TC1 – Grundlagen der Theoretischen Chemie Irene Burghardt ([email protected]) Praktikumsbetreuung: Robert Binder ([email protected]) Jan von Cosel ([email protected]) Haleh Hashemi Haeri ([email protected]) Claudia Grytz ([email protected]) Vorlesung: Di 10h-12h, Fr 9h-10h Übungen: Fr 10h-11h / 13h-14h Web site: http://www.theochem.uni-frankfurt.de/TC1 1 ! "#$ ! " %&'$ # # $% &'( )% ** + # ,- .- / $( 0, % 1 *".- ' "# ( ) &!23! 4 51 &!23! 42 6 78( &$* + $ 2 9/6 , $ : 2 Inhalte 1. Grundlagen der Quantentheorie: Wellenfunktion, Operatoren, zeitunabhängige und zeitabhängige Schrödingergleichung, Eigenwerte, Erwartungswerte, Superpositionsprinzip, Messprozess 2. Einfache Eigenwertprobleme: Teilchen im Oszillator, starrer Rotator, Wasserstoffatom Kasten, harmonischer 3. Grundlagen der chemischen Bindung: Born-Oppenheimer-Näherung, elektronische Schrödingergleichung, Potentialflächen 4. Zweiatomige Moleküle: H+ 2 -Molekül-Ion, H2 -Molekül, LCAO-MOVerfahren (Linear Combination of Atomic Orbitals / Molecular Orbitals), Slater-Determinanten, Pauli-Prinzip, Variationstheorem 3 5. π-Elektronensysteme: Hoffmann-Regeln Hückel-Verfahren, Aromatizität, Woodward- 6. Elektrische Dipolübergänge: zeitabhängige Störungstheorie, Übergangsmomente und -intensitäten 7. Molekülsymmetrie: Symmetriepunktgruppen (Martin Schmidt) 4 Literatur 1. J. Reinhold, Quantentheorie der Moleküle – Eine Einführung, 3. Auflage, Vieweg + Teubner (2006) 2. P. W. Atkins and R. Friedman, Molecular Quantum Mechanics, 5th Edition, Oxford University Press (2011). 3. W. Kutzelnigg, Einführung in die Theoretische Chemie, Wiley-VCH, Weinheim (2001) 4. A. Szabo and N. S. Ostlund, Modern Quantum Chemistry – Introduction to Advanced Electronic Structure Theory, McGraw-Hill (1989) 5 Grundlagen der Theoretischen Chemie – Chemie “bottom-up” 6 Elektronen + Kerne chemische Reaktionen biologische Prozesse Glossar: Quantenchemie = elektronische Struktur Quantendynamik = quantenmechanische Bewegung (Kerne, Elektronen) Molekulardynamik (MD): klassische Dynamik der Kerne 7 Nobel Prize in Chemistry 2013 4" # 93& :):3' " *+(,-./ 567# 6 78 6 9 6)8 6 :9 )*) 6 # /; 1 #< 8 2)+ Multiskalen-Methoden • Kernbewegung in Molekülen: MM (Molecular Mechanics) und MD (Molecular Dynamics) oft ausreichend • Elektronen: Quantenmechanik (QM) notwendig • Hybridmethode: QM/MM (Levitt/Warshel/Karplus) 9 Warshel/Levitt/Karplus: QM/MM-Methode • • • • QM-Region: Chromophor (hier Retinal) MM-Region: umgebendes Protein + Solvens Theoretische Herausforderung: Schnittstelle QM vs. MM QM/MM brachte Durchbruch in der Berechnung von Reaktionen in Biosystemen 10 Die Schrödingergleichung ih̄ ∂Ψ ∂t = ĤΨ ĤΨ = EΨ Schrödinger-Gleichung (1926) • die Energie ist quantisiert, nicht kontinuierlich • Ĥ = Hamilton-Operator • E = Eigenwert Erwin Schrödinger, Nobelpreis 1933 • Ψ = Wellenfunktion 11 Kohärente Superpositionen: Schrödinger’s Katze √ |Ψcati = 1/ 2 |alivei + |deadi 12 Vor 1900 . . . . . . Annahme, dass sich alle Naturphänomene – sowohl makroskopisch als auch mikroskopisch – durch die klassische Physik beschreiben lassen. Beispiele: • Bewegung eines Pendels oder einer Feder: Newton’sche Gleichung mẍ = − dV dx =F • Schwingende Saite: Wellengleichung ü = v 2 d u(x, t) 2 dx2 13 Harmonischer Oszillator • potentielle Energie (V ) vs. kinetische Energie (K) werden ausgetauscht, während die Gesamtenergie (E) konstant bleibt • Energie nimmt kontinuierliche Werte an 14 Klassische Wellen • z.B. schwingende Saite • Wellengleichung (stationär): d2u(x)/dx2 + k2u(x) = 0 • diskrete Lösungen wg. Randbedingungen: kn = 2πn/λ • Energie ist “quantisiert” 15 NB / Zur klassischen Wellengleichung 1 0 2 3 a a u1 L+1 a u2 u3 Herleitung aus den Newtonschen Gleichungen + Hookesches Gesetz (Rückstellkraft proportional zur Auslenkung) mün = κ(un+1 − un) + κ(un−1 − un) = κ(un+1 − 2un + un−1) ∝ ∂ 2u ∂x2 16 Anfang des 20. Jahrhunderts . . . . . . Eine Reihe von Experimenten zeigen überraschende Resultate: • Elektronen verhalten sich manchmal wie Wellen • Licht verhält sich in gewissen Experimenten, als bestände es aus Teilchen (“Lichtquanten” oder “Photonen”) • Elektronen scheinen sich gleichzeitig in verschiedenen Zuständen befinden zu können (“Schrödinger cat states”) • Die Energie von Atomen und Molekülen scheint i. Allg. in diskreten “Quanten” vorzuliegen 17 Anfänge der Quantentheorie • Planck (1900): Annahme diskreter Energien für einen harmonischen Oszillator (zur Erklärung der Strahlung des schwarzen Körpers): En = nhν n = 1, 2, 3, . . . Quantenzahl h = 6.6 · 10−34 J s Plancksches Wirkungsquantum • Einstein (1905): “Lichtquanten” zur Erklärung des photoelektrischen Effekts: Elektronen werden nur bei ausreichender Energie des Lichtquants (Photons) aus einer Metalloberfläche freigesetzt 18 Photoelektrischer Effekt / Forts. Photoeffekt im Wellenbild: Photoeffekt im Teilchenbild: Austrittsarbeit h ! Austrittsarbeit h ! Alles eine Frage der Intensität inkorrekt! korrekt www.didaktik.physik.uni-erlangen.de/fortbildung/.../Einstein-Ley.pdf • bei einer rein klassischen Behandlung (mit Wellenbild) müsste eine Erhöhung der Lichtintensität unabhängig von der Wellenlänge dazu führen, dass mehr Elektronen emittiert werden – dies aber ist nicht korrekt 19 Photoelektrischer Effekt / Forts. http://en.wikipedia.org/wiki/File:Photoelectriceffectdiagram.svg • Emission beginnt erst oberhalb der Frequenz ωA, wobei h̄ωA die Austrittsarbeit ist • es gibt einen linearen Zusammenhang zwischen Energie und Frequenz: E = h̄(ω − ωA). 20 Bohr (1914): Atommodell mit diskreten Energien Erklärung experimenteller Atomspektren (H-Atom + Analoga) En = − me e 4 1 2h̄2 n2 n = Quantenzahl me = Masse des Elektrons e = Elementarladung h̄ = h/2π 21 Fazit (∼ 1925) • Diskrete Strukturen in Atomspektren • Quantisierung des elektromagnetischen Feldes (Strahlung des schwarzen Körpers, Planck 1900) • Licht besteht aus Teilchen: photoelektrischer Effekt (Einstein 1905), Compton-Effekt (Streuung von Photonen an Elektronen, 1923) • Materie hat Wellencharakter: Elektronendiffraktion (1927) Davisson-Germer-Experiment zur • Welle-Teilchen-Dualismus: je nach Experiment haben Materie oder Licht entweder Teilchen- oder Wellencharakter • De Broglie (1924): p = h/λ 22 Quantenteilchen = Wellen und Teilchen λ = h/p Dualismus Welle (λ)-Teilchen(p) • Wellenlänge ∝ 1/Impuls • Davisson-Germer Experiment (1927): Elektronendiffraktion • Doppelspaltexperiment Louis de Broglie • De Broglie (1924): Teilchen haben Welleneigenschaften (ebenso wie Wellen Teilcheneigenschaften haben, s. photoelektrischer Effekt) 23 Welle-Teilchen Dualismus: Doppelspaltexperiment • Beobachtung des Interferenzpatterns für Elektronen ebenso wie für Licht 24 Doppelspaltexperiment: : Teilchen oder Wellen? • wenn der untere (obere) Schlitz der Blende geschlossen ist: Intensitätsverteilung P1 (P2) • wenn beide Schlitze offen sind: Intensitätsverteilung P12 6= P1 + P2 25 Background – klassische Wellen • klassische Wellengleichung: φ̈(x, t) = k2φ00(x, t) • ebene Welle: φ(x, t) = A ei(kx−ωt) = A (cos(kx − ωt) + i sin(kx − ωt)) 26 Interferenzeffekte: charakteristisch für Wellen z.B. Interferenz zweier ebener Wellen: φ(x, t) = φ1(x, t) + φ2(x, t) = A1 ei(k1x−ω1t) + A2 ei(k2x−ω2t) Intensität is proportional zum Betragsquadrat |φ(x, t)|2 : |φ(x, t)|2 = |φ1(x, t) + φ2(x, t)|2 = |A1 ei(k1x−ω1t) + A2 ei(k2x−ω2t)|2 = |A1|2 + |A2|2 + Interferenzterme 27 Interferenzeffekte – Forts. |φ(x, t)|2 = (A1 ei(k1x−ω1t) + A2 ei(k2x−ω2t)) ×(A∗1 e−i(k1x−ω1t) + A∗2 e−i(k2x−ω2t)) = A∗1 A1 + A∗2 A2 +A∗1 A2ei((k1−k2)x−(ω1−ω2)t) + A∗2 A1ei((k2−k1)x−(ω2−ω1)t) • Interferenzterme rufen Peak “zwischen” den beiden Schlitzen der Blende hervor Notiz: • die obige Diskussion kann zunächst im Rahmen der klassischen Physik geführt werden! 28 De-Broglie Deutung einer “Elektronenwelle” i(kx−ωt) φ(x, t) = A e i( 2λπ x−ωt) = Ae i( 2πp h x−ωt) = Ae p i(h̄ x−ωt) = Ae • ein Elektron, das durch eine ebene Welle beschrieben wird, hätte also einen wohldefinierten (“scharfen”) Impuls p = h̄k, wobei k = 2π/λ die Wellenzahl ist • Notiz: pφ = (h̄/i)(∂φ/∂x) • allerdings ist das Elektron räumlich maximal delokalisiert (Beispiel der Unschärferelation) 29 Wellenpakete Wellenpakete lassen sich als Überlagerungen ebener Wellen darstellen: φ(x, t) = X Ak e p i( h̄k x−ωk t) k • das Wellenpaket hat weder einen scharfen Impuls noch einen scharfen Ort • allerdings ist es “kompakt” und weniger delokalisiert als eine ebene Welle 30 Schrödinger’s Konzept: Wellenfunktion • vollständige Information über den Zustand des quantenmechanischen “Systems” (z.B. Teilchen im Kasten, Atom, Molekül) • abstrakte (darstellungsfreie) Schreibweise: |Ψi ist ein “Zustandsvektor”, der in einem komplexen Funktionenraum (Hilbertraum) definiert ist • physikalische Bedeutung: Ψ ist das grundlegende Objekt der Schrödingerschen “Wellenmechanik”. Ψ beschreibt Teilchen, die auch Wellencharakter haben (z.B. Elektronen) bzw. Wellen, die auch Teilchencharakter haben (z.B. Licht/Photonen). R∞ ∗ Wellenfunktion ist normierbar, dx Ψ (x)Ψ(x) = 1; die −∞ Normierung reflektiert, dass das Teilchen sich zu jeder Zeit “irgendwo im Raum” befindet • die • das Betragsquadrat der Wellenfunktion |Ψ(x)|2 = Ψ∗(x)Ψ(x) gibt die Aufenthaltswahrscheinlichkeit des Quantenteilchens am Ort x an. 31 Die Schrödingergleichung ih̄ ∂Ψ ∂t = ĤΨ ĤΨ = EΨ Schrödinger-Gleichung (1926) • die Energie ist quantisiert, nicht kontinuierlich • Ĥ = Hamilton-Operator • En = Energie-Eigenwerte Erwin Schrödinger, Nobelpreis 1933 • Ψn = Energie-Eigenfunktionen 32 Der Hamilton-Operator (“Hamiltonian”) klassische Mechanik: Hamiltonfunktion H(x, p) = p2 2m + V (x) Quantenmechanik: Hamiltonoperator Ĥ(x̂, p̂) = William Rowan Hamilton (1805-1865) p̂2 + V̂ (x̂) 2m h̄2 d2 = − + V̂ (x̂) 2 2m dx Impulsoperator p̂ = −ih̄(d/dx) 33 Operatoren • dienen dazu, die Eigenschaften des durch ψ beschriebenen Zustands “abzufragen”: Ort, Impuls, Energie, . . . • der Operator Ô ist eine Vorschrift (Multiplikation, Differentiation, etc.), die “nach rechts” auf die Wellenfunktion wirkt: – Ort: x̂ψ(x) = xψ(x) – Impuls: p̂ψ(x) = (h̄/i)(dψ(x)/dx) – kinetische Energie: T̂ ψ(x) = (p̂2/2m)ψ(x) = (−h̄2/2m)(d2ψ(x)/dx2) – potentielle Energie: V̂ (x̂)ψ(x) = V (x)ψ(x) z.B. V (x) = 1/2kx2 (harmonisches Potential), V (x) = q1q2/x (Coulombpotential) – Gesamtenergie: Ĥψ(x) = (T̂ + V̂ )ψ(x) (Hamilton-Operator) 34 Eigenfunktionen • Eine Funktion ψ ist Eigenfunktion eines Operators Ô, wenn sie folgender Eigenwertgleichung genügt: Ôψ = ωψ wobei ω eine Zahl ist, die als Eigenwert bezeichnet wird. (Im Falle hermitischer Operatoren sind die Eigenwerte reell.) Beispiele: (a) eax ist Eigenfunktion (d/dx)eax = a eax. des Differentialoperators d/dx, da 2 (b) eax ist keine Eigenfunktion des Operators d/dx, da 2 2 (d/dx)eax = 2a(xeax ) – i.e., eine Zahl mit einer anderen Funktion multipliziert. 35 Physikalische Bedeutung der Eigenwerte die Eigenwerte sind messbar: wenn z.B. Impuls oder Energie durch eine geeignete Messapparatur gemessen werden, und das System sich in einem Eigenzustand ψn befindet, wird der dazugehörige Eigenwert ωn gemessen. 36 Wellenbild in der klassischen vs. Quantenmechanik • Quantisierung lässt sich im Newtonschen Bild der klassischen Mechanik (Trajektorien) nicht erklären • Allerdings gibt es Analogien zum Wellenbild der klassischen Mechanik: z.B. schwingende Saite – “Quantisierung durch Randbedingungen” • Das analoge quantenmechanische Problem ist das des “Teilchens im Kasten” 37 Quantenwellen: Teilchen im Kasten • z.B. Elektron in Potentialkasten: Modell für π-Elektronen in konjugierten Molekülen, Elektronen in Quantum Dots (z.B., Silizium-QD’s im 1-5 nm-Bereich) 2 • Schrödingergleichung: −(h̄ /2m)d2ψ(x)/dx2 − Eψ(x) = 0 2 • diskrete Lösungen wg. Randbedingungen: kn = 2πn/λ, En = h̄2kn /2m 38 2-atomiges Molekül ∼ harmonischer Oszillator • Ĥ = − h̄2 ∂ 2 1 2 + kx 2m ∂x2 2 k = mω 2 • Eigenfunktionen & Eigenwerte: ϕn(x) = NnHn(y)exp(−y 2/2) ; y = (mω/h̄)1/2x ; Nn = (1/2nn!π 1/2)1/2 En = h̄ω(n + 1/2) 39 Franck-Condon Absorptionsspektrum • Diskrete Übergänge • Schwingungsniveaus verschiedener elektronischer Zustände 40 Atome: quantisierte Elektronen • zwei Quantenzahlen: Hauptquantenzahl + Drehimpulsquantenzahl 41 Atomspektren Wasserstoffartige Atome: Energie: En = − me Z 2 e 4 1 2h̄2 n2 Eigenfunktionen: ψnlm(r, θ, φ) = Rnl(r)Ylm(θ, φ) 42 Moleküle = wechselwirkende Atome • bindende und nicht-bindende Kombinationen von Atomorbitalen • Beachtung der Gesamtsymmetrie der Wellenfunktion (antisymmetrisch) 43 Born-Oppenheimer Näherung Max Born Robert Oppenheimer • Entwicklung nach Ordnungen des Massenverhältnisses m/M ∼ 1/1836 44 Inhalte 1. Grundlagen der Quantentheorie: Wellenfunktion, Pauliprinzip, Operatoren, zeitunabhängige und zeitabhängige Schrödingergleichung, Eigenwerte, Erwartungswerte, Superpositionsprinzip, Messprozess 2. Einfache Eigenwertprobleme: Teilchen im Oszillator, starrer Rotator, Wasserstoffatom Kasten, harmonischer 3. Grundlagen der chemischen Bindung: Born-Oppenheimer-Näherung, elektronische Schrödingergleichung, Potentialflächen 4. Zweiatomige Moleküle: H+ 2 -Molekül-Ion, H2 -Molekül, LCAO-MOVerfahren (Linear Combination of Atomic Orbitals / Molecular Orbitals), Slater-Determinanten, Variationstheorem 45 Lösungen für einige einfache Systeme System zeitunabhängige SG (Ĥ Ew.-Gl.) p̂2 2m Ψ = EΨ freies Teilchen im Kasten 2 l̂z 2I Ψ = EΨ freies Teilchen auf Kreis l̂2 Ψ = EΨ 2I freies Teilchen auf Kugel „ harmonischer Oszillator p̂ = h̄ ∂ i ∂x p̂2 2 1 2m + 2 kx̂ Randbedingung(en) Eigenwerte 0≤x≤a 2 2 En = n2 π h̄ 2 2ma Ψ(φ) = Ψ(φ + 2π) 2 2 Em = m2Ih̄ h̄ ∂ i ∂φ Ψn (x) = Ψm (φ) = q 2 π a sin n a x q ` ´ 1 imφ 2π e 2 Ψ(θ, φ) = Ψ(θ, φ + 2π) Ψ(θ, φ) = Ψ(θ + 2π, φ) « El = h̄2I l(l + 1) “ En = h̄ω n + 21 Ψ = EΨ l̂z = Eigenfunktionen l̂2 = 1 ∂ sin θ ∂θ ∂ sin θ ∂θ + ” Ylm (θ, φ) = Θlm (θ)Φm (φ) Θ = assoziiertes Legendre Polyn. ϕn (x) = Nn Hn (y) exp q mω x y= h̄ H = Hermite Polynom ∂2 1 sin2 θ ∂θ 2 46 y2 − 2 !