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Formelsammlung
Thema
Wechselspannung
Widerstand an Wechselspannung
Spule an Wechselspannung
Kondensator an Wechselspannung
Reihenschaltung R und L
Reihenschaltung R und C
Parallelschaltung R und L
Parallelschaltung R und C
Blindleistungs-Kompensation
Stand: 14. Mai 2016
Elektrotechnik
Bereiche
Begriffsdefinition
Zeiger- und Liniendiagramm
Umrechnung Bogenmaß – Gradmaß
Kreisfrequenz
Effektivwert
Phasenverschiebungswinkel
Mathematische Darstellung
Momentanwert bei best. Winkel
Linien- und Zeigerdiagramm
Phasenwinkel
Widerstand
Momentanwert bei best. Winkel
Linien- und Zeigerdiagramm
Phasenverschiebungswinkel
Blindwiderstand
Momentanwert bei best. Winkel
Linien- und Zeigerdiagramm
Phasenverschiebungswinkel
Blindwiderstand
Spannungen
Zeigerdiagramme
Widerstände
Leistung
Spannungen
Zeigerdiagramme
Widerstände
Leistung
Ströme
Zeigerdiagramme
Leitwerte
Leistung
Ströme
Zeigerdiagramme
Leitwerte
Leistung
Berechnung und Zeigerdiagramm
Seite
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Formelsammlung
Elektrotechnik
Bestimmungsgrößen der Wechselstromtechnik:
Wechselspannung:
Eine Spannng die in regelmäßiger wiederkehrender Folge ihre Richtung und Polarität
ändert, nennt man Wechselspannung.
Periode:
Vorgang, der sich in gleicher Weise wiederholt.
Periodendauer T:
Zeit, die zum Ablauf einer Periode erforderlich ist.
Frequenz f:
Anzahl der Perioden (Schwingungen) pro Sekunde f 
1
T
 f   1  Hz
s
Augenblickswert u(t):
Der Augenblickswert u(t) (Momentanwert) ist der Spannungswert u zu einem bestimmten
Zeitpunkt t.
Scheitelwert û:
Der Scheitelwert û wird auch als Amplitude, Höchstwert oder Maximalwert bezeichnet. Er
ist der größte Augenblickswert.
Spitze-Spitze-Wert uss, upp:
Der Spitze-Spitze-Wert wird auch als Peak-Peak-Wert bezeichnet. Er ist bei sinusförmigen
reinen Wechselspannungen doppelt so groß wie der Scheitelwert û
u ss  2  uˆ
Linien- und Zeigerdiagramm:
Zeigerdiagramm
Liniendiagramm
Eine sinusförmige Wechselspannung lässt sich durch ein Zeiger- und Liniendiagramm darstellen.
Bei Zeigerdiagramm dreht sich der Zeiger mit konstanter Geschwindigkeit gegen
den Uhrzeigersinn
ut   uˆ  sin 
u(t) = Momentanspannung in V
û = Scheitelspannung in V
φ = Winkel
Stand: 14. Mai 2016
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Formelsammlung
Elektrotechnik
Umrechnung Bogenmaß – Gradmaß:

360 ˆ 2  
 360  2  


360


2 

 

  360
2 


   2 
360
  = Winkel im Gradmaß

 = Winkel im Bogenmaß
Auswahl einiger Winkel und Bogenmaße:



0°
0
15°

12
30°

6
45°

4
60°

3
90°

2
180°

270°
3
2
360°
2 
Kreisfrequenz:
  2   f
f 
ω = Kreisfrequenz in

2 

2 
T
T
2 

1
s
f = Frequenz in Hz
T = Periodendauer in s
Effektivwert (quadratischer Mittelwert) eines Wechelstrom:
I
iˆ
2
iˆ  I  2
î = Scheitelwert des Stromes (der Wechselgröße)
I = Effektivwert des Wechselstromes (der Wechselgröße)
Phasenverschiebungswinkel φ:
  u  i
u    i
i  u  
φ = Phasenverschiebungwinkel zwischen Strom u und Spannung i
φu = Nullphasenwinkel der Spannung u
φi = Nullphasenwinkel des Strom i
Stand: 14. Mai 2016
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Formelsammlung
Elektrotechnik
Mathematische Darstellung einer sinusförmigen Wechselspannung:
Die sinusförmige Schwingung (Spannung) kann dargestellt werden:
in Abhängigkeit vom Phasenwinkel α im Gradmaß (!!! Taschenrechner auf DEG !!!):
u   uˆ  sin 
uˆ 
u  
sin 
sin  
u  
( 2 Lösungen !! : α° , 180°- α°)
uˆ
u(α°) = Momentanspannung in V
û = Scheitelwert der Spannung in V
α = Winkel im Gradmaß
in Abhängigkeit vom Phasenwinkel b im Bogenmaß (!!! Taschenrechner auf RAD !!!):
ub  uˆ  sin b
uˆ 
u b 
sin b
sin b 
u b 
( 2 Lösungen !! : b ,  - b)
uˆ
u(b) = Momentanspannung in V
û = Scheitelwert der Spannung in V
b = Winkel im Bogenmaß
in Abhängigkeit von der Zeit t (!!! Taschenrechner auf RAD !!!):
ut   uˆ  sin   t 
uˆ 
u t 
sin   t 
sin   t  
u t 
T
( 2 Lösungen !! : t , - t)
uˆ
2
u(t) = Momentanspannung in V
û = Scheitelwert der Spannung in V
1
ω = Kreisfrequenz in
s
t = Zeit in s ; T = Periodendauer in s
Stand: 14. Mai 2016
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Formelsammlung
Elektrotechnik
Ohmscher Widerstand an sinusförmiger Wechselspannung:
ut   uˆ  sin   t 
uˆ 
u t 
sin   t 
sin   t  
u t 
T
( 2 Lösungen !! : t , - t)
uˆ
2
i t   iˆ  sin   t 
iˆ 
i t 
sin   t 
sin   t  
i t 
T
( 2 Lösungen !! : t , - t)
iˆ
2
Taschenrechner auf RAD umstellen !!
u(t) = Momentanwert der Spannung in V
û = Scheitelwert der Spannung in V
i(t) = Momentanwert des Stromes in A
î = Scheitelwert des Stromes in A
R = Widerstand in Ω
1
ω = Kreisfrequenz in
s
t = Zeit in s
T = Periodendauer in s
Liniendiagramm
Zeigerdiagramm
Phasenwinkel:
i  u    0
Widerstand:
R
U
uˆ
u t 
 R
mit uˆ U  2 und iˆ  I  2  R 
I
it 
iˆ
Der Widerstand ist im Wechselstromkreis nicht frequenzabhängig
Stand: 14. Mai 2016
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Formelsammlung
Elektrotechnik
Spule an sinusförmiger Wechselspannung:

u t 

u t   iˆ  L    sin    t    iˆ 

2


L    sin    t   
2

i t   iˆ  sin   t 
i t 
sin   t 
iˆ 
sin   t  
L
u t 


iˆ    sin    t   
2

i t 
T
( 2 Lösungen !! : t , - t)
iˆ
2
Taschenrechner auf RAD umstellen !!
u(t) = Momentanwert der Spannung in V
û = Scheitelwert der Spannung in V
i(t) = Momentanwert des Stromes in A
î = Scheitelwert des Stromes in A
1
ω = Kreisfrequenz in
s
t = Zeit in s
L = Induktivität in H
Liniendiagramm
Zeigerdiagramm
Phasenverschiebungswinkel:
 i    t  u    t  

2
  

2
   90
Bei der idealen Spule eilt der Strom i der Spannung u um 90° nach !!
Blindwiderstand XL:
XL   L

XL
L
X L  2   f  L
L
f 
XL

XL
2   L
  2   f
L
XL
2   f
XL = Blindwiderstand in Ω
L = Induktivität in H
f = Frequenz in Hz
Der Blindwiderstand ist frequenzabhängig. Er verhält sich proportional
Stand: 14. Mai 2016
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Formelsammlung
Elektrotechnik
Kondensator an sinusförmiger Wechselspannung:
ut   uˆ  sin   t 
uˆ 
u t 
sin   t 
sin   t  
u t 
T
( 2 Lösungen !! : t , - t)
uˆ
2
it 
it 


C
i t   uˆ  C    sin    t    uˆ 


2



C    sin    t   
uˆ    sin    t   
2
2


Taschenrechner auf RAD umstellen !!
u(t) = Momentanwert der Spannung in V
û = Scheitelwert der Spannung in V
i(t) = Momentanwert des Stromes in A
î = Scheitelwert des Stromes in A
1
ω = Kreisfrequenz in
s
t = Zeit in s
C = Kondensator in F
Liniendiagramm
Zeigerdiagramm
Phasenverschiebungswinkel:
 u    t  i    t  

2
  

2
   90
Beim idealen Kondensator eilt der Strom i der Spannung u um 90° vor !!
Blindwiderstand XC:
XC 
1
 C
XC 
1
2   f  C

1
XC C
f 
C
1
X C 
1
2   X C  C
  2   f
C
1
X C  2   f
XC = Blindwiderstand in Ω
C = Kapazität in F
f = Frequenz in Hz
Der Blindwiderstand ist frequenzabhängig. Er verhält sich indirekt proportional
Stand: 14. Mai 2016
Seite 3-7
Formelsammlung
Elektrotechnik
Reihenschaltung R und L:
Spannungen:
UZ  U R UL
2
2
2
U R  U Z U L
2
tan  
UL
UR
UZ  UR UL
2
U L  U Z U R
2
2
2
cos  
2
UR
UZ
UL
UZ
sin  
Alle Spannungen in V
Widerstände:
Z 2  R2  X L
R  Z2  XL
tan  
Z  R2  X L
2
2
XL
R
cos  
2
X L  Z 2  R2
R
Z
sin  
XL
Z
Z = Scheinwiderstand (Impendanz) in Ω
R = Wirkwiderstand in Ω
XL = ind. Blindwiderstand in Ω
Leistung:
S 2  P 2  QL
2
QL  S 2  P 2
2
U
S  Z  I2 Z
Z
S  P 2  QL
tan  
QL
P
2
P  S 2  QL
2
cos  
U
P  R  I2 R
R
P
S
2
sin  
QL
S
2
U
QL  L  I 2  X L
XL
S = Scheinleistung in VA
QL = Blindleistung in var
P = Wirkleistung in W
cosφ = Leistungsfaktor
Beachte:
- Der Strom i ist in der Reihenschaltung überall gleich.
- Am Widerstand sind Spannung und Strom phasengleich
- An der Spule sind Spannung und Strom um +90° phasenverschoben.
 i eilt uL um 90° nach
Stand: 14. Mai 2016
Seite 3-8
Formelsammlung
Elektrotechnik
Reihenschaltung R und C:
Spannungen:
U Z  U R UC
2
2
U R  U Z UC
2
tan  
UC
UR
U Z  U R UC
2
UC  U Z U R
2
2
2
2
cos  
2
UR
UZ
UC
UZ
sin  
Alle Spannungen in V
Widerstände:
Z 2  R2  X C
R  Z 2  XC
XC
R
tan  
Z  R2  X C
2
2
cos  
2
X C  Z 2  R2
R
Z
sin  
XC
Z
Z = Scheinwiderstand (Impendanz) in Ω
R = Wirkwiderstand in Ω
XC = kap. Blindwiderstand in Ω
Leistung:
S 2  P 2  QC
2
QC  S 2  P 2
2
U
S  Z  I2 Z
Z
S  P 2  QC
tan  
QC
P
2
P  S 2  QC
2
cos  
U
P  R  I2 R
R
P
S
2
sin  
QC
S
2
U
QC  C  I 2  X C
XL
S = Scheinleistung in VA
QC = Blindleistung in var
P = Wirkleistung in W
cosφ = Leistungsfaktor
Beachte:
- Der Strom i ist in der Reihenschaltung überall gleich.
- Am Widerstand sind Spannung und Strom phasengleich
- Am Kondensator sind Spannung und Strom um -90° phasenverschoben.
 i eilt uC um 90° vor
Stand: 14. Mai 2016
Seite 3-9
Formelsammlung
Elektrotechnik
Parallelschaltung von R und L:
Ströme:
IZ  IR  IL
2
2
tan  
IZ  IR  IL
2
IL
IR
2
cos  
IR
IZ
IR  IZ  IL
2
sin  
IL
IZ
2
2
IL  IZ  IR
2
2
Alle Ströme in A
Leitwerte (Widerstände):
Y 2  G 2  BL
tan  
2
BL
R

G XL
Y  G 2  BL
cos  
G  Y 2  BL
2
G Z

Y R
sin  
BL  Y 2  G 2
2
BL
Z

Y
XL
Y
1
Z
G
1
R
BL 
1
XL
Y = Blindleitwert in S
G = Wirkleitwert in S
BL = ind. Blindleitwert in S
Leistung:
S 2  P 2  QL
2
QL  S 2  P 2
S
U2
2
 IZ  Z
Z
S  P 2  QL
tan  
P
QL
P
P  S 2  QL
2
cos  
U2
2
 IR  R
R
P
S
QL 
2
sin  
QL
S
U2
2
 IL  X L
XL
S = Scheinleistung in VA
QL = Blindleistung in var
P = Wirkleistung in W
cosφ = Leistungsfaktor
Beachte:
- Die Spannung u ist in der Parallelschaltung überall gleich.
- Am Widerstand sind Strom und Spannung phasengleich
- An der Spule sind Strom und Spannung um +90° phasenverschoben.
 i eilt uL um 90° nach
Stand: 14. Mai 2016
Seite 3-10
Formelsammlung
Elektrotechnik
Parallelschaltung von R und C:
Ströme:
I Z  I R  IC
2
2
tan  
I Z  I R  IC
2
2
IC
IR
cos  
IR
IZ
I R  I Z  IC
2
sin  
IC
IZ
2
2
IC  I Z  I R
2
2
Alle Ströme in A
Widerstände:
Y 2  G 2  BC
tan  
2
BC
R

G
XC
Y  G 2  BC
cos  
G  Y 2  BC
2
G Z

Y R
sin  
BC  Y 2  G 2
2
BC
Z

Y
XC
Y
1
Z
G
1
R
BC 
1
XC
Y = Blindleitwert in S
G = Wirkleitwert in S
BC = kap. Blindleitwert in S
Leistung:
S 2  P 2  QC
2
QC  S 2  P 2
S
U2
2
 IZ  Z
Z
S  P 2  QC
tan  
P
QC
P
P  S 2  QC
2
cos  
U2
2
 IR  R
R
P
S
QC 
2
sin  
QC
S
U2
2
 IC  X C
XC
S = Scheinleistung in VA
QC = Blindleistung in var
P = Wirkleistung in W
cosφ = Leistungsfaktor
Beachte:
- Die Spannung u ist in der Parallelschaltung überall gleich.
- Am Widerstand sind Spannung und Strom phasengleich
- Am Kondensator sind Spannung und Strom um -90° phasenverschoben.
 i eilt uC um 90° vor
Stand: 14. Mai 2016
Seite 3-11
Formelsammlung
Elektrotechnik
Blindleistungs-Kompensation:
Bei stark induktivlastigen Verbrauchern, z.B. Motoren wird durch Zuschaltung einer
Kapazität erreicht, dass die Blindleistung (=Energie) anstatt ins Netz
zum größten Teil in den Kondensator geführt wird. Sie pendelt nun
ständig zwischen Kapazität und Induktivität hin und her.
Vor Kompensation gilt: Q  QL
QL  P  tan 1
tan 1 
QL
P
P
QL
tan 1
P
Q
tan 1
Nach Kompensation gilt: Q  QL  QC
Q  P  tan  2
C
tan 1 
P  tan 1  tan  2 
U 2 
 C U 2   

tan  2  tan 1  
P


Q
P
P
C U 2 
tan 1  tan  2 
U
P  tan 1  tan  2 
C 
 C U 2   
  tan  2
tan 1  
P



P  tan 1  tan  2 
U 2 C
QL = induktive Blindleistung in var
QC = kapazitive Blindleistung in var
Q = Blindleistung nach Kompensation in var
P = Wirkleistung in W
φ1 = Phasenwinkel vor der Kompensation
φ2 = Phasenwinkel nach der Kompensation
C = Kapazität in F
U = Spannung in V
ω = Kreisfrequenz in Hz
Stand: 14. Mai 2016
Seite 3-12