1.1 Potenzreihen

KAPITEL 1. KONVERGENTE FOLGEN
1.1
62
Potenzreihen
Lemma 1.1.0 (Lemma von Abel) (an ) reelle Folge, b > 0 so dass (an bn )
beschränkt, 0 ≤ r < b. Dann konvergiert die Potenzreihe
X
A(x) :=
an xn
n≥0
absolut für alle |x| ≤ r.
Beweis : Ist |an bn | ≤ C für alle n, so ist
X r n
C·
b
n≥0
konvergente Majorante für |x| ≤ r.
EX:
X
nxn konvergiert absolut für |x| < 1.
n≥0
Für 0 < b < 1 ist b =
1
1+δ ,
δ > 0, also nbn =
n
(1+δ)n
≤
n
1+nδ
< 1δ .
Bekanntlich gibt es zu jeder Menge X eine Menge Y , so dass Y 6∈ X. Deshalb
gibt es Mengen +∞ und −∞7 , so dass
±∞ 6∈ R, +∞ =
6 −∞. Durch
−∞ < x < +∞, x ∈ R
wird die Ordnung
R auf \ R := R ∪ {±∞} fortgesetzt. Für eine PotenzP von
n
reihe A(x) =
an x sei
n≥0
KA := {b ≥ 0 | (an bn ) beschränkt}
und
RA :=
+∞
KA unbeschränkt
sup KA KA beschränkt
RA ist der sogenannte Konvergenzradius in A.
Satz 1.1.1
(1)
X
an xn konvergiert absolut für |x| < RA
n≥o
7
plus bzw. minus unendlich
KAPITEL 1. KONVERGENTE FOLGEN
63
(2)
X
an xn divergiert für |x| > RA
n≥o
absolut konvergent
?
0
c
c
−RA
@
I
@
@
?
c
RA
divergent
divergent
EX:
[1]
X xn
n≥1
n
hat den Konvergenzradius 1.
X xn X
≤
|x| < 1 :
|x|n konvergente Majorante, d.h. RA ≥ 1.
n
n≥1
n≥0
x=1:
X1
divergiert, d.h. RA ≤ 1.
n
n≥1
x = −1 :
X (−1)n
n≥1
n
konvergent.
Folgerung: Auf dem Rand |x| = RA des Konvergenzkreises“ KA kann
”
sowohl Konvergenz als auch Divergenz vorliegen.
[2]
X
n!xn hat den Konvergenzradius 0.
n≥0
Wäre nämlich RA > 0 so existiert 0 < b, c so dass n!bn ≤ c für alle n ∈ N
also für n >> 0:
√
2
1 √
n
n √
n
< · n e < n! ≤ · n c ≤ ,
b
b
e
e
ein Widerspruch.
KAPITEL 1. KONVERGENTE FOLGEN
64
Die Partialsummen An (x) einer Potenzreihe
X
A(x) =
an xn
8/12/99
n≥0
sind Polynome vom Grade ≤ n,
An (x) =
n
X
ak xk
k=0
Ist
p(x) =
n
X
pk xk
k=0
ein Polynom und #N ST (p) > n so verschwinden alle Koeffizienten pk = 0.
Bei Potenzreihen verhält es sich genau so.
Satz 1.1.2 (Identitässatz) A(x) =
P
an xn Potenzreihe mit RA > 0,
n≥0
0 < r < RA so dass A(x) = 0 für |x| ≤ r. Dann ist an = 0 für alle n.
Folgerung 1.1.3
äq
(i)
P
an xn =
n≥0
P
bn xn , |x| ≤ r
n≥0
(ii) an = bn für alle n ∈ N.
Beweis : Angenommen {n | an 6= 0} =
6 ∅. Dann existiert
m := min{n | an 6= 0},
X
A(x) = xm ·
am+k xk ,
k≥0
insbesondere
X
am+k xk = 0 für 0 < |x| ≤ r,
k≥0
also
X
X
0 = am+k xk ≥ |am | − am+k xk k≥0
k≥0
und damit für o < |x| ≤ r
X
X
k−1 k
am+k x ≤ |x| · const,
|am | = am+k x = |x| k≥1
k≥1
folglich am = 0.
KAPITEL 1. KONVERGENTE FOLGEN
65
Satz 1.1.4
A(x) =
X
an xn , B(x) =
n≥0
X
bn xn .
n≥0
Dann hat die Potenzreihe
C(x) =
X
cn xn , cn :=
n≥0
n
X
ak bn−k
k=o
den Konvergenzradius RC ≥ min{RA , RB } und es gilt für alle
|x| < min{RA , RB }
C(x) = A(x) · B(x).
EX:
A(x) =
X
xn , B(x) = 1 − x, C(x) = 1
n≥0
RC = +∞ > min{RA , RB } = 1.
P
[HS]
P
un ,
n≥0
n
P
vn absolut konvergent,
n≥0
wn :=
uk vn−k .
P
Dann ist auch
wn absolut konvergent und es ist
k=0
n≥0

X
wn = 
n≥0

X
un  
n≥0

X
vn  (Allgemeines Distributivgesetz).
n≥0
Beweis : Es existiert ein c ≥ 0 so dass
X
X
|un |,
|vn | ≤ c.
n≥0
n≥0
Dann ist für m ∈ N
m
X
k=0
d.h.
P

|wk | =
X
|ui ||vj | ≤ 
i+j≤m

X
|ui | 
i≤m

X
j≤m
wk konvergiert absolut.
n≥0
Sei sn :=
n
P
k=0
uk , tn :=
n
P
vk , t = lim sn , s = lim tn .
k=0
Zu ε > 0 gibt es ein N ∈ N so dass
X
X
|uk |,
|vk | <
k≥N
k≥N
ε
.
2·c+1
|vj | ≤ c2 ,
KAPITEL 1. KONVERGENTE FOLGEN
66
Für m > 2N ist dann
m
X
X
X
wk = ui vj −
ui vj sm tm −
i,j≤m
i+j≤m
k=0
X
≤
|ui ||vj |
i,j≤m
i+j>m
≤
X
|ui ||vj | +
i≤m
j>N
≤ c·
X
|ui ||vj |
j≤m
i>N
X
|vj | + c ·
j>N
X
|ui |.
i>N
In der Grenze ist damit
X cε
s · t −
wk ≤
< ε,
2c
+1
k≥0
d.h.
s·t=
X
wk .
k≥0
Bemerkung 1.1.5 (Ergänzung (nicht Teil der Vorlesung))
(an )n≥0 beschränkte Folge reeller Zahlen
an := sup{ak |k ≥ n} = sup ak
k≥n
an := inf{ak |k ≥ n} = inf ak .
k≥n
Offenbar gilt
(1) an ≤ an ≤ an
(2) an %, an & .
Da (an ) beschränkt ist, existieren die Limiten lim an bzw. lim an und es gilt
liman := lim an = inf sup ak (limes superior)
n k≥n
liman := lim an = sup inf ak (limes inferior)
n k≥n
KAPITEL 1. KONVERGENTE FOLGEN
67
s(an )n≥0 beschränkte Folge reeller Zahlen
äq
(i) (an ) konvergent
(ii) liman = liman .
Folgerung 1.1.6 Konvergiert (an ) so ist lim an = liman = liman .
Beweis : (ii) ⇒ (i) : an ≤ an ≤ an .
(i) ⇒ (ii) : liman ≤ lim an ≤ liman . a := lim an , ε > 0. Dann existiert ein
N ≥ 0 so dass a − ε < an < a + ε für alle n ≥ N, also
a − ε ≤ an ≤ an ≤ a + ε für alle n ≥ N für alle n ≥ N . Damit ist
a − ε ≤ liman ≤ liman ≤ a + ε, d.h. liman = liman = lim an .
P
Theorem 1.1.7 (Hadamard) ∆(x) =
p
an xn so dass ( n |an |)
n≥0
beschränkt. Dann ist
(
RA =
lim
EX: A(x) =
P
∞
1
√
n
|an |
p
n
lim p
|an | = 0
lim n |an | =
6 0.
(1 + (−1)n )n · xn
n≥0
p
n
|an | =
0
n ≡ 1(2)
√
n
2n n ≡ 0(2)
p
lim n |an | = 1, d.h. RA = 1.
p
Beweis : Da ( n |an |) beschränkt, ist RA > 0.√Zu 0 < t < RA gibt es dann
p
p
n
ein c > 0 so dass |an tn | ≤ c, d.h. n |an | ≤ t c und damit lim n |an | ≤ 1t .
p
1
1
√
√
≥ RA , insbesondere
≥ t, d.h.
Ist lim n |an | =
6 0, so ist
n
n
lim
RA 6= ∞. Ist 0 < t <
lim
1
√
n
|an |
|an |
lim
|an |
, so ist
p
n
|an | ≤ sup
k≥n
p
k
|ak | ≤
1
t
für alle n ≥ N, N geeignet
und damit (an tn ) beschränkt,pd.h.
p
1
n
√
. Ist lim |an | = 0 und 1 > ε > 0 so ist n |an | ≤ ε für alle
RA ≥
n
lim
|an |
n ≥ N, N geeignet, d.h. (an ε−n ) beschränkt und damit RA = ∞.