Mathematik für Molekulare Biologen

Skriptum zur Vorlesung
Mathematik für Molekulare Biologen
Christian Schmeiser1
Contents
1 Einleitung
1
2 Zahlensysteme, Grundrechnungsarten
2
3 Komplexe Zahlen, Polynome
5
4 Die Polardarstellung, Winkelfunktionen
9
5 Reelle Funktionen, Grenzwerte
12
6 Differentialrechnung, die Exponentialfunktion
17
7 Integration
24
8 Kleinste Fehlerquadrate
33
9 Differentialgleichungen – Reaktionskinetik
40
1
Einleitung
Es ist das Ziel dieser Vorlesung, mit einigen mathematischen Methoden Bekanntschaft zu machen,
die bei quantitativen Zugängen zur Molekularbiologie eingesetzt werden. Dazu sind als Vorbereitung einige mathematische Grundlagen notwendig, deren Behandlung den größeren Teil der Vorlesung (bis einschließlich Kapitel 7) in Anspruch nimmt.
Prinzipiell sind keinerlei mathematische Vorkenntnisse notwendig (nicht einmal solche aus der
Schule). Allerdings werden HörerInnen, bei denen das wirklich der Fall ist, das Tempo wahrscheinlich als sehr hoch empfinden.
Mathematische Theorien bestehen im Wesentlichen aus Axiomen, Definitionen und Sätzen.
Axiome sind Annahmen über die Natur mathematischer Objekte, die vorausgesetzt werden und
daher nicht weiter diskutiert werden müssen, wenn man sich diesbezüglich geeinigt hat. Definitionen
führen (aufbauend auf Bekanntem) neue Begriffe ein. Sätze sind aus Axiomen, Definitionen und
schon bewiesenen Sätzen beweisbare Aussagen. In diesem Skriptum wird der Stoff nicht streng
nach diesen Gesichtspunkten präsentiert. Allerdings erscheinen bei Farbdruck Teile des Textes in
Blau bzw. Rot, was auf ihren logischen Rang als Definitionen bzw. Sätze hinweist.
1
Institut für Mathematik,
[email protected]
Universität
Wien,
Nordbergstraße
1
15,
1090
Wien,
Austria.
chris-
Die Standardschreibweise der Mengentheorie wird verwendet wie das aufzählende Verfahren zur
Angabe von Mengen, z.B.
A = {mein Schlüsselbund, meine Geldbörse, mein Handy, mein Laptop} ,
sowie das beschreibende Verfahren, z.B.
B = {x : x ist in meinem Rucksack} .
Die Aussage x gehört zur Menge A bzw. x ist Element der Menge A schreibt man als x ∈ A, ihre
Verneinung als x ∈
/ A. Die leere Menge {} ist die Menge ohne Elemente. Teilmengen:
A⊂B
gilt genau dann, wenn jedes Element von A auch Element von B ist. Vereinigungs- und Durchschnittsmengen:
A ∪ B = {x : x ∈ A oder x ∈ B} ,
A ∩ B = {x : x ∈ A und x ∈ B} ,
wobei das oder in der Definition der Vereinigungsmenge ein inklusives oder ist. Differenzmenge:
A \ B = {x : x ∈ A und x ∈
/ B} .
2
Zahlensysteme, Grundrechnungsarten
Die Menge der natürlichen Zahlen
IIN = {1, 2, 3, . . .}
ist abgeschlossen bezüglich der Addition, d.h. die Summe zweier beliebiger natürlicher Zahlen ist
wieder eine natürliche Zahl. Für die Umkehroperation zur Addition, die Subtraktion, gilt das nicht:
3 − 5 ist keine natürliche Zahl. Um diesem Ausdruck Sinn zu geben, erweitert man auf die Menge
der ganzen Zahlen
ZZ = {. . . , −2, −1, 0, 1, 2, . . .} ,
die auch bezüglich der Subtraktion abgeschlossen ist.
Die Menge der natürlichen Zahlen ist auch bezüglich der Multiplikation abgeschlossen. Diese
lässt sich auch auf die ganzen Zahlen erweitern (und zwar so, dass die wichtigsten Rechenregeln
gültig bleiben). Wieder besteht das Problem, dass die Umkehroperation zur Multiplikation, die
Division p/q nicht für beliebige p, q ∈ ZZ wieder eine ganze Zahl ergibt. Als Konsequenz führt eine
weitere Erweiterung auf die Menge der rationalen Zahlen
Q = {p/q : p ∈ ZZ, q ∈ IIN} .
Man beachte, dass damit die Abgeschlossenheit nur fast vollständig hergestellt ist: Division durch
Null ist auch in Q nicht erlaubt. Die rationalen Zahlen sind den Menschen schon seit langer Zeit
bekannt, so bildeten sie z.B. das Zahlensystem der Pythagoräer.
So wie man durch fortgesetztes Addieren mit demselben Summanden auf das Multiplizieren
kommen kann, führt das fortgesetzte Multiplizieren mit demselben Faktor auf das Potenzieren:
xn = xxn−1
für n ≥ 2 ,
2
x1 = x .
Figure 1: Graphischer Beweis des Pythagoräischen Lehrsatzes
Bemerkung 1 Das ist eine sogenannte rekursive Definition. Man beachte, dass auf diese Art
xn für alle n ∈ IN
I definiert ist. Der Grund ist das, was die natürlichen Zahlen im Kern ausmacht:
Sie beginnen bei 1 und man erreicht jede von ihnen, indem man bei 1 zu Zählen beginnt.
Hat man das Potenzieren definiert, ist man natürlich wieder an der Umkehroperation, dem
Wurzelziehen interessiert. Als Beispiel betrachten√wir die Quadratwurzel:
Die Tatsachen, dass
√
2
2
1 = 1 und 2 = 4√gilt, schreibt man auch als 1 = 1 und 2 = 4. Da 2 zwischen 1 und 4 liegt,
erwarten wir, dass 2 zwischen 1 und 2 liegt. Mit Hilfe des Pythagoräischen Lehrsatzes (graphischer
Beweis siehe Fig. 1, vorpythagoräischer Beweis siehe Fig.
√ 2) können wir sogar ein geometrisches
Konstruktionsverfahren für eine Strecke mit der Länge 2 (z.B. cm) angeben: Es ist die Länge der
Diagonale eines Quadrates mit der Kantenlänge 1. Nach der Logik der pythagoräischen Mathematik
muss es also eine rationale Zahl
√
p/q = 2
geben. Um p, q ∈ IIN eindeutig festzulegen, nehmen wir an, dass die Darstellung gekürzt ist, d.h.
dass p und q keine gemeinsamen Teiler haben. Aus der obigen Gleichung folgt (durch Quadrieren
und Multiplizieren mit q 2 )
p2 = 2q 2 .
Daraus folgt aber, dass p2 eine gerade Zahl ist, was weiter impliziert, dass p eine gerade Zahl ist.
Wir können p daher darstellen als p = 2r mit r ∈ IIN. Setzen wir das in die obige Gleichung ein und
dividieren diese durch 2, so ergibt sich
2r2 = q 2 .
Daraus folgt aber analog zu oben, dass q 2 und daher auch q eine gerade Zahl ist. Dass p und q
beides gerade Zahlen sind, widerspricht aber unserer Annahme, dass die Darstellung p/q gekürzt
ist. Dieses Argument zeigt, dass es keine rationale Zahl gibt, deren Quadrat 2 ist.
3
Figure 2: Beweis des ’Satzes von Pythagoras’ aus Zhou Bi Suan Jing (Zhou-Dynastie, 1046–256
B.C., bzw. Han-Dynastie, 256 B.C. – 220 A.D.)
Diese katastrophale Erkenntnis des Mitglieds Hippasus der Pythagoräer wird das Dilemma der
griechischen Mathematik genannt. Geometrisch gesehen zeigt es, dass das Einzeichnen aller Punkte,
die den rationalen Zahlen entsprechen, auf einer Zahlengeraden Lücken hinterlässt. Heute bezeichnen wir diese Lücken als irrationale Zahlen, die wir zusätzlich in unser Zahlensystem aufnehmen,
wodurch die Menge IR der reellen Zahlen entsteht.
Eine wesentliche Aussage über irrationale Zahlen ist, dass jede irrationale Zahl beliebig gut
durch rationale Zahlen approximiert werden kann. Genauer heißt das, dass man eine beliebige
irrationale Zahl und einen beliebig kleinen Fehler vorgeben kann, und dann immer eine rationale
Zahl findet, deren Abstand zu der gegebenen
irrationalen Zahl kleiner als der vorgegebene Fehler
√
ist. Am Beispiel der irrationalen Zahl 2 werden wir dieses Resultat demonstrieren. Wir wissen
schon, dass
√
1< 2<2
√
gilt, d.h. beide rationalen Zahlen 1 und 2 haben höchstens den Abstand 1 von 2. Wir werden
das sogenannte Bisektionsverfahren oder Halbierungsverfahren verwenden, um genauere Approximationen zu finden. In der Mitte zwischen 1 und 2 liegt 3/2, und es gilt (3/2)2 = 9/4 > 8/4 = 2.
Daraus folgern wir
2 √
3
< 2< ,
2
2
√
woraus folgt, dass wir 2 schon bis auf einen Fehler 1/2 approximiert haben. In der Mitte zwischen
2/2 und 3/2 liegt (2/2 + 3/2)/2 = 5/4, und es gilt (5/4)2 = 25/16 < 32/16 = 2 und daher
5 √
6
< 2< .
4
4
4
Einen Schritt machen wir noch: (5/4 + 6/4)/2 = 11/8, (11/8)2 = 121/64 < 128/64 = 2, woraus
folgt
11 √
12
< 2<
.
8
8
Damit haben wir gezeigt, dass sowohl 11/8 als auch 12/8 = 3/2 höchstens den Abstand 1/8 von
√
2 haben. Da der Abstand in jedem Schritt halbiert wird, kann er beliebig klein gemacht werden.
Die wichtigsten Teilmengen von IR sind Intervalle, die an ihren Enden offen oder abgeschlossen
sein können:
(a, b) := {x ∈ IR : a < x < b} ,
[a, b] := {x ∈ IR : a ≤ x ≤ b} ,
[a, b) := {x ∈ IR : a ≤ x < b} ,
(a, b] := {x ∈ IR : a < x ≤ b} .
Intervalle können auch unbeschränkt sein:
(a, ∞) := {x ∈ IR : x > a} ,
[a, ∞) := {x ∈ IR : x ≥ a} ,
(−∞, a) := {x ∈ IR : x < a} ,
(−∞, a] := {x ∈ IR : x ≤ a} .
Übungsaufgaben
2.1. Man berechne den Flächeninhalt des gleichschenkeligen Dreiecks mit den Kantenlängen 4, 3,
3.
√
2.2. Man zeige, dass 3 keine rationale Zahl ist.
√
2.3. Man approximiere 5 mithilfe des Bisektionsverfahrens bis auf einen Fehler von maximal
1/8.
2.4. Man approximiere eine positive und eine negative Lösung von x2 + x = 5 jeweils bis auf einen
Fehler von maximal 1/4.
3
Komplexe Zahlen, Polynome
Leider haben wir mit der Einführung der reellen Zahlen das Problem des Quadratwurzelziehens
noch nicht vollständig gelöst, weil das Quadrat einer reellen Zahl nicht negativ sein kann. Es gibt
daher keine reelle Zahl x, für die x2 = −1 gilt. Um diesem Problem Herr zu werden, ist eine kühne
(aber simple) Idee notwendig: Man postuliert einfach, dass es eine solche Zahl gibt und gibt ihr
einen Namen. Der Name i bezeichnet ab nun eine Zahl, für die
i2 = −1
(1)
gilt. Diese Zahl wird als imaginäre Einheit bezeichnet. Damit diese Erweiterung des Zahlenraumes in unserem Sinne brauchbar wird, ist aber die Abgeschlossenheit bezüglich aller Grundrechnungsarten notwendig. Es müssen also auch Ausdrücke wie 1 + i oder 5i definiert sein. Das
führt auf die Definition der Menge der komplexen Zahlen
C = {a + ib : a, b ∈ IR} .
5
Für eine komplexe Zahl z = a+ib bezeichnen wir die beiden reellen Zahlen Re(z) = a und Im(z) = b
als Realteil und Imaginärteil. Jede relle Zahl z kann auch komplexe Zahl mit Im(z) = 0 angesehen
werden. Die Menge aller rein imaginären Zahlen mit Re(z) = 0 liefert
√ Quadratwurzeln für alle
negativen reellen Zahlen.
Sei
nämlich
x
∈
I
R,
x
<
0.
Dann
existiert
−x ∈ IR und für die rein
√
imaginäre Zahl z = i −x gilt
√ 2
√ 2
−x = (−1) · (−x) = x .
z 2 = i −x = i2
Wie oben erwähnt, können die reellen Zahlen als Punkte auf einer Zahlengeraden geometrisch
interpretiert werden. Ähnlich gibt es für die komplexen Zahlen eine geometrische Interpretation als
Punkte in einer Ebene, die in diesem Zusammenhang als Gaußsche Zahlenebene bezeichnet wird.
Dabei verwendet man ein kartesisches (d.h. rechtwinkeliges) Koordinatensystem und identifiziert
die komplexe Zahl z = a+ib mit dem Punkt mit den Koordinaten (a, b). Die a-Achse wird als reelle
Achse und die b-Achse als imaginäre Achse bezeichnet. Die reelle Achse repräsentiert die Menge
der reellen Zahlen als Teilmenge von C und die imaginäre Achse die Menge der rein imaginären
Zahlen.
Als Erweiterung für den Begriff des Betrages einer reellen Zahl definieren wir den Betrag einer
komplexen Zahl geometrisch als ihren Abstand vom Ursprung in der Gaußschen Zahlenebene, den
wir mit Hilfe des Pythagoräischen Lehrsatzes aus Realteil und Imaginärteil berechnen können:
|a + ib| =
p
a2 + b2 ≥ 0 .
Beim Rechnen praktisch ist oft die konjugiert komplexe Zahl z zu einer komplexen Zahl z = a + ib,
die geometrisch durch Spiegelung an der reellen Achse definiert wird:
z := a − ib .
Als Beispiel für ihre Verwendung sei die Identität |z|2 = zz angeführt.
Wie erhofft, ist die Menge der komplexen Zahlen abgeschlossen bezüglich der Grundrechnungsarten (abgesehen von der Division durch Null, die in den reellen Zahlen auch schon verboten
war), wobei diese erst zu definieren sind. Dazu sind aber nur die üblichen Rechengesetze und die
Beziehung (1) notwendig:
Addition:
(a + ib) + (c + id) = (a + c) + i(b + d) ,
d.h. bei der Addition zweier komplexer Zahlen sind einfach die Realteile und die Imaginärteile zu
addieren. Analog:
Subtraktion:
(a + ib) − (c + id) = (a − c) + i(b − d) .
Etwas komplizierter wird es bei der Multiplikation:
(a + ib)(c + id) = ac + i2 bd + ibc + iad = (ac − bd) + i(ad + bc) ,
und noch etwas komplizierter bei der Division, bei der wir mit der konjugiert Komplexen des
Nenners erweitern, um diesen reell zu machen:
a + ib
(a + ib)(c − id)
ac + bd + i(bc − ad)
ac + bd
bc − ad
=
=
= 2
+i 2
.
2
2
2
c + id
(c + id)(c − id)
c +d
c +d
c + d2
6
Das funktioniert natürlich nur, wenn zumindest eine der beiden reellen Zahlen c und d verschieden
von Null ist, d.h. c + id 6= 0.
Offensichtlich sind i und −i zwei verschiedene Lösungen der quadratischen Gleichung z 2 +1 = 0.
Für allgemeinere quadratische Gleichungen der Form
az 2 + bz + c = 0
(2)
mit reellen Koeffizienten a 6= 0, b, c verwendet man zunächst quadratische Ergänzung:
b
b
b2
az + bz + c = a z + z + c = a z 2 + z + 2
a
a
4a
2
2
b
= a z+
2a
2
+
4ac − b2
.
4a
=
b2 − 4ac
4a2
!
+c−
b2
4a
Die Gleichung (2) kann daher in der Form
z+
b
2a
2
geschrieben werden. Wurzelziehen liefert die Lösungsformel
√
−b ± b2 − 4ac
,
z1,2 =
2a
und daher zwei reelle Lösungen, wenn b2 − 4ac > 0 gilt. Lassen wir auch komplexe Lösungen zu,
dann gibt es auch im Fall b2 − 4ac < 0 zwei Lösungen, nämlich
√
−b ± i 4ac − b2
z1,2 =
.
2a
Man rechnet leicht nach, dass sich in beiden Fällen die linke Seite der Gleichung (2) faktorisieren
(d.h. als Produkt schreiben) lässt als
az 2 + bz + c = a(z − z1 )(z − z2 ) .
Das gilt auch im Grenzfall b2 − 4ac = 0 mit z1 = z2 = −b/(2a). In diesem Fall nennt man
−b/(2a) eine doppelte Lösung. Wenn man diese auch doppelt zählt, ergibt sich das Resultat, dass
eine quadratische Gleichung mit reellen Koeffizienten immer 2 komplexe Lösungen hat. Das lässt
sich in zwei Richtungen verallgemeinern: Auf Gleichungen mit komplexen Koeffizienten und auf
Gleichungen höherer Ordnung.
Dazu definieren wir zunächst den Begriff des Polynoms: Ein Polynom n-ten Grades mit komplexen Koeffizienten ist ein Ausdruck der Form
p(z) =
n
X
ak z k = an z n + an−1 z n−1 + · · · + a1 z + a0 ,
k=0
mit a0 , . . . , an ∈ C, an 6= 0. Eine Lösung z der Gleichung p(z) = 0 nennt man eine Nullstelle des
Polynoms. Das wesentliche Grundresultat (das nicht so leicht zu beweisen ist) ist
7
Satz 1 Jedes Polynom mit komplexen Koeffizienten und mindestens ersten Grades besitzt mindestens eine komplexe Nullstelle.
Für das Weitere benötigen wir die (leicht nachzurechnende) Identität
z k − z1k = (z − z1 )(z k−1 + z k−2 z1 + · · · + zz1k−2 + z1k−1 ) .
Sei nun z1 eine Nullstelle des Polynoms p, d.h. p(z1 ) = 0. Dann gilt wegen der obigen Gleichung
p(z) = p(z) − p(z1 ) =
n
X
ak (z k − z1k ) = (z − z1 )q(z) ,
k=0
wobei q ein Polynom (n − 1)-sten Grades ist. Diese Rechnung und Satz 1 ermöglichen für jedes
Polynom p mit Grad n ≥ 1 die folgende Vorgangsweise: Der Satz 1 garantiert, dass p eine Nullstelle
z1 ∈ C besitzt. Dasselbe gilt für q(z) = p(z)/(z − z1 ), wenn n ≥ 2 gilt. Nach n Schritten ist ein
Polynom mit Grad Null, d.h. eine Konstante, und zwar an , übrig. Diese Ergebnisse kann man
zusammenfassen im Fundamentalsatz der Algebra:
Satz 2 Jedes Polynom n-ten Grades mit komplexen Koeffizienten besitzt n Nullstellen z1 , . . . , zn
(Mehrfachnennungen möglich) und kann in der Form
p(z) = an (z − z1 )(z − z2 ) · · · (z − zn )
geschrieben werden.
Bei Polynomen zweiten Grades mit reellen Koeffizienten haben wir gesehen, dass im Fall komplexer Nullstellen diese als konjugiert komplexes Paar auftreten. Auch diese Eigenschaft kann
verallgemeinert werden.
Satz 3 Polynome mit reellen Koeffizienten haben eine gerade Anzahl komplexer (genauer: nicht
reeller) Nullstellen, die nur als konjugiert komplexe Paare auftreten.
Übungsaufgaben
3.1. Für folgende komplexe Zahlen gebe man Realteil und Imaginärteil an:
a)
c)
(2 + i)(4 − 3i)
b) (8 + 3i)(8 − 3i)
3 3 − 2i
2+i
d)
+
4 − 3i
i
4 + 6i
3.2. Man zeichne die komplexen Zahlen 3+5i, −2/3+5i/2 und
ein.
3+5i
−3+i
3.3. Man berechne den
√ Betrag folgender komplexer Zahlen:
2−i
i(3 + 2i), 2 − i 5, 3i, 2 + 5i, 5 − 2i, 2+5i
, i+
in der Gaußsche Zahlenebene
1+i
7−3i .
3.4. Wo liegen die Punkte z in der Gaußschen Zahlenebene, für die gilt
a) |z| = 2,
b) Re(z) = −1 (Re bezeichnet den Realteil von z)
8
3.5. Sei z = a + bi eine komplexe Zahl, und z die konjugiert komplexe Zahl zu z. Man bestimme
Real- und Imaginärteil von:
a) i|z| ,
b)
z
,
z
c)
1
,
z
d)
z z
+ .
z z
3.6. Man bestimme alle Lösungen der Gleichung
2z 2 − 4z + 20 = 0 .
3.7. Man bestimme alle Nullstellen des Polynoms z 2 − 6z + 10 und gebe die entsprechende Faktorisierung an.
3.8. 2i ist eine Lösung der Gleichung 4. Ordnung
z 4 + 5z 3 + 11z 2 + 20z + 28 = 0 .
Man berechne die restlichen Lösungen.
4
Die Polardarstellung, Winkelfunktionen
Das Ziel dieses Abschnittes ist es, manche Rechnungen mit komplexen Zahlen zu erleichtern.
Zunächst stellen wir fest, dass ein Punkt in der Gaußschen Zahlenebene auch beschrieben werden kann, indem man einerseits den Abstand r des Punkes vom Ursprung und andererseits den
Winkel ϕ zwischen der reellen Achse und der Geraden durch den Punkt und den Ursprung angibt.
Man nennt das die Polardarstellung einer komplexen Zahl und das Paar (r, ϕ) die Polarkoordinaten. Dabei verwenden wir als Maß für den Winkel die Bogenlänge auf dem Einheitskreis. Um
einen Zusammenhang zu der Darstellung mit Real- und Imaginärteil herzustellen, brauchen wir
Winkelfunktionen: Für Punkte mit Abstand r = 1 vom Ursprung (d.h. Punkte auf dem Einheitskreis) und mit Winkel ϕ nennt man den Realteil den Cosinus von ϕ bzw. cos ϕ, und den
Imaginärteil den Sinus von ϕ bzw. sin ϕ. Aus dem Pythagoräischen Lehrsatz folgt daher
sin2 ϕ + cos2 ϕ = 1 .
(3)
Weitere Eigenschaften von Sinus und Cosinus, die sich aus der Definition ergeben: Sinus ist ungerade
und Cosinus gerade:
sin(−ϕ) = − sin ϕ ,
cos(−ϕ) = cos ϕ .
Sinus und Cosinus sind periodisch mit Periode 2π (Umfang des Einheitskreises):
sin(ϕ + 2π) = sin ϕ ,
cos(ϕ + 2π) = cos ϕ .
Sinus und Cosinus gehen auseinander durch Verschiebung hervor:
sin(ϕ + π/2) = cos ϕ .
Spezielle Werte:
9
ϕ
0
π/4
π/2
3π/4
π
sin ϕ
0√
1/ 2
1√
1/ 2
0
cos ϕ
1√
1/ 2
0√
−1/ 2
−1
Für die Zahl z mit den Polarkoordinaten (r, ϕ) gilt
z = r(cos ϕ + i sin ϕ)
bzw.
Re(z) = r cos ϕ , Im(z) = r sin ϕ .
Kann man umgekehrt auch die Polarkoordinaten aus Real- und Imaginärteil berechnen? Sei z =
a + bi. Dann gilt
p
b
sin ϕ
r = a2 + b2 und
=
=: tan ϕ ,
a
cos ϕ
wobei die rechte Seite der Tangens von ϕ ist. Bei der Verwendung der zweiten Gleichung ist
allerdings Vorsicht geboten. Sie definiert den korrekten Winkel nicht eindeutig. Für die beiden
Zahlen z = a + bi und −z = −a − bi ergibt sich derselbe Wert für tan ϕ. Die auf den meisten
Taschenrechnern vorhandene Funkton Arcustangens liefert für arctan(b/a) immer Werte zwischen
−π/2 und π/2, d.h. im 1. oder 4. Quadranten. Liegt z im 2. (a < 0, b > 0) oder 3. (a, b < 0)
Quadranten, dann ist der korrekte Winkel gegeben durch
ϕ = arctan
b
+π.
a
Beispiel: z = −1 + i im 2. Quadranten, a = −1, b = 1. Es gilt r =
ϕ = arctan(−1) + π = −
√
2, tan ϕ = −1 und daher
π
3π
+π =
.
4
4
Wichtige Rechenregeln für die Winkelfunktionen sind die Summensätze:
Satz 4 Für alle α, β ∈ IR gilt
sin(α + β) = sin α cos β + sin β cos α ,
(4)
cos(α + β) = cos α cos β − sin α sin β .
(5)
Verwendet man die Summensätze, dann zeigt sich, dass die Polardarstellung die Multiplikation
komplexer Zahlen einfach macht: Für z1 = r(cos ϕ + i sin ϕ), z2 = %(cos ψ + i sin ψ) gilt
z1 z2 = r%(cos ϕ cos ψ − sin ϕ sin ψ + i(sin ϕ cos ψ + sin ψ cos ϕ))
= r%(cos(ϕ + ψ) + i sin(ϕ + ψ)) .
Um 2 komplexe Zahlen zu multiplizieren, muss man also die Beträge multiplizieren und die Winkel
addieren. Als Konsequenz ergibt sich für Potenzen von z = r(cos ϕ + i sin ϕ):
z n = rn (cos(nϕ) + i sin(nϕ)) .
Als Abschluss dieses Kapitels berechnen wir die Nullstellen spezieller Polynome der Form p(z) =
z n − w, wobei w 6= 0 eine beliebige gegebene komplexe Zahl ist. Die Nullstellen nennen wir die
10
Figure 3: Graphischer Beweis der trigonometrischen Summensätze für 0 ≤ α, β, α + β ≤ π/2.
n-ten Wurzeln von w. Wenn z bzw. w die Polarkoordinaten (r, ϕ) bzw. (%, ψ) besitzen, dann muss
also
rn (cos(nϕ) + i sin(nϕ)) = %(cos ψ + i sin ψ)
√
gelten. Offensichtlich lässt sich diese Gleichung durch die Wahl r = n % und ϕ = ψ/n erfüllen. Der
Fundamentalsatz der Algebra sagt allerdings die Existenz von n n-ten Wurzeln voraus. Weitere
Wurzeln kann man finden, indem man sich die Periodizität der Winkelfunktionen zunutze macht.
Da
rn (cos(nϕ) + i sin(nϕ)) = rn (cos(nϕ + 2kπ) + i sin(nϕ + 2kπ)) , für alle k ∈ ZZ,
gilt, ergibt jede Wahl
√
n
ψ + 2kπ
n
mit k ∈ ZZ eine n-te Wurzel von w. Unter den entsprechenden komplexen Zahlen gibt es allerdings
nur n verschiedene, nämlich
r=
zk =
√
n
% cos
ψ + 2kπ
n
Diese bilden ein dem Kreis mit Radius
%,
ϕk =
+ i sin
√
n
ψ + 2kπ
n
,
k = 0, . . . , n − 1.
% eingeschriebenes regelmäßiges n-Eck.
Übungsaufgaben
4.1. Für die folgenden komplexen Zahlen gebe man Real-, Imaginärteil und Polarkoordinaten an,
und man skizziere ihre Lage in der Gaußschen Zahlenebene.
√
√
a)2i, b) − 2 − 2i, c)1 − i,
1
d) − 5, e) − 3 + 5i f) .
i
11
4.2. Man gebe die kartesische Form folgender komplexer Zahlen an:
√
b) − 3[cos(−π/2) + i sin(−π/2)] ,
a) 3[cos(π/6) + i sin(π/6)] ,
√
c) 2[cos(π/4) − i sin(π/4)] ,
d) cos(π) + i sin(π) .
4.3 Man berechne
(1+i)4
(1−i)8
auf zwei Arten.
4.4. Man bestimme alle Lösungen der Gleichung
z 5 = 64(1 +
√
3i) .
4.5. Man berechne alle Lösungen der Gleichung
z 4 + i(1 + i) = 0 .
4.6. Man zeige, dass die folgende Gleichung für alle ϕ ∈ IR gilt:
cos(3ϕ) = −3 cos(ϕ) + 4 cos3 (ϕ) .
5
Reelle Funktionen, Grenzwerte
Eine Funktion f : A → B ist eine Vorschrift, die jedem Element x der Definitionsmenge A eindeutig
ein Element y der Wertemenge B zuordnet. Man verwendet die Schreibweise y = f (x). Für relle
Funktionen gilt A, B ⊂ IR. Zumeist geht man von der Abbildungsvorschrift aus, also z.B. f (x) = x2 .
In diesem Fall kann man A = IR, B = [0, ∞) wählen, wobei die maximale Definitionsmenge und
dann die minimale Wertemenge gewählt wurde.
Beispiele:
1. f (x) = x1 , A = B = IR \ {0} = (−∞, 0) ∪ (0, ∞).
2. f (x) = tan x, A = IR \ {kπ + π/2 : k ∈ ZZ}, B = IR.
Der Graph einer reellen Funktion f : A → B ist die Menge
{(x, y) : x ∈ A, y = f (x)} ,
d.h. eine Menge von Punkten in der (x, y)-Ebene, für die der y-Wert jeweils das Bild des entsprechenden x-Wertes ist. Eine Skizze des Graphen ist zumeist eine gute Illustration der wesentlichen
Eigenschaften einer Funktion.
Beispiele für Funktionseigenschaften:
• Eine Funktion f heißt (streng) monoton wachsend, wenn aus x1 < x2 folgt, dass f (x1 ) ≤ f (x2 )
(f (x1 ) < f (x2 )) gilt. Sie heißt (streng) monoton fallend, wenn aus x1 < x2 folgt, dass
f (x1 ) ≥ f (x2 ) (f (x1 ) > f (x2 )) gilt. Bei einer monoton wachsenden Funktion geht der Graph
von links nach rechts bergauf, bei einer fallenden bergab.
12
• Eine Funktion f : A → B heißt beschränkt, wenn die (minimale Werte) Menge {y = f (x) :
x ∈ A} beschränkt ist. Das ist der Fall, wenn der ganze Graph zwischen zwei waagrechten
Geraden liegt.
• Eine Funktion f : A → B heißt gerade (bzw. ungerade), wenn für jedes x ∈ A auch −x ∈ A
und f (x) = f (−x) (bzw. f (x) = −f (−x)) gilt. Der Graph einer geraden Funktion ist
symmetrisch bezüglich der y-Achse, der einer ungeraden Funktion bezüglich des Ursprungs.
• Eine Funktion f : IR → B heißt periodisch mit Periode p > 0, wenn f (x + p) = f (x) für
alle x ∈ IR. Der Graph einer periodischen Funktion geht in sich selbst über, wenn er um die
Periode nach rechts (oder links) verschoben wird.
• Eine Funktion f : A → B heißt injektiv, wenn jeder y-Wert höchstens einmal als Bild
vorkommt; genauer: Aus f (x1 ) = f (x2 ) folgt x1 = x2 . Das gilt, wenn der Graph von jeder
waagrechten Linie höchstens einmal geschnitten wird. Ist B der minimale Wertebereich, d.h.
B = {f (x) : x ∈ A}, dann existiert die Umkehrfunktion f −1 : B → A, die definiert wird
durch f −1 (y) = x genau dann, wenn f (x) = y. Den Graphen von f −1 erhält man, indem
man den Graphen von f an der ersten Mediane (45-Grad-Diagonale im ersten und dritten
Quadranten) spiegelt. Beispiel zur Berechnung der Umkehrfunktion:
y = f (x) =
⇔
x−1
x+2
⇔
(x + 2)y = x − 1
x(y − 1) = −1 − 2y
A = IR \ {−2} ,
⇔
x = f −1 (y) =
1 + 2y
,
1−y
B = IR \ {1} .
Wenn ich um 10 Uhr in Wien abfahre und um 13 Uhr im 300 km entfernten Salzburg ankomme,
dann ist meine Durchschnittsgeschwindigkeit auf dieser Fahrt 300km
3h = 100 km/h. Genauere Informationen über den Fortgang meiner Fahrt könnte man dadurch angeben, dass man Durchschnittsgeschwindigkeiten für Teilzeiten berechnet. Bezeichnen wir mit s(t) die Strecke (in km), die ich
nach der Zeit t (in Stunden) zurückgelegt habe (mit den Eigenschaften s(0) = 0 und s(3) = 300),
dann ergibt sich für die mittlere Geschwindigkeit im Zeitraum von t bis t + h die Formel
s(t + h) − s(t)
.
h
(6)
Unser Ziel ist es, zum Begriff der Momentangeschwindigkeit zum Zeitpunkt t zu gelangen, indem
wir die Länge des Zeitraumes h immer kleiner wählen. Bevor wir dieses Ziel im nächsten Abschnitt
realisieren, stellen wir als Vorbereitung zunächst einige mathematische Werkzeuge bereit.
Der wichtigste Begriff in diesem Zusammenhang ist der des Grenzwertes: Wir sagen, dass f0
der Grenzwert (bzw. Limes) der Funktion f (x) für x gegen x0 ist, als Formel
lim f (x) = f0 ,
x→x0
(7)
wenn die Werte f (x) beliebig nahe bei f0 sind für alle x, die genügend nahe bei x0 sind. Genauer
gesagt bedeutet das, dass ich bei folgendem Spiel immer gewinne: Zuerst gibt mein Gegenspieler
einen (beliebig kleinen) Abstand ε von f0 vor. Dann gewinne ich das Spiel, wenn ich einen (genügend
kleinen) Abstand δ von x0 angeben kann, sodass für alle x, die höchstens den Abstand δ zu x0 haben,
13
die Werte f (x) höchstens den Abstand ε von f0 haben. Noch genauer: Für jedes > 0 gibt es ein
δ > 0, sodass |f (x) − f0 | ≤ ε für alle x mit |x − x0 | ≤ δ.
Wenn (7) gilt und außerdem x0 ∈ A, dann liegt es nahe, f0 mit f (x0 ) zu vergleichen. Man
nennt die Funktion f stetig and der Stelle x0 , wenn
lim f (x) = f (x0 ) .
x→x0
Zur Berechnung von Grenzwerten gibt es einige nützliche Rechenregeln.
Satz 5 Sei α ∈ IR und gelte
lim f (x) = f0 ,
lim g(x) = g0 ,
x→x0
x→x0
dann gilt auch
lim (f (x) ± g(x)) = f0 ± g0 ,
lim (αf (x)) = αf0 ,
x→x0
x→x0
lim (f (x)g(x)) = f0 g0 ,
lim
x→x0
x→x0
f0
f (x)
=
,
g(x)
g0
wobei man für die Gültigkeit der letzten Regel natürlich die zusätzliche Annahme g0 6= 0 braucht.
Beispiele:
•
32 − 2
7
x2 − 2
=
= ,
x→3 x + 5
3+5
8
lim
Insbesondere ist die Funktion f (x) =
x2 −2
x+5
stetig an der Stelle x = 3.
• Ohne Beweis: Für a > 0 ist durch f (x) = ax eine auf IR stetige Funktion, die Exponentialfunktion mit Basis a gegeben. Für diese gelten die Rechenregeln ax+y = ax ay und axy = (ax )y .
Satz 6 Sei f (x) ≤ g(x) ≤ h(x) und limx→x0 f (x) = limx→x0 h(x) = f0 . Dann gilt auch limx→x0 g(x) =
f0 .
Man kann in der Definition des Grenzwertes x0 und/oder f0 durch ∞ (bzw. −∞) ersetzen,
indem man beliebig (genügend) nahe bei ∞ durch beliebig (genügend) groß ersetzt. Als Beispiel: Es
gilt
lim f (x) = f0 ,
x→∞
wenn es für alle (beliebig kleinen) ε > 0 ein (genügend großes) M ∈ IR gibt, sodass |f (x) − f0 | ≤ ε
für alle x ≥ M . Die obigen Rechenregeln gelten dann auch, wobei man für α > 0 folgende Regeln
verwendet:
α ± ∞ = ±∞ ,
α∞ = ∞,
α
= 0,
∞
14
α
= ∞,
0
∞ + ∞ = ∞.
Figure 4: Vergleich zwischen Dreiecks- und Kreissegmentflächen
Beispiele:
1)
2)
3)
1
= 0 , lim xn = ∞ für alle n ∈ IIN ,
x→∞
xn
2
x + 2x + 3
1 + 2/x + 3/x2
1
lim
=
lim
= ,
x→∞ 2x2 − x + 5
x→∞ 2 − 1/x + 5/x2
2
2
3
x + 1/x
x +1
= lim
= ∞.
lim
x→∞ 1 + 1/x
x→∞ x2 + x
lim
x→∞
Schwierigkeiten entstehen, wenn die Anwendung der Rechenregeln auf unbestimmte Ausdrücke führt
wie z.B.
0
,
0
∞
,
∞
0∞,
∞ − ∞,
denen kein sinnvoller Wert zugewiesen werden kann, weil verschiedene Beispiele verschiedene Grenzwerte erzeugen. Eine Möglichkeit, mit unbestimmten Ausdrücken umzugehen, wurde in den obigen
Beispielen 2) und 3) verwendet, die auch zeigen, dass ∞/∞ keinen eindeutigen Wert haben kann.
Noch drei Beispiele für den Umgang mit unbestimmten Ausdrücken (in diesem Fall 0/0):
•
lim
√
x→
x4 − 4
(x2 − 2)(x2 + 2)
2
=
lim
= lim
√
√ (x + 2) = 4 .
2
x2 − 2
2x −2
x→ 2
x→ 2
• Wir wollen den Grenzwert limx→0 sinx x berechnen. Dazu vergleichen wir zunächst in Fig. 4
die Flächeninhalte A1 des rechtwinkeligen Dreiecks mit den Kathetenlängen sin x und cos x,
A2 des Kreissegments mit Öffnungswinkel x und A3 des großen rechtwinkeligen Dreieecks mit
Kathetenlängen 1 und tan x. Offensichtlich gilt
A1 < A2 < A3 ,
A1 =
15
sin x cos x
,
2
A3 =
tan x
.
2
Um A2 zu berechnen, verwenden wir, dass der Flächeninhalt des Einheitskreises gleich π ist
(was wir allerdings nicht bewiesen haben) und dass das Verhältnis von A2 zum Flächeninhalt
des Einheitskreises dasselbe ist wie das Verhältnis des Winkels x zu 2π: A2 /π = x/(2π) und
daher A2 = x/2. Verwendet man das in den obigen Ungleichungen und formt sie etwas um,
dann erhält man
sin x
1
cos x <
<
.
x
cos x
Aus cos 0 = 1 und Satz 6 folgt schließlich
sin x
lim
= 1.
(8)
x→0 x
• Für |x| ≤ π/2 gilt cos x ≥ 0 und daher
1 − cos x
(1 − cos x)(1 + cos x)
1 − cos2 x
sin x
≤
=
= sin x
.
x
x
x
x
Aus dem obigen Resultat, sin 0 = 0 und wieder Satz 6 folgt
cos x − 1
= 0.
lim
x→0
x
0≤
(9)
Übungsaufgaben
5.1. Für folgende Funktionen gebe man den maximalen Definitionsbereich (in IR) an und klassifiziere sie bezüglich Beschränktheit und der Begriffe ’gerade’ und ’ungerade’.
√
x−2
a) f (x) =
,
b) f (x) = x3 − 5x ,
x+1
1
,
d) f (x) = x2 + x − 6 .
c) f (x) = 2
(x + 7)3
5.2. Man bestimme, welche der folgenden Funktionen periodisch sind, und man gebe gegebenenfalls die kleinste Periode an.
1+x
3
a)
,
b)
.
2
cos(x) − 5
sin (x) − 1
5.3. Man ermittle den maximalen Definitionsbereich folgender Funktionen. Man bestimme weiters, welche dieser Funktionen eine Umkehrfunktion besitzen und man gebe sie gegebenenfalls
an.
s
a)
3−x
,
x−5
b) exp(−x + 2) ,
c)
3
.
cos(x) − 5
5.4. Man berechne
x+9
,
x→3 x2 − 9
a) lim
x−5
,
x→5 x2 − 3x − 10
b) lim
x2 + 3x − 4
.
x→∞ 5x2 + 32x + 2
c) lim
5.5. Wo sind folgende Funktionen stetig? Wo sind Lücken im Definitionsbereich?
a) f (x) = x2 +
( √
c) f (x) =
x−1
,
x+1
x−2
x−4
1/4
16
b) f (x) =
x2 − 9
,
x(x − 3)
für x 6= 4 , x ≥ 0 ,
für x = 4 .
6
Differentialrechnung, die Exponentialfunktion
Um zu unserer Motivation zurückzukehren: Unser Ziel ist es, in (6) den Limes für h → 0 zu
berechnen. Leider führt auch das, wenn s and der Stelle t stetig ist, auf einen unbestimmten
Ausdruck, nämlich 0/0, und wir können im Allgemeinen nicht garantieren, dass es den Grenzwert
gibt.
Definition 1 Sei f : (a, b) → IR und x ∈ (a, b). Man sagt, f ist differenzierbar an x, wenn der
Grenzwert
f (x + h) − f (x)
f 0 (x) = lim
h→0
h
existiert. Er heißt Ableitung von f and der Stelle x, und es wird auch die Schreibweise f 0 (x) =
df
dx (x) verwendet. Dementsprechend spricht man auch von einem Differentialquotienten (im Verf (x+h)−f (x)
gleich mit dem Differenzenquotienten ∆f
∆x =
(x+h)−x ).
Wir haben die Ableitung mit der Idee der Momentangeschwindigkeit motiviert. Sie hat aber
auch eine geometrische Bedeutung als Tangentenanstieg:
Definition 2 Sei f an x0 differenzierbar. Dann nennen wir die Gerade in der x-y-Ebene mit der
Gleichung
y = f (x0 ) + f 0 (x0 )(x − x0 )
die Tangente and den Graphen von f im Punkt (x0 , f (x0 )).
Beispiele:
• f (x) = x2 :
f (x + h) − f (x)
(x + h)2 − x2
x2 + 2xh + h2 − x2
=
=
= 2x + h .
h
h
h
Daher gilt f 0 (x) = 2x. Die Tangente an x0 = 1 hat die Gleichung y = 1 + 2(x − 1) = 2x − 1.
√
• f (x) = x:
√
√
√
√ √
√
x+h− x
( x + h − x)( x + h + x)
1
√
=
=√
√
√ .
h
h( x + h + x)
x+h+ x
Daher gilt f 0 (x) =
1
√
.
2 x
• f (x) = 1/x:
1
h
1
1
−
x+h x
=
−1
.
x(x + h)
Daher gilt f 0 (x) = −1/x2 .
• f (x) = sin x: Wir verwenden die Summensätze (Satz 4):
sin(x + h) − sin x
cos h − 1
sin h
= sin x
+ cos x
.
h
h
h
Aus unseren früheren Resultaten (8) und (9) folgt (sin x)0 = cos x. Analog zeigt man (cos x)0 =
− sin x.
17
Satz 7 Seien f und g differenzierbar an der Stelle x. Dann gilt (f (x) ±g(x))0 = f 0 (x) ± g 0 (x), die
Produktregel (f (x)g(x))0 = f 0 (x)g(x)+f (x)g 0 (x) und die Quotientenregel
wobei für letztere natürlich g(x) 6= 0 verlangt werden muss.
f (x) 0
g(x)
=
f 0 (x)g(x)−f (x)g 0 (x)
,
g(x)2
Beweis: a)
(f (x + h) ± g(x + h)) − (f (x) ± g(x))
f (x + h) − f (x) g(x + h) − g(x)
=
±
.
h
h
h
b) Produktregel:
f (x + h)g(x + h) − f (x)g(x)
f (x + h) − f (x)
g(x + h) − g(x)
=
g(x + h) + f (x)
.
h
h
h
c) Quotientenregel:
f (x + h) f (x)
f (x + h)g(x) − f (x)g(x + h)
−
=
g(x + h)
g(x)
hg(x)g(x + h)
1
f (x + h) − f (x)
g(x + h) − g(x)
=
g(x) − f (x)
.
g(x)g(x + h)
h
h
1
h
Beispiele:
• Sei fn (x) = xn . Behauptung: fn0 (x) = nxn−1 für alle n ∈ IIN.
Beweis: Vollständige Induktion: n = 1: (x+h)−x
= 1 = 1x0 .
h
0
n−1
Nehmen wir nun an, es stimmt, dass fn (x) = nx
für ein bestimmtes n. Dann gilt fn+1 (x) =
xfn (x) und daher wegen der Produktregel
0
fn+1
(x) = fn (x) + xfn0 (x) = xn + x nxn−1 = (n + 1)xn .
•
(tan x)0 =
sin x
cos x
0
=
cos x cos x − sin x(− sin x)
1
=
.
cos2 x
cos2 x
Satz 8 (Kettenregel) Sei g differenzierbar an x und f differenzierbar an g(x), dann gilt f (g(x))0 =
f 0 (g(x))g 0 (x).
Beweis:
f (g(x + h)) − f (g(x))
f (g(x) + k) − f (g(x)) g(x + h) − g(x)
=
.
h
k
h
mit g(x + h) − g(x) = k. Die Beobachtung, dass für h → 0 auch k → 0, vervollständigt den Beweis.
Beispiel: f (x) = x−n = (1/x)n . Daher
f 0 (x) = n
n−1
1
x
−1
= −nx−n−1 .
x2
Geometrische Überlegungen legen nahe, dass Funktionsgraphen zu Sekanten parallele Tangenten
besitzen:
18
Satz 9 (Mittelwertsatz der Differentialrechnung, ohne Beweis) Sei f : [a, b] → IR stetig und auf
(a, b) stetig differenzierbar, d.h differenzierbar für alle x ∈ (a, b) und f 0 (x) ist eine in (a, b) stetige
Funktion. Dann gibt es ein x0 ∈ (a, b), sodass
f 0 (x0 ) =
f (a) − f (b)
.
a−b
Das Vorzeichen der Ableitung sagt etwas über Monotonie aus:
Satz 10 Sei f : (a, b) → IR stetig differenzierbar, und es gelte f 0 (x) > 0 (bzw. f 0 (x) < 0) für alle
x ∈ (a, b). Dann ist f streng monoton wachsend (bzw. fallend) und daher injektiv. Ersetzt man
> (bzw. <) durch ≥ (bzw. ≤), dann ist f immer noch monoton, aber im allgemeinen nicht streng
monoton und daher auch nicht unbedingt injektiv.
Beweis: Sei f 0 > 0 und a < c < d < b. Dann gilt wegen des Mittelwertsatzes f (d) = f (c) +
f 0 (x0 )(d − c) > f (c). Andere Fälle analog.
Dieses Resultat hat eine einfache Konsequenz:
Satz 11 Sei f : (a, b) → IR stetig differenzierbar, und es gelte f 0 (x) = 0 für alle x ∈ (a, b). Dann
ist f konstant, d.h. es existiert f0 ∈ IR, sodass f (x) = f0 für alle x ∈ (a, b).
Satz 12 (Ableitung der Umkehrfunktion) Sei f : (a, b) → IR stetig differenzierbar, und es gelte
f 0 (x) 6= 0, x ∈ (a, b). Dann ist f −1 differenzierbar, und es gilt
f −1 (y)0 =
1
für alle y = f (x), x ∈ (a, b) .
f 0 (f −1 (y))
Beweis: Differenziert man f (f −1 (y)) = y nach y (Kettenregel), dann erhält man das Resultat.
Beispiele:
• f (x) = xn , f −1 (y) = y 1/n , für x, y > 0, n ∈ IIN.
f −1 (y)0 =
1
n(y 1/n )n−1
=
1 1/n−1
y
.
n
• f (x) = xp/q = (xp )1/q , x > 0, p ∈ ZZ, q ∈ IIN.
1
p
f 0 (x) = (xp )1/q−1 pxp−1 = xp/q−1 .
q
q
• Ohne Beweis: Es gilt auch (xα )0 = αxα−1 für x > 0, α ∈ IR.
•
(arctan x)0 = cos2 (arctan x) =
cos2 (arctan x)
1
=
.
2
1 + x2
sin (arctan x) + cos2 (arctan x)
19
Nun beschäftigen wir uns mit der Exponentialfunktion f (x) = ax , a > 0. Es gilt
ax+h − ax
ah − 1 x
=
a .
h
h
Da (ohne Beweis) der Grenzwert ca = limh→0 (ah − 1)/h existiert, ist ax an jeder Stelle x ∈ IR
differenzierbar, und die Ableitung ist gegeben durch (ax )0 = ca ax . Für a ≤ b gilt (ah − 1)/h ≤
(bh − 1)/h und daher ca ≤ cb . Unter Berücksichtigung dieser Tatsache legen Experimente mit dem
Taschenrechner nahe, dass es eine Zahl e ∈ (2, 3) gibt, sodass ce = 1. Das ist auch wirklich der
Fall, und diese (irrationale) Zahl wird Eulersche Zahl genannt. Die Exponentialfunktion mit Basis
e (oder einfach die Exponentialfunktion) ist ihre eigene Ableitung:
(ex )0 = ex .
Sie wird oft auch als exp(x) := ex geschrieben. Für kleine reelle Zahlen h erwarten wir
eh − 1
≈1
h
⇐⇒
e ≈ (1 + h)1/h ,
und tatsächlich gilt
e = lim (1 + h)1/h .
h→0
(ex )0
ex
Da
=
> 0, existiert eine Umkehrfunktion der Exponentialfunktion, genannt der (natürliche)
Logarithmus ln x, x > 0, d.h. exp(ln x) = x (ln steht für logarithmus naturalis). Differenzieren gibt
exp(ln x)(ln x)0 = 1 und daher
1
(ln x)0 = ,
x > 0.
x
Mit Hilfe des Logarithmus können wir die Ableitung der Exponentialfunktion mit Basis a > 0
bestimmen: Mit λ = ln a folgt ax = eλx und daher mit der Kettenregel
(ax )0 = (eλx )0 = λeλx = (ln a)ax ,
also ca = ln a .
Aus den Rechenregeln für die Exponentialfunktion folgt für den Logarithmus (x, y > 0)
ln(xy) = ln x + ln y ,
ln(xy ) = y ln x .
Noch ein kleiner Ausflug zurück zu den komplexen Zahlen und Polarkoordinaten: Für den Ausdruck
f (ϕ) = cos ϕ + i sin ϕ gilt
f 0 (ϕ) = − sin ϕ + i cos ϕ = if (ϕ) ,
weswegen sich die Schreibweise
eiϕ := cos ϕ + i sin ϕ
anbietet. Damit kann die Exponentialfunktion auch auf komplexe Zahlen angewendet werden:
ex+iy = ex (cos y + i sin y), und die Polardarstellung einer komplexen Zahl erhält die Form z = reiϕ
(Man merke das einfache Multiplizieren: (reiϕ )(%eiψ ) = r% ei(ϕ+ψ) ). Damit können wir auch eine
Lieblingsgleichung vieler MathematikerInnen angeben:
eiπ + 1 = 0
20
die die wichtigsten Konstanten der Mathematik (0, 1, e, π und i) enthält.
Ein weiterer Ausflug zurück zu unbestimmten Ausdrücken: Angenommen, f, g sind differenzierbar an x0 , f (x0 ) = g(x0 ) = 0 und g 0 (x0 ) 6= 0. Dann gilt
lim
x→x0
f (x)
(f (x) − f (x0 )/(x − x0 )
f 0 (x0 )
= lim
.
= 0
g(x) x→x0 (g(x) − g(x0 )/(x − x0 )
g (x0 )
Allgemeiner gilt:
Satz 13 (Regel von de l’Hopital, ohne Beweis) Seien f und g differenzierbar an x0 , f (x0 ) =
g(x0 ) = 0 und es existiere der Grenzwert limx→x0 f 0 (x)/g 0 (x). Dann gilt
lim
x→x0
f (x)
f 0 (x)
= lim 0
.
g(x) x→x0 g (x)
Beispiele:
1.
lim
√
x→
2.
lim
x→0
x4 − 4
4x3
2
=
lim
= lim
√
√ 2x = 4 .
2
2x −2
x→ 2 2x
x→ 2
sin x
= lim cos x = 1 ,
x→0
x
lim
x→0
cos x − 1
= lim (− sin x) = 0 .
x→0
x
3. In manchen Fällen muss man die Regel mehrmals anwenden:
3x2 − 4x + 1
6x − 4
x3 − 2x2 + x
=
lim
= lim
= 1.
2
x→1
x→1
x→1 x − 2x + 1
2x − 2
2
lim
Ist eine Funktion f auf einem Intervall (a, b) differenzierbar, dann ist f 0 ebenfalls eine auf (a, b)
definierte Funktion, und man kann die Frage nach deren Differenzierbarkeit stellen.
Definition 3 Sei f : (a, b) → IR. Dann sind höhere Ableitungen von f rekursiv definiert durch
f (0) (x) := f (x) ,
f (n+1) (x) := (f (n) (x))0 ,
n ≥ 0,
solange die rechte Seite existiert. Existiert die n-te Ableitung f (n) (x) für alle x ∈ (a, b), dann sagt
man, f ist in (a, b) n-mal differenzierbar. Ist f (n) stetig in (a, b), dann sagt man, f ist in (a, b)
n
n-mal stetig differenzierbar. Es werden auch die Schreibweisen f (n) = ddxnf , f (2) = f 00 , f (3) = f 000
verwendet.
So wie die erste Ableitung etwas über geometrische Eigenschaften des Funktionsgraphen aussagt
(Anstieg der Tangente), ist das auch für höhere Ableitungen der Fall. Ist zum Beispiel die zweite
Ableitung in einem Intervall größer Null, dann wird der Tangentenanstieg von links nach rechts
größer.
Definition 4 Sei f in (a, b) zweimal stetig differenzierbar und f 00 ≥ 0 (bzw. f 00 > 0, f 00 ≤ 0,
f 00 < 0) in (a, b), dann nennt man f konvex (bzw. streng konvex, konkav, streng konkav) in (a, b).
21
Diese Bezeichnungen sollten verständlich sein, wenn man den Graphen ’von unten’, d.h. in die
positive y-Richtung, anschaut. Will man den Graphen skizzieren, dann ist es hilfreich, Punkte zu
kennen, an denen das Vorzeichen von f , die Monotonie, oder die Konvexität wechselt. Kandidaten
dafür sind Stellen, an denen f , f 0 , bzw. f 00 Null wird. Das muss aber nicht der Fall sein, wie die
folgenden Beispiele zeigen:
• Für f (x) = x2 gilt f (0) = 0. Trotzdem ändert f an der Stelle Null nicht das Vorzeichen.
• Für f (x) = x3 gilt f 0 (0) = 0. Trotzdem ändert f an der Stelle Null nicht die Monotonie.
• Für f (x) = x4 gilt f 00 (0) = 0. Trotzdem ändert f an der Stelle Null nicht die Konvexität.
Man beachte, dass in allen 3 Fällen die ’nächste’ Ableitung nach der untersuchten an der Stelle
x = 0 auch Null ist.
Satz 14 (ohne Beweis) Sei f stetig differenzierbar in (a, b), f (0) = 0 und f 0 (0) > 0 (bzw. f 0 (0) <
0). Dann ist f nahe bei x = 0 für x < 0 negativ (bzw. positiv) und für x > 0 positiv (bzw. negativ).
Definition 5 Sei f : (a, b) → IR stetig.
a) Eine Stelle x0 ∈ (a, b) mit f (x0 ) = 0 nennt man eine Nullstelle von f .
b) Eine Stelle x0 ∈ (a, b), für die es ein offenes Intervall I ⊂ (a, b) gibt mit x0 ∈ I, sodass
f (x) ≤ f (x0 ) für alle x ∈ I, nennt man ein relatives Maximum von f .
c) Eine Stelle x0 ∈ (a, b), für die es ein offenes Intervall I ⊂ (a, b) gibt mit x0 ∈ I, sodass
f (x) ≥ f (x0 ) für alle x ∈ I, nennt man ein relatives Minimum von f .
d) Eine Stelle x0 ∈ (a, b), die entweder ein relatives Maximum oder ein relatives Minimum ist,
nennt man ein relatives Extremum.
e) Eine Stelle x0 ∈ (a, b), an der das Verhalten von f von streng konvex auf streng konkav (oder
umgekehrt) wechselt, nennt man einen Wendepunkt von f .
Das folgende Resultat ist eine Konsequenz aus Satz 14.
Satz 15 Sei f in (a, b) dreimal stetig differenzierbar. Dann gilt
a) An einer Nullstelle von f , an der die erste Ableitung nicht Null ist, ändert f das Vorzeichen.
b) Eine Stelle x0 ∈ (a, b), für die f 0 (x0 ) = 0 und f 00 (x0 ) < 0 (bzw. f 00 (x0 ) > 0) gilt, ist ein relatives
Maximum (bzw. Minimum) von f .
c) Eine Stelle x0 ∈ (a, b), für die f 00 (x0 ) = 0 und f 000 (x0 ) 6= 0 gilt, ist ein Wendepunkt von f .
Die Aufgabe, mit Hilfe der oben definierten speziellen Punkte den Graphen einer Funktion zu
skizzieren, nennt man Kurvendiskussion.
Beispiel: f (x) = x3 − 3x2 + 2x = x(x − 1)(x − 2).
Wir berechnen zunächst
√
√
f 0 (x) = 3x2 − 6x + 2 = 3(x − 1 − 1/ 3)(x − 1 + 1/ 3) ,
f 00 (x) = 6x − 6 = 6(x − 1) .
Offensichtlich gibt es 3 Nullstellen, x = 0, 1, 2, von denen x = 1 gleichzeitig der einzige Wendepunkt
ist, an dem das Verhalten von konkav (x < 1) auf konvex (x > 1) wechselt. Der Anstieg der
Wendetangente (d.h. der Tangente am Wendepunkt) ist f 0 (1) = −1. Es gibt 2 relative Extrema
22
√
√
an x = 1 − 1/ 3 und an x = 1 + 1/ 3, von denen wegen des Konvexitätsverhaltens das erste
ein Maximum und das zweite ein Minimum ist. Zusätzliche Information: limx→∞ f (x) = ∞,
limx→−∞ f (x) = −∞.
Jetzt kann der Graph leicht skizziert werden.
Übungsaufgaben
6.1. Man überprüfe, ob die folgenden Funktionen stetig an x = 2 sind. Sind sie differenzierbar?
(
a) f (x) =
(
x2 für x ≥ 2 ,
2x für x < 2 .
b) f (x) =
x2
für x ≥ 2 ,
4(x − 1) für x < 2 .
6.2. Sei y(t) = a sin(ωt) die vertikale Auslenkung eines an einem Federpendel hängenden Massenpunktes. Man bestimme die Geschwindigkeit des Massenpunktes zu jeder Zeit t. Zu welcher
Zeit steht der Massenpunkt still?
6.3. Man vereinfache folgende Ausdrücke:
2
2
a) 2 ln x − ln 4 − ln x + ln e ,
3
5
c) ln
+ ln
10
9
b) ln
x
e ·5
e2
.
6.4. Man berechne die Ableitung von
a)
x2 + 9
,
x+3
b)
cos(x)
,
x2
c)
x2 + 3x − 4
.
ex
6.5. Man berechne die Ableitung von
a) ax
2 +4x
,
b) e4x
2 −√x
x2
,
c) e 3x+1 .
6.6. Man berechne die Ableitung von
a) tan(x2 + 2x) ,
b) sin2 (3x) ,
c)
sin(2)
.
cos(2x)
6.7. Man berechne die Grenzwerte
a) lim
x→∞
ln(x)
,
x
b) lim
x→∞
exp(−x)
.
ln(1 + x1 )
6.8. Man berechne die Grenzwerte
a) lim
x→∞
exp(x)
,
x2 + 3x
b) lim
x→0
23
sin(x)
.
exp(x) − 1
− ln 5 ,
6.9. Sei f (x) = x2 . Man finde alle ξ, für die
f (3) − f (−1)
= f 0 (ξ)
4
gilt, und fertige eine Skizze an.
6.10. Man bestimme die lineare Approximation der Funktion f (x) = exp(x) in der Nähe von x = 0.
6.11. Sei f (x) = x2 sin(x). Man berechne die vierte Ableitung f (4) (x).
6.12. Mit Hilfe von Nullstellen, Extrempunkten und Wendepunkten skizziere man den Graphen
von f (x) = xx−1
2 +1 .
7
Integration
Motivation – Umfang und Flächeninhalt des Kreises
Als Einstimmung berechnen wir den Umfang und den Flächeninhalt des Kreises. Genau genommen
werden wir aber erst definieren, was diese beiden Dinge überhaupt sind. Die Idee besteht darin,
die Begriffe Länge bzw. Flächeninhalt von der Strecke bzw. vom Rechteck auf gekrümmte Objekte
zu übertragen.
Wir beginnen damit, einem Kreis mit Radius r ein gleichseitiges N -Eck einzuschreiben, indem
wir, ausgehend von einem beliebigen Radius, N Radien einzeichnen, die paarweise jeweils den
Winkel 2π/N miteinander einschließen. Wenn man N groß wählt, kann man das N -Eck als eine
Approximation für den Kreis sehen und daher auch seinen Umfang UN und seinen Flächeninhalt
FN als Approximation für das, was wir uns unter Umfang und Flächeninhalt des Kreises vorstellen.
Das motiviert die Definitionen:
Wenn der Grenzwert limN →∞ UN existiert, dann nennen wir ihn den Umfang des Kreises.
Wenn der Grenzwert limN →∞ FN existiert, dann nennen wir ihn den Flächeninhalt des Kreises.
Aus der Definition der Winkelfunktionen folgt, dass eine Seite des N -Ecks die Länge 2r sin(π/N )
besitzt. Daraus folgt
UN = 2rN sin(π/N ) = 2rπ
sin(π/N )
→ 2rπ
π/N
für π/N → 0 .
Damit haben wir gezeigt, dass der Kreis gemäß unserer Definition einen Umfang besitzt und dass
dieser gleich 2rπ ist.
Wieder mit Hilfe der Definition der Winkelfunktionen und mit dem Summensatz für den Sinus kann man zeigen, dass der Flächeninhalt eines der N Dreiecke, die das N -Eck bilden, gleich
2
r sin(π/N )r cos(π/N ) = r2 sin(2π/N ) ist. Daher
FN =
r2 N
sin(2π/N )
sin(2π/N ) = r2 π
→ r2 π
2
2π/N
für 2π/N → 0 .
Der Kreis besitzt also auch einen Flächeninhalt, und der ist gleich r2 π.
24
Figure 5: Riemannsumme: Flächen unterhalb der x-Achse werden negativ gerechnet.
Das Riemann-Integral – grundlegende Eigenschaften
Stellen wir uns nun die verwandte Aufgabe zu definieren, was der Flächeninhalt einer Fläche ist,
die vom Graphen einer Funktion f (x), der x-Achse und von den vertikalen Geraden x = a und
x = b eingeschlossen wird. Eine mögliche Vorgangsweise besteht darin, das Intervall [a, b] in N
gleich lange Teilintervalle der Länge ∆x = b−a
N zu teilen, indem man die Teilungspunkte x0 = a,
x1 = a + ∆x, x2 = a + 2∆x, . . . , xN = a + N ∆x = b einführt und den gesuchten Flächeninhalt
durch die Summe der Flächeninhalte von N Rechtecken approximiert, wobei das i-te Rechteck eine
Seite ∆x besitzt und die andere gleich f (ti ) mit xi−1 ≤ ti ≤ xi ist. Das ergibt für den Flächeninhalt
die Approximation (Fig. 5)
FN =
N
X
f (ti )∆x .
i=1
Definition 6 Wenn in der oben beschriebenen Situation der Grenzwert
limN →∞ FN existiert und unabhängig von der Auswahl der Punkte ti ist, dann heißt er das (Riemann)Integral der Funktion f über das Intervall [a, b] und wird bezeichnet mit
Z b
f (x)dx .
a
Man sagt dann: f ist (Riemann-)integrierbar über [a, b].
Bemerkung 2 1) Die Approximation FN wird eine Riemannsumme genannt. Die Einführung des
Integrals als Grenzwert von Riemannsummen ist nur eine von mehreren
Möglichkeiten; deswegen
R
die genauere Bezeichnung Riemann-Integral. Das Integralzeichen ist ein stilisiertes ’S’, das an die
Definition mit Hilfe einer Summe erinnern soll. Das Symbol dx erinnert dabei an die x-Differenz
25
Figure 6: Mittelwertsatz der Integralrechnung
∆x = xi − xi−1 .
2) Die Funktion f kann auch negative Werte annehmen. Das Integral ist dann so zu verstehen,
dass Flächen zwischen dem Graphen und der x-Achse, die unter der x-Achse liegen, als negativer
Beitrag gerechnet werden.
Das Integral hat Eigenschaften, die man erwarten kann: Kann man den Graphen zwischen zwei
horizontalen Linien einschließen, dann liegt der Wert des Integrals zwischen den Flächeninhalten
der entsprechenden Rechtecke; durch eine vertikale Gerade kann die Fläche in zwei Teile geteilt
werden.
Satz 16 Sei f integrierbar über [a, b].
1) Aus m ≤ f (x) ≤ M für alle x ∈ [a, b] folgt
m(b − a) ≤
Z b
f (x)dx ≤ M (b − a) .
a
2) Für c ∈ (a, b) gilt
Z b
Z c
f (x)dx +
f (x)dx =
a
Z b
a
f (x)dx .
c
Das Integral ist gleich dem Flächeninhalt eines geeignet gewählten Rechtecks. Das entsprechende
Resultat heißt Mittelwertsatz der Integralrechnung (siehe Fig. 6):
Satz 17 Sei f stetig auf [a, b]. Dann ist f integrierbar über [a, b], und es existiert ein ξ ∈ [a, b],
sodass
Z
b
f (x)dx = f (ξ)(b − a) .
a
26
Der Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung
Erinnern wir uns an die Fahrt von Wien nach Salzburg, wo wir die nach der Zeit t zurückgelegte
Strecke mit s(t) bezeichnet haben. Bezeichnen wir den Zeitpunkt der Ankunft mit T und unterteilen
wir das Zeitintervall [0, T ] in N gleiche Teile, d.h. ti = i∆t, i = 0, . . . , N , mit ∆t = T /N , dann gilt
s(T ) − s(0) =
N
X
(s(ti ) − s(ti−1 )) ,
i=1
womit wir die Gesamtstrecke in Teilstücke zerlegt haben. Mit der Momentangeschwindigkeit v(t) =
s0 (t) folgt aus dem Mittelwertsatz der Differentialrechnung
s(T ) − s(0) =
N
X
v t̃i ∆t ,
i=1
mit geeignet gewählten t̃i ∈ [ti−1 , ti ]. Der Ausdruck auf der rechten Seite ist eine Riemannsumme.
Mit N → ∞ folgt daher
Z
T
s(T ) − s(0) =
v(t)dt .
0
Wir können also aus der Momentangeschwindigkeit die zurückgelegte Strecke berechnen. Wir haben
gerade (im wesentlichen) den Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung bewiesen:
Satz 18 Sei F stetig differenzierbar auf dem Intervall [a, b]. Dann gilt
Z b
b
F 0 (x)dx .
F (x) := F (b) − F (a) =
a
a
Beispiele:
1.
Z π
0
2.
Z 2π
0
3.
Z 1
−2
|x|dx =
π
sin x dx = − cos x = 2 ,
0
2π
sin x dx = − cos x
Z 0
Z 1
(−x)dx +
−2
0
0
= 0.
x2 0
x2 1 5
x dx = − + = .
2 −2
2 0 2
Ersetzen wir den festen Wert b durch ein variables x ∈ [a, b], dann sieht man, dass die Funktion F
aus einem Anfangswert F (a) und aus ihrer Ableitung berechnet werden kann:
Z x
F (x) = F (a) +
F 0 (y)dy .
a
Man kann daher die Integration als Umkehroperation zur Differentiation sehen. Die Reihenfolge
kann dabei auch umgedreht werden: Sei f stetig in [a, b]. Definiert man
Z x
F (x) :=
f (y)dy ,
a
27
dann gilt für h > 0
F (x + h) − F (x)
1
=
h
h
Z x+h
f (y)dy = f (ξh ) ,
x
wobei die erste Gleichung aus Satz 16, 2) folgt und die zweite (mit x ≤ ξh ≤ x + h) aus dem
Mittelwertsatz der Integralrechnung. Für h → 0 gilt ξh → x und daher wegen der Stetigkeit von f
auch f (ξh ) → f (x), woraus F 0 (x) = f (x) folgt, d.h.
d
dx
Z x
f (y)dy = f (x) .
a
Stammfunktionen – Integrationsmethoden
Definition 7 Seien f, F : (a, b) → IR und F 0 (x) = f (x) für alle x ∈ (a, b). Dann heißt F eine
Stammfunktion von f .
Die obigen Resultate zeigen, dass man mit Hilfe von Stammfunktionen Integrale berechnen
kann. Es stellt sich die Frage, wie die Menge der Stammfunktionen einer Funktion aussieht.
Satz 19 Seien F und G Stammfunktionen von f . Dann existiert eine Konstante c ∈ IR, sodass
F (x) = G(x) + c in (a, b).
Mit anderen Worten: Kennt man eine Stammfunktion, dann erhält man alle anderen Stammfunktionen durch Addition von Konstanten.
Beweis: Für die Funktion H(x) := F (x) − G(x) gilt H 0 (x) = F 0 (x) − G0 (x) = f (x) − f (x) = 0
und daher ist H wegen Satz 11 konstant.
R
Man schreibt manchmal f (x)dx als Abkürzung für die Gesamtheit
aller Stammfunktionen von
R
f , und nennt diesen Ausdruck
das
unbestimmte
Integral
(also
z.B.
2x
dx = x2 + c) im Gegensatz
Rb
zum bestimmten Integral a f (x)dx. Aufgrund der im vorigen Kapitel berechneten Ableitungen
lassen sich für manche Funktionen leicht Stammfunktionen bestimmen. Beispiele:
f (x)
xα
1/x
sin x
cos x
ax
(1 + x2 )−1
F (x)
xα+1
α+1
ln(x)
− cos x
sin x
x
a / ln a
arctan x
für x > 0, α 6= −1
für x > 0
für a > 0, a 6= 1
Das Finden von Stammfunktionen, soweit diese überhaupt mit Hilfe von Standardfunktionen
angeschrieben werden können, ist eine zwar trickreiche, aber trotzdem automatisierbare Aufgabe
(siehe z.B.
http://integrals.wolfram.com/index.jsp). Drei der dabei verwendeten Tricks sollen hier vorgestellt
werden. Der erste heißt partielle Integration und beruht darauf, die Produktregel für Ableitungen
zu verwenden: Aus (f g)0 = f 0 g + f g 0 folgt
Z
f 0 (x)g(x)dx = f (x)g(x) −
28
Z
f (x)g 0 (x)dx ,
bzw. für bestimmte Integrale
Z b
a
b
Z b
a
a
f 0 (x)g(x)dx = f (x)g(x) −
f (x)g 0 (x)dx .
Das ist dann brauchbar, wenn das Integral auf der rechten Seite leichter zu berechnen ist, als das
auf der linken. Beispiele:
1.
Z
2.
3.
xex dx = f 0 (x) = ex , g(x) = x = xex −
Z
Z
ln(x)dx = f 0 (x) = 1, g(x) = ln x = x ln x −
Z
ex sin x dx = ex sin x −
Z
=⇒
Z
ex dx = ex (x − 1) + c .
x
dx = x(ln x − 1) + c .
x
Z
ex cos x dx = ex sin x − ex cos x −
ex sin x dx =
Z
ex sin x dx
ex
(sin x − cos x) + c .
2
Der zweite Trick heißt Substitution und beruht auf der Kettenregel, aus der offensichtlich
Z
f 0 (g(x))g 0 (x)dx = f (g(x)) + c
folgt. Beispiele:
1.
1
2
Z
1
sin(2x)(2x)0 dx = − cos(2x) + c ,
2
x cos(x2 )dx =
1
2
Z
Z
sin(2x)dx =
mit f (y) = − cos y, g(x) = 2x.
2.
Z
cos(x2 )(x2 )0 dx =
1
sin(x2 ) + c ,
2
mit f (y) = sin y, g(x) = x2 .
3.
sin2 x
+ c,
2
mit f (y) = y 2 /2, g(x) = sin x. Hier funktioniert allerdings auch g(x) = cos x mit dem
Resultat
Z
Z
cos2 x
+ c.
sin x cos x dx = − cos x(cos x)0 dx = −
2
Besteht zwischen den beiden Resultaten ein Widerspruch?
Z
Z
sin x cos x dx =
sin x(sin x)0 dx =
Satz 20 (Substitution für bestimmte Integrale) Sei f integrierbar über [a, b] und g : [c, d] → [a, b]
stetig differenzierbar und invertierbar (d.h. streng monoton). Dann gilt
y = g(x)
f (y)dy = dy = g 0 (x)dx
a
Z b
Z −1
g (b)
f (g(x))g 0 (x)dx .
=
g −1 (a)
29
Dabei gilt g −1 (a) = c und g −1 (b) = d, wenn g streng monoton wachsend ist, und g −1 (a) = d
und g −1 (b) = c, wenn g streng monoton fallend ist. Im zweiten Fall gilt die Konvention
Z c
f (g(x))g 0 (x)dx = −
Z d
f (g(x))g 0 (x)dx .
c
d
Beispiele:
1.
y = sin x
sin x cos x dx = dy = cos x dx
Z π/2
0
Z
1
y2
y dy =
=
2
0
1
1
= .
2
0
2.
y =3−x
(3 − x) dx = dy = −dx
0
Z 3
2
Z 3
Z 0
y3
y 2 dy =
y 2 dy =
=−
3
0
3
Kontrolle:
Z 3
2
(3 − x) dx =
Z 3
0
2
(9 − 6x + x )dx =
0
3
= 9.
0
!
x3 3
9x − 3x +
= 9.
3 0
2
3. Stammfunktion von 1/x für x < 0:
Z
dx x = −y
=
dx = −dy
x
Z
dy
= ln(y) + c = ln(−x) + c .
=
y
Die Resultate für positive und negative x zusammengefasst:
Z
dx
= ln |x| + c ,
x
x 6= 0 .
4. Für x 6= 0:
Z
y = ex − 1
dx
=
ex − 1 dy = ex dx = (y + 1)dx
Z
dy
.
=
y(y + 1)
Um hier weiterzukommen, brauchen wir den dritten Trick, genannt Partialbruchzerlegung,
der im Prinzip bei beliebigen rationalen Funktionen, d.h. Brüchen mit Polynomen in Zähler
und Nenner, funktioniert. Im allgemeinen kann seine Anwendung sehr aufwendig sein, und
wir zeigen ihn nur an diesem Beispiel. Der Integrand kann in einfachere Ausdrücke zerlegt
werden:
1
1+y−y
1+y
y
1
1
=
=
−
= −
.
y(y + 1)
y(y + 1)
y(y + 1) y(y + 1)
y y+1
Daher gilt
Z
und daher
dy
=
y(y + 1)
Z
Z y 1
1
+ c,
−
dy = ln |y| − ln |y + 1| + c = ln y y+1
y + 1
ex − 1 dx
−x
=
ln
ex + c = ln |1 − e | + c ,
ex − 1
30
x 6= 0 .
Uneigentliche Integrale
Die Berechnung von Integralen als Grenzwert von Riemannsummen beruht auf den Annahmen,
dass der Integrand eine beschränkte Funktion ist und dass das Integrationsintervall beschränkt ist.
Beide Annahmen kann man loswerden:
Definition 8 1) Sei a ∈ IR und f für jedes b > a über [a, b] integrierbar. Dann heißt der Grenzwert
Z ∞
Z b
f (x)dx := lim
b→∞ a
a
f (x)dx ,
wenn er existiert, ein uneigentliches Integral mit unbeschränktem Integrationsintervall. Analog für
(−∞, a].
2) Sei a < b ∈ IR und für jedes c ∈ (a, b) sei f integrierbar über [a, c]. Weiters sei limc→b |f (x)| = ∞.
Dann heißt der Grenzwert
Z b
Z c
f (x)dx := lim
c→b a
a
f (x)dx ,
wenn er existiert, ein uneigentliches Integral mit unbeschränktem Integranden. Analog für Unbeschränktheit
bei x = a. Bei Unbeschränktheit im Inneren des Integrationsintervalles muss dieses an der Unendlichkeitsstelle geteilt werden und die beiden Teilintegrale unabhängig berechnet werden.
Beispiele:
1.
Z ∞
dx
2
2.
x3
Z b
= lim
b→∞ 2
Z 1
dx
√ = lim
x a→0
0
3. Sei 0 < a < 1.
x−3 dx = lim
b→∞
Z 1
1 b
1
1
= lim
−
2x2 2 b→∞ 8 2b2
−
Z 1
dx
a
=
1
.
8
√ 1
√
x−1/2 dx = lim 2 x = lim 2(1 − a) = 2 .
a
a→0
a
x3/2
a→0
2 1
2
= − √ = √ − 2 .
x a
a
Der Grenzwert
für a → 0 existiert offensichtlich nicht und daher auch nicht das uneigentliche
R
Integral 01 x−3/2 dx.
4. Wenn man genügend Erfahrung hat (so wie wir nach diesen ersten Beispielen), kann man sich
die Limes-Schreibweise oft ersparen:
sin x = y
√
dx = cos x dx = dy
sin x
Z π/2
cos x
0
5. Beim uneigentlichen Integral
Z ∞
0
x2
Z
1 dy
√ 1
=
√ = 2 y = 2.
0
y
0
dx
√
+ x
gibt es Schwierigkeiten sowohl bei x = 0 als auch bei x = ∞. Eine Stammfunktion ist nicht
so leicht zu finden. Trotzdem kann man versuchen festzustellen, ob das Integral konvergiert.
√
Für x nahe bei Null kann man wohl x2 im Vergleich zu x vernachlässigen. Der einfachere
31
√
Integrand 1/ x kann aber von x = 0 weg integriert werden, wie die vorigen Beispiele zeigen.
√
Für große x dominiert x2 im Vergleich zu x. Die Stammfunktion −1/x von 1/x2 besitzt
einen Limes für x → ∞. Deswegen kann man erwarten, dass das obige uneigentliche Integral
existiert. Diese Argumentation kann zu einem Beweis verschärft werden.
Übungsaufgaben
7.1. Man berechne
Z 1
a)
3
2
(x + 8x − 1)dx ,
b)
−1
Z 4
4x + 5
1
x
dx .
7.2. Man berechne mittels partieller Integration
Z
a)
Z
cos2 (x)dx ,
x2 sin(x)dx .
b)
7.3. Man berechne folgendes Integral mittels Partialbruchzerlegung:
Z
dx
.
x2 − 3x + 2
Hinweis: Man bestimme A und B so, dass
x2
1
1
A
B
=
=
+
.
− 3x + 2
(x − 1)(x − 2)
x−1 x−2
7.4. Man berechne mit Hilfe der Substitutionsmethode
Z 2
a)
p
3
(4x + 2) 2x2 + 2x − 1dx ,
1
du (Hinweis: ln x = −u).
1 + eu
Z
b)
1
7.5. Man finde die Stammfunktionen:
Z
a)
e
3x+4
Z
dx ,
b)
x(ln(x))2 dx .
7.6. Man berechne die Fläche zwischen dem Graphen der Funktion f (x) = x2 −2x und der x-Achse
zwischen den Nullstellen.
7.7 Man berechne
Z ∞
1
x2
dx
− 2x + 2
(Hinweis: x − 1 = y) .
32
8
Kleinste Fehlerquadrate
Ein bisschen Wahrscheinlichkeitsrechnung
Ein Nachweis von naturwissenschaftlichen Hypothesen besteht meist darin, dass diese oft genug
in einem wiederholbaren Experiment beobachtet werden. Abgesehen von der Frage, was ’oft
genug’ bedeutet, ist eines der praktischen Hauptprobleme die exakte Wiederholbarkeit, die (oft
aus prinzipiellen Gründen) normalerweise nicht möglich ist. Insbesondere treten Abweichungen bei
quantitativen Hypothesen immer aufgrund von Messfehlern auf. Könnte man die Abweichungen
exakt vorhersagen, dann könnte man sie auch eliminieren. Trotzdem lassen sich bei oft mit denselben Geräten durchgeführten Experimenten systematische Beobachtungen über die Abweichungen
machen.
Das einfachste, wohl allen bekannte Beispiel ist der Wurf einer Münze. Ist sie fair, d.h. symmetrisch bezüglich der Kopf- und der Zahlseite, dann ist es zwar einerseits unmöglich, den Ausgang
eines einzelnen Münzwurfes vorherzusagen, andererseits wird aber nach vielen Würfen ungefähr die
Hälfte ’Kopf’ und die andere Hälfte ’Zahl’ ergeben. Eine idealisierte Annahme, die diese Beobachtung beschreibt, ist das Gesetz der großen Zahlen
lim
n→∞
kn
1
= ,
n
2
wobei kn die Anzahl der Ausgänge ’Kopf’ nach n Münzwürfen bezeichnet. Dabei ist es wichtig
festzuhalten, dass kn keinen festen Wert hat, sondern dass bei jedem Experiment, das aus n
Münzwürfen besteht, der Wert anders sein kann. Sicher ist nur kn ∈ {0, . . . , n}. Daher ist die
obige Grenzwertaussage auch mit gewisser mathematischer Vorsicht zu genießen.
Ein Grundprinzip der Wahrscheinlichkeitsrechnung besteht nun darin, die obige Beobachtung
als Aussage über den Ausgang eines einzelnen Münzwurfes zu formulieren:
Bei einem Münzwurf ist die Wahrscheinlichkeit von ’Kopf ’ gleich 1/2.
Definition 9 Ein Wahrscheinlichkeitsraum besteht aus einer Menge M (von Elementarereignissen) und einer Funktion W , die jeder Teilmenge A von M (jedem Ereignis) ihre (seine) Wahrscheinlichkeit W (A) ∈ [0, 1] zuordnet. Dabei muss die Wahrscheinlichkeit 2 Eigenschaften haben. Zum
einen muss W (M ) = 1 gelten (’irgendetwas passiert sicher’), zum anderen W (A ∪ B) = W (A) +
W (B), wenn A ∩ B = { }.
Beispiele: 1) Den Münzwurf kann man als Wahrscheinlichkeitsraum beschreiben durch M = {k, z}
mit W ({k}) = W ({z}) = 1/2. Das ist ein Beispiel für einen endlichen Wahrscheinlichkeitsraum,
d.h. dass M eine Menge mit endlich vielen Elementen ist. Ein solcher kann immer durch Angabe
der Wahrscheinlichkeiten der Elementarereignisse bestimmt werden.
2) Der Wurf eines fairen Würfels kann beschrieben werden durch M = {1, 2, 3, 4, 5, 6} und W ({j}) =
1/6, j = 1, . . . , 6. Die Wahrscheinlichkeit, eine gerade Zahl zu würfeln, ist dann
W ({2, 4, 6}) = W ({2}) + W ({4}) + W ({6}) =
1 1 1
1
+ + = .
6 6 6
2
3) Ein einfaches Beispiel für einen unendlichen Wahrscheinlichkeitsraum ist die Gleichverteilung
auf einem Intervall M = [a, b], definiert durch
W ([c, d]) =
d−c
=
b−a
Z d
c
dt
,
b−a
33
für a ≤ c ≤ d ≤ b .
4) Eines der wichtigsten Beispiele ist die Gaußverteilung (mit Mittel 0 und Varianz 1, was weiter
unten erklärt wird) mit M = IR und
1
W ([c, d]) = √
2π
Z d
2 /2
e−t
dt .
c
2
Die Funktion f (t) = (2π)−1/2 e−t /2 (Gaußsche Glockenkurve) nennt man die Dichtefunktion. Die
Konstante (2π)−1/2 ist so gewählt, dass
Z ∞
f (t)dt = 1
W (IR) =
−∞
gilt (was nicht so leicht nachzurechnen ist). Vergleich mit dem letzten Beispiel zeigt, dass die
Dichtefunktion für die Gleichverteilung durch die konstante Funktion f (t) = (b − a)−1 gegeben ist
(wobei sich der konstante Wert wieder aus der Forderung W (M ) = 1 ergibt). Während bei der
Gleichverteilung die Wahrscheinlichkeit eines Intervalles nur von seiner Länge abhängt, ist bei der
Gaußverteilung ein Intervall wahrscheinlicher als ein gleichlanges, dessen Mittelpunkt weiter von
t = 0 entfernt liegt.
Angenommen, ich spiele ein Würfelspiel mit folgenden Regeln: Für einmal Würfeln muss ich 1
Euro bezahlen. Würfle ich 5, dann bekomme ich 2 Euro Gewinn ausgezahlt, würfle ich 6, sind es 5
Euro Gewinn. Bei 1–4 Augen gibt es keinen Gewinn. Es stellt sich die Frage, was passiert, wenn ich
dieses Spiel oft spiele. Werde ich eher verlieren oder gewinnen, und wieviel? Wenn der Würfel fair
ist, kann ich den Wahrscheinlichkeitsraum aus obigem Beispiel 2) verwenden. Außerdem definieren
wir die Nettogewinnfunktion x : {1, 2, 3, 4, 5, 6} → IR durch x(1) = x(2) = x(3) = x(4) = −1,
x(5) = −1 + 2 = 1, x(6) = −1 + 5 = 4.
Definition 10 Sei (M, W ) ein Wahrscheinlichkeitsraum. Dann nennt man eine Funktion x : M →
IR eine Zufallsvariable.
Spiele ich das Spiel n-mal mit einem großen n, dann erwarte ich, dass ich jede Augenzahl
ungefähr n6 -mal würfle. Ich erwarte also den Nettogewinn
6
X
n
n
n
n n
1
n
n
(−1) + (−1) + (−1) + (−1) + + 4 = n
x(j) = ,
6
6
6
6
6
6
6
6
j=1
was man so interpretieren kann, dass ich pro Spiel im Durchschnitt
1
6
Euro gewinne.
Definition 11 1) Sei (M, W ) ein endlicher Wahrscheinlichkeitsraum (mit M = {m1 , . . . , mk })
und x eine Zufallsvariable. Dann ist der Erwartungswert (oder Mittelwert) von x definiert durch
E(x) :=
k
X
x(mj )W ({mj }) .
j=1
2) Sei M = [a, b] mit −∞ ≤ a < b ≤ ∞, W ([c, d]) = cd f (t)dt (mit der Dichte f (t) ≥ 0,
a f (t)dt = 1) und x eine Zufallsvariable. Dann ist der Erwartungswert von x definiert durch
R
Rb
Z b
E(x) :=
x(t)f (t)dt .
a
34
Beispiel: Fährt die U-Bahn mit einem Intervall von T = 4 Minuten und ich komme zu einem
zufälligen Zeitpunkt an der Haltestelle an, wie lange muss ich dann im Durchschnitt auf den
nächsten Zug warten? Modellieren wir meinen Ankunftszeitpunkt als gleichverteilt im Zeitintervall
[0, T ] zwischen zwei Zugsabfahrten (d.h. f (t) = 1/T ), dann ist meine Wartezeit gegeben durch
x(t) = T − t. Der Erwartungswert ist also
Z T
0
1
1
(T − t) dt =
T
T
!T
t2
Tt −
2
0
1
=
T
T2
T −
2
2
!
=
T
.
2
Die erwartete Wartezeit von 2 Minuten ist nicht sehr überraschend (aber beruhigend, dass es
stimmt).
Kehren wir zum Würfelspiel zurück, dann wäre eine alternative Variante, einen festen Nettogewinn von 16 Euro unabhängig von der gewürfelten Augenzahl festzulegen. Das ergibt natürlich
auch den Erwartungswert 16 Euro für den Nettogewinn, also denselben wie im ursprünglichen Spiel.
Trotzdem gibt es zwischen den beiden Spielen natürlich wesentliche Unterschiede, was das involvierte Risiko anlangt. Dieses Risiko kann bewertet werden, indem man fragt, wie weit der
Nettogewinn durchschnittlich vom Erwartungswert entfernt ist.
Definition 12 Sei x eine Zufallsvariable. Dann ist die Varianz von x definiert durch
V (x) = E([x − E(x)]2 ) .
Sie gibt die durchschnittliche
pquadratische Abweichung vom Erwartungswert an. Die Standardabweichung ist gegeben durch V (x).
In unserem Würfelspiel ergibt sich die Varianz
−1 −
1
6
2
4
1
+ 1−
6
6
2
1
1
+ 4−
6
6
2
1
≈ 3, 47 .
6
Die Standardabweichung ≈ 1, 86 Euro ist also recht hoch im Vergleich zum erwarteten Gewinn.
Die Spielvariante mit fixem Gewinn hat natürlich die Varianz Null.
Noch einmal zur Gaußverteilung mit Mittel Null und Varianz Eins. Das sagt man, weil
E(t) =
Z ∞ −t2 /2
e
t √
−∞
2π
dt = 0 ,
(da der Integrand eine ungerade Funktion ist,) und
−t2 /2
2
e−t /2
V (t) = E(t ) =
t √
dt = −
t √
2π
2π
−∞
−∞
2
Z ∞
2e
Z ∞
!0
dt =
Z ∞ −t2 /2
e
√
−∞
2π
dt = 1 ,
was aus partieller Integration folgt.
Schätzung von Erwartungswert und Varianz: Oft kennt man die Wahrscheinlichkeitsverteilung
nicht und ist nur mit einer Anzahl von Werten x1 , . . . , xn einer Zufallsvariablen x konfrontiert. Aus
dem Gesetz der großen Zahlen ergibt sich, dass die Mittelwerte
En = x =
n
1X
xj
n j=1
und
Vn = (x − x)2 =
n
1X
(xj − En )2
n j=1
brauchbare (und bei großem n sogar gute) Schätzwerte für E(x) und V (x) sind.
35
Bestimmung der Monomerzahl in einem Aktinfilament: Aus dem Protein Aktin aufgebaute Polymerfilamente bilden einen wesentlichen Bestandteil des Zytoskeletts. Jedes Monomer
trägt d = 2,7nm zur Länge eines Filamentes bei. Angenommen, mit Hilfe eines Elektronenmikroskops könnte die Gesamtlänge eines Filamentes bestimmt werden, wobei ein maximaler Messfehler von 2d zu erwarten ist. Die gemessene Länge wird auf ganzzahlige Vielfache von d gerundet,
um die Anzahl der Monomere im Filament zu bestimmen. Wie verlässlich sind die Resultate?
Zunächst brauchen wir ein Wahrscheinlichkeitsmodell (auch stochastisches Modell genannt) für
den Messfehler. Wenn wir annehmen, dass kleinere Fehler wahrscheinlicher sind als größere, dann
käme z.B. das Modell
2d − |t|
M = [−2d, 2d] ,
f (t) =
,
4d2
in Frage. Liegt der Fehler in [−d/2, d/2], dann wird nach Rundung die korrekte Monomerzahl bestimmt. Liegt er in [d/2, 3d/2], dann ist die gemessene Anzahl um 1 zu groß. Liegt der Messfehler in
[3d/2, 2d], dann ist sie um 2 zu groß. Analoges gilt für negative Messfehler. Die Wahrscheinlichkeit,
die korrekte Monomerzahl zu bestimmen, beträgt also
Z d/2
f (t)dt =
W ([−d/2, d/2]) =
−d/2
Z d/2
2
4d2
(2d − t)dt =
0
7
.
16
Um 1 zu groß (bzw. zu klein) wird die Anzahl mit der Wahrscheinlichkeit
Z 3d/2
W ([d/2, 3d/2]) =
d/2
1
f (t)dt = 2
4d
Z 3d/2
(2d − t)dt =
d/2
1
4
bestimmt. Um 2 zu groß (bzw. zu klein) wird die Anzahl mit der Wahrscheinlichkeit
Z 2d
f (t)dt =
W ([3d/2, 2d]) =
3d/2
1
4d2
Z 2d
(2d − t)dt =
3d/2
1
32
sein. Sieht man den Fehler in der ermittelten Monomerzahl als Zufallsvariable, dann hat diese den
Erwartungswert
7
1
1
1
1
0 + 1 + (−1) + 2 + (−2) = 0 ,
16
4
4
32
32
was man bei Messfehlern üblicherweise annimmt, weil man es durch geeignete Kalibrierung des
Messgerätes normalerweise erreichen kann. Interessanter ist die Varianz
7
1
1
1
1
5
0+ 1+ 1+ 4+ 4= ,
16
4
4
32
32
8
die eine (in diesem Fall sehr brauchbare) Standardabweichung von
p
5/8 ≈ 0, 8 ergibt.
Lineare Regression
Angenommen, bei einem Experiment kann die Größe x eingestellt und dann die Größe y gemessen
werden. So werden n Messpunkte (x1 , y1 ), . . . , (xn , yn ) bestimmt. Nimmt man weiter an, dass
theoretische Überlegungen einen linearen Zusammenhang der Form
y = a + bx
36
nahelegen, dann stellt sich die Frage, wie man aus den Messdaten geeignete Schätzwerte für die
Parameter a und b bestimmt, wenn man mehr als zwei Messpunkte hat, d.h. n > 2. In diesem
Fall ist obiger Zusammenhang für alle Messpunkte im Allgemeinen nicht exakt zu erreichen. Als
Grund dafür kann man nicht beeinflussbare Schwankungen im Aufbau des Experimentes oder auch
Messfehler bei der Bestimmung von y sehen. Das führt auf das modifizierte stochastische Modell
y = a + bx + ε ,
in dem ε als Zufallsvariable interpretiert wird, die die Systemschwankungen bei verschiedenen
Experimenten und/oder die Messfehler beschreibt.
Die Bestimmung geeigneter Werte für a und b orientiert sich an der Idee, die beobachteten
Schwankungen εi := yi − (a + bxi ), i = 1, . . . , n, möglichst klein zu machen. Die gängigste Methode,
die Methode der kleinsten Fehlerquadrate, besteht darin, dass die Summe der Quadrate der Schwankungen,
F (a, b) =
n
X
(yi − (a + bxi ))2 ,
i=1
minimiert wird. Wie findet man nun die optimalen Werte a und b? Angenommen, man würde b
schon kennen, dann würde man Kandidaten für ein Minimum von F als Funktion von a finden,
indem man die Ableitung nach a gleich Null setzt. Ebenso für b bei bekanntem a. Die Ableitungen
nach a bei festem b und umgekehrt nennt man partielle Ableitungen von F und bezeichnet sie mit
∂F
∂F
∂a und ∂b .
Notwendige Bedingungen dafür, dass F an der Stelle (a, b) minimal wird, sind
n
X
∂F
(a, b) = −2 (yi − (a + bxi )) = 0 ,
∂a
i=1
n
X
∂F
(a, b) = −2 [(yi − (a + bxi ))xi ] = 0 .
∂b
i=1
Dividiert man die beiden Gleichungen durch −2n, dann nehmen sie die Form
a + bx = y ,
ax + bx2 = xy
an. Ausrechnen von a aus der ersten Gleichung und Einsetzen in die zweite ergibt
x2 − (x)2 b = xy − x y
(10)
Die Nebenrechnung
n
n 1X
1X
(xi − x)2 =
x2i − 2xi x + (x)2 = x2 − 2(x)2 + (x)2 = x2 − (x)2
n i=1
n i=1
zeigt, dass der Koeffizient von b in (10) nur dann Null sein kann, wenn alle xi gleich sind, was
bedeuten würde, dass alle Datenpunkte auf einer vertikalen Gerade liegen, die natürlich nicht in
der Form y = a + bx geschrieben werden kann. Schließen wir diesen Sonderfall aus, dann sind a
und b eindeutig bestimmt:
b=
xy − x y
,
x2 − (x)2
a = y − bx .
37
Aus einer weiteren Nebenrechnung ähnlich der obigen ergibt sich die alternative Darstellung
Pn
b=
i=1 (xi − x)(yi −
Pn
2
i=1 (xi − x)
y)
Diese Werte für a und b liefern tatsächlich den minimalen Wert von F (um das zu zeigen würden wir
mehr Wissen über Funktionen in mehreren Variablen brauchen, was über den Stoff dieser Vorlesung
hinausgeht).
In Abhängigkeit der Schwankungen ε1 , . . . , εn kann man die Resultate auch so interpretieren,
dass a und b so gewählt sind, dass der geschätzte Erwartungswert der Schwankung verschwindet,
d.h. ε = 0, und dass die geschätzte Varianz F = (ε − ε)2 minimal wird.
Beispiel: Haben wir folgende Werte:
i x i yi
1 1 2
2 2 3
3 3 4.5
F (a, b) = (2 − (a + b))2 + (3 − (a + 2b))2 + (4.5 − (a + 3b))2
Die notwendigen Bedingungen für das Extremum:
9
∂
F (a, b) = (−2)[(2 − a − b)) + (3 − a − 2b)) + ( − a − 3b))] = 0
∂a
2
∂
9
F (a, b) = (−2)[(2 − a − b)) + 2(3 − a − 2b)) + 3( − a − 3b))] = 0
∂b
2
Die zwei Gleichungen:
19
− 3a − 6b = 0
2
43
− 6a − 14b = 0
2
liefern die Lösung a = 23 und b = 45 für die Ausgleichsgerade y = 23 + 54 x.
Wir können a und b auch direkt ausrechnen. Zuerst berechnen wir die arithmetischen Mittel
x = 1+2+3
= 2 und y = 2+3+4.5
= 19
3
3
6 , also haben wir für b und a:
b =
a =
− 2) + (3 − 19
6 )(2 − 2) + (4.5 −
2
(−1) + 02 + 12
2
19 5
− ·2=
6
4
3
(2 −
19
6 )(1
19
6 )(3
− 2)
=
5
4
Nichtlineare Ansätze
Quadratisches Polynom:
Grades voraus, d.h.
Sagt unsere Theorie einen Zusammenhang durch ein Polynom zweiten
y = a + bx + cx2 ,
38
dann versuchen wir die drei Parameter a, b und c so zu ermitteln, dass die mittlere quadratische
Abweichung minimal wird. Wir führen wiederum die Funktion F ein:
F (a, b, c) =
n
X
(yi − (a + bxi + cx2i ))2
i=1
Die notwendigen Bedingungen für ein Extremum sind:
n
X
∂
F (a, b, c) = (−2) (yi − (a + bxi + cx2i )) = 0
∂a
i=1
n
X
∂
F (a, b, c) = (−2) [(yi − (a + bxi ) + cx2i )xi ] = 0
∂b
i=1
n
X
∂
F (a, b, c) = (−2) [(yi − (a + bxi + cx2i ))x2i ] = 0
∂c
i=1
Exponentialfunktion:
Ist die Modellvorhersage
y = Aebx ,
dann ist jetzt das Problem, dass der unbekannte Parameter b nichtlinear eingeht. Wir führen statt
y die Größe u = ln y ein, die linear von x abhängt:
u = ln A + bx .
Mit a = ln A ist es nun plausibel, die Ausgleichsgerade für (xi , ui ) zu bestimmen. Beispiel:
i xi yi ui = ln yi
1 1
1
0
2 2 0.5
− ln 2
3 3 0.2
− ln 5
4 4 0.05 − ln 20
Die Funktion F ist dann F (a, b) = [−(a + b)]2 + [− ln 2 − (a + 2b)]2 + [− ln 5 − (a + 3b)]2 + [− ln 20 −
(a + 4b)]2 . Die Bedingungen für einen Extrempunkt sind:
∂
F (a, b) = (2)[(a + b) + ln 2 + (a + 2b) + ln 5 + (a + 3b) + ln 20 + (a + 4b)] = 0
∂a
∂
F (a, b) = (2)[(a + b) + (ln 2 + (a + 2b))2 + (ln 5 + (a + 3b))3 + (ln 20 + (a + 4b))4] = 0
∂b
d.h.
4a + 10b + ln 200 = 0
10a + 30b + ln(8 · 107 ) = 0
√
√
1
a = ln( 10), also A = 10 ≈ 3.16 und b = − 10
ln(20000) ≈ −0.99
39
Übungsaufgaben
8.1. Man bestimme die Ausgleichsgerade für die Punkte (1, 6), (2, 7), (3, 9), (4, 10).
8.2. Zu den Zeitpunkten t1 = 1, t2 = 2 und t3 = 3 werden die Konzentrationen c1 = 1, 5, c2 = 2, 1
bzw. c3 = 3, 7 (ohne Einheit) gemessen. Eine Theorie sagt den zeitlichen Konzentrationsverlauf
c(t) = aebt
voraus. Man schätze a und b mit der Methode der kleinsten Fehlerquadrate sowie die Konzentration zum Zeitpunkt t = 9.
9
Differentialgleichungen – Reaktionskinetik
Mathematische Modelle chemischer Reaktionen: Setzen wir einen gut gemischten chemischen Reaktor voraus, d.h. ein Gefäß, in dem die chemischen Substanzen X1 , . . . , Xn gleichmäßig
verteilt sind mit den Konzentrationen c1 (t), . . . , cn (t) zum Zeitpunkt t. Die zeitliche Veränderung
wird bewirkt durch m chemische Reaktionen mit den Reaktionsraten r1 (t), . . . , rm (t) und den
stöchiometrischen Koeffizienten νij ∈ ZZ, i = 1, . . . , n, j = 1, . . . , m. Die Reaktionsraten geben
an, wie oft die Reaktionen pro Zeiteinheit stattfinden. Die stöchiometrischen Koeffizienten haben
folgende Bedeutung: Ist νij > 0, dann werden bei jedem Stattfinden der j-ten Reaktion νij Moleküle
der Substanz Xi erzeugt. Ist νij < 0, dann werden bei jedem Stattfinden der j-ten Reaktion −νij
Moleküle der Substanz Xi verbraucht. Ist νij = 0, dann ist die Substanz Xi an der j-ten Reaktion
unbeteiligt. Das rechteckige Schema
ν11 · · · ν1m
 ..
.. 
N = .
. 
νn1 · · · νnm


nennt man die stöchiometrische Matrix. Für die zeitliche Veränderung der Konzentrationen müssen
die Differentialgleichungen
m
X
dci
=
νij rj ,
i = 1, . . . , n,
dt
j=1
gelten. Das einfachste Modell für die Reaktionsraten (für einfache Reaktionen) ergibt sich aus dem
Massenwirkungsgesetz:
Y −νij
rj = kj
ci
,
j = 1, . . . , m ,
i: νij <0
mit den Reaktionskonstanten kj > 0. Das Produkt enthält für jedes Molekül der Substanz Xi ,
das bei der Reaktion verbraucht wird, einen Faktor ci . Die Gesamtzahl der bei einer Reaktion
verbrauchten Moleküle nennt man die Ordnung der Reaktion.
Nennt man den Zeitpunkt des Beginns eines Experimentes t = 0 und die Konzentrationen zu
diesem Zeitpunkt c10 , . . . , cn0 , dann gelten die Anfangsbedingungen
ci (0) = ci0 ,
i = 1, . . . , n .
40
Ein Beispiel – qualitative Analyse: Als Beispiel betrachten wir eine Reaktion X1 + X2 → X3
und ihre Umkehrreaktion. Die stöchiometrische Matrix ist


−1 1


N =  −1 1  .
1 −1
Die Vorwärtsreaktion hat daher die Rate r+ = k+ c1 c2 (und ist daher zweiter Ordnung) und die
Umkehrreaktion r− = k− c3 (erster Ordnung), woraus die Differentialgleichungen
dc1
= k− c3 − k+ c1 c2 ,
dt
dc2
= k− c3 − k+ c1 c2 ,
dt
dc3
= k+ c1 c2 − k− c3 ,
dt
folgen. Die Anfangsbedingungen sind
c1 (0) = c10 ,
c2 (0) = c20 ,
c3 (0) = c30 ,
mit gegebenen Anfangskonzentrationen ci0 ≥ 0. Solche Systeme nichtlinearer Differentialgleichungen kann man im Allgemeinen nicht explizit lösen. Obwohl es in diesem Fall möglich wäre, werden
wir es nicht tun, sondern uns auf andere Art Informationen über die Lösung beschaffen. Zunächst
gilt offensichtlich
dc1 dc3
dc1 dc2
−
= 0 und
+
= 0,
dt
dt
dt
dt
was auf die angesichts der Reaktionsgleichung wenig überraschenden Aussagen führt, dass sich die
Differenz der Konzentrationen von X1 und X2 mit der Zeit nicht ändert, genauso wie die Summe
der Konzentrationen von X1 und X3 . Das liefert
c2 (t) = c1 (t) − c10 + c20 ,
c3 (t) = −c1 (t) + c10 + c30 .
Einsetzen in die Differentialgleichung für c1 liefert
dc1
= f (c1 ) ,
dt
mit f (c1 ) = k− (c10 + c30 ) − c1 (k− + k+ c20 − k+ c10 ) − k+ c21 .
Wir konnten also ein System von drei Differentialgleichungen durch eine einzelne Gleichung ersetzen,
was eine wesentliche Vereinfachung darstellt.
Ein einfache Kurvendiskussion zeigt, dass f genau eine positive Nullstelle c1 besitzt (die man
natürlich als Lösung einer quadratischen Gleichung auch explizit berechnen kann). Offensichtlich
wäre die Konstante c1 (t) = c1 die Lösung unseres Problems, wenn c10 = c1 gälte, was wir im Allgemeinen nicht erwarten können. Man nennt c1 einen stationären Punkt der Differentialgleichung.
Es gilt f (c1 ) > 0 für 0 ≤ c1 < c1 und f (c1 ) < 0 für c1 > c1 . Daher wird c1 (t) mit der Zeit
größer, solange es kleiner als c1 ist und umgekehrt. Es ist daher zu erwarten, dass
lim c1 (t) = c1
t→∞
gilt. Man nennt den stationären Punkt c1 asymptotisch stabil. Natürlich folgt daraus, dass auch
c2 (t) und c3 (t) für t → ∞ konvergieren und sich daher der ganze Reaktor mit der Zeit einem
Gleichgewichtszustand nähert, in dem k+ c1 c2 = k− c3 gilt.
41
Einfacher Zerfall: In der einfachsten Situation mit n = m = 1 gibt es nur eine Spezies mit
Konzentration c(t) und eine Zerfallsreaktion erster Ordnung mit Reaktionsrate kc mit der Reaktionskonstanten k > 0. Für die Konzentration ergibt sich dann das Anfangswertproblem
dc
= −kc ,
dt
c(0) = c0 ,
das explizit gelöst werden kann. Die Idee ist, die Differentialgleichung durch c zu dividieren,
dc/dt(t)
= −k ,
c(t)
und festzustellen, dass das geschrieben werden kann als
d
(ln(c(t)) + kt) = 0 .
dt
Der Ausdruck in der Klammer ist daher konstant und damit gleich seinem Wert an der Stelle t = 0:
ln(c(t)) + kt = ln(c0 ) .
Aus dieser Gleichung kann man c(t) berechnen:
c(t) = e−kt c0 .
Klarerweise nimmt die Konzentration ab (und zwar exponentiell).
Herleitung einer Reaktion nullter Ordnung (Skalierung, Störungsrechnung): Eine kleine
Erweiterung des letzten Beispiels besteht darin, die Reaktion X1 → X2 und ihre Umkehrung zu
betrachten. Das ergibt das Anfangswertproblem
dc1
= k− c2 − k+ c1 ,
dt
dc2
= k+ c1 − k− c2 ,
dt
c1 (0) = c10 ,
c2 (0) = c20 .
Angenommen, die Reaktionskonstante der Umkehrreaktion ist viel kleiner als die der Vorwährtsreaktion,
als Formel: k− k+ . Die beiden Reaktionsraten können nur dann von gleicher Größenordnung
sein, wenn c1 viel kleiner als c2 ist, was wir für die Anfangskonzentrationen annehmen: c10 c20 . Um herauszufinden, wie sich diese Annahmen auf die Dynamik auswirken, führen wir eine
Skalierung durch. Das bedeutet, dass wir für alle auftretenden Größen Einheiten wählen, und
zwar so, dass die Maßzahlen möglichst von moderater Größe sind. Das kann man üblicherweise
erreichen, indem man als Einheiten sogennante intrinsische Referenzgrößen verwendet, die aus den
Parametern des Problems gebildet werden.
In unserem Problem brauchen wir Einheiten für die Konzentrationen und für die Zeit. Für die
Konzentrationen bieten sich ihre Anfangswerte an. Für die Zeit könnten wir entweder 1/k+ oder
1/k− verwenden und entscheiden uns für den kleineren Wert 1/k+ . Die dimensionslosen Maßzahlen
von c1 , c2 und t nennen wir u1 , u2 bzw. τ . Genauer bedeutet das die Transformationen
u1 (τ ) =
c1 (τ /k+ )
,
c10
u2 (τ ) =
42
c2 (τ /k+ )
c20
Das ergibt die Differentialgleichungen
u01 (τ ) =
u02 (τ ) =
k− c20 u2 (τ ) − k+ c10 u1 (τ )
k− c20
c01 (τ /k+ )
=
=
u2 (τ ) − u1 (τ ) ,
c10 k+
c10 k+
k+ c10
c10
k− c20
u1 (τ ) −
u2 (τ ) .
c20
k+ c10
Entsprechend unserer obigen Annahmen schreiben wir
k−
= ε,
k+
c10
= εa ,
c20
wobei ε sehr klein und a von moderater Größe ist. Das gibt
u01 =
u2
− u1 ,
a
u02 = ε(au1 − u2 ) ,
u1 (0) = u2 (0) = 1 .
Eine Approximation ergibt sich mit ε → 0: u2 (τ ) = 1 für τ ≥ 0 und damit
u01 =
1
− u1 ,
a
u1 (0) = 1 .
Die Rate der Umkehrreaktion wird also durch die Konstante 1/a approximiert. Man spricht daher
von einer Reaktion nullter Ordnung. Die Substanz stellt also ein großes Hintergrundreservoir dar,
das sich durch die Reaktionen nur unwesentlich ändert. Das Näherungsproblem für u1 kann explizit
gelöst werden. Zunächst beobachten wir, dass die Differentialgleichung den stationären Punkt
u1 = 1/a besitzt. Die Abweichung v(τ ) = u1 (τ ) − 1/a erfüllt das Anfangswertproblem
v 0 = −v ,
v(0) = 1 − 1/a ,
das analog zu oben explizit gelöst werden kann: v(τ ) = e−τ (1 − 1/a). Daraus folgt u1 (τ ) =
1/a + e−τ (1 − 1/a) und daraus für die unskalierte Konzentration von X1 :
k− c20
k− c20
+ e−k+ t c10 −
k+
k+
c1 (t) =
.
Für t → ∞ konvergiert c1 (t) also exponentiell gegen die stationäre Lösung.
Michaelis-Menten-Kinetik: Wir betrachten eine von einem Enzym E gesteuerte Reaktion, bei
der das Substrat S in das Produkt P umgewandelt wird. Das passiert durch zwei Teilreaktionen,
wobei zuerst das Enzym mit dem Substrat den Komplex ES bildet, der dann in das Produkt und
das unverändert aus dem Prozess hervorgehende Enzym zerfällt, also E + S → ES → P + E.
Wir nehmen an, dass zu Beginn nur Enzym und Substrat vorhanden sind mit einer viel kleineren
Enzymkonzentration. Das ergibt das Anfangswertproblem
c0S = −k1 cE cS ,
c0E
c0ES
c0P
cS (0) = cS0 ,
= k2 cES − k1 cE cS ,
cE (0) = cE0 ,
= k1 cE cS − k2 cES ,
cES (0) = 0 ,
= k2 cES ,
cP (0) = 0 .
43
Wieder führen wir eine Skalierung durch, wobei wir für cS und cP die Einheit cS0 verwenden, für
cE und cES die Einheit cE0 , sowie die Zeiteinheit 1/(k1 cE0 ). Für die neuen Variablen uS , uP , uE
und uES , die von τ = k1 cE0 t abhängen, ergibt sich das Problem
u0S = −uE uS ,
ε u0E
ε u0ES
u0P
uS (0) = 1 ,
= a uES − uE uS ,
uE (0) = 1 ,
= uE uS − a uES ,
uES (0) = 0 ,
= a uES ,
uP (0) = 0 ,
mit den dimensionslosen Parametern
ε=
cE0
,
cS0
a=
k2
.
k1 cS0
Wie oben erwähnt, nehmen wir an, dass ε sehr klein ist. Außerdem nehmen wir an, dass die Raten
der beiden Reaktionen von derselben Größenordnung sind, was bedeutet, dass a moderate Werte
annimmt.
Addieren der zweiten und der dritten Differentialgleichung ergibt die plausible Tatsache, dass
die Summe der Konzentrationen von Enzym und Komplex konstant ist:
uE (τ ) + uES (τ ) = 1 ,
wobei die Konstante auf der rechten Seite aus den Anfangsbedingungen folgt. Verwendet man
das in der zweiten Differentialgleichung und führt den Grenzwert ε → 0 durch, dann ergibt sich
0 = a(1 − uE ) − uE uS , woraus uE berechnet werden kann:
uE =
a
.
a + uS
Das führt dazu, dass wir nun eine direkte Reaktionsrate für S → P angeben können:
u0P = −u0S =
a uS
a + uS
In den ursprünglichen unskalierten Variablen ergibt sich
c0P = −c0S =
k1 k2 cE0 cS
k2 + k1 cS
Dieses Resultat wird Michaelis-Menten-Kinetik genannt. Man kann es als Interpolation zwischen
einer Reaktion erster Ordnung (Rate ≈ k1 cE0 cS ) für sehr kleine Werte von cS und einer Reaktion
nullter Ordnung (Rate ≈ k2 cE0 ) für sehr große Werte von cS ansehen.
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