Ubungen zur Mathematik für Biologen

Mathematisches Institut
der Heinrich-Heine-Universität
Düsseldorf
WS 02/03
22.01.2003
Blatt 12
Prof. Dr. A. Janssen
H. Weisshaupt
Übungen zur Mathematik für Biologen
Aufgabe 36: Seien X1 , . . . , Xn unabhängige Poisson-verteilte Zufallsvariablen mit unbekanntem
Parameter λ aus dem Parameterraum Θ = (0, ∞).
Aufgrund von Realisierungen k1 , . . . , kn von X1 , . . . , Xn soll der Parameter λ geschätzt werden.
a) Bestimmen Sie die Likelihood-Funktion für gegebene feste Werte von k1 , . . . , kn .
b) Bestimmen Sie den Maximum-Likelihood Schätzer für den Datensatz, falls nicht alle k1 , . . . , kn
gleich null sind.
c) Existiert der Maximum-Likelihood Schätzer für λ, falls k1 = k2 = . . . = kn = 0 gilt?
Aufgabe 37: Von einem Schmerzmittel ging man in der Vergangenheit davon aus, dass bei
einer bestimmten Krankheit eine Linderung mit einer Wahrscheinlichkeit von 0,49 auftritt. Jetzt
trat der Verdacht auf, dass diese Wahrscheinlichkeit geringer ist. Um dies zu überprüfen wird
n = 50 Patienten das Schmerzmittel verabreicht und danach überprüft wie viele Patienten
geheilt wurden. Dabei soll die Hypothese H0 : p ≥ 0, 49 gegen die Alternative H1 : p < 0, 49
zum Signifikanzniveau α = 0, 05 gesichert werden.
a) Geben Sie die genaue Testvorschrift an. Begründen Sie die Wahl des kritischen Wertes c
durch die Angabe der entsprechenden Tabellenwerte.
b) Wie hoch ist die effektive Irrtumswahrscheinlichkeit?
c) Welche Entscheidung ist zu treffen, wenn bei 17 Patienten eine Linderung eintritt?
d) Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die Hypothese H0 verworfen wird, wenn
p = 0, 44 ist.
Hinweis: Zu dieser Aufgabe gehört eine Tabelle mit Wahrscheinlichkeiten der B(50, p)-Verteilung
für ausgewählte Werte von p.
Aufgabe 38: Betrachten Sie den Kreuzungsversuch mit n = 48 Nachkommen, der in Aufgabe
34 beschrieben wurde. Sei Z = n − Y die Anzahl der Nachkommen vom rezessiven Phänotyp.
Nach den Mendelschen Gesetzen ist die Zufallsvariable Z binomialverteilt mit dem Parameter
p = 0, 25 und n = 48. Es besteht jetzt der Verdacht, dass es während des Kreuzungsversuchs zu
Unregelmäßigkeiten gekommen ist, die das Ergebnis verfälschen.
a) Geben Sie eine Testvorschrift auf der Basis des zweiseitigen Binomialtests an, der diese
Vermutung absichert. Für B(n, p)-Verteilungen teste man
H0 : {p = 0, 25}
gegen H1 : {p 6= 0, 25}.
b) Was ist die effektive Irrtumswahrscheinlichkeit?
c) Welche Entscheidung ist zu treffen, falls Z = 4 (bzw. Z = 8) ist?
Anleitung: Stellen Sie Z = 48
i=1 Xi als Summe unabhängiger B(1, p)-verteilter Zufallsvariablen
dar und verwenden Sie die zur Aufgabe 34 gehörende Tabelle.
P
Abgabe: 29.01.2003, 11.00 Uhr, in den Übungskästen