Brückenkurs Mathematik III - ¨Ubung 4

Universität der Bundeswehr München
11.05.2007
Fakultät für Luft- und Raumfahrttechnik
Institut für Mathematik und Rechneranwendung
Dr. A. Aurnhammer
Brückenkurs Mathematik III - Übung 4
Komplexe Zahlen IV
24) Eulersche Formel: eiy = cos y + i sin y.
In der Funktionentheorie wird die komplexe Exponentialfunktion als Reihe für die reelle Exponentialfunktion definiert, deren Argument aber eine
komplexe Zahl ist:
z ∈ CI ez :=
∞
X
zk
k=0
k!
,
z = x + iy.
a) Bestimmen Sie das Produkt der Reihen für ez1 und ez2 , wobei z1 , z2
komplexe Zahlen sind. Hinweis: Cauchy Produkt.
b) Bestimmen Sie eiy , es sei also z = iy mit i2 = −1.
25) Leiten Sie mittels der Eulerschen Formel
eiϕ = cos ϕ + i sin ϕ
und der Regel ei(α+β) = eiα eiβ die Additionstheoreme
sin(α + β) = sin α · cos β + cos α · sin β
cos(α + β) = cos α · cos β − sin α · sin β
für reelle Zahlen α, β her.
26) Zeigen Sie
1 + ε1 + . . . + εn−1 = 0
für die n-te Einheitswurzel (n ∈ IN)
2π
ε = ei n = cos
2π
2π
+ i sin
.
n
n
27) Welche komplexen Zahlen z erfüllen die Gleichung
1 + z2 + z4
1
=
6
1−z
2
Hinweis: Substituieren Sie w := z 2 .
28)
a) Bestimmen Sie alle komplexen Nullstellen z0 , z1 , . . . , zr der Funktion
f (z) = −
1+z
+ z + z2 + z3 + z4 + z5
1−z
in der Form z = x + iy.
Hinweis: Endliche geometrische Reihe.
b) Sei M := {z ∈ CI : z 2 + z 2 + 10zz ≤ 24}.
Zeichnen Sie M in der komplexen Ebene.
Hinweis: Stellen Sie z und die konjugierte komplexe Zahl z in kartesischen Koordinaten dar.
29) Finden Sie alle Nullstellen z ∈ CI des Polynoms
w = f (z) = z 12 − 63z 6 − 64.
Die Nullstellen z sind in der kartesischen Form z = u + iv mit u, v ∈ IR
anzugeben, wobei u, v keine Winkelfunktionen enthalten dürfen.
30) Bestimmen Sie die komplexen Zahlen z, die die Gleichung z 4 +
3
= 4
z4
erfüllen.
Die Lösungen sind in der Form z = u + iv anzugeben, wobei u, v keine
trigonometrischen Ausdrücke sein dürfen.
31) Bestimmen Sie die Menge M aller Punkte z der komplexen Ebene, für die
gilt
|z 2 − 1| ≤ 1
Geben Sie die explizite Funktion r = r(ϕ) der Randkurve von M an und
skizzieren Sie M ; r und ϕ sind die Polarkoordinaten von z.