Lösungen zu Übungsblatt 3 , MST Mathematik 2 Zu

Lösungen zu Übungsblatt 3 ,
MST Mathematik 2
Zu Aufgabe 1
Wie lauten Re(z), Im(z) und z* für folgende komplexe Zahlen?
Stellen Sie jeweils z und z* als komplexe Zeiger im Koordinatensystem dar!
a)
b)
c)
z = j : Re(z) = 0, Im(z) = 1, z*=-j
z = 16 – 4j : Re(z) = 16, Im(z) = -4, z* = 16+4j
z = -2 - 3j : Re(z) = -2, Im(z) = -3, z*= -2+3j
Grafische Darstellung
Zu Aufgabe 2
Seien z1 = j
b) z2 = 16 – 4j
c) z3 = -2 - 3j
Berechnen Sie folgende komplexe Zahlen und stellen Sie das Ergebnis wieder in Normalform
(z= a+jb) dar!
a) z1*z2 + z3
b) z12, z13, z14, z15
c) Geben Sie eine allgemeine Formel für z1n an!
Lösung:
Zu a) z1*z2 + z3 = j(16-4j)+ (-2-3j)= 16 j – 4 j2 -2-3j = 16j – 4(-1)-2-3j = 2 + 13 j
Zu b) j2 = -1,
j3 = j2j = -j
j4 = j3j = -j2 = -(-1) = 1
j5 = j4j= j
n


 (1) 2
falls
n gerade 
n
Zu c) j  

n 1
(1) 2 j falls
n ungerade

1
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Zu Aufgabe 3
1.Stellen Sie folgende komplexen Zahlen als Zeiger im kartesischen Koordinatensystem dar!
2. Geben Sie Realteil, Imaginärteil und den Betrag an!
3. Geben Sie dann alle Zahlen in TF (Trigonometrischer Form) an!
a) z1   j  1
b) z 2  5  2 j
c)
z3  2  j
Lösung:
1.Grafische Darstellung als komplexe Zeiger:
2. Realteil, Imaginärteil und Betrag: ( | z | Re( z ) 2  Im( z ) 2 = Länge des Zeigers)
Zahl z
z1
z2
Re(z)
1
5
Im(z)
-1
-2
z3
2
-1
|z|
2
29
5
3. Trigonometrische Form z= | z | (cos( )  j sin( )) | z | (cos( )  j sin( ))
wobei  der Winkel von der positiven Re(z)-Achse zum Zeiger z gegen die UhrzeigerRichtung ist; und  ist der Winkel von der positiven Re(z)-Achse zum Zeiger z in UhrzeigerRichtung.
z1,z2 und z3 liegen alle im 4. Quadranten.
Demzufolge werden die Winkel wie folgt berechnet:
| Im( z ) |
| Im( z ) |
,   arctan(
tan( ) 
) ,   360   .
| Re( z ) |
| Re( z ) |
2
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Zahl z
z1
z2

arctan(1/1)=arctan(1)=45°
arctan(2/5)= 21,8°
 =360° - 
315°
338,2°
z3
arctan(1/2)= 63,43 °
296,57°
z in EF
2e  j 45  2e j 315
29e  j 21,8
5e  j 63, 43
Zu Aufgabe 4
1. Zeichnen Sie folgende komplexe Zahlen als Zeiger im kartesischen
Koordinatensystem!
2. Stellen Sie folgende komplexen Zahlen in NF (Normalform) dar!
3. Geben Sie Realteil, Imaginärteil und den Betrag an!
a) z1  2e
j

2
b) z 2  3e
j

4
z 3  4e j 60
c)
Lösung:
1. Grafische Darstellung als komplexe Zeiger:
3
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2. Berechnung der Normalform:


z1  2 cos( )  j  2 sin( )  2 j
2
2


(weil: cos( )  cos(90)  0, sin( )  sin(90)  1 )
2
2


3
3
z 2  3 cos( )  j  3 sin( ) 
j
4
4
2
2


1
1
(weil: cos( )  cos(45)  sin( )  sin( 45) 
)
2
4
4
2
2
1
z 3  4 cos(60)  j 4 sin(60)  4   j 4  0,866  2  3,464 j
2
(weil: cos(60)  1 / 2,
sin(60)  0,866 )
3. Realteil, Imaginärteil und Betrag: ( | z | Re( z ) 2  Im( z ) 2 = Länge des Zeigers)
Zahl z
z1
z2
Re(z)
0
3
2
2
z3
Im(z)
2
3

2
3,464
Zu Aufgabe 5
Zeigen Sie :
Für jede komplexe Zahl z = a + jb gilt:
a) Re(z) =
z  z*
2
b) Im(z) =
z  z*
2j
c) zz* = |z|2
Lösung:
Sei z  x  jy
a) z  z   x  jy  x  jy  2 x  j ( y  y )  2 x  Re( z )
b) z  z   x  jy  x  jy  x  x  j (2 y )  j (2 y )  2 Im( z )
c)zz* = (Re(z)+jIm(z))(Re(z)-jIm(z)) = (Re(z))2 +Im(z)2) = |z|2
4
|z|
2
3
4