Lösungen Arbeitsblatt Zahlenmengen / Arithmetik

Fachhochschule Nordwestschweiz (FHNW)
Hochschule für Technik
Institut für Geistes- und Naturwissenschaft
Lösungen Arbeitsblatt Zahlenmengen / Arithmetik
Dozent: Roger Burkhardt
Klasse: Brückenkurs 2010
Büro: 4.613
Semester: -
Modul: Mathematik
Datum: 2010
1. Aufgabe
Wandeln Sie die folgenden Dezimalbrüche in einen gekürzten Bruch um:
(a)
b1 = 1.81
Lösung:
• Umwandlung:
b1 = 1.81
100b1 = 181
181
b1 =
100
• ggT(181,100):
181
100
81
19
5
4
=
=
=
=
=
=
1 ∗ 100 + 81
1 ∗ 81 + 19
4 ∗ 19 + 5
3∗5+4
1∗4+1
4∗1+0
⇒ ggT (181, 100) = 1
• gekürzter Bruch:
b1 =
181
100
(b)
b2 = 1.818
Lösung:
• Umwandlung:
b2 = 1.818
1000b2 = 1818
1818
b2 =
1000
• ggT(1818,1000):
1818
1000
818
182
90
=
=
=
=
=
1 ∗ 1000 + 818
1 ∗ 818 + 182
4 ∗ 182 + 90
2 ∗ 90 + 2
45 ∗ 2 + 0
Mathematik
Lösungen Arbeitsblatt Zahlenmengen / Arithmetik
⇒ ggT (1818, 1000) = 2
• gekürzter Bruch:
b2 =
909
500
(c)
b3 = 1.81
Lösung:
• Umwandlung:
b3
10b3
9b3
90b3
b3
=
=
=
=
1.81
18.11
16.3
163
163
=
90
• ggT(163,90):
163
90
73
17
5
2
=
=
=
=
=
=
1 ∗ 90 + 73
1 ∗ 73 + 17
4 ∗ 17 + 5
3∗5+2
2∗2+1
2∗1+0
⇒ ggT (163, 90) = 1
• gekürzter Bruch:
b3 =
163
90
(d)
b4 = 1.81
Lösung:
• Umwandlung:
b4 = 1.81
100b4 = 181.81
99b4 = 180
180
b4 =
99
• ggT(180,99):
180
99
81
18
=
=
=
=
1 ∗ 99 + 81
1 ∗ 81 + 18
4 ∗ 18 + 9
2∗9+0
ggT (180, 99) = 9
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2010
Mathematik
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• gekürzter Bruch:
b4 =
20
11
(e)
b5 = 1.8181
Lösung:
• Umwandlung:
b5
1000b5
999b5
9990b5
b5
=
=
=
=
1.8181
1818.1181
1816.3
18163
18163
=
9990
• ggT(18163,9990):
18163
9990
8173
1873
865
143
7
3
1 ∗ 9990 + 8173
1 ∗ 8173 + 1817
4 ∗ 1817 + 865
2 ∗ 865 + 143
5 ∗ 143 + 7
20 ∗ 7 + 3
2∗3+1
3∗1+0
=
=
=
=
=
=
=
=
⇒ ggT (18163, 9990) = 1
• gekürzter Bruch:
b5 =
18163
9990
2. Aufgabe
(a) Wandeln Sie die folgenden Brüche in Dezimalbrüche um:
•
9
=?
11
Lösung:
9 : 11 = 0.81
•
11
=?
9
Lösung:
11 : 9 = 1.2
(b) Wandeln Sie die folgenden Dezimalbrüche in Brüche um:
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2010
Mathematik
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2010
•
1.0021 =?
Lösung:
10021
1.0021 10000
=
1 10000
10000
b = 1.0021 =
•
1.0021 =?
Lösung:
b = 1.00212121
(100 − 1) b = 99b = 100.2121 − 1.0021 = 99.21
9900b = 9921
9921
3307
b =
=
9900
3300
(c) Bestimmen Sie mit dem Euklid’schen Algorithmus den grössten gemeinsamen
Teiler (ggT):
•
ggT (40936, 308826) =?
Lösung:
308826
40936
22274
18662
3612
=
=
=
=
=
7 ∗ 40936 + 22274
1 ∗ 22274 + 18662
1 ∗ 18662 + 3612
5 ∗ 3612 + 602
6 ∗ 602 + 0
ggT (40936, 308826) = 602
•
ggT (388773, 1366365) =?
Lösung:
1366365
388773
200046
188727
11319
7623
3696
=
=
=
=
=
=
=
3 ∗ 388773 + 200046
1 ∗ 200046 + 188727
1 ∗ 188727 + 11319
16 ∗ 11319 + 7623
1 ∗ 7623 + 3696
1 ∗ 3696 + 231
16 ∗ 231 + 0
ggT (388773, 1366365) = 231
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3. Aufgabe
Vervollständigen Sie die untenstehende Tabelle:
a
-6
-4
-2
0
2
4
6
8
b
-2
-2
-1
-1
0
0
1
1
|a| |a − b|
a+|b|
2
a−|b|+|a−b|
2
a
-6
-4
-2
0
2
4
6
8
b
-2
-2
-1
-1
0
0
1
1
|a|
6
4
2
0
2
4
6
8
a+|b|
2
a−|b|+|a−b|
2
-2
-1
− 21
-2
-2
-1
0
2
4
5
7
Lösung:
|a − b|
4
2
1
1
2
4
5
7
1
2
1
2
7
2
9
2
4. Aufgabe
Gegeben seien die folgenden Zahlen:
z1 =
z2 =
z3 =
z4 =
z5 =
81
24
403
125
661
200
1605
500
13
4
Ordnen Sie diese Zahlen in absteigender Reihenfolge (mit Begründung).
Lösung:
• z1 und z2 :
81 ∗ 125 = 10125 > 7672 = 24 ∗ 403
⇒ z1 > z2
• z1 und z3 :
81 ∗ 200 = 16200 > 15864 = 24 ∗ 661
⇒ z1 > z3
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• z2 und z3 :
403 ∗ 200 = 80600 < 82625 = 125 ∗ 661
z2 > z1
• z4 und z1 :
81 ∗ 500 = 40500 > 38520 = 24 ∗ 1605
z1 > z4
• z4 und z3 :
661 ∗ 500 = 330500 > 330200 = 200 ∗ 1651
z3 > z4
• z4 und z2 :
403 ∗ 500 = 201500 < 206375 = 125 ∗ 1651
z4 > z2
• z5 und z1 :
81 ∗ 4 = 324 > 312 = 13 ∗ 24
z1 > z5
• z3 und z5 :
661 ∗ 4 = 2644 > 2600 = 200 ∗ 13
z3 > z5
• z4 und z5 :
1651 ∗ 4 = 6604 > 6500 = 13 ∗ 500
z4 > z5
• z2 und z5 :
403 ∗ 4 = 1612 < 1625 = 13 ∗ 125
z5 > z2
Somit gilt:
z1 > z3 > z4 > z5 > z2
5. Aufgabe
Vereinfachen Sie die folgenden Terme:
(a)
(3x + 2) (2x − 3) (x − 1) − (x − 1) (x + 2) (x − 3) =?
Lösung:
... = (x − 1) 6x2 − 5x − 6 − x2 − x − 6
= (x − 1) 5x2 − 4x
= 5x3 − 9x2 + 4x
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2010
(b)
(3x + 2) (5x + 7) − {− [−3 (5x − 3) (7x + 5) − (2x + 8) (3x + 7)]} =?
Lösung:
... = 15x2 + 31x + 14 + −105x2 − 12x + 45 − 6x2 − 38x − 56
= 15x2 + 31x + 14 + −105x2 − 12x + 45 − 6x2 − 38x − 56
= −96x2 − 19x + 3
(c)
−a − (−b) + {−3a − [−7 + (2a − 3b)]} =?
Lösung:
−a − (−b) + {−3a − [−7 + (2a − 3b)]} =
=
=
=
=
−a − (−b) + {−3a − [−7 + 2a − 3b]}
−a − (−b) + {−3a + 7 − 2a + 3b}
−a − (−b) + {7 − 5a + 3b}
−a + b + 7 − 5a + 3b
7 − 6a + 4b
(d)
(3x − 7)2 − (3x + 1) (3x − 1) =?
Lösung:
(3x − 7)2 − (3x + 1) (3x − 1) = 9x2 − 42x + 49 − 9x2 − 1
= 9x2 − 42x + 49 − 9x2 + 1
= 50 − 42x
(e)
1 − a3
3
3
+ a3 − 1 =?
Lösung:
1 − a3
3
3
+ a3 − 1
= 1 − 3a3 + 3a6 − a9 + a9 − 3a6 + 3a3 − 1
= 0
(f)
(1 − a)2 − (a − 1)2 − a2 − 1 =?
Lösung:
(1 − a)2 − (a − 1)2 − a2 − 1
=
=
=
=
=
1 − 2a + a2 − a2 − 2a + 1 − a2 − 1
1 − 2a + a2 − a2 − 2a + 1 − a2 + 1
1 − 2a + a2 − (2 − 2a)
1 − 2a + a2 − 2 + 2a
a2 − 1
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(g)
a2 b2 − a2 − 1 b2 + 1 − (a + b)2 =?
Lösung:
a2 b2 − a2 − 1 b2 + 1 − (a + b)2 = a2 b2 − a2 b2 + a2 − b2 − 1 − a2 + 2ab + b2
= a2 b2 − a2 b2 − a2 + b2 + 1 − a2 − 2ab − b2
= 1 − 2ab − 2a2
(h)
− ((2 − a) (3 − b) − ((4 − c) (5 − d) − (a + c) (b − d))) =?
Lösung:
... = − ((6 − 3a − 2b + ab) − ((20 − 5c − 4d + cd) − (ab − ad + cb − cd)))
= − (6 − 3a − 2b + ab − (20 − 5c − 4d + cd − ab + ad − cb + cd))
= − (6 − 3a − 2b + ab − 20 + 5c + 4d − 2cd + ab − ad + cb)
= 14 + 3a + 2b − 2ab − 5c − 4d + 2cd + ad − cb
(i)
(−a) (−b2 ) (−a) (−b)2
−
=?
(−c3 )
(−c)3
Lösung:
(−a) (−b2 ) (−a) (−b)2
ab2 ab2
ab2
−
=
−
−
=
−2
(−c3 )
c3
c3
c3
(−c)3
(j)
a
x
+
=?
x−a a−x
Lösung:
a
x
a
x
a−x
x−a
+
=
−
=
=−
= −1
x−a a−x
x−a x−a
x−a
x−a
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