Einf¨uhrung in die Zahlentheorie

Einführung in die
Zahlentheorie
Vorlesungen gehalten an der Universitat W
urzburg
im Sommersemester 2013
Oliver Roth
Lehrstuhl fur Funktionentheorie
Institut fur Mathematik
Universitat Wurzburg
97074 Wurzburg
I had the great good fortune to have a high school teacher who had studied number
theory.
Andrew Wiles (hat 1995 die Fermatsche Vermutung bewiesen)
Inhaltsverzeichnis
0
Prolog
1
1
Primzahlen
3
2
Primzahlverteilung I
9
3
Primzahlverteilung II
15
4
Modulare Arithmetik
19
5
Lineare Konguenzen und die Eulersche Phifunktion
25
6
Primitive Restklassen
31
7
Quadratische Reste
39
8
Primzahltests
47
9
Quadratsummen
51
10 Approximation irrationaler Zahlen
57
11 Die Pellsche Gleichung
63
12 Fermat für
n=4
67
i
Vorwort
Das vorliegende Manuskript gibt die wesentlichen Inhalte der Vorlesungen mit dem Titel
Einfuhrung in die Zahlentheorie (Wurzburg, Sommersemester 2013) in knapper Form wieder. Es ist nicht korrekturgelesen und ohne den vorausgegangenen Besuch der Vorlesungen
moglicherweise schwer verstandlich. Die Herausgabe des Manuskripts erfolgt daher etwas
widerstrebend und ohne Anspruch auf Vollstandigkeit.
Zuverlassiger und kompetenter als dieses Skriptum sind sicherlich die vielen ausgezeichneten
Lehrbucher zur Zahlentheorie. Soweit ich mich erinnern kann, wurden beim Erstellen des
vorliegenden Textes u.a. die folgenden Quellen herangezogen.
Martin Aigner: Zahlentheorie. 1. Auage, Vieweg + Teubner Verlag, Wiesbaden 2012,
ISBN 978-3-9348-1805-8.
Peter Bundschuh: Einfuhrung in die Zahlentheorie. 6. Auage. Springer Verlag, Heidelberg 2008, ISBN 978-3-540-76491-5.
Harold Davenport: The Higher Arithmetic: An Introduction to the Theory of Numbers.
8. Auage. Cambridge University Press, 2011, ISBN 978-0-521-72236-0.
Harald Scheid: Zahlentheorie. 3. Auage. Spektrum Akademischer Verlag, Heidelberg
(u. a.) 2003, ISBN 3-8274-1365-6.
An dieser Stelle mochte ich mich sehr herzlich bei Sebastian Schleiinger fur das Aufspuren
etlicher Ungenauigkeiten bedanken. Vielen Dank an Johannes Stowasser, der mich zu Recht
darauf hingewiesen hat, dass der in der Vorlesung vorgestellte Beweis von Satz 3.6 nicht
uberzeugend war. Im vorliegenden Skript ndet sich daher ein modizierter Beweis des betreenden Satzes. Schlielich besten Dank an Simon Schnurch, der mich darauf aufmerksam
machte, dass der in der Vorlesung gegebene Beweis von Satz 11.3 unvollstandig war, da nicht
gezeigt wurde, dass die Pellsche Gleichung x dy = 1 fur Nichtquadrate d 2 N tatsachlich
unendlich viele Losung besitzt. Das fehlende Argument nden Sie in Schritt (iii) im Beweis
von Satz 11.3 auf Seite 65. Damit sollten fast alle Ungenauigkeiten behoben sein : : :.
2
2
Dieses Buch wird vielleicht nur der verstehen, der die Gedanken, die darin
ausgedr
uckt sind { oder doch ahnliche Gedanken { schon selbst einmal gedacht
hat. { Es ist also kein Lehrbuch. { Sein Zweck ware erreicht, wenn es einem,
der es mit Verstandnis liest, Vergn
ugen bereitete.
L. Wittgenstein, Tractatus Logico Philosophicus
x0
Prolog
Diese Vorlesungen behandeln Aspekte der sog. elementaren Zahlentheorie. Die elementare
Zahlentheorie zeichnet sich dadurch aus, dass sie direkte oder eben elementare Methoden
benutzt. Hierbei bedeutet elementar nicht notwendigerweise einfach, sondern lediglich, dass
auf analytische Methoden (insbesondere der Funktionentheorie) oder tieferliegende algebraische Methoden verzichtet wird. Das Hauptaugenmerk liegt auf den Primzahlen, insbesondere
deren Verteilung, die wir leider nicht wirklich gut verstehen. Anwendungen der Zahlentheorie
gibt es mittlerweile einige. Diese werden in der Vorlesung nur am Rande behandelt.
Die Vorlesungen sind prinzipiell bereits fur Studierende des 2. Fachsemesters geeignet. Sie
sollten neben der Hochschulreife allerdings Interesse und Spa an und hinreichend Ausdauer
fur die Beschaftigung mit Mathematik mitbringen. Ferner sollten Sie aus der Linearen Algebra
Grundkentnisse uber Gruppen, Ringe und Korper, sowie aus der Schule einige Kentnisse
der Analysis z.B. der Logarithmusfunktion, der Berechnung einfacher Grenzwerte sowie der
Integralrechnung besitzen.
Zu Beginn wollen wir kurz das "Schlachtfeld\ eingrenzen:
Definition (Mathematik).
Die Mathematik beschaftigt sich u.a. mit Figuren und Zahlen. Untersucht man Figuren,
so betreibt man Geometrie; studiert man Zahlen, so betreibt man Zahlentheorie.
Diese Vorlesung beschaftigt sich nicht mit Figuren. Wir stellen uns auf den Standpunkt:
\Die ganzen Zahlen hat der liebe Gott gemacht"
Leopold Kronecker (1823{1891)
Die Menge der ganzen Zahlen wird mit Z bezeichnet, die der naturlichen Zahlen mit N,
d.h. N = f1; 2; 3; : : :g.
Man kann (wir tun dies nicht) die Menge der naturlichen Zahlen auch mithilfe der Mengenlehre konstruieren. Damit liee sich das folgende wichtige Wohlordnungsprinzip, welches wir
haug verwenden werden, beweisen.
Prinzip (Wohlordnung der natürlichen Zahlen).
Jede nichtleere Teilmenge A N hat ein kleinstes
Element.
Daneben benutzen wir noch bisweilen, das einfache (deshalb?) nutzliche:
Prinzip (Schubfachprinzip).
Benden sich in n Hosentaschen n + 1 Gegenstande, so benden sich in mindestens
einer Hosentasche mindestens zwei dieser Gegenstande.
1
x1
Primzahlen
Definition (Teiler).
Es seien a; b 2 Z mit b 6= 0. Man sagt b
c 2 Z gibt, derart, dass a = bc. In diesem
teilt a (oder b ist Teiler von a), falls es ein
Fall schreibt man b j a; anderenfalls b - a.
Definition (Primzahl).
Ein naturliche Zahl p > 1 heit Primzahl, falls 1 und p die einzigen positiven Teiler
von p sind. Die Menge aller Primzahlen wird mit P bezeichnet.
Beispiele.
2; 3; 5; 7; 11; 13; 2
57885161
1
1
2 P.
Anwendung ( Wer wird Millionär“).
”
Am 16.11.2012 wurde an die 53{jahrige Landwirtin Anke Becker aus Dornum (Ostfriesland) die folgende 32.000 Euro Frage gerichtet: Wo ndet man nur eine Primzahl?
(A) zwischen 10 und 20;
(C) zwischen 60 und 70;
(B) zwischen 30 und 40;
(D) zwischen 90 und 100;
Frau Becker gab (unter Zuhilfenahme von zwei Jokern) die richtige Antwort, drang bis
zur 1.000.000 Euro Frage vor und verabschiedete sich mit den Worten "Auer Primzahlen kann ich fast alles\.
Bemerkung 1.1.
Es sei 2 a 2 N und p > 1 sei der kleinste positive Teiler von a (Wohlordnungsprinzip!). Dann gilt p 2 P, denn jeder Teiler von p ist auch Teiler von a.
Satz 1.2 (Euklid).
Es gibt unendlich viele Primzahlen.
Der folgende Beweis ist entnommen aus: Euklid, Elemente, Buch IX, x20, ca. 300 v.Chr. Bis
in das 19. Jahrhundert hinein wurde dieses Buch europaweit fur den Unterricht an hoheren
Schulen verwendet. Seitdem wurde es aber als zu "schwer\ hierfur befunden. Wenig spater
erschien "Der Untergang des Abendlandes\ von Oswald Spengler.
Beweis. Es seien p ; : : : ; pr 2 P und P := p p : : : pr + 1 2 N. Dann ist kein pj (j = 1; : : : ; r)
Teiler von P , denn pj teilt P 1 und wurde daher auch P (P 1) = 1 teilen. Der
kleinste positive Teiler > 1 von P ware also > pj fur j = 1; : : : ; r. Zu jeder endlichen Menge
1
1
2
von Primzahlen lasst sich also stets eine groere Primzahl hinzufugen. Folglich ist P nicht
endlich.
1
Entdeckt\ am 25.1.2013.
"
3
4
Primzahlen
Bemerkung.
Dieser Beweis legt folgende Frage nahe. Die Folge p ; p ; : : : sei rekursiv deniert durch
p := 2 und pk sei der kleinste positive Teiler von p p pk + 1. Enthalt dann die
Menge fpn : n 2 Ng alle Primzahlen ? Dies ist ein bisher ungelostes Problem.
1
1
2
+1
1
2
Bemerkung.
Die ungeraden Primzahlen liegen in der Vereinigung der beiden Mengen
f3; 7; 11; 15; 19; 23; 27; : : :g = f4k 1 : k 2 Ng
f5; 9; 13; 17; 21; 25; 29; : : :g = f4k + 1 : k 2 Ng :
Mit einer kleinen Variation des Beweise von Euklid lasst sich zeigen, dass es in der

ersten Menge unendlich viele Primzahlen gibt (Ubungsaufgabe
1.2). Dies gilt auch fur
die zweite Menge, ist jedoch etwas schwieriger zu beweisen (siehe Korollar 4.14).
Satz 1.3 (Division mit Rest).
Es seien a; b 2 Z mit b 6= 0.
und 0 r < jbj.
Dann existieren eindeutig bestimmte q; r 2 Z mit a = bq + r
Beweis. O.E. sei b > 0.
Existenz: Es sei q die grote ganze Zahl mit bq a. Setze r := a bq . Dann gilt b(q + 1) > a,
also 0 r = a bq < b.
Eindeutigkeit: Es seien q 0 ; r0 2 Z mit a = bq 0 + r0 und 0 r0 < jbj. Durch Subtraktion ergibt
sich (q q 0 )b = r0 r. Falls q = q 0 , so folgt r0 = r. Falls q 6= q 0 , also etwa q > q 0 , so ist
q q0 1 und r0 r0 r = (q q0 )b b, im Widerspruch zu r0 < b.
Definition (ggT; teilerfremd).
Es seien a; b 2 Z mit ab 6= 0. Der grote gemeinsame Teiler von a und b ist die grote
Zahl d 2 N, die a und b teilt. Schreibweise ggT(a; b) := d. Falls ggT(a; b) = 1, so heien
a und b teilerfremd. Wir setzen noch
Lemma 1.4.
Sind a; b 2 Z, ab 6= 0, und a = bq + r eine Division mit Rest, so gilt ggT(a; b) = ggT(b; r).
Beweis. Sei d := ggT(a; b) und d0 := ggT(b; r). Aus r = a bq, d j a und d j b folgt d j r,
d.h. d teilt b und r, also d d0 . Andererseits ist d0 Teiler von b und r, also auch von a = bq + r,
d.h. d0 d.
Bemerkung (Euklidischer Algorithmus; Die Elemente, Buch VII, Proposition 1 und 2).
Lemma 1.4 liefert eine schnelle Methode, den groten gemeinsamen Teiler von a und b
zu bestimmen, ohne einen einzigen Teiler von a bzw. b bestimmen zu mussen. Beispiel:
ggT(7200; 3132) = 36, denn:
7200
3132
936
324
288
=
=
=
=
=
2 3132 + 936
3 936 + 324
2 324 + 288
1 288 + 36
8 36
Primzahlen
5
Satz 1.5 (Lemma von Bézout; Étienne Bézout (1730–1783)).
Es seien a; b 2 Z mit ab 6= 0. Dann gibt es s; t 2 Z mit ggT(a; b) = sa + tb.
Beweis. O.E. sei a b > 0. Die Aussage sei fur alle 1; : : : ; b 1 anstelle von b bereits gezeigt.
Sei a = bq + r eine Division mit Rest. Da dann r < b gibt es s0 ; t0 2 Z mit ggT(b; r) = s0 b + t0 r.
Mit dem Lemma folgt ggT(a; b) = ggT(b; r) = s0 b + t0 r = s0 b + t0 (a bq ) = t0 a +(s0 t0 q )b.
Bemerkung.
Der Beweis des Lemmas von Bezout beschreibt eine schnelle Methode, die Zahlen t und

s zu berechnen (siehe Ubungen).
Korollar 1.6.
Es seien a; b 2 Z mit ab 6= 0. Ist t Teiler von a und b, so gilt t j ggT(a; b).
Satz 1.7 (Lemma von Euklid; Die Elemente, Buch VII, Postulat 30).
Es seien a; b 2 Z und p 2 P Teiler von ab. Dann teilt p einen
der Faktoren a oder b.
Beweis. Es sei d := ggT(a; p). Wegen p 2 P, gilt d = 1 oder d = p. Falls d = p, so gilt p j a.
Falls d = 1, so gibt es nach Bezout s; t 2 Z mit 1 = sa + tp, d.h. b = sab + tbp, wobei rechts
beide Summanden durch p teilbar sind, d.h. p j b.
Satz 1.8 (Fundamentalsatz der Arithmetik).
Jede naturliche Zahl n 2 lasst sich als Produkt von Primzahlen darstellen. Diese
Darstellung ist bis auf die Reihenfolge der Primfaktoren eindeutig.
Bemerkung.
Der erste vollstandige und korrekte Beweis des Fundamentalsatzes der Arithmetik wurde von Gau in den Disquisitiones Arithmeticae (1801) gegeben. Dieses Buch hat Gau
1798 (also im Alter von 21 Jahren) verfasst. Er begrundete damit die Zahlentheorie als
eigenstandige mathematische Disziplin.
Beweis. Induktion uber n. Es sei O.E. n > 2 und die Behauptung fur alle naturlichen Zahlen
< n bereits bewiesen. Existenz: Es sei p > 1 der kleinste positive Teiler von n. Falls p = n, so
ist n 2 P. Falls p < n, so ist n = pn0 mit n0 2 N und n0 2. Nach Induktionsvoraussetzung
ist n0 Produkt von Primzahlen, also auch n.
Eindeutigkeit: Seien n = p p : : : pk = q q : : : ql zwei Zerlegungen von n in Primzahlen.
Nach dem Lemma von Euklid teilt dann pk eine der Zahlen qj , also o.E. ql . Da ql 2 P
folgt pk = ql . Schreibt man n = pk n0 , so gilt entweder n0 = 1 und die Behauptung ist gezeigt oder p p : : : pk = n0 = q q : : : ql . Nach Induktionsannahme stimmen die Faktoren
p ; : : : ; pk bis auf die Reihenfolge mit den Faktoren q ; : : : ; ql uberein.
1
1
1
2
1
2
1
1
2
2
1
1
1
1
Anwendung 1.9.
Eine reelle Zahl x heit ganzalgebraisch, wenn es ein Polynom p(x) = xk + c xk +
+ ck x + ck mit c ; : : : ; ck 2 Z gibt, derart, dass p(x ) = 0. Es gilt:
Jede ganzalgebraische Zahl ist entweder ganz oder irrational.
p
Es folgt: Ist n 2 N nicht die k{te Potenz einer naturlichen Zahl, so ist k n irrational.
0
1
1
1
Beweis. Es sei x =
0
A
B
1
0
mit A; B
2
Z
und B =
6 0. Setzt man x in p(x ) = 0 ein und
0
0
6
Primzahlen
multipliziert mit B k , so ergibt sich
Ak + c Ak B + + ck AB k + ck B k = 0 :
1
1
1
1
Folglich teilt B die Zahl Ak . Nach dem Lemma von Euklid muss daher jeder Primteiler von
B auch Primteiler von A sein. Ist A=B voll gekurzt, so folgt B = 1, d.h. x = A 2 Z.
0
Anwendung 1.10 (Goldbach 1730).
Es sei Fn := 22n + 1 die sog. nte
Fermat{Zahl. Dann gilt (Induktion!)
nY1
j =0
Fj = Fn 2 :
Teilt also m 2 N sowohl Fk als auch Fn fur n 6= k, so muss m auch 2 teilen, d.h. m = 1
oder m = 2. Letzteres ist nicht moglich, da jede Fermat{Zahl ungerade ist. Die Fermat{
Zahlen sind daher paarweise teilerfremd. Aus dem Fundamentalsatz folgt somit, dass
es unendlich viele Primzahlen gibt.
Bemerkung (Fermat–Zahlen).
Es sei 2m + 1 2 P fur ein
m 2 N. Dann muss m = 2n fur ein n 2 N gelten, denn
ware m = pr mit 3 p 2 P, so folgt 2m + 1 = (2r + 1)(2m r 2m r + 2m r + : : : + 1),
d.h. 2m + 1 62 P. Es gilt
n 0 1 2 3
4
Fn 3 5 17 257 65537
Die ersten funf Fermat{Zahlen sind also prim. Fur F = 2 + 1 gilt dies aber nicht
mehr: F = 641 6700417. Wir werden spater (Beispiel 4.3) zeigen, dass 641jF . Bis
heute ist keine weitere prime Fermat{Zahl gefunden worden. Es ist jedoch unbekannt,
ob es nur endlich viele prime Fermat{Zahlen gibt.
0
2
3
32
5
5
5
Anwendung 1.11 (Euler 1737).
Fur alle x 2 gilt
1
X
p
P3px
log1 4 log log x :
Beweis. Es seien p ; : : : ; pk die Primzahlen x. Fur n 2 N mit n x sei n = pa n pakk n
die Primzahlzerlegung. Setzt man Nj := maxfaj (n) : 1 n xg, j = 1; : : : ; k, so gilt
1(
1
)
1
mithilfe der geometrischen Summenformel
X
1
nx n
=
X
a (n)
nx p1
1
1
pakk (n)
Nun beachte
log x =
Zx
1
Nj
k X
Y
1
k
Y
j =1 s=0 j
j =1
=
ps
1 1=pNj j
1 1=pj
+1
k
du X 1 Y
1
:
u nx n j 1 1=pj
k
Y
j =1
=1
Da 1=(1 t) 4t fur alle t 2 [0; 1=2], ergibt sich durch Logarithmieren
X 1
log log x log 4
:
p
px
1
:
1 1=pj
(
)
Primzahlen
7
Bemerkung.
Euler's Abschatzung ist recht krude. Satz 3.5 ist besser. Sie zeigt aber wegen
X
1
1+
kx k
2
1
X
kx k(k
2
1
1)
=1+1
1
[x]
2
(Hierbei bezeichnet [x] die grote ganze Zahl x), dass es "mehr\ Primzahlen als
Quadratzahlen k , k 2 N, gibt. Dies legt nahe, dass es fur jedes k 2 N stets mindestens
eine Primzahl p mit k < p < (k + 1) geben muss. Diese sog. Legendre Vermutung ist
allerdings bisher weder bewiesen noch widerlegt worden.
2
2
2
(Riemannsche Zetafunktion).
Insbesondere divergiert die unendliche Reihe
Ausblick
X
1
p2P p
1 1 1 1
= + + + + ::: ;
2 3 5 7
 berlegung zeigt, dass
woraus ebenfalls folgt, dass es unendlich viele Primzahlen gibt. Obige U
fur s 2 R mit s > 1 gilt
1 1
Y
X
1
=
(s) :=
s
s < 1:
n n
p2P 1 1=p
=1
Die Funktion : (1; 1) ! R beinhaltet daher Informationen uber die Menge der Primzahlen:
aus (s) ! 1 fur s ! 1+ folgt, dass P unendlich ist. Um die Zetafunktion "jenseits\
der "Polstelle\ s = 1 zu betrachten, hat Bernhard Riemann (1826{1866) diese zunachst
 berlegungen in die komplexe Ebene fortgesetzt. Riemann
mit Hilfe funktionentheoretischer U
konnte dann zeigen, dass die (nichttrivialen) Nullstellen der Riemannsche Zetafunktion genau
Auskunft uber die Verteilung der Primzahlen geben. Dies gelang ihm durch eine explizite
Formel fur (x) := Anzahl der Primzahlen x, die auf den (nichttrivialen) Nullstellen der
Zetafunktion basiert.
Wir beschranken uns im folgenden Abschnitt darauf, die Funktion : R ! N mit "elementaren Hilfsmitteln\ zu untersuchen.
0
Aufgaben
1. Man bestimme t; s 2 Z, derart, dass 36 = t7200 + s3132.
2. * Zeigen Sie, dass es unendlich viele Primzahlen der Form 4n + 3, n 2 N, gibt.
3. Zeigen Sie fur k 2 N: 2k
1 2 P =) k 2 P.
4. * Es seien
n 2 N und p 2 P
mit n < p 2n. Zeigen Sie: p teilt n nn . Zeigen Sie ferner:
Q
p teilt nn .
n <p2P n
(2
2
+1
2
+1
!
)!
!
+1
5. Zeigen Sie, dass die Menge flog p : p 2 Pg uber Q linear unabhangig ist.
x2
Primzahlverteilung I
Bemerkung 2.1 (Große Lücken).
Es sei N 2 N xiert. Dann sind die N Zahlen xn := (N + 1)! + n, n = 2; : : : ; N + 1,
keine Primzahlen, da xn durch n teilbar ist. Folglich gibt es N aufeinander folgende
Nicht{Primzahlen. Die Lucken in der Folge der Primzahlen sind also beliebig gro.
Um die Verteilung der Primzahlen innerhalb der Menge der naturlichen Zahlen zu untersuchen, fuhrt man folgende Funktion ein.
Definition (Primzahlfunktion).
Fur x 2 R bezeichne (x) die
Anzahl der Primzahlen x.
14
80
12
10
60
8
40
6
4
20
2
10
20
30
40
50
100
n
(n)
n=(n)
10
100
1000
10000
100000
1000000
10000000
100000000
1000000000
10000000000
100000000000
1000000000000
10000000000000
4
25
168
1229
9592
78498
664579
5761455
50847534
455052511
4118054813
37607912018
346065536839
2:5000
4:0000
5:9524
8:1367
10:4254
12:7392
15:0471
17:3567
19:6666
21:9755
24:2833
26:5901
28:8963
Abbildung 2.1: Die Funktion 9
200
300
1:50000
1:95238
2:18432
2:28866
2:31382
2:30794
2:30961
2:30991
2:30885
2:30782
2:30684
2:30611
400
500
10
Primzahlverteilung I
Oenbar steigt n= (n) um ungefahr 2:3, wenn man zur nachsten 10er Potenz ubergeht (rechte
Spalte), d.h. 2:3 ist ein Naturkonstante, aber welche ? Es bezeichne im Folgenden log x den
naturlichen Logarithmus von x 2 R, x > 0, d.h. die eindeutig bestimmte Zahl y 2 R, derart,
dass ey = x. Beachtet man, dass log 10 2:30259, so konnte man vermuten (wie es Gau
1792 getan hat), dass
10n
n + log 10
(10n) (n)
gilt, d.h.
n
log n bzw. (n) logn n :
(n)
Der folgende Satz zeigt, dass diese Heuristik zumindest nicht vollstandig versagt.
Satz 2.2 (Tschebyscheff, 1851).
Fur alle x 2 R, x 2 gilt
x
1
log 2 4
log x
(x) 8 log 2 logx x :
Fur den Beweis benotigen wir einige einfache Eigenschaften des Binomialkoezienten
!
m
m!
:=
;
n
(m n)! n!
n; m 2 N ; m n
0
fur den Fall m = 2n.
Lemma 2.3.
Fur jedes n 2 N gelten die folgenden Aussagen.
(a)
(b)
2
n
2
n
2
Q
n
2n
n 2 ;
2
n<p2P2n
p teilt
n
n
2
und
Q
n+1<p2P2n+1
n+1.
n
p teilt
2
(c) Fur den Exponenten vp 2 N von p 2 P in der Primzahlzerlegung von n! gilt die
Legendre Identitat
n=
X p
n
vp =
:
pm
m
Hierbei bezeichnet [x] die grote ganze Zahl x.
0
[log
log
]
=1
(d) Fur den Exponenten wp 2 N von p 2 P in der Primzahlzerlegung von
0
wp Beweis. (a)
n
n
2
n
n
2
gilt
log 2n
:
log p
n n
P
n
ist der grote Summand in 2 n = (1 + 1) n =
k n . Ferner gilt
k
2
2
2
2
2
=0
n
n
2 = (1 + 1) =
2
2
2n
X
k=0
da jeder der 2n Summanden nn ist.
2
2n
k
!
=2+
n 1
X
2
k=1
2n
k
!
!
2n
2n n ;
Primzahlverteilung I
11
 bungsaufgabe
(b) U
(c) Von den n Faktoren in n! sind genau die [n=p]{vielen Faktoren 1 p; 2 p; : : : ; [n=p] p
durch p teilbar. Von diesen sind genau [n=p ]{viele Faktoren durch p teilbar, usw.
(d) Aus der Legendre Identitat folgt
2
2
!
2n
X
2n
n
(2n)! Y wp
=
p
mit wp =
2 m
m
n
n! n! p2P
p
p
m
wobei die Summanden der Summe stets den Wert 0 oder 1 haben, denn
n 2n
n
2n
2 m < m 2 m 1 = 2:
m
=
;
1
p
p
p
p
Da fur m > log(2n)= log p alle Summanden = 0 sind, ergibt sich die Behauptung.
Beweis von Satz 2.2. (i) Abschatzung von (x) nach unten. Es gilt fur alle n 2 N
2
2
n
2n
2n
2
!
2n
n
=
Y
p2P
p wp :
Die erste Ungleichung ist recht einfach einzusehen (z.B. Induktion); die zweite ist gerade die
Aussage von Lemma 2.3 (a). Durch Logarithmieren folgt
X
X log(2n)
X
2n log 2 wp log p log p log(2n) = (2n) log(2n) :
p 2P
p2P log p
P3p n
Es ergibt sich
2n log 2
;
n 2 N;
(2n) log(2n)
und hieraus
log 2 x
(x) ;
x 2;
4 log x
wie folgt. Fixiere x 2 und wahle n 2 N mit 2n x < 2n + 2. Dann gilt
2n log 2 2n log 2 2n + 2 log 2 log 2 x
(x) (2n) log x 4 log x > 4 log x :
log(2n)
2
(ii) Abschatzung von (x) nach oben. Es gilt
n
n) (n)
(2
Y
n<p2P2n
p
2n
n
!
2 n:
2
Die vorletzte Ungleichung folgt aus Lemma 2.3 (b); die letzte aus Lemma 2.3 (a). Durch
Logarithmieren ergibt sich
log 2
:
(2n) (n) 2n
log n
Nun sei x 2. Wahle k 2 N mit 2k < x 2k . Falls k = 1 oder k = 2, so ist 2 x 4,
d.h. (x) (4) = 3 < 8(log 2)e 8 log 2 x x . Falls k 3, so ergibt sich
1
log
(2k ) (2k ) +
1
2k log 2
2k
= (2k ) +
k
log(2 )
k 1
1
1
: : : (4) +
kX1 2j +1
j =1
j
<
kX1 2j +1
j =0
j
:
12
Primzahlverteilung I
Die Summe rechts ist k (Induktion!), so dass sich ergibt
log 2
2k
2 < 8x
:
(x) (2k ) k
log x
k+2
2
1
3
Satz 2.2 zeigt, dass x x eine gute Approximation fur (x) ist. Wesentlich tiefer liegt der
sogenannte Primzahlsatz.
log
Satz (Primzahlsatz).
Es gilt
lim
x!1
(x)
x
log
x
= 1:
Fur einen Beweis verweisen wir auf die Mastervorlesung Zahlentheorie.
25
80
20
60
15
40
10
20
5
0
20
40
60
80
100
100
200
300
400
500
Abbildung 2.2: Die Funktionen sowie x 7! x= log x
Den Primzahlsatz hat bereits Gau (1777{1855) im Jahre 1792 vermutet. Bewiesen wurde
er erstmals 1896 unabhangig voneinander von J. Hadamard und Ch. de la Vallee Poussin
mithilfe funktionentheoretischer Methoden.
Ausblick.
Gau hat vermutet, dass (x) noch besser durch den Integrallogarithmus
Li(x) :=
Zx
2
dt
log t
approximiert wird. Tatsachlich ist der Primzahlsatz aquivalent zu
(x)
lim
= 1;
x!1 Li(x)
siehe Aufgabe 3.1.
(a) Eine bisher unbewiesenepVermutung besagt, dass es eine Konstante c > 0 gibt, derart,
dass j (n) Li(n)j c n log n fur alle n 2. Dies ist aquivalent zur Riemannschen
Vermutung (die sich ohne Kenntnisse aus der Funktionentheorie aber noch nicht einmal
formulieren lasst).
Primzahlverteilung I
13
(b) Gau hat noch vermutet, dass (x) < Li(x) fur alle x 2. Dies wurde allerdings 1914
von Littlewood widerlegt, der zeigen konnte, dass (x) Li(x) sogar unendlich oft das
Vorzeichen wechselt. Littlewood konnte allerdings keine explizite Zahl x angeben fur
e
die (x) > Li(x) gilt. 1933 zeigte dann Skewes, dass es ein solches x < ee gibt, wobei
er allerdings die Richtigkeit der Riemannschen Vermutung annehmen musste.
79
Satz 2.4 (Bertrandsches Postulat 1845).
Es sei n 2 N. Dann existiert ein p 2 P
mit n < p 2n.
Der folgende Beweis aus dem Jahr 1932 stammt von P. Erdos (1913{1996).
Lemma 2.5.
Fur alle x 2 gilt
Q
px
p < 4x .
Beweis. Es sei k 2 N mit k 3. Aus Lemma 2.3 (b) folgt
Y
p2k+1
2k + 1
p
!
k
Nun sei x = n 2 N, n 2, xiert. Es sei bereits
O.E. sei n = 2k + 1 2 N ungerade. Dann gilt
Y
pk
Q
p:
pk p
< 4k fur alle 2 k < n gezeigt.
!
n Y
p
p < 2n 4k < 4 k
k
pn
pk
Y
2 +1
Q
= 4n :
Q
Ist schlielich x 2, so wahle n := [x]. Es folgt px p = pn p < 4n < 4x .
Lemma 2.6.
Es sei n 2 N xiert und wp der Exponent von p 2 P in der Primzahlzerlegung von
p
n
n .
2
(a) Falls p > 2n, so gilt wp 1.
(b) Falls n < p n, so gilt wp = 0.
2
3
p
Beweis. (a) Nach Lemma 2.3 (d) gilt wp 1 fur pn < 2, d.h. fur 2n < p.
(b) Wegen 3p > 2n sind p und 2p die einzigen Vielfachen von p, die den Zahler (2n)! von
n
n teilen, wahrend im Nenner der Faktor p zweimal auftaucht.
log 2
log
2
Beweis von Satz 2.4. (i) Fall n 468. Die Zahlen
2; 3; 5; 7; 13; 23; 43; 83; 163; 317; 631
sind allesamt prim und jede Zahl ist kleiner als das Doppelte der vorhergehenden Zahl. Jedes
Intervall (n; 2n], n 468, enthalt also eine dieser vierzehn Primzahlen.
(ii) Fall n 468: Lemma 2.3 (a) und (d) (pwp 2n) sowie Lemma 2.6 zeigen
4n
2n
!
2n
n
=
Y
p 2P
pwp Y
p
p
n
2
2n Y
p
n<p n
2
2
3
p
Y
n<p2n
p:
14
Primzahlverteilung I
p
p
Da es hochstens 2n Primzahlen p 2n gibt, folgt
p
p
Y
Y
n
n4 n Y p
4n (2n)
p
p < (2n)
p
n<p n
n<p n n<p n
1+
2
1+
2
2
2
2
3
2
3
2
mit Lemma 2.5. Gibt es nun keine Primzahl n < p 2n, so hat man
p
p
n
log 4
n
4 < (2n)
oder
n < (1 + 2n) log(2n) :
3
1+
3
2
p
Dies ist fur n 468 aber falsch, wie man durch Diskussion der Funktion x 7! (1+ 2x) log(2x)
x sehr einfach feststellen kann.
log 4
3
Aufgaben
1. Die Primzahlen p ; p ; : : : 2 P seien der Groe nach geordnet: p < p < p < : : :. Man
zeige, dass es ; 2 R gibt, derart, dass
1
2
1
n log n pn n log n
2. Es sei k
enthalt.
2
N.
2
3
fur alle n 2 N :
Man zeige, dass kk mindestens [ k k ] verschiedene Primfaktoren
2
log 2
log 2
x3
Primzahlverteilung II
Definition.
Es seien A R und f; g : [; 1) \ A ! R fur ein 2 R mit g(x) > 0 fur alle
x 2 [; 1) \ A. Wir schreiben f (x) = O(g(x)), falls jf (x)j=g(x) fur x ! 1 beschrankt
bleibt, d.h. falls
9M> 9R2R 8A3xR jfg((xx))j M :
Im Spezialfall A = N, schreibt man f (n) = O(g(n)).
0
Beispiel 3.1 (Schwache Stirlingsche Formel).
Es gilt
log(n!) = n log n n + O(log n) :
Beweis.
log(n!) log n =
nX1
k=2
log k Wegen
Zn
nX1 kZ+1
k=1 k
log x dx =
Zn
1
log x dx = x log x
x=n
x
x=1
1
ergibt sich
log x dx nX1
log(k+1) =
k=1
n
X
k=2
log k = log(n!) :
= n log n n + 1
1 log(n!) n log n + n log n + 1
Beispiel 3.2.
Es gilt
log p
= O(1) :
p
(
p 1)
P3pn
X
Beweis. Da x 7! x x
log
(
0
x
1)
auf (1; 1) monoton fallt, gilt
log p
p(p 1)
P3pn
X
log 2
+
2
nZ
2
1
log 2 nX log(j + 1)
+
2
(j + 1)j
j
1
=2
log 2
+
2
px 1 x
1
log 2
px(x 1) dx = 2 + log px + 1 x
15
=
nZ
1
2
n
=2
1
log x
dx
x(x 1)
p
log 2
2 1
+ log p
:
2
2+1
16
Primzahlverteilung II
Satz 3.3 (Mertens 1874).
Es gilt
log p
X
P
= log x + O(1) :
3px p
Beweis. Es n 2 N xiert und vp der Exponent von p 2 P in der Primzahlzerlegung von n!.
Die Legendre Identitat impliziert
X
log(n!) =
P
3pn
= n
vp log p =
log p
X
P
X
P
3pn
X
3pn p
P
|
log p 3pn
X
j 1
n
p
{z
=:
[n=pj ]
X
X
n log p +
log p [n=pj ] :
p
P3pn
j
}
(n)
|
2
{z
=:
2
(n)
}
3
Die Summe (n) hat (n) 8 log 2 n n < nn Summanden, d.h. 0 (n) 8n. Fur die
innere Summe in (n) gilt
8
2
log
2
log
3
X
j 2
[n=pj ] n
[log
n=
Xlog p]
p(pn
1
pj
j =2
1)
;
d.h.
0
(n) n
3
log p
= O(n)
p(p 1)
P3pn
X
nach Beispiel 3.2. Mit der schwachen Stirlingschen Formel ergibt sich
log n 1 + O(log n=n) =
d.h.
X
pn
log p
p
X
log p
pn
p
(n) (n)
+
;
n
n
2
3
= log n + O(1) :
Lemma 3.4 (Abelsche Summation).
Es sei < < : : : eine Folge reeller Zahlen mit limn!1 n = +1, (n ) eine
Folge
P
reeller Zahlen und f : [ ; 1) ! R stetig dierenzierbar. Setzt man A(x) := n x n ,
so gilt
1
2
1
X
n x
fur alle R 3 x 2.
n f (n ) = A(x)f (x)
Zx
1
A(u)f 0 (u) du
Primzahlverteilung II
17
Beweis. Sei x 2 xiert. Wahle N 2 N mit N x < N . Beachtet man A(u) = A(n )
fur n u < n , A(n ) A(n ) = n fur n 2, sowie A( ) = , so folgt
+1
+1
Zx
1
NX1 Zn
+1
A(u)f 0 (u) du =
n=1 n
NX1
1
=
n=1
N
X
=
A(u)f 0 (u) du +
Zx
N
N
X
A(n )f (n )
1
n=1
A(n )f (n ) + A(x)f (x)
n f (n ) + A(x)f (x) :
derart, dass
P
A(u)f 0 (u) du
+1
n=1
X
1
A(n ) (f (n ) f (n )) + A(N ) (f (x) f (N ))
n=2
N
X
=
Satz 3.5 (Mertens 1874).
Es existiert ein B 2 R,
1
1
3px p
= log log x + B + O
1
:
log x
Bemerkung.
Es gilt B 0:2614972128476427837554268386086958590516.
Beweis. Sei A(x) :=
P
px p
log
p.
Abelsche Summation liefert
x
1
A(x) Z A(u)
=
log p = log x +
du :
u (log u)
px p px p
X
1
X
log p
2
2
Satz 3.3 zeigt A(u) = log u + h(u) mit h(u) = O(1), d.h.
Zx
Z1
X 1
1
du
h(u)
=1+O
+
+
du
p
log
x
u
log
u
u
(log
u
)
px
2
2
|
{z
=log log
}
2
x
Z1
x
|
h(u)
du :
u (log u)
2
=
O
{z
1
log
x
}
Satz 3.6 (Tschebyscheff, 1852).
Falls der Limes
lim (x) x!1
existiert, dann ist dieser = 1.
Beweis. Es sei C := limx!1 (x)
Abelsche Summation liefert
x
log
x
x,
log x
x
d.h. (x) = x x (C + "(x)) mit limx!1 "(x) = 0.
log
x
(x) Z (u)
C + "(x) Z C + "(u)
=
1=
+
du =
+
du = (C + (x)) log log x ;
x
u
log x
u log u
px p px p
X
1
X
1
( )
2
2
2
18
Primzahlverteilung II
wobei xlim
!1 (x) = 0. Ein Vergleich mit Satz 3.5 zeigt nun C = 1. Zum Nachweis von () ist
wegen
Zx
2
nur zu zeigen, dass
du
u log u
= log(log x) log(log 2)
x
Z
1
"(u)
du ! 0
log(log x) u log u
fur x ! 1 :
2
Dies sieht man wie folgt ein. Da "(x) ! 0 fur x ! 1, gibt es zu vorgegebenem "~ > 0 ein
R > 0 mit j"(u)j "~ fur alle x R. Daraus folgt
Zx
1
log(log x)
2
"(u)
u log u
du
ZR
1
j"(u)j du + "~
log(log
x) u log u
2
log(log R)
log(log x)
! "~
fur x ! 1 :
Da "~ > 0 beliebig gewahlt werden kann, ergibt sich die erwunschte Information.
Aufgaben
1. Zeigen Sie
Zx
2
dt
log t
=
x
log x
+O
x
(log x)
2
:
x4
Modulare Arithmetik
Motivation.
Hat das Polynom p(x) = 13x
13x 16x 3 eine ganzzahlige Nullstelle ?
Um diese Frage zu behandeln, beachte man, dass fur gerades a jeder Summand in p(a)
bis auf den letzten gerade ist, d.h. sicherlich ist p(a) ungerade. Ist a ungerade, so hat
p(a) genau 3 ungerade Summanden, d.h. p(a) ist wieder ungerade. In beiden Fallen ist
insbesondere p(a) 6= 0. Antwort: Es gibt keine ganzzahlige Nullstelle von p(x).
Hierbei war der entscheidende Gedanke, die ganzen Zahlen in gerade und ungerade
Zahlen einzuteilen, also in zwei "Restklassen\.
27
6
50
Definition (Kongruenz).
Es seien a; b 2 Z und
n 2 N. a heit kongruent zu b modulo n, falls nj(a b). In diesem
Fall schreibt man a b (mod n).
a b (mod n) bedeutet also a = b + kn fur ein k 2 Z.
Lemma 4.1 (Rechenregeln).
Es seien n 2 N und a; a0 ; b; b0
2 Z. Dann gelten die folgenden Rechenregeln.
(a) Falls a a0 (mod n) und b b0 (mod n), so gelten
(i) (a b) (a0 b0 ) (mod n)
(ii) ab (a0 b0 ) (mod n).
(b) Gilt (ab) = (ab0 ) (mod n) und sind n und a teilerfremd, so folgt b = b0 (mod n).
Beweis. (a) Es gilt a = a0 + kn und b = b0 + ln mit k; l 2 Z. Es folgt (a b) = (a0 b0 )+(k l)n
mit k l 2 Z. Dies impliziert (i). Ferner gilt ab = a0 b (mod n), denn ab a0 b = knb 2 Z,
sowie analog a0 b a0 b0 (mod n). Es folgt a0 b0 a0 b (mod n) ab (mod n).
(b) a(b b0 ) ist durch n teilbar, d.h. n teilt b b0 , so dass b = b0 (mod n).
Beispiel 4.2 (Schule; Teilbarkeit durch 3).
P
Es sei n = Nj=0 aj 10j mit aj 2 f0; : : : ; 9g fur
d.h. n (a0 + : : : + aN )(mod 3). Folglich ist die
ihre Quersumme durch 3 teilbar ist.
j = 0; : : : ; N . Dann gilt 10j 1 (mod 3),
Zahl n genau dann durch 3 teilbar, wenn
Beispiel 4.3.
Wir zeigen 641jF = 2 +1. Beachte 641 = 5 2 +1, also 5 2 1 (mod 641). Potenziert
man mit dem Exponenten 4, so ergibt sich 5 2 1 (mod 641). Wegen 641 = 5 + 2
d.h. 5 2 (mod 641), folgt 2 1 (mod 641), d.h. 2 + 1 0 (mod 641). Wie man
5
32
7
4
4
4
32
7
28
4
32
19
4
20
Modulare Arithmetik
auf die Zahl 641 als (potentiellen) Teiler von 2 +1 kommt, wird in Beispiel 7.8 erklart
werden.
32
Beispiel (Vorsicht beim Kürzen“).
”
Es gilt 42 12 (mod 10), aber 7 6 2 (mod 10).
Bemerkung.


Kongruenz modulo n ist eine Aquivalenzrelation.
Die Aquivalenzklasse
[a] von a 2 Z
besteht aus allen u 2 Z, derart, dass nj(a u), d.h. aus den Zahlen a + kn mit k 2 Z.
Wir schreiben
[a] := a + nZ := fa + kn : k 2 Zg
und nennen [a] die Kongruenzklasse (oder auch Restklasse) von a modulo n.
Fur n = 2 ist [0] die Menge der geraden und [1] die Menge der ungeraden ganzen Zahlen.
Bemerkung.
Fur a 2 Z
sei a = qn + r eine Division durch n mit Rest r, d.h. 0 r < n. Dann gilt

a r (mod n). Uberdies
gilt r 6 r0 (mod n), falls 0 r; r0 < n und r 6= r0 . Folglich ist
z.B. f0; 1; 2; : : : ; n 1g ein Reprasentantensystem der Restklassen von Z modulo n. Die
Menge der Restklassen von Z modulo n bezeichnet man mit Zn (oder mit Z=nZ).
Satz 4.4.
Es sei 2 n 2 N. Dann ist durch [a] + [b] := [a + b] und [a] [b] := [ab] eine wohldenierte Addition und Multiplikation auf Zn gegeben, die Zn zu einem kommutativen Ring
macht. Hierbei ist [1] das neutrale Element bzgl. der Multiplikation.
Beweis. Die Wohldeniertheit der Addition und der Multiplikation folgt direkt aus Lemma
4.1 (a). Die Ringaxiome ubertragen sich nun unmittelbar von Z auf Zn .
Definition (Einheit, prime Restklasse).
Ein [a] 2 Zn heit (multiplikative) Einheit oder eine prime Restklasse modulo n,
ein [x] 2 Zn existiert, derart, dass ax 1 (mod n). Die Menge der Einheiten in Zn
mit Zn bezeichnet.
Lemma 4.5 (Lineare Kongruenzen).
Es seien n 2 N und a 2 Znf0g.
wenn a und n teilerfremd sind.
falls
wird
Dann gilt ax 1 (mod n) fur ein x 2 Z genau dann,
Beweis. ax 1 (mod n) () ax = 1+ kn fur ein k 2 Z () 1 = ax + kn fur ein k 2 Z. Nach
dem Lemma von Bezout ist dies gleichbedeutend damit, dass a und n teilerfremd sind.
Korollar 4.6 (Charakterisierung der primen Restklassen).
Es gilt [a] 2 Zn genau dann, wenn a und n teilerfremd
Korollar 4.7 (Prime Restklassengruppe).
Es sei 2 n 2 N. Dann ist (Zn ; )
gruppe.
sind.
eine abelsche Gruppe, die sog. prime Restklassen-
Beweis. Es seien [a]; [b] 2 Zn . Dann sind a und b teilerfremd zu n. Nach dem Lemma von
Modulare Arithmetik
21
Euklid ist dann auch ab teilerfremd zu n, d.h. [ab] = [a][b] 2 Zn . Folglich ist Zn abgeschlossen
bzgl. . Die Assoziativitat und Kommutativitat erbt Zn von Zn . Ist [a] 2 Zn , d.h. a und n
sind teilerfremd, so existieren nach Bezout x; k 2 Z mit ax + kn = 1, d.h.[a] [x] = [1].
Korollar 4.8.
Es sei 2 n 2 N. Dann sind die folgenden Aussagen aquivalent.
(i) 1; 2; : : : ; n 1 sind teilerfremd zu n.
(ii)
Zn nf0g = Zn .
(iii) n 2 P.
Insbesondere ist Zn genau dann ein Korper, wenn n 2 P.
Satz 4.9 (Satz von Wilson (Waring, Meditationes Algebraicae 1770)).
Es sei p 2 P. Dann gilt (p 1)! 1 (mod p).
Beweis (Gau). Es sei p > 3. Zu jedem a 2 M := f1; 2; : : : ; p 1g existiert genau ein a0 2 M
mit aa0 1 (mod p). Hierbei gilt a = a0 genau dann, wenn a 1 (mod p), d.h. genau dann
wenn a 1 (mod p), also a = 1 oder a = p 1. Folglich gilt
2
2 3 (p 2) 1 (mod p) :
Da p 1 1 (mod p), ergibt sich die Behauptung. Fur p = 2 und p = 3 sieht man die
Behauptung unmittelbar ein.
Satz 4.10 (Kleiner Satz von Fermat (Brief von P. Fermat an F. de Bessy vom 18. Oktober 1640)).
Es sei a 2 Z nicht durch p 2 P teilbar. Dann gilt ap 1 = 1 (mod p).
Beweis (Ivory 1806). Nach Lemma 4.1 (b) bilden die p 1 Zahlen a; 2a; : : : ; (p 1)a ein
Reprasentantensystem von Zp , d.h. jede davon ist kongruent zu genau einer der Zahlen
1; 2; 3; : : : ; p 1. Aus Lemma 4.1 (a) folgt somit
a (2a) ((p 1)a) 1 2 (p 1) (mod p) :
Lemma 4.1 (b) zeigt dann xp
1
1 (mod p).
Dieser Beweis lasst sich sehr leicht auf den Fall ausdehnen, dass p keine Primzahl ist. Hierzu
ist folgende Denition zweckmaig.
Definition (Eulersche '–Funktion).
Fur n 2 N sei '(n) die Anzahl
der zu n teilerfremden Zahlen k 2 f1; : : : ; ng.
Beachte: n 2 P () '(n) = n 1. Ferner gilt '(n) = jZn j.
Satz 4.11 (Euler 1760).
Es sei 2 n 2 N und
x 2 Z teilerfremd zu n. Dann gilt x' n 1 (mod n).
(
)
Beweis. Die '(n){vielen zu n teilerfremden Zahlen k 2 f1; : : : ; ng seien
a ; a ; : : : ; a' n :
1
2
(
)
22
Modulare Arithmetik
Jede der Zahlen
a x; a x; : : : ; a' n x
1
2
(
)
ist aufgrund von Lemma 4.1 (b) kongruent modulo n zu genau einem aj , j = 1; : : : ; '(n),
d.h. Lemma 4.1 (a) (ii) ergibt
(a x) (a x) (a' n x) a
1
2
(
)
1
a' n
(
)
(mod n) :
Kurzt man hier mithilfe von Lemma 4.1 (b) der Reihe nach a ; : : : ; a' n , so folgt die Behauptung.
1
(
)
Beispiel 4.12.
Es sollen die letzten drei Ziern der Dezimaldarstellung von 9 ermittelt werden. Es
gilt '(1000) = 400, d.h. 9 1 (mod 1000). Ferner gilt
9
9
400
9 = (80 + 1) 9 (4 80 + 1) 9 79 9 89 (mod 400) :
9
4
Daher gilt modulo 1000 mithilfe des Binomischen Satzes
9
9
9
9
89
89
2
= (910) =
89
!
100 + 89 10
1 400 110 1 = 289 :
Es folgt 9 = : : : 289.
9
9
Satz 4.13.
Es sei 3 p 2 P. Dann existiert ein x 2
p 1 (mod 4).
Z
mit x 1 (mod p) genau dann, wenn
2
Beweis. Es sei p 1 (mod 4). Modulo p gilt dann nach dem Satz von Wilson
1 (p 1)! =
p 1
2
Nun sei x 2 Z mit x
2
!
pY
1)=2
(
j =1
(
=
1) 2
p 1
2
!(
1) p
(
=
1) 2
p 1
2
!=
p 1 2
!
2
:
1 (mod p). Der kleine Satz von Fermat impliziert dann
1 xp
Folglich ist ( 1) p
(p j ) 1
= (x ) p
2
(
=
1) 2
(
1) p
(
=
1) 2
(mod p) :
= 1, also p 1 (mod 4).
Eine modulare Gleichung der Form x a (mod n) heit quadratische Kongruenz. Diese
werden spater systematisch untersucht. Ihre Losbarkeit bzw. Nichtlosbarkeit hat wichtige
Konsequenzen u.a. fur Primzahlen. Wir illustrieren dies hier anhand der folgenden Aussage.
2
Korollar 4.14.
Es gibt unendlich viele Primzahlen der Form 4k + 1, k 2 N.
Beweis. Es seien p < p : : : die Primzahlen der Form 4k + 1, k 2 N. Die Zahl 2 < M :=
(2p p pn ) + 1 1 (mod 4) hat nach Satz 4.13 nur Primteiler p > 2 der Form 4k + 1,
k 2 N, ist aber nicht durch 2; p ; : : : ; pn teilbar.
1
1
2
2
2
1
Modulare Arithmetik
23
Aufgaben
1. *Es seien n 2 N und a; b 2 Z. Dann gilt ax b (mod n) fur ein x 2 Z genau dann,
wenn ggT(a; n)jb. Die Anzahl der Losungen der Gleichung ax b (mod n) modulo n
ist ggT(a; n).
2. Es sei 2 n 2 N und (n 1)! 1 (mod n). Dann gilt n 2 P.
3. Es sei 3 p 2 P kein Teiler von a 2 Z. Dann gilt a
p
1
2
1 (mod p).
x5
Lineare Konguenzen und die Eulersche Phifunktion
Die Ergebnisse von Kapitel 4 beruhen zum groen Teil auf Lemma 4.5, d.h. auf der Losbarkeit
der linearen Kongruenz ax 1 (mod n), falls a und n teilerfremd sind. Wir untersuchen
daher nun genauer die Losbarkeit von endlich vielen linearen Kongruenzen und beginnen mit
dem folgenden zentralen Resultat.
Satz 5.1 (Chinesischer Restsatz).
Es seien n1 ; : : : ; nr 2 N paarweise teilerfremd und a1 ; : : : ; ar 2 Z.
eine ganze Zahl 0 x < n1 n2 nr , die das Kongruenzsystem
Dann existiert genau
x a (mod n )
..
.
1
1
x ar (mod nr )
lost.
Beweis. (i) Fur die Existenzaussage betrachten wir zunachst den Fall r = 2. Da ggT(n ; n ) =
1 gibt es nach Lemma 4.5 A; B 2 Z mit An + Bn = 1. Multipliziert man diese Gleichung
mit a a , so ergibt sich nach einer Umformung
1
1
1
2
2
2
a
1
(a
1
a )An = a
2
1
(a
2
()
a )Bn :
2
1
2
Diese Zahl, nennen wir sie y , erfullt also y a (mod n ) und y a (mod n ). Das gesuchte
x ergibt sich dann durch Division mit Rest: y = jn n + x.
(ii) Fur den Fall r = 3 seien wieder A; B 2 Z mit An + Bn = 1. Nach (i) existiert ein
x 2 Z, derart, dass
1
1
1
2
1
xa
1
(a
1
a )An (mod n n )
2
1
1
2
2
2
2
und
x a (mod n ) :
(a
a )Bn + jn n :
3
3
Es gibt also ein j 2 Z mit
x=a
1
(a
1
a )An + jn n = a
( )
2
1
1
2
2
2
1
2
1
2
Die Zahl x ist also eine Losung des Kongruenzsystems fur r = 3. Durch Division mit Rest
ndet man wieder eine Losung zwischen 0 und < n n n .
(iii) Der Fall r 4 ergibt sich nun induktiv, da man zwei Kongruenzen wie beschrieben zu
einer zusammenfassen kann.
(iv) Eindeutigkeit: Ist x0 2 Z mit x0 aj (mod nj ), j = 1; : : : ; r, so gilt nj j(x x0 ), j =
1; : : : ; r, also n nr j(x x0 ), d.h. x0 x (mod n nr ).
1
1
1
25
2
3
26
Lineare Konguenzen und die Eulersche Phifunktion
Beispiel.
Betrachte x 3 (mod 5), x 5 (mod 9). Aus 1 = 2 5 1 9 erhalt man 2 = 4 5 2 9,
also t = 4 und t = 2, d.h. x = 23.
1
2
Bemerkung 5.2 (Chinesischer Restsatz und prime Restklassengruppen).
Es seien n1 ; n2 2 N mit ggT(n1 ; n2 ) = 1. Fur [a] 2 Zn n gilt dann ggT(a; n1 n2 ) = 1. Wir
setzen a1 : a (mod n1 ) und a2 : a (mod n2 ). Dann gilt [aj ] 2 Znj , denn ggT(aj ; nj ) =
1
2
1. Hierdurch ist also eine Abbildung
Zn n
1
2
! Zn Zn ;
1
[a] 7! (a ; a )
1
2
2
wohldeniert. Diese ist nach dem Chinesischen Restsatz bijektiv. Hierzu beachte man,
dass es zu jedem [a ] 2 Zn und jedem [a ] 2 Zn nach Satz 5.1 ein eindeutig bestimmtes [a] 2 Zn n gibt, derart, dass a aj (mod nj ) fur j = 1; 2. Wegen ggT(a ; n ) =
ggT(a ; n ) ist auch ggT(a; n n ) = 1, d.h. [a] 2 Zn n .
1
1
2
2
1
2
1
2
1
1
2
1
1
2
Die Abbildung aus Bemerkung 5.2 ist strukturerhaltend, wenn man Folgendes beachtet:
Definition (Direktes Produkt von Gruppen).
Sind G ; G Gruppen, so ist das direkte Produkt G G die Gruppe mit den Paaren
(a ; a ), a 2 G , a 2 G als Elemente und koordinatenweiser Verknupfung (a ; a ) (b ; b ) = (a b ; a b ).
1
1
1
2
2
2
1
1
1
1
1
2
2
2
2
1
2
2
Korollar 5.3 (Gruppentheoretische Interpretation des chinesischen Restsatzes).
Es seien n1 ; : : : ; nr 2 N paarweise teilerfremd. Dann ist durch
: Zn nr ! Zn Znr ;
(a) = (a ; : : : ; ar ) wobei aj a (mod nj ); j = 1; : : : ; r ;
1
1
1
ein Gruppenisomorphismus gegeben.
Beweis. Wir wissen bereits, dass die Abbildung wohldeniert und bijektiv ist. Dass ein
Homomorphismus ist, folgt aus ab aj bj (mod nj ), j = 1; 2 : : : ; r.
Korollar 5.4 (Multiplikativität der Eulerschen Phifunktion).
Es seien n; m 2 N teilerfremd. Dann gilt '(nm) = '(n)'(m).
Beweis. Beachtet man '(N ) = jZN j, so folgt aus Bemerkung 5.2, dass gilt: '(nm) =
jZnmj = jZn Zmj = '(n)'(m).
Bemerkung (RSA–Codierunsgverfahren).
Gilt n = pq fur zwei Primzahlen p 6= q, so folgt aus Korollar 5.4, dass '(n) = '(p)'(q) =
(p 1)(q 1), d.h. '(n) lasst sich nur dann schnell berechnen, wenn man die Primteiler
p und q von n kennt. Ist n sehr gro, so ist das Aunden von p und q aber i.Allg. sehr
aufwandig. Hierauf beruht das sog. RSA{Verfahren, welches wie folgt arbeitet.
1.Schritt: Vorbereitung
Es seien p =
6 q (groe) Primzahlen und n := pq. Wahle 1 < r < '(n) = (p
derart, dass ggT(r; '(n)) = 1. Wir nennen das Paar (n; r) den
1)(q 1),
öffentlichen Schlüssel.
Lineare Konguenzen und die Eulersche Phifunktion
27
Wahle nun 1 < s < '(n) mit rs 1 (mod '(n)). Dies ist moglich, da [r] 2 Z' n
wegen ggT(r; '(n)) = 1. Wir nennen s den geheimen Schlüssel. Beachte, dass man
den geheimen Schlussel s aus dem oentlichen Schlussel (n; r) nur dann schnell
berechnen kann, wenn man '(n), d.h. die Primteiler p und q von n kennt.
(
)
2.Schritt: Verschlusselung mit dem oentlichen Schlussel (n; r).
Es sei 1 N < n mit ggT(N; n) = 1 die zu ubermittelnde Nachricht. Berechne den
Rest 0 R < n von N r bei Division durch n, d.h.
R N r (mod n) :
Diese Berechnung von R ist bei Kenntnis von N und (n; r) sehr ezient moglich.
Die Zahl R wird nun ubertragen.
3. Schritt: Entschlusselung von R mit dem geheimen Schlussel s.
Aus Satz 4.11 (Satz von Euler) folgt wegen rs = 1 + j'(n) fur ein j 2 Z, dass
N j' n 1 (mod n), da ggT(N; n) = 1, d.h.
1+
(
)
Rs N rs = N
1+
j'(n)
N (mod n) :
Auch hier ist die Berechnung von N aus R und s sehr eektiv durchfuhrbar.
Lemma 5.5 (Eulersche Phifunktion für Primzahlpotenzen).
Es sei p 2 P. Dann gilt '(pa ) = pa 1 (p 1) fur alle a 2 N.
Beweis. Von den pa Zahlen 1; 2; : : : ; pa ist genau jede p{te durch p teilbar; die Anzahl der zu
p (d.h. zu pa ) teilerfremden unter diesen Zahlen ist somit '(pa ) = pa pa = pa (p 1).
1
Korollar 5.6 (Formel für Eulersche Phifunktion).
Es sei n 2 N. Dann gilt
'(n) = n Y
3pjn
1
P
1
p
1
:
Beweis. Es sei ap 2 N der Exponent von p 2 P in der kanonischen Primfakorzerlegung von
n, d.h.
Y
n=
pap :
0
3pjn
P
Es folgt
0
'(n) = ' @
1
Y
P
5 4
3pjn
Beispiel.
pap A =:
Y
3pjn
'(pap ) =:
5 5
Y
3pjn
pap 1
1
p
=n
Y
P
3pjn
1
1
p
Es sei n = 30 = 2 3 5. Dann gilt '(30) = '(2)'(3)'(5) = 1 2 4 = 8 mit
f1; 7; 11; 13; 17; 19; 23; 29g.
Satz 4.11 besagt a' n
(
)
:
Z30
1 (mod n) fur [a] 2 Zn und motiviert die folgende Denition.
=
28
Lineare Konguenzen und die Eulersche Phifunktion
Definition (Ordnung einer primen Restklasse).
Es sei n 2 N. Fur [a] 2 Zn heit die kleinste
Zahl k 2 N, derart, dass [a]k = [1] die
Ordnung von a (modulo n). Man schreibt k = ordn [a].
Beispiel.
Es sei n = 5. Dann gilt ord [1] = 1, ord [2] = ord [3] = 4, sowie ord [4] = 2. Beachte
'(5) = 5 1 = 4.
5
5
5
5
Satz 5.7.
Es sei n 2 N und [a] 2 Zn mit k = ordn [a]. Dann gilt:
(a) [a]m = [1] () m 0 (mod k).
Insbesondere gilt k j '(n).
() j l (mod k).
(b) [a]j = [a]l
(c) Die Restklassen [a]; [a] ; : : : ; [a]k sind paarweise verschieden.
2
(d) ordn [a]h =
k .
h;k)
ggT(
()
(e) ordn [a]h = k
ggT(h; k) = 1.
Beweis. (a) Sei zunachst m 0 (mod k), d.h. m = jk fur ein j 2 Z. Es folgt [a]m = [a]jk =
([a]k )j = [1]j = [1]. Gilt umgekehrt [a]m = [1] und ist m = qk + r mit q 2 Z und 0 r < k,
so folgt
[1] = [a]m = [a]qk r = ([a]k )q [a]r = [1]q [a]r = [a]r :
+
Da aber k die kleinste naturliche Zahl mit [a]k = 1 ist, folgt r = 0, d.h. kjm. Da [a]' n = [1]
nach Satz 4.11 ergibt sich k j '(n).
(b) Wegen [a]j = [a]l () [a]j l = [1] folgt (b) unmittelbar aus (a).
(c) Folgt aus (b).
(d) Sei d := ggT(h; k) und h = dh , k = dk , also ggT(h ; k ) = 1. Dann gilt
(
1
[a]h
k1
1
= [a]k
1
h1
)
1
= [1]h = [1] :
1
Aus (a) folgt r := ordn [a]h j k . Andererseits gilt
1
[a]hr = [a]h
r
= [1] ;
d.h. kjhr nach (a), also k jh r. Da ggT(k ; r ) = 1, folgt k jr. Zusammen ergibt sich k = r.
(e) Folgt aus (d).
1
Beispiel 5.8.
1
1
1
1
1
Wir bestimmen ord [7]. Nach Satz 5.7 (a) kommen nur Teiler von '(31) = 30 = 2 3 5
31
Lineare Konguenzen und die Eulersche Phifunktion
29
in Frage. Wir berechnen fur d = 2; 3; 5; 6; 10; 15 die Potenzen 7d modulo 31:
7
7
7
7
7
7
2
3
5
6
10
15
18 13
7 7 ( 13) 7 2
7 7 2 ( 13) 5
7 7 224
7 7 55 6
7 7 ( 6) 5 1 :
2
3
2
3
3
5
5
10
5
Folglich gilt ord [7] = 15.
31
Wir wenden Satz 5.7 auf Primzahlen an:
Beispiel 5.9.
Es sei p 2 P und q 2 P ein Teiler von 2p 1. Dann gilt q p + 1.
Beweis. Da qj(2p 1), folgt 2p 1 (mod q). Beachte, q ist ungerade. Der Satz von Fermat
zeigt 2q 1 (mod q ). Sei r := ordq [2]. Nach Satz 5.7 (a) teilt r sowohl q 1 als auch p.
Da p 2 P, ist r = p oder r = 1. Letzteres ist nicht moglich, da 2 6 1 (mod q ). Es folgt r = p
und pj(q 1), d.h. q p + 1.
1
Aufgaben
1. Man nde die eindeutige Losung 0 x < 105 des Systems von linearen Kongruenzen
x 2 (mod 3) ;
2. Man lose die Kongruenz
x 3 (mod 5) ;
x 2 (mod 7) :
883 x 103 (mod 2275) :
3. Berechne '(360).
4. Bestimme alle n 2 N mit '(n) = 12.
()
x6
Primitive Restklassen
Die Restklassen in Zn haben maximal Ordnung '(n). Dies motiviert die folgende Denition.
Definition (Primitive Restklasse).
Es sei n 2 N und a 2 Z mit
ordn [a] = '(n).
[a]
2
Zn .
Dann heit [a] primitive Restklasse, falls
Primitive Restklassen in Zn gibt es nicht immer.
Beispiel 6.1.
Fur n = 8 gibt es '(8) = 4 prime Restklassen und zwar [1]; [3]; [5]; [7] der Ordnung
1; 2; 2; 2. Es gibt also keine Restklasse der Ordnung '(8) = 4, d.h. keine primitiven
Restklassen in Z .
8
Dagegen gibt es stets primitive Restklassen in Zp fur p 2 P. Hierzu benotigen wir den
folgenden Hilfssatz aus der Linearen Algebra sowie eine weitere Eigenschaft der Eulerschen
Phifunktion.
(Lagrange). Es sei K ein Korper und f (x) ein Polynom mit Koezienten aus
K vom Grad n 2 N. Dann besitzt f (x) hochstens n Nullstellen in K .
Hilfssatz
Satz 6.2 (Weitere Eigenschaften der Eulerschen Phifunktion).
Es sei n 2 N. Dann gilt
X
N
3djn
'(d) = n :
Fur n 3 ist '(n) gerade.
Beweis. Kurzt man die Bruche mn fur m = 1; 2 : : : ; n, so erhalt man als Nenner genau die
Teiler d 2 N von n, und zu jedem solchen Nenner d gibt es genau '(d) mogliche Zahler. Nun
sei n 3 und a 2 f1; : : : ; ng teilerfremd zu n. Dann ist auch n a teilerfremd zu a. Wegen
n 3 gilt n a 6= a, d.h. die zu n teilerfremden Zahlen a treten paarweise auf, also ist ihre
Anzahl '(n) gerade.
Satz 6.3.
Es sei p 2 P und d 2 N ein Teiler von '(p) = p 1. Dann gibt es in Zp genau '(d){
viele prime Restklassen der Ordnung d. Insbesondere gibt es '(p 1){viele primitive
Restklassen in Zp .
Beweis. (i) Fur jeden Teiler d von p 1 sei (d) die Anzahl der primen Restklassen mod p
mit der Ordnung d. Da jede Restklasse in Zp eine Ordnung d besitzt und diese '(p) = p 1
31
32
Primitive Restklassen
teilt (Satz 5.7 (a)), folgt
X
djp
(d) = p 1 :
(?)
1
(ii) Sei djp 1 mit (d) > 0, d.h. es gibt mindestens eine prime Restklasse [a] der Ordnung
d. Dann sind die Restklassen [a]j , j = 1; 2; : : : ; d nach Satz 5.7 (c) paarweise verschieden und
Nullstellen des Polynoms xd [1]:
[a]j
d
[1] = [a]d
j
[1] = [1]j
[1] = [1] [1] = [0] :
Nach dem Hilfssatz sind die Restklassen [a]j , j = 1; 2; : : : ; d also genau Nullstellen von xd [1]
im Korper Zp . Alle Elemente in Zp der Ordnung d sind also unter diesen Restklassen zu
nden. Nun hat [a]j nach Satz 5.7 genau dann Ordnung d, wenn ggT(j; d) = 1. Folglich ergibt
sich (d) = '(d), falls (d) > 0.
P
(iii) Aus (ii) folgt (d) '(d) fur alle positiven Teiler d von p 1. Da djp '(d) = p 1
(Satz 6.2), ergibt sich aus (?), dass (d) = '(d) > 0 fur jeden Teiler d von p 1. Insbesondere
existiert also eine primitive Restklasse der Ordnung d.
1
Bemerkung.
Es existiert eine primitive Restklasse [a] 2 Zn genau dann, wenn
Zn
= f[a]; [a] ; : : : ; [a]' n g ;
2
(
)
wobei [a]' n = [1] nach Satz 4.11.
(
)
Definition (Zyklische Gruppe).
Eine endliche Gruppe G heit zyklisch, falls es ein a 2 G gibt, derart, dass G =
fa; a ; : : : ; ak g fur ein k 2 N.
2
Bemerkung.
Es gilt also:
Zn besitzt eine primitive Restklasse () Zn ist zyklisch.
Es stellt sich die Frage, fur welche n 2 N die prime Restklassengruppe Zn zyklisch ist.
Nach Satz 6.3 ist Zn zyklisch fur jedes n 2 P.
Satz 6.4.
Zn ist zyklisch
genau in den folgenden Fallen
(a) n = pm , 3 p 2 P, m 2 N.
(b) n = 2pm , 3 p 2 P, m 2 N.
(c) n = 2; 4.
Beweis fur n = 2m . Die Gruppen Z = f1g und Z = f1; 3g sind oensichtlich zyklisch.
Nun sei n = 2m mit 3 m 2 N. Wir behaupten
2
4
1 (mod 2m) fur alle [a] 2 Zm
fur alle m 3 und zeigen dies induktiv. Fur m = 3 und [a] 2 Z
a
m
2
()
2
2
gilt a 1 (mod 8),
siehe Beispiel 6.1 (Induktionsbeginn). Fur den Induktionsschritt gelte nun () und es sei
8
2
Primitive Restklassen
33
m
[a] 2 Zm . Dann ist [a] 2 Zm , d.h. nach Induktionsvoraussetzung gilt a
= 1 + b2m fur
m
m
m
m
m
ein b 2 Z. Es folgt a
= (1 + b2 ) = 1 + (b + b 2 )2 , also a
1 (mod 2m ).
Damit ist () gezeigt. Da '(2m ) = 2m > 2m hat Zm keine primitven Elemente und ist
daher nicht zyklisch.
2
2
+1
2
2
2
1
2
2
1
1
+1
2
1
+1
2
2
Beweis fur n = n n mit n ; n 3 und ggT(n ; n ) = 1. Sei [a] 2 Zn , also ggT(a; n) = 1.
Da '(n) nach Satz 6.2 sicher gerade ist und ggT(a; n ) = 1 gilt, folgt mit dem Satz von Euler
1
2
1
2
1
2
1
a
'(n)
= a' n
(
2
und analog
a
Aus n j a' n = 1 und n
teilerfremd, also gilt
(
1
) 2
'(n)
2
(
) 2
a
'(n2 )
1 (mod n )
2
1
1 (mod n ) :
1 folgt n n j a' n =
2
j a' n =
2
1)
1
'(n)
2
(
2
1, denn n und n sind
) 2
1
2
1 (mod n) :
Folglich ist Zn nicht zyklisch.
Um die Falle n 2 fpm ; 2pm g, 3 p 2 P zu behandeln, benotigen wir die folgende Hilfsaussage.
Lemma 6.5.
Es sei 3 p 2 P und [a] 2 Zp primitive Restklasse. Dann existiert ein b 2 [a], derart,
dass
k
bp p 6 1 (mod pk ) fur alle k 2 N :
1
(
1)
+1
Beweis. (i) Wir wahlen ein b 2 [a] mit bp 6 1 (mod p ) wie folgt. Falls ap 6 1 (mod p ),
so setzen wir b := a. Anderenfalls setzen wir b := a + p und erhalten modulo p mithilfe des
1
2
1
2
2
Binomischen Satzes
bp
1
= (a + p)p
1
1 + (p
1)ap p 1 pap
2
2
(mod p ) :
2
Da [a] 2 Zp primitive Restklasse ist, gilt ap 1 (mod p), also p - ap , d.h. bp 6
1 (mod p ).
(ii) Fur das in (i) gewahlte b zeigen wir jetzt die Behauptung des Lemmas mithilfe vollstandiger Induktion uber k. Der Induktionsbeginn k = 1 ist bereits gezeigt. Da '(pk ) = pk (p 1)
und ggT(b; pk ) = 1 (da [b] primitiv), ergibt sich aus Satz 4.11
1
1
1
2
1
k
bp
1
p
(
1)
k)
= b' p
(
1 (mod pk ) ;
d.h. bp p = 1 + cpk mit einem c 2 Z. Nach Induktionsvoraussetzung gilt hierbei p - c.
Potenziert man mit p, so folgt
k
1
(
1)
k (p
bp
k
Wegen p - c, folgt bp p
(
1)
1)
= (1 + cpk )p 1 + cpk
6 1 (mod pk
+2
).
+1
(mod pk ) :
+2
34
Primitive Restklassen
Beweis von Satz 6.4 fur n = pm und 3 p 2 P. Nach Satz 6.3 gibt es eine primitive Restklasse [a] 2 Zp . Wir wahlen b 2 [a] wie in Lemma 6.5, so dass ordp [b] = '(p) = p 1. Es sei
d := ordpm [b], d.h. es gilt d j '(pm ) = pm (p 1). Andererseits ist d durch p 1 = ordp [b]
teilbar, denn aus bd 1 (mod pm ) folgt auch bd 1 (mod p). Daher ist d = pj (p 1) fur ein
0 j m 1. Ware j < m 1, so ware
1
m
bp
2
(
p
1)
= bd 1 (mod pm ) ;
im Widerspruch zu Lemma 6.5. Also ist j = m 1, d.h. d = pm (p 1) = '(pm ) und [b] ist
primitive Restklasse in Zpm .
Beweis von Satz 6.4 fur n = 2pm und 3 p 2 P. Es sei [a] 2 Zpm eine primitive Restklasse. Wir setzen b := a falls a ungerade bzw. b := a + pm falls a gerade. Dann ist b ungerade
und ggT(b; 2pm ) = 1. Fur d := ord pm [b] gilt bd 1 (mod 2pm ), also bd 1 (mod pm ). Da
[b] primitive Restklasse modulo pm ist, heit dies '(pm )jd, also d = '(pm ) = '(2pm ). Somit
ist [b] primitive Restklasse in Zpm .
1
2
2
Bemerkung.
Der Beweis von Satz 6.4 zeigt, wie man eine primitive Restklasse in Zpm bzw. in Zpm
ndet (fur die in Satz 6.4 genannten Falle), wenn man eine primitive Restklasse in Zp
kennt: Ist [a] 2 Zp primitive Restklasse mit ap 6 1 (mod p ) (wobei man ggf. a durch
a + p ersetzen muss), so ist a Vertreter einer primitiven Restklasse modulo pm . Ist a
ungerade, so ist a auch Vertreter einer primitiven Restklasse modulo 2pm . Ist dagegen
a gerade, so ist a + pm Vertreter einer primitiven Restklasse modulo 2pm .
2
1
2
Beispiel.
(a) Es sei n = 5m . Dann ist [2] primitive Restklasse modulo p = 5. Beachte 2 = 16 6
1 (mod 25). Daher ist [2] primitive Restklasse modulo 5m fur alle m 2 N.
(b) Es sei n = 10 = 2 5. Die primitiven Restklassen modulo p = 5 sind [2] und [3],
wobei 2 = 16; 3 = 81 6 1 (mod 25), d.h. [3] und [7] = [2]+ [5] sind primitive Restklassen
modulo 10.
4
4
4
Aus einer primitiven Restklasse [a] in Zn , lassen sich alle anderen wie folgt bestimmen.
Satz 6.6.
Es sei [a] 2 Zn eine primitive Restklasse. Dann ist
f[a]j
: 1 j '(n); ggT(j; '(n)) = 1g
die Menge aller primitiven Restklassen in Zn .
Beweis. Es gilt Zn = f[a]j : 1 j '(n)g, wobei [a]j genau dann primitiv ist, wenn
ordn ([a]j ) = '(n). Satz 5.7 (d) zeigt, dass dies genau dann der Fall ist, wenn ggT(j; '(n)) = 1
gilt.
Wir wenden nun die Theorie der primitiven Restklassen auf die Dezimalbruchentwicklung
rationaler Zahlen an und beweisen zunachst den folgenden Darstellungssatz.
Satz 6.7.
Es seien a; b 2 N mit ggT(a; b) = 1. Ferner seien ; 2 N , c 2 N mit b = 2 5 c und
0
Primitive Restklassen
35
ggT(10; c) = 1, sowie v := maxf; g. Dann besitzt die rationale Zahl a=b die folgende
Darstellung.
(a) Falls c = 1, so ist
a
s
= v
b 10
fur ein s 2 N.
(b) Falls c 6= 1, so ist
fur s; r 2 N mit
Bemerkung.
Die Zahl
s
v
10
1
a
s
r X
= v+ v
10
b 10 10 k
1 und n = ordc [10].
kn
=1
r < 10n
heit Vorperiode von ab und hat eine Dezimaldarstellung der Form
s
mit a 2 N ; a ; : : : ; av 2 f0; 1; : : : ; 9g :
v = a ; a a : : : av
10
0
1
2
0
0
1
Im Fall (b) heit die Zahl r 2 N Periode von a=b. Sie hat eine Dezimaldarstellung der
Form
r = av : : : a v n
mit aj 2 f0; 1; : : : ; 9g ;
wobei r = 9 : : : 9 wegen r < 10n 1 ausgeschlossen ist. Satz 6.7 besagt also, dass ab die
folgende Dezimalbruchentwicklung besitzt:
a
= a ; a : : : av av : : : av n av : : : av n : : : :
b
Man schreibt hierfur
a
= a ; a : : : av av : : : av n ;
b
und nennt die Dezimalbruchentwicklung abbrechend, falls c = 1 bzw. periodisch mit
Periodenlange n, falls c 6= 1.
Die positive rationale Zahl ab (in teilerfremder Darstellung) hat also genau dann eine abbrechende Dezimalbruchentwicklung, wenn b nur die Primteiler 2 oder 5 besitzt. Anderenfalls hat ab eine periodische Dezimalbruchentwicklung der Periodenlange n = ordc [10]
(mit c als dem maximalen zu 10 teilerfremden Teiler von b).
+1
0
+
1
+1
0
1
+
+1
+1
+
+
Beispiele.
Fur die Nenner 3 und 9 ist die Periodenlange also 1, fur den Nenner 11 ist die Periodenlange 2 und fur den Nenner 7 ist die Periodenlange 6.
Beweis. Da 10v c ab 2 N, zeigt eine Division mit Rest, dass es eindeutig bestimmte s; d 2 N
mit 0 d < c gibt, derart, dass
a v
a
s
1 d
10 c = sc + d ()
= v+ v :
b
b 10 10 c
Falls c = 1, so ist d = 0 und Fall (a) ist bereits gezeigt. Nun sei c > 1. Aus n = ordc [10] folgt
10n 1 (mod c), also cj10n 1, d.h. 10n 1 = jc fur ein j 2 N. Fur r := dj 2 N gilt dann
d
r = (10n 1) < 10n 1
c
0
36
Primitive Restklassen
und
1
X
d
r
= n
= r 10
c 10 1
k
kn
=1
und Fall (b) ist ebenfalls gezeigt.
Beispiel 6.8.
Es sei ab =
. Wegen b = 2 5 7 hat die Dezimalbruchentwicklung von keine Vorperiode
und ist periodisch mit Periodenlange n = ord [10]. Da n j '(7) = 6, berechnen wir
(jeweils modulo 7)
10 2 ;
10 6 ;
10 6 1 ;
d.h. n = 6. Es gilt 10 1 = 999999 = 7 142857, d.h. r = 142857, also
1
0
1
0
7
7
7
2
3
6
2
6
1
= 0; 142857 :
7
Berechnet man analog
3
= 0; 428571 ;
7
2
= 0; 285714 ;
7
6
= 0; 857142 ;
7
4
= 0; 571428 ;
7
5
= 0; 714285 ;
7
so stellt man fest, dass die auftretenden Perioden durch zyklische Vertauschung auseinander hervorgehen. Ist dies Zufall oder Notwendigkeit?
Satz 6.9.
Es sei m 2 nf1g mit ggT(10; m) = 1. Die '(m){vielen reduzierten Bruche
a
mit 1 a < m und ggT(a; m) = 1
m
haben alle die Periodenlange n = ordm [10]. Falls ordm [10] = '(m), d.h. falls [10] 2 Zm
primitiv ist, so ergeben sich alle betrachteten Bruche durch zyklische Vertauschung der
Ziern in der Periode von 1=m.
Beweis. Es gilt
1
= 0; a : : : an
m
nach Satz 6.7, da ggT(10; m) = 1 und n = ordm [10]. Daraus folgt
1
0; a a : : : an a = 10 1
1
3
1
1
a =
10 a m
;
m
m
wobei 0 < 10 a m < m und ggT(10 a m; m) = ggT(10; m) = 1. Somit ist 0; a a : : : an a
2
1
1
2
3
1
die Dezimalbruchentwicklung einer der betrachteten Bruche. Es ergeben sich also durch zyklische Vertauschungen insgesamt n = ordm [10] der betrachteten Bruche, d.h. alle im Fall
n = '(m).
Bemerkung.
Gau hat vermutet, dass es unendlich viele Primzahlen p 2 P gibt mit ordp [10] = '(p) =
p 1. Wie gesehen, hat genau fur diese Primzahlen p die Dezimalbruchentwicklung von
1=p die grotmogliche Periodenlange und die Perioden der Dezimalbruchentwicklungen
von a=p, a = 1; 2 : : : ; p 1, gehen durch zyklische Vertauschungen auseinander hervor.
Primitive Restklassen
37
Artin hat sogar die Vermutung aufgestellt, dass fur jede Nichtquadratzahl a 2 Nnf1g
unendlich viele Primzahlen p existieren, derart, dass die Restklasse [a] 2 Zp primitiv
ist. Die Artinsche und auch die speziellere Gausche Vermutung sind nach wie vor
oen.
Aufgaben
1. Man bestimme alle p
odenlange 8 hat.
2 P, fur welche die Dezimalbruchentwicklung von
1
p
die Peri-
x7
Quadratische Reste
Motivation.
Korollar 4.14 besagt, dass es unendlich viele Primzahlen der Form 4k + 1, k 2 N, gibt.
Diese Aussage beruht letzten Endes auf Satz 4.13, der die Losbarkeit der quadratischen
Kongruenz
x 1 (mod p)
fur den Fall 3 p 2 P beschreibt. In diesem Kapitel behandeln wir systematisch quadratische Kongruenzen der Form
2
x a (mod p) :
2
Definition (Quadratischer Rest).
Es sei 3 p 2 P und a 2 Z
nicht durch p teilbar. Dann heit a quadratischer Rest
(oder Quadrat) modulo p, falls es ein x 2 Z gibt, derart, dass
x a (mod p) :
2
Anderenfalls heit a quadratischer Nichtrest (oder Nichtquadrat) modulo p.
Beispiel.
Die quadratischen Reste modulo 13 sind 1; 2 4; 3 9; 4 3; 5 12; 6 10.
2
2
2
2
Satz 7.1.
Es sei 3 p 2 P. Dann gibt es unter den Zahlen 1; 2; : : : ; p 1 genau
Reste modulo p.
2
p
1
2
quadratische
Beweis. Die Anzahl der quadratischen Reste modulo p unter den Zahlen 1; 2; : : : ; p 1 ist
gleich der Anzahl der paarweise verschiedenen Quadrate u , u 2 Zp nf0g. Da u v =
(u v )(u + v ), gilt u = v genau dann, wenn u = v oder u = v . Wegen p > 2 und u 6= 0
kann aber nicht u = u gelten. Es gibt also genau p Quadrate 6= 0 in Zp .
2
2
2
2
2
1
2
Bemerkung.
Es seien p 2 Pnf2g sowie a und b aus Z teilerfremd zu p mit a b (mod p). Dann gilt:
a ist Quadrat modulo p () b Quadrat modulo p. Man nennt in diesem Fall daher auch
[a] Quadrat in Zp .
Korollar 7.2.
Es sei p 2 Pnf2g und [a] 2 Zp eine primitive Restklasse. Dann sind [a] ; [a] ; : : : ; [a]p
paarweise verschiedene Quadrate in Zp und [a]; [a] ; : : : ; [a]p paarweise verschiedenene
Nichtquadrate in Zp .
2
3
2
Dieses Korollar motiviert (vgl. Vorlesung) die folgende Denition.
39
4
1
40
Quadratische Reste
Definition (Legendre–Symbol).
Es sei 3 p 2 P und a 2 Z.
Wir setzen
8
>
+1
>
<
a
=> 1
p
>
:
falls
0
und nennen
a
p
a quadratischer Rest modulo p
a quadratischer Nichtrest modulo p
p teilt a
das Legendre{Symbol.
Bemerkung.
Es sei 3 p 2 P. Dann gilt
Restklasse [a] 2 Zp .
Satz 7.3 (Euler–Kriterium).
Es sei 3 p 2 P und a 2 Z.
a
ur jede primitive
p = 1 (da 1 = 1) und p = 1 f
1
2
Dann gilt
p
a
a
p
1
2
(mod p) :
Beweis. Fur p j a ist dies klar. Sei daher p kein Teiler von a. Sei
Quadrat [b] in Zp . Es folgt
p
[a] = [b]p = [1]
a
p
= 1. Dann ist [a] ein
2
1
1
2
nach dem Satz von Fermat. Folglich sind genau die p
x
p
1
2
Quadrate in Zp die Nullstellen von
1:
1
2
Ist [a] 2 Zp ein Nichtquadrat, so folgt daher aus 1 = [a]p
1
= [a]
p
1
2
2
, dass a
p
1
2
= 1.
Korollar 7.4 (Multiplikativität des Legendre–Symbols).
Es seien 3 p 2 P und a; b 2 Z. Dann gilt
Ferner gilt
1
p
= ( 1)
p
ab a b =
:
p
p p
8
<+1
=:
1
2
falls p 1 mod 4 ;
falls p 3 mod 4 :
1
Beweis. Falls p j ab, so folgt p j a oder p j b (Lemma von Euklid), und beide Seiten sind 0.
Falls p - ab, so gilt
p
p
p
a b (ab) (mod p)
1
2
1
2
1
2
und die Behauptung folgt aus dem Euler{Kriterium.
Folglich sind "nur noch\ die Werte pq fur Primzahlen q und 3 p 2 P interessant.
Quadratische Reste
41
Lemma 7.5 (Gaußsches Lemma).
Es sei 3 p 2 P und p - a. Bezeichnet
1 j p 1 , derart, dass der betragsmaig
gilt
man mit die Anzahl der Zahlen j mit
kleinste Rest von aj mod p negativ ist, so
2
a
= ( 1) :
p
Beweis. Es bezeichne r(aj ) den betragsmaig kleinsten Rest von aj mod p, d.h. es gilt
p 1
r(aj ) p 1 :
2
2
Gilt nun jr(aj )j = jr(ak)j fur 1 j 6= k p , so ist aj ak (mod p), denn aj ak (mod p) oder a(j + k) 0 (mod p) ist wegen p - a und 0 < j + k < p nicht moglich. Es
folgt
jr(aj )j : 1 j p 2 1 = 1; 2; : : : ; p 2 1 :
Nun beachte man, dass r(aj ) = jr(aj )j genau dann, wenn r(aj ) < 0, d.h.
1
2
p 1
2
Y
j =1
Andererseits ist
p 1
2
Y
j =1
r(aj ) d.h.
r(aj ) = (
1)
p 1
2
Y
p
j =1
a
Satz 7.3 zeigt nun
p
aj a
(
1
2
1
!:
2
2
p 1
p 1
2
! (mod p) ;
1) (mod p) :
a
( 1) (mod p) ;
p
also die Behauptung.
Korollar 7.6.
Es sei 3 p 2 P. Dann gilt
2
p2
;
p
d.h. 2 ist genau dann ein Quadrat modulo p, wenn p 1 (mod 8) oder p 7 (mod 8).
= ( 1)
Beweis. Fur die Zahlen r(2j ) mit 1 j p
p 1
2
Es folgt
1
2
gilt r(2j ) < 0 genau dann, wenn
< 2j p = 1 ()
8
p
>
>
<
1
= > p +4 1
1
8
p 1
4
<j
p 1
2
:
falls p 1 (mod 4)
falls p 3 (mod 4) :
4
Folglich ist genau dann gerade, wenn p 1 0 (mod 8) oder p + 1 0 (mod 8).
>
:
42
Quadratische Reste
Anwendung 7.7 (Fermat–Zahlen).
Es sei Fn = 22n + 1 die nte
1 (mod 2n+2 ).
Fermatzahl, n 2, und
P
3 p j Fn. Dann gilt p Beweis. Nach Voraussetzung gilt 2 n 1 (mod p). Quadriert man diese Kongruenz, so
folgt ordp [2] = 2n . Satz 5.7 (a) zeigt, dass 2n = ordp [2] j '(p) = p 1, d.h. p 1 (mod 2n ). Die tieferliegende Aussage p 1 (mod 2n ) beweisen wir jetzt mithilfe
der Theorie der quadratischen Reste. Hierzu beachten wir, dass wegen
n 2 aus p n
1 (mod 2 ) zunachst sicher p (mod 8) folgt. Korollar 7.6 zeigt p = 1, d.h. es gibt ein
x 2 Z mit x 2 (mod p). Potenziert man dies mit 2n , so ergibt sich x n 2 n 1 (mod p) nach dem kleinen Satz von Fermat, da ordp [2] = 2n . Damit gilt ordp [x] = 2j fur
ein N 3 j n + 2 nach Satz 5.7 (a). Aus x 2 (mod p) folgt durch Potenzieren mit 2j
j
jetzt 2
x j 1 (mod p). Dies zeigt 2j ordp[2] = 2n , also j n + 2. Zusammen
ergibt sich j = n + 2, d.h. 2n = ordp [x]j'(p) = p 1, also p 1 (mod 2n ).
2
+1
+1
+1
+2
2
+1
2
+1
2
+2
2
+1
+1
2
2
1
2
1
1
+1
+2
+2
Beispiel 7.8.
Wir zeigen, dass F keine Primzahl ist. Es sei P 3 pjF . Dann ist p 1 (mod 2 ), also
p 2 f129; 257; 385; 513; 641; 769; : : :g. Hiervon sind 129, 385 und 513 keine Primzahlen
(Warum ?). Es folgt p 2 f257; 641; 769; : : :g. Da F = 257 und ggT(F ; F ) = 1, folgt
p 2 f641; 769; : : :g. Der kleinste mogliche Primteiler von F ist also 641. Dass 641jF ,
haben wir bereits in Beispiel 4.3 gesehen.
5
7
5
3
3
5
5
q=3
5
7
11
13
17
19
23
29
31
37
41
43
47
p=3
0
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
5
1
0
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
7 11 13 17 19 23 29 31 37 41 43 47
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
1 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1
1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1
1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1
1 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1
1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1
1 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1
1 1 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1
1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 1 1
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 1
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0
Abbildung 7.1: pq sowie die "antisymmetrischen\ Falle in rot.
Diese "Numerologie\ suggeriert das folgende Resultat.
Satz 7.9 (Quadratisches Reziprozitätsgesetz; Gauß 1801).
Es seien p; q 2 Pnf3g verschieden. Dann gilt:
p
q
p
q
= ( 1)
p
1
2
q
1
2
:
5
Quadratische Reste
43
Hierzu ist aquivalent:
p
q
p
q
q
p
q
p
=
=
falls p q 3 (mod 4)
falls p 1 (mod 4) oder q 1 (mod 4) :
Bemerkung (Methode zur Berechnung des Legendre–Symbols).
Sind p < q ungerade
atsgesetzes die
Primzahlen, so kann man mit
Hilfe des Reziprozit
p
q
Berechnung von q auf die Berechnung von p zuruckfuhren und so den "Nenner\
des Legendre{Symbols verkleinern. Dann ersetzt man pq durch ap , wobei a 2 N mit
a < p und a q (mod p) gewahlt sei.
Beispiel 7.10.
Wir untersuchen, ob 13 2 P ein quadratischer Rest modulo 3001 2 P ist. Es gibt in
Z
genau 1500 quadratische Reste, die wir aber nicht wirklich bestimmen mussen,
denn: Aus 3001 = 230 13 + 11 und dem Reziprozitatsgesetz folgt
3001
13
3001
11
13
2
=
=
=
=
= 1:
3001
13
13
11
11
Beispiel 7.11.
Es gilt wegen 701 1 (mod 4)
701
997
=
=
=
997
701 + 296
296
8
37
2
37
=
=
=
=
701
701 701
701
701
701
701
37
701
18 37 + 35
35
5
7
=
=
=
=
701
37 37
37
37
37
37
37
2
2
7 = 5 7 = ( 1) 1 = 1 :
5
Beweis von Satz 7.9. (i) Es sei
= Anzahl derjenigen 1 k q , fur die der betragsmaig kleinste Rest modulo q
von pk negativ ist,
= Anzahl derjenigen 1 j p , fur die der betragsmaig kleinste Rest modulo p
von qj negativ ist.
1
2
1
2
Nach dem Lemma von Gau gilt
p
q
= ( 1) und
= ( 1) :
q
p
(ii) Somit ist zu zeigen: + ungerade
wir eine Methode von F.G. Eisenstein. Es sei
0<x<
fur welche
Wir zeigen:
p+1
2
()
p q 3 (mod 4). Hierzu benutzen
die Menge der Gitterpunkte (x; y ) 2 Z mit
und 0 < y <
2
q+1
2
;
q
1
p
1
y < x + und x < y + :
p
2
q
2
(iii) j j ungerade () p q 3 (mod 4) sowie
(iv)
j j = + .
44
Quadratische Reste
7
6
5
4
3
2
1
1
2
3
4
5
6
7
8
Abbildung 7.2: Die Geraden y = pq x + 1=2 und x = pq y + 1=2, sowie
9
10
fur p = 19 und q = 13
(iii) Fur (x; y ) 2 gilt auch
p+1
2
denn
p+1
p q + 1 1
y + =
q 2
2
2
q p+1
2 x + 12 = q +2 1
p
Die Gitterpunkte aus
ist, wenn der Fall
q+1
2
y 2 ;
p y
q q
x
p
1
p+1
>
2
2
1
q+1
>
2
2
x;
p q
x = p +2 1 x ;
q p
q p
y = q +2 1 y :
p q
treten also paarweise auf, so dass ihre Anzahl genau dann ungerade
(x; y ) =
p+1
x;
q+1
y
2
2
eintritt, d.h. wenn ( p ; q ) 2 Z . Dies ist genau dann der Fall, wenn p q 3 (mod 4).
Man beachte, dass in diesem Fall ( p ; q ) 2 .
(iv) Wir zeigen, dass genau + viele Punkte enthalt. Man beachte, dass die Punkte in
in einem Streifen um die Gerade
+1
+1
4
4
2
+1
+1
4
4
g : qx py = 0
liegen (diese ist in Abbildung 7.2 schwarz eingezeichnet). Auf dieser Geraden liegt kein Gitterpunkt, denn sonst ware pjq . Der Punkt (x; y ) liegt genau dann oberhalb der Geraden g
Quadratische Reste
45
und gehort zu , wenn
1x
p 1
p 1
qx py < 0
2
gilt. Folglich liegen oberhalb von g genau {viele Punkte von . Analog zeigt man, dass
unterhalb von g genau {viele Punkte von liegen.
2
und
Beispiel 7.12 (Euler’s primzahlenerzeugendes Polynom).
2
x + 41 gilt p(x) 2 P fur
Fur das Polynom p(x) = x
jedes x 2 f0; 1; 2; : : : ; 40g.
Beweis. s. Vorlesung!
Bemerkung.
Es gibt kein Polynom f (x) = a + a x + : : : + an xn , n 1, an > 0, mit f (x) 2 P fur alle
x2N .
0
1
0
Beweis. s. Vorlesung!
Matijasevic hat 1971 gezeigt, dass es ein Polynom (in 26 Variablen vom Grad 25) mit ganzzahligen Koezienten gibt, dessen positive Werte allesamt Primzahlen sind. Dies hangt mit
dem 10. Hilbertschen Problem zusammen.
Beispiel 7.13.
Es gibt unendlich viele Primzahlen der Form 6k + 1.
Beweis. s. Vorlesung!
Bemerkung.
Sind j; l 2 N, derart, dass es unendlich viele Primzahlen der Form jk + l gibt, so
mussen j und l teilerfremd sein. Der Satz von Dirichlet (1837) besagt: Sind j und l
teilerfremd, so gibt es unendlich viele Primzahlen der Form jk + l. Dies ist einer der
zentralen Satze der analytischen Zahlentheorie ! Wir verweisen fur einen Beweis auf
die Mastervorlesung zur Zahlentheorie.
Aufgaben
1. 65537 2 P.
2.
5
p
= 1 () p 1; 3; 7; 9 (mod 20).
x8
Primzahltests
Motivation (Kleiner Satz von Fermat, revisited).
Der kleine Satz von Fermat legt einen Primzahltest nahe. Um n 2 N auf Primalitat zu
untersuchen, wahle man ein a 2 Znf0g. Gilt ggT(a; n) > 1, so ist n 62 P. Gilt ggT(a; n) =
1 und ist n 2 P, so folgt aus dem kleinem Satz von Fermat, dass an 1 (mod n).
Ist also ggT(a; n) = 1 und an 6 1 (mod n), so gilt wieder n 62 P. Leider konnte es
nun aber Zahlen 3 n 2 NnP geben, derart, dass an 1 (mod n) fur alle a 2 Z mit
ggT(a; n) = 1.
1
1
1
Definition (Carmichael–Zahlen).
Es sei 3 n 2 NnP ungerade.
Wir nennen n Carmichael{Zahl, falls an
fur alle 1 a n 1 mit ggT(a; n) = 1.
1
1 (mod n)
Der folgende Satz stellt eine Charakterisierung der Carmichael{Zahlen bereit.
Satz 8.1 (Satz von Korselt 1899).
Es sei 3 n 2 NnP ungerade.
Dann ist n genau dann eine Carmichael{Zahl, wenn fur
jeden Primteiler p von n gilt p - n und p 1 j n 1.
2
Beweis. Es sei n eine Carmichael{Zahl, 3 p 2 P und k 2 N maximal mit pk jn. Dann gilt
an 1 (mod pk ) fur alle a 2 Z mit ggT(a; n) = 1. Da p ungerade ist, ist Zpk zyklisch
(Satz 6.4). Es gibt daher eine primitive Restklasse [a] 2 Zpk , d.h. ordpk [a] = pk (p 1).
Z Z (Chinesischer Restsatz), konnen wir a so wahlen, dass ggT(a; n) = 1.
Wegen Zn =
r
pk
k
Satz 5.7 zeigt p (p 1)jn 1. Da pjn, kann p kein Teiler von n 1 sein. Folglich gilt k = 1
und daher p 1jn 1.
Nun sei n das Produkt paarweiser verschiedener Primzahlen p, fur die p 1jn 1 gilt. Ist
dann a teilerfremd zu n, so gilt ap 1 (mod p) nach dem kleinen Satz von Fermat. Da
n 1 ein Vielfaches von p 1 ist, gilt dann auch an 1 (mod p), d.h. an
1 ist durch
alle Teiler p von n teilbar, also auch durch n selbst.
1
1
1
1
1
1
Beispiel 8.2.
Die kleinste Carmichael{Zahl ist n = 561 = 3 11 17 und wurde 1910 von R.D. Carmichael (1879{1967) gefunden. Hier ist n 1 = 560 = 2 5 7 durch 2, 10 und 16 teilbar.
Die nachst groeren Carmichael{Zahlen lauten:
4
1105; 1729; 2465; 2821; 6601; 8911; 10585; 15841 :
Erst sei 1994 ist bekannt, dass es unendlich viele Carmichael{Zahlen gibt (Alford,
Granville, Pommerance). Vermutet hatte dies Erdos bereits im Jahr 1956. Die Umkehrung des kleinen Satzes von Fermat gilt also auch nicht fur hinreichend groe n 2 N.
47
48
Primzahltests
Der kleine Satz von Fermat ist also nicht "scharf\ genug, die Primzahlen zu charakterisieren.
Eine Verscharfung des kleinen Satzes von Fermat ist das Euler{Kriterium aus Satz 7.3:
Setzt man namlich fur n =
r
Q
j =1
pj 2 N mit p ; : : : ; pr 2 P und a 2 Z mit ggT(a; n) = 1 durch
1
r
a Y
a
:=
n
p
j
j
!
=1
das sog. Jacobi{Symbol von a und n fest, so ist die Kongruenz
an
das Quadrat der Kongruenz
a
n
1
2
1 (mod n)
1
(Fermat)
a
n (mod n) :
(Euler)
Satz 8.3.
Es sei 3 n 2 N ungerade. Dann ist n genau dann eine Primzahl, falls
a
n
1
2
a
n (mod n)
fur alle 1 a n 1 mit ggT(a; n) = 1.
Beweis. Falls n 2 P, so ist dies gerade das Euler{Kriterium (Satz 7.3). Ist n 62 P und
a
n
a
n (mod n)
1
2
fur alle 1 a n 1 mit ggT(a; n) = 1 ;
so gilt auch an 1 (mod n) fur alle 1 a n 1 mit ggT(a; n) = 1, d.h. n ist eine
Carmichael{Zahl. Nach Satz 8.1 ist dann n = p p pr mit paarweise verschiedenen Primzahlen pj . Nun sei a ein quadratischer Nichtrest modulo p . Nach dem chinesischen Restsatz
konnen wir a so wahlen, dass a 1 (mod pj ) fur jedes j = 2; : : : ; r. Insbesondere gilt
1
1
2
1
a
= 1
p
1
!
a
= 1 fur alle j = 2; : : : ; r :
pj
und
n
Hieraus folgt na = 1, also a
1 (mod n) nach Voraussetzung,
d.h. inbesonde
p
n
a
re a
1 (mod p ). Andererseits gilt aber a p 1 (mod p ), also a n 1 (mod p ), da p 1jn 1. Widerspruch !
1
2
2 1
2
1
2
2
2
1
2
2
2
Satz 8.4.
Es sei n 2 NnP ungerade. Dann gilt
a
n
1
2
na (mod n)
fur hochstens die Halfte der zu n teilfremden Zahlen a zwischen 1 und n 1.
2
Primzahltests
49
n
Beweis. Nach Satz 8.3 gibt es ein a 2 Z mit ggT(a; n) = 1 und a 6 na (mod n). Es sei
n
B die Menge aller 1 b n 1 mit ggT(b; n) = 1 und b nb (mod n). Fur diese gilt
1
2
1
2
dann
(ab)
n
1
2
=a
n
1
2
b
n
1
2
6 na nb
(mod n) :
Folglich bildet die Bijektion [x] 7! [ax] von Zn , die Menge [B ] in das Komplement Zn n[B ]
ab. Es gilt daher j[B ]j '(n) j[B ]j. Dies zeigt die Behauptung.
Bemerkung.
Satz 8.4 ist die Grundlage
des folgenden probabilistischen Primzahltests. Man prufe
n
die Kongruenz a na (mod n) nacheinander fur k zufallig ausgewahlte zu n teilerfremde Zahlen a zwischen 1 und n 1. Ist die Kongruenz hierbei einmal nicht erfullt,
so ist n keine Primzahl. Ist die Kongruenz aber stets erfullt, so ist n moglicherweise
eine Primzahl mit einer (heuristischen) Irrtumswahrscheinlichtkeit von maximal 1=2k .
1
2
Aufgaben
1. Jede Carmichael{Zahl hat mindestens drei verschiedene Primfaktoren. (Aigner, S. 43)
2. Es sei n 2 N mit 6n + 1; 12n + 1; 18n + 1 2 P. Zeige, dass (6n + 1)(12n + 1)(18n + 1)
eine Carmichael{Zahl ist.
(Aigner, S. 43)
x9
Quadratsummen
Definition.
Eine Zahl n 2
derart, dass
heit Summe von N Quadraten, falls x ; x ; : : : ; xN 2
N
1
2
Z
existieren,
n = x + + xN :
2
2
1
Unser Ziel ist der Vier{Quadrate Satz von Lagrange: Jede naturliche Zahl ist als Summe
von vier Quadraten darstellbar. Wir beginnen zunachst mit der Summe zweier Quadrate.
Bemerkung 9.1.
Sind n; m 2 N
als Summe zweier Quadrate darstellbar, dann auch ihr Produkt. Um
dies einzusehen, seien n = a + b und m = c + d . Fur die komplexen Zahlen z = a + ib
und w = c + id gilt also jz j = n und jwj = m. Aus jzwj = jz j jwj folgt
2
2
2
2
2
2
(a + b )(c + d ) = nm = jzwj = j(a + ib)(c + id)j = (ac bd) + (ad + bc) :
2
2
2
2
2
2
2
2
Diese sog. Formel von Fibonacci lasst sich (unmotiviert) auch direkt uberprufen.
Aufgrund dieser Bemerkung ist es naheliegend, zunachst die Darstellbarkeit von Primzahlen
als Summe zweier Quadrate zu untersuchen. Wegen 2 = 1 +1 , sind nur ungerade Primzahlen
von Interesse. Nun beachte man fur alle u 2 Z
2
u 0 (mod 4)
und
2
2
u 1 (mod 4) ;
2
d.h.
x + y 6 3 (mod 4) fur alle x; y 2 Z :
Es sind also hochstens die Primzahlen p 3 der Form p 1 (mod 4) als Summe zweier
2
2
Quadrate darstellbar.
Satz 9.2 (Zwei–Quadrate Satz I, Fermat 1640, Euler 1754).
Eine Primzahl p 3 ist genau dann als Summe zweier Quadrate darstellbar, wenn
p 1 (mod 4).
Beweis. Gilt p 1 (mod 4), so folgt aus Satz 4.13, dass 1 ein quadratischer Rest modulo p
ist, d.h. es existiert ein u 2 Z mit u 1 (mod p). Dann ist p kein Teiler von u , d.h. die
Kongruenz u x y (mod p) hat fur jedes y 2 N eine eindeutige Losung x mod p. Es folgt
(u x ) x y (mod p), d.h.
2
0
0
0
0
0
2
2
0
0
0
0
0
2
0
x + y 0 (mod p) :
Wir zeigen, dass x ; y
0
0
2
2
0
0
2 Z existieren, derart, dass
u x y (mod p) und 0 < x
2
0
0
0
0
51
+ y < 2p ;
2
0
52
Quadratsummen
p
2
woraus dann p = x + y folgt. Dazu beachte man, dass es [ p] + 1 > p{viele Terme
2
0
2
0
ux y
p
p
0 x; y [ p] < p
mit
0
gibt. Unter diesen sind also mindestens zwei kongruent modulo p:
ux
0
Fur x := x
0
1
y u x
1
1
0
2
y (mod p)
x und y := y
2
0
1
u (x
bzw.
2
0
x )y
1
2
y (mod p)
1
2
y gilt dann wegen (x ; y ) 6= (x ; y )
2
1
p
2
p
2
und 0 < jy j < p ;
0 < jx j < p
0
1
0
d.h. 0 < x + y < 2p.
2
0
2
0
Satz 9.3 (Zwei–Quadrate Satz II).
Eine naturliche Zahl n 2 N ist
genau dann als Summe von zwei Quadraten darstellbar,
wenn jeder Primteiler p von n mit p 3 (mod 4) in der kanonischen Primfaktorzerlegung mit einer geraden Anzahl vorkommt.
Beweis. Es sei n = a b, wobei a aus allen Primfaktoren p von n mit p 3 (mod 4) besteht;
b besitzt also keinen solchen Primfaktor. Nach Satz 9.2 ist jeder Faktor von b Summe zweier
Quadrate. Nach Bemerkung 9.1 ist dann auch b selbst als Summe zweier Quadrate
b=u +v
2
2
darstellbar.
(a) Kommen alle Primfaktoren p von n der Form p = 3 (mod 4), also diejenigen von a in
gerader Anzahl vor, so ist a eine Quadratzahl a = c . Es folgt
2
n = a b = c (u + v ) = (cu) + (cv) ;
2
2
2
2
2
d.h. n ist als Summe zweiter Quadrate darstellbar.
(b) Es gelte n = x + y . Sei d := ggT(x; y ). Dann ist d jn und
2
2
2
n
x
y
; x = ; y = :
d
d
d
Ist nun p ein Primteiler von n , so gilt p - x y . Ware y u 1 (mod p), so galte
n =x +y
1
2
2
1
1
fur
1
n =
1
1
1
2
1
2
1
(x u) + 1 0 (mod p) ;
2
1
d.h. 1 ware quadratischer Rest modulo p. Fur p 3 (mod 4) ist dies nach Satz 4.13 nicht
moglich. Foglich stecken alle Teiler von n dieser Form in der Quadratzahl d und kommen
daher mit einer geraden Anzahl vor.
2
Satz 9.3 fuhrt auf die Frage, ob sich jede naturliche Zahl als Summe von 3{vielen Quadraten
 bungen), dass sich jedes n 2 N mit n 7 (mod 8)
darstellen lasst. Man sieht leicht ein (U
nicht als Summe von drei Quadraten schreiben lasst. Lagrange hat 1770 bewiesen, dass man
dagegen mit vier Quadraten auskommt.
Quadratsummen
53
Satz 9.4 (Lagrange 1770).
Jede naturliche Zahl ist als Summe von vier Quadraten darstellbar.
Zum Beweis benotigen wir das folgende technische Analogon zu Bemerkung 9.1.
Lemma 9.5 (Euler 1748).
Sind n = x + x + x + x und n = y + y + y + y aus N jeweilsSumme von vier
Quadraten, so gilt dies auch fur ihr Produkt, d.h. nn0 = z + z + z + z . Ist ferner m 2 N
Teiler von n und n0 , und gilt yj xj (mod m) fur j = 1; 2; 3; 4, so ist zj 0 (mod m)
fur j = 1; 2; 3; 4 erreichbar.
2
1
2
2
2
3
2
4
2
1
2
2
2
3
2
4
2
1
2
2
2
3
2
4
Beweis. Es sei n = x + x + x + x und n0 = y + y + y + y . Setzt man = x + ix ,
= x + ix , = y + iy und := y + iy , so gilt n = jj + j j und n0 = j j + j j . In
2
1
3
4
2
2
1
2
3
2
4
2
der Matrizengleichung
!
2
1
3
2
2
2
3
2
4
2
4
!
1
2
!
2
2
2
!
= ( + ) =: % %
+ ( )
ist also die Determinante links = nn0 . Die Determinanten der rechten Seite ist j%j + j j ,
also eine Summe von vier Quadraten: z + z + z + z . Zum Zusatz: Es gilt z = Re % =
x y + x y + x y + x y x + x + x + x 0 (mod m). Analog fur z ; z ; z .
2
2
1
1
1
2
2
3
3
4
2
1
4
2
2
2
2
2
3
2
3
2
4
2
1
2
4
2
3
4
Bemerkung.
Eigentlich haben wir im Beweis von Lemma 9.5 im Schiefkorper der Quaternionen
gerechnet.
Wegen Lemma 9.5 und 2 = 1 = 1 + 0 + 0 bleibt also zu zeigen, dass sich jede ungerade
Primzahl als Summe von vier Quadratzahlen schreiben lasst.
2
2
2
2
Lemma 9.6.
Es sei 3 p 2 P. Dann gibt es a; b 2 Z mit 0 a; b 0 (mod p).
p
1
2
, derart, dass a + b + 1 2
2
Beweis. Fur a = 0; 1; 2; : : : ; p sind die Zahlen a paarweise inkongruent modulo p. Denn
aus a b (mod p) folgt pj(a b)(a + b), also a = b oder ja bj p oder a + b p. Die
1
2
2
2
2
letzten beiden Bedingungen sind aber nicht moglich.
Bezeichnet [x] die Restklasse von x modulo p, so besitzt die Menge
p 1
A := f[a] : 0 a g
2
daher p {viele Elemente. Die Menge
p 1
g
B := f 1 [b] : 0 b 2
hat dann ebenfalls p {viele Elemente. Es gibt also mindestens ein Element im Schnitt der
beiden Mengen, d.h. es gibt a; b 2 Z mit a 1 b (mod p).
2
+1
2
2
+1
2
2
2
Beweis des Satzes von Lagrange. Es sei 3 p 2 P. Nach Lemma 9.6 gibt es ein m 2 N
und 0 x; y < p=2 aus N mit
mp = x + y + 1 + 0 :
2
2
2
2
54
Quadratsummen
Es gilt also mp < p =2 + 1, d.h. m < p. Nun sei m das minimale m 2 N, so dass
2
mp = x + x + x + x
2
2
2
2
1
2
3
4
()
mit 0 x ; : : : ; x 2 Z moglich ist. Wir mussen m = 1 zeigen.
Annahme: 1 < m < p.
Ist m gerade, so ist mp gerade, d.h. unter den Zahlen x ; : : : ; x sind genau 0, 2 oder 4
ungerade. Inbesondere konnen wir o.E. annehmen, dass x x und x x gerade sind.
Dann ist aber wegen
1
4
1
4
1
x +x
1
2
2
2
+
x
1
2
x
2
2
+
x +x
3
2
4
2
+
x
3
x
2
4
2
=
2
3
4
1
x +x +x +x
2
2
2
2
2
1
2
3
4
=
m
2
p;
auch m=2p Summe von vier Quadraten, im Widerspruch zur Minimalitat von m.
Nun sei m ungerade. Sind alle xj Vielfache von m, so gilt m jmp, also mjp, was nicht moglich
ist. Wahle nun yj 2 Z mit jyj j < m=2, so dass
2
yj xj (mod m) ;
()
j = 1; 2; 3; 4 :
Da nicht alle xj Vielfache von m sind, ist mindestens ein yj 6= 0, d.h.
0<y +y +y +y <4
2
2
2
2
1
2
3
4
m
2
2
Aus () und () folgt somit
=m :
2
y + y + y + y x + x + x + x 0 (mod m) :
2
2
2
2
2
2
2
2
1
2
3
4
1
2
3
4
Dies bedeutet
x +x +x +x
y +y +y +y
2
2
2
2
1
2
3
4
2
2
2
2
1
2
3
4
= mp
= mq
(1 < m < p)
(0 < q < m) :
Es folgt nun
m pq = (x + x + x + x )(y + y + y + y ) = z + z + z + z
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
1
2
3
4
1
2
3
4
1
2
3
4
( )
mit gewissen z ; z ; z ; z 2 Z nach Lemma 9.5, z.B. mit z = x y + x y + x y + x y x + x + x + x (mod m). Ebenso gilt z z z 0 (mod m). Somit gilt zj = mtj , also
zj = m tj , d.h. aus ( ) folgt durch Kurzen
1
2
1
2
2
2
2
3
2
3
4
1
2
4
2
3
1
1
2
2
3
3
4
4
4
2 2
m p=t +t +t +t
1
2
2
2
2
1
2
3
4
mit m < m, im Widerspruch zur Minimalitat von m.
1
(Drei{Quadrate Satz).
Es gibt auch einen Drei{Quadrate Satz (Legendre, Gau): n 2 N ist genau dann als Summe
dreier Quadrate darstellbar, wenn n nicht von der Form n = 4a (8b + 7) mit a; b 2 N ist.
Dies ist schwierig zu beweisen. Ein Grund hierfur liegt darin begrundet, dass das Produkt von
zwei Summen dreier Quadrate i.Allg. nicht wieder eine Summe dreier Quadrate sein mu: 3
und 5 sind jeweils Summen dreier Quadrate, aber 3 5 = 15 nicht.
Ausblick
0
Quadratsummen
55
(Summen k{ter Potenzen; Waringsches Problem).
Hilbert hat 1909 das Waringsche Problem (1770) gelost: Zu jedem k 2 N gibt es eine (minimale) Zahl %(k) 2 N, derart, dass jede naturliche Zahl als Summe von %(k) vielen k{ten
Potenzen von Zahlen aus N darstellbar ist. Der Satz von Lagrange besagt, dass %(2) = 4.
Es wird vermutet, dass
" #
3 k
k
2
%(k) = 2 +
2
fur alle k 1. Dies wurde bisher fur alle k 471600000 bewiesen. Auerdem wurde gezeigt,
dass die Vermutung fur hochstens endlich viele k's falsch ist.
Ausblick
0
k
2 3 4 5 6 7
8
9
10
:::
%(k) 4 9 19 37 73 143 279 548 1079 : : :
Satz 9.7.
Fur alle k 2 gilt
%(k) 2k +
Beweis. Es sei k 2 xiert und
n = 2k
" #
k
3
2
" #
k
3
2
2:
1:
Wegen n < 3k kommen als Summanden nur 2k und 1k in Frage. Benotigt man a viele
Summanden 2k und b viele Summanden 1k (wobei b < 2k ), so folgt n = a 2k + b und
%(k) a + b = a + (n a 2k ) = n a (2k 1) :
Da
a=
ergibt sich
%(k) n
" #
k
3
2
n b
2k
!
<
" #
k
1 (2k
3
2
;
1) = 2k +
" #
k
3
2
2:
Aufgaben
1. Es sei n 2 N mit n 7 (mod 8). Zeigen Sie, dass sich n nicht als Summe dreier
Quadrate schreiben lasst.
x 10
Approximation irrationaler Zahlen
Motivation.
Jede irrationale Zahl x hat eine nichtabbrechende Dezimaldarstellung x = a ; a a : : :.
Daher kann man x durch die Folge der rationalen Zahlen
a
a
a
a ; a + ; a + + ; :::
0
1
0
1
10
0
0
1
2
2
10
100
beliebig genau annahern, jedoch wachsen hierbei die Nenner 10n sehr schnell. Es stellt
sich die Frage, ob es "bessere\ Folgen gibt, deren Nenner langsamer wachsen.
Bemerkung.
Ist x 2 R und
n 2 N, dann gibt es ein (p; q) 2 Z , derart, dass
p 1
x
< ;
q n
etwa q := n und p := [xq], denn xq p = xq [xq] 2 [0; 1).
2
Wesentlich tiefer liegt die folgende Verscharfung.
Satz 10.1 (Dirichletscher Approximationssatz).
Es sei x 2 R und n 2 N. Dann existieren
x
p q
ganze Zahlen p; q mit 1 q n, derart, dass
q(n 1+ 1) :
Wir benutzen das Schubfachprinzip, welches genau zu diesem Zweck von Dirichlet erfunden
wurde.
Beweis. Wir ordnen die n + 1 reellen Zahlen kx
0 = a a : : : an < 1.
1. Fall: an 1 n . Dann sind in der Summe
0
[kx], k = 0; 1; : : : ; n der Groe nach:
1
1
+1
n
X
j =1
(aj
aj ) = an a = an 1
1
0
1
n+1
alle Summanden 0. Es gibt daher ein j 2 f1; : : : ; ng, derart, dass
1
1
1
0 aj aj 1
=
:
n
n+1
n+1
Sind k 6= l aus f0; : : : ; ng mit aj = kx [kx] und aj = lx [lx], so gilt also fur p :=
[kx] [lx] 2 Z, dass
1
0 (k l )x p :
n+1
1
1
57
58
Approximation irrationaler Zahlen
Dies bedeutet
x
l
p
jk lj1(n + 1) ;
d.h. die Behauptung ist mit 1 q := jk lj n gezeigt.
2. Fall: an > 1 n . Sei k 2 f0; : : : ; ng mit an = kx [kx]. Dann gilt
k
1
+1
0 < 1 kx + [kx] = 1 an <
Setzt man p := 1 [kx], so folgt
1
:
n+1
x
1
p <
:
k k(n + 1)
Anwendung 10.2 (Neuer Beweis des Zwei–Quadrate–Satzes (Satz 9.2)).
Es sei p 2 P mit p 1 (mod 4). Setze n := [pp], = s=p, wobei
p
0 < s < p ist. Nach Satz 10.1 gibt es a=b 2 Q mit b < p und
s 1 (mod p) und
2
a 1
1
< p :
p
b b [ p] + 1
b p
s
p
Dies bedeutet
jsb + apj < pp :
Fur c := sb + ap gilt dann 0 < b + c < 2p und b + c b + s b 0 (mod p). Dies
impliziert p = b + c .
2
2
Korollar 10.3.
Fur x 2 RnQ
2
2
2
2
2
2
2
gilt
x
fur unendlich viele Paare (p; q) 2 Z
endlich viele Paare (p; q) 2 Z .
2
p 1
<
q q
. Fur x 2 Q gilt diese Ungleichung aber nur fur
2
2
Beweis. Das Paar ([x]; 1) erfullt die Ungleichung. Nun seien (pj ; qj ), j = 1; : : : ; m endliche
viele Paare, die jeweils der Ungleichung genugen. Da x 2 RnQ, gilt jx pj =qj j 6= 0. Es gibt
daher ein n 2 N mit
1
n > pj > qj ;
j = 1; : : : ; m :
x
qj Aus dem Dirichletschen Approximationssatz folgt, dass es (p; q ) 2 Z gibt mit 1 q n
2
2
und
x
p 1
1
< :
q q(n + 1) q
Hierbei gilt (p; q ) 6= (pj ; qj ) fur alle j = 1; : : : ; m, denn
x
2
p 1
< x
q n+1
pj ;
qj j = 1; : : : ; m :
Die zweite Aussage des Satzes uberlassen wir den Leserinnen und Lesern als U bungsaufgabe.
Approximation irrationaler Zahlen
59
Bemerkung.
Merkwurdigerweise sind es also die rationalen Zahlen, die schlecht approximiert werden
konnen.
Definition.
Es sei 0 < t 2 R. Die Zahl 2 R heit approximierbar von der Ordnung t, falls es eine
Zahl C () > 0 und unendlich viele p; q 2 Z gibt (mit q 1 und ggT(p; q) = 1), derart,
dass
p C ()
< t :
q
q
Bemerkung.
Nach Korollar 10.3 ist jede irrationale Zahl approximierbar von Ordnung 2. Es sei
2 Q. Dann ist approximierbar von der Ordnung 1, aber nicht von Ordnung 1 + "

fur jedes " > 0 (siehe Ubungsaufgabe
11.4).
Definition (algebraisch, transzendent).
Eine reelle Zahl heit algebraisch, falls Nullstelle eines nichtkonstanten Polynoms
f (x) 2 Z[x] ist. Der kleinste Grad eines solchen Polynoms heit der Grad von . Eine
reelle Zahl heit transzendent, wenn sie nicht algebraisch ist.
Bemerkung.
Die algebraischen Zahlen vom Grad 1 sind genau die rationalen Zahlen. Interessant sind
also die algebraischen Zahlen vom Grad 2. Jede transzendente Zahl ist insbesondere
irrational.
Satz 10.4 (Liouville 1844).
Es sei 2 RnQ algebraisch
derart, dass
vom Grad d. Dann existiert eine Konstante C () > 0,
p C ()
> d
q
q
fur alle p; q 2 Z; q 6= 0 :
Beispiel p10.5.
=
1+
5
2
ist nicht approximierbar von Ordnung 3.
Beweis. Es sei f (x) = a + a x + : : : + ad xd 2 Z[x] mit f () = 0. Gibt es eine weitere reelle
Nullstelle, so sei eine zu nachstgelegene solche Nullstelle und t := j j. Anderenfalls
setzen wir t := 1. Nun sei p=q 2 Q beliebig.
1. Fall: pq t. Setzt man K := t , so gilt pq > qKd .
0
2. Fall:
p q
1
2
< t. Dann ist f (p=q) 6= 0, sogar
p f
q =
a qd
0
+ a pdq
1
1
qd
+ : : : + ad pd q1d :
Nach dem Mittelwertsatz (Analysis 1) gibt es ein 2 ( t; + t), derart, dass
f
p
q
p
q
f () f
= p
q
p
q
= f 0 ( ) 6= 0 ;
60
Approximation irrationaler Zahlen
wobei zwischen p=q und liegt. Daraus folgt
p 1
p 0
d:
jf ( )j = f
q
q
q
Wahlt man also M > jf 0 (x)j fur alle x 2 ( t; + t), so folgt
1
p > d:
q Mq
Fur C := minfK; 1=M g gilt also jedenfalls
p C
> :
q qd
Wir erhalten als "paradoxe\ Folgerung:
Korollar 10.6.
Ist 2 R von
jeder Ordnung t > 0 (oder auch nur von jeder Ordnung t 2 N) approximierbar, so ist transzendent.
Beispiel 10.7 (Explizites Beispiel einer transzendenten Zahl; Liouville 1844).
Die Liouville{Zahl
:=
ist transzendent. Dazu sei fur n 2 N
an :=
n
X
k=1
1
X
k=1
1
10k
1
p
p
= nn =: n
k
10
10
qn
!
!
Beachte, dass mit b = n gilt, dass
pn
n +b n
0<
n = b+b
!
mit
pn ; qn 2 N :
1
(
10
10
!
+1)!
+2
(
1
2
1
4
+2)(
1
8
n+3) + = b
< b 1 + + + + ::: =
1 + bn
2
+b n n
2
2
+1
(
= n
qn
+2)(
+3)
1
+
<
qN
falls n N . Die Liouville{Zahl ist also approximierbar von der Ordnung N fur jedes
N 2 N und somit transzendent.
10 n+1)!
(
+1
Korollar 10.8.
Es gibt transzendente Zahlen.
Satz 10.9 (Cantor 1874).
Die Menge der transzendenten Zahlen ist uberabzahlbar.
Beweis. Die Menge A(d) der algebraischen Zahlen vom Grad d ist abzahlbar, da jedes Polynom vom Grad d hochstens d Nullstellen besitzt und es abzahlbar viele Polynome uber Z
vom Grad d gibt. Daher ist die Menge A aller algebraischer Zahlen als abzahlbare Vereinigung
abzahlbarer Mengen wiederum abzahlbar. Da R uberabzahlbar ist (nach Cantor's bekanntem
Diagonalverfahren), ist RnA, d.h. die Menge aller transzendenten Zahlen, uberabzahlbar.
(Hermite 1874; Lindemann 1882).
Die Zahlen e und sind transzendent.
Ausblick
Approximation irrationaler Zahlen
Aufgaben
1. Vervollstandigen Sie den Beweis von Korollar 10.3 und zeigen Sie: "Es sei 2 Q. Dann
ist approximierbar von der Ordnung 1, aber nicht von Ordnung 1+ " fur jedes " > 0.\
2. Es seien l; m; u; v 2 Z, 0 < u; v m < uv und ggT(l; m) = 1. Man zeige, dass es
x; y 2 N gibt mit x < u, y < v sowie ly x oder ly y (mod m).
61
x 11
Die Pellsche Gleichung
Definition (Pellsche Gleichung).
Es sei d 2 Z. Eine Gleichung
der Form
x
heit Pellsche Gleichung.
Beispiel 11.1 (Rationale Approximation von
Betrachte die Pellsche Gleichung
x
dy = 1
2
2
2
p
2).
2y = 1 :
2
Gesucht sind alle Paare (x; y) 2 Z, die diese Gleichung erfullen. Eine Losung ndet
man sofort: x = 3; y = 2. Es folgt
p
p
(3 2 2)(3 + 2 2) = 1 ;
d.h.
3
2
p
2=
1
p
2(3 + 2 2)
0:057191 :
p
Der Bruch 3=2 ist also eine Approximation der irrationalen Zahl 2 mit kleinem Nenner. Eine weitere Losungp der Pellschen Gleichung ist x = 17 und y = 12 und die
an 2 ist schon auf zwei Dezimalstellen
Annaherung von
genau. Die "nachste\
p
Losung ist x = 99, y = 70 und 99=70 approximiert 2 auf vier Dezimalstellen genau.
ndet man x = 577, y = 408, wobei 577=408 = 1:414215. Diese Approximation
p
"Danach\
an 2 war schon in der Antike bekannt.
17
12
Bemerkung (d negativ oder Quadratzahl).
Ist d negativ, so hat die Gleichung x dy = 1 nur die ganzzahligen Losungen x =
1; y = 0 und x = 0; y = 1 (fur d = 1). Ist d = m , m 2 Z, so gilt 1 = x dy =
(x my )(x + my ). In einer ganzzahligen Losung sind also beide Faktoren gleich 1 oder
beide gleich 1, es gibt also nur die Losungen (1; 0).
2
2
2
2
2
Wir untersuchen im Folgenden die Pellsche Gleichung fur den Fall, dass d 2 N keine Quadratzahl ist und beginnen mit einer Hilfsaussage.
Lemma 11.2.
Es sei d 2 N
chung x
2
keine Quadratzahl. Dann existiert ein m 2 Znf0g, derart, dass die Gleidy = m unendlich viele Losungen (x; y) 2 Z besitzt.
2
2
63
64
Die Pellsche Gleichung
p
Beweis. Da d irrational ist (Anwendung
p unendlichpviele
p 1.9), existieren nach Satz 10.1
Paare
p (x; y) mit xp2 Z, y 2 N und jx dyj < 1=y. Zusammen mit jx + dyj = jx dy +
2 dy j 1=y + 2 dy ergibt sich
jx
dy j <
2
2
1 1
p
1
+ 2 dy =
p
p
+ 2 d 1 + 2 d:
y y
y
Fur die unendlich vielen Paare (x; y ) ist also x dy nach unten und nach oben beschrankt.
Folglich tritt mindesten ein Wert m 2 Z unendlich oft auf. Da d keine Quadratzahl ist, muss
d 6= 0 sein.
2
2
2
Satz 11.3 (Lagrange).
Es sei d 2 N keine Quadratzahl. Dann hat die Pellsche Gleichung x dy = 1 unend
liche viele Losungen (x; y) 2 Z . Uberdies
existiert peine Losung p
(x ; y ) 2 Z , derart,
dass jede Losung die Form (xn ; yn ) mit xn + yn d = (x + y d)n fur ein n 2 N
hat.
2
2
1
1
2
2
1
1
0
Definition.
Es sei d 2 N keine Quadratzahl. Wir setzen
p
p
Die Zahl N (r + s d) := r
2
p
d] := fr + s d : r; s 2 Zg :
Z[
p
p
ds heit die Norm von r + s d 2 Z[ d].
2
p
Bemerkung.
Es sei d 2 N keine
p
p Quadratzahl. Da 1 und d linearpunabhangig uber Q sind, hat jedes
Element aus Z[ d] eine eindeutige Darstellung r + s d mit r; s 2 Z. Die Menge Z[ d]
ist ein Teilring von R. Die Konjugation
0 : Z[pd] ! Z[pd] ;
p
p
r + s d 7! r s d
p
ist ein bijektiver
Ringhomomorphismus
p
p auf 0Z[ 0dp]. Die Abbildung N ist multiplikativ:
p
0
0
N ((r + s d) (f + s d)) = N (r + s d) N (r + s d).
Beweis von Satz 11.3. (i) Nach Lemma 11.2 existiert ein m 2 Znf0g, derart, dass x
dy = m unendlich viele ganzzahlige Losungen besitzt. Nach dem Schubfachprinzip gibt es
dann mindestens zwei verschiedene Losungen (px ; y ); (x ; y ) 2 Npmit x x (mod m)
und y y (mod m). Wir setzen := x y d und := x y d und berechnen
2
2
1
1
2
p
0 = x
1
p
1
2
2
2
2
2
2
1
y ) d x + y d = |(x x
1
1
1
2
2
y y d}) + |(x y
{z
1
=:
2
1
1
A
2
p
2
y x }) d :
{z
=:
1
2
B
Nun gilt A x dy = mp 0 (mod m) und B 0 (mod m). Daher teil m sowohl A als
auch B , d.h. a 0 = m(x + y d) mit x; y 2 Z. Wegen N () = N ( 0 ) = m gilt
m = N ()N ( 0 ) = N ( 0 ) = m (x dy ) ;
2
1
2
2
2
2
2
2
also x dy = 1. Hierbei gilt y 6= 0, denn sonst ware x = 1, also m = 0 . Multiplikation
mit liefert m = 0 = N ( ) = m, also = . Dann gilt aber x = x und daher
auch y = y . Widerspruch ! Wir haben also eine Losung (x; y ) 2 N der Pellschen Gleichung
gefunden.
2
2
1
1
2
2
Die Pellsche Gleichung
65
p
(ii) Unter allen p
Losungen (x; y ) 2 N der Pellschen Gleichung gibt es eine fur die x + y d
minimal ist. Da d 62 Q, ist diese minimale Losung =: (x ; y ) eindeutig bestimmt. Es psei
nun (u; v ) 2 Np eine weitere Losung der Pellschen Gleichung. Wir setzen := x + y d
und := u + v d.
p
Annahme: 6= n fur alle n 2 N. Wegen < und = x + y d > 1 gibt es dann ein
n 2 N mit
2
1
1
2
1
1
n < < n :
+1
Da 0 = N () = 1 und 0 = 1= > 0 folgt hieraus
1 = n 0n < 0n < (0 )n = :
p
p
N
(
A
+
B
d) = N ( )N (0 )n p= 1 ist
Nun gilt jedoch 0n = A + B d mit A; B 2 Z. Wegen
p
A dB = 1. Die obigepUngleichung zeigt 1 < A + B d < . Insbesondere ist A + B d > 0
und damit auch A B d = A Bpd > 0. Addition dieser beiden Ungleichung ergibt A > 0,
p
p
p
p
d
>
1
und
1
=
(
A
+
B
d
)(
A
B
d
)
gilt
A
B
d < 1, also
also
A
1.
Wegen
A
+
B
p
p
B d > A 1 > 0, d.h. B 1. Zusammen folgt 1 < A + B d < mit (A; B ) 2 N und
A dB = 1. Ein Widerspruch zur Minimalitat von .
p
(iii)
anzend zur Vorlesung: Sind x ; y 2 N wie in (ii) gewahlt und xn + yn d := (x +
p Erg
y d)n fur ein n 2 N, so gilt mithilfe der Multiplikativitat der Norm
2
2
1
+
2
2
2
1
1
p
1
1
p
p
xn dyn = N (xn + yn d) = N (x + y d)n = N (x + y d)
2
2
1
1
1
1
n
= x
2
1
dy
2
1
n
= 1:
Man erhalt also die unendlich vielen(!) Losungen (xn ; yn ), n 2 N, der Pellschen Gleichung
x dy = 1.
2
2
Bemerkung.
Die Losung (x ; y ) aus Satz 11.3 nennt man Fundamentallosung der Pellschen Gleichung x dy = 1. Diese zu nden, ist i.Allg. schwierig. So ist (x; y) = (9801; 1820) die
Fundamentallosung zu x 29y = 1.
1
2
1
2
2
2
Beispiel 11.4 (Das Rinderproblem des Archimedes).
Siehe Vorlesung !
Aufgaben
1.
x 12
Fermat fur n = 4
Die Fermat Gleichung lautet
an + bn = cn :
Fur n = 2 gibt es (unendlich) viele ganzzahlige Losungen (Pythagoras!). Fermat hat 1637
vermutet, dass es fur jedes n 3 keine ganzzahligen Losungen 6= 0 dieser Gleichung gibt.
Diese Vermutung wurde 1995 von A. Wiles (mit Unterstutzung durch R. Taylor) bewiesen.
Wir behandeln in diesem Kapitel den relativ einfachen Fall n = 4 = 2 .
2
Definition (Pythagoräische Tripel).
Ein Tripel (a; b; c) 2 Z3 , abc 6= 0,
mit a + b = c fur ein n 2 N heit pythagoraisches
Zahlentripel. Gilt zusatzlich falls ggT(a; b; c) = 1, so heit (a; b; c) primitives pythagoraisches Zahlentripel.
2
2
2
Bemerkung.
Fur (a; b; c) 2 Z mit abc 6= 0 und d = ggT(a; b; c) gilt: (a; b; c) ist ein pythagoraisches
Zahlentripel () (a=d; b=d; c=d) ein primitives pythagoraisches Zahlentripel.
Bemerkung (Geometrische Interpretation).
Es sei (a; b; c) 2 Z mit abc 6= 0 eine Losung von a + b = c . Dividiert man durch c und
setzt x := a=c, y := b=c, so erhalt man einen Punkt (x ; y ) 2 Q mit x + y = 1 mit
rationalen Koordinaten auf der Einheitskreislinie @ D := f(x; y) 2 R : x + y = 1g. Ist
umgekehrt (x ; y ) 2 Q ein rationaler Punkt auf @ D, so erhalt man durch Mulitplikation
mit dem Hauptnenner von x und y ein Tripel (a; b; c) 2 Z mit a + b = c .
3
0
2
2
2
0
0
2
0
2
0
2
0
2
0
2
2
2
0
0
3
0
2
2
2
Finde alle rationalen Punkte (x ; y ) 2 Q auf der Einheitskreislinie @ D.
Ein rationaler Punkt auf @ D ist P = ( 1; 0).
Problem.
0
2
0
Lemma 12.1.
Bezeichnet man fur Q 2 @ D die Steigung der Geraden durch die Punkte P = ( 1; 0)
und Q 6= ( 1; 0) mit mQ , so gilt
() mQ 2 Q :
In jedem der beiden Falle ergibt sich fur Q = (x ; y ) 2 Q und mQ = uv :
Q rational
0
2
0
!
1 mQ 2mQ
u v 2uv
(x ; y ) =
;
=
;
u +v u +v
1 + mQ 1 + mQ
2
0
0
2
2
2
2
2
2
2
!
:
2
Insbesondere ist die Menge aller Losungen (a; b; c) 2 N von a + b = c gegeben durch
3
n
(u
2
o
n
v ; 2uv; u + v ) : u; v 2 N; u > v [ (2uv; u
2
2
2
67
2
2
2
2
o
v ; u + v ) : u; v 2 N; u > v :
2
2
2
68
Fermat für
n=4
Beweis. Die Gerade durch P = ( 1; 0) und Q = (x ; y ) hat die Form y = x y (x + 1).
Sind also x ; y 2 Q, so auch mQ = x y . Ist umgekehrt mQ = x y 2 Q und (x ; y ) 2 @ D,
d.h. x + y = 1, so folgt x + mQ (x + 1) = 1. Dies ist ein quadratische Gleichung fur x
0
0
2
0
mit
0
0
0 +1
0
0
2
0
2
0
0
0 +1
2
0
0 +1
2
0
0
0
mQ 1
:
mQ + 1
2
x =
0
2
Damit lassen sich nun auch sehr einfach die primitiven pythagoraischen Zahlentripel angeben.
Korollar 12.2 (Euklid, Die Elemente, Buch X, Postulate 28,29).
Es seien a; b; c 2 N mit a2 + b2 = c2 und ggT(a; b; c) = 1. Dann ist entweder a oder
gerade. Ist a gerade, so gibt es u; v 2 N mit u > v und ggT(u; v) = 1, derart, dass
b
a = 2uv ; b = u v ; c = u + v :
Beweis. Setze d := ggT(a; b). Dann gilt dn jan und dn jbn , also dn jan + bn = cn , d.h. djc.
Folglich gilt dj ggT(a; b; c). Analog ergibt sich ggT(a; c)j ggT(a; b; c) und ggT(b; c)j ggT(a; b; c),
d.h. a; b; c sind paarweise teilerfremd, also insbesondere nicht alle gerade. Wegen a + b =
c (mod 4) und k 0 oder 1 (mod 4), ist c ungerade und daher entweder a oder b gerade.
Nach Lemma 12.1 ist also o.E. a = 2uv gerade, b = u v ungerade und c = u + v
ungerade mit u; v 2 N, u > v . Es gilt ggT(u; v )jggT (a; b; c) = 1, also ggT(u; v ) = 1.
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
Bemerkung.
Ist ap + bp = cp
fur 3 p 2 P nicht losbar, so ist auch akp + bkp = ckp , k 2 N, nicht losbar.
Ist a + b = c nicht losbar, so ist auch a k + b k = c k , 2 k 2 N nicht losbar. Fur einen
Beweis der Fermatschen Vermutung genugt es daher, diese fur Primzahlexponenten und
den Exponent 4 zu beweisen.
4
4
4
2
2
2
Wir beweisen jetzt die Fermatsche Vermutung fur den Fall n = 4.
Satz 12.3.
Die Gleichung x + y = z hat keine Losung (x; y; z ) in N .
4
4
2
3
Beweis. Es sei (x; y; z ) 2 N eine Losung mit minimalem z 2 N. Dann gilt ggT(x; y; z ) =
1, denn ist P 3 pj ggT(x; y; z ), so ist p jx und p jy , also p jz . Somit gilt p jz und
(x=p; y=p; z=p ) ist eine Losung mit einer kleineren dritten Komponente. Wegen (x ) +
(y ) = z ist daher (x ; y ; z ) eine primitives pythagoraisches Zahlentripel, wobei o.E. x
gerade und y ungerade sei. Nach Korollar 12.2 gibt es teilerfremde u; v 2 N mit x = 2uv ,
y = u v und z = u + v . Da u v = y 1 (mod 4), ist o.E. u ungerade und v
3
4
4
4
4
4
4
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
gerade.
Aus (x=2) = uv=2 und ggT(u; v=2) = 1 folgt u = d und v = 2e mit d; e 2 N und
ggT(d; e) = 1. Somit gilt y = u v = d (2e ) , d.h. (2e ) + y = (d ) . Also ist
(2e ; y; d ) ein primitives pythagoraisches Tripel. Korollar 12.2 zeigt nun
2e = 2lm ;
d =l +m
mit l; m 2 N und ggT(l; m) = 1. Wegen e = lm und ggT(l; m) = 1 gilt l = r und m = s
fur r; s 2 N, also r + s = d , wobei d d = u u < u + v = z , im Widerspruch zur
Wahl von z .
2
2
2
2
2
2
4
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
4
4
2
2
2
2
2
2
2