Lineare Algebra/Mathe für Inf B • SoSe 2016 Abgabe

Lineare Algebra/Mathe für Inf B • SoSe 2016
Übungsblatt 1
Abgabe bis 13.04.2015
Vorlesung: Prof. Dr. Stefan Ruzika
Übungen: Dr. Mark Steinhauer
(Zur Bearbeitung in der Übung am 11.4. – 15.04.2016)
Präsenzübungen
Aufgabe 1.1 (10 Punkte)
Bestimmen Sie die rellen Lösungen der folgenden linearen Gleichungssysteme (LGSe):
a) zeichnerisch, indem Sie beide Gleichungen nach y auflösen und die zugehörigen Geraden in R2 zeichnen.
b) rechnerisch mit einem Ihnen aus der Schule geläufigen Verfahren (Einsetzungs- oder Gleichsetzungs- oder
Elimationsverfahren).
(1.1.1)
3x + y = 9
2x − y = 1
(1.1.2)
2x + 6y = 4
x + 3y = 4
(1.1.3)
−7x + 3y = −4
21x − 9y = 12
Aufgabe 1.2 (10 Punkte)
Bestimmen und beschreiben Sie die reellen Lösungen (x, y, z) der folgenden linearen Gleichungssystem:



4x
+
5y
+
z
=
1
4x
+
5y
+
z
=
4





 4x + 5y + z = 4
(1.2.1) 2x + 3y + z = 1
(1.2.2) 2x + 3y + z = 3
(1.2.3) 2x + 3y + z = 3






3x + 4y + z = 1
4x + 3y + z = 2
3x + 4y + z = 2
Aufgabe 1.3 (10 Punkte)
a) In einem Käfig seien Hasen und Hühner. Die Anzahl der Köpfe sei insgesamt 4, die Anzahl der Beine sei
insgesamt 10. Wieviele Hasen und Hühner sind es?
b) Wenn fünf Ochsen und zwei Schafe acht Taels kosten, sowie zwei Ochsen und acht Schafe auch acht Taels,
was ist dann der Preis eines Tieres? (Chiu-Chang Suan-Chu, ca. 300 n. Chr.)
Aufgabe 1.4 (10 Punkte)
(i) Stellen Sie a = (4, 2) dar:
−→
a) als Ortsvektor OP; wie lauten die Koordinaten von P?
−→
b) als Vektor AB, wobei A = (−1, −2) (berechnen Sie die Koordinaten von B).
−→
c) als Vektor CD, wobei D = (1, 0) (berechnen Sie die Koordinaten von C).
(ii) Berechnen Sie für a = (1, 2, 3) und b = (−1, 5, 3):
a) a + b
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b) 2a
c) − 2b
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d) a + b .
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Entscheiden Sie, welche der Aussagen in der folgenden Aufgabe wahr bzw. falsch sind. Begründen Sie
die richtigen Aussagen kurz und geben Sie bei den falschen jeweils ein Gegenbeispiel an! Punkte gibt es
nur für die Kombination aus richtiger Antwort und passender Begründung bzw. Gegenbeispiel.
Aufgabe 1.5 (10 Punkte)
Richtig oder falsch?
a) Rn besteht aus allen n-Tupeln reeller Zahlen.
richtig falsch b) Rn besteht aus n-Tupeln von Vektoren.
richtig falsch c) Man kann je zwei n-Tupel des Rn addieren.
richtig falsch d) Man kann ein n-Tupel v ∈ Rn durch ein n-Tupel w ∈ Rn dividieren, falls w 6= 0 ist.
richtig falsch e) Rn besitzt ein eindeutig bestimmtes Nullelement, nämlich 0 = (0, . . . , 0).
falsch richtig Aufgabe 1.6 (10 Punkte)
Richtig oder falsch? Gegeben sei ein lineares Gleichungssystem (LGS) :
ax + by = e
cx + dy = f
mit reellen Zahlen a, b, c, d, e, f. Falls e = f = 0 gilt, so nennt man das LGS homogen, sonst inhomogen.
a) Das LGS kann eine, keine oder unendliche Lösungen besitzen.
richtig falsch b) Wenn das LGS für e = f = 0 nur die Lösung x = y = 0 besitzt, so besitzt das LGS für beliebige e, f ∈ R
genau eine eindeutig bestimmte Lösung.
richtig falsch c) Jede Lösung (x, y) des inhomogenen LGS ist von der Form (x0 , y0 ) + (u, v), wobei (x0 , y0 ) eine
spezielle Lösung des inhomogenen LGS ist und (u, v) eine beliebige Lösung des homogenen LGS.
richtig falsch d) Falls ad − bc = 0 ist, so hat das homogene LGS nur die Lösung (x, y) = (0, 0).
richtig falsch e) Falls ad − bc 6= 0 ist, so hat das inhomogene LGS unendlich viele Lösungen. richtig falsch Lineare Algebra/Mathe für Inf B
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