Complexe Zahlen, Fourierreihen - Formelsammlung

Complexe Zahlen, Fourierreihen - Formelsammlung
1
Complexe Zahlen
1.1
Grundlagen
Skript S. 1
Skript S. 1ff
Cartesische Form
Normalform: z = z1 + jz2
z1 = Re(z), z2 = Im(z)
Umrechnung in Polar:
(
p
arctan( zz12 ) z1 ≥ 0
2
2
r = |z| = z1 + z2 , ϕ =
arctan( zz21 ) z1 < 0
Polarsystem
Normalform: z = r cjs(ϕ) = r(cos ϕ + j sin ϕ) = rejϕ
ϕ = arg(z)
Umrechnung in Cartesisch:
z1 = |z| cos ϕ, z2 = |z| sin ϕ
j 2 = −1
Imaginäre Einheit
1.2
Rechenregeln
+, −
Mulitplikation
Division
Conjugiert complex
Wurzeln
Potenzen
ez
Moivre’sche Formel
Logarithmus
Bemerkungen
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1
j
ejπ = −1
= −j
Skript S. 10ff
Selbige Regeln wie für R
a · b = |a||b| cjs(α + β) = |a||b|ej(α+β)
a |a|
|a| j(α−β)
=
(cartesisch: Mit conj. complex des Nenners erweitern)
b
|b| cjs(α − β) = |b| e
z = z1 + jz2 = z1 − jz2 ;
z · z = |z|2
p
p
√
α
2π
arg(a)
n
n
a = n |a| cjs( n + k 2π
|a|ej( n +k n ) (k = 0, 1, . . . , n − 1 ⇒ n Lösungen in C!)
n )=
an = |a|n cjs(nα) = |a|n ejnα
ez1 +jz2 = ez1 cjs(z2 ) = ez1 (cos z2 + j sin z2 )
cjsn (ϕ) = (cos ϕ + j sin ϕ)n = cos(nϕ) + j sin(nϕ) (n ∈ N)
Ln(z) = ln |z| + j(arg(z) + 2kπ)
Einheitswurzeln
• pn (z) (n ≥ 1, z ∈ C) hat n Lösungen und Nullstellen (in C)
• Allgemeine Potenzen ab , a, b ∈ C können mit eb·Ln(a) und den bekannten für R gültigen Potenzregeln gelöst werden.
• Re ab = 0: Die beiden compl. Zahlen a, b stehen senkrecht zueinander.
1.3
12. Einheitswurzeln (k30˚)
(12)
√
(12)
(12)
√
(12)
(12)
√
√
(12)
e1 = 1, e2 = 23 + 12 j, e3 = 21 + 23 j, e4 = j, e5 = − 21 + 23 j, e6 = − 23 + 21 j,
√
√
√
√
(12)
(12)
(12)
(12)
(12)
(12)
e7 = −1, e8 = − 23 − 12 j, e9 = − 12 − 23 j, e10 = −j, e11 = 21 − 23 j, e12 = 23 − 21 j
1.4
Nullstellen von Polynomen
Ein complexes Polynom p(z) von Grad n hat in C genau n Nullstellen.
n P
ak an Alle diese Nullstellen liegen in einer Kreisscheibe um den Ursprung mit dem Radius
k=0
Bei Polynomen mit reellen Koeffizienten treten nicht-reelle Nullstellen immer als conj.-compl. Paare (z0 und z¯0 ) auf.
1.5
Euler
sin α =
1.6
e
jα
−e
2j
Skript S. 30f
−jα
cos α =
ejα +e−jα
2
tan α =
sin α
cos α
sinh α =
Überlagerung von harmonischen Schwingungen
A · sin(ωt + ϕ) = Im[A · ej(ωt+ϕ) ] = Im[
eα −e−α
2
cosh α =
Skript S. 32f
jϕ
A
| ·{ze }
·
Complexe Amplitude
A1 · sin(ωt + ϕ1 ) + A2 · cos(ωt + ϕ2 )
⇒
j(ωt+ϕ1 )
Im[A1 · e
eα +e−α
2
j(ωt+ϕ2 + π
2)
+ A2 · e
]
ejωt ]
|{z}
Zeitfunktion
⇒
π
Im[ejωt · (A1 · ejϕ1 + A2 · ej(ϕ2 + 2 ) ]
Complexe Amplituden in cartesische Form umwandeln, zusammenzählen und wieder zurück in Polarform wandeln.
Im[ejωt · (Atotal · ejϕtotal )]
⇒
Im[Atotal · ej(ωt+ϕtotal ) ]
F. Braun, L. Schmid, U. Giger, R. Koller, E. Ammann, S. Arnold
⇒
Atotal · sin(ωt + ϕtotal )
15. August 2007
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2
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Complexe Funktionen (Abbildungen)
Skript S. 37ff
Eine complexe Funktion hat einen 2-dimensionalen Input (z1 , z2 ) und einen 2-dimensionalen Output (w1 , w2 ).
Diese Abbildungen sind bis jeweils auf wenige Punkte (bei der Sinus-Funktion ±1, etc) winkeltreu.
f : D ⊆ C 7→ C
z 7→ w = f (z)
w1 = Re(f (r + jc)); w2 = Im(f (r + jc))
2.1
Lineare Funktion
f : z 7→ w = az + b
Skript S. 41ff
(a, b ∈ C und a 6= 0)
- für a = 1 eine Translation um den Ortsvektor b
b
, dem
- für a 6= 1 eine Drehstreckung mit dem Zentrum 1−a
Drehwinkel arg(a) und dem Streckfaktor |a|.
2.2
Quadratfunktion und Quadratwurzelfunktion
f : z 7→ w = z 2
f : z 7→ w =
√
Skript S. 45ff
z
Bei der Quadratfunktion wird schon die rechte Hälfte der
z-Ebene auf die ganze w-Ebene abgebildet (die Argumente
werden verdoppelt). Daraus ergibt sich zwei bzw. mehrere
Ebenen.
Eine Riemanische Fläche 3.Grades
2.3
Kehrwertfunktion und Kreisspiegelung
f : z 7→ w =
1
;
z
(arg(w) = − arg(z), |w| =
Skript S. 51ff
1
)
|z|
f : z 7→ w =
1
;
z
(arg(w) = arg(z), |w| =
1
)
|z|
Kreisspiegelung: Alle Punkte auf der z-Ebene werden am Einheitskreis gespiegelt. Geraden auf Kreise abgebildet und umgekehrt. Der Ursprungspunkt (0;0) wird auf ∞ abgebildet (auf allen Winkeln zwischen 0o − 360o ). Die Abbildungen sind im
verallgemeinerten Sinn (Geraden sind Kreise mit unendlichem Radius) kreistreu. Ausserdem sind sie bis auf den Koordinatenursprung winkeltreu
- Gerade durch 0 =⇒
Fixgerade (gleiche Gerade, aber die
Punkte darauf sind anders verteilt)
- Gerade nicht durch 0 =⇒ Kreis durch 0
- Kreis nicht durch 0 =⇒
Spiegelung des Kreises
an dem Einheitskreis
- Kreis durch 0 =⇒
Gerade nicht durch 0
F. Braun, L. Schmid, U. Giger, R. Koller, E. Ammann, S. Arnold
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2.4
Möbiustransformation
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Skript S. 57ff
f : z 7→ w = f (z) =
az + b
cz + d
(a, b, c, d ∈ C mit c 6= 0 und ad − bc 6= 0)
Die Möbiustransformation ist eine Verkettung einer linearen Funktion, der Kehrwertfunktion und einer weiteren linearen Funktion.
Diese Transformationen sind winkel- und kreistreu. Die Umkehrfunktion ergibt wieder eine Möbiustransformation.
Eigentlich besitzt diese Funktion nur drei Parameter da man den
Bruch az+b
cz+d stets so kürzen kann dass einer der vier Parameter 1
ist. Durch die 3 Freiheitsgrade kann man unterschiedlichste kriterien vorgeben und damit komplizierte Umformungen machen, wie
im Bild gezeigt wird:
2.5
Joukowski-Funktion
Skript S. 60ff
f : z 7→ w = z +
1
z
Die Funktion ist winkeltreu bis auf ±2
Wenn man einen Kreis, der nicht ganz im Zentrum steht transformiert ergibt sich ein Flügelprofil
2.6
Exponentialfunktion
Skript S. 64ff
f : z 7→ w = ez
Waagrechte Gitternetzlinen gehen gemäss der obigen
Gleichung in Strahlen über, die im Koordinatenursprung
beginnen, senktrechte Gitternetzlinien in Kreise um den
Koordinatenursprung. Die ez -Funktion ist periodisch,
deshalb braucht es eine Riemansche Fläche
Mit dieser Funktion kann man das Feld bei den Rändern
des Plattenkondensator berechnen
2.7
Sinus-Funktion
Skript S. 67f
f : z 7→ w = sin(z)
Die Sinusfunktion ist ausser bei den Punkten z =
winkeltreu
2.8
π
2
+ kπ(k ∈ Z))
Kreisgleichung
Die Lösungen von z bilden einen Kreis in der mit dem Radius r um den Mittelpunkt M = (mx , my ) ⇒ m = mx + jmy .
|z − m| = r;
(z − m)(z − m) = r2 ;
Parameterform: f (t) = m + r · ejt ,
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zz − mz − mz + mm = r2
mit (0 ≤ t ≤ 2π)
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3
Fourierreihen
3.1
Skript S. 67ff
Orthogonalitätsbeziehungen der Basisfunktionen


T, n = m = 0
T
R
cos(nωt) · cos(mωt)dt = T2 , n = m > 0

0

0, n 6= m
3.2
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Allgemeine Form
RT
Skript S. 75
(
T
2
, n=m
0, n 6= m
sin(nωt) · sin(mωt)dt =
0
RT
cos(nωt) · sin(mωt)dt = 0
0
Skript S. 79
Eine periodische Funktion f mit Periode T > 0, lässt sich durch eine Reihe von Sinus- und Kosinusfunktionen darstellen,
deren Frequenzen ganzzahlige Vielfache der Grundfrequenz ω = 2π/T sind:
∞
f (t) =
a0 X
+
(an · cos(nωt) + bn · sin(nωt))
2
n=1
Die Koeffizienten der Entwicklung von f (t) sind:
an =
2
T
Z
T
f (t) · cos(nωt) dt
(n = 0, 1, 2, 3, . . .)
bn =
0
2
T
T
Z
f (t) · sin(nωt) dt
(n = 1, 2, 3, . . .)
0
Der erste Summand der Reihe a0 /2 ist der Gleichstromanteil (Mittelwert) von f (t) im Intervall (0, T )
3.3
Komplexwertige Darstellung der Fourierreihen
∞
X
f (t) =
ck · ejkωt
mit
Skript S. 95ff
cn = c−n =
k=−∞
3.3.1
3.4.1
Aus:
folgt
3.4.2
Aus
3.5
3.5.1
Z
T
f (t) · e−jnωt dt
0
Umrechnungsformeln
cn = c−n
3.4
1
T
an − jbn
(n = 0, 1, 2, 3, . . . wobei b0 = 0)
=
2
LTI-Systeme
an = 2 · Re(cn )
bn = −2 · Im(cn )
(n = 0, 1, 2, 3, . . . , b0 = 0)
Skript S. 72
Linear
f (t) → S → F (t)
f (t) + g(t) → S → F (t) + G(t)
und
und
g(t) → S → G(t)
r · f (t) → S → r · F (t)
Zeitinvarianz
f (t) → S → F (t)
folgt
f (t + t0 ) → S → F (t + t0 )
Sätze zur Berechnung der Koeffizienten
Symmetrie
Skript S. 80ff
Skript S. 80f
T
Falls f (t) gerade (f (−t) = f (t)) ist
=⇒
bn = 0,
an =
4
T
R2
f (t) · cos(nωt)dt
0
T
Falls f (t) ungerade (f (−t) = −f (t)) ist
3.5.2
Linearität
an = 0,
bn =
4
T
R2
f (t) · sin(nωt)dt
0
Skript S. 82
h(t) = r · f (t) + s · g(t)
3.5.3
=⇒
=⇒
(h)
(f )
(g)
an = r · an + s · an ,
Zeitstreckung/-stauchung (Ähnlichkeit)
g(t) = f (r · t) (mit 0 < r ∈ R )
=⇒
(g)
(f )
an = an ,
(h)
(f )
(g)
b n = r · b n + s · bn
Skript S. 83
(g)
(f )
b n = bn
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T (g) =
T (f )
r .
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3.5.4
Zeitverschiebung
3.6
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Skript S. 84
(g)
g(t) = f (t + t0 )
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(f )
(f )
an = cos(nωt0 ) · an + sin(nωt0 ) · bn
(g)
(f )
(f )
bn = − sin(nωt0 ) · an + cos(nωt0 ) · bn
(g)
(f )
cn = ejkωto · ck
Integral und Differential
(n = 0, 1, 2, . . .)
(n = 1, 2, 3, . . .)
(k ∈ Z)
Skript S. 88
Falls die T-periodische Funktion f (auf ganz R) zweimal stetig differenzierbar ist und die Fourierkoeffizienten an und bn
besitzt, so gilt:
0
f (t) =
Zt
∞
X
[bn nω · cos (nωt) − an nω · sin (nωt)]
f (τ )dτ =
n=1
3.7
0
Gibbs’sches Phänomen
∞
∞
X
X
a0
bn
an
bn
+ t+
· sin (nωt) −
· cos (nωt)]
[
nω
2
nω
nω
n=1
n=1
Skript S. 92f
Die Fourier-Reihen schwingen bei Unstetigkeitsstellen über. Die Höhe des Überschwingers lässt sich so berechnen:
1
π
Zπ
sin t
1
dt − = 0,089490 . . .
t
2
0
3.8
Frequenz-, Amplituden- und Phasengang
jΦ(ω)
Frequenzgang eines Systems: H(ω) = A(ω)·e
Skript S. 72
Amplitudengang: A(ω) = |H(ω)|
Phasengang Φ(ω) = arg[H(ω)]
Die komplexe Funktion H(ω) der reellwertigen Frequenz ω enthält zugleich die Informationen über die Veränderung der
Amplitude und der Phasenverschiebung des Systems S bei der betrachteten Frequenz ω.
f (t) = Im[z(t)] → S → F (t) = Im[z(t) · H(ω)]
f (t) = Re[z(t)] → S → F (t) = Re[z(t) · H(ω)]
sin(nt) = Im[ej·nt ]
Je nach Eingangssignal wird der Real- oder der Imaginärteil behandelt: f (t) =
=⇒ z(t) = ej·nt
cos(nt) = Re[ej·nt ]
oder
Somit kann die Antwort des Systems mittels einer komplexen Multiplikation mit der Hilfsfunktion z(t) berechnet werden.
F. Braun, L. Schmid, U. Giger, R. Koller, E. Ammann, S. Arnold
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4
4.1
Spektren
Skript S. 103
Spektraldarstellungen
Abbildung 1: Kosinus- und Sinusamplitudendiagramm
4.1.1
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Skript S. 103ff
Abbildung
2:
Einseitiges
Amplituden-/Phasendiagramm
Abbildung
3:
Zweiseitiges
Amplituden-/Phasendiagramm
(1) Kosinus- und Sinusamplitudendiagramm
Reelle Fourierkoeffizienten (an , bn ) können direkt abgelesen werden. Bei einer Phasenverschiebung ändern sich jedoch die
Koeffizienten grafisch nicht nachvollziehbar.
Diese Darstellung hat gegenüber den anderen zwei mehr Nachteile und wird daher eher selten genutzt.
4.1.2
(2) Einseitiges Amplituden-/Phasendiagramm
p
An = |an − j · bn | = a2n + b2n oder An= 2 · |cn |
Φn = arg(an − j · bn ) oder Φn = arg(cn )
0,
a
≥
0
0
Spezialfall n = 0 ⇒ A0 = | a20 | und Φ0 =
π, a0 < 0
4.1.3
(3) Zweiseitiges Amplituden-/Phasendiagramm (komplexes Spektrum)
Amplitudendiagramm ist achsensymmetrisch wegen cn = c−n . Phasendiagramm ist punktsymmetrisch.
Ähnlichkeit mit Einseitigem: |ck | = 12 Ak und arg(ck ) = Φk für alle n ≥ 0.
4.2
Spezialfälle
Skript S. 106
Funktion f gerade
Funktion f ungerade
Ähnlichkeit g(t) = f (r · t)
Zeitverschiebung g(t) = f (t + t0 )
Weisses Rauschen
(1) Sinusamplitudendiagramm überall 0
(2,3) Phasendiagramm enthält nur die Werte 0 und π
(1) Kosinusamplitudendiagramm überall 0
(2,3) Phasendiagramm enthält nur die Werte ± π2 (oder 0 falls Amplitudenwert = 0)
(1,2,3) Das Spektrum von g ist das horizontal mit den Faktor r gestreckte Spektrum vom f .
(1) (siehe auch 3.5.4, Zeitverschiebung (S. 5))
(2,3) Amplitudendiagramme sind identisch.
(2,3) Phasendiagramme: Die Sälule der Frequenz kω0 wächst um kω0 t0 .
Überlagerung von Schwingungen aller möglichen Frequenzen
mit gleichen Amplituden und zufälligen Phasen.
F. Braun, L. Schmid, U. Giger, R. Koller, E. Ammann, S. Arnold
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5
5.1
5.1.1
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DFT - Diskrete Fourier Transformation
Skript S. 109
Definitionen
Diskrete komplexe Fourierkoeffizienten
cˆk sind die diskreten Fourierkoeffizienten die zu den (reellen Abtastwerten f0 , f1 , . . . , fN −1 ) gehören
N −1
cˆk =
 
cˆ0
cˆ1 

Kompakte Darstellung mit der Matrix W: 
cˆ2  =
cˆ3
5.1.2
1
N
2πj
1 X
fn · e− N ·kn
N n=0
 0 0 0 0  
f0
w w w w
w0 w1 w2 w3  f1 
 0 2 4 6  ·   wobei w = e− 2πj
N
w w w w  f2 
f3
w0 w3 w6 w9
Rechenaufwand DFT / FFT
Der Rechenaufwand für die DFT ist proportional zu N 2 hingegen ist er bei der Fast Fourier Transform (FFT) nur N · log(N ).
5.2
5.2.1
Eigenschaften der Diskreten Fouriertransformation
Skript S. 112
Alias-Effekt
Mit cˆk (cˆ0 , . . . , cN ˆ− 1) kennt man alle disktreten Fourierkoeffizienten. Es gilt: cˆk =
∞
P
ck + l · N
l∈Z
l=−∞
5.2.2
Nyquist-Shannon-Abtasttheorem
Ein Signal muss mit mindestens der doppelten Frequenz seines höchstfrequentigen Anteils abgetastet werden.
5.3
5.3.1
Inverse Diskrete Fouriertransformation iDFT
Skript S. 116
Abtastwerte berechnen
Die N diskreten Fourierkoeffizienten lassen sich mit der iDFT wieder auf ihre Abtastwerte fn zurückführen.
fn =
N
−1
X
(cˆk · e
2πj
N ·nk
)
k=0
5.3.2
Kontinuirliche Funktion berechnen
Die N diskreten Fourierkoeffizienten lassen sich auch auf die kontinuirliche Funktion f (t) zurückführen.
t 7→
N
−1
X
(cˆk ejkω0 t )
k=0
ist eine Funktion die diese diskreten Fourierkoeffizienten besitzt. für k = 1, 2, . . . , N2 so ist auch
t 7→ cˆk +
X
k=1
N
N
− 1[2Re(cˆk ej kω0 t)] + cˆN · cos( ω0 t)
2
2
2
eine reelle Funktion mit halb so grossen höchsten Frequenzen.
F. Braun, L. Schmid, U. Giger, R. Koller, E. Ammann, S. Arnold
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6
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Wichtige Formeln
sin2 (b) + cos2 (b) = 1
6.1
tan(b) =
sin(b)
cos(b)
Funktionswerte für Winkelargumente
deg
rad
0˚
0
π
6
30˚
45˚
π
4
60˚
π
3
6.2
sin
cos
0
1
2
√
2
2
√
3
2
tan
1
0
√
√
3
2
√
2
2
1
2
deg
rad
90˚
π
2
sin
cos
1
0
√
3
3
120˚
1
√
3
135˚
3π
4
3
2
√
2
2
150˚
5π
6
1
2
2π
3
deg
180˚
rad
π
− 21
210˚
2
2
√
− 23
225˚
5π
4
240˚
4π
3
√
−
sin
0
− 12
7π
6
√
2
2
√
− 23
−
cos
-1
deg
rad
sin
cos
270˚
3π
2
-1
0
√
√
3
2
√
− 22
300˚
5π
3
315˚
7π
4
3
2
√
− 22
− 12
330˚
11π
6
− 21
−
−
1
2
√
2
2
√
3
2
Periodizität
cos(a + k · 2π) = cos(a)
6.3
sin(a + k · 2π) = sin(a)
(k ∈ Z)
Quadrantenbeziehungen
sin(−a) = − sin(a)
sin(π − a) = sin(a)
sin(π + a)= − sin(a) sin π2 − a = sin π2 + a = cos(a)
6.4
cos(−a) = cos(a)
cos(π − a) = − cos(a)
cos(π + a)= − cos(a)
cos π2 − a = − cos π2 + a = sin(a)
Additionstheoreme
sin(a ± b) = sin(a) · cos(b) ± cos(a) · sin(b)
cos(a ± b) = cos(a) · cos(b) ∓ sin(a) · sin(b)
tan(a)±tan(b)
tan(a ± b) = 1∓tan(a)·tan(b)
6.5
Doppel- und Halbwinkel
sin(2a) = 2 sin(a) cos(a)
cos(2a) = cos2 (a) − sin2 (a) = 2 cos2 (a) − 1 = 1 − 2 sin2 (a)
cos2 a2 = 1+cos(a)
sin2 a2 = 1−cos(a)
2
2
6.6
Produkte
sin(a) sin(b) = 12 (cos(a − b) − cos(a + b))
cos(a) cos(b) = 12 (cos(a − b) + cos(a + b))
sin(a) cos(b) = 12 (sin(a − b) + sin(a + b))
6.7
Summe und Differenz
a−b
sin(a) + sin(b) = 2 · sin a+b
2 · cos
2 a+b
sin(a) − sin(b) = 2 · sin a−b
2 · cos
2 a+b
cos(a) + cos(b) = 2 · cos 2 · cos a−b
2
· cos a−b
cos(a) − cos(b) = −2 · sin a+b
2
2
sin(a±b)
tan(a) ± tan(b) = cos(a)
cos(b)
7
Diverses
f (z+∆z)−f (z)
∆z
∆z→0
f 0 (z) = lim
x1,2 =
√
−b± b2 −4ac
2a
Partielle Integration:
(a + b)n =
n
k
R
=
Pn
k=0
n
k
an−k · bk
n!
k!·(n−k)!
u(x)v 0 (x)dx = u(x)v(x) −
(a ± b)3 = a3 ± 3a2 b + 3ab2 ± b3
(a ± b)4 = a4 ± 4a3 b + 6a2 b2 ± 4ab3 + b4
R
u0 (x)v(x)dx
F. Braun, L. Schmid, U. Giger, R. Koller, E. Ammann, S. Arnold
15. August 2007