Vorlesung Höhere Mathematik für Ingenieure I 30.10.2008 PD Dr. S

Höhere Mathematik für Ingenieure I
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Vorlesung Höhere Mathematik für Ingenieure I
30.10.2008
PD Dr. S. Bernstein
TU Bergakademie Freiberg
Höhere Mathematik für Ingenieure I
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Definition 1 Unter einer Folge reeller Zahlen (oder einer reellen Zahlenfolge)
versteht man eine auf N0 erklärte reellwertige Funktion, die jedem n ∈ N0 ein
an ∈ R zuordnet:
N0 3 n → an ∈ R.
Man schreibt hierfür
(an)n∈N
und
(an)n≥0,
oder auch a0, a1, a2, . . . .
Die Zahlen an heißen Glieder der Folge. Die direkte Vorschrift n → an wird als
explizites Bildungsgesetz, die rekursive Definition der an als implizites Bildungsgesetz bezeichnet.
Eine Zahlenfolge heißt beschränkt, wenn es reelle Konstanten K1 und K2 gibt mit
K1 ≤ an ≤ K2 für alle n ≥ 0.
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Definition 2 Eine Zahlenfolge (an)n≥0, strebt oder konvergiert gegen den
Grenzwert a ∈ R, wenn es zu jeder beliebig kleinen vorgegebenen Schranke ε > 0
einen Index n0 ∈ N gibt, so dass gilt
|an − a| < ε
für alle n ≥ n0.
1.4
1.2
1.0
0.8
20
40
60
80
100
120
140
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Definition 3 Eine Zahlenfolge (an)n≥0, strebt oder konvergiert gegen den
Grenzwert a ∈ R, wenn es zu jeder beliebig kleinen vorgegebenen Schranke ε > 0
einen Index n0 ∈ N gibt, so dass gilt
|an − a| < ε
für alle n ≥ n0.
1.4
1.2
1.0
0.8
20
40
60
80
100
120
140
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Definition 4 Eine Zahlenfolge (an)n≥0, strebt oder konvergiert gegen den
Grenzwert a ∈ R, wenn es zu jeder beliebig kleinen vorgegebenen Schranke ε > 0
einen Index n0 ∈ N gibt, so dass gilt
|an − a| < ε
für alle n ≥ n0.
1.4
1.2
1.0
0.8
20
40
60
80
100
120
140
N(ε1)
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Definition 5 Eine Zahlenfolge (an)n≥0, strebt oder konvergiert gegen den
Grenzwert a ∈ R, wenn es zu jeder beliebig kleinen vorgegebenen Schranke ε > 0
einen Index n0 ∈ N gibt, so dass gilt
|an − a| < ε
für alle n ≥ n0.
1.4
1.2
1.0
0.8
20
40
60
80
100
N(ε2)
120
140
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Definition 6 Eine Zahlenfolge (an)n≥0, strebt oder konvergiert gegen den
Grenzwert a ∈ R, wenn es zu jeder beliebig kleinen vorgegebenen Schranke ε > 0
einen Index n0 ∈ N gibt, so dass gilt
|an − a| < ε
für alle n ≥ n0.
1.4
1.2
1.0
0.8
20
40
N(ε1)
60
80
100
N(ε2)
120
140
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Satz 1 Für jede konvergente Zahlenfolge (an)n≥0 gilt
1. Der Grenzwert ist eindeutig bestimmt, d.h. aus lim an = a und lim an = b
n→∞
n→∞
folgt a = b.
2. Konvergente Zahlenfolgen sind beschränkt, d.h. es gibt eine Konstante K mit
|an| ≤ K für alle n ∈ N0.
3. Ist lim an = a, dann konvergiert auch jeder (unendliche) Teilfolge gegen a.
n→∞
Definition 7 Man sagt, dass eine Folge (bestimmt) gegen den uneigentlichen
Grenzwert ∞ divergiert, wenn zu jedem noch so großem K ∈ R die Ungleichung
an ≥ K für alle n > n0(K) gilt. Analog definiert man die bestimmte Divergenz
gegen den uneigentlichen Grenzwert −∞.
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Beispiel 1 Die Zahlenfolge (an)n∈N mit dem allgemeinen Glied
1
1
an = − sin
2
n
konvergiert gegen 12 , deshalb haben auch die Teilfolgen
1
1
1
1
am = − sin
und am = − sin
2
2m
2
3m
den gleichen Grenzwert.
0.48
0.48
0.46
0.46
0.44
0.44
0.42
0.42
0.40
0.40
0.38
20
40
60
80
10
20
30
Blau : an= 0.5 – sin(1/(2n))
Rot : an= 0.5 – sin(1/(3n))
sind Teilfolgen von an= 0.5 – sin(1/(n))
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Beispiel 2 Die Zahlenfolge (an)n∈N mit dem allgemeinen Glied
π
1
an = − sin n
2
2
ist divergent, da unterschiedliche Teilfolgen unterschiedliche Grenzwerte haben:
1.5
1.0
0.5
10
20
30
40
0.5
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Beispiel 3 Die Zahlenfolge (an)n∈N mit dem allgemeinen Glied an = ln n ist bestimmt divergent:
4
3
2
1
20
40
60
80
100
Für alle K > 0 existiert ein n mit an > K :
an = ln n > K ⇐⇒ eln n > eK ,
e10 ∼ 22026, 47;
da die e-Funktion streng monoton wachsend ist
e100 ∼ 2, 68 · 1043.
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⇐⇒ n > eK
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Gegeben sei I ⊆ R ein Intervall, a ∈ I ∪ {−∞, ∞} und f : I\{a} → R. Die
Funktion f kann sehr wohl auch an der Stelle x = a erklärt sein, wir wollen
aber nur wissen wie sich die Funktion in der Umgebung des Punktes x = a
verhält.
Definition 8 Die Funktion f (x) hat für x gegen a den rechtsseitigen Grenzwert (bzw. den linksseitigen Grenzwert) c (in Zeichen lim f (x) = c bzw.
x→a+
lim f (x) = c), wenn für jede Zahlenfolge (xn)n≥0 aus I mit xn → a und xn > a
x→a−
für alle n ( bzw. xn → a und xn < a für alle n) die Zahlenfolge (f (xn))n≥0 gegen c
strebt.
f (x) hat für x gegen a den Grenzwert c, in Zeichen lim f (x) = c, wenn gilt
x→a
lim f (x) = lim f (x) = c.
x→a+
x→a−
Bemerkung 1 Diese Definition gilt nicht nur für endliche Werte a und c, sondern
auch für a, c ∈ {−∞, ∞} Man schreibt lim f (x) = c bzw. lim f (x) = c.
x→∞
x→−∞
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