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Mathematik 1 (Analysis)
I.
VO-Mitschrift
Markus Öhler
Funktion
Definition: Eine Funktion ist eine Zuordnung einer Menge A zu einer Menge B, sodass jedem
Element aus der Menge A genau ein Element der Menge B zugeordnet ist.
A
Beispiel:
x
x
B
2x
x ist keine Funktion, da z.B.: -1 keinen Funktionswert besitzt
Darstellungsarten:
1. Wertetabelle: (A muss endlich sein)
Beispiel:
A = {1, 2,3, 4}
f:
B = {A,B,...,Z}
1
A
2
A
3
Z
4
X
2. Graph:
f(x)
f(x1)
x1
x
Graph einer Funktion daran erkennbar, dass es zu jedem möglichen Wert auf der xAchse nur einen y-Wert gibt!
3 Schnittpunkte
keine Funktion
keine Schnittpunkte
keine Funktion
Die xy-Ebene ist ein Produkt von ℝ mit sich selbst,
ist {( x, y ) | x ∈ , y ∈
}
×
oder
2
, d.h. die xy-Ebene
(Menge aller Paare, bzw. Produktmenge).
Sind die Mengen A und B endlich, dann gilt: A × B = {(1, A), (1, B),..., (2, A),..., (4, Z)}
Der Graph einer Funktion ist eine Teilmenge der Produktmenge.
-1-
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Markus Öhler
Beispiel: Graph von f : {(1, A), (2, A), (3, Z), (4, X)}
3. Darstellung durch Funktionsvorschrift
Beispiel: x
x2
Anmerkung: Es gibt auch Funktionen die sich nicht grafisch darstellen lassen,
obwohl sie berechenbar sind. Solche Funktionen sind jedoch nicht Stoff dieser
Vorlesung.
Schreibweise:
f : A → B, x
Name der
Funktion
Menge der
Stellen
Beispiel:
f : → , 2x
x2
x2
Bildmenge
Variable
Funktionsvorschrift
angewandt auf x
Syntaxfehler:2x ist ein Ausdruck, keine Variable
y
y2
⇒ x2 =
2
4
2
y
korrekter, reparierter Ausdruck
f : → ,y
4
Nicht alle Ausdrücke lassen sich reparieren, x 2
x ist z. B.irreparabel
2x = y ⇒ x =
Zusammengesetzte Funktionen:
A
f
B
g
C
Verknüpfung: g f : A → C
A
Definition:
f : A → B, x
g : B → C, y
g f
f ( x)
f ( y)
g f : A → C, x
g ( f ( x))
⇒ ( g f )( x) = g ( f ( x))
-2-
C
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Markus Öhler
Identitätsfunktion:
id A : A → A, x
f :A→ B
x
A beliebige Menge
⇒ f id A = f
Eigenschaften von Funktionen:
Injektivität:
Definition: Eine Funktion f : A → B heißt injektiv, wenn jeder Wert y ∈ B
Funktionswert von höchstens einem x ∈ A ist.
injektiv
nicht injektiv
nicht injektiv, da mehr als
1 Schnittpunkt
Surjektivität:
Definition: Eine Funktion f : A → B heißt surjektiv, wenn jedes y ∈ B mindestens
einmal Funktionswert eines x ∈ A ist.
surjektiv
nicht surjektiv
Bijektivität:
Definition: Eine Funktion f : A → B heißt genau dann bijektiv, wenn sie injektiv und
surjektiv ist. Daraus folgt, dass A und B gleich viele Elemente haben müssen.
bijektiv
nicht bijektiv
-3-
Mathematik 1 (Analysis)
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Ist eine Funktion bijektiv, dann existiert auch eine inverse Funktion:
f −1 : B → A, y das eindeutig bestimmte x, für das f ( x)
y
Eigenschaften:
f −1 f : A → A ist gleich id A
f f −1 : B → B ist gleich id B
Eine Funktion g : B → A für die g f = id A ist, heißt linksinverse Funktion von f.
(analog dazu: rechtsinverse Funktion)
Berechnen der Inversen Funktion, falls die Funktion durch einen Term gegeben ist:
f : A → B, x
F ( x)
Ansatz: y = F ( x)
Versuch, durch Equivalenzumformelung x auf eine Seite zu
bekommen.
Beispiel:
y+2
7
Die Umkehrfunktion ist dann die Lösung dieser Gleichung in Abhängigeit von y:
y+2
f −1 : B → A, y
7
y = 7x − 2
⇒x=
Weitere Bezeichnungen:
f : A → B sei eine beliebige Funktion
Das Bild von f, geschrieben f(A) ist definiert als {b | es gibt ein a ∈ A, sodaß f (a ) = b} .
Es gilt f ( A) ⊆ B.
Falls f ( A) = B ⇔ f surjektiv
surjektiv
Satz: Jede Funktion f : A → B induziert eine Relation ∼ f durch a1 ∼ f a2 ⇔ f (a1 ) = f (a2 ) .
Diese Relation ist eine Equivalenzrelation., d.h. es gilt:
a1 ∼ f a2
Reflexivität
a1 ∼ f a2 ⇒ a2 ∼ f a1
Symmetrie
a1 ∼ f a2 ∧ a2 ∼ f a3 ⇒ a1 ∼ f a3
Transitivität
Bemerkung: Eine Equivalenzrelation unterteilt eine Menge A in Klassen.
A
Kl. 1
a1 ∼ f a2
a1 ∼ f a3
Kl. 2
a2
a1
a3
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II.
VO-Mitschrift
Markus Öhler
Reelle Zahlen
Antike Definition: Eine reelle Zahl ist eine Proportion von zwei messbaren Größen.
Beispiel:
:
= 2,1
Rechenoperationen waren in der Regel geometrisch definiert.
Beispiel: Addition
:
+
:
:
=
Andere Operationen sind geometrisch analog definiert.
Vermutung: Jede Proportion lässt sich beschreiben als Verhältnis zweier natürlicher Zahlen.
Diese Vermutung ist leider falsch.
Gegenbeispiel: Die Proportion zwischen Seite und Diagonale eines Quadrats lässt sich nicht
durch natürliche Zahlen ausdrücken.
d
:
s
„irrationale Proportion“
d :s = 2
2 ist keine rationale Zahl, d.h. nicht von der Form
p
( p, q ∈ )
q
Einführung des Dezimalsystems
Definition: Eine Dezimalzahl ist ein String (Kette) von Zeichen aus
{0,1, 2,3, 4,5, 6, 7,8,9, ', ', +, −} mit folgenden Eigenschaften:
ƒ
ƒ
+ oder – kommt genau einmal am Anfang vor (Vorzeichen)
, kommt genau 1x vor
Beispiel:
6, 0 : 4, 0 = 1, 25
1, 0 : 3, 0 = 0,333...kein endlicher String
Definition: Ein unendlicher String aus einem Alphabet Σ (in unserem Fall
{0,1, 2,3, 4,5, 6, 7,8,9, ', ', +, −} , ist eine Zeichenkette die nicht abbricht.
oder
Ein unendlicher String ist eine Funktion
→Σ.
Beispiel:
01, 234...
f
(1) f ( 2 ) f ( 3)
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Markus Öhler
andere Definition: Eine unendliche Dezimalentwicklung ist ein unendlicher String
aus dem Alphabet Σ wie oben, mit den obigen Syntaktischen Bedingungen.
Problem dieser Definition: Menge der unendliche Dezimalzahlen ≠ Menge der
reellen Zahlen
Beispiel:
0,999999...
 müsste diesselbe reelle Zahl sein
1, 000000... 
Ausweg: Durch definieren folgender Äquivalenzrelation auf den unendlichen
Dezimalentwicklungen:
a∼b⇔a=b
oder
a endet mit einer unendlichen Folge von 9ern
b endet mit einer unendlichen Folge von 0ern
und der Teil vor diesen beiden unendlichen Folgen unterscheidet sich um 1
Beispiel:
0, 23999999... ∼ 0, 24000000...
Definition: Eine reelle Zahl ist eine Equivalenzklasse von Dezimalentwicklungen
Beobachtung: Jede Klasse hat ein oder zwei Elemente d.h. jede reelle Zahl besitzt
entweder eine oder zwei Dezimalentwicklungen
Darstellung von unendlichen Dezimalentwicklungen am Computer
Periodische Dezimalentwicklung:
Definition: 0,3333... = 0, 3 d.h.: Σ wird erweitert mit  und , den
Periodenmarkierungen erweitert
Beispiel: 1, 0 : 7, 0 = 0, 142857
Satz: Jede rationale Zahl lässt sich als periodische Dezimalentwicklung darstellen.
Beweis: siehe Literatur
Nichtperiodische Dezimalentwicklungen:
Beispiel:
π = 3,14159...
α = 0,123456789101112...
2 = 1, 41421...
Bemerkung: α lässt sich endlich beschreiben durch ein sehr kurzes Programm (bzw.
Turing-Maschine), das diese Zeichenkette ausdrückt. Unendliche Dezimalentwicklungen, die sich durch eine Turing-Maschine endlich beschreiben lassen,
heißen gesetzmäßig oder berechenbar.
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Mathematik 1 (Analysis)
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Markus Öhler
Beispiel: Addition
1. Versuch
23,147908...
0, 053664...
Es lässt sich nicht dieselbe Methode(„von rechts nach links“)wie bei endlichen
Dezimalzahlen anwenden.
Bemerkung: Die Division funktioniert als einzige Rechenoperation „von links
nach rechts“.
2. Versuch: Abbruch bei n-ter Stelle hinter den Komma, für n = 1,2,3,4,…
23,1
23,14
23,147
23,1479
0, 0
0, 05
0, 053
0, 0536
23,1
23,19
23, 200
23, 2015
Summe ist 23,201…
Bemerkung: Scheint zu funktionieren, Ergebnis ergibt sich als Grenzwert einer
Folge: a1 = 23,1; a2 = 23,19;...
Grenzwert = lim an = 23, 201... (näheres zu Grenzwerten folgt später)
n →∞
Versuch 2 zielt darauf ab, eine Turingmaschine T+ zu konstruieren, die 3 Bänder
besitzt (2 Lese- und ein Schreibband), wobei auf den ersten beiden Bändern die
Summanden geschrieben werden (durch eigene Turing-Maschinen Ta und Tb) und auf
das Ausgabeband das Ergebnis geschrieben wird.
0,333333333...
0, 666666666...
Um die erste Ziffer des Resultats müsste T+ sehr weit nach rechts lesen. Falls auf
Band 1 lauter 3er und auf Band 2 lauter 6er stehen, kann T+ die erste Ziffer vom
Resultat jedoch nie schreiben. Dies lässt sich reparieren durch eine zusätzliche Ziffer
(-1).
Beispiel:
0,33332
0, 66666
1, 0000 ( −1)
genaueres zu dieser Methode siehe Übungen
Berechenbare reelle Zahlen
Definition: Eine reelle Zahl heißt berechenbar, wenn sie sich beliebig genau
approximieren lässt, d.h.: Es gibt ein Programm, das bei Eingabe n eine (endliche)
Dezimalzahl an ausgibt, sodass an − α ≤ 10− n ist.
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Mathematik 1 (Analysis)
III.
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Folgen und Reihen
Definition: Eine Folge von reellen Zahlen ist eine Funktion
Notation: Ist a :
→
geschrieben ( an )n .
→
.
eine Folge, so schreiben wir an für a(n) . Die Funktion n
an wird
Beispiel: Arithmetische Folge
an = k ⋅ n + d
( kn + d )n = ( d , d + k , d + 2k ,...)
Beispiel: Konstante Folge
( c )n = ( c, c, c, c,...)
Beispiel: Geometrische Folge
an +1
= const. ⇒ an = a ⋅ q n
an
( aq ) = ( a, aq, aq , aq ,...)
2
n
3
n
Rekursiv definierte Folge:
an = a, an +1 = q ⋅ an (rekursive Definition der geom. Folge)
Beispiel: Fibonacci-Folge
a0 = 1, a1 = 1, an + 2 = an +1 + an
(1,1, 2,3,5,8,...)
Spezialfall: Iteration von Funktionen
a0 = a, an +1 = f (an ) , wobei f :
Beispiel:
f :x
→
eine bel. Funktion ist.
cos x , d.h. an +1 = cos an ; a0 = 0
(1, 0.540, 0.858, 0.654, 0.793, 0.197, 0.764, 0.723, 0.750,...)
Folge konvertiert gegen einen Fixpunkt von f.
In diesem Fall :
cos(0.739) = 0.739
Definition: Ein Wert x, sodass f(x) = x heißt Fixpunkt von f. Iterationen von Funktionen
führen zu Fixpunkten.
Definition: „Attraktive Fixpunkte“ sind solche, bei denen rekursive Folgen an +1 = f (an )
gegen x konvergieren, wenn der Startwert a0 in einem Intervall um x liegt.
(„Attraktionsgebiet).
Beispiel:
an +1 = 4an (1 − an )
Iteration:f :
→ ,x
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4 x(1 − x)
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a0 = 13 ; Folge hat keinen Grenzwert sondern zeigt charakteristisches Verhalten im
Intervall [0,1] [0,1] = { x ∈
/ 0 ≤ x ≤ 1} . Die Folge kommt jeder Zahle x ∈ [0,1]
unendlich oft beliebig nahe.
Eigenschaften von Folgen:
Definition: (an ) n heißt monoton steigend (fallend), wenn für alle n gilt an +1 ≥ an (an +1 ≤ an ) .
Definition: (an ) n heißt streng monoton steigend (fallend), wenn für alle n gilt
an +1 > an (an +1 < an ) .
Beispiel:
 monoton steigend wenn k ≥ 0

monoton fallend wenn k ≤ 0

(kn + d ) ist 
streng monoton steigend wenn k > 0
 streng monoton fallend wenn k < 0
Definition: Eine Folge ( an ) n heißt nach oben (unten) beschränkt, wenn es eine Zahl M gibt,
sodass für alle n gilt: an ≤ M (an ≥ M ) .
Beispiel:
n+2
n+2
≥ 0 und nach unten durch 2.
ist nach unten durch 0 beschränkt, da
n +1
n +1
Beweis:
n+2
≤ 2 ⇔ n + 2 ≤ 2n + 2
n +1
0 ≤ n ist richtig für alle n ∈
Definition: Eine Folge heißt beschränkt, wenn sie sowohl nach oben als auch nach unten
beschränkt ist.
an =
Beispiel: Geometrische Folge
(2n ) n ist unbeschränkt
Wichtig: Zuerst M wählen, unabhängig von n.
Proposition (Sätzchen): Jede monoton steigende (fallende) Folge ist nach unten (oben)
beschränkt.
Definition: Eine Folge ( an ) n heißt Nullfolge, wenn für jedes Intervall [−ε , ε ] um 0 gilt, dass
nur endlich viele Folgenglieder außerhalb liegen. (d.h.: die Folge bleibt beliebig nahe bei 0;
konvergiert gegen 0)
Beispiel:
1
ε =10-6
ist eine Nullfolge
n
Fast alle Folgenglieder an liegen im Intervall [−10−6 ,10−6 ] , denn
an =
an ≥ 0 ≥ −10−6
an ≤ 10−6 ⇔
1
≤ 10−6 ⇔ n ≥ 106
n
Die Folgenglieder ( a1000000 , a100001 ,...) liegen alle im Intervall.
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Markus Öhler
Beispiel:
(aq n ) n ist eine Nullfolge wenn q < 1 .
Anmerkung: Insbesondere sind Nullfolgen beschränkt.
Grenzwert:
Definition 1: Die Folge (an ) n hat den Grenzwert a genau dann, wenn die Folge (an − a )n
eine Nullfolge ist.
Definition 2: (equivalent zu Def.1) Die Folge (an ) n hat den Grenzwert a wenn für jedes
Intervall [a − ε , a + ε ](ε > 0) gilt, dass nur endlich viele Glieder außerhalb liegen.
Beispiel:
n+2
hat den Grenzwert 1.
n +1
a0 = 9, an +1 = cos an hat den Grenzwert 0,739
an =
Definition: Sei (an ) n eine Folge und a ∈ . a heißt Häufungswert der Folge, wenn jedes
Intervall [ a − ε , a + ε ](ε > 0) unendlich viele Folgenglieder enthält.
Beispiel:
a ⋅ (−1) n
(
) = ( a, −a, a, −a,...) besitzt zwei Häufungswerte, nämlich a und –a
n
Beispiel:

n n +1
 (−1) ⋅
 besitzt zwei Häufungswerte, nämlich -1 und 1
n n

( −2.15, −1.33,1.25, −1.2,1.17,...)
Diese Folge besitzt 2 Teilfolgen mit Grenzwerten -1 und 1
Satz:
Sei (an )n eine Folge, a ∈ . Die folgenden Aussagen sind equivalent:
1. a ist Häufigkeitswert der Folge (an )n
2. Es existiert eine Teilfolge (bn ) n = (a f ( n ) ) n mit Grenzwert a
Notation:
a ist Grenzwert von (an ) n ⇔ a = lim an .
n →∞
Falls (an ) n keinen Grenzwert hat, so hat der Ausdruck lim an keinen Wert.
n →∞
Rechenregeln für Grenzwerte
Regel: Addition und Multiplikation erfolgen gliedweise
( an )n + ( bn )n = ( an + bn )n
( an )n ⋅ ( bn )n = ( an ⋅ bn )n
Satz: Wenn (an ) n und (bn ) n konvergieren (d.h. es existiert ein Grenzwert) so gilt:
lim ( an + bn )n = lim an + lim bn
n →∞
n →∞
n →∞
lim ( an ⋅ bn )n = lim an ⋅ lim bn
n →∞
n →∞
n →∞
Beispiel:
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n+2
1 
1

= lim 1 +
+ lim1 + lim

n →∞ n + 1
n →∞
 n + 1  n→∞ n→∞ n + 1
lim
Definition: Die Konvergenzrate ist eine Funktion N :
Wenn n ≥ N (ε ) ⇒ an ∈ [a − ε , a + ε ]
→
so dass für alle ε , n gilt:
Anmerkung: Wenn z.B. ε = 10−6 dann liegen alle Folgenglieder ab N (10−6 ) in einem 10−6 Intervall um den Grenzwert, d.h. um den Grenzwert bis auf Genauigkeit 10−6 zu bestimmen,
reicht es, das N (10−6 ) -te Glied auszurechnen.
Beispiel:
1
Folge  
N (10−6 ) = 106
 n n
Grenzwert ist höchstens 10−6 von a1000000 entfernt. (sehr schlechte Konvergenz)
Beispiel:
( an )n = ( (1 + 1n )n )
n
Grenzwert = 2.7128 (schlechte Konvergenz)
Beispiel: Geometrische Folge ( q < 1 ) (gute Konvergenz)
  1 n 
   
  2  n
Konvergenzrate:
lim( 12 ) = 0
1
q = ,a =1
2
n →∞
Satz: Für die Konvergenzrate N :
an ∈ [−ε , ε ] für n ≥ N (ε )
( 12 )
( )
n
1 n
2
+
→
muss gelten an ∈ [−ε , ε ] .
> 0 ≥ −ε
=
log ε1
1
1
1
n
2
ε
n
≤
⇔
≥
⇔
>
= log 2
n
2
log 2
ε
ε
Beispiel:
ε = 10−6
N (ε ) =
log106
6
−
= 18
log 2 0, 27
Definition: Wenn N (ε ) ∼ log ( ε1 ) d.h.: um m Stellen zu berechnen (ε = 10−6 , N (ε ) ∼ m)
braucht man ungefähr m Folgenglieder, so heißt die Folge linear.
Behauptung: Die Folge a0 = 0, an +1 = cos an konvergiert linear.
Definition: Braucht man um m stellen zu berechnen ca. log m Folgenglieder, so spricht man
von einer quadratischen Konvergenz.
Beispiel:
an +1 =
an + a2n
2
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