Übungen aus Analysis 1 - Aufgabenblatt IV WS 2004/2005 31. Berechnen Sie den Grenzwert der Folge an = √ n3 + 1 − √ n3 . 32. Nutzen Sie die Ungleichung n! = n(n − 1) · · · 3 · 2 · 1 ≥ 2n−1 , n ≥ 2, um zu zeigen, dass die Folge n X 1 an = k! k=1 konvergiert. 33. Sei 0 < a < b. Zeigen Sie: Die rekursiv definierten Folgen {an } und {bn } mit a0 = a, b0 = b und an + bn 2an bn , bn+1 = an+1 = an + bn 2 bilden eine Intervallschachtelung für das geometrische Mittel. Untersuchen Sie die Folgen (xn )n∈N auf Konvergenz, und berechnen Sie gegebenenfalls den Grenzwert: 34. x1 = a und xn+1 = x2n + 1 4 für n ∈ N und a ∈ [0, 12 ]. 35. x1 = 0 und xn+1 = 12 (a + x2n ) für n ∈ N und a ∈ [0, 1]. 36. x1 = a und xn+1 = a + 37. x1 = 1 und xn+1 = 1 xn 1 1+xn für n ∈ N und a ≥ 1. für n ∈ N. Pn Sei (xn )n∈N eine Folge reeller Zahlen. Für n ∈ N heißen die Zahlen sn = n1 k=1 xk CesàroMittel der Folge (xn ). Die Folge (xn ) heißt Cesàro-limitierbar, wenn die Folge sn der Cesàro-Mittel konvergiert. In diesem Fall heißt der Grenzwert der Folge sn Cesàro-Limes. 38. Untersuchen Sie, ob die Folgen (xn )n∈N Cesàro-limitierbar sind, und bestimmen Sie gegebenenfalls den Cesàro-Limes. (a) xn = n2 + n (b) xn = 3 + (−1)n (c) xn = 2 + 3−n 39. Untersuchen Sie, ob die Folgen (xn )n∈N Cesàro-limitierbar sind, und bestimmen Sie gegebenenfalls den Cesàro-Limes. ( ( 0 falls 4k ≤ n < 2 · 4k für k ∈ N0 n falls n = k 2 für k ∈ N (b) xn = (a) xn = 1 sonst 0 sonst 40. Die van der Corput-Folge (vn )n∈N ist wie folgt definiert: Der Wert von vn ist die Dezimaldarstellung von n am Komma gespiegelt (zum Beispiel ist v123 = 0.321 und v1234 = 0.4321). Bestimmen Sie alle Häufungspunkte der Folge (vn ). 1