G f = {(m; n) ∈ M × N n = f (m)} .
Kapitel G.3. wird sich noch genauer mit Funktionen beschäftigen.