Känguru der Mathematik 2007 - Student

Känguru der Mathematik 2007
Gruppe Student (11. bis 13. Schulstufe)
Österreich - 15.3.2007
7) Bei einer Universitätsaufnahmsprüfung müssen Studenten mindestens 80%
der gestellten Fragen richtig beantworten. Peter hat bisher 15 Fragen
bearbeitet, wovon er 5 nicht beantworten konnte, aber die restlichen 10 richtig
beantwortete. Wenn er alle verbleibenden Fragen richtig beantwortet, besteht
er die Prüfung mit genau 80%. Aus wie vielen Fragen besteht die Prüfung?
A) 20
B) 25
C) 30 D) 35 E) 40
- 3 Punkte Beispiele -
1) Michael baut eine Rennbahn. Er
bemerkt, dass die Reihenfolge der
Autos am Ende nicht so wie rechts
abgebildet ist. Welches Bahnstück
muss er statt X in die Rennbahn
bauen, damit sich die Reihenfolge so wie rechts ergibt?
A)
B)
C)
D)
8) Welches der folgenden Objekte kann man erhalten, wenn man
das gegebene Objekt im Raum bewegt?
W
A) W und Y
3) Die grau gezeichnete Fläche des Dreiecks OAB beträgt
A
3 . Wie groß ist die Fläche des Dreiecks ABC?
B) 2
C) 5
D) 4
E) 4 3
A
O
C
B) X und Z
D
B C
E
4) (sin 1°):(cos 89°) =
A) 0
B) tan 1°
C) cot 1°
D)
1
89
E) 1
5) Eine Billardkugel trifft wie abgebildet unter 45° auf eine
Bande. In welche Tasche wird die Kugel schließlich fallen,
wenn sie nicht stehen bleibt?
A) A B) B C) C D) D E) Sie fällt nie in eine Tasche.
Y
Z
E)
2) Anna, Benni und Carl haben zusammen 30 Bälle. Wenn Carl 5 von Benni
bekommt, Anna 4 von Carl und Benni 2 von Anna, haben sie alle gleich viele
Bälle. Wie viele hatte Anna zu Beginn?
B
A) 8
B) 9
C) 11 D) 13 E) 15
A) 2 3
X
D
45°
6) Betrachten wir eine Schnur mit der Länge 12 m und einem
Knoten im Punkt X, der von einem Ende der Schnur 3 m
A
entfernt ist. Wie weit muss ein zweiter Knoten vom anderen
Ende der Schnur entfernt
sein, sodass die Schnur zu
einem Dreieck gespannt
werden kann, mit rechtem
Winkel in X, einem Eckpunkt
im anderen Knoten und dem
dritten Eckpunkt in dem Punkt, wo sich die Schnurendpunkte treffen?
A) 3
B) 4
C) 5
D) 6
E) eine andere Zahl
C
C) nur Y
D) keines
9) Die Strecke AE wird wie abgebildet in vier gleich
lange Stücke geteilt. Halbkreise mit den
Durchmessern AE, AD und DE werden gezeichnet,
womit zwei Wege von A nach E erzeugt werden,
einer oberhalb und einer unterhalb von AE.
Bestimme das Verhältnis der Länge des oberen
Wegs zur Länge des unteren Wegs.
A) 1:2
B) 2:3 C) 2:1
D) 3:2 E) 1:1
10) Eine mathematisch begabte Spinne
webt ein Netz, in dem einige Seiten wie
abgebildet ganzzahlige Länge haben. x
ist ebenfalls eine ganze Zahl. Bestimme
den Wert von x.
A) 11 B) 13 C) 15 D) 17 E) 19
16
18
x
10
9
5
x
17
5
11) Zu einem Quadrat ABCD mit der
28
Seitenlänge 1 werden alle Quadrate
gezeichnet, die mit ABCD mindestens 2 Eckpunkte gemeinsam haben. Wie
groß ist die Fläche des Gebiets, das von diesen Quadraten abgedeckt wird?
A) 5
B) 6
C) 7
D) 8
E) 9
12) Der Winkel β ist um 25% kleiner als der Winkel γ und um 50% größer als
der Winkel α. γ ist
A) 25% größer als α.
B) 50% größer als α.
C) 75% größer als α.
D) 100% größer als α.
E) 125% größer als α.
10
28
28
- 4 Punkte Beispiele -
B
E) W, X und Y
13) Es gilt 2x+1+2x = 3y+2-3y, wobei x und y ganzzahlig sind. Wie groß ist x?
A) 0
B) 3
C) -1
D) 1
E) 2
14) Wie groß ist cos 1° + cos 2° + cos 3° + … + cos 358° + cos 359°=
A) 1
B) π
C) 0
D) 10 E) -1
C
15) Zwei Halbkreise werden wie abgebildet gezeichnet.
Die Sehne CD mit Länge 4 ist parallel zum Durchmesser
AB des großen Halbkreises und berührt den kleinen
A
Halbkreis. Wie groß ist die schattierte Fläche?
A) π B) 1,5⋅ π C) 2⋅ π D) 3⋅ π E) Es ist nicht genug Information vorhanden.
D
B
16) Die Summe von fünf auf einander folgenden positiven ganzen Zahlen ist
gleich der Summe der nächsten drei. Die größte der acht Zahlen ist
A) 4
B) 8
C) 9
D) 11 E) eine andere Zahl
B)
-2
-1
C)
27)
2
2
2
2
2
1
1
1
1
1
2
-2
-1
1
2
-2
-1
1
2
-2
-1
A)
E)
1
1
2
-2
-1
- 5 Punkte Beispiele -
21) Welche der folgenden Zahlen kann nicht als x + x mit ganzzahligem x
geschrieben werden?
A) 870 B) 110 C) 90 D) 60 E) 30
1
8
C)
1
11
D)
1
13
E) Charlotte kann nicht gewinnen.
26) Bestimme die Anzahl der reellen Zahlen a, für die die
quadratische Gleichung x²+ax+2007 = 0 zwei
ganzzahlige Lösungen besitzt.
A) 3 B) 4 C) 6 D) 8 E) eine andere Zahl
?
D)
B)
25) In der Abbildung sehen wir ein Stück des Graphen
der Funktion f(x) = ax³+bx²+cx+d. Wie groß ist b?
A) -4
B) -2
C) 0
D) 2
E) 4
19) Wie viele Punkte mit ganzzahligen Koordinaten liegen auf einer Kugel mit
Mittelpunkt im Ursprung und Radius 3?
A) 30
B) 24
C) 12 D) 6
E) 3
A)
1
6
24) Wie groß ist der spitze Winkel in einem Rhombus, in dem die Seitenlänge
das geometrische Mittel der beiden Diagonalenlängen
ist?
4
A) 15°
B) 30° C) 45° D) 60° E) 75°
18) Auf einer Insel wohnen Lügner (die immer lügen) und Edle (die immer die
Wahrheit sagen). Ein Inselbewohner A behauptet nach Anfrage, dass von ihm
und einem weiteren Bewohner B mindestens einer ein Lügner wäre. Welche
der folgenden Aussagen stimmt?
A) A kann diese Aussage nicht treffen.
B) A und B sind beide Lügner.
C) A und B sind beide Edle.
D) A ist ein Lügner und B ist ein
Edler.
E) B ist ein Lügner und A ist ein Edler.
(1 + x )(1 − x )
23) Anna, Belinda und Charlotte spielen ein Würfelspiel. Anna gewinnt, wenn
sie eine 1, 2 oder 3 wirft. Belinda gewinnt, wenn sie eine 4 oder 5 wirft und
Charlotte gewinnt, wenn sie eine 6 wirft. Der Würfel wandert der Reihe nach
von Anna zu Belinda zu Charlotte, und dann wieder zu Anna, usw. bis eine
gewonnen hat. Bestimme die Wahrscheinlichkeit dafür, dass Charlotte
gewinnt.
A)
17) Thomas wurde genau am 20. Geburtstag seiner Mutter geboren, und sie
haben daher denselben Geburtstag. Wie oft wird das Alter von Thomas ein
Teiler vom Alter seiner Mutter sein, wenn sie beide recht lang leben?
A) 4 mal B) 5 mal C) 6 mal D) 7 mal E) 8 mal
20) Welches ist der Graph der Funktion f ( x) =
2x
und f (g (x )) = x gelten, dann gilt
3x + 4
3x
3x + 4
2x + 4
4x
A) g ( x) =
B) g ( x) =
C) g ( x) =
D) g ( x) =
2x + 4
2x
4x
2 − 3x
E) g(x) hat eine andere Gestalt.
22) Wenn f (x ) =
1
2
1
2 1 +1 2
999
1000
B)
+
1
3 2 +2 3
99
100
C)
9
10
+"+
1
100 99 + 99 100
D) 9
2
-4
2
-2
-2
-4
=
E) 1
28) Beim Wichteln beschenken fünf Freunde einander so, dass jeder ein
Geschenk hergibt und eines erhält, wobei sich niemand selbst beschenkt. Auf
wie viele Arten ist dies möglich?
A) 5
B) 10
C) 44 D) 50
E) 120
1 2 3 . . .
29) Die Zahlen der Folge 123451234512345… werden
5 2 3 4 5 .
spiralförmig wie abgebildet auf kariertem Papier
4 1 1 2 1
angeschrieben. Welche Ziffer steht 100 Kästchen über der
3 5 4 3 2
markierten Ziffer 1?
2 1 5 4 3
A) 1
B) 2
C) 3
D) 4
E) 5
30) Die monoton steigende Folge 1,3,4,9,10,12,13,… enthält
alle Dreierpotenzen und alle Zahlen die als Summe von (beliebig vielen)
paarweise verschiedenen Dreierpotenzen geschrieben werden können. Was
ist die hundertste Zahl dieser Folge?
A) 150 B) 981 C) 1234 D) 2401 E) 3100
4