und Exponentialfunktionen
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Modul T-E Trigonometrische Funktionen und Exponentialfunktionen 1 Vertiefungsfach Mathematik – Textverständnis im Sachzusammenhang Schwerpunkt „Schnittpunkte Ganzrationaler Funktionen“ Modul T-E „Trigonometrische und Exponentialfunktionen“ Stundenvolumen 8 Stunden Fachbezogene Kompetenzen Argumentieren und Kommunizieren Sie argumentieren bei der Lösungsfindung in Kleingruppen oder dem Plenum. Ihre Arbeiten und Ergebnisse stellen sie immer in verschiedenen Präsentationsformen dar. Probleme erfassen, erkunden und lösen Sie wenden ihre Kenntnisse auf ihnen mehr oder minder bekannte Probleme aus dem Alltag an und lösen eigene dazu formulierte Fragen. Inhaltlicher Schwerpunkt Sinusfunktion - Graphen - Beschreibung von Kreisbewegungen Schwingungen Exponentialfunktionen - Graphen - Zerfallsprozesse - Umkehrfunktion Modelle erstellen und nutzen Sie entwerfen mathematische Modelle, die ein gegebenes Problem möglichst gut beschreibt. Beziehungen und Veränderungen beschreiben Die Schülerinnen und Schüler kennen die grundlegenden Eigenschaften der Sinusund der Exponentialfunktion. Medien und Werkzeuge verwenden Die Schülerinnen und Schüler nutzen verschiedene Werkzeuge. Arbeitsschritte Zunächst werden mittels der zur Verfügung gestellten Arbeitsblätter die grundlegenden Eigenschaften der unterschiedlichen Funktionen genannt. Individuelle Bearbeitung der Ergebnisse z.B. der Kompetenztestaufgaben „Das kann ich noch“, individuelle Nutzung der Testauswertungsdaten, kooperatives Arbeiten, Schüler-Experten, Lehrerinformation, Unterrichtsgespräch, Schülerinfo-Vorlage zur selbständigen Weiterarbeit. (Bei Bedarf) Die Schülerinnen und Schüler arbeiten verstärkt mit Funktionsplottern wie MatheAss, GeoGebra oder KL-Soft. Sie haben alle einen PC mit entsprechender Software im Unterrichtsraum zur Verfügung. Arbeitsformen und Materialien Arbeitsblatt Sinusfunktion Riesenradaufgabe Wiener Prater Schaufelradbagger Federpendel Arbeitsblatt Exponentialfunktion Arbeitsblatt Logarithmusfunktion C14 Methode Grabtuch Bierschaum Abkühlungsvorgänge Radioaktiver Zerfall Halbwertszeit von Thoron Sie orientieren sich bei der Diskussion und Lösung an den grundlegenden Arbeitsblättern. SuS nutzen den TR und den Computer zur Berechnung und Visualisierung der Ergebnisse 2 4.1 Rahmenbedingungen Modul T-E Anfangs12 TN (6 w + 6 m) Teilnahme freiwillig Vorwiegend Seiteneinsteiger aus RS (9) und HS (1) 4.2 Einschätzung der vorhandenen Kompetenzen und Defizite Argumentieren/Kommunizieren kommunizieren, präsentieren und argumentieren - TN kommunizieren zwanglos und relativ ungehemmt miteinander - Sie präsentieren ihre Ergebnisse zunehmend selbstbewusst im Vortrag und an der Tafel - Sie argumentieren eher unbeholfen Problemlösen Probleme erfassen, erkunden und lösen - TN erfassen bekannte Probleme schnell, diskutieren diese - Modellierung und somit Lösung fällt anfangs sehr schwer Modellieren Modelle erstellen und nutzen - Erst nach der Vorstellung möglicher Modelle wird eine Lösung erreicht Werkzeuge Medien und Werkzeuge verwenden - Der Umgang mit dem TR ist prinzipiell bekannt - komplexere Tastenkombinationen (Speichernutzung, exp-Taste etc.) sind weitestgehend unbekannt - Der Einsatz von einfachen Funktionenplottern ist unbekannt - Lehr- und Lernprogramme sind unbekannt Arithmetik/Algebra mit Zahlen und Symbolen umgehen - Der Umgang mit Zahlen ist geläufig - Das Rechnen mit Symbolen wird auch bei allgemeinen Lösungsansätzen möglichst vermieden Funktionen Beziehungen und Veränderungen beschreiben und erkunden - Ganzrationale Funktionen vom Grad 1 und 2 sind bekannt - Nullstellen- und Funktionswertberechnungen sind bekannt - Schnittpunkte liefern eher Probleme - Sinusfunktion und Zinseszinsfunktion müssen aufgearbeitet werden Geometrie ebene und räumliche Strukturen nach Maß und Form erfassen - wurde nicht abgefragt Stochastik mit Daten und Zufall arbeiten - wurde nicht abgefragt da irrelevant für dieses Modul 3 Textverständnisaufgaben im Sachzusammenhang mit Schwerpunkt Trigonometrische und Exponentialfunktionen (1) Stundenvolumen 8 Doppelstunden (2) Kompetenzerwartung Die TN kennen am Ende der Reihe verschiedene Einsatzmöglichkeiten der Trigonometrischen und Exponentialfunktionen und wenden sie an (Graphisch und rechnerisch). Dazu erfassen sie an Hand verschiedener Alltagsprobleme in der Diskussion mit den anderen TN das Problem, erstellen ein mathematisches Modell dafür, kommen mittels der Werkzeuge „Sinusfunktion“ oder „Wachstumsfunktion“ bzw. mittels Funktionsplottern zu realen Ergebnissen und übertragen diese in die Problemwelt. Dabei stehen die prozessbezogenen Kompetenzen zunächst durchaus im Vordergrund. Textverständnis und daraus abgeleitet Argumentieren, Modellieren und Lösen sind wesentliche Ziele dieses (wie auch jedes anderen) Moduls. Abschließend präsentieren sie ihre Ergebnisse an der Tafel oder dem Bildschirm und zeigen gegebenenfalls die Grenzen des Modells auf. (3) Inhaltlicher Schwerpunkt Sicherer Umgang mit periodischen Funktionen und mit Wachstums- bzw. Zerfallsfunktionen. Bei den periodischen Funktionen stehen Pendelbewegungen, Riesenrad und Schaufelradbagger im Mittelpunkt. Bei den Wachstumsfunktionen wird speziell auf die C14-Methode und forensische Methoden eingegangen. (4) Arbeitsformen und Materialien Materialien für selbstständiges Lernen Diskussion - Expertenrunde – Stationenlernen – Präsentation Der Einsatz der Funktionsplotters Matheass und KL_Soft ist immer noch schwierig und bedarf der eingehenden Übung. (5) Arbeitsschritte Die TN beschäftigen sich zunächst mit der Riesenradaufgabe. Sie ist allen zunächst zu schwer hinsichtlich des Textverständnisses und auch der Modellierung. 4 Auseinandersetzung mit dem AB „Sinusfunktion“ gestattet eine Übertragung der Realität aufs mathematische Modell. Die Funktion wird mit Matheass gezeichnet und der Verlauf eingehend diskutiert (Periodizität, Radius, Höhe zu bestimmten Zeitpunkt, Problem des Einsteigezeitpunktes und der Nabenhöhe). Anschließende Bearbeitung der AB Bagger und Feder führen zu sicherem Umgang mit den trigonometrischen Funktionen. Die Federschwingung wird im Schülerexperiment (alternativ Demo) realisiert. In gleicher Weise wird an die Wachstumsfunktionen herangegangen. Hier erfolgt der Einstieg mit dem Turiner Grabtuchproblem. Nach Bearbeitung des AB Wachstumsfunktion erkennen die TN ähnliche Strukturen, die sie auf die anderen Aufgaben übertragen. Die Bierschaumaufgabe zeigt, dass Zerfallsprozesse nicht unbedingt exponentiell verlaufen müssen. (6) Transparenz/Reflexion der Zielerreichung Die TN sind aufgeschlossen. Die kleine Gruppengröße führt zu vertiefter aktiver Auseinandersetzung mit dem Problem und dadurch bedingt zu verbesserter Motivation und daraus resultierend auch zu Erfolg bei den inhaltlichen Kompetenzen. Die Kurszusammensetzung erlaubt keine Regelfach-begleitende Bearbeitung einzelner Themen. Die Arbeit eines Schülers / einer Schülerin im Vertiefungsfach wird in einem Portfolio dokumentiert. Alle schon angesprochenen Materialien werden in dieses Portfolio (Ordner) abgeheftet. Dies sind zur Verfügung gestellte Materialien der Lehrkraft, Kursergebnisse, individuell Erarbeitetes (Fachinhaltliches, Dokumentation des eigenen Lernprozesses). Eine Fortschreibung des Portfolios in der Sekundarstufe II über das Vertiefungsfach hinaus ist möglich (7) Lernprozess- und Ergebnisevaluation Es macht den TN Freude, sich mit den Materialien zu beschäftigen, da sie zur Erarbeitung, Diskussion, Lösung und Präsentation im Vergleich zum normalen Unterricht sehr viel Zeit haben. Die Evaluation bezieht Portfolio, Feedbackbogen, Feedbackgespräche mit Schülerinnen und Schülern sowie den Lehrerinnen und Lehrern des Regelkurses ein. (8) Kursevaluation Die Kursevaluation gründet sich auf Ergebnisse von Schülerbefragungen, Einschätzungen durch die beteiligten Lehrkräfte und ggf. Einschätzungen der Schulleitung. Die Erwartungshaltung der Schülerinnen und Schüler gegenüber dem Fach ist nicht nur anfangs geprägt von einer Hoffnung auf schnell messbaren Erfolg, was allerdings nicht Ziel des Kurses ist. 5 Anhang: Materialien Modul T-E T-E 1 T-E 2 T-E 3 T-E 4 T-E 5 T-E 6 T-E 7 T-E 8 T-E 9 T-E10 Die Sinusfunktion Riesenrad Schaufelradbagger Federpendel Die Exponentialfunktion Die Logarithmusfunktion Altersbestimmung mittels C14 Bierschaumzerfall Abkühlungsvorgänge Radioaktiver Zerfall 6 Material Modul T-E Trigonometrische Funktionen und Exponentialfunktionen 7 Die Sinus Funktionen Diese Sinus-Funktionen sind verschoben: Notieren Sie Ihre Beobachtungen und fassen Sie sie in entsprechenden Funktionstermen zusammen: 8 Notieren Sie einen Funktionsterm, der den nachfolgenden Graphen beschreibt: 1. Die Funktion hat die Amplitude … 2. Die Funktion besitzt die Periode … 3. Die Funktion ist um … nach oben verschoben 4. Die Funktion ist um … nach rechts verschoben Also lautet der Funktionsterm f(x) = …………………………………….. 9 Notieren Sie einen Funktionsterm, der den nachfolgenden Graphen beschreibt: Die Funktion hat die Amplitude A =0,5* (3-(-1)) = 2 Die Funktion besitzt die Periode P ≈ (5-2) = 3 Die Funktion ist um yo = 1 nach oben verschoben Die Funktion ist um xo = 2 nach rechts verschoben Also lautet der Funktionsterm 2 f ( x) A sin x x0 yo P 2 2 sin x 2 1 3 4 2 2 sin x 1 3 3 10 Notieren Sie einen Funktionsterm, der den nachfolgenden Graphen beschreibt: 5. Die Funktion hat die Amplitude … 6. Die Funktion besitzt die Periode … 7. Die Funktion ist um … nach oben verschoben 8. Die Funktion ist um … nach rechts verschoben Also lautet der Funktionsterm f(x) = ……………………… 11 Notieren Sie einen Funktionsterm, der den nachfolgenden Graphen beschreibt: Die Funktion hat die Amplitude A =0,5* (4,5-1,5) = 1,5 Die Funktion besitzt die Periode P ≈ (7,7-2,5) = 5,2 Die Funktion ist um yo = -3 nach oben verschoben Die Funktion ist um xo = 2,5 nach rechts verschoben Also lautet der Funktionsterm 2 f ( x) A sin x x0 yo P 2 1,5 sin x 2,5 3 5, 2 12 Riesenrad Quelle: http://de.wikipedia.org/w/index.php?title=Datei:Riesenrad01.jpg&filetimestamp=20070808072004 Diese Bild- oder Mediendatei wurde von ihrem Urheber zur uneingeschränkten Nutzung freigegeben – Percon93 Aus dem Wiener Prater a) Notieren Sie den Term für die „Riesenradfunktion“ für ein Rad mit Durchmesser 30,48 m, Umlaufzeit 255 s, tiefster Punkt 3,80 m über der Erdoberfläche (die betrachtete Gondel soll sich dort auch zu Beginn der Zeitmessung aufhalten). b) Berechnen Sie die Höhe 17s nach Beobachtungsbeginn. 13 15,24 m 19,04 m 3,80 m Die Funktion hat die Amplitude 0,5*30,48 m = 15,24 m Die Funktion besitzt die Periode 255 s Der Graph der Funktion ist um 15,24m + 3,80m = 19,04 m nach oben verschoben Der Graph der Funktion ist um P / 4 = 255s / 4 = 63,75 s nach rechts verschoben (nach dieser Zeit wird die Nabenhöhe das erste Mal von unten durchstoßen) Es ergibt sich: 2 f ( x) A sin x x0 yo P 2 15, 24m sin x 63, 75s 19, 04m 255s 2 f (17 s ) 15, 24m sin 17s 63, 75s 19, 04m 255s 5,11m 14 Schaufelradbagger Quelle: wikipedia: http://de.wikipedia.org/wiki/Schaufelradbagger , 21.07.09 Vergleichen Sie den mittleren Bodendruck p Gewichtskr aft G m g Fläche A A des Schaufelradbaggers 288 mit dem Bodendruck eines Autos oder Ihrem eigenen (mit g = 9,81 N/kg). http://de.wikipedia.org/wiki/Datei:Gr%C3 %B6%C3%9Fenvergleich_Schaufelradba gger_Mobilbagger.JPG Diese Datei wurde unter der GNU-Lizenz für freie Dokumentation veröffentlicht, Urheber: A. Gutwein Die Geometrie des 285 stimmt im Wesentlichen mit der des 288 überein. Nennen Sie die entscheidende Komponente, die dafür verantwortlich ist, dass der 288 eine größere Nennförderung hat. Geben Sie die Gleichung an, die die Höhe einer Schaufel in Abhängigkeit von der Zeit beschreibt. Für eine Umdrehung benötigt eine Schaufel etwa 43 s. Zusatz: Zu Wartungsarbeiten muss die Schaufel aus der untersten Position 1m angehoben werden. Bestimmen Sie die Zeit, die der Motor dazu laufen muss. 15 Lösungsvorschläge: Zum Beispiel ist die Auflagefläche eines Reifens ca 10cm x 20cm = 200 cm². Bei einer Masse von 1500 kg herrscht dann eine Gewichtskraft von ca. 15000 N. Der Bodendruck ergibt sich zu p = 15000N / 4 x 200cm² = 18,75 N/cm². Ein Mensch der Masse 75 kg steht auf zwei Füßen mit der Fläche von je 8cm x 25 cm = 200 cm². Der Bodendruck ergibt sich zu p = 750N / 2 x 200cm² = 1,875 N/cm². Trägt man Stöckelabsätze mit einer Fläche von 1cm² plus vordere Auflagefläche von ca. 10cm² erhöht sich der Bodendruck auf p = 750N / 2 x 11cm² = 34,1 N/cm². Die größere Nennleistung in m³/Tag ist auf die größere Motorleistung des Baggers zurückzuführen. Dadurch kann offenbar die Umdrehungszahl erhöht werden. Die Höhe in Abhängigkeit von der Zeit wird beschrieben durch: 2 f ( x) A sin x x0 yo P 2 43s 10,8m sin x h 4 43s Wobei man davon ausgeht, dass die Nabenhöhe h sei und die Beobachtung anfängt, wenn sich die Schaufel im untersten Punkt befindet. Die Nabenhöhe spielt keine Rolle. Die Schaufel befindet sich jetzt 9,8m unterhalb der Nabe. 2 43s 10,8m sin x 9,8m 4 43s 2 43s 9,8m sin x 4 10,8m 43s 2 43s 9,8 x arcsin 43s 4 10,8 x 43s 43s 9,8 arcsin 4 2 10,8 x 43s 9,8 43s arcsin 2 10,8 4 3s Der letzte Teil der Aufgabe ist lediglich als Zusatz gedacht. Umkehrfunktionen wurden bisher nicht behandelt. SuS haben allerdings manchmal ein gutes Gespür für die Verwendung des TR bei derartigen Aufgaben. 16 Federpendel An eine Feder der Länge 0,25 m (a) wird durch ein Massestück mit der Masse 0,25 kg angehängt. Dadurch wird sie um s=0,15 m ausgelenkt (b). Anschließend dehnt man sie mit der Hand um weitere 0,05 m aus (c) und lässt sie los. Die Bewegung der Feder wird auf eine Wand projiziert: Das Massestück bewegt sich nun sinusförmig mit der Periode T herauf und herunter. Berechne die Periode T gemäß Thomsonscher Schwingungsgleichung T 2 s g wobei g = 9,81 m/s² die Erdbeschleunigung und s die Ausdehnung der Feder durch die Masse ist. Berechne die Länge der Feder nach 3s (schematisch in d). 17 Die Exponentialfunktion Diese Exponentialfunktionen sind gegeneinander verschoben und/oder gestreckt: Notieren Sie Ihre Beobachtungen und fassen Sie sie in entsprechenden Funktionstermen zusammen: 18 Die Logarithmus Funktion Diese Logarithmusfunktionen sind gegeneinander verschoben und/oder gestreckt: Notieren Sie Ihre Beobachtungen und fassen Sie sie in entsprechenden Funktionstermen zusammen: 19 Notieren Sie einen Funktionsterm, der den nachfolgenden Graphen beschreibt: 1. Die Funktion ist streng monoton ………………. 2. Der Graph schneidet die Ordinate bei ………………….. 3. Die Funktion strebt für x gegen unendlich gegen …………………… 4. Die Funktion besitzt die „Halbwertszeit“ ……………………….. 5. Die Funktion nimmt für x = 8,5 den Wert …………. an 20 Notieren Sie einen Funktionsterm, der den nachfolgenden Graphen beschreibt: Die Funktion ist streng monoton fallend Der Graph schneidet die Ordinate bei 100 Die Funktion strebt für x gegen unendlich gegen 0 Die Funktion besitzt die „Halbwertszeit“ 4 Also ist der Funktionsterm gegeben durch x 1 x1 f ( x) Ao A 2 A 2 x x 1 4 1 4 100 0 0 100 2 2 8,5 1 4 f (8,5) 100 2 22,925 21 Notieren Sie einen Funktionsterm, der den nachfolgenden Graphen beschreibt: 1. Die Funktion ist streng monoton ……………………….. 2. Der Graph schneidet die Ordinate bei ……………………….. 3. Die Funktion strebt für x gegen unendlich gegen ……………………….. 4. Die Funktion besitzt die „Halbwertszeit“ ……………………….. 5. Die Funktion nimmt für x = 65 den Wert ……………………….. an 22 Notieren Sie einen Funktionsterm, der den nachfolgenden Graphen beschreibt: 1. Die Funktion ist streng monoton fallend 2. Der Graph schneidet die Ordinate bei 80 3. Die Funktion strebt für x gegen unendlich gegen 20 4. Die Funktion besitzt die „Halbwertszeit“ 10 5. Also ist der Funktionsterm gegeben durch x 1 x1 f ( x) Ao A 2 A 2 x x 1 10 1 10 80 20 20 60 20 2 2 65 1 10 f (65) 60 20 20, 663 2 Die Funktion nimmt für x = 65 den Wert 20,663 an. 23 Notieren Sie einen Funktionsterm, der den nachfolgenden Graphen beschreibt: 1. Die Funktion ist streng monoton ……………….. 2. Der Graph schneidet die Ordinate bei ……………….. 3. Die Funktion strebt für x gegen minus unendlich gegen ……………….. 4. Die Funktion besitzt die „Halbwertszeit“ ……………….. 5. Die Funktion nimmt für x = 23 den Wert ……………….. an 6. Für welchen x-Wert nimmt die Funktion den Wert 111 an? 24 Notieren Sie einen Funktionsterm, der den nachfolgenden Graphen beschreibt: 1. Die Funktion ist streng monoton steigend 2. Der Graph schneidet die Ordinate bei 60 3. Die Funktion strebt für x gegen minus unendlich gegen 0 4. Die Funktion besitzt die „Verdopplungszeit“ 10 5. Also ist der Funktionsterm gegeben durch x x2 f ( x) Ao A 2 A x 10 60 0 2 0 60 2 x 10 23 10 f (23) 80 2 393,966 Die Funktion nimmt für x = 23 den Wert 393,966 an. 25 6. Mit der Logarithmusfunktion erhält man dann: x y 60 210 x y 210 60 x y log 10 2 60 y log y 60 x 10 log 10 log(2) 2 60 y 111 log log 60 10 60 8,875 x 10 log(2) log(2) x = 8,875. 26 Altersbestimmung mittels C14 Bei der Untersuchung des Turiner Grabtuchs wird festgestellt, dass der C-14 Gehalt nur noch (92 0,5)% des Anfangswertes beträgt. Berechnen Sie das Alter des Tuchs, wenn die Halbwertszeit von C-14 5730 Jahre beträgt. Quelle: Secondo Pia http://de.wikipedia.org/wiki/Datei:Shroud-of-Turin-1898-photo.jpg Diese Bild- oder Mediendatei ist gemeinfrei, weil ihre urheberrechtliche Schutzfrist abgelaufen ist. Quelle: Fotografie von Giuseppe Enrie http://de.wikipedia.org/wiki/Datei:Turiner_Grabtuch_Gesicht_negativ_klein.jpg Die Schutzdauer für das von dieser Datei gezeigte Werk ist nach den Maßstäben des deutschen, des österreichischen und des schweizerischen Urheberrechts abgelaufen. 27 Nach obigen Angaben beträgt die heutige Aktivität noch 92% von Ao. Die Aktivität ist gegeben durch A(t ) Ao A 0,5 0,92 Ao Ao 0,5 t 5730 a t T1/ 2 A 0 t log 0,5 0,92 5730 a t 5730 a log 0,5 0,92 5730 a log 0,92 log 0,5 690 a Für 91,5% bzw. 92,5% ergibt sich: t 5730 a log 0,5 0,915 5730 a log 0,915 log 0,5 734 a t 5730 a log 0,5 0,925 5730 a log 0,925 log 0,5 644 a Demzufolge wurde das Grabtuch etwa um 1300 n.Ch mit einer Ungenauigkeit von ca. 50 Jahren hergestellt. 28 zeitlicher Abstand der Aufnahmen: t=10s Diese Bild- oder Mediendatei wurde von ihrem Urheber zur uneingeschränkten Nutzung freigegeben – P. Bastgen Formulieren Sie selber eine Aufgabe und bearbeiten Sie diese. 29 Abkühlung Mathematisch ähnlich wie das beschränkte Wachstum kann die Abkühlung eines Körpers beschrieben werden, dessen Temperatur höher ist als die der Umgebung. Y=A(x) sei die Temperatur des Körpers zum Zeitpunkt x, a sei die Temperatur zur Zeit x = 0 und U die konstante Umgebungstemperatur. Dann ist x 1 x1 T ( x) T0 U 2 U 2 30 Abkühlung von Schokolade Eine Tasse warme Schokolade (28,5°C) wird um Mitternacht bei einer konstanten Umgebungstemperatur von 17,4°C entdeckt. Nach Ablauf von 2 Stunden beträgt die Temperatur der Schokolade noch 23,2°C. Für Kommissar Derrick ist es wichtig zu wissen, wann die Schokolade aufgegossen wurde. Er geht davon aus, dass sie anfangs eine Temperatur von 37°C hatte. Die Halbwertszeit ergibt sich aus x1 1 x1 T ( x1 ) T0 U 2 U 2 x1 1 x 12 T ( x1 ) U T0 U 2 x 1 log T ( x1 ) U 0,5 T U x 0 1 2 x 1 2 x 1 T ( x1 ) U log 0,5 T0 U Die gesuchte Zeitspanne erhält man dann mit xT 1 x1 T ( xT ) T0 U 2 U 37 2 xT 1 x 12 37 U T0 U 2 x T log 37 U 0,5 T U x 0 1 2 x T x 37 U 1 log 0,5 T ( x1 ) U T0 U log 0,5 T0 U 37 U log T0 U x 1 T ( x1 ) U log T0 U Eingesetzt liefern die Werte in Stunden vor der ersten Messung: xT = −1,752 Die Schokolade wurde also etwa 1h 45 min vor Mitternacht zubereitet. 31 Radioaktiver Zerfall Die Radioaktivität das Gases Thoron wird wie folgt aufgenommen: 1. Bestätigen Sie, dass es sich um eine Exponentialfunktion handelt 2. Bestimmen Sie die Halbwertszeit 3. Berechnen Sie die Aktivität nach 555 s, wenn die Aktivität zu Beginn des Experimentes 33 kBq betrug. 32 Radioaktiver Zerfall Die Radioaktivität das Gases Thoron wird wie folgt aufgenommen: Die Halbwertszeit beträgt konstant ca. 61s Also ergibt sich die Funktion t 1 t1 A(t ) Ao A 2 A 2 t 1 61s 33kBq 0 2 t 1 61s 33kBq 2 555 s 1 61s A(555s ) 33kBq 2 0, 0602 kBq 33
