TEIL ANALYSIS Friedrich Liese 15. September 2014

Universität Rostock
Institut für Mathematik
VORKURS MATHEMATIK: TEIL ANALYSIS
Friedrich Liese
15. September 2014
1
Inhaltsverzeichnis
Inhaltsverzeichnis
1
2
3
4
5
Das
1.1
1.2
1.3
1.4
Rechnen im Bereich der reellen Zahlen
Reelle Zahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Rechenregeln: Vertauschungs-und Klammerregeln
Bruchrechnung . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Rechnen mit Ungleichungen und Beträgen . . . .
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Potenzen, Wurzeln und Logarithmen
2.1 Potenzen mit ganzzahligen Exponenten . . . . . . .
2.2 Binomialkoeffizient, binomischer Lehrsatz . . . . . .
2.2.1 Binomial-Koeffizienten . . . . . . . . . . . .
2.2.2 Binomischer Lehrsatz . . . . . . . . . . . . .
2.3 Potenzen mit rationalen und irrationalen Exponenten
2.4 Logarithmen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Reelle Funktionen
3.1 Definition und Darstellung von reellen Funktionen
3.2 Qualitative Eigenschaften reeller Funktionen . . .
3.2.1 Beschränktheit . . . . . . . . . . . . . .
3.2.2 Monotonie . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2.3 Gerade und ungerade Funktionen . . . .
3.2.4 Periodische Funktionen . . . . . . . . . .
3.2.5 Stetigkeit . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2.6 Mittelbare Funktionen . . . . . . . . . .
3.2.7 Vererbung qualitativer Eigenschaften . .
3.2.8 Umkehrfunktion . . . . . . . . . . . . . .
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30
Elementare Funktionen
4.1 Polynome und rationale Funktionen . . . . . . . . . . . .
4.2 Gebrochen-rationale Funktionen . . . . . . . . . . . . . .
4.3 Potenzfunktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.4 Exponential-und Logarithmusfunktion . . . . . . . . . . .
4.5 Trigonometrische Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . .
4.6 Arkusfunktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.7 Weitere elementare Funktionen . . . . . . . . . . . . . . .
4.8 Gleichungen und Ungleichungen für elementare Funktionen
4.8.1 Lineare Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.8.2 Quadratische Funktionen . . . . . . . . . . . . . .
4.8.3 Weitere Gleichungen für elementare Funktionen . .
4.9 Numerische Lösungen von Gleichungen . . . . . . . . . . .
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42
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49
Differentialrechnung
5.1 Der Begriff der Ableitung . . . . . . .
5.2 Monotonie und Ableitung . . . . . . .
5.3 Extremstellen . . . . . . . . . . . . .
5.4 Konvexität, Konkavität, Wendepunkte
5.5 Kurvendiskussion . . . . . . . . . . .
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Inhaltsverzeichnis
6
Integralrechnung
6.1 Bestimmtes Integral . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.2 Hauptsatz der Differential-und Integralrechnung . . .
6.3 Berechnung unbestimmter und bestimmter Integrale
6.4 Flächenberechnung . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3
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50
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1.1 Reelle Zahlen
1 Das Rechnen im Bereich der reellen Zahlen
1.1 Reelle Zahlen
Bereits aus der Schule sind verschiedene Typen von Zahlen bekannt, die alle zu der umfassenden
Menge der reellen Zahlen gehören. Wir starten mit der Menge der natürlichen Zahlen 1, 2, ... . Diese
Zahlen bezeichnen in der Regel Anzahlen. Das kann die Anzahl von Personen in einem bestimmten
Raum, die Anzahl der Universitäten in Deutschland oder Ähnliches sein. Die Zahl 0 bezeichnet dann
z.B. die Situation, dass sich keine Person in dem betreffenden Raum befindet. Die Menge {0, 1, 2, ...}
ist die Menge der natürlichen Zahlen, die wir stets mit N bezeichnen. Nimmt man die negativen Zahlen
−1, −2, ... hinzu, so erhält man alle ganzen Zahlen
G = {..., −3, −2 − 1, 0, 1, 2, 3, ...}.
Wir haben hierbei die geschweiften Klammern {....} als Symbol für eine Menge verwendet. Es handelt
sich also hier und im Weiteren um die Menge der Elemente, die in der geschweiften Klammer aufgeführt
sind. Die nächste größere Klasse sind die so genannten rationalen Zahlen, die man als Quotient von
ganzen Zahlen erhält, wo der Nenner natürlich nicht Null sein darf. Will man z.B. 2 Pizzen gerecht
zwischen drei Personen aufteilen, so erhält jede Person 23 einer Pizza. Wir können rationale Zahlen
auch als Dezimalbruch schreiben. Es gilt z.B.
2
117
1
= 0, 25;
= 0, 6666.... ,
= −0, 243243243...
4
3
−481
Wir sehen also, dass rationale Zahlen stets darstellbar sind als abbrechende Dezimalzahlen oder als
unendliche aber periodische Dezimalzahlen, wobei prinzipiell jede natürliche Zahl als Periode auftreten
kann. Darüber hinaus gibt es√auch reelle Zahlen, die nicht so darstellbar sind, also keine rationalen Zahlen sind. So ist z.B. 2 keine rationale Zahl. Weitere Beispiele sind die Kreiszahl π, deren
Anfangsziffern gegeben sind durch 3, 1415927 und die Eulersche Zahl e, deren erste Ziffern lauten
2, 7182818. Solche nicht abbrechenden oder nicht periodischen Dezimalzahlen nennt man irrationale
Zahlen. Die rationalen und die irrationalen Zahlen bilden zusammen die Menge R der reellen Zahlen.
Eine anschauliche Vorstellung von den reellen Zahlen gewinnt man mittels der Zahlengeraden. Das ist
eine horizontale Strecke, auf der der Nullpunkt fixiert ist und von dort eine Einheitsstrecke abgetragen
ist, womit die Zahl 1 festgelegt ist. Alle anderen Zahlen sind dann auf dieser Geraden fixiert. Ganze
Zahlen haben einen Abstand vom Nullpunkt, der ein ganzzahliges Vielfaches der Länge der Einheitsstrecke ist. Unterteilt man die Einheitsstrecke in q Strecken gleicher Länge, so hat jede dieser Strecken
die Länge q1 . Fügt man p dieser kleinen Strecken zusammen, so hat die neue Strecke die Länge qp .
Rationale Zahlen entstehen also durch Zerlegen von großen Strecken in kleine gleichlange Strecken
und durch Zusammenfügen dieser kleinen Strecken. Wir fassen unsere Betrachtungen zusammen.
Reelle Zahlen sind Punkte auf der Zahlengeraden. Sie können ganzzahlig, rational oder irrational sein.
Alle reellen Zahlen können als Dezimalzahlen geschrieben werden, die entweder endlich viele oder
unendlich viele Ziffern hat. Eine Zahl ist genau dann rational, wenn sie als Dezimalzahl mit endlich
vielen Ziffern oder als periodische Dezimahlzahl geschrieben werden kann. Irrationale Zahlen haben
unendlich viele Stellen, die nicht periodisch auftreten. Wichtige Beispiele sind Wurzeln, die Kreiszahl
π und die Eulersche Zahl e.
1.2 Rechenregeln: Vertauschungs-und Klammerregeln
Im Bereich R der reellen Zahlen sind die vier Grundrechenarten erklärt. Das sind die Addition, die Subtraktion, die Multiplikation und die Division mit Ausnahme der Null. Beim Ausführen dieser Rechenoperationen treten bestimmte Gesetzmäßigkeiten auf, die zu beachten sind. Es gilt z.B. 3 + 4 = 4 + 3
4
1.2 Rechenregeln: Vertauschungs-und Klammerregeln
oder 3 · 4 = 4 · 3. Die linke Seite der ersten Gleichung besagt, dass man ausgehend von der Zahl
3 auf der Zahlengeraden vier Einheitsschritten nach rechts geht. Die rechte Seite besagt, dass man
beginnend mit 4 drei Schritte nach rechts geht. Man gelangt immer zur Zahl 7. Um solche und ähnliche Aussagen allgemein, knapper und in übersichtlicher Form formulieren zu können, arbeitet man
mit allgemeinen Zahlen (Buchstaben), die dann alle möglichen Werte annehmen können. Nur durch
das Rechnen mit allgemeinen Zahlen gelangt man in der Mathematik zu allgemein gültigen Aussagen.
Wir erinnern zunächst an die so genannten Kommutativgesetze oder Vertauschungsgesetze. Es gilt
3 + 7 = 7 + 3 = 10 und 3 · 7 = 7 · 3 = 21. Allgemein formuliert führen diese Aussagen zu den
Kommutativgesetzen der Addition und der Multiplikation
a + b = b + a,
a · b = b · a,
a, b ∈ R
a, b ∈ R.
Hierbei bedeutet a, b ∈ R, dass die entsprechende Aussage für alle reellen Zahlen a, b gelten soll.
Die oben formulierten Kommutativgesetze gelten nicht nur für zwei Summanden oder Faktoren, sondern auch für eine größere Anzahl von Summanden und Faktoren.
Beispiele: 1.
x +y +a+5=5+x +y +a =a+y +5+x,
weitere Gleichheiten könnte man hinzufügen.
2. Kommutativgesetze werden verwendet, um gleichnamige Glieder zusammenzufassen. Es gilt
2 + x + a + 5 + 3x + 4a = 7 + 4x + 5a
und
6abx · 7 = 6 · 7 · abx = 42abx.
Der Malpunkt · kann geschrieben oder weggelassen werden. Wenn man konkrete Zahlen am Ende hat
wird er in der Regel geschrieben: 6ac · 7 bzw. man setzt eine Klammer (6ac)7. Auch bei gleichen
Faktoren schreibt man den Malpunkt: a · x · x · a = a2 · x 2 .
Weitere Gesetze sind die Assoziativgesetze der Addition und der Multiplikation
(a + b) + c = a + (b + c),
(ab)c = a(bc),
a, b, c ∈ R
a, b, c ∈ R.
Das Assoziativgesetz der Addition besagt inhaltlich, dass es bei der Addition von drei reellen Zahlen
gleichgültig ist, ob man zuerst die beide ersten Zahlen addiert und danach die dritte Zahl addiert oder
zuerst die beiden letzten Zahlen addiert und danach die erste Zahl. Man kann also Klammern beliebig
setzen und schreibt deshalb auch kürzer durch Weglassen der Klammern
(a + b) + c = a + (b + c) = a + b + c,
a, b, c ∈ R.
Eine analoge Interpretation gilt für die Multiplikation und wir erhalten durch Weglassen der Klammern
(ab)c = a(bc) = abc,
a, b, c ∈ R.
Die Operationen Addition und Multiplikation werden durch das Distributivgesetz miteinander verknüpft. Es lautet
a(b + c) = ab + ac,
a, b, c ∈ R.
Das Distributivgesetz besagt, dass man einen Faktor vor einer Klammer auf beide Summanden anwenden muss. Das gilt entsprechend, wenn in der Klammer mehr als ein Summand steht.
Beispiele: 1.
a(b + c + d + e) = ab + ac + ad + ae, a, b, c, d, e ∈ R.
5
1.2 Rechenregeln: Vertauschungs-und Klammerregeln
2.
(x1 + x2 + ... + xn )y = x1 y + x2 y + ... + xn y
3.
b(7a + 5b + c) = 7ab + 5b2 + bc
Das Distributivgesetz ist auch Grundlage für das Multiplizieren von Klammern:
(a + b)(c + d) = a(c + d) + b(c + d)
= ac + ad + bc + bd.
Beim Ausmultiplizieren zweier in Klammern stehender Summen muss man jedes Glied der einen Klammer mit jedem Glied der anderen Klammer multiplizieren und die entstehenden Produkte addieren.
Beispiele: 1.
(x + 2y )(4a + 3b) = 4ax + 3bx + 8ay + 6by
2.
(6a + 2b + 4c)(4a + 4b + 5c) = 24a2 + 24ab + 30ac + 8ab + 8b2 + 10bc
+16ac + 16bc + 20c 2
= 24a2 + 32ab + 46ac + 8b2 + 26bc + 20c 2 .
Das Distributivgesetz kann auch verwendet werden, um gemeinsame Faktoren auszuklammern und so
Terme zu vereinfachen. Wenn ein Faktor in jedem Glied einer Summe auftritt, dann kann man diesen
Faktor ausklammern.
Beispiele: 1.
abc + ad + 4a = a(bc + d + 4)
2.
2xy + 4x 2 y 2 + 8xy z = 2xy (1 + 2xy + 4z).
Wir wenden uns jetzt den Vorzeichenregeln zu. Ist a eine reelle Zahl, also ein Punkt auf der Zahlengeraden, so erhält man durch Spiegelung am Nullpunkt die entgegengesetzte Zahl −a. Ist a positiv
dann liegt a rechts vom Nullpunkt. Die Zahl −a ist dann negativ und liegt links der Null. Ist a negativ,
so ist −a positiv. Es gelten folgende Vorzeichenregeln
a − b = a + (−b)
−(−a) = a
(−a)b = a(−b) = −(ab) = −ab
(−a)(−b) = ab.
Die erste Vorzeichenregel besagt, dass man die Differenz durch Addieren der entgegengesetzten Zahl
erhält. Die zweite und die vierte Regel entsprechen den Merksätzen ’Minus mal Minus ist Plus’. Der
Merksatz für die dritte Regel ist ’Minus mal Plus ist Minus’. Diese Regel ist sinngemäß auch in
Kombination mit dem Distributivgesetz anzuwenden.
Beispiele: 1.
(−3)(a + b − c) = −3a − 3b + 3c
2.
6a(−3a + 5b − c) = −18a2 + 30ab − 6ac
3.
(x − y )(x + 2y )(a − b) = (x 2 + 2xy − xy − 2y 2 )(a − b)
= (x 2 + xy − 2y 2 )(a − b)
= ax 2 − bx 2 + axy − bxy − 2ay 2 + 2by 2
6
1.3 Bruchrechnung
Durch Ausmultiplizieren des Produktes von zwei Klammern erhält man
(a + b)2 = (a + b)(a + b) = a2 + ab + ba + b2
= a2 + 2ab + b2
(a − b)2 = (a − b)(a − b) = a2 − ab − ba + b2
= a2 − 2ab + b2
(a + b)(a − b) = a2 − ab + ba − b2 = a2 − b2 .
Zusammenfassend erhalten wir die drei binomischen Formeln.
(a + b)2 = a2 + 2ab + b2
(a − b)2 = a2 − 2ab + b2
(a + b)(a − b) = a2 − b2
1. binomische Formel
2. binomische Formel
3. binomische Formel
1.3 Bruchrechnung
Zur Zeit des Rechenmeisters Adam Ries, im 16. Jahrhundert, galt die Bruchrechnung als besonders
schwierig. Auch heute haben einige Menschen damit Probleme. Besonders einfach sind die Multiplikation und die Division von Brüchen:
ac
a c
· =
(1)
b d
bd
Für die Division gilt
a
ad
a d
b
· =
(2)
c =
b c
bc
d
Man multipliziert Brüche, indem man Zähler und Nenner jeweils multipliziert.Man dividiert einen Bruch
durch einen zweiten Bruch, indem man den ersten Bruch mit dem Kehrwert des zweiten Bruchs
multipliziert.
Beispiele: 1.
xy x
x 2y
·
= 2
a ab
a b
2.
2(a − b) a + b
2(a − b)(c − d)
:
=
c
c −d
c(a + b)
An diesem Beispiel sieht man, dass die Bruchstriche gleichzeitig die Funktion einer Klammer haben.
Werden sie in ihrer Eigenständigkeit im ersten Schritt aufgehoben, so muss man Klammern setzen.
Setzt man in (1) b = 1 und in (2) d = 1 bzw. b = 1 so gilt
a·
c
ac
=
d
d
a
:c =
b
b
a: =
c
a
b
c
1
a
1
b
c
a
bc
ac
=
b
=
Man multipliziert einen Bruch mit einer Zahl, indem man den Zähler mit dieser Zahl multipliziert und
den Nenner unverändert läßt. Man dividiert einen Bruch durch eine Zahl, indem man den Nenner mit
dieser Zahl multipliziert und den Zähler unverändert läßt. Man dividiert eine Zahl durch einen Bruch,
indem man diese Zahl mit dem Kehrwert des Bruchs multipliziert.
7
1.3 Bruchrechnung
Beispiele: 1.
7·
2.
x
5
35
=
3
3
x2 − 1
x3 − x
=
y
y
3.
x2 − y2
x −y
x +y
x −y
+
=
+ (x − y )
x +y
y
x +y
y
1
x +y
= (x − y )(
+
)
x +y
y
4.
xy
z
x2
xy
y
=
2
x z
xz
α−b
7a + 7b
= 7(a + b)
= 7(a − b)
a+b
a+b
a−b
=
Setzt man in der Regel (1) d = c, so ergeben sich die Regeln für das Kürzen und das Erweitern.
ac
a
= .
bc
b
Hat ein Bruch im Zähler und Nenner einen gemeinsame Faktor, so kann dieser Faktor gekürzt, d.h.
weggelassen werden. In einem Bruch kann man den Zähler und den Nenner mit derselben Zahl multiplizieren, ohne den Wert zu ändern.
Beispiel: 1.
2−x
1
2−x
=
=
4 − x2
(2 − x)(2 + x)
2+x
2.
a(a + 5b)
a + 5b
a2 + 5ab
=
=
.
a2 c
a(ac)
ac
Das Erweitern von Brüchen mit −1 liefert die Vorzeichenregeln.
−
a
a
−a
= (−1) · =
b
b
b
1 a
a
· =
.
=
−1 b
−b
Beispiel:
x −y
y −x
y −x
= − 2
=−
2
2
2
y −x
y −x
(y − x)(y + x)
1
= −
y +x
Die Addition und die Subtraktion von Brüchen ist einfach, wenn die Brüche gleiche Nenner haben.
Man sagt dann auch, dass sie gleichnamig sind.
a b
a+b
+
=
c
c
c
a b
a−b
−
=
c
c
c
8
1.3 Bruchrechnung
Gleichnamige Brüche werden addiert oder subtrahiert, indem man ihre Zähler addiert bzw. subtrahiert
und den gleichnamigen Nenner unverändert lässt.
Beispiele: 1.
a
c −d
a+c −d
+
=
3b
3b
3b
2.
a
c −d
a−c +d
−
=
3b
3b
3b
Sind Brüche nicht gleichnamig, so können sie nicht direkt addiert oder subtrahiert werden. Durch
Erweitern der Brüche muss man sie erst gleichnamig machen. Man muß einen gemeinsamen Nenner
finden, der Hauptnenner genannt wird
a c
ad
bc
ad + bc
+ =
+
=
.
b d
bd
bd
bd
Entsprechend kann man auch bei drei und mehr Brüchen vorgehen:
a b c
ay z − bxz − cxy
− − =
.
x
y
z
xy z
Es ist nicht immer notwendig und günstig den Hauptnenner als Produkt der einzelnen Nenner zu
ermitteln.
Beispiel:
a
b
c
ay 2 + by − c
+
− 2 =
.
x
xy
xy
xy 2
Bei ganzen Zahlen als Nenner ist das kleinste gemeinsame Vielfache der einfachste Nenner. Wir erinnern in diesem Zusammenhang daran, dass das kleinste gemeinsame Vielfache (kgV) von natürlichen
Zahlen gerade die kleinste natürliche Zahl ist, in der diese Zahlen als Faktor vorkommen. Wir fassen
die Überlegungen zum Hauptnenner zusammen.
Zur Bildung der Summe und der Differenz von Brüchen benötigt man den Hauptnenner. Bei seiner
Bestimmung sucht man einen Ausdruck, in dem alle beteiligten Nenner als Faktoren enthalten sind.
Das Produkt aller Nenner leistet das. Oft gibt es einfachere Ausdrücke. Sind die Nenner natürliche
Zahlen, so ist das kgV der kleinste Hauptnenner.
Beispiele: 1.
1
7
1·3−1·2+6·7
43
1
−
+ =
=
8 12 4
24
24
Hierbei ist das kgV von 8, 12 und 4 gerade 24.
2.
x
2x
y
+
+
y −x
x +y
x −y
x
2x
y
+
+
x −y
x +y
x −y
y −x
2x
2x
=
+
= −1 +
x −y
x +y
x +y
2x − x − y
x −y
=
=
x +y
x +y
= −
9
1.4 Rechnen mit Ungleichungen und Beträgen
1.4 Rechnen mit Ungleichungen und Beträgen
Bei der Einführung der reellen Zahlen hatten wir diese mit den Punkten auf der Zahlengeraden identifiziert. Man sagt, dass eine reelle Zahl a kleiner als die reelle Zahl b ist, falls a links von b liegt. Wir
schreiben dann a < b. Wir schreiben a ≤ b falls a entweder (echt) links von b liegt, also a < b gilt
oder a = b erfüllt ist. Liegt a (echt) rechts von b, so schreiben wir a > b. Ist auch a = b zugelassen,
so drücken wir das durch a ≥ b aus. Die reelle Zahl a heißt positiv, falls a > 0 gilt, sie heißt nicht
negativ, falls a ≥ 0 gilt. Die Relationen ’<’ und ’≤’ sind transitiv
3 < 4 und 4 < 12 ergibt 3 < 12.
Zur Formulierung von Aussagen werden wir oft den Doppelpfeil ⇐⇒ verwenden. Er bedeutet, dass
die Aussage auf der linken Seite des Pfeils genau dann gilt, wenn die Aussage auf der rechten Seite
des Pfeils gilt. Wird der Pfeil =⇒ verwendet, so bedeutet dies, dass aus der Aussage links die Aussage
rechts folgt.
a < b ⇐⇒ a + c < b + c
a < b ⇐⇒ a − c < b − c
Eine Ungleichung bleibt bestehen, wenn auf beiden Seiten die gleiche Zahl addiert oder subtrahiert
wird.
Beispiele: 1.
−6 < −3 | + 5 =⇒ −1 < 2
2.
8 < 17
| − 12
=⇒
−4 < 5
Bei der Multiplikation bzw. Division einer Ungleichung mit einer Zahl gelten folgende Rechengesetze.
a < b ⇐⇒ ac < bc
a < b ⇐⇒ ac > bc
falls c > 0
falls c < 0
Diese Rechenregeln sind gleichzeitig die Rechenregeln für die Division, wenn man c durch 1/d ersetzt.
Eine Ungleichung darf mit einer positiven Zahl multipliziert und durch eine positive Zahl dividiert
werden, ohne dass sich die Ungleichung ändert. Ist die Zahl negativ, so muß das Ungleichheitszeichen
umgekehrt werden. Sind die Seiten einer Ungleichung beide positiv oder beide negativ, so kann man
auf beiden Seiten zum Kehrwert übergehen, wenn man das Ungleichheitszeichen umkehrt.
Beispiele: 1.
|·3
⇐⇒
22, 8 < 30.
| · (−2)
⇐⇒
−14 > −20.
7, 6 < 10
2.
7 < 10
3.
7 < 10
1
1
>
.
7
10
=⇒
4.
−3 < −2 =⇒
−
1
1
>− .
3
2
5. Für welche x ist −3x + 2 < 4x − 9 ?
−3x + 2 < 4x − 9 ⇐⇒
2 + 9 < 4x + 3x ⇐⇒
11
11 < 7x ⇐⇒ x >
.
7
10
1.4 Rechnen mit Ungleichungen und Beträgen
Unter dem Betrag einer Zahl a (bezeichnet mit |a|, gelesen ’Betrag von a’) versteht man den Abstand
des Punktes a auf der Zahlengeraden zum Punkt 0. Der Abstand ist nie negativ und der Betrag kann
auch so ausgedrückt werden:
a für a ≥ 0
.
|a| =
−a für a < 0
Hierbei ist zu beachten, dass trotz des Minus in der zweiten Zeile der Betrag immer nicht negativ ist,
weil für negatives a die Zahl −a positiv ist. Weiterhin bemerken wir
|a| = | − a|,
was aus der Tatsache folgt, dass a und −a den gleichen Abstand zum Nullpunkt haben. Wir wollen
jetzt den Betrag verwenden, um den Abstand von zwei reellen Zahlen einzuführen.
|a − b| ist der Abstand von a und b.
Für den Betrag gilt die Dreiecksungleichung
|a + b| ≤ |a| + |b|.
(3)
Es ist unmittelbar klar, dass in dieser Ungleichung das Gleichheitszeichen steht, wenn gilt a ≥ 0 und
b ≥ 0 oder a ≤ 0 und b ≤ 0 gilt. Liegen unterschiedliche Vorzeichen vor, dann heben sich Teile dieser
Zahlen bei der Summenbildung weg und man hat dann des Kleinerzeichen.
Beispiele: 1. Die Zahlen a = −8 und b = 4 haben den Abstand 12, weil a 8 Einheiten links vom
Nullpunkt und b 4 Einheiten rechts vom Nullpunkt liegt. Es gilt
|a − b| = | − 8 − 4| = | − 12| = 12.
2. Für a = 4 und b = 7 ist der Abstand 3 Einheiten
|4 − 7| = | − 3| = 3.
3. Sei a = 4 und b = 2. Dann gilt |a + b| = |6| = 6. Es gilt also das Gleichheitszeichen in der
Dreiecksungleichung. Das liegt daran, dass a und b beide positiv sind.
4. Sei a = 10 und b = −3. Dann gilt
|a + b| = |10 − 3| = 7
|a| + |b| = |10| + | − 3| = 10 + 3 = 13.
Es gilt also das Kleinerzeichen 7 < 13 in der Dreiecksungleichung, was daran liegt, dass a und b
unterschiedliche Vorzeichen haben.
Das Rechnen mit Ungleichungen soll jetzt mit dem Rechnen mit dem Betrag kombiniert werden.
Beispiel: Wir fragen nach allen x, für die gilt |x − 2| ≤ 4. Wir müssen zwei Fälle unterscheiden.
1. Fall: x − 2 ≥ 0. Dann gilt
|x − 2| = x − 2 ≤ 4
x ≤ 6.
2. Fall x − 2 < 0. Dann gilt
|x − 2| = 2 − x ≤ 4
−x ≤ 2 =⇒ x ≥ −2.
Insgesamt gilt also −2 ≤ x ≤ 6. Dieses Ergebnis erhält man auch durch Betrachtung auf der Zahlengeraden, weil −2 und 6 gerade den maximalen Abstand 4 von der Zahl 2 haben.
11
2.1 Potenzen mit ganzzahligen Exponenten
2 Potenzen, Wurzeln und Logarithmen
2.1 Potenzen mit ganzzahligen Exponenten
Ähnlich wie man für die Summe von n gleichen Zahlen a + ... + a auch na schreiben kann, führen wir
jetzt eine entsprechende Bezeichnung für das Produkt ein. Wir setzen für jede reelle Zahl a und jede
natürliche Zahl n
an = a| · a {z
· ... · a} .
(4)
n Faktoren
Dieser Ausdruck wird gelesen als a hoch n. an heißt die n−te Potenz von a. a ist die Basis und n
heißt der Exponent. Wir erweitern jetzt diesen Begriff auf negative Potenzen und auf die Potenz mit
Exponenten Null. Zunächst setzen wir für a 6= 0
a0 = 1
und für n = 1, 2, ...
a−n =
(5)
1
1 1
· · ... ·
a}
|a a {z
n Faktoren
Beispiele: 1.
(−2)4 = (−2) · (−2) · (−2) · (−2) = 16
.
2.
(2a − b)4 = (2a − b) · (2a − b) · (2a − b) · (2a − b)
= 16a4 − 32a3 b + 24a2 b2 − 8ab3 + b4 .
3.
x −3 y −2 =
1
.
x 3y 2
Addieren und subtrahieren lassen sich Potenzen nur, wenn sie in der Basis und im Exponenten übereinstimmen.
Beispiel:
7x 3 + 3x 2 + 6x − 1 − (2x 3 − x 2 + x − 7)
= 5x 3 + 4x 2 + 5x + 6
Wir betrachten jetzt Produkte und Quotienten von Potenzen. Es gilt
an bn = a| · a{z· · · a} · b
| · b{z· · · b}
n Faktoren
n Faktoren
= (ab) · (ab) · · · (ab) = (ab)n .
|
{z
}
n Faktoren
Eine entsprechende Aussage ergibt sich, wenn b durch
folgende Aussage
1
b
ersetzt wird. Damit erhalten wir insgesamt
Potenzen mit gleichen Exponenten werden multipliziert (dividiert), indem man die Basen multipliziert
(dividiert) und die Exponenten unverändert läßt. Ein Bruch wird potenziert, indem man Zähler und
Nenner potenziert und die entsprechenden Potenzen dividiert.
an bn = (ab)n
an
a n
=
(
) .
bn
b
12
2.1 Potenzen mit ganzzahligen Exponenten
Beispiele: 1.
(−2ab)4 = (−2)4 a4 b4 = 16a4 b4
2.
(q − 1)3 (q + 1)3 = ((q − 1)(q + 1))3 = (q 2 − 1)3
3.
2x−3y 4
4
4x 2 −9y 2
8
2x−3y
4
4x 2 −9y 2
8
4 =
=
!4
=
8(2x − 3y )
4(4x 2 − 9y 2 )
2(2x − 3y )
(2x − 3y )(2x + 3y
4
=
4
2
2x + 3y
4
.
Nachdem wir oben die Multiplikation und Division von Potenzen mit gleichem Exponenten betrachtet
hatten, wollen wir jetzt Potenzen mit gleicher Basis untersuchen. Es gilt für natürliche Zahlen m und
n
an am = |a · a {z
· ... · a} · a| · a {z
· ... · a}
n Faktoren
m Faktoren
m+n
= |a · a {z
· ... · a} = a
.
n+m Faktoren
Also haben wir
an am = an+m .
(6)
Es läßt sich zeigen, dass diese Aussage erhalten bleibt, wenn eine oder beide der Zahlen m, n negativ
sind. Außerdem ergibt sich durch mehrfache Anwendung von (6), dass das Potenzieren einer Potenz
der Potenz mit dem Produkt der Exponenten entspricht, d.h. es gilt
(am )k = ak·m .
Damit haben wir für ganzzahlige Exponenten folgende Potenzgesetze erhalten.
Potenzen mit gleicher Basis werden multipliziert, indem die Exponenten addiert werden. Sie werden
dividiert, indem die Exponenten subtrahiert werden. Eine Potenz wird potenziert, indem die Exponenten multipliziert werden. Es gelten also für alle ganzen Zahlen m, n und p die Potenzgesetze
an am = an+m
(an )p = an·p
(7)
Beispiele: 1.
x −3 y −2 =
1 1
1
· 2 = 3 2
3
x y
x y
2. Der Bruch
x 2 y −3 z 5
u −2 v −1
soll so umgeformt werden, dass keine Potenzen mit negativen Exponenten vorkommen.
x 2 y −3 z 5
=
u −2 v −1
=
x 2z 5
u2v
y3
=
1
1
u2 v
2
2 5
u vx z
y3
13
·
x 2z 5
y3
2.2 Binomialkoeffizient, binomischer Lehrsatz
2.2 Binomialkoeffizient, binomischer Lehrsatz
2.2.1 Binomial-Koeffizienten
Wir wollen untersuchen, auf wie viele verschiedene Weisen man n Objekte anordnen kann. Dazu stellen
wir uns vor, dass diese Objekte nummeriert sind und die Nummern 1, 2, ..., n tragen. Jede Anordnung
der Objekte entspricht dann einer Folge von Zahlen, wobei jede Zahl genau einmal an irgendeiner Stelle
auftritt. Die entsprechenden auftretenden Zahlenfolgen wollen wir in runde Klammern einschließen.
Für n = 1 gibt es nur die eine Folge der Länge 1, die aus der Zahl 1 besteht. Für n = 2 erhalten wir
(1, 2), (2, 1).
(8)
(1, 2, 3), (1, 3, 2), (2.1, 3), (2, 3, 1), (3, 1, 2), (3, 2, 1).
(9)
Für n = 3 ergibt sich
Man sieht, dass sich ausgehend von (1, 2, 3) die anderen Folgen durch Vertauschen von Ziffern ergeben. Diese Vertauschungen nennt man auch Permutationen. Wie viele Permutationen gibt es? Diese
Anzahl wird gegeben durch das Produkt der Zahlen 1, 2, ..., n. Hierfür gibt es einen speziellen Namen.
n! = 1 · 2 · 3 · · · n
heißt n−Fakultät. Als Ergänzung setzt man noch
0! = 1.
Wir prüfen nach, ob n! gerade die Anzahl der Permutationen ist. Für n = 1 ist 1! = 1. Für n = 2 ist
2! = 1 · 2 = 2. Diese Zahl 2 entspricht den beiden Paaren in (8). Die Zahl
3! = 1 · 2 · 3 = 6
entspricht den 6 Tripeln in (9). Wie kommt man zu den Permutationen der Länge 4 ? Diese erhalten
wir aus (9), indem wir die Zahl 4 jedem Tripel hinzufügen. Nehmen wir etwa (2, 3, 1), dann erhalten
wir
(4, 2, 3, 1), (2, 4, 3, 1), (2, 3, 4, 1), (2, 3, 1, 4).
Insgesamt erhalten wir also 6 · 4 = 1 · 2 · 3 · 4 = 24 verschiedene Permutationen. Für n = 5, 6, ..
kann man ähnlich argumentieren, wodurch bewiesen ist, dass n! wirklich die Anzahl der verschiedenen
Permutationen ist.
Ausgehend von den n Objekten wollen wir für ein festes k, 0 ≤ k ≤ n eine Gruppe von k Objekten
zusammenstellen. Mathematisch gesprochen wollen wir aus der Menge {1, ..., n} eine k−elementige
Teilmenge auswählen. Bei einer Menge, die immer durch geschweifte Klammern symbolisiert ist,
kommt es nicht darauf an, in welcher Reihenfolge die Elemente in den Klammern aufgeführt sind. Es
ist nur wichtig, ob die Elemente zu dieser Menge gehören oder nicht. So ist z.B.
{1, 2, 3} = {1, 3, 2} = {2, 1, 3}
= {2, 3, 1} = {3, 1, 2} = {3, 2, 1}.
Wie kommen wir zur Anzahl der k−elementigen Teilmengen, die wir mit A bezeichnen wollen ?
Haben wir die Teilmenge {l1 , .., lk } ausgewählt, so bleiben noch die Zahlen m1 , ..., mn−k übrig. Bauen
wir hiermit eine Permutation auf, so ergibt sich
(l1 , .., lk , m1 , ..., mn−k ).
14
2.2 Binomialkoeffizient, binomischer Lehrsatz
Vertauschen wir die li unter sich und die kj unter sich, ändert sich hinsichtlich der ausgewählten
Menge nichts. Weil wir so durch Auswahl einer Menge und anschließende Permutationen in der Menge
{l1 , .., lk } und der Restmenge {m1 , ..., mn−k } alle Permutationen erhalten, ergibt sich
A · k! · (n − k)! = n!
n!
.
k! · (n − k)!
Dieser Ausdruck heißt Binomialkoeffizient und wird durch kn bezeichnet, gelesen n über k. Es gilt
also
n!
n
, k = 0, 1, ..., n.
k =
k! · (n − k)!
A =
Der Binomialkoeffizient gibt die Anzahl der verschiedenen k−elementigen Teilmengen einer Menge
vom Umfang n.
Aus der Definition des Binomial-Koeffizienten ergibt sich unmittelbar die folgende Symmetriebeziehung
n
n
=
k
n−k .
Beispiel: Sei n = 5 und k = 2. Dann gibt es die 10 zweielementigen Teilmengen
{1, 2}, {1, 3}, {1, 4}, {1, 5}, {2, 3},
{2, 4}, {2, 5}, {3, 4}, {3, 5}, {4, 5}.
Andererseits gilt
1·2·3·4·5
4·5
5!
=
=
= 10.
2! · 3!
1·2·1·2·3
2
Für konkrete Rechnungen mit dem Binomial-Koeffizienten formen wir diesen noch etwas um, indem
wir die Fakultäten explizit als Produkt hinschreiben und dann in dem entstehenden Bruch kürzen
5
2
n
k
=
n!
k! · (n − k)!
1 · 2 · 3 · · · (n − k) · (n − k + 1) · · · n
=
1 · 2 · 3 · · · (n − k) · 1 · 2 · 3 · · · k
n · (n − 1) · · · (n − k + 1)
.
=
1·2·3···k
=
Beispiel:
18 · 17 · 16 · 15
= 3060
1·2·3·4
101 · 100 · 99
101
=
= 16650
3
1·2·3
18
4
=
Wir betrachten eine Anwendung auf das Lottospiel. Wie viele Möglichkeiten gibt es, aus 49 Zahlen 6
Zahlen auszuwählen? Das sind
49
6
=
49 · 48 · 47 · 46 · 45 · 44
= 13983816
1·2·3·4·5·6
Möglichkeiten. Damit ist die Wahrscheinlichkeit für einen richtigen 6−er Tipp 1/13983816, also sehr
klein.
15
2.2 Binomialkoeffizient, binomischer Lehrsatz
Abschließend wollen wir die Beziehung zum Pascalschen Dreieck herstellen, mit dessen Hilfe man sehr
einfach die ersten Binomial-Koeffizienten berechnen kann. Die Spitze des Pascalschen Dreiecks lautet
1
1
1
1
1
1
2
3
4
1
3
6
1
4
1
Die Bildungsvorschrift besagt, dass die Zahl in der nächsten Zeile gerade die Summe der beiden Zahlen
ist, die in der vorigen Zeile über dieser Zahl stehen. Durch direkte Berechnung von kn für n = 1, 2, 3, 4
erkennt man, dass die Zahlen im obigen Dreieck gerade die entsprechenden Binomial-Koeffizienten
sind. Dass die Bildungsvorschrift für die Binomial-Koeffizienten auch allgemein gilt, erkennt man so
n
k
+
n
k+1
n!
n!
+
k! · (n − k)! (k + 1)! · (n − (k + 1))!
n!
1
1
=
(
+
)
k! · (n − k − 1)! n − k
k +1
n!
k +1+n−k
=
·
k! · (n − k − 1)! (n − k)(k + 1)
(n + 1)!
n+1
=
= k+1
.
(k + 1)! · (n − k)!
=
2.2.2 Binomischer Lehrsatz
Wir haben schon früher die binomischen Formeln kennen gelernt. Diese wollen wir jetzt auf höhere
Potenzen verallgemeinern. Dazu betrachten wir zunächst Spezialfälle. Durch direktes Ausmultiplizieren
erhält man
(a + b)2 = a2 + 2ab + b2
(a + b)3 = a3 + 3a2 b + 3ab2 + b3
(a + b)4 = a4 + 4a3 b + 6a2 b2 + 4ab3 + b4 .
Wir erkennen sofort eine Gesetzmäßigkeit. In den Summen auf der rechten Seite stehen Terme der
Form an b0 , an−1 b, ..., a1 bn−1 , bn a0 , die noch mit Koeffizienten behaftet sind. Durch Vergleich mit dem
oben angegebenen Pascalschen Dreieck erkennt man, dass dies gerade die Binomial-Koeffizienten
sind. Diese Aussage gilt nun nicht nur bis n = 4, sonders ist allgemein gültig. Will man
(a + b)n = (a + b) · (a + b) · · · (a + b)
berechnen, so muss man jeden Summanden jeder Klammer mit jedem Summanden jeder anderen
Klammer multiplizieren. Da es beim Produkt nicht auf die Reihenfolge ankommt, muss man also für
festes k von den n Klammern k Klammern auswählen, daraus a nehmen und aus den restlichen
Klammern b entnehmen und die ausgewählten Größen multiplizieren. Das gibt dann ak bn−k . Hierfür
gibt es kn Auswahlmöglichkeiten.
Binomischen Lehrsatz: Für alle reellen Zahlen a, b und alle natürlichen Zahlen n = 1, 2, .. gilt
(a + b)n =
Pn
n
k=0 k
16
k n−k
a b .
2.3 Potenzen mit rationalen und irrationalen Exponenten
Beispiele: 1. Es gilt
6
0
6
4
= 6, 62 = 15,
= 15, 65 = 6, 66 = 1.
= 1,
6
1
6
3
= 20
Damit folgt
(a + b)6 = a6 + 6a5 b + 15a4 b2 + 20a3 b3 + 15a2 b4 + 6ab5 + b6
2.
(2u − 3v )4 = (2u)4 + 4(2u)3 (−3v ) + 6(2u)2 (−3v )2 + 4(2u)(−3v )3 + (−3v )4
= 16u 4 − 96u 3 v + 216u 2 v 2 − 216uv 3 + 81v 4
2.3 Potenzen mit rationalen und irrationalen Exponenten
Wir starten mit einem Beispiel aus der Zinseszinsrechnung. Jemand hat den Betrag von 13000 Euro
mit einem Zinssatz von 3% angelegt. Dann besitzt er nach einem Jahr (in Euro)
13000 + 3% von 13000
= 13000(1 + 0, 03) = 13390.
Er besitzt nach k Jahren 13000(1 + 0, 03)k Euro. Allgemein gilt folgende Aussage: Ist K0 das Anp
fangskapital (in Euro) und ist der Zinssatz p %, mit q = 1 + 100
, so besitzt man nach n Jahren
Kn = K0 q n
Euro. Wir wollen jetzt aus dem Anfangskapital und dem Endkapital den Zinssatz p errechnen. Es sei
bekannt, dass K0 = 13000 gilt und das Endkapital nach 6 Jahren den Wert
K6 = 16929, 38
hat. Um den Zinssatz p zu ermitteln, müssen wir zunächst q bestimmen. Es gilt
q 6 · 13000 = 16929, 38
16929, 38
= 1, 30226.
q6 =
13000
Wir müssen jetzt diese Gleichung nach q auflösen, also das Potenzieren umkehren. Das führt zum
Begriff der Wurzel.
√
Die n−te Wurzel aus b ≥ 0 (geschrieben n b) ist diejenige nicht negative
Zahl, deren n−te Potenz
√
n
n
den Wert b ergibt. Die Auflösung von a = b (b ≥ 0) nach a liefert b oder
√
n
an = b ⇔ a = b für b ≥ 0.
b heißt der Radikand, n der Wurzelexponent und a der Wurzelwert.
Aus der Definition der Wurzel ergibt sich sofort folgende Rechenregel
√
√ √
n
n
c · d = n c · d.
Wir kombinieren jetzt den Begriff der Wurzel mit dem der Potenz, indem wir eine einheitliche Bezeichnung einführen. Wir setzen für b ≥ 0
√
1
n
bn = b
17
2.4 Logarithmen
und führen für alle ganzen Zahlen m, n > 0 die gebrochene Potenz durch
√
m
n
bn =
bm und
m
1
b− n = √
n
bm
ein. Es läßt sich nun zeigen, dass die Potenzgesetze (7) erhalten bleiben.
Wir haben bisher die Potenz bp für rationale p erklärt. Weil man jede reelle Zahl p durch eine Folge
rationaler Zahlen p1 , p2 , ... approximieren kann, also limn→∞ pn = p gilt, setzen wir
bp = lim bpn .
n→∞
Im Sinne einer strengen mathematischen Herleitung müßte gezeigt werden, dass dieser Limes tatsächlich
existiert und von der approximierenden Folge unabhängig ist. Außerdem läßt sich zeigen, dass die Potenzgesetze (6) auch für alle reellen Zahlen x, y als Exponenten statt m und n richtig bleiben.
Obwohl die allgemeine Potenz bx später noch systematisch als Funktion von x untersucht wird,
bemerken wir bereits jetzt eine wichtige Eigenschaft. Jede positive Potenz einer Zahl b ≥ 1 ist wieder
größer oder gleich 1. Ebenso ist jede negative Potenz einer Zahl b ≤ 1eine Zahl zwischen 0 und 1.
Damit erhalten wir für b ≥ 1 folgende Eigenschaft der Potenzfunktion
bx > 1 für x > 0
b0 = 1
bx < 1 für x < 0.
(10)
Potenzgesetze: Sind a, b positive Zahlen und x, y , p reelle Zahlen, so gilt
bx · by = bx+y ,
(a · b)x = ax · bx
(bx )p = bx·p .
(11)
Potenzen mit gleicher Basis werden multipliziert, indem die Exponenten addiert werden. Potenzen
mit gleichen Exponenten werden multipliziert, indem die Basen multipliziert werden. Eine Potenz wird
potenziert, indem die Exponenten multipliziert werden.
Wegen a0 = 1 erhalten wir aus der ersten Beziehung in (11) mit y = −x
b−x =
Beispiele: 1.
1
.
bx
√
√
√
√
1
1
10
21
7
21
3
b · b = b 3 · b 7 = b 21 = b10 = ( b)10
2.
√
7
3
3
x3
x7
− 14
7
√
=
1 = x
4
x
x4
√
12−7
5
28
= x 28 = x 28 = x 5 .
2.4 Logarithmen
Zur Motivierung des Begriffs des Logarithmus gehen wir von einem Beispiel der Zinseszinsrechnung
aus. Wie lange muss man 10000 Euro zu 5, 1% anlegen, um 16000 Euro zu erhalten. Wir suchen also
die Zahl x mit
10000 · 1, 051x = 16000
18
2.4 Logarithmen
oder mit b = 1, 051
16000
= 1, 6.
(12)
10000
Wir wollen also jetzt nicht wie bei den Wurzeln nach der Basis b auflösen, sondern einen geeigneten
Exponenten x finden.
bx =
Denjenigen Exponenten x, mit dem man die Basis b > 0, b 6= 1 potenzieren muss, um a zu erhalten,
nennt man den Logarithmus von a zur Basis b. Man schreibt für diesen Exponenten x = logb a. Es
gilt also
bx = a
b
logb a
= a
⇔
und
x = logb a
(13)
x
logb (b ) = x.
Beispiele: 1.
log10 100 = 2, weil 102 = 100
2.
log5 125 = 3, weil 53 = 125
3.
1
1
1
1
log8 0, 5 = − , weil 8− 3 = √
= = 0, 5
3
3
2
8
Die Logarithmen im obigen Beispiel konnten wir nur angeben, weil man den gesuchten Exponenten,
also den Logarithmus, leicht erraten kann. Um die allgemeine Situation zu behandeln, untersuchen
wir, wie Logarithmen mit verschiedenen Basen miteinander zusammenhängen. Es seien b1 , b2 zwei
positive Zahlen, die uns als Basen für Logarithmen dienen sollen. Dann gilt nach der Definition des
Logarithmus
logb a
logb b2
a = b2 2
und b2 = b1 1 .
Also
log b logb a
(logb b2 )(logb2 a)
2
2
b
a = b1 1
= b1 1
.
Das ergibt
logb1 a = (logb2 a)(logb1 b2 ).
(14)
Wir betrachten jetzt spezielle Basen für Logarithmen. Zunächst sei b = 10. Die zugehörigen Logarithmen nennt man die dekadischen Logarithmen und bezeichnet sie einfach mit log . Es gilt also
a = 10log a .
1
= −1, log 100 = 2, .... Weiterhin ergibt sich
Speziell erhalten wir hieraus log 1 = 0, log 10 = 1, log 10
aus (14) mit b2 = b und b1 = 10
log a = (logb a)(log b)
log a
.
logb a =
log b
(15)
Wir betrachten jetzt eine sehr spezielle Zahl, nämlich die Eulersche Zahl e, als Basis für den Logarithmus. Zunächst soll e motiviert werden. Dazu stellen wir uns vor, dass jemand bei einer Geldanlage
von 1000 Euro einen Zins von 100% bekommt. Dann hat nach einem Jahr (in Euro)
(1 + 1)1 · 1000 = 2 · 1000.
19
3.1 Definition und Darstellung von reellen Funktionen
Stellen wir uns vor, dass monatlich mit (100/12)% verzinst wird. Dann hat der Geldanleger nach
einem Jahr
1
(1 + )12 · 1000 Euro = 2, 61303 · 1000 Euro.
12
Wird jetzt täglich verzinst, so ist der Betrag
(1 +
1 365
) · 1000 Euro = 2, 71456 · 1000 Euro.
365
Vergleicht man die erhaltenen Faktoren, so sieht man, dass sich diese Faktoren der Eulerschen Zahl
e nähern. Man kann nachweisen, dass folgende Grenzbeziehung besteht
1
lim (1 + )n = e = 2, 71828183... .
n→∞
n
Nimmt man diese Zahl als Basis, so nennt man den zugehörigen Logarithmus den natürlichen Logarithmus und bezeichnet ihn mit ln . Die Werte von ln a kann man im Allgemeinen nur mit numerischen
Methoden ermitteln, die in jedem Taschenrechner implementiert sind.
Wir wollen jetzt wichtige Rechenregeln angeben, die für jeden Logarithmus gültig sind und sich aus
den Potenzgesetzen 11 ergeben.
Logarithmengesetze: Für positive Zahlen x, y eine positive Basis b 6= 1 und jede reelle Zahl p gilt
logb (x · y ) = logb x + logb y
logb ( yx ) = logb x − logb y
logb (x p ) = p · logb x
Obwohl die Verwendung der zunächst etwas künstlichen Basis e unnötig kompliziert erscheint, hat
gerade der natürliche Logarithmus eine zentrale Stellung in der Mathematik. Deshalb und weil man
durch die einfache Umrechnung in (15) den Logarithmus zur Basis a auf den natürlichen Logarithmus
zurückführen kann, arbeitet man eigentlich nur mit dem natürlichen Logarithmus und verwendet dabei
die Beziehungen
bx = e x·ln b und ln(bx ) = x ln b,
(16)
die sich aus der Rechenregel (15) ergeben.
Beispiel: Wir wollen zu dem einführenden Beispiel zurückkehren und die Gleichung (12) lösen. Durch
Logarithmieren erhält man mit Hilfe von (16)
x ln b = ln 1, 6
ln 1, 6
= (Taschenrechner)
x =
ln 1, 051
= 9, 45.
Bei einem Prozentsatz von 5, 1 benötigt man 9, 45 Jahre, damit sich das Kapital von 1000 Euro auf
1600 Euro erhöht.
3 Reelle Funktionen
3.1 Definition und Darstellung von reellen Funktionen
In unzähligen Situationen des täglichen Lebens und in der Wissenschaft hängen bestimmte Größen
(Variablen) von anderen Größen (Variablen) ab und das Ziel der Untersuchungen besteht gerade
20
3.1 Definition und Darstellung von reellen Funktionen
darin, diese Abhängigkeit zu ermitteln, um damit Gesetzmäßigkeiten in der Physik, Technik oder der
Ökonomie zu formulieren. Innermathematisch dienen Funktionen zum Aufbau eines mathematischen
Apparates, mit dessen Hilfe sich z.B. geometrische Zusammenhänge beschreiben lassen.
Beispiele
1. Unter fixierten Bedingungen hängt der Energieverbrauch einer Anlage von der Zeit ab.
2. Der Bremsweg eines bestimmten PKW in Abhängigkeit von der Geschwindigkeit.
3. Die Größe eines Rechtecks in Abhängigkeit von der Länge a und der Breite b.
Typisch für die obigen Situationen ist folgende Konstellation. Gegeben ist eine bestimmte Menge,
z.B. die Menge aller reellen Zahlen und eine Zuordnungsvorschrift, die jedem Objekt dieser Menge
eine reelle Zahl zuordnet.
Gegeben sei eine Menge X und eine Teilmenge D ⊆ X . Wenn jedem x ∈ D in eindeutiger Weise eine
reelle Zahl y zugeordnet ist, so sagt man, y ist eine Funktion von x, und man schreibt y = f (x). Die
Menge D, oder auch durch D(f ) bezeichnet, heißt die Definitionsmenge oder der Definitionsbereich.
Die Menge W(f ), die aus allen möglichen Funktionswerten besteht, heißt der Wertebereich von f .
Die Größe x heißt die unabhängige Variable oder das Argument, die Größe y heißt die abhängige
Variable oder der Funktionswert und f ist das Symbol für die Zurodnungsvorschrift. Um den Definitionsbereich hervorzuheben schreiben wir auch
f : D → R,
was bedeutet, dass jedem x ∈ D durch die Vorschrift f eine reelle Zahl zugeordnet wird.
Ist der Definitionsbereich der Funktion f eine Teilmenge der reellen Achse, so ist f oft geschlossen
durch analytische Ausdrücke definiert, die aber nicht für alle x sinnvoll sind. Unter dem natürlichen
Definitionsbereich D(f ) versteht man dann die Menge aller der x, für die f (x) sinnvoll definiert ist.
Beispiele: 1. Wir betrachten die Funktion f (x) = x 2 − 1. Dieser Ausdruck ist für alle reellen Zahlen x
definiert und deshalb stimmt der natürliche Definitionsbereich D(f ) mit der gesamten reellen Achse
überein. Die durch f gegebene Zuordnungsvorschrift besagt, dass man zur Berechnung des Funktionswertes das Argument x quadrieren muss und dann muss man noch 1 subtrahieren. Weil x 2 stets
nicht negativ ist, gilt f (x) = x 2 − 1 ≥ −1. Der Wertebereich W(f ) dieser Funktion ist also
[−1, ∞) = {x : x ∈ R, x ≥ −1}.
Kommen nun wirklich alle Werte y ∈ [−1, ∞) als Funktionswerte von f vor? Sei y irgendeine Zahl
mit y ≥ −1. Wir fragen nach einer Lösung der Gleichung
x2 − 1 = y
oder
x 2 = y + 1.
√
Weil y + 1 ≥ 0 gilt, können wir die Wurzel ziehen und erhalten x = y + 1. Durch Einsetzen erkennt
man nochmals, dass dieses x tatsächlich eine Lösung der Gleichung liefert
p
( y + 1)2 − 1 = y + 1 − 1 = y .
Insgesamt haben wir also W(f ) = [−1, ∞) erhalten.
21
3.1 Definition und Darstellung von reellen Funktionen
1
2. Sei f (x) = x−1
. Der natürliche Definitionsbereich D(f ) ist hier die reelle Achse mit Ausnahme des
Punktes x = 1, weil hier der Nenner verschwindet und der Bruch nicht definiert ist. Zur Bestimmung
1
des Wertebereichs lösen wir die Gleichung y = x−1
nach x auf. Es gilt
y (x − 1) = 1
yx − y = 1
1+y
x =
.
y
Dieser Ausdruck ist für alle y 6= 0 definiert. Damit ist W(f ) die Menge aller reellen Zahlen mit
Ausnahme des Nullpunktes.
√
3. Sei f (x) = x. Hier besteht D(f ) aus allen nicht negativen reellen Zahlen und der Wertebereich
besteht auch aus
dieser Zahlenmenge.
√
4
4. Sei f (x) = x 2 − 1. Der natürliche Definitionsbereich D(f ) besteht aus allen reellen Zahlen x,
die der Bedingung x 2 − 1 ≥ 0 genügen, weil nur für diese x der Radikand nicht negativ und somit die
Wurzel definiert ist. x 2 − 1 ≥ 0 ist äquivalent mit |x| ≥ 1 und damit besteht D(f ) aus der Vereinigung
von zwei Intervallen
D(f ) = (−∞, −1] ∪ [1, ∞).
Aus der reellen Achse musste also das offene Intervall (−1, 1) entfernt werden.
In vielen Fällen sind die betrachteten Funktionen nicht durch einen geschlossenen analytischen Ausdruck für alle Argumente definiert. Dann ist der Definitionsbereich in mehrere Teilbereiche zerlegt, für
die dann getrennt definierte Zuordnungsvorschriften oder analytische Ausdrücke zur Berechnung der
Funktionswerte zu verwenden sind. Vorbereitend erinnern wir an verschiedenen Typen von Intervallen
der reellen Achse. Hierzu seien a, b fest gewählte reelle Zahlen.
[a, b] = {x : a ≤ x ≤ b},
(a, b] = {x : a < x ≤ b},
[a, b) = {x : a ≤ x < b}
(a, b) = {x : a < x < b}
Diese Intervalle haben alle die endliche Länge b − a. Die Zeichen [ bzw. ] symbolisieren, dass die
entsprechenden Randpunkte zum Intervall gehören sollen. Die Intervalle sind also dort abgeschlossen.
Dagegen symbolisieren ( bzw. ), dass die entsprechenden Randpunkte nicht zum Intervall gehören
sollen. Wir betrachten auch unendliche Intervalle der Form
(−∞, a) = {x : x < a},
(b, ∞) = {x : x > b},
(−∞, a] = {x : x ≤ a}
[b, ∞) = {x : x ≥ b}.
Allgemein wird ein Intervall immer mit dem Buchstaben I bezeichnet und ist von einem der obigen
acht Typen.
Beispiele: 1. Es sei
√
x 2 − 1 für |x| > 1
f (x) =
(17)
x2 − 1
für |x| ≤ 1.
Bei dieser Funktion gibt es zwei verschiedene Zuordnungsvorschriften. Im Bereich |x| > 1 oder x 2 > 1
ist die erste Zuordnungsvorschrift sinnvoll, sie ist aber nicht sinnvoll im zweiten Bereich. In diesem
gilt die zweite Zuordnungsvorschrift, die aber auch im ersten Bereich sinnvoll ist, dort aber nicht zur
Konstruktion der Funktion f eingesetzt wird.
2. Für ein Intervall I setzen wir
1 für x ∈ I
f (x) =
0 für x ∈
/ I.
Diese Funktion heißt die Indikatorfunktion des Intervalls I. Der Name besagt, dass f anzeigt, ob das
Argument x in dem Intervall I liegt oder nicht.
22
3.1 Definition und Darstellung von reellen Funktionen
3. Wir wollen jetzt eine stückweise konstante Funktion definieren, betrachten dazu eine Zerlegung
des Intervalls [0, 1] in die disjunkten (durchschnittsfremden) Teilintervalle
1
[0, ),
4
und setzen
1 1
[ , ),
4 2
1 2
[ , ),
2 3

1
für



−1 für
f (x) =
2,
5 für



0, 2 für
x
x
x
x
2
[ , 1]
3
∈ [0, 14 )
∈ [ 41 , 12 )
∈ [ 12 , 23 )
∈ [ 23 , 1].
(18)
Dann ist D(f ) = [0, 1] und die Funktion f nimmt für 0 ≤ x < 41 den Wert 1, für 14 ≤ x < 12 den Wert
−1, für 12 ≤ x < 23 den Wert 2, 5 und schließlich für 23 ≤ x ≤ 1 den Wert 0, 2 an. Mit Hilfe der oben
angegebenen Indikatorfunktion kann man f auch als geschlossene Formel darstellen. Es gilt
f (x) = 1 · I[0, 1 ) (x) + (−1) · I[ 1 , 1 ) (x) + 2, 5 · I[ 1 , 2 ) (x) + 0, 2 · I[ 2 ,1] (x)
4
4 2
2 3
3
= I[0, 1 ) (x) − I[ 1 , 1 ) (x) + 2, 5 · I[ 1 , 2 ) (x) + 0, 2 · I[ 2 ,1] (x).
4
4 2
2 3
3
Wir überprüfen diese Beziehung beispielhaft. Sei x ∈ D(f ) = [0, 1]. Dann liegt x in genau einem
der vier Intervalle. Weil sie disjunkt sind, kann x nicht in zwei Intervallen gleichzeitig liegen. Sei etwa
x ∈ [ 12 , 23 ). Dann gilt I[ 1 , 2 ) (x) = 1 und
2 3
I[0, 1 ) (x) = I[ 1 , 1 ) (x) = I[ 2 ,1] (x) = 0.
4
4 2
3
Das ergibt f (x) = 2, 5.
4. Wir verwenden jetzt die Indikator-Funktionen, um kompliziertere Funktionen zusammenzusetzen.
Es sei
f (x) = xI(−∞,1) (x) + (2x − 1)I[1,3) (x) + (−3x + 14)I(3,∞) (x).
(19)
Ist D eine Teilmenge der reellen Achse, also f auf einem Teilbereich oder der ganzen reellen Achse
definiert, dann ist es vorteilhaft die Funktion graphisch darzustellen, um einen schnellen Überblick
über den Funktionsverlauf zu gewinnen.
Man versteht unter dem Graphen der Funktion f oder dem zu f gehörigen Bild die in das rechtwinklige
Koordinatensystem eingezeichnete Menge der Punkte (x, y ), wobei x ∈ D(f ) und y = f (x) gilt. Der
Graph ist also die Kurve (x, f (x)), wenn x die Menge D(f ) durchläuft.
Um den Graphen dieser Funktion zu finden, stellt man zunächst für ausgewählte Argumente eine
Wertetabelle auf und versucht dann den Verlauf des Graphen zu skizzieren. Das wird um so besser
gelingen, je mehr Punkte in die Wertetabelle aufgenommen werden. Gegebenenfalls muss man die
Wertetabelle noch verfeinern. Wie man besonders interessante Punkte des Graphen findet, z.B. Maxima, Minima, Wendepunkte und Schnittpunkte mit der x−Achse (Nullstellen), werden wir später
erörtern.
An einem ersten einfachen Beispiel wollen wir demonstrieren, wie man grob den Graphen skizzieren
kann.
Beispiel: Wir betrachten die Funktion f (x) = x 2 − 1, wählen die x Werte −2; −1; −0, 5; 0; 0, 5; 1; 2
aus und betrachten die zugehörige Wertetabelle.
x
y
−2
3
−1
0
−0, 5
0
0, 5
1 2
−0, 75 −1 −0, 75 0 3
Aus dieser Tabelle erhalten wir 7 Punkte auf dem Graphen mit den Koordinaten (−2, 3), (−1, 0),
(−0, 5, −0, 75), (0, −1), (0, 5, −0, 75), (1, 0), (2, 3). Die Punkte tragen wir in das rechtwinklige
x − y Koordinatensystem ein und erhalten durch Verbinden der Punkte die folgende Darstellung.
23
3.2 Qualitative Eigenschaften reeller Funktionen
Das folgende Bild zeigt den Graphen der Funktionen (18).
Schließlich stellen wir (19) graphisch dar.
Wir haben bisher gesehen, dass eine auf einem Intervall definierte Funktion stets eine gewisse Kurve in
der Ebene produziert. Wir wollen jetzt überlegen, ob zu jeder Kurve der Ebene auch eine sie erzeugende
Funktion gehört.
Beispiel: Wir untersuchen die Kurve, die durch folgendes Bild gegeben ist.
Aus dieser Darstellung ist ersichtlich, dass zum Wert x = 1 zwei Punkte der Kurve, nämlich (1, 1)und
(1, 3) gehören. Nach der Definition einer Funktion gehört aber zu jedem x Wert genau ein y Wert.
Diese Forderung ist hier verletzt.
Sind eine Funktion f und ein Punkt (x, y ) in der Ebene gegeben, so entsteht die Frage, ob der Punkt
(x, y ) zum Funktionsgraphen gehört. Das ist genau dann der Fall, wenn y = f (x) gilt.
Beispiel: Welche der Punkte (0, −1), (2, 4) , (−1, −1), (1, −1), (3, 24) liegen auf dem Graphen von
f (x) = x 3 − x − 1 ?
f (0) = −1,
f (2) = 5,
f (−1) = −1,
f (1) = −1,
f (3) = 23,
(0, −1) liegt auf dem Graphen.
(2, 4) liegt nicht auf dem Graphen.
(−1, −1) liegt auf dem Graphen.
(1, −1) liegt auf dem Graphen.
(3, 24) liegt nicht auf dem Graphen.
3.2 Qualitative Eigenschaften reeller Funktionen
3.2.1 Beschränktheit
Wir beginnen mit dem Begriff der Beschränktheit.
Die Funktion f : D → R heißt nach oben beschränkt, falls es eine Konstante C1 gibt, mit f (x) ≤ C1
für alle x ∈ D. Entsprechend heißt f nach unten beschränkt, falls es eine Konstante C2 gibt, mit
f (x) ≥ C2 für alle x ∈ D. Schließlich heißt f beschränkt (ohne Zusatz), falls f nach oben und unten
beschränkt ist.
24
3.2 Qualitative Eigenschaften reeller Funktionen
Aus dieser Definition erkennt man, dass die Funktion f genau dann beschränkt ist, wenn die Funktion
|f | nach oben beschränkt ist. Dann gibt es also eine Konstante C mit |f (x)| ≤ C für alle x ∈ D. Die
Funktionswerte liegen dann im Intervall [−C, C] und der Graph der Funktion verläuft in dem Streifen,
der parallel zur x−Achse liegt und für den die entsprechenden y −Werte die Bedingung −C ≤ y ≤ C
erfüllen. Bei nach oben beschränkten Funktionen liegt der Graph unterhalb der Parallelen y = C1 zur
x−Achse und bei nach unten beschränkten Funktionen oberhalb der Parallelen y = C2 zur x−Achse.
Beispiele: 1. Die Funktion f (x) = x 2 ist nach unten beschränkt, weil f (x) ≥ 0 gilt. Sie ist aber nicht
nach oben beschränkt.
2. Wir untersuchen die Funktion
x2
f (x) =
.
1 + x4
Gilt |x| ≥ 1, so ist x 2 ≤ x 4 ≤ 1 + x 4 . Das ergibt |f (x)| ≤ 1. Gilt |x| ≤ 1, so ist x 2 ≤ 1 ≤ 1 + x 4 und
damit |f (x)| ≤ 1. Damit gilt |f (x)| ≤ 1 für alle x und f ist beschränkt.
3. Die Funktion f (x) = x 3 ist weder nach oben, noch nach unten beschränkt. Schränkt man sie aber
auf (−∞, 0] ein, so ist sie dort nach oben beschränkt. Analog ist ihre Einschränkung auf [0, ∞) nach
unten beschränkt.
3.2.2 Monotonie
Wir wollen jetzt Eigenschaften von Funktionen untersuchen, die die geometrische Gestalt des Graphen
beeinflussen. Der erste Begriff betrifft das Wachsen oder Fallen der Funktionswerte mit wachsendem
Argument.
Eine Funktion f mit dem Definitionbereich D ⊆ R heißt monoton wachsend (fallend), falls für alle
˙ Sie heißt streng wachsend (fallend), falls
x1 , x2 ∈ D mit x1 < x2 folgt f (x1 ) ≤ f (x2 ) (f (x1 ) ≥ f (x2 )).
in den letzten Ungleichungen sogar f (x1 ) < f (x2 ) (f (x1 ) > f (x2 ))˙ erfüllt ist.
Beispiel: 1. Wir betrachten die lineare Funktion f (x) = a + bx, wobei a, b feste reelle Zahlen sind
und die Variable x alle Werte aus D(f ) = R annehmen kann. Das Monotonieverhalten von f hängt
entscheidend von b ab. Wir bilden für x1 < x2 die Differenz
f (x2 ) − f (x1 ) = b(x2 − x1 ).
Ist b = 0, dann folgt f (x2 ) − f (x1 ) = 0 und f ist die konstante Funktion, die den konstanten Wert
a für alle x annimmt. Diese Funktion ist sowohl monoton wachsend als auch monoton fallend. Jetzt
sei b > 0. Wegen x2 − x1 > 0 ergibt sich f (x2 ) − f (x1 ) > 0 und f ist streng monoton wachsend. Ist
jetzt b < 0, so ergibt sich f (x2 ) − f (x1 ) < 0 und f ist streng monoton fallend.
2. Wir betrachten die Funktion f (x) = x 2 mit dem Definitionsbereich D(f ) = R. Sei x1 = 0 und
x2 = 1, dann folgt f (x1 ) < f (x2 ). Das deutet scheinbar auf eine monoton wachsende Funktion hin.
Jetzt betrachten wir x1 = −1 und x2 = 0. Dann gilt x1 < x2 und f (x1 ) > f (x2 ). Damit ist f weder
monoton wachsend noch monoton fallend. Schränkt man jedoch den Definitionsbereich auf [0, ∞)
ein, so ist die Funktion dort streng monoton wachsend. Ebenso ist sie auf (−∞, 0] streng monoton
fallend. Damit spiegelt die Funktion f (x) = x 2 das typische Verhalten vieler Funktionen wieder. In
bestimmten Intervallen sind sie monoton wachsend, in anderen sind sie monoton fallend. Es liegt also
insgesamt eine gemischte Situation vor.
2. Für festes b > 1 betrachten wir die Funktion f (x) = bx , x ∈ D(f ) = R. Sei x1 < x2 . Es gilt
f (x1 )
b x1
= x2 = bx1 −x2 < 1
f (x2 )
b
25
3.2 Qualitative Eigenschaften reeller Funktionen
wegen (10). Damit erhalten wir
f (x1 ) < f (x2 ),
woraus folgt, dass f streng monoton wachsend ist.
3.2.3 Gerade und ungerade Funktionen
Wir wollen jetzt einen Eigenschaft von Funktionen betrachten, die eine Symmetrie-Beziehung bzw.
eine Antisymmetrie ausdrückt. Sei D ⊆ R symmetrisch, d.h. aus x ∈ D folgt −x ∈ D.
Eine Funktion f : D → R heißt
gerade
wenn f (−x) = f (x),
ungerade wenn f (−x) = −f (x)
für alle x ∈ D gilt.
Diese Eigenschaften lassen sich geometrisch so interpretieren: Bei einer geraden Funktion verläuft der
Graph spiegelbildlich zu y −Achse. Bei einer ungeraden Funktion muss man für x < 0 zusätzlich zum
anderen Vorzeichen übergehen.
Beispiele: 1. Die Funktion
1
f (x) =
1 + x2
ist eine gerade Funktion, weil
f (−x) =
1
1
=
= f (x)
1 + (−x)2
1 + x2
gilt. Das folgende Bild gibt eine Darstellung des Funktionsverlaufs.
2. Die Funktion
g(x) = x 3 − x
ist ungerade, weil
g(−x) = (−x)3 − (−x) = −x 3 + x
= −(x 3 − x) = −g(x)
gilt.
3. Die Funktion
f (x) = x 3 − x 2 + x + 1
ist weder gerade noch ungerade. Man muss zum Nachweis dieser Aussage nur ein x finden, so dass
keine der beiden Bedingungen gilt. Es gilt
f (2) = 7
und
f (−2) = −13 6= f (−1).
26
3.2 Qualitative Eigenschaften reeller Funktionen
3.2.4 Periodische Funktionen
Wir betrachten jetzt eine Eigenschaft von Funktionen, die bei der Beschreibung von Schwingungsvorgängen verwendet wird.
Die Funktion f : R → R heißt periodisch mit der Periode T, falls
f (x + T ) = f (x)
für alle x gilt.
Beispiele: 1. Die Funktion f (x) = sin x ist periodisch mit der Periode T = 2π. Das nächste Bild zeigt
die Funktionen f (x) = sin x (gestrichelte Linie) und f (x) = cos x.
2. Es sei [x] die so genannte Gaußklammer einer reellen Zahl x. Hierbei ist [x] die größte ganze Zahl
k, die kleiner oder gleich x ist. Dann gilt offensichtlich
x − 1 < [x] ≤ x.
Sei g(x) eine auf dem Intervall [0, 1] definierte Funktion. Wir setzen für jede reelle Zahl x
f (x) = g(x − [x]).
Dann ist f eine Fortsetzung von g auf die ganze reelle Achse. Aus der Definition von [x] ergibt sich
[x + 1] = [x] + 1 und deshalb
f (x + 1) = g(x + 1 − [x + 1]) = f (x + 1).
Somit ist f periodisch mit der Periode 1. Das nächste Bild zeigt die Funktion g(x), wenn f (x) = x
für 0 ≤ x < 1 gilt.
3. Die Funktion f (x) = sin x + x ist nicht periodisch. Zum Nachweis bemerken wir, dass eine periodische Funktion, die auf [0, T ] betragsmäßig durch eine Konstante C beschränkt ist, durch die gleiche
Konstante auf der ganzen Achse beschränkt ist. Da die Funktion f in jedem endlichen Intervall beschränkt ist, müsste sie im Falle der Periodizität auch auf der ganzen Achse beschränkt sein, was
nicht der Fall ist.
3.2.5 Stetigkeit
Dem Begriff der Stetigkeit liegt die Frage zu Grunde, ob bei einer gegebenen Funktion kleine Änderungen des Arguments auch nur kleine Änderungen der Funktionswerte zur Folge haben, oder ob es
abrupte Änderungen der Funktionswerte an bestimmten Stellen gibt.
Eine Funktion f : D → R heißt stetig im Punkt x ∈ D , falls für jede Folge xn ∈ D die gegen x strebt
die Beziehung
f (x) = lim f (xn )
(20)
n→∞
gilt. Gilt diese Aussage für alle x ∈ D, so heißt f stetig (auf D).
27
3.2 Qualitative Eigenschaften reeller Funktionen
Die Eigenschaft (20) kann man auch so interpretieren. Liegt der Punkt xe nahe bei x, so muss auch
f (e
x ) nahe dem Wert f (x) sein.
Beispiele: 1. Wir untersuchen die lineare Funktion f (x) = 3x + 4 hinsichtlich möglicher Stetigkeit.
Sei xn eine gegen x strebende Folge. Dann gilt
|f (xn ) − f (x)| = |3xn + 4 − (3x + 4)|
= |3xn − 3x| = 3|xn − x|
Wegen xn → x strebt die rechte Seite gegen Null. Damit strebt auch die linke Seite gegen Null und
es gilt somit limn→∞ f (xn ) = f (x). Eine lineare Funktion ist also in jedem Punkt stetig.
2. Es sei
3
für 0 < x ≤ 3
x
f (x) =
.
x − 1 für x > 3
Wir untersuchen die Stelle x = 3. Es gilt f (3) = 1. Sei xn = 3 + n1 . Dann gilt
1
lim f (xn ) = lim ((3 + ) − 1) = 2 6= f (3).
n→∞
n→∞
n
Damit ist f an der Stelle x = 3 nicht stetig. Hätten wir xn = 3 − n1 gewählt, so wäre limn→∞ f (xn ) =
f (x). Der entscheidende Punkt bei der Stetigkeit ist aber, dass die Limesbeziehung (20) für jede
Folge gelten muss, die gegen x strebt.
Wir wollen jetzt typische Situationen kennen lernen, in denen keine Stetigkeit vorliegt.
Fall 1: Sei x0 ∈ D fest gewählt. Für jede Folge xn → x0 streben die Funktionswerte f (xn ) gegen die
gleiche Zahl A, die aber vom Funktionswert f (x) verschieden ist. In diesem Fall spricht man von einer
hebbaren Unstetigkeit. Die Unstetigkeit an der Stelle x0 lässt sich beheben, wenn man zu der neuen
Funktion
f (x) für x 6= x0
∗
f (x) =
A
für x = x0
übergeht.
Fall 2: f (xn ) strebt nicht gegen die gleiche Zahl für jede Folge xn → x. Dann sind verschiedene Fälle
möglich. Beispielsweise könnte der Fall vorliegen, dass f (xn ) für keine Folge xn → x konvergiert und
z.B. gegen unendlich strebt. In vielen Fällen streben die Folgen f (xn ) gegen unterschiedliche Werte,
wenn man sich entlang unterschiedlicher Folgen dem Wert x nähert. So könnten Folgen, die von links
gegen x streben, einen anderen Limes von f (xn ) nach sich ziehen als Folgen, die von rechts gegen x
streben.
Beispiele: 1. Wir betrachten die Indikator-Funktion des Intervalls [0, 1]
1 für
0≤x ≤1
f (x) = I[0,1] (x) =
.
0 sonst
Offensichtlich sind die kritischen Punkte gerade die Stellen 0 und 1. Es gilt f (1) = 1 und f (1 + n1 ) = 0
strebt nicht gegen f (1). Aber f (1 − n1 ) = 1 strebt gegen f (1).
2. Sei

 0 für x < 0
1
für x = 0 .
f (x) =
 2
1 für x > 0.
Dann strebt für keine Folge xn =
6 0, die gegen Null strebt, die Folge f (xn ) gegen den Funktionswert
f (0) = 12 , obwohl die Folgen f (xn ) selbst konvergieren können, wenn sie jeweils von einer Seite
kommen.
3. Sei
1
f (x) = 2
, x 6= 1, x 6= −1.
x −1
28
3.2 Qualitative Eigenschaften reeller Funktionen
Diese Funktion ist in allen Punkten stetig mit Ausnahme von x = 1 und x = −1. An diesen Stellen
ist der Nenner Null und der Ausdruck x 21−1 nicht definiert. Strebt eine Folge xn gegen 1, so streben
die zugehörigen Funktionswerte gegen unendlich.
An den obigen Beispielen haben wir gesehen, dass gewisse unstetige Funktionen Sprünge haben und
damit zwischen ihrem maximalen Wert und ihrem minimalen Wert gewisse Werte auslassen. Für
stetige Funktionen gilt das nicht.
Zwischenwertsatz: Sei −∞ < a < b < ∞. Ist f im abgeschlossenen Intervall [a, b] stetig, so gibt es
wenigstens eine Stelle x mit a ≤ x ≤ b, globale Minimumstelle genannt, mit
f (x) ≥ f (x)
für alle a ≤ x ≤ b,
und wenigstens eine Stelle x mit a ≤ x ≤ b, globale Maximumstelle genannt, mit
f (x) ≤ f (x)
für alle a ≤ x ≤ b.
Die Funktion f nimmt alle Werte zwischen f (x) und f (x) an, d.h. es gibt für jedes η ∈ [f (x), f (x)]
wenigstens eine Stelle a ≤ ξ ≤ b mit f (ξ) = η.
Aufgrund der oben formulierten Eigenschaften einer stetigen Funktion ist der Graph einer stetigen
Funktion immer eine durchgezogene Linie.
3.2.6 Mittelbare Funktionen
Zur Bildung neuer Funktionen aus gegebenen Funktionen kann man diese mit den üblichen Rechenregeln für Zahlen miteinander verknüpfen. Man kann sie aber auch ineinander einsetzen. Das ist nicht
immer möglich und bedarf einer Präzisierung hinsichtlich der auftretenden Definitions- und Wertebereiche.
Es seien f : D(f ) → R und g : D(g) → R zwei Funktionen mit W(g) ⊆ D(f ). Dann heißt h(x) =
f (g(x)) die Verkettung von f und g.
Die Bedingung W(g) ⊆ D(f ) sichert, dass der Ausdruck f (g(x)) tatsächlich sinnvoll ist.
√
Beispiele: 1. Sei f (x) = x für x ∈ D(f ) = [0, ∞) und g(x) = sin x für x ∈ D(g). Dann ist f (g(x))
nicht für alle x sinnvoll definiert, weil sin x auch negative Werte annehmen kann. Die Bedingung
W(g) ⊆ D(f ) ist nicht erfüllt. Umgekehrt ist aber g(f (x)) immer definiert. Es gilt W(f ) ⊆ D(g) = R.
2. Sei f (x) = e x und g(x) = sin x. Dann sind beide Funktionen auf der ganzen reellen Achse definiert.
Damit ist D(f ) = D(g) = R und die Forderung W(g) ⊆ D(f ) gilt damit automatisch. Man kann also
f (g) bilden und erhält
f (g(x)) = e sin x .
Umgekehrt kann man auch g(f ) bilden und erhält
g(f (x)) = sin(e x ).
So entstehen zwei völlig verschiedene Funktionen. Die Reihenfolge bei der Verkettung ist also entscheidend.
29
3.2 Qualitative Eigenschaften reeller Funktionen
3.2.7 Vererbung qualitativer Eigenschaften
Eine wichtige Frage ist, ob eine bestimmte Eigenschaft, z.B. die Monotonie bei den üblichen Rechenoperationen und bei der Verkettung von Funktionen erhalten bleibt. Wir sprechen dann von der
Vererbung dieser Eigenschaft.
Vererbung der Monotonie: Es seien f und g monoton wachsende Funktionen mit W(g) ⊆ D(f ).
Wir prüfen, ob f (g) wieder monoton wachsend ist. Dazu sei x1 < x2 . Dann gilt
g(x1 ) ≤ g(x2 ).
Weil f monoton wachsend ist, können wir f auf beide Seiten anwenden, ohne die Ungleichung zu
verletzen. Also ergibt sich
f (g(x1 )) ≤ f (g(x2 ))
und damit sehen wir, dass f (g) monoton wachsend ist. Wenn f und g beide monoton fallend sind, so
ist f (g) monoton wachsend. Ist jedoch eine der beiden Funktionen monoton wachsend und die andere
monoton fallend, so ist f (g) monoton fallend.
Sind f , g zwei monoton wachsende Funktionen. Es seien a, b nicht negative Zahlen und h(x) =
af (x) + bg(x). Dann gilt für x1 < x2
h(x1 ) = af (x1 ) + bg(x1 ) ≤ af (x2 ) + bg(x2 ) = h(x2 ).
Damit ist h wieder monoton wachsend. Sind a und b beide nicht positiv, so dreht sich die Ungleichung
um und h ist monoton fallend. Ist eine der Zahlen a, b positiv und die andere negativ, so ist h im
Allgemeinen weder monoton wachsend noch monoton fallend.
Vererbung der Stetigkeit:
Eine wichtige Eigenschaft der Stetigkeit ist, dass diese Eigenschaft bei der Verknüpfung von zwei
oder mehr Funktionen mit Hilfe der Rechenoperationen +, −, · und : erhalten bleibt. Ebenso führt die
Multiplikation mit einer festen Zahl wieder zu einer stetigen Funktion.
Sind f und g stetige Funktionen und a, b reelle Zahlen, so sind
af (x) + bg(x),
f (x) + g(x),
f (x) − g(x)
und
f (x)g(x)
f (x)
stetig. Weiterhin ist g(x)
an allen Punkten stetig, wo g ungleich Null ist. Die Eigenschaft der Stetigkeit
bleibt bei der Verkettung von Funktionen auch erhalten. Wir erinnern zunächst daran, dass nach
(20) die Forderung der Stetigkeit gerade besagt, dass man dass Funktionssymbol und den Limes
vertauschen kann, d.h. es gilt für jede konvergente Folge xn
lim f (xn ) = f ( lim xn ).
n→∞
n→∞
Seien f und g stetige Funktionen mit W(g) ⊆ D(f ). Für eine gegen x konvergente Folge xn setzen
wir yn = g(xn ). Dann folgt aus der Stetigkeit von g : limn→∞ yn = y = g(x) und wir erhalten aus der
Stetigkeit von f
lim f (g(xn )) = f ( lim g(xn ))
n→∞
n→∞
= f ( lim yn ) = f (y ) = f (g(x)).
n→∞
Die Verkettung stetiger Funktionen ist also wieder stetig.
30
3.2 Qualitative Eigenschaften reeller Funktionen
3.2.8 Umkehrfunktion
Im Allgemeinen ordnet eine Funktion unterschiedlichen Argumenten nicht notwendig verschiedene
Funktionswerte zu. Man denke etwa an die Funktion f (x) = x 2 für die gilt f (−3) = f (3) = 9. Gilt
dagegen, dass aus
x1 6= x2 =⇒ f (x1 ) 6= f (x2 ),
(21)
so kann man jedem Funktionswert sein eindeutig bestimmtes Argument zuordnen. Die Bedingung
(21) ist z.B. für streng monotone Funktionen erfüllt.
Ist die Bedingung (21) erfüllt und y = f (x), so heißt die durch g(y ) = x definierte Funktion die
Umkehrfunktion von f .
Es gilt für die Definitions- bzw. Wertebereiche der Funktionen f und g
D(g) = W(f ), W(g) = D(f ),
f (g(y )) = y und g(f (x)) = x.
sowie
Bei der Berechnung einer Umkehrfunktion geben wir uns ein y vor und suchen das x mit f (x) = y ,
wir suchen also die Stelle, wo die Funktion f das Niveau y schneidet. Umgekehrt schneidet die
Umkehrfunktion das Niveau x an der Stelle y . Insgesamt ergibt sich also die Umkehrfunktion durch
Spiegelung an der Geraden y = x.
Beispiele: 1. Sei f (x) = a + bx und b 6= 0, Dann können wir die Gleichung y = a + bx nach x
auflösen und erhalten
y −a
x=
.
b
Also ist die Umkehrfunktion gegeben durch
y −a
.
g(y ) =
b
2. Für f (x) = x 2 mit dem Definitionsbereich D(f ) = R existiert keine Umkehrfunktion, weil z.B. zum
Wert y = 9 die beiden Argumente 3 und −3 führen. Weil f aber auf [0, ∞) und auf (−∞, 0] jeweils
streng monoton sind, kann man für die Einschränkungen der Funktion f getrennte Umkehrfunktionen
√
finden. Für die Einschränkung von f auf D = [0, ∞) existiert die Umkehrfunktion g = y und das
folgende Bild zeigt die Spiegelung g von f an der Geraden y = x. Die durchgezogene Linie ist x 2 und
√
die gestrichelte Linie ist x.
3. Gesucht ist die Umkehrfunktion von
1−x
, D(f ) = (−3, ∞).
x +3
Wir untersuchen zunächst den Wertebereich. Nähert sich x von rechts dem Wert −3 so strebt f gegen
unendlich. Für x = 1 ist f (x) Null und für x → ∞ strebt f (x) gegen −1. Damit gilt W(f ) = (−1, ∞).
Die Auflösung der Gleichung y = f (x) nach x ergibt
f (x) =
1−x
=⇒ y (x + 3) = 1 − x
x +3
=⇒
xy + 3y = 1 − x
1 − 3y
x(y + 1) = 1 − 3y =⇒ x =
y +1
y
=
Damit lautet die Umkehrfunktion
g(y ) =
1 − 3y
,
y +1
D(g) = (−1, ∞).
31
4.1 Polynome und rationale Funktionen
4 Elementare Funktionen
4.1 Polynome und rationale Funktionen
Eine flexible und mathematisch einfach handhabbare Klasse von Funktionen bilden die ganzen rationalen Funktionen oder Polynome. Jede Funktion
Xn
ai x i = a0 + a1 x + ... + an x n
f (x) =
i=0
heißt Polynom. Die reellen Zahlen ai heißen die Koeffizienten und der Exponent der höchsten vorkommenden Potenz heißt der Grad (also n falls an 6= 0).
Beispiele: 1.
f (x) = 2x 2 − x + 1, also a0 = 1, a1 = −1, a2 = 2, Grad 2
2.
f (x) = −x + 4,
a0 = 4, a1 = −1, Grad 1
also
3.
f (x) = 6,
also
a0 = 6, Grad 0.
Wir untersuchen jetzt, ob Polynome die oben diskutierten qualitativen Eigenschaften besitzen.
Beispiele: 1. Wir starten mit der konstanten Funktion
f (x) = a,
wobei a eine reelle Zahl ist. Diese Funktion ist zugleich monoton wachsend und monoton fallend,
natürlich nicht streng. Sie ist stetig. Diese Funktion besitzt keine Umkehrfunktion.
2. Die lineare Funktion
f (x) = a + bx, b 6= 0.
ist stetig. Sie ist streng monoton wachsend für b > 0 und streng monoton fallend für b < 0. Die
lineare Funktion besitzt für b 6= 0 eine Umkehrfunktion, die man durch Auflösen der Gleichung
a + bx = y
nach x erhält. Damit folgt
g(y ) =
y −a
.
b
3. Wir betrachten jetzt die quadratische Funktion
f (x) = a + bx + cx 2 ,
c 6= 0.
Diese Funktion ist stetig. Sie ist aber im Allgemeinen nicht mehr monoton und besitzt deshalb keine
Umkehrfunktion.
Pn
Betrachtet man jetzt eine allgemeine rationale Funktion f (x) = i=0 ai x i , so ist diese wieder stetig.
Alle anderen Eigenschaften, wie Monotonie und Existenz einer Umkehrfunktion gehen im Allgemeinen
aber verloren. Es zeigt sich aber, dass es zu jeder solchen Funktion immer gewisse Intervalle gibt, in
denen diese Eigenschaften für f erfüllt sind.
32
4.2 Gebrochen-rationale Funktionen
4.2 Gebrochen-rationale Funktionen
Den Quotienten zweier Polynome nennt man eine gebrochen-rationale Funktion. Sie hat die Gestalt
Pn
i
i=0 ai x
f (x) = Pm
j
j=0 bj x
und ihr Definitionsgebiet besteht aus allen x, für die der Nenner ungleich Null ist. Während man durch
Addition, Subtraktion und Multiplikation von Polynomen wieder Polynome erhält, bleibt man in der
größeren Klasse der gebrochen-rationalen Funktionen auch bei der Division in dieser Klasse.
Beispiel: Sei
x
1 + x2
f (x) =
und g(x) =
.
1 + x2
1 + 2x 4
Dann gilt für das Produkt
1 + x2
x
·
1 + x 2 1 + 2x 4
x(1 + x 2 )
=
(1 + x 2 )(1 + 2x 4 )
x3 + x
=
2x 6 + 2x 4 + x 2 + 1
f (x)g(x) =
und für den Quotienten
f (x)
=
g(x)
=
x
1+x 2
1+x 2
1+2x 4
=
x
1 + 2x 4
·
1 + x2 1 + x2
2x 5 + x
x(1 + 2x 4 )
=
.
(1 + x 2 )(1 + x 2 )
x 4 + 2x 2 + 1
4.3 Potenzfunktionen
Wir hatten früher bereits die allgemeine Potenz bp kennengelernt, wobei b eine positive Zahl war und
p beliebig reell war. Hier treten zwei Variablen b und p auf. Wir wollen jetzt p festhalten und b als
unabhängige Variable betrachten. Deshalb schreiben wir dann auch x statt b. Für festes reelles p heißt
die Funktion
f (x) = x p , x > 0
die Potenzfunktion mit Potenz p. Speziell heißt für p =
1
f (x) = x n =
√
n
x,
1
n
die Funktion
x ≥0
die n−te Wurzel. Für ganzzahlige p = n ist x p = x n für alle x definiert, wobei für n < 0 der Wert
x = 0 auszuschließen ist.
Für alle Potenzfunktionen gilt:
1. Sie sind nicht negativ, also nach unten durch 0 beschränkt.
2. f (x) = x p geht durch (1, 1).
3. Für x → ∞ und p > 0 wächst f (x) = x p unbegrenzt und strebt gegen unendlich. Für p < 0
strebt f (x) = x p für x → ∞ gegen Null.
4. f (x) = x p ist streng monoton wachsend für p > 0 und streng monoton fallend für p < 0.
33
4.4 Exponential-und Logarithmusfunktion
5. f (x) = x p ist stetig.
Seien
f1 (x) = x p1 ,
f2 (x) = x p2
und
zwei Potenzfunktionen. Dann sind
f1 (x)f2 (x) = x p1 +p2
f1 (x)
= x p1 −p2
f2 (x)
f1 (f2 (x)) = (f2 (x))p1
= (x p2 )p1 = x p1 ·p2
wieder Potenzfunktionen.
Wir betrachten jetzt die Frage der Umkehrfunktion der Funktion y = x p . Nach den Potenzgesetzen
gilt
1
1
1
y p = (x p ) p = x p· p = x.
Damit ist
1
g(y ) = y p
die Umkehrfunktion der Potenzfunktion f (x) = x p . Speziell ist also die n−te Wurzel gerade die
Umkehrfunktion der Potenzfunktion x n , wenn man diese nur in dem Bereich x ≥ 0 betrachtet.
4.4 Exponential-und Logarithmusfunktion
In der allgemeinen Potenz bp halten wir jetzt das b > 0, b 6= 1 fest und lassen p als unabhängige
Variable laufen, die wir dann mit x bezeichnen.
Für b > 0, b 6= 1 heißt die Funktion
f (x) = bx ,
−∞ < x < ∞
die Exponentialfunktion mit Basis b. Ist b = e die Eulersche Zahl, so wird e x die Exponentialfunktion
(ohne Zusatz) genannt.
Das folgende Bild zeigt Exponentialfunktionen zu den Basen 3 (durchgezogene Linie), e (fette Linie)
und 1/3 (gestrichelte Linie).
Wir tragen jetzt qualitative Eigenschaften von Exponentialfunktionen zusammen. Jede Exponentialfunktion besitzt folgende Eigenschaften.
1. Sie ist nicht negativ, also nach unten durch 0 beschränkt.
2. f (x) = bx geht durch den Punkt (0, 1).
3. Für x → ∞ und b > 1 wächst f (x) = bx unbegrenzt und strebt gegen unendlich. Für b < 1
strebt f (x) = bx für x → ∞ gegen Null. Für x → −∞ gelten analoge Aussagen.
4. f (x) = bx ist streng monoton wachsend in x für b > 1 und streng monoton fallend für b < 1.
34
4.4 Exponential-und Logarithmusfunktion
5. f (x) = bx ist stetig.
Wir betrachten jetzt die Umkehrfunktion, d.h. die Lösung der Gleichung y = bx , b > 0, b 6= 1. Die
Auflösung ergibt nach der Definition des Logarithmus zur Basis b, siehe (13)
x = logb y .
Wir wollen jetzt die Logarithmusfunktion systematisch studieren und bezeichnen die unabhängige Variable mit x, wir untersuchen also die Funktion f (x) = logb x. Nach der Definition der Umkehrfunktion
gilt
blogb x = x.
Bilden wir jetzt den natürlichen Logarithmus auf beiden Seiten, so erhalten wir
(ln b) · (logb x) = ln x
ln x
logb x =
.
ln b
Hieraus sehen wir, dass sich die verschiedenen Logarithmusfunktionen nur um einen Faktor unterscheiden. Dieser Faktor kann positiv oder negativ sein. Trotzdem reicht es also prinzipiell aus, mit
dem natürlichen Logarithmus zu arbeiten. Das folgende Bild zeigt den Verlauf des natürlichen und des
dekadischen Logarithmus (dünne Linie).
Beispiel: Ein Kapital K0 wird zum Zeitpunkt t = 0 mit einem Zinssatz von p% angelegt. Bei kontinuierlicher Verzinsung ist das Kapital zur Zeit t dann
Kt = K0 · exp{
p
t}.
100
Hierbei ist exp{x} nur ein anderes Symbol für e x , das bei komplizierteren Exponenten verwendet wird.
Gesucht ist jetzt die Zeit τ bis zu der sich das Kapital verdoppelt hat. Dann gilt
Kτ = K0 · exp{
Das ergibt
exp{
p
τ } = 2K0
100
p
τ } = 2.
100
Bilden des natürlichen Logarithmus ergibt
p
τ = ln 2
100
100 · ln 2
τ =
.
p
Bei einem Zinssatz von p = 4, 75% folgt
τ=
100 · ln 2
≈ 14, 59.
p
Eine Verdopplung des Kapitals erfolgt etwa in 14 Jahren und 7 Monaten.
35
4.5 Trigonometrische Funktionen
4.5 Trigonometrische Funktionen
Bei der Einführung der trigonometrischen Funktionen messen wir den Winkel mit Hilfe des Bogenmaßes. Ist also irgendein Winkel 0◦ ≤ α ≤ 360◦ gegeben, so bezeichnen wir durch ϕ die Länge desjenigen
Kreisstücks auf dem Einheitskreis, für die die eingezeichneten Radien gerade den Winkel α einschließen. Nach Konstruktion entspricht der Vollwinkel dem Bogenmaß 2π, dem rechten Winkel entspricht
π/2 und der Winkel 180◦ entspricht der Bogenlänge π. Wir betrachten jetzt ein rechtwinkliges Dreieck
mit den Kathetenlängen a und b und der Länge der Hypothenuse
p
c = a2 + b 2 .
Die Kathete mit der Länge a sei gegenüber dem betrachteten Winkel α (im Bogenmaß ϕ gemessen).
Wir führen dann die trigonometrischen Funktionen Sinus und Cosinus in der bekannten Weise ein
sin ϕ =
a
Gegenkathete
=
c
Hypotenuse
und
cos ϕ =
b
Ankathete
=
.
c
Hypotenuse
(22)
Das können wir auch am Einheitskreis veranschaulichen. Im Dreieck im Einheitskreis ist c = 1 die
Radiuslänge und somit
b = cos ϕ und a = sin ϕ.
Damit lassen sich also die Punkte des Einheitskreises schreiben als (cos ϕ, sin ϕ). Aus der Definition
(22) folgt, dass beide Funktionen (sin ϕ und cos ϕ) periodisch mit der Periode 2π sind, d.h. es gilt
sin ϕ = sin(ϕ + 2π)
und
cos ϕ = cos(ϕ + 2π)
Ihre Werte liegen stets zwischen −1 und 1. Das folgende Bild veranschaulicht den Verlauf dieser
beiden trigonometrischen Funktionen.
In einem nicht notwendig rechtwinkligen Dreieck mit den Winkeln α, β, γ und den gegenüberliegenden
Seiten mit den Längen a, b, c gilt der Sinussatz und der Kosinussatz.
sin β
sin γ
sin α
=
=
Sinussatz
a
b
c
a2 = b2 + c 2 − 2bc cos α Kosinussatz.
Bei der Bildung der Quotienten der beiden trigonometrischen Funktionen sin ϕ und cos ϕ müssen wir
beachten, dass sin ϕ an den Stellen kπ und cos ϕ an den Stellen (k + 21 )π Nullstellen hat. Wir setzen
sin ϕ
,
cos ϕ
cos ϕ
cot ϕ =
,
sin ϕ
tan ϕ =
1
ϕ 6= (k + )π
2
ϕ 6= kπ.
Im Gegensatz zu den Funktionen sin ϕ und cos ϕ sind die Funktionen tan ϕ und cot ϕ nicht beschränkt.
Durchläuft ϕ das Intervall (− π2 , π2 ) so nimmt tan ϕ alle Werte zwischen −∞ und ∞ an.
Analog nimmt cot ϕ alle Werte zwischen −∞ und ∞ an, wenn ϕ das Intervall (0, π) durchläuft. Das
folgende Bild zeigt den Verlauf von tan ϕ und cot ϕ wobei die letzte Funktion gestrichelt gezeichnet
wurde.
36
4.6 Arkusfunktionen
Zwischen den trigonometrischen Funktionen gibt es vielfältige Beziehungen. Wir listen einige von
ihnen auf
cos(−ϕ) = cos ϕ
sin(−ϕ) = − sin ϕ
sin2 ϕ + cos2 ϕ = 1
cos(ϕ1 + ϕ2 ) = cos ϕ1 cos ϕ2 − sin ϕ1 sin ϕ2
sin(ϕ1 + ϕ2 ) = sin ϕ1 cos ϕ2 + cos ϕ1 sin ϕ2
gerade Funktion
ungerade Funktion
trigonometrischer Pythagoras
Additionstheorem
Additionstheorem
Aus der letzten Formel folgt
π
) = cos ϕ
2
sin(2ϕ) = 2 sin ϕ cos ϕ.
sin(ϕ +
Wir listen einige speziellen Werte von sin ϕ und cos ϕ auf:
π
0 π6
4
0 300
45√0
1
sin ϕ 0 12 √
2 √2
1
cos ϕ 1 2 3 12 2
ϕ
π
3
π
2
0
60√
1
2
1
2
90
3 1
0
2π
3
0
3π
4
0
120
√
1
2 3
− 12
5π
6
0
135
√
1
2
2 √
1
−2 2
π
150
1800
1
0
2 √
1
− 2 3 −1
0
(23)
4.6 Arkusfunktionen
Bei der Einführung von Umkehrfunktionen müssen wir beachten, dass die periodischen trigonometrischen Funktionen nicht monoton sind und deshalb keine Umkehrfunktion besitzen. Wir können aber
Intervalle finden, in denen diese Funktionen streng monoton sind und deshalb auf diesen eingeschränkten Bereichen Umkehrfunktionen besitzen. Beginnen wir zunächst mit der Sinusfunktion sin ϕ. Sie ist
im Intervall [− π2 , π2 ] streng monoton wachsend. Der Wertebereich ist hierfür [−1, 1]. Ähnlich ist die
Kosinusfunktion streng monoton im Intervall [0, π]. Deshalb schränken wir uns bei der Einführung der
Umkehrfunktionen (Arkussinus und Arkuskosinus) auf diese Intervalle ein.
y = sin x,
y = cos x,
π
π
≤ x ≤ ⇔ x = arcsin y , −1 ≤ y ≤ 1
2
2
0 ≤ x ≤ π ⇔ x = arccos y , −1 ≤ y ≤ 1.
−
Das bedeutet, dass arcsin y derjenige Winkel ist, für den der Sinus gerade den Wert y hat und
entsprechend für den Kosinus. Analog führen wir durch Einschränkung auf Monotonieintervalle von
tan ϕ und cot ϕ die entsprechenden Umkehrfunktionen ein, die mit Arkustangens und Arkuskotangens
bezeichnet werden.
π
π
y = tan x, − < x < ⇔ x = arctan y , −∞ < y < ∞
2
2
y = cot x, 0 < x < π ⇔ x = arccot y , −∞ < y < ∞.
4.7 Weitere elementare Funktionen
Potenz-, Wurzel-, Exponential-, Logarithmusfunktion und trigonometrische Funktionen und deren
Umkehrfunktionen sind Grundfunktionen. Jede Funktion, die sich aus den Grundfunktionen und Konstanten durch die Grundrechenarten und das Bilden mittelbarer Funktionen in endlich vielen Schritten
erzeugen lässt, heißt elementare Funktion. Damit sind z.B. alle Polynome und alle gebrochen rationalen Funktionen elementare Funktionen. Wir betrachten weitere Beispiele.
Beispiele: 1. Die Funktion
sinh x =
1 x
(e − e −x ),
2
37
−∞ < x < ∞
4.8 Gleichungen und Ungleichungen für elementare Funktionen
heißt der hyperbolische Sinus. Ähnlich heißt
cosh x =
1 x
(e + e −x ),
2
−∞ < x < ∞
der hyperbolische Kosinus.
2. Wir betrachten die Funktion
f (x) = (cos(x 2 ) + 3)(ln x)−1/2 − 2 exp{sin x}
Wegen ln x > 0 für x > 1 ist der natürliche Parameterbereich gegeben durch D(f ) = (1, ∞).
3. Die Funktion
cos t
für t ≤ 0
f (t) =
−0,2·t
e
cos t für t > 0
beschreibt eine Schwingung, die für t ≤ 0 harmonisch ist und für t > 0 durch den Faktor e −0,2·t
exponentiell gedämpft ist.
4.8 Gleichungen und Ungleichungen für elementare Funktionen
4.8.1 Lineare Funktionen
Wir wollen jetzt Gleichungen untersuchen, in die lineare und nichtlineare elementare Funktionen eingehen. Die lineare Funktion f (x) = a + bx besitzt genau eine Nullstelle, die für b 6= 0 durch x0 = − ba
gegeben ist.
4.8.2 Quadratische Funktionen
Wir betrachten mögliche Nullstellen eines quadratischen Polynoms, d.h. Lösungen der Gleichung
a + bx + cx 2 = 0.
Sei c 6= 0. Nach Division durch c und durch eine Änderung der Bezeichnung der Koeffizienten läßt
sich diese Gleichung in der Form
x 2 + px + q = 0
mit reellen Koeffizienten p und q schreiben. Jetzt sind drei Fälle zu unterscheiden.
1. Es gilt
p2
− q > 0.
4
Dann existieren zwei reelle Nullstellen, die gegeben sind durch
p √
p √
x1 = − + D und x2 = − − D.
2
2
Diskriminante = D =
Die Parabel y = x 2 + px + q schneidet die x−Achse in den beiden Punkten x1 , x2 .
2. Es gilt
p2
D=
− q = 0.
4
Dann fallen x1 und x2 zusammen. Es gibt eine doppelte Nullstelle
p
x1 = x2 = −
2
und die Parabel y = x 2 + px + q berührt die x−Achse im Punkt − p2
38
(24)
4.8 Gleichungen und Ungleichungen für elementare Funktionen
3. Es gilt
p2
− q < 0.
4
Dann existieren keine reellen Nullstellen. Die Parabel y = x 2 + px + q liegt vollständig oberhalb
der x−Achse.
D=
Beispiele: 1. Gesucht sind die Lösungen der Gleichung
x 2 − x − 2 = 0.
Es gilt
1
9
p2
− q = (−1)2 + 2 = > 0.
4
4
4
Es existieren also zwei verschiedene Nullstellen
D=
1 √
1 3
+ D= + =2
2
2 2
1 √
=
− D = −1.
2
x1 =
x2
2. Gesucht sind die Lösungen der Gleichung
x2 − x +
1
= 0.
4
Es gilt
D=
p2
1
1
− q = (−1)2 − = 0.
4
4
4
Es existiert eine doppelte Nullstelle
x1 = x2 = −
p
1
= .
2
2
3. Gesucht sind die Lösungen der Gleichung
x 2 − x + 2 = 0.
Es gilt
D=
p2
1
7
− q = (−1)2 − 2 = − < 0,
4
4
4
es existiert keine Nullstelle.
Beispiel: Gesucht sind alle x ∈ R, die der Ungleichung
x 2 − 2x − 3 > 3 − x
genügen. Wir bestimmen zunächst die Nullstellen der Funktion
f (x) = x 2 − 2x − 3 − (3 − x)
= x 2 − x − 6.
39
4.8 Gleichungen und Ungleichungen für elementare Funktionen
Dazu berechnen wir die Diskriminante
1
1
25
D = (− )2 − (−6) = + 6 =
> 0.
2
4
4
Also liegen zwei verschiedene Nullstellen vor.
x1
x2
r
√
1
1
25
= − (−1) + D = +
=3
2
2
4
r
√
1
1
25
= − (−1) − D = −
= −2.
2
2
4
Die Parabel f schneidet die x−Achse in den Punkten −2 und 3. Liegt der Scheitelpunkt unterhalb oder
oberhalb der x−Achse? Der zugehörige x−Wert liegt genau in der Mitte zwischen den Nullstellen, ist
also 12 (−2 + 3) = 12 . Wie groß ist der Funktionswert?
1
1
1
25
f ( ) = ( )2 − − 6 = −
< 0.
2
2
2
4
Damit gilt also
f (x) ≤ 0
f (x) > 0
für
für
−2 ≤ x ≤ 3
x∈
/ [−2, 3].
Die gesuchte Lösungsmenge ist also (−∞, −2) ∪ (3, ∞). Die folgende Abbildung illustriert die obige
Ungleichung.
4.8.3 Weitere Gleichungen für elementare Funktionen
Wir berechnen jetzt die Nullstellen von Funktionen, die Wurzel-Ausdrücke, die Exponentialfunktion
oder trigonometrische Funktionen enthalten. Hierbei kommt es darauf an, die entsprechenden Ausdrücke zunächst geeignet umzuformen.
Beispiel für Wurzelgleichung: Gesucht sind die Lösungen der Gleichung
√
√
√
x − x − 1 = 2x − 1
Damit die Wurzelausdrücke sinnvoll sind, muss gelten
x ≥ 0,
x −1≥0
und
2x − 1 ≥ 0.
(25)
Das bedeutet insgesamt x ≥ 1. Quadrieren der obigen Gleichung ergibt
√ √
x − 2 x x − 1 + x − 1 = 2x − 1
√ √
−2 x x − 1 = 0
p
x(x − 1) = 0
x(x − 1) = 0
Hieraus folgt, dass wenigstens ein Faktor Null sein muss, also x = 0 oder x = 1. Der Wert x = 0
erfüllt nicht die Nebenbedingung x ≥ 1. Also ist x = 1 die gesuchte Nullstelle.
Beispiele für Exponentialgleichungen und logarithmische Gleichungen: 1. Gesucht sind die Lösungen der Gleichung
25x+1 = 32x+2 .
40
4.8 Gleichungen und Ungleichungen für elementare Funktionen
Wir bilden auf beiden Seiten den Logarithmus zur Basis 2. Das ergibt
5x + 1 = (log2 3)(2x + 2)
x(5 − 2 log2 3) = 2 log2 3 − 1
2 log2 3 − 1
x =
.
5 − 2 log2 3
Bei der numerischen Berechnung, muss man log2 3 ermitteln. Das kann man mit der Umrechnungsformel für Logarithmen machen, wobei dann der Taschenrechner für die Berechnung der natürlichen
oder dekadischen Logarithmen verwendet wird. Einfacher und systematischer wird der Lösungsweg,
wenn man gleich die natürlichen Logarithmen verwendet. Dann ergibt sich
(5x + 1) ln 2 = (2x + 2) ln 3
x(5 ln 2 − 2 ln 3) = 2 ln 3 − ln 2
2 ln 3 − ln 2
x =
≈ 1, 1857
5 ln 2 − 2 ln 3
2. Bei festem b > 0, b 6= 1 sind die Lösungen der Gleichung
logb (2x + 3) = logb (x − 1) + 1
gesucht. Durch Umformung erhalten wir
logb
2x + 3
=1
x −1
Nimmt man die linke und die rechte Seite als Potenz von b, so folgt
2x+3
blogb x−1 = b
2x + 3
= b
x −1
(b − 2)x = b + 3
Für b = 2 gibt es keine Lösung. Für b 6= 2 ist
x=
b+3
b−2
die gesuchte Lösung.
Beispiele für goniometrische Gleichungen: 1. Gesucht sind die Lösungen der Gleichung
cos x + 2 cos2 x − 1 = 0.
Wir setzen y = cos x und erhalten
2y 2 + y − 1 = 0
1
1
y2 + y −
= 0.
2
2
Mit der Formel (24) für die Nullstellen ergibt sich
r
r
1
1
1
1
9
1
y1 = − +
+ =− +
=
4
16 2
4
16
2
r
r
1
1
1
1
9
y2 = − −
+ =− −
= −1.
4
16 2
4
16
41
4.9 Numerische Lösungen von Gleichungen
Also gilt cos x =
1
2
oder cos x = −1. Wegen cos(± π3 ) =
x =±
1
2
(siehe Tabelle (23)) ist im ersten Fall
π
+ 2kπ
3
Im zweiten Fall ist wegen cos π = −1
x = π + 2kπ = (2k + 1)π.
2. Gesucht sind die Lösungen der Gleichung
2 cos2 x + 2 cos x = 0.
Hieraus folgt
2 cos x(1 + cos x) = 0.
Also gilt cos x = 0 oder 1 + cos x = 0. Im ersten Fall ist x =
(2k + 1)π.
π
2
+ kπ im zweiten Fall ist x = π + 2kπ =
4.9 Numerische Lösungen von Gleichungen
Die im vorigen Abschnitt betrachteten nichtlinearen Gleichungen waren gewisse Spezialfälle, die aufgrund ihrer einfachen Struktur eine formelmäßige Auflösung gestatteten. In der Mehrzahl der Fälle
ist man jedoch auf numerische Verfahren angewiesen. Wir wollen hier eine sehr einfache, aber breit
anwendbare Methode kennen lernen.
Es sei f eine im Intervall [a, b] definierte stetige Funktion. Dann nimmt diese Funktion jeden Wert
zwischen dem Maximum und dem Minimum an. Haben also f (a) und f (b) unterschiedliche Vorzeichen,
so gibt es wenigstens eine Nullstelle im Intervall [a, b]. Wir betrachten jetzt die Intervalle [a, 12 (a + b)]
und [ 12 (a + b), b]. Dann liegt genau einer der beiden folgenden Fälle vor:
1
f (a) und f ( (a + b)) haben unterschiedliche Vorzeichen
2
1
f ( (a + b)) und f (b) haben unterschiedliche Vorzeichen.
2
Möge etwa der erste Fall vorliegen. Dann muss im Intervall [a, 12 (a + b)] wenigstens eine Nullstelle
liegen. Jetzt halbieren wir dieses Intervall wieder und betrachten die Intervalle
3
1
[a, a + b],
4
4
und
3
1 1
[ a + b, (a + b)].
4
4 2
Für eines dieser Intervalle haben die Funktionswerte von f an den Endpunkten unterschiedliche Vorzeichen. Dann wird dieses Intervall wieder halbiert und das Intervall ausgewählt, für das die Vorzeichen
der Funktionswerte von f an den Endpunkten unterschiedlich sind. Insgesamt erhält man so eine Folge
von Intervallen [an , bn ] mit der Eigenschaft [a0 , b0 ] = [a, b] und
bn − an = 2−n (b − a).
Die Intervalllänge strebt also sehr schnell gegen Null. Es läßt sich nun nachweisen, dass die Zahlenfolgen an , bn gegen eine Zahl x0 streben, die eine Nullstelle von f ist. Dieses Verfahren der approximativen Nullstellenbestimmung heißt das Halbierungsverfahren. Wir demonstrieren das Vorgehen an
einem Beispiel.
Beispiel: Es sei
f (x) = e x + x 3 − 2.
42
5.1 Der Begriff der Ableitung
Es gilt f (0) = 1 + 0 − 2 < 0 und f (1) = e + 1 − 2 > 0. Deshalb können wir a0 = 0 und b0 = 1
wählen. Die folgende Tabelle gibt die weiteren Arbeitsschritte an.
ai
0
0, 5
0, 5
0, 5
0, 5625
0, 5625
0, 5781
0, 5859
ai +bi
2
0, 5
0, 75
0, 625
0, 5625
0, 5938
0, 5781
0, 5859
0, 5898
bi
1
1
0, 75
0, 625
0, 625
0, 5938
0, 5938
0, 5938
f (ai )
−1
−0, 2263
−0, 2263
−0, 2263
−0, 067
−0, 067
−0, 02
−0, 0021
i
f ( ai +b
f (bi )
2 )
−0, 2263 1, 7183
0, 5389
1, 7183
0, 1124
0, 5389
−0, 067
0, 1124
0, 02
0, 1124
−0, 02
0, 02
−0, 002
0, 02
0, 0089
0, 02
Also ist x0 ≈ 0, 59 eine Approximation für die gesuchte Nullstelle. Das folgende Bild illustriert den
Verlauf der Funktion f (x) = e x + x 3 − 2.
5 Differentialrechnung
5.1 Der Begriff der Ableitung
Wir haben bisher schon einige qualitative Eigenschaften von Funktionen kennen gelernt. Dies waren
Beschränktheit, Monotonie und Stetigkeit. Allerdings hatten wir zum Nachweis der Monotonie bisher
keine systematischen Hilfsmittel zur Verfügung. Die Idee besteht jetzt darin, den Zuwachs f (x0 + h) −
f (x0 ) einer Funktion näher zu untersuchen. Wenn f stetig ist, so strebt diese Differenz gegen Null.
Die entscheidende Idee ist, den relativen Zuwachs zu betrachten, also den Zuwachs f (x0 + h) − f (x0 )
am Zuwachs h des Arguments zu messen, also zum Differenzen-Quotienten überzugehen:
∆f (x0 , h) =
f (x0 + h) − f (x0 )
.
h
(26)
Dieser Ausdruck hängt noch von h ab. Da wir vor allem an sehr kleinen Zuwächsen interessiert sind,
lassen wir h gegen Null streben.
Sei I ein offenes Intervall und f : I → R eine in I definierte Funktion. Die Funktion f heißt im Punkt
x0 ∈ I differenzierbar, falls es eine durch f 0 (x0 ) bezeichnete reelle Zahl derart gibt, dass für jede Folge
hn → 0 gilt
f (x0 + hn ) − f (x0 )
f 0 (x0 ) = lim
.
(27)
n→∞
hn
Die Zahl f 0 (x0 ) heißt dann die Ableitung von f an der Stelle x0 . Ist f in jedem Punkt des Intervalls
I differenzierbar, dann heißt die Funktion x 7→ f 0 (x) die Ableitung der Funktion f . Ist diese wieder
differenzierbar, dann heißt die Ableitung (f 0 )0 der Ableitung f 0 die zweite Ableitung und wird mit f 00
bezeichnet. Analog sind weitere höhere Ableitungen definiert, vorausgesetzt sie existieren.
Weil der Limes in (27) für jede gegen Null strebende Folge hn existiert und den gleichen Wert hat
schreibt man auch
f (x0 + h) − f (x0 )
f 0 (x0 ) = lim
.
h→0
h
Interpretation als Differential:
43
5.1 Der Begriff der Ableitung
Wie kann man näherungsweise den Funktionswert f (x + h) berechnen, wenn f (x) bekannt ist? Aus
(26) und (27) ergibt sich für kleine h
∆f (x, h) ≈ f 0 (x)
f (x + h) ≈ f (x) + f 0 (x) · h.
Um zu betonen, dass h betragsmäßig sehr klein ist, setzt man dx = h und bezeichnet dx als Differential. Dann liefert das Differential dy = f 0 (x)dx näherungsweise (für kleines dx) den Zuwachs der
Funktionswerte.
Interpretation als Anstieg der Tangente
Wir betrachten die Sekante, die durch die Punkte (x0 , f (x0 )) und (x0 + h, f (x0 + h)) geht. Die entsprechende Geradengleichung lautet
f (x0 + h) − f (x0 )
(x − x0 )
h
= f (x0 ) + ∆f (x0 , h)(x − x0 ), h =
6 0.
gh (x) = f (x0 ) +
Das ist eine Schar von Geraden, die alle durch den Punkt (x0 , f (x0 )) gehen, aber unterschiedliche
Anstiege ∆f (x0 , h) haben, die für h → 0 gegen den Anstieg
lim ∆f (x0 , h) = f 0 (x0 )
h→0
streben. Setzen wir jetzt
g0 (x) = f (x0 ) + f 0 (x0 )(x − x0 ),
dann gilt
lim gh (x) = g0 (x).
h→0
Die durch g0 (x) definierte Gerade wird als Tangente von f in x0 bezeichnet. Das folgende Bild illustriert
den Übergang von der Sekante zur Tangente.
Wir betrachten eine einfaches Beispiel, das zeigt, wie man vom Differenzen-Quotienten zur Ableitung
gelangt.
Beispiele: 1. Sei f (x) = a + bx die lineare Funktion. Dann gilt
a + b(x0 + h) − (a + bx0 )
h
bh
=
=b
h
f 0 (x0 ) = lim ∆f (x0 , h) = b = Anstieg der Geraden
∆f (x0 , h) =
h→0
Ist b = 0, dann ist f (x) = a + bx = a die konstante Funktion deren Ableitung gleich Null ist.
2. Es sei f (x) = x 2 . Dann gilt
(x0 + h)2 − x02
h
2
x + 2hx0 + h2 − x02
= 0
h
= 2x0 + h.
∆f (x0 , h) =
Somit gilt
lim ∆f (x0 , h) = 2x0
h→0
44
5.1 Der Begriff der Ableitung
und deshalb (x 2 )0 = 2x. Durch ähnliche Überlegungen erhält man, dass alle elementaren Funktionen
differenzierbar sind und die Gestalt der Ableitung.
(c)0 = 0,
c ist eine Konstante
(x n )0 = nx n−1 ,
n ganzzahlig
(x a )0 = ax a−1 ,
x > 0 falls a nicht ganzzahlig ist
(e x )0 = e x ,
−∞ < x < ∞
(ax )0 = ax ln a,
a > 0, −∞ < x < ∞
(ln x)0 = x1 ,
x >0
(28)
Alle trigonometrischen Funktionen und ihre Umkehrfunktionen sind differenzierbar.
(sin x)0 = cos x, (cos x)0 = − sin x,
(tan x)0 =
1
cos2 x
= 1 + tan2 x,
x 6=
(cot x)0 = − sin12 x = −1 − cot2 x,
(arcsin x) =
√ 1
,
1+x 2
(arctan x)0 =
1
1+x 2 ,
0
−∞ < x < ∞
π
2
+ kπ, k ganz
x 6= kπ, k ganz
(29)
−1 < x < 1
−∞ < x < ∞.
Oft werden aus den elementaren Funktionen durch die Grundrechenarten und durch Verkettung einer
oder mehrerer Funktionen definiert. Dann möchte man das Bilden der Ableitung mit Hilfe von Rechenregeln auf die oben angegebenen Ableitungen der elementaren Funktionen zurückführen. Ohne
Beweis listen wir jetzt die wichtigsten Rechenregeln für die Ableitung auf.
(f + g)0 = f 0 + g 0
(cf )0 = cf 0 ,
c Konstante
(f · g)0 = f 0 · g + f · g 0 , Produktregel
( gf )0
=
f 0 ·g−f ·g 0
,
g2
(30)
g(x) 6= 0, Quotientenregel
(f (g))0 = f 0 (g) · g 0 ,
Kettenregel (Ableitung der Verkettung)
Beispiele: 1. Sei f (x) = 3x 2 − 8 sin x. Hier wenden wir die ersten beiden Regeln an
f 0 (x) = (3x 2 − 8 sin x)0
= (3x 2 )0 − (8 sin x)0
= 3(x 2 )0 − 8(sin x)0
= 6x − 8 cos x.
2. Zur Bildung der Ableitung von f (x) = x 2 sin x wenden wir die Produktregel an
f 0 (x) = (x 2 sin x)0
= (x 2 )0 sin x + x 2 (sin x)0
= 2x sin x + x 2 cos x.
3. Die Anwendung der Quotientenregel auf f (x) =
x2
sin x ,
x 6= kπ ergibt
(sin x)(x 2 )0 − x 2 (sin x)0
sin2 x
2x sin x − x 2 cos x
=
.
sin2 x
f 0 (x) =
45
5.2 Monotonie und Ableitung
4. Die Funktion
f (x) = exp{cos2 x}
ist die Verkettung der Funktionen f1 (x) = e x , f2 (x) = x 2 und f3 (x) = cos x
f (x) = f1 (f2 (f3 (x))).
Die doppelte Anwendung der Kettenregel ergibt
f 0 (x) = f10 (f2 (f3 (x))) · f20 (f3 (x)) · f30 (x)
= −2 sin x · cos x · exp{cos2 x}
= − sin(2x) · exp{cos2 x}.
5. Höhere Ableitungen erhält man durch schrittweise Bildung der ersten Ableitung. Sei f (x) = cos x.
Dann folgt
f 0 (x) = − sin x
f 000 (x) = sin x
f 00 (x) = − cos x
und
f (4) (x) = cos x = f (x).
und
5.2 Monotonie und Ableitung
Wir erinnern daran, dass eine auf einem Intervall I definierte Funktion f monoton wachsend (fallend)
genannt wurde, falls gilt:
x1 , x2 ∈ I und x1 ≤ x2
=⇒
f (x1 ) ≤ (≥) f (x2 ).
Wir betrachten zunächst den Fall, in dem f monoton wachsend ist und setzen x1 = x und x2 = x + h.
Für h > 0 folgt dann x < x + h und f (x) ≤ f (x + h). Damit ist
f (x + h) − f (x)
≥ 0.
h
∆f (x, h) =
Ist jetzt h < 0, dann ist x + h < x. Weil f monoton wachsend ist, gilt f (x + h) ≤ f (x). Der Bruch ist
wieder nicht negativ. Ist jetzt f differenzierbar, so ergibt der Grenzübergang für h → 0 die Ungleichung
f 0 (x) ≥ 0. Analog kann man vorgehen, wenn f monoton fallend ist.
Ist f im offenen Intervall I differenzierbar, so gilt:
f 0 (x) ≥ 0
0
f (x) ≤ 0
⇔
f ist monoton wachsend
⇔
f ist monoton fallend
Hinsichtlich der strengen Monotonie gilt nur die eine Richtung der Aussagen.
f 0 (x) > 0
0
f (x) < 0
⇒
f ist streng monoton wachsend
⇒
f ist streng monoton fallend.
Beispielsweise ist f (x) = x 3 streng monoton wachsend. Es gilt aber f 0 (x) = 3x 2 und somit f 0 (0) = 0.
Beispiel : Wir betrachten die Funktion
f (x) =
1 3 3 2 9
x − x + x + 1,
8
4
8
46
−∞ < x < ∞.
5.3 Extremstellen
Zunächst bilden wir die Ableitung
3 2 3
9
x − x+ .
8
2
8
Wir untersuchen, wo diese Funktion nicht negativ ist. Dazu bestimmen wir die Nullstellen
9
3 2 3
x − x+
= 0
8
2
8
x 2 − 4x + 3 = 0
f 0 (x) =
Die Lösungsformel (24) für die quadratische Gleichung ergibt
p
x1 = 2 + 22 − 1 = 3
p
x2 = 2 − 22 − 1 = 1.
Damit hat f 0 innerhalb der Intervalle (−∞, 1), (1, 3), (3, ∞) immer das gleiche Vorzeichen. Welches
Vorzeichen vorliegt erkennt man am einfachsten, wenn man für x spezielle Werte einsetzt.
9
3
9
f 0 (0) = > 0, f 0 (2) = − < 0, f 0 (4) = > 0.
8
8
8
Damit ist f in (−∞, 1) streng monoton wachsend, in (1, 3) streng monoton fallend und schließlich in
(3, ∞) streng monoton wachsend. Das folgende Bild zeigt den Verlauf von f und f 0 . Die gestrichelte
Linie ist der Verlauf der Ableitung f 0 .
5.3 Extremstellen
Wir schränken die oben betrachtete Funktion f (x) = 18 x 3 − 34 x 2 + 89 x + 1 auf das Intervall [−1, 5] ein.
Dort hat f das globale Minimum an der Stelle x = −1 und das globale Maximum an der Stelle x = 5.
Die Punkte x1 = 1 und x2 = 3 liefern ein Maximum bzw. ein Minimum der Funktion f , wenn man die
Funktion f auf eine kleine Umgebung dieser Punkte einschränkt.
Sei f in einem Intervall I definiert. Dann heißt x globale Maximumstelle, wenn gilt
f (x) ≤ f (x)
für alle x ∈ I.
Eine Stelle x ∗ heißt lokale Maximumstelle, wenn es ein hinreichend kleines ε > 0 derart gibt, dass gilt
f (x) ≤ f (x ∗ )
für alle x mit x ∗ − ε < x < x ∗ + ε.
Entsprechend sind eine globale bzw. lokale Minimumstelle x bzw. x∗ definiert, wenn ≤ durch ≥ ersetzt
wird. Zusammenfassend werden Minimum-bzw. Maximumstellen auch als Extremstellen bezeichnet
(lokal bzw. global).
Liegt ein lokales Maximum in x ∗ vor, so ist, zumindest in einer kleinen linksseitigen Umgebung von
x ∗ , die Funktion f monoton wachsend und somit f 0 (x) ≥ 0 für x ∗ − ε < x ≤ x ∗ . Entsprechend ist
f monoton fallend und somit f 0 (x) ≤ 0 für x ∗ ≤ x < x ∗ + ε. Speziell gilt also f 0 (x ∗ ) = 0. Führt
man eine entsprechende Überlegung für ein lokales Minimum durch, so folgt f 0 (x∗ ) = 0. Wie kann
man an der ersten Ableitung ablesen, ob ein lokales Minimum oder Maximum vorliegt? Ist die zweite
Ableitung an x ∗ kleiner als Null, so ist f 0 streng fallend. Wegen f 0 (x ∗ ) = 0 ist also f 0 links von x ∗
größer oder gleich Null und rechts davon kleiner oder gleich Null. Die Funktion f selbst ist also links
von x ∗ monoton wachsend und rechts davon fallend. Es liegt also ein lokales Maximum vor. Eine
entsprechende Aussage gilt für lokale Minima.
Ermittlung der lokalen Extremstellen: f sei in dem Intervall I zweimal differenzierbar.
47
5.4 Konvexität, Konkavität, Wendepunkte
1. Bestimme alle Nullstellen der Gleichung f 0 (x) = 0.
2. Ist x0 eine Nullstelle von f 0 (x) = 0 und gilt f 00 (x0 ) < 0, so liegt ein lokales Maximum an x0
vor. Gilt f 00 (x0 ) > 0, so liegt ein lokales Minimum an x0 vor. Gilt f 00 (x0 ) = 0 so sind weitere
Untersuchungen nötig, die im nächsten Abschnitt erfolgen.
Beispiel: Wir betrachten die Funktion
f (x) =
1 3 3 2 9
x − x + x + 1,
8
4
8
−∞ < x < ∞,
und bilden die ersten beiden Ableitungen
3 2 3
9
x − x+
8
2
8
3
3
00
x− .
f (x) =
4
2
f 0 (x) =
Wir hatten bereits die Nullstellen der Gleichung f 0 (x) = 0 ermittelt. Es galt x1 = 3 und x2 = 1. Wegen
f 00 (3) =
3
3
3
·3− = >0
4
2
4
hat die Funktion f für x = x1 = 3 ein lokales Minimum. Analog ist
f 00 (1) =
3
3
3
· 1 − = − < 0.
4
2
4
Also hat die Funktion f für x = x2 = 1 ein lokales Maximum.
5.4 Konvexität, Konkavität, Wendepunkte
Die folgende Eigenschaft beschreibt das Krümmungsverhalten einer Funktion.
Eine im Intervall I definierte Funktion heißt konvex, falls für alle x1 , x2 ∈ I und alle 0 < α < 1 gilt
f (αx1 + (1 − α)x2 ) ≤ αf (x1 ) + (1 − α)f (x2 ).
(31)
Die Funktion f heißt konkav, falls statt ≤ das Zeichen ≥ steht. Sie heißt streng konvex bzw. streng
konkav, falls < bzw. > statt ≤ bzw. ≥ für x1 6= x2 steht.
Aus der obigen Definition ergibt sich, dass für eine konvexe Funktion f die Funktion −f konkav ist.
Um die geometrische Interpretation vorzubereiten, betrachten wir die Funktion
gs (x) =
x − x1
x2 − x
f (x1 ) +
f (x2 ).
x2 − x1
x2 − x1
g ist eine lineare Funktion in x mit den Eigenschaften
gs (x1 ) = f (x1 )
und
g(x2 ) = f (x2 ).
Damit ist g die Sekante durch die Punkte (x1 , f (x1 )) und (x2 , f (x2 )) und die Punkte (x, gs (x)) sind
gerade die Punkte, die auf der Sekante liegen. Mit
α=
x2 − x
x2 − x1
und
ergibt sich aus (31) folgende Aussage.
48
1−α=
x − x1
x2 − x1
5.4 Konvexität, Konkavität, Wendepunkte
Eine Funktion ist genau dann konvex, wenn der Graph für x1 ≤ x ≤ x2 unterhalb der Sekante liegt,
die durch die Punkte (x1 , f (x1 )) und (x2 , f (x2 )) geht.
Das folgende Bild zeigt die Beziehung zwischen dem Graphen einer konvexen Funktion und der Sekante.
Jetzt wollen wir weitere Charakterisierungen für die Konvexität mit Hilfe der Ableitungen angeben.
Ist f eine in dem Intervall I zweimal differenzierbare Funktion,dann sind folgende Aussagen gleichwertig:
1. f ist konvex
2. Für alle x0 und alle x liegt f (x) oberhalb der Tangente
gt (x) = f (x0 ) + f 0 (x0 )(x − x0 )
im Punkt x0 .
3. Es gilt f 00 (x) ≥ 0 für alle x.
Das folgende Bild illustriert den Übergang von der Sekante zur Tangente.
Unter einem Wendepunkt versteht man eine Stelle x0 , wo für die Kurve Konkavität in Konvexität
(oder umgekehrt) übergeht. Hier muss dann die zweite Ableitung links von diesem Punkt kleiner oder
gleich Null sein und rechts größer oder gleich Null (oder umgekehrt). Insbesondere gilt f 00 (x0 ) = 0.
Ist f 000 (x0 ) < 0, so ist f 00 (x) > 0 für x < x0 . Also liegt links von x0 Konvexität und rechts von x0
Konkavität vor. Bei f 000 (x0 ) > 0 dreht sich die Reihenfolge von Konvexität und Konkavität gerade um.
Ermittlung der Wendepunkte: f sei in dem Intervall I dreimal differenzierbar.
1. Bestimme alle Nullstellen der Gleichung f 00 (x) = 0.
2. Ist x0 eine Nullstelle von f 00 (x) = 0 und gilt f 000 (x0 ) < 0, so geht Konvexität in Konkavität über.
Für f 000 (x0 ) > 0 dreht sich diese Aussage um.
Was geschieht, wenn die erste und mehrere höhere Ableitungen verschwinden? Sei also x0 ein Punkt
mit f 0 (x0 ) = f 00 (x0 ) = 0. Eventuell gilt sogar noch f 000 (x0 ) = 0. Zur Illustration betrachten wir
f (x) = x 3 und g(x) = x 4 . Dann gilt
f 0 (0) = f 00 (0) = g 0 (0) = g 00 (0) = 0.
Weiter gilt
f 000 (0) = 6 > 0,
also liegt ein Wendepunkt vor, wo Konkavität in Konvexität übergeht. Dagegen gilt g 000 (0) = 0 und
g (4) (0) = 24 > 0 und es liegt ein Minimum der Funktion g(x) = x 4 vor.
Allgemein läßt sich folgende Aussage nachweisen. Gilt f 0 (x0 ) = f 00 (x0 ) = 0 und ist die erste natürliche
Zahl k mit f (k) (x0 ) 6= 0 eine ungerade Zahl, dann liegt ein Wendepunkt vor. Ist diese Zahl gerade, so
liegt ein relatives Extremum vor. Hierbei muss natürlich vorausgesetzt werden, dass die Ableitungen
bis zur Ordnung k tatsächlich existieren.
49
5.5 Kurvendiskussion
5.5 Kurvendiskussion
Für eine gegebene Funktion hatten wir in den vorigen Kapiteln Nullstellen bestimmt, Monotoniebereiche untersucht und das Krümmungsverhalten betrachtet. Die Untersuchungen sind Bestandteile
einer genaueren Analyse einer Funktion. Man nennt eine solche Analyse eine Kurvendiskussion. Dabei
werden folgende Schritte gemacht.
Kurvendiskussion:
1. Definitionsbereich
4. Relative Extrema
7. Krümmungsverhalten
2. Nullstellen
3. Unstetigkeitsstellen
5. Wendepunkte
6. Monotoniebereiche
8. Verhalten im Unendlichen 9. Graphische Darstellung
Wir demonstrieren die einzelnen Schritte am Beispiel der Funktion
f (x) =
1.
2.
x2
3.
4.
x2 − 1
.
x2 − 4
Definitionsbereich: f ist für alle x, außer x = −2 und x = 2 definiert (Nullstellen des Nenners).
Nullstellen: f (x) = 0 zieht x 2 − 1 = 0 nach sich. Damit sind die beiden Nullstellen x1 = −1 und
= 1. Der Nenner ist dort ungleich Null.
Unstetigkeitsstellen: f ist an den Nullstellen des Nenners unstetig und sonst stetig.
Relative Extrema: Es gilt
f 0 (x) = −
6x
2
(x − 4)2
und
f 00 (x) =
18x 2 + 24
.
(x 2 − 4)3
f 0 (x) = 0 bedeutet −6x = 0, x0 = 0. f 00 (0) = − 24
64 < 0. Bei x0 = 0 liegt ein relatives Maximum vor.
Der Funktionswert des Maximums ist f (0) = 41 .
5. Wendepunkte: f 00 (x) = 0. Also 18x 2 + 24 = 0. Diese Gleichung hat keine reellen Lösungen. Es gibt
keine Wendepunkte.
6. Monotoniebereiche: Da (x 2 − 4)2 stets positiv ist, richtet sich das Vorzeichen von f 0 (x) nach dem
Vorzeichen von −6x. Also ist f wachsend für x ≤ 0, x 6= −2 und fallend für x > 0, x 6= 2.
7. Krümmungsverhalten:
18x 2 + 24
f 00 (x) =
.
(x 2 − 4)3
Da 18x 2 + 24 stets positiv ist, richtet sich das Vorzeichen von f 00 (x) nach dem Vorzeichen von
(x 2 − 4)3 . Das hat aber das gleiche Vorzeichen wie x 2 − 4. Damit ist f 00 (x) ≥ 0 für |x| ≥ 2 und sonst
ist f 00 (x) < 0. Somit ist f konvex für −∞ < x < −2 und 2 < x < ∞ und konkav für −2 < x < 2.
8. Verhalten im Unendlichen: Es gilt
x2 − 1
x2 − 1
=
lim
= 1.
x→∞ x 2 − 4
x→−∞ x 2 − 4
lim
9. Graphische Darstellung:
50
6.1 Bestimmtes Integral
6 Integralrechnung
6.1 Bestimmtes Integral
In diesem einführenden Kapitel zur Integralrechnung gehen wir von folgender Fragestellung aus. Gegeben ist eine im Intervall [a, b] definierte nicht negative Funktion f und es soll die von dem Graphen
und der x−Achse eingeschlossene Fläche berechnet werden. Wir zerlegen hierzu das Intervall mit Hilfe
von Zwischenpunkten xn,i , wobei gilt
a = xn,0 < xn,1 < ... < xn,n = b.
Die maximale Schrittweite dieser Zerlegung bezeichnen wir mit
δn = max (xn,i − xn,i−1 ).
1≤i≤n
Wir betrachten jetzt Rechtecke über den einzelnen Intervallen [xn,i−1 , xn,i ] mit einer (konstanten) Höhe,
die gut zu dem Verlauf der Funktion f im Intervall [xn,i−1 , xn,i ] paßt. Wir wählen also einen Zwischenpunkt ξn,i mit xn,i−1 ≤ ξn,i ≤ xn,i und approximieren die betrachtete Fläche durch die Gesamtfläche
der Rechtecke über [xn,i−1 , xn,i ] mit der Höhe f (ξn,i ). Diese Fläche ist gegeben durch
Xn
Sn =
f (ξn,i )(xn,i − xn,i−1 ).
i=1
Das nächste Bild illustriert die Approximation der Fläche unter der Kurve durch Rechtecke.
51
6.2 Hauptsatz der Differential-und Integralrechnung
Der folgende Begriff des Integrals basiert auf der Vorstellung, dass die Approximation der gesuchten
Fläche immer besser wird, wenn n → ∞ und dabei δn gegen Null strebt.
Die Funktion f heißt über [a, b] Riemann-integrierbar,
R b falls für jede Zerlegungsfolge mit δn → 0 die
Folge Sn gegen die gleiche Zahl strebt, die wir mit a f (x)dx bezeichnen und das bestimmte Integral
von f von a bis b nennen.
Ohne auf weitere Details einzugehen, bemerken wir, dass jede stetige Funktion Riemann-integrierbar
ist. Auch jede Funktion, die stückweise stetig ist und dazwischen Sprünge hat, ist Riemann-integrierbar.
6.2 Hauptsatz der Differential-und Integralrechnung
Eine direkte Berechnung des Integrals mit Hilfe des Grenzübergangs im vorigen Abschnitt ist sicher
in Spezialfällen möglich, ist aber ein sehr mühsames Verfahren. Die entscheidende Idee besteht jetzt
darin, anstatt des bestimmten Integrals mit festen Grenzen die obere Grenze als Variable zu betrachten
und damit die Funktion
Z x
F (x) =
f (t)dt
a
als Funktion von x zu untersuchen. Wir haben in den vorigen Kapiteln gesehen, dass die Ableitung sehr
hilfreich bei der Analyse von Funktionen ist. Deshalb betrachten wir für stetiges f den DifferenzenQuotienten von F
F (x + h) − F (x)
.
h
Es gilt
(Fläche über [a, x + h]) − (Fläche über [a, x])
Z x+h
= Fläche über [x, x + h] =
f (t)dt
x
Z x+h
f (t)dt.
F (x + h) − F (x) =
(32)
x
Dieser Zusammenhang wird durch das folgende Bild illustriert.
F (x + h) − F (x)
F (x)
a
x
x+h
b
Weil sich für eine stetige Funktion f die Funktionswerte
in dem kleinen Intervall [x, x + h] wenig
R x+h
ändern, gilt dort f (t) ≈ f (x) und somit ist x f (t)dt approximativ die Fläche des Rechtecks mit
Höhe f (x) und Breite h, d.h.
F (x + h) − F (x)
1
≈ f (x) · h = f (x).
h
h
Ist z.B. f monoton wachsend, so erhält man aus dem folgenden Bild
52
6.2 Hauptsatz der Differential-und Integralrechnung
h · f (x + h)
h · f (x)
a
←h→
b
die Ungleichung
f (x) ≤
F (x + h) − F (x)
≤ f (x + h).
h
Aus der Stetigkeit von f folgt dann
F (x + h) − F (x)
= f (x)
h→0
h
lim
oder
F0 = f.
Ähnlich wie in (32) sieht man für beliebige a1 < a2
Z
a2
F (a2 ) − F (a1 ) = Fläche über [a1 , a2 ] =
f (t)dt.
a1
Ist jetzt G eine weitere Funktion mit
G0 = f ,
dann folgt
(G − F )0 = G 0 − F 0 = 0.
(33)
Deshalb unterscheiden sich F und G nur um eine Konstante, d.h.
G(x) = F (x) + c.
Dann ist aber
Z
a2
G(a2 ) − G(a1 ) = F (a2 ) − F (a1 ) =
f (t)dt.
a1
Man kann also die Fläche auch mit Hilfe von G berechnen. Wir fassen unsere Betrachtungen zusammen.
Hauptsatz der Differential-und Integralrechnung:
Die Funktion f sei im Intervall [a, b] stetig. Jede Funktion F mit F 0 = f heißt Stammfunktion von f .
Ist F irgendeine Stammfunktion und a ≤ a1 < a2 ≤ b, so gilt
Z a2
F (a2 ) − F (a1 ) =
f (t)dt.
a1
53
6.3 Berechnung unbestimmter und bestimmter Integrale
6.3 Berechnung unbestimmter und bestimmter Integrale
R
Die Gesamtheit aller Stammfunktionen wird auch unbestimmtes Integral genannt und durch f (x)dx
bezeichnet. Zur Bestimmung der Stammfunktion muss man eine Funktion F mit F 0 = f finden und
erhält dann das unbestimmte Integral als
Z
f (x)dx = F (x) + c,
wobei c eine beliebige Konstante ist. Weil die Ableitung einer Stammfunktion oder des unbestimmten
Integrals gerade die ursprüngliche Funktion ist, ist also in diesem Sinne das Bilden des unbestimmten
Integrals die Umkehrung des Differenzierens.
Für einige elementare Funktionen lassen sich die Stammfunktionen direkt formelmäßig angeben. Man
erhält die entsprechenden Formeln, wenn man die entsprechenden Beziehungen für die Ableitung in
(28) und von (29) rechts nach links liest. Das ergibt
R
0dx = c
R n
1
x n+1 + c, −∞ < x < ∞, n 6= −1 ganzzahlig
x dx = n+1
R a
1
x dx = a+1
x a+1 + c, x > 0, a 6= −1
R x
(34)
e dx = e x + c,
R x
a dx = ln1a ax + c,
a > 0, a 6= 1
R 1
x 6= 0.
x dx = ln(|x|) + c,
Entsprechend kann man auch für die trigonometrischen Funktionen die unbestimmten Integrale finden.
R
cos xdx = sin x + c,
R
sin xdx = − cos x + c,
R 1
cos x 6= 0
cos2 x dx = tan x + c,
R 1
(35)
dx = − cot x + c,
sin x 6= 0
sin2 x
R 1
√
dx = arcsin x + c, −1 < x < 1
1−x 2
R 1
1+x 2 dx = arctan x + c,
Ähnlich wie bei der Bildung der Ableitung gibt es auch bei der Berechnung des unbestimmten Integrals
allgemeine Rechenregeln, von denen wir hier einige auflisten wollen.
Linearität:
R
(a · f (x) + b · g(x))dx
Variablensubstitution:
R
f (g(x))g 0 (x)dx
wobei
=a
R
f (x)dx + b
R
g(x)dx
(36)
= F (g(x)),
R
F (u) = f (u)du
Die erste Regel ist ziemlich einleuchtend. Hinsichtlich der zweiten Regel bemerken wir, dass F folgender
Bedingung genügt:
F 0 (u) = f (u).
Aus der Kettenregel für die Ableitung ergibt sich somit
(F (g(x))0 = f (g(x))g 0 (x)
54
6.3 Berechnung unbestimmter und bestimmter Integrale
und das ist gerade die behauptete Beziehung.
Beispiele: 1. Wir berechnen das Integral
Z 4
(−3x 3 + 7x 2 + 4x + 5)dx.
−2
Zur Bestimmung einer Stammfunktion verwenden wir die Linearität, d.h. die erste Regel in (36) und
die Regel für die Integration von Potenzfunktionen mit ganzzahligem Exponenten, d.h. Regel 2 in
(34). Das ergibt
4
Z 4
3 4 7 3
3
2
2
(−3x + 7x + 4x + 5)dx = − x + x + 2x + 5x
.
4
3
−2
−2
Hierbei bedeutet
[F (x)]ba = F (b) − F (a).
Somit erhalten wir für den Wert des betrachteten bestimmten Integrals
3
7
(− 44 + 43 + 2 · 42 + 5 · 4)
4
3
7
3
− (− (−2)4 + (−2)3 + 2 · (−2)2 + 5 · (−2)) = 42
4
3
2. Wir berechnen
Z
4
√
3
xdx.
1
Hierzu schreiben wir die Wurzel als Potenz und wenden die dritte Regel in (34) an. Das ergibt
4
Z 4
Z 4
√
1
3
1/3
1/3+1
x dx =
xdx =
x
1 + 13
1
1
1
4
3 4/3
≈ 4, 0122.
x
=
4
1
3. Zur Berechnung von
Z
4
1
dx
1 3x + 4
bemerken wir, dass sich der Integrand schreiben läßt als
1
1
= f (g(x))g 0 (x)
3x + 4
3
mit f (u) = 1/u, g(x) = 3x + 4 und g 0 (x) = 3. Auf das Integral
Z
f (g(x))g 0 (x)dx
wenden wir die Substitutionsregel an und erhalten mit
Z
1
du = ln |u|
u
das Zwischenresultat
Z
1
1
dx = ln |3x + 4|.
3x + 4
3
Hieraus ergibt sich das bestimmte Integral
4
Z 4
1
1
dx =
ln |3x + 4|
3
1 3x + 4
1
1
1
=
ln 16 − ln 7 ≈ 0, 2756.
3
3
55
6.4 Flächenberechnung
6.4 Flächenberechnung
Aus der Konstruktion des bestimmten Integrals mit Hilfe des Limes von
Xn
f (ξn,i )(xn,i − xn,i−1 ).
Sn =
i=1
hatten wir erkannt, dass das bestimmte Integral die Fläche zwischen der x−Achse, dem Graphen der
Funktion und den Geraden x = a und x = b ist, falls die Funktion in diesem Intervall nicht negativ ist.
Ist f negativ, so ist auch das bestimmte Integral negativ. Als Wert für die Fläche muss man dann den
Betrag nehmen. Wenn f im Intervall [a, b] das Vorzeichen wechselt, so liefert das bestimmte Integral
nicht die Fläche. In diesem Fall muss man das Intervall in Teilintervalle zerlegen in denen f immer das
gleiche Vorzeichen hat.
Beispiele: 1. Wir wollen die Fläche berechnen, die von der x−Achse, dem Graphen der Funktion
f (x) = x 3 und den Grenzen −1 und 1 eingeschlossen wird. Das folgende Bild zeigt den Verlauf der
Funktion und die gesuchte Fläche.
Im Intervall [−1, 0] ist f nicht positiv. Deshalb ist der erste Fächenanteil
Z 0
0 1
1
1
4
4
3
F1 = x dx = x
= 0 − (−1) = .
4
4
4
−1
−1
Im Intervall [0, 1] ist f nicht negativ und die Betragsbildung entfällt. Deshalb erhalten wir für den
zweiten Flächenanteil
Z 1
1
F2 =
x 3 dx = .
4
0
Die Gesamtfläche hat also die Größe 1/2.
2. Wir berechnen die Gesamtfläche zwischen der Kurve und x−Achse in den Grenzen von a = −2
und b = 2 für f (x) = x 3 − x. Es ist
f (x) = x(x − 1)(x + 1).
Hieraus ergibt sich, dass f die Nullstellen x1 = −1, x2 = 0 und x3 = 1 hat. Das folgende Bild zeigt
den Verlauf der Funktion und die gesuchte Fläche.
56
6.4 Flächenberechnung
Folglich ist die gesuchte Fläche
Z −1
Z 0
Z 1
Z 2
3
3
3
F = (x − x)dx +
(x − x)dx + (x − x)dx +
(x 3 − x)dx
−1
1
0
−2
−1 0
1 2
1
1 4 1 2
1 4 1 2
1 2
1 4 1 2 4
= x − x
+ x − x + x − x
+ x − x
4
4
2
4
2
2
4
2
−2
−1
0
1
9 1 1 9
= − + + − + = 5.
4
4
4
4
57