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Ortznetzberechnung - V0.95 - Schüler

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Ortsnetzberechnung – Grundlagen
HTL Linz – LiTec
Linzer Technikum
Paul-Hahn-Straße 4
DI Dr. Emanuel Fuchs
DI Helmut Bauchinger
[email protected]
[email protected]
V0.95
Inhaltsverzeichnis
1
Aufgabe und Ausführungsgrundlagen von Ortsnetzen ............................................................................................ 1
1.1
2
Anforderungen an Ortsnetze ............................................................................................................................ 1
Netztopologien.......................................................................................................................................................... 1
2.1
Strahlennetz ...................................................................................................................................................... 1
2.1.1
Betriebseigenschaften .............................................................................................................................. 2
2.1.2
Anwendungsgebiet ................................................................................................................................... 3
2.2
Ringnetz und zweiseitig gespeiste Leitung ....................................................................................................... 3
2.2.1
Betriebseigenschaften .............................................................................................................................. 5
2.2.2
Anwendungsgebiet ................................................................................................................................... 5
2.3
3
Ortsnetzberechnung - Grundlagen
Maschennetz ..................................................................................................................................................... 5
2.3.1
Betriebseigenschaften .............................................................................................................................. 6
2.3.2
Anwendungsgebiet ................................................................................................................................... 6
2.4
Entwicklungstendenzen der Netztopologien .................................................................................................... 6
2.5
Beispiele einiger Netzformen............................................................................................................................ 6
2.5.1
Ortsnetze................................................................................................................................................... 6
2.5.2
Industrienetze ........................................................................................................................................... 7
2.5.3
Großgebäudenetze ................................................................................................................................... 8
2.5.4
Bordnetze .................................................................................................................................................. 9
Berechnungsgrundlagen ......................................................................................................................................... 10
3.1
Einseitig gespeiste Leitung und einfach belastete Stichleitung ...................................................................... 10
3.1.1
Betriebsstrom, Leiterwiderstand, Spannungsabfall und Leitungsverlust für Gleichstrom ..................... 10
3.1.2
Betriebsstrom, Leiterwiderstand, Spannungsabfall und Leitungsverlust für Wechselstrom ................. 13
3.1.3
Betriebsstrom, Leiterwiderstand, Spannungsabfall und Leitungsverlust für Drehstrom ....................... 18
3.2
Einfach gespeiste Leistung mit einer mehrfach belasteten Stichleitung ........................................................ 21
3.2.1
Gleichstrom ............................................................................................................................................. 21
3.2.1.1
Spannungsabfall an einer beliebigen Stelle der Leitung ..................................................................... 23
3.2.1.2
Leitungsverluste .................................................................................................................................. 24
3.2.2
Allgemeiner Umgang mit unterschiedlichen cos(𝜑𝜑)............................................................................... 24
3.2.3
Einphasenwechselstrom ......................................................................................................................... 25
3.2.3.1
3.2.4
Leitungsverluste .................................................................................................................................. 25
Drehstrom ............................................................................................................................................... 27
3.2.4.1
3.3
Leitungsverluste .................................................................................................................................. 28
Optimaler Einspeisepunkt hinsichtlich des Spannungsabfalls ........................................................................ 29
3.3.1
Gleichstrom ............................................................................................................................................. 30
3.3.2
Wechselstrom ......................................................................................................................................... 30
3.3.3
Drehstrom ............................................................................................................................................... 30
.................................................................................................................................................................................... 32
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3.4
Ortsnetzberechnung - Grundlagen
Ringleitung und zweiseitig gespeiste Leitung ................................................................................................. 33
3.4.1
Allgemein Überlegungen, Gleichstrom ................................................................................................... 33
3.4.2
Ersatzströme bei Wechselstrom ............................................................................................................. 34
3.4.3
Ersatzströme bei Drehstrom ................................................................................................................... 37
3.4.4
Speisepunkte mit ungleichen Potenzial .................................................................................................. 38
3.4.4.1
Gleich- und Wechselstrom .................................................................................................................. 38
3.4.4.2
Drehstrom ........................................................................................................................................... 38
3.4.5
3.5
Lastflussrechnung ................................................................................................................................... 38
Vermaschte Netze ........................................................................................................................................... 40
3.5.1
Einfach vermaschte Netze....................................................................................................................... 40
3.5.1.1
3.5.2
3.6
Netzumwandlungsmethode................................................................................................................ 40
Vielfach vermaschte Netze ..................................................................................................................... 48
Bauarten von Niederspannungsnetzen .......................................................................................................... 48
4
Literaturverzeichnis................................................................................................................................................. 48
5
Quellenverzeichnis: ................................................................................................................................................. 48
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Beispielverzeichnis
Ortsnetzberechnung - Grundlagen
Beispiel 3-1: DC, Spannungsabfall, Leitungsverlust .......................................................................................................................... 12
Beispiel 3-2: DC, Querschnitt ermitteln anhand eines maximalen Leitungsverlust, tatsächlicher Leitungsverlust ........................... 13
Beispiel 3-3: AC, Spannungsabfall ermitteln ..................................................................................................................................... 16
Beispiel 3-4: AC, Spannungsabfall und Leitungsverlust und Blindstromkompensation .................................................................... 17
Beispiel 3-5: Drehstrom, maximale Übertragungslänge bei gegebenen Spannungsabfall ............................................................... 19
Beispiel 3-6: Drehstrom, Spannungsabfall ........................................................................................................................................ 20
Beispiel 3-7: AC, mehrfachfachbelastet Leitung, berechnet wird cos(𝝋𝝋𝝋𝝋) Betriebsstrom, ΔU und PL ............................................ 26
Beispiel 3-8: Drehstrom, mehrfachbelastete Leitung, min. Querschnitt bei gegeb. Spg.-sabfall und Leitungsverlust ...................... 28
Beispiel 3-9: Drehstrom, optimaler Einspeisepunkt .......................................................................................................................... 31
Beispiel 3-10: AC, mehrfachfachbelastet Leitung, IA und I‘A .............................................................................................................. 35
Beispiel 3-11: Drehstom, IA und I‘A .................................................................................................................................................... 37
Beispiel 3-12: Drehstrom Freileitung, UA≠U’A, gesucht A für ΔuΔ%max = 1%, Lastfluss........................................................................ 39
Beispiel 3-13: Vermaschtes Drehstromnetz UA=U’A, gesucht A für Δuv%max = 3%, Lastfluss............................................................... 41
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Verwendete Symbole
Ortsnetzberechnung - Grundlagen
Allgemein Größen:
S ............. Scheinleistung in VA
P ............ Wirkleistung in W
Q ............ Blindleistung in var
U ............ Spannung in V
I ............. Strom in A
R ............ Widerstand in Ω
X ............ Reaktanz in Ω
γ ............. elektrische Leitfähigkeit in Sm/mm²
A ............ Leiterquerschnitt in mm²
Besondere Größen in diesem Skriptum:
U1........... Spannung an der Speisestelle in V
U1Δ ......... Außenleiterspannung an der Speisestelle in V
U2........... Spannung am Verbraucher in V
UN .......... Nennspannung eines Verbrauchers oder Netzes in V
ΔU .......... Spannungsabfall in V
Δu% ........ Spannungsabfall in % in m oder km
ΔUΔ ........ Spannungsabfall bezogen auf Außenleiterspannung in V
ΔuΔ% ....... Spannungsabfall in % in m oder km
ΔUmax ..... Maximaler Spannungsabfall entlang der Leitung in V
Δu%max .... Maximaler Spannungsabfall entlang der Leitung in %
𝑹𝑹′𝑳𝑳 .......... Widerstandsbelag in Ω/m oder Ω/km
RL ........... Leitungswiderstand in Ω
𝑿𝑿′𝑳𝑳 .......... Reaktanzbelag in Ω/m oder Ω/km
P1 ........... Aufgenommene Wirkleistung an der Speisestelle in W
PV ........... Verbraucher Wirkleistung in W
PL ........... Leistungsverlust entlang der Leitung in W
pL%.......... Leistungsverlust entlang der Leitung in %
PLmax ....... Maximaler Leistungsverlust entlang der Leitung in W
p%max ...... Maximaler Leistungsverlust entlang der Leitung in %
IV ............ Strom des Verbrauchers in A
IN ............ Nennstrom eines Verbrauchers in A
Id ............ Gesamtstrom auf einem Leitungsabschnitt in A
SV ........... Scheinleistung des Verbrauchers in VA
QV .......... Blindleistung des Verbrauchers in var
ϕ ............ Phasenwinkel zwischen Strom und Spannung in °
ϕ1........... Phasenwinkel an der Einspeisestelle zwischen Strom und Spannung in °
ϕ2........... Phasenwinkel am Verbraucher zwischen Strom und Spannung in °
cos(ϕ) .... (Grundschwingungs)-Leistungsfaktor
g............. Gleichzeitigkeitsfaktor
ƞ ............ Wirkungsgrad
ℓ ............ Abstand von der Quelle bis zum Verbraucher in m oder km
d ............ Abstand zwischen zwei Orten auf der Leitung in m oder km
Allgemeine Anmerkungen:
• Bei unterstrichenen Größen handelt es sich um komplexe Größen.
• Bei nicht unterstrichen Größen handelt es sich, soweit nicht anders ersichtlich, um Beträge.
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Ortsnetzberechnung - Grundlagen
1 Aufgabe und Ausführungsgrundlagen von Ortsnetzen
Als Ortsnetz bezeichnet man die Niederspannungsverteilungsnetze zwischen Trafostation und den Haus- bzw.
Gewerbeanschlüssen der Abnehmeranlage. Ortsnetze sind in der Regel Vierleitersysteme. Die Form der Ortsnetze
hängt von der Lastdichte und damit von der Siedlungsstruktur ab. Die Lastdichte für Niederspannungsnetze ist wie
folgt definiert:
Lastdichte =
Jahreshöchstlast
versorgte Fläche
[Lastdichte] =
kW
km 2
(1.0.1)
Zur Jahreshöchstlast eines Gebietes trägt jeder Abnehmer mit einem bestimmten Anteil seines Anschlusswertes bei
(Gleichzeitigkeitsfaktor). Die Bauart der Ortsnetze – Kabel oder Freileitung – wird ebenfalls von der Siedlungsstruktur
beeinflusst. In Städtischen Gebieten wird vorwiegend Kabelnetz verlegt, während im ländlichen Bereich vorwiegend
Freileitungen gebaut werden.
1.1 Anforderungen an Ortsnetze
Folgende Anforderungen werden an Ortsnetze gestellt:
a) Unterbrechungsfreie Stromversorgung
b) Konstante Spannung an allen Netzpunkten
c) Gefahrlosigkeit für den Abnehmer
d) Einfacher Netzbetrieb und einfache Schutzeinrichtungen
Aufgrund der finanziell beschränkten Mittel eines jeden Unternehmens ist auch die wirtschaftliche Betrachtung der
Errichtung und Instandhaltung eines Ortsnetzes ein nicht vernachlässigbarer Faktor.
2 Netztopologien
Man unterscheidet zwischen Strahlennetzen, Ringnetzen und Maschennetzen. Diese Netze können je nach
Spannungsebene, landschaftlichen Gegebenheiten, Lageplänen, Fabrik-Layout, Versorgungssicherheit etc. ein sehr
unterschiedliches Aussehen haben. Darüber hinaus besitzen alle Netze definierte betriebliche Trennstellen, mittels
derer einzelne Netzteile für die Beseitigung von Störungen, Wartung und Instandhaltung spannungsfrei geschaltet
werden können, was jedesmal eine Topologieänderung zur Folge hat. Im Folgenden werden zunächst die
grundsätzlichen Topologien vorgestellt.
2.1 Strahlennetz
In Strahlennetzen verlaufen die Versorgungsleitungen strahlenförmig von der Einspeisung weg, sogenannte
Stichleitungen. Beispielsweise versorgen die abgehenden Leitungen bzw. Strahlen die Häuser einer Straße in
Niederspannungsnetzen der öffentlichen Versorgung. In der Industrie bilden die Strahlen hierarchisch gestaffelte
Niederspannungsnetze mit Haupt-, Unter- und Kleinverteilern. In letzterem Fall speisen die Sammelschienen höherer
Ebenen sowohl die nachgelagerten Verteilerebenen als auch direkt Verbraucher hoher Leistung.
Abbildung 1: Schematische Darstellung eines Siedlungsnetzes (1)
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Abbildung 2: Schematische Darstellung eines Industrienetzes (1)
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Ortsnetzberechnung - Grundlagen
Die folgende Abbildung zeigt ein Strahlennetz mit einem höheren detailgrad. Bei der Dimensionierung der Sicherungen
ist auf die Selektivität zu achten.
Abbildung 3: Darstellung eines Strahlennetzes für eine Siedlung
2.1.1 Betriebseigenschaften
Zu Punkt 1.1 a) Unterbrechungsfreie Stromversorgung:
• Diese Forderung ist bei einem Strahlennetz schlecht erfüllt. Bei einem Fehler auf der Hauptleitung muss
der komplette Strahl abgeschaltet werde. Verbesserungen können durch den vermehrten Einsatz von
Trennern und Sicherungen bei den Stichleitungen erreicht werden (damit muss bei einem Fehler in der
Stichleitung nicht die Hauptleitung abgeschaltet werden. Bei Ausfall des Ortstrafos bricht die gesamte
Versorgung zusammen.
Zu Punkt 1.1 b) Konstante Spannung an allen Netzpunkten
• Eine konstante Spannung an allen Netzpunkten kann nicht gewährleistet werden. Spannungsabfälle
nehmen mit der Entfernung zu.
Zu Punkt 1.1 c) Gefahrlosigkeit für den Abnehmer
• Aufgrund der Länge eines Strahls kann es zu Problemen mit der 1.Nullungsbedingung und bei
Überspannungen kommen. Durch entsprechende Dimensionierung der Leiterquerschnitte, der Erdung
und der Überspannungsschutzeinrichtung können diese Probleme in den Griff bekommen werden.
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Ortsnetzberechnung - Grundlagen
Zu Punkt 1.1 d) Einfacher Netzbetrieb und einfache Schutzeinrichtungen
• Die Vorzüge der Strahlennetze bestehen in ihrem geringen Planungsaufwand, ihrer großen
Übersichtlichkeit bei der Fehlersuche und den geringen Anforderungen an den Netzschutz. Diese
Anforderung kann daher sehr gut erfüllt werden.
2.1.2 Anwendungsgebiet
Die Netztopologie des Strahlennetzes ist für Gebiete mit einer geringen Lastdichte (bis 500 kW/km²) insbesondere für
ländliche Versorgungsgebiete.
2.2 Ringnetz und zweiseitig gespeiste Leitung
Ein Ringnetz entsteht, wenn zwei Strahlen über eine Trennstelle oder eine Sicherung zusammengeschlossen werden.
Eine zweiseitig gespeiste Leitung entsteht, wenn der Strahl einer Trafostation zu einer anderen Trafostation
weitergeführt wird.
Abbildung 4: Darstellung eines Ringnetzes für eine Siedlung mit einem Trafo
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Ortsnetzberechnung - Grundlagen
Abbildung 5: Darstellung einer zweiseitigespeisten Leitung für eine Siedlung mit zwei Trafos
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2.2.1 Betriebseigenschaften
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Zu Punkt 1.1 a) Unterbrechungsfreie Stromversorgung:
• Diese Forderung ist bei einem Strahlennetz gut erfüllt. Ein fehlerbehaftetes Stück der Hauptleitung kann
durch Trennstellen herausgeschaltet werden. Der Betrieb wird anschließend als Strahlennetz
weitergeführt. Die Anzahl der betroffenen Abnehmer wird kleiner.
Vorteil der zweiseitig gespeisten Leitung:
 Auch bei Ausfall eines Trafos kann der Betrieb bedingt aufrechterhalten werden.
Zu Punkt 1.1 b) Konstante Spannung an allen Netzpunkten
• Die Bedingung einer konstanten Spannung an allen Netzpunkten ist gut erfüllt. Die Ströme teilen sich
entsprechend der geringsten Widerstände auf die zwei Netzzweige auf und somit werden die
Spannungsabfälle reduziert.
Zu Punkt 1.1 c) Gefahrlosigkeit für den Abnehmer
• Aufgrund der Länge kann es zu Problemen mit der 1.Nullungsbedingung und bei Überspannungen
kommen. Durch entsprechende Dimensionierung der Leiterquerschnitte, der Erdung und der
Überspannungsschutzeinrichtung können diese Probleme in den Griff bekommen werden.
Zu Punkt 1.1 d) Einfacher Netzbetrieb und einfache Schutzeinrichtungen
• Der Betrieb und die Schutzeinrichtungen eines Ringnetzes sind komplizierter als bei einem Strahlennetz.
Grund dafür ist die zweiseitige Speisung (Rückspannungen!). Eine sorgfältige Abstufung der Sicherungen
ist erforderlich.
Um den Betrieb zu vereinfachen werden Ringleitungen und zweiseitig gespeiste Leitungen fallweise offen
als Strahlennetz betrieben. Damit bleibt der Vorteil der unterbrechungsfreien erhalten. Der Vorteil der
konstanten Spannung an allen Netzpunkten geht verloren.
2.2.2 Anwendungsgebiet
Ringnetze und zweiseitig gespeiste Leitungen sind die Vorstufen des Maschennetzes. Der Einsatz erfolgt daher in
Gebieten, in denen ein großer Zuwachs an Abnehmern zu erwarten ist. Bis zu einer Lastdichte von 500kW/km² erfolgt
die Versorgung über Ringleitungen oder zweiseitig gespeiste Leitung, darüber hinaus beginnt die Vermaschung.
2.3 Maschennetz
Maschennetze weisen das bei der Ringtopologie erläuterte Prinzip der zweiseitigen Versorgung in Vollendung auf.
Knoten und Zweige werden mehrfach versorgt, woraus die große Versorgungszuverlässigkeit resultiert. Alle Zweige
bzw. Abgänge sind durch Sicherungen geschützt. Bei einem Kurzschluss bleiben die Wirkungen auf einen kleinen
Bereich begrenzt (Abbildung 7 und Abbildung 7Abbildung 15).
Kabelverteilerschrank
(KVS) – von dort werden
die Verbraucher
angeschlossen
Abbildung 6: Einfach gespeistes Maschennetz. Das gesamte Netz wird
von nur einer Trafostation gespeist.
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Abbildung 7: Mehrfach gespeistes Maschennetz. Mehrere
Trafostationen speisen in verschiedene Knoten ein. Bei einer Zunahme
der Lastdichte werden weitere Trafostationen hinzugefügt
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Ortsnetzberechnung - Grundlagen
Grundsätzlich werden zur Bildung eines Maschennetzes alle Hauptleitungen eines Versorgungsgebietes miteinander
in Knoten verbunden. Jede von einem Knoten abgehende Leitung wird gesichert. Die Abnehmer sind entlang der
Hauptleitungsstrecken angeschlossen. Des Weiteren unterscheidet man:
•
Einsystemige Maschennetze:
Die Versorgung der Trafostation aus dem Mittelspannungs-Ortsnetz erfolgt von einem Umspannwerk
•
Mehrsystemige Maschennetze:
Die Versorgung der Trafostationen aus dem Mittelspannungs-Ortsnetz erfolgt von mehreren
Umspannwerken, d.h. es gibt eine zusätzliche Vermaschung auf der Mittelspannungsseite
2.3.1 Betriebseigenschaften
Zu Punkt 1.1 a) Unterbrechungsfreie Stromversorgung:
• Diese Forderung ist bei einem Strahlennetz sehr gut erfüllt. Fehlerbehaftete Leitungsstücke zwischen den
Knoten werden durch die Sicherungen herausgetrennt. Nur wenige Abnehmer verlieren dadurch ihre
Versorgung. Beim mehrseitig gespeisten Maschennetz kann bei entsprechender Leistungsreserve des
Trafos der Betrieb auch beim Ausfall einer Trafostation fortgeführt werden.
Zu Punkt 1.1 b) Konstante Spannung an allen Netzpunkten
• Die Bedingung einer konstanten Spannung an allen Netzpunkten ist gut erfüllt. Die Ströme teilen sich
entsprechend der geringsten Widerstände auf die Netzzweige auf und somit werden die Spannungsabfälle
reduziert.
Zu Punkt 1.1 c) Gefahrlosigkeit für den Abnehmer
• Aufgrund der Länge kann es zu Problemen mit der 1.Nullungsbedingung und bei Überspannungen
kommen. Durch entsprechende Dimensionierung der Leiterquerschnitte, der Erdung und der
Überspannungsschutzeinrichtung können diese Probleme in den Griff bekommen werden.
Zu Punkt 1.1 d) Einfacher Netzbetrieb und einfache Schutzeinrichtungen
• Der Betrieb und die Schutzeinrichtungen eines Maschennetzes sind komplizierter als bei einem Ring- und
Strahlennetz. Der Grund dafür ist, dass in einem Knoten von mehreren Seiten Spannungen anstehen.
Infolge der Vermaschung treten hohe Kurzschlussströme auf. Der Betrieb von Maschennetzen erfordert
qualifiziertes Fachpersonal. Die Wiederinbetriebnahme eines zusammengebrochenen Maschennetzes
geht nur durch gleichzeitiges Einschalten aller Trafostationen vom Umspannwerk aus. Es sind
insbesondere beim mehrseitig gespeisten Maschennetz aufwendige Schutzeinrichtungen erforderlich!
2.3.2 Anwendungsgebiet
Für Flächenlasten bis zu 3000 kW/km² werden einseitig gespeiste Maschennetze eingesetzt. Bis 10000kW/km² werden
einsystemige mehrseitig gespeiste und über 10000kW/km² werden zweisystemige mehrseitig gespeiste
Maschennetze verwendet. Maschennetze werden zur Versorgung von Großstädten und Industrie sowie für
Gewerbetriebe errichtet.
2.4 Entwicklungstendenzen der Netztopologien
Die heute bevorzugte Netzform für Ortsnetze ist das einfache und übersichtliche Strahlennetz. Um die Spannungsund Leistungsverluste entlang der Leitung klein zu halten wird die Netzausdehnung auf eine maximale Leitungslänge
von 500m begrenzt. Größere Netzausdehnungen werden durch Installation neuer Trafostationen vermieden (das gilt
nicht für jeden einzelnen Bergbauern!). Auch in Ballungszentren werden oft an Stelle von einem vermaschten Netz
Strahlennetze eingesetzt. In solchen Fällen wird jedem Wohnblock eine eigene Trafostation zugeordnet von der aus
die Stockwerke über einzelne Strahlen versorgt werden.
2.5 Beispiele einiger Netzformen
2.5.1 Ortsnetze
In Ortsnetzen ist das Niederspannungsnetz (UN = 400 V) als Strahlennetz, Ringnetz oder Maschennetz, gegebenenfalls
auch als Kombination verschiedener Topologien aufgebaut. Versorgungssicherheit, Spannungshaltung und
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Lastausgleich sind im Maschennetz dank der Speisung der Netzknoten von mehreren Seiten günstiger, besonders dort,
wo zahlreiche Abnehmer unterschiedlicher Leistung und mit unterschiedlichen Belastungsarten vorhanden sind (1).
Kabelverteilerschrank (KVS) – von dort werden die
Verbraucher angeschlossen
Abbildung 8: Niederspannungsortsnetz mit mehrsträngiger Versorgung (Maschennetz) (1)
2.5.2 Industrienetze
Für Industrienetze wird eine hohe Verfügbarkeit verlangt, da Versorgungsunterbrechungen zu kostspieligen
Produktionsausfällen mit hohen Stromausfallkosten führen können. Bei der Planung der industriellen Verteilungsnetze
und der elektrischen Einrichtungen innerhalb der einzelnen Anlagen werden in den verschiedenen Industriezweigen
unterschiedliche Prioritäten gesetzt. Bei hohen Belastungen in Industrienetzen sind die Transformatoren mit Rücksicht
auf kurze Stromwege auf der Niederspannungsseite möglichst nahe an den Lastschwerpunkten zu betreiben. Abhängig
von der Art des Industriebetriebs kommen Strahlen-, Ring- und Maschennetze zum Einsatz. Beispielsweise zeigt
Abbildung 9 ein einfaches Industriestrahlennetz, das mehrere Hallen versorgt (1).
Abbildung 9: Niederspannungs-Industrienetz (Strahlennetz) (1)
In einem Maschennetz werden die Kabel in Form von Netzmaschen zusammengeschlossen. Das Netz wird an
mehreren Knotenpunkten über Transformatoren eingespeist (Abbildung 10) (1).
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Ortsnetzberechnung - Grundlagen
Abbildung 10: Niederspannungs-Industrienetz (Maschennetz) (1)
2.5.3 Großgebäudenetze
Große Gebäude werden meist als Sonderabnehmer aus dem Mittelspannungsnetz versorgt und speisen über eigene
Transformatoren das interne Niederspannungsnetz (UN = 400 V). Die Art des Versorgungssystems ist abhängig von der
Gebäudeausdehnung, den Längen der Versorgungsleitungen und den Belastungen. Es wird unterschieden zwischen
vertikaler Versorgung (Steigleitungen) und horizontaler Versorgung (Versorgung innerhalb der einzelnen Stockwerke).
Alternativ spricht man bei den Steigleitungen auch von Hauptkabeln bzw. der Hauptstromversorgung (Abbildung 11)
(1).
Abbildung 11: Niederspannungsnetz in einem Gebäude mit 7 Stockwerken. a) Kältemaschinen, b) Heizung, Lüftung, Druckerhöhungspumpen, c)
Rauchabzug, Feuerlöschpumpen, d) zentrale Blindleistungskompensation mit selbststätiger Regelanlage, e) Stockwerkverteiler, f) Unterverteiler,
g) Aufzüge (1).
Auf jedem Stockwerk befinden sich von den Steigleitungen gespeiste Stockwerk- bzw. Etagenverteiler, von denen aus
jeweils ein Stockwerk über ein Strahlennetz horizontal versorgt wird, sogenannte Verbraucherstromversorgung. Auf
jedem Stockwerk gibt es nochmals mehrere Unterverteiler für abgeschlossene Bereiche, beispielsweise Wohnungen
und Büros (1).
Darüber hinaus ist eine kurze Entfernung zwischen Einspeisung und Lastschwerpunkt anzustreben. Hieraus ergibt sich
eine dezentrale Aufstellung der Transformatoren unmittelbar in den Lastschwerpunkten, z. B. Stockwerksgruppen
oder Umformeranlagen für Aufzüge und Anlagenteile der Klimaanlage im Dachgeschoß. Bei
Versorgungsunterbrechungen gibt es für sicherheitsrelevante Verbraucher eine Sicherheitsstromversorgung, darüber
hinaus für andere wichtige Verbraucher auch ein Ersatznetz und eine Ersatzstromversorgung (Dieselaggregat,
unterbrechungsfreie Stromversorgung USV) (1).
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2.5.4 Bordnetze
Ortsnetzberechnung - Grundlagen
Die bisherigen Betrachtungen beschränkten sich auf die klassische Energieverteilung zur Versorgung von Gebäuden
oder Industriebetrieben. Daneben müssen jedoch auch Verbraucher in Flugzeugen, Schiffen und Kraftfahrzeugen mit
elektrischer Energie versorgt werden. Diese Aufgabe übernehmen sogenannte Bordnetze. In der Terminologie der
Verbundtechnik könnte man sie auch als Inselnetze bezeichnen. Die Struktur dieses Netztyps und die an ihn gestellten
Anforderungen werden im Kontext anhand eines Flugzeugbordnetzes dargestellt. Gegenüber konventionellen
Elektroenergiesystemen der öffentlichen Versorgung müssen luftfahrttaugliche Systeme hohen Anforderungen
hinsichtlich geringen Gewichts und geringen Volumens bei höchster Zuverlässigkeit und geringem Wartungsaufwand
genügen. Grundsätzlich unterscheidet man zwischen Gleichstrom-Bordnetzen (bei älteren und kleineren
Flugzeugtypen) und Drehstrom-Bordnetzen, die heute nahezu ausnahmslos Anwendung finden, mit installierten
Leistungen bis zu 500KW. Als Bordnetzspannungen haben sich 28V Gleichstrom und 115V/220V Drehstrom von 400Hz
durchgesetzt. Wegen der geringen Leitungslängen halten sich die Spannungsabfälle auch bei 400 Hz noch im Rahmen.
Drehstromnetze werden durch Gleichstromnetze kleinerer Leistung ergänzt. Sogenannte Trafogleichrichter versorgen
für Gleichstrom ausgelegte Verbraucher und bewerkstelligen die Ladung der Batterie, die als Energiequelle in Notfällen
in jedem Bordnetz vorhanden ist. Einen entscheidenden Einfluss auf das Bordnetz eines Flugzeugs haben Art und
Anzahl der Triebwerke, wobei die Frage des Anlassens besonders wichtig ist. Bei Stillstand des Flugzeugs und seiner
Triebwerke übernimmt das an Bord befindliche Hilfsstromaggregat (engl.: Auxiliary Power Unit, APU) die
Energieversorgung. Die Anlass-Energie wird einer Batterie oder einer Bodenstromversorgung und auch dem Generator
des ersten angelassenen Triebwerks entnommen. Als Beispiel soll das Bordnetz einer Boeing 747 beschrieben werden
(Abbildung 12).
Abbildung 12: Bordnetz einer Boeing 747. 1: Hauptsammelschiene, 1.1: Erster Bodenstromanschluß, 1.2: Zweiter Bodenstromanschluß, 2:
Verbrauchersammelschienen, 3: Wechselstrom-Notsammelschiene, 4: Batteriesammelschiene, 5: Gleichstrom-Sammelschienen, 6: GleichstromNotsammelschienen, 7: Hilfsstromaggregate, 7.3: Anlasser für Hilfsstromaggregate, 8: Triebwerksgeneratoren.
Die vier Triebwerke sind mit je einem 60-kVA-Drehstromgenerator ausgerüstet. Darüber hinaus treibt ein
Hilfsstromaggregat (APU) zwei weitere Generatoren von je 60kVA an. Je zwei der vier von den Triebwerken
angetrieben Generatoren können parallel auf die kuppelbaren Hauptsammelschienen arbeiten. Ein Parallellauf der
Bordstromversorgungen mit dem Generator des Hilfsstromaggregats ist ebenso möglich wie ein Parallellauf mit den
Triebwerksgeneratoren.
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3 Berechnungsgrundlagen
Ortsnetzberechnung - Grundlagen
Bei den Berechnungsgrundlagen werden die benötigten Formeln für die Ermittlung des Spannungsabfalls und des
Leistungsverlusts entlang der Leitung hergeleitet. Sie werden mit Hilfe des Ohmschen Gesetzes hergeleitet, jedoch ist
zu beachten, dass anschließend (bei Wechsel- und Drehstrom) Vereinfachungen vorgenommen werden. Diese
Vereinfachungen erleichtern die Berechnung allerdings leidet darunter die Genauigkeit. Trotz der verminderten
Genauigkeit sind diese Formeln für die händische Berechnung von Ortsnetzen zulässig. Folgende grundsätzliche
Überlegungen sind bei der Berechnung der Beispiele zu beachten:
Der Spannungsabfall ist das Produkt aus Strom und dem tatsächlichen Widerstand (Gleichstrom) bzw. einen auf
einen reellen Wert vereinfachten Ergebnis bestehend aus dem ohmschen Widerstand und der Leitungsreaktanz.
Der Leistungsverlust entlang der Leitung ist der Produkt vom Quadrat des Stromes mit dem Produkt des
tatsächlichen Widerstands bzw. einen auf einen reellen Wert vereinfachten Ergebnis, bestehend aus dem
ohmschen Widerstand und der Leitungsreaktanz.
Da der Spannungsabfall bei Wechsel- und Drehstrom aus dem vereinfachten Teil eines ohmschen und eines
induktiven Spannungsteil besteht, darf der Leistungsverlust der Leitung nicht aus dem Produkt des
Spannungsabfalls mit dem Strom bestimmt werden.
3.1 Einseitig gespeiste Leitung und einfach belastete Stichleitung
Die einseitig gespeiste Leitung und einfach belastete Stichleitung stellt den einfachsten Fall eines Netzes dar. Aus
diesem Grund werden die Grundlagen für die Berechnung mit dieser Netztopologie (einfachstes mögliches
Strahlennetz) erarbeitet.
3.1.1 Betriebsstrom, Leiterwiderstand, Spannungsabfall und Leitungsverlust für Gleichstrom
Die Abbildung 13 zeigt das Ersatzschaltbild (ESB) einer Leitung (für Gleichstrom) mit einer ohmschen Last. In der
Abbildung 14 ist das zugehörige Zeigerdiagramm dargestellt.
Abbildung 14: Zeigerdiagramm für eine Leitung mit einer ohmschen
Last
Abbildung 13: ESB einer Leitung mit einer ohmschen Last (DC)
Der Spannungsabfall kann wie folgt berechnet werden:
∆U = U1 − U 2
∆U = 2 ⋅
(1.0.2)
RL
⋅ I = RL ⋅ I
2
(1.0.3)
RL

=
= RL′ ⋅ 
2 γ ⋅A
RL′
(1.0.4)
1
Ω
Ω
=
[ RL′ ]
oder
γ ⋅A
m
km
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(1.0.5)
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∆U =2 ⋅
Ortsnetzberechnung - Grundlagen

⋅I
γ ⋅A
(1.0.6)
∆U
⋅100%
U1
∆u% =
(1.0.7)
Die Leistungsverluste aufgrund der Leitung können wie folgt berechnet werden:
PL =∆U ⋅ I =2 ⋅

⋅I2
γ ⋅A
PL
⋅100%
P1
pL=
%
(1.0.8)
(1.0.9)
P1...Aufgenomme Leistung an der Speisestelle
Da der Spannungs- und Leistungsverlust entlang der Leitung sehr klein ist, kann der Strom I, der sich entsprechend
des folgenden ohmschen Gesetzes bildet, durch den Strom des Verbrauchers IV bei Nennspannung ersetzt werden.
Dadurch ergeben sich folgende Vereinfachungen:
Für PL << PV (RL << RV) und ΔU << U1 gilt:
Vereinfachung für die Berechnung des Stroms über die Leitung:
R L vernachlässigen und
statt U1 U 2 nehmen, da
Strom vom Verbraucher
anhand von U 2 ermittelt
werden muss
=
I

→
U1
R +R
L V
<<
U2



>>
<<


U 1 − ∆U
=
IV
RV
Da R L vernachlässigbar ist,
kann auch ∆U für die
Berechnung des Stromes
vernachlässigt werden



→
=
IV
U1
RV
→
>>
(1.0.10)
Statt Spannung und Widerstand
wird im normalfall Leistung und
Spannung für die Berechnung
herangezogen



→
PV
≈I
IV =
U1
Daraus folgt das für P1≈PV und für U1≈U2 angenommen werden darf!
Vereinfachung für die Berechnung des Spannungsabfalls entlang der Leitung:

→ I ≈ IV →
Vereinfachung von I auf I V
∆U = RL ⋅ I
∆u=
∆U = RL ⋅ IV =
2⋅
⋅I
γ ⋅A V
∆U
⋅100%
U1
(1.0.11)
(1.0.12)
Vereinfachung für die Berechnung des Leistungsverlusts entlang der Leitung:

→
Vereinfachung von I auf I V
PL =
∆U ⋅ I
pL %
2⋅
PL =
∆U ⋅ IV =RL ⋅ IV2 = ⋅ IV2
γ ⋅A
PV ≈ P1

PL
PL
=⋅100% → pL % =⋅
100%
P1
PV
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DI Helmut Bauchinger
(1.0.13)
(1.0.14)
Seite - 11 -
Ortsnetzberechnung - Grundlagen
Für die Berechnung des Leitungswiderstands und der Leitungsreaktanz bei Wechselspannung (2-phasig) kommen
folgende Gleichungen zur Anwendung:
RL =
2⋅
= 2 ⋅  ⋅ RL′
γ ⋅A
Für die Berechnung des Stroms über die Leitung darf bei Gleichspannung folgende Vereinfachung angenommen
werden:
IV =
PV
U1
Für die Berechnung des Spannungsabfalls über die Leitung wird bei Gleichspannung folgende Vereinfachung
angenommen werden:
∆U = RL ⋅ IV =
∆u=
2⋅
⋅I
γ ⋅A V
∆U
⋅100%
U1
Für die Berechnung des Leistungsverlusts über die Leitung (Leitungsverlust) wird bei Gleichspannung folgende
Vereinfachung angenommen werden:
2⋅
∆U ⋅ IV =
PL =
RL ⋅ IV2 = ⋅ IV2
γ ⋅A
PL
pL=
⋅100%
%
PV
Beispiel 3-1: DC, Spannungsabfall, Leitungsverlust
Ein Heizofen mit UN=230V, IN = 7A soll über eine 25m lange Leitung mit 1,5mm² CU-Leitung an 230V angeschlossen
werden. Gesucht ist ΔU, Δu%, PL, pL%
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Seite - 12 -
Ortsnetzberechnung - Grundlagen
Beispiel 3-2: DC, Querschnitt ermitteln anhand eines maximalen Leitungsverlust, tatsächlicher Leitungsverlust
Eine Beleuchtung soll über eine 50m lange Leitung an eine Spannungsquelle von 24V angeschlossen werden. Die
Leistung der Beleuchtung beträgt 240W. pL%max = 5 %. Ermitteln Sie den Nennquerschnitt (Cu), und die tatsächliche
Verlustleistung PLtat und pL%tat.
3.1.2 Betriebsstrom, Leiterwiderstand, Spannungsabfall und Leitungsverlust für Wechselstrom
Die Kapazitäten einer Leitung können für Niederspannungsanlagen vernachlässigt werden. Die Abbildung 15 zeigt das
ESB einer Leitung bei Wechselstrom mit einem ohmschen-induktiven Verbraucher.
Abbildung 15: ESB einer Leitung mit einem induktiv-ohmschen Verbraucher (AC)
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Seite - 13 -
Ortsnetzberechnung - Grundlagen
Abbildung 16: Zeigerdiagramm für ESB eine Leitung (AC) – Links: vergrößerte Darstellung fürs Verständnis. Rechts: realistische
Größenverhältnisse
Herleitung der vereinfachten Formel:
Aufgrund der Abbildung 16-rechts ist ersichtlich, dass bei realistischen Größen (ΔUmax < 15%) der wirkliche
Spannungsabfall annähernd gleich dem berechneten ist. Wenn angenommen wird, dass U1 in etwa parallel zu U2 ist,
so kann die Differenz der beiden Spannungen anhand einer simplen Addition der vereinfachten Spannungsabfälle von
I·XL·sin(ϕ2) und I·RL·cos(ϕ2) ermittelt werden.



→
U 1 in etwa parallel zu U 2
∆U =U 1 − U 2
∆U = I ⋅ ( RL ⋅ cos(ϕ2 ) + X L ⋅ sin(ϕ2 ))
(1.0.15)
Aufgrund der Annahme das U1 in etwa parallel zu U2 und ΔU << U1 ist, folgt das ϕ = ϕ2 ≈ ϕ1 ist.
U 1 in etwa parallel zu U 2
und ∆U U1 → ϕ =ϕ2 ≈ϕ1
∆U =I ⋅ ( RL ⋅ cos(ϕ2 ) + X L ⋅ sin(ϕ2 ))



→
∆U =I ⋅ ( RL ⋅ cos(ϕ ) + X L ⋅ sin(ϕ ))
(1.0.16)
Der prozentuelle Spannungsabfall ergibt sich anhand des vereinfachten Spannungsabfalls bezogen auf die Spannung
an der Speisestelle (U1) multipliziert mit 100%.
∆u% =
∆U
⋅100%
U1
(1.0.17)
Der ohmsche Leitungswiderstand ergibt sich wie bei einer DC-Leitung!
RL =
2⋅
= 2 ⋅  ⋅ RL′
γ ⋅A
(1.0.18)
Zusätzlich zum ohmschen Leitungswiderstand ist auch die Reaktanz der Leitung zu bestimmen! Dies wird mithilfe des
Reaktanzbelags durchgeführt. Diese Größe finden Sie in der Regel vom Hersteller des Kabels angegeben.
X L = 2 ⋅  ⋅ X L′
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X L′ ....Reaktanzbelag
[ X L′ ] =
Ω
Ω
oder
m
km
Seite - 14 -
(1.0.19)
Ortsnetzberechnung - Grundlagen
Da der Spannungs- und Leistungsverlust entlang der Leitung sehr klein ist, kann der Strom I, der sich entsprechend des
ohmschen Gesetzes bildet, durch den Strom des Verbrauchers IV bei Nennspannung ersetzt werden. Dadurch ergeben
sich folgende Vereinfachungen:
Für PL << PV und ΔU << U1 gilt: PV≈P1 und für U2≈U1 und ϕ =ϕ2≈ϕ1
Vereinfachung für die Berechnung des Stroms über die Leitung:
mit PV ≈ P1 und
ϕ2 ≈ϕ1 und U 2 ≈U1

→
=
I ≈ IV
folgt
I
PV
P1
=
und IV
U1 ⋅ cos(ϕ1 )
U 2 ⋅ cos(ϕ2 )
PV
U1 ⋅ cos(ϕ 2 )
(1.0.20)
Vereinfachung für die Berechnung des Spannungsabfalls entlang der Leitung:
IV ≈ I und ϕ =
ϕ2 ≈ϕ1
∆U =I ⋅ ( RL ⋅ cos(ϕ2 ) + X L ⋅ sin(ϕ2 ))



→
∆U =IV ⋅ ( RL ⋅ cos(ϕ ) + X L ⋅ sin(ϕ ))
 1

∆U =IV ⋅ ( RL ⋅ cos(ϕ ) + X L ⋅ sin(ϕ )) =IV ⋅ 2 ⋅  ⋅ 
⋅ cos(ϕ ) + X L′ ⋅ sin(ϕ ) 
γ ⋅A

(1.0.21)
(1.0.22)
Vereinfachung für die Berechnung des Leistungsverlusts entlang der Leitung:
ACHTUNG im Gleichstromkreis konnte PL mit Hilfe von ΔU berechnet werden. Das ist möglich, da ΔU der exakte Wert
ist bei einem Widerstand ist! Bei Wechsel- und Drehstrom ist ΔU jedoch ein Wert bestehend aus einer vereinfachten
ohmschen und einer vereinfachten induktiven Komponente. Aus diesem Grund darf nur über den Strom der
Leistungsverlust entlang der Leitung ermittelt werden!
Statt über den Spannungsabfall
muss mit dem Strom gerechnet
werden!
PL =
∆U ⋅ I
pL %

→
PL = RL ⋅ I
2
2
IV ≈ I


PV
2⋅ 2 2⋅ 
2
→ PL = RL ⋅ IV =
⋅I =
⋅

γ ⋅ A V γ ⋅ A  U1 ⋅ cos (ϕ2 ) 
PV2
2
2
RL ⋅ IV2 ⋅100% 2 ⋅  U1 ⋅ cos (ϕ )
P
PL
2⋅
= ⋅100% =
= ⋅
⋅100% =
⋅ 2 V2
⋅100%
PV
PV
γ ⋅ A U1 ⋅ cos (ϕ )
γ ⋅A
PV
(1.0.23)
(1.0.24)
Für die Berechnung des Leitungswiderstands und der Leitungsreaktanz bei Wechselspannung (2-phasig) kommen
folgende Gleichungen zur Anwendung:
RL =
2⋅
= 2 ⋅  ⋅ RL′
γ ⋅A
X L = 2 ⋅  ⋅ X L′
Für die Berechnung des Stroms über die Leitung darf bei Wechselspannung folgende Vereinfachung angenommen
werden:
IV =
PV
U1 ⋅ cos(ϕ2 )
Für die Berechnung des Spannungsabfalls über die Leitung wird bei Wechselspannung folgende Vereinfachung
angenommen werden:
∆U = IV ⋅ ( RL ⋅ cos(ϕ ) + X L ⋅ sin(ϕ ))
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Ortsnetzberechnung - Grundlagen
∆U
⋅100%
U1
∆u=
Für die Berechnung des Leistungsverlusts über die Leitung (Leitungsverlust) wird bei Wechselspannung folgende
Vereinfachung angenommen werden:
PL = RL ⋅ IV2 =
pL=
%
2⋅ 2
⋅I
γ ⋅A V
PL
⋅100%
PV
In der folgenden Tabelle finden Sie Richtwerte für den Reaktanzbelag 𝑋𝑋𝐿𝐿′ .
Tabelle 1: Richtwerte für den Reaktanzbelag 𝑋𝑋𝐿𝐿′
Art des Energieversorgungsnetzes
Niederspannungskabel (A ≥ 16mm²)
Niederspannungsfreileitung
Hochspannungsfreileitung
Reaktanzbelag
Ω
km
Ω
X L′ = 0,3
km
Ω
X L′ = 0, 4
km
X L′ = 0, 08
Beispiel 3-3: AC, Spannungsabfall ermitteln
Ein Einphasenmotor mit einer Leistung von 1,5kW und einem Wirkungsgrad von ƞ=0,85 wird an 230 V angeschlossen
(cos ϕ = 0,8). Die Zuleitung hat eine Länge von 100m mit einem YM 3x2,5mm². γ=56 Sm/mm² 𝑋𝑋𝐿𝐿′ =0,08 Ω/km
Gesucht ist der Spannungsabfall ΔU.
Bei kleinen Querschnitten (A < 16mm²) ist der Resistanzbelag im Vergleich zum Reaktanzbelag die Maßgebende
Größe. Aus diesem Grund kann bei Niederspannungskabeln bis A < 16mm² der Reaktanzbelag (𝑿𝑿′𝑳𝑳 ) vernachlässigt
werden. Der Resistanzbelag wird bei größeren Querschnitten erheblich kleiner, während der Reaktanzbelag im
Vergleich zum Resistanzbelag nur unwesentlich geringer wird. Aus diesem Grund muss für Querschnitte ab 16mm²
der Reaktanzbelag beim Spannungsabfall mit berücksichtigt werden!
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Ortsnetzberechnung - Grundlagen
Beispiel 3-4: AC, Spannungsabfall und Leitungsverlust und Blindstromkompensation
Gegeben ist eine Freileitung AC 230V StAL 2x150mm² γ=34 Sm/mm² l=100m PV=50kW cos ϕ = 0,8
𝑋𝑋𝐿𝐿′ =0,3 Ω/km f=50 Hz
Gesucht ist:
a) Δu% pL%
b) C, Δu% pL% bei einer Kompensation des cos ϕ auf 0,95.
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3.1.3 Betriebsstrom, Leiterwiderstand, Spannungsabfall und Leitungsverlust für Drehstrom
Für die folgenden Berechnungen wird eine symmetrische Belastung vorausgesetzt! Daraus folgt, dass der Neutralleiter
stromlos ist, d.h. kein Spannungsabfall am Neutralleiter. Aus diesem Grund wird für die Berechnung die einfache
Leitungslänge verwendet.
Der ohmsche Leitungswiderstand ergibt sich wie folgt:
R=
L

= RL′ ⋅ 
γ ⋅A
(1.0.25)
Zusätzlich zum ohmschen Leitungswiderstand ist auch die Reaktanz der Leitung zu bestimmen! Dies wird mithilfe des
Reaktanzbelags durchgeführt. Diese Größe finden Sie in der Regel vom Hersteller des Kabels angegeben.
X=
X L′ ⋅ 
L
(1.0.26)
Da der Spannungs- und Leistungsverlust entlang der Leitung sehr klein ist, kann der Strom I, der sich entsprechend des
ohmschen Gesetzes bildet, durch den Strom des Verbrauchers IV bei Nennspannung ersetzt werden. Wieder gelten die
folgenden Voraussetzungen für die Vereinfachung:
Für PL << PV und ΔU << U1 gilt: PV≈P1 und für U2≈U1 und ϕ =ϕ2≈ϕ1
Vereinfachung für die Berechnung des Stroms über die Leitung:
P1=
3 ⋅ U1∆ ⋅ I ⋅ cos(ϕ1 ) und PV =
3 ⋅ U 2 ∆ ⋅ IV ⋅ cos(ϕ 2 ) daraus ergeben sich die folgenden Gleichungen
mit PV ≈ P1 und
ϕ2 ≈ϕ1 und U 2 ≈U1
I
P1
=
und IV
3 ⋅ U1∆ ⋅ cos(ϕ1 )
folgt

PV
=
→
I ≈ IV
3 ⋅ U 2 ∆ ⋅ cos(ϕ 2 )
PV
3 ⋅ U1∆ ⋅ cos(ϕ 2 )
(1.0.27)
Vereinfachung für die Berechnung des Spannungsabfalls entlang der Leitung:
∆U P =I ⋅ ( RL ⋅ cos(ϕ2 ) + X L ⋅ sin(ϕ2 ))
(1.0.28)
IV ≈ I und ϕ =
ϕ2 ≈ϕ1



→
∆U ∆ = 3 ⋅ I ⋅ ( RL ⋅ cos(ϕ2 ) + X L ⋅ sin(ϕ2 ))
∆u∆ % =
∆U ∆ = 3 ⋅ IV ⋅ ( RL ⋅ cos(ϕ ) + X L ⋅ sin(ϕ ))
∆U ∆
⋅100%
U1∆
(1.0.29)
(1.0.30)
Vereinfachung für die Berechnung des Leistungsverlusts entlang der Leitung:
ACHTUNG im Gleichstromkreis konnte PL mit Hilfe von ΔU berechnet werden. Das ist möglich, da ΔU der exakte Wert
ist bei einem Widerstand ist! Bei Wechsel- und Drehstrom ist ΔU jedoch ein Wert bestehend aus einer vereinfachten
ohmschen und einer vereinfachten induktiven Komponente. Aus diesem Grund darf nur über den Strom der
Leistungsverlust entlang der Leitung ermittelt werden! Da Drehstrom dreiphasig ist, muss auch der Leistungsabfall
entlang einer Leitung mit 3 multipliziert werden um den gesamten Leistungsverlust zu erhalten.
Statt über den Spannungsabfall
muss mit dem Strom gerechnet
werden!
PL = 3 ⋅ ∆U ⋅ I

→
PL =3 ⋅ RL ⋅ I
2
IV ≈ I

→ PL =3 ⋅ RL ⋅ IV2
2


PV
PV2
PV
l
l 
3⋅  2 3⋅  
=
⋅
PL=
3
⋅
⋅
⋅ IV =
⋅
=



γ ⋅A
γ ⋅ A  3 ⋅U1∆ ⋅ cos (ϕ2 ) 
γ ⋅ A 3 ⋅U12∆ ⋅ cos 2 (ϕ ) γ ⋅ A  U1∆ ⋅ cos (ϕ ) 
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(1.0.31)
2
(1.0.32)
Ortsnetzberechnung - Grundlagen
Für die Berechnung des Leitungswiderstands und der Leitungsreaktanz bei Drehstrom (2-phasig) kommen
folgende Gleichungen zur Anwendung:

 ⋅ RL′
 ⋅ X L′
=
RL =
XL =
γ ⋅A
Für die Berechnung des Stroms über die Leitung darf bei Drehstrom folgende Vereinfachung angenommen
werden:
IV =
PV
3 ⋅U1∆ ⋅ cos(ϕ2 )
Für die Berechnung des Spannungsabfalls über die Leitung wird bei Drehstrom folgende Vereinfachung
angenommen werden:
∆U=
∆
3 ⋅ IV ⋅ ( RL ⋅ cos(ϕ ) + X L ⋅ sin(ϕ ))
∆U ∆
⋅100%
U1∆
∆u∆=
Für die Berechnung des Leistungsverlusts über die Leitung (Leitungsverlust) wird bei Drehstrom folgende
Vereinfachung angenommen werden:
PL= 3 ⋅ RL ⋅ IV2=
pL=
%
3⋅  2
⋅I
γ ⋅A V
PL
⋅100%
PV
Beispiel 3-5: Drehstrom, maximale Übertragungslänge bei gegebenen Spannungsabfall
Gegeben ist eine Freileitung A=120mm² Al (γAL=33Sm/mm²); 𝑋𝑋𝐿𝐿′ =0,3 Ω/km; UN=400V; PV=100kW; cos ϕ = 0,75. Gesucht
ist die maximale Übertragungslänge für einen Spannungsabfall Δu% = 3%.
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Beispiel 3-6: Drehstrom, Spannungsabfall
Ermitteln Sie den Spannungsabfall ΔU und Δu% am Punkt A. Die Freileitung besteht aus Aldrey 1. Das Erdkabel aus
Kupfer.
Abbildung 17: Ausschnitt eines Ortsnetzes für die Berechnung des Spannungsabfalls
Aldrey (E-AlMgSi) ist eine Legierung. Die Zugfestigkeit ist höher als bei reinem Aluminium. Das Material hat eine gute
elektrische Leitfähigkeit, ist jedoch beständiger gegen Korrosion als reines Aluminium.
1
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Ortsnetzberechnung - Grundlagen
3.2 Einfach gespeiste Leistung mit einer mehrfach belasteten Stichleitung
3.2.1 Gleichstrom
Es gelten weiterhin die Vereinfachungen die für die Berechnung des Spannungsabfalls bei Gleichstrom im Abschnitt
3.1.1 getroffen wurden. Der Spannungsabfall für Gleichstrom ergibt sich entsprechend der folgenden Abbildung.
Abbildung 18: Strom Aufteilung und Spannungsabfall bei einer mehrfach belasteten Leitung – einseitig gespeist, DC
Die Bezeichnungen d1, d2, d3 steht für Distanz 1, 2 und 3 (Die Bezeichnung L1, L2 und L3 werden vermieden da die
übliche Interpretation dieser Größen die Leiter in einem Drehstromsystem sind).
Grundsätzlich kann der Spannungsabfall über eine mehrfach belastete Leitung auf folgende zwei Arten bestimmt
werden:
a) Der Gesamtström über das jeweilige Teilstück der Leitung (Idx über Rdx)
b) Der Verbraucherström über die gesamte Leitungslänge zum Verbraucher (IVx über Rℓx)
Um den Gesamtstrom über ein Teilstück der Leitung zu bestimmen gilt folgende allgemeine Gleichung:
n
I dj = ∑ IVi
n...Anzahl der Verbraucher, j...das betrachtete Teilstück
(3.2.1)
i= j
Für unser Beispiel oben mit drei Verbrauchern gilt daher:
I d 1 = IV 1 + IV 2 + IV 3
(3.2.2)
I=
IV 2 + IV 3
d2
(3.2.3)
I d 3 = IV 3
(3.2.4)
Der gesamte Leitungswiderstand bis zum Verbraucher ergibt sich aus folgender Allgemeiner Geleichung:
j
Rj = ∑ Rdi
(3.2.5)
i =1
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Ortsnetzberechnung - Grundlagen
Für unser Beispiel oben mit drei Verbrauchern gilt daher:
R1 = Rd 1
(3.2.6)
R=
Rd 1 + Rd 2
2
(3.2.7)
R 3 = Rd 1 + Rd 2 + Rd 3
(3.2.8)
Der Spannungsabfall ergibt sich jetzt für die Variante a) der Berechnung aus folgender allgemeiner Form:
∆U
=
n
∑I
di
i =1
⋅ Rdi
n...Anzahl der Verbaucher
Für unser Beispiel oben mit drei Verbrauchern gilt daher:
∆U =U d 1 + U d 2 + U d 3 = I d 1 ⋅ Rd 1 + I d 2 ⋅ Rd 2 + I d 3 ⋅ Rd 3 = ( IV 1 + IV 2 + IV 3 ) ⋅ Rd 1 + ( IV 2 + IV 3 ) ⋅ Rd 2 + IV 3 ⋅ Rd 3 (3.2.9)



Id 1
Id 2
Id 3
Der Spannungsabfall ergibt sich jetzt für die Variante b) der Berechnung aus folgender allgemeiner Form:
∆U
=
n
∑I
i =1
Vi
⋅ Ri
(3.2.10)
n....Anzahl der Abnehmer
∆U = IV 1 ⋅ R1 + IV 2 ⋅ R 2 + IV 3 ⋅ R 3 = IV 1 ⋅ Rd 1 + IV 2 ⋅ ( Rd 1 + Rd 2 ) + IV 3 ⋅ ( Rd 1 + Rd 2 + Rd 3 )



R1
R 2
(3.2.11)
R 3
Wird nun Gleichung (3.2.11) auf Rdx umgeformt so ergibt sich wieder die Gleichung (3.2.9), womit bewiesen wurde,
dass beide Varianten ident sind.
∆U = IV 1 ⋅ Rd 1 + IV 2 ⋅ ( Rd 1 + Rd 2 ) + IV 3 ⋅ ( Rd 1 + Rd 2 + Rd 3 ) = ( IV 1 + IV 2 + IV 3 ) ⋅ Rd 1 + ( IV 2 + IV 3 ) ⋅ Rd 2 + IV 3 ⋅ Rd 3



 

R1
R 2
R 3
Id 1
Id 2
(3.2.12)
Id 3
Wenn das Leitermaterial und der Querschnitt entlang der gesamten Stichleitung gleich bleiben ergibt sich folgende
Vereinfachung:
Variante a)
Rd i =
=
∆U
2 ⋅ di
γ ⋅A
(3.2.13)
2 n
∑ I ⋅d
γ ⋅ A i =1 di i
(3.2.14)
Variante b)
R i =
∆U=
2 ⋅ i
γ ⋅A
(3.2.15)
n
2
⋅ ∑ IVi ⋅  i
γ ⋅ A i =1
(3.2.16)
Die Abbildung 19 stellt den Verlauf des Spannungsabfalls entlang einseitig gespeisten und einer mehrfach belasteten
Leitung dar.
∆U1=
2
⋅ I ⋅
γ ⋅ A V1 1
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(3.2.17)
Seite - 22 -
Ortsnetzberechnung - Grundlagen
∆U 2 =
2
⋅ I ⋅
γ ⋅ A V2 2
(3.2.18)
∆U 3 =
2
⋅ I ⋅
γ ⋅ A V3 3
(3.2.19)
∆U =
n
∑ ∆U
i =1
(3.2.20)
i
Abbildung 19: Darstellung des Spannungsabfalls entlang einer einseitig gespeisten mehrfach belasteten Leitung
3.2.1.1 Spannungsabfall an einer beliebigen Stelle der Leitung
Wenn der Spannungsabfall an einer beliebigen Stelle x ermittelt werden soll, so können die Summe aller Ströme, die
hinter der Stelle x liegen und somit zu den hinteren Verbrauchern fließen, an der Stelle x als Einzellasten angenommen
werden.
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Ortsnetzberechnung - Grundlagen
Abbildung 20: Spannungsabfall an einer beliebigen Stelle
Daraus folgt folgende Gleichung (unter der Annahme von gleichbleibenden Leitermaterial und Querschnitt):
2
⋅ ( I ⋅  + ( IV 2 + IV 3 ) ⋅  x )
γ ⋅ A V1 1
∆U=
(3.2.21)
3.2.1.2 Leitungsverluste
Es muss mit der Länge der einzelnen Abschnitte und mit dem in diesem Abschnitt tatsächlich fließenden Strömen
gerechnet werden.
PL
=
n
∑I
i =1
2
di
⋅ Rdi
2
I di2 ⋅ di
∑
γ ⋅A
(3.2.22)
≠
2
IVi2 ⋅  i
∑
γ ⋅A
Bei konstanten Werkstoff (γ=konstant) und Querschnitt (A=konstant) ergeben sich folgende Gleichungen:
n
2
⋅ ∑ I d i2 ⋅ di
γ ⋅ A i =1
PL =
(3.2.23)
Wenn U1 >> ΔU dann kann mit der folgenden Vereinfachung gerechnet werden (für Gleichstrom):
IVi =
PVi
U1
n
(3.2.24)
n
Pdi
P
=∑ Vi
U1 j i U1
i=
Pdi =∑ PVi → I di =
j
(3.2.25)
2
n
n
n
P 
2
2
2
PL=
⋅ ∑ I di2 ⋅ di=
⋅ ∑  di  ⋅ di=
⋅
Pdi2 ⋅ di
∑
2
γ ⋅ A i 1=
γ ⋅ A i 1  U1  =
γ ⋅ A ⋅ U1 i 1
=
(3.2.26)
3.2.2 Allgemeiner Umgang mit unterschiedlichen cos(𝜑𝜑)
Werden Drehstromkabel oder Drehstromleitungen mehrfach punktweise mit unterschiedlichen Leistungsfaktoren
belastet, so sind hierbei die Grundschwingungs-Leistungsfaktoren der einzelnen Verbraucher zu berücksichtigen.
Dabei ist zu beachten, ob die Leistungsfaktoren cos(𝜑𝜑) erheblich voneinander abweichen oder annähernd gleich sind.
Der Fall, dass die Grundschwingungs-Leistungsfaktoren erheblich voneinander abweichen, kommt in der Praxis selten
vor (Kompensation). Für das theoretische Verständnis soll dieser Fall dennoch betrachtet werden (2).
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Seite - 24 -
Ortsnetzberechnung - Grundlagen
Weichen die Leistungsfaktoren jedoch erheblich voneinander ab, muss der resultierende Leiterstrom
(Betriebsstrom) der Leitung sowie der resultierende Leistungsfaktor (mittlerer Leistungsfaktor) für den
betrachteten Abschnitt ermittelt werden. Diese sind hierbei für die Berechnung maßgebend (2).
Weichen die Leistungsfaktoren der Verbraucher/Betriebsmittel jedoch nicht erheblich voneinander ab (bei
einer Abweichung um 0,2 d.h. (0,8 ≤ cos(𝜑𝜑) ≤ 1), kann auf die geometrische Addition der Ströme
verzichtet werden (2).
•
•
3.2.3 Einphasenwechselstrom
Auch hier sind die Umformungen für Variante a) und b) (Wie im Abschnitt davor) möglich. Der einfachheithalber wird
aber nur Variante b) ausgeführt.
Der Spannungsabfall in einem Einphasenwechselstromsystem ergibt sich wie folgt:
n
∑ I ⋅(R
∆U
=
i
Vi
i =1
⋅ cos(ϕi ) + X  i ⋅ sin(ϕi ) )
(3.2.27)
2 ⋅ i
γ i ⋅ Ai
Ri =
(3.2.28)
X i = X i′ ⋅ 2 ⋅  i
(3.2.29)
Wenn γ, A und X‘ konstant sind, ergibt sich folgende Gleichung:
n
∑I
∆=
U
i =1
Vi
 2

⋅ i ⋅ 
⋅ cos(ϕi ) + 2 ⋅ X′ ⋅ sin(ϕi ) 
γ ⋅A

(3.2.30)
Da die einzelnen Verbraucher unterschiedliche cos ϕ aufweisen, muss entweder der jeweilige Wert eingesetzt werden
oder ein mittlerer cos ϕm berechnet werden.
n
tan (ϕm ) = ∑
i =1
n
∑I
∆=
U
i =1
Vi
∑I
i =1
(3.2.31)
 2

⋅ i ⋅ 
⋅ cos(ϕm ) + 2 ⋅ X′ ⋅ sin(ϕm ) 
γ ⋅A

(3.2.32)
 2
 100% ∆U
⋅ i ⋅ 
⋅ cos(ϕm ) + 2 ⋅ X′ ⋅ sin(ϕm )  ⋅
=
⋅100%
U1
γ ⋅A
 U1
(3.2.33)
n
∆u%=
QVi
PVi
Vi
3.2.3.1 Leitungsverluste
Die Leitungsverluste ergeben sich entsprechend den folgenden Formeln:
=
PL
n
∑I
i =1
2
di
⋅ Rdi
(3.2.34)
Wenn γ und A konstant sind, ergibt sich folgende Gleichung:
PL =
n
2
⋅ ∑ I di2 ⋅ di
γ ⋅ A i =1
(3.2.35)
Bei Berechnung über die Scheinleistung ergibt sich folgendes:
n
n
S di
S
= ∑ Vi
U1 j i U1
i=
S di = ∑ SVi → I di =
j
Daraus ergibt sich durch einsetzen in die vorherige Gleichung:
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DI Helmut Bauchinger
Seite - 25 -
Ortsnetzberechnung - Grundlagen
P=
L
n
2
⋅ S 2 ⋅ di
2 ∑ di
γ ⋅ A ⋅U1 i =1
(3.2.36)
Beispiel 3-7: AC, mehrfachfachbelastet Leitung, berechnet wird cos(𝝋𝝋𝒎𝒎 ) Betriebsstrom, ΔU und PL
Sie haben eine mehrfachbelastete Wechselstromleitung die durch nachfolgenden Daten spezifiziert. Gegeben ist eine
Freileitung AC 230V StAL 2x150mm² γ=34 Sm/mm² 𝑋𝑋𝐿𝐿′ =0,3 Ω/km. Gesucht ist der mittlere Leistungsfaktor, der
Betriebsstrom der Leitung (exakt und angenähert), der Spannungsabfall in V und % und der Leitungsverlust in W.
Abbildung 21: Mehrfachbelastet AC-Leitung
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DI Helmut Bauchinger
Seite - 26 -
Ortsnetzberechnung - Grundlagen
3.2.4 Drehstrom
Der Spannungsabfall bei einem Mehrfachbelasteten Leiter in einem Drehstromsystem ist wie folgt definiert:
R=
i
i
γ i ⋅ Ai
∆U ∆ =
und
X=
X i′ ⋅  i
i
(3.2.37)
n
3 ⋅ ∑ IVi ⋅ ( Ri ⋅ cos (ϕi ) + X i ⋅ sin(ϕi ) )
(3.2.38)
i =1
Wenn γ, A und X‘ konstant sind, ergibt sich folgende Vereinfachung:
∆U ∆ =
n
 1

3 ⋅ ∑ IVi ⋅  i ⋅ 
⋅ cos (ϕi ) + X ′ ⋅ sin (ϕi ) 
i =1
γ ⋅A

Mit 𝜑𝜑𝑚𝑚 (wie bei Wechselstrom) ergibt sich:
∆u% =
∆U ∆
⋅100% =
U1∆
n
 1
 100%
3 ⋅ ∑ IVi ⋅  i ⋅ 
⋅ cos (ϕm ) + X ′ ⋅ sin (ϕ m )  ⋅
i =1
γ ⋅A
 U1∆
(3.2.39)
(3.2.40)
Wenn man für Si die folgende Gleichung annimmt (für ΔUΔ<<U1Δ):
SVi = 3 ⋅ U1∆ ⋅ IVi
(3.2.41)
So ergibt sich die nachfolgende Gleichung:
∆U=
∆
n
∑S
i =1
Vi
 1
 1
⋅ i ⋅ 
⋅ cos (ϕm ) + X ′ ⋅ sin (ϕ m )  ⋅ 2
γ ⋅A
 U1∆
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Seite - 27 -
(3.2.42)
Ortsnetzberechnung - Grundlagen
∆U ∆
⋅100%
=
U1∆
∆u=
%
3.2.4.1
n
∑S
i =1
Vi
 1
 100%
⋅ i ⋅ 
⋅ cos (ϕm ) + X ′ ⋅ sin (ϕ m )  ⋅ 2
γ ⋅A
 U1∆
(3.2.43)
Leitungsverluste
n
3 ⋅ ∑ I di2 ⋅ Rdi
PL =
(3.2.44)
i =1
Wenn γ und A konstant sind ergibt sich:
PL =
n
3
⋅ ∑ I di2 ⋅ di
γ ⋅ A i =1
(3.2.45)
Mit
S di = 3 ⋅ U1∆ ⋅ I di
(3.2.46)
Ergibt sich:
P=
L
n
1
S di2 ⋅ di
⋅
∑
2
γ ⋅ A ⋅U1∆ i =1
(3.2.47)
Beispiel 3-8: Drehstrom, mehrfachbelastete Leitung, min. Querschnitt bei gegeb. Spg.-sabfall und Leitungsverlust
Sie haben eine mehrfachbelastete Drehstromleitung die durch nachfolgenden Daten spezifiziert. Gesucht ist
minimaler Normquerschnitt, damit Δu%zul eingehalten werden kann und PLges. U1=400V, Δu%zul=10%, γ=34Sm/mm²,
X‘=0,3Ω/km
Abbildung 22: Mehrfachbelastete Drehstromfreileitung
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Seite - 28 -
Ortsnetzberechnung - Grundlagen
3.3 Optimaler Einspeisepunkt hinsichtlich des Spannungsabfalls
Bei der Errichtung einer neuen Trafostation für eine bereits überlastete einseitig gespeiste Leitung stellt sich die Frage
nach dem optimalen Einspeisepunkt. Der optimale Einspeisepunkt liegt an der Stelle, von der aus in Richtung der
beiden Leitungsenden derselbe Spannungsabfall auftritt – dieser Punkt wird auch als „Talpunkt“ bezeichnet.
∆U links =
∆U rechts
(3.3.1)
Abbildung 23: Berechnung des optimalen Einspeisepunktes
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Seite - 29 -
Ortsnetzberechnung - Grundlagen
3.3.1 Gleichstrom
Wenn γ und A konstant sind, ergibt sich folgende Gleichung:
n
n
n
2
⋅ ∑ IVi ⋅  i
→ ∑ ( IVli ⋅  li =
) ∑ ( IVrj ⋅  rj )
γ ⋅A i 1
=
=i 1 =j 1

 
∆U=
links
(3.3.2)
rechts
3.3.2 Wechselstrom
Wenn γ und A konstant sind, ergibt sich folgende Gleichung:
n
∑I
U
∆=
=i 1
Vi
n
n
 2

⋅ i ⋅ 
⋅ cos(ϕi ) + 2 ⋅ X′i ⋅ sin(ϕi )  →
( IVli ⋅ =
( IVrj ⋅  rj )
∑
∑
li )
1 =j 1
=
γ ⋅A

i

 
links
(3.3.3)
rechts
3.3.3 Drehstrom
Wenn γ und A konstant sind, ergibt sich folgende Gleichung:
n
n
n
 1

⋅ cos (ϕi ) + X ′ ⋅ sin (ϕi )  →
3 ⋅ ∑ IVi ⋅  i ⋅ 
( IVli ⋅  li ) = ∑ ( IVrj ⋅  rj )
∑
1 =j 1
=i 1
=
γ ⋅A

i

 
∆U ∆ =
links
(3.3.4)
rechts
Mit ein wenig umformen können die Gleichungen (3.3.2) - (3.3.4) nach dem idealen Einspeisepunkt x aufgelöst
werden:
∑ ( IVli ⋅  li=) ∑ ( IVrj ⋅  rj )
n
n
1 =j 1
i

 
links
rechts

 n 
n
n 







⋅
−
⋅
=
⋅
−
−
⋅
−
I
I
I
x
I
x
)  = 0 →
( Vli li ) ∑ ( Vrj rj ) ∑  Vli (
∑
∑
i)
Vrj ( i











=j 1 
i 1 =j 1 =i 1

 li
 rj




n
))
∑ ( IVli ⋅ ( x −  i ) ) + ∑ ( IVrj ⋅ ( x −  i=
n
n
n
))
∑(I ⋅( x −  =
i 1 =j 1 =i 1
n
∑ ( I ⋅ ( x −  )) =
i =1
i
Vi
Vi
i
0
(3.3.5)
IV 1 ⋅ ( x − 1 ) + IV 2 ⋅ ( x −  2 ) +  +IVn ⋅ ( x −  n ) = 0
0 =x ⋅ ( IV 1 + IV 2 +  + IVn ) − IV 1 ⋅ 1 + IV 2 ⋅  2 +  + IVn ⋅  n
n
x=
∑I
i =1
Vi
⋅ i
(3.3.6)
n
∑I
i =1
Vi
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Seite - 30 -
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Beispiel 3-9: Drehstrom, optimaler Einspeisepunkt
Gegeben ist eine Drehstromfreileitung mit A=50mm² CU, UN=400V, cos(ϕm)=0,95. Gesucht ist der Spannungsabfall
Δu%, PL und der optimale Einspeisepunkt x.
Abbildung 24: Beispiel zur Ermittlung des optimalen Einspeisepunktes
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Seite - 31 -
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3.4 Ringleitung und zweiseitig gespeiste Leitung
3.4.1 Allgemein Überlegungen, Gleichstrom
Zu den geschlossenen Kabeln bzw. Leitungen gehört z. B. auch ein mehrfach punktweise endbelastetes Kabel oder
eine Leitung bei zweiseitiger Einspeisung. Bevor die Berechnung mit den bekannten Gleichungen erfolgen kann, ist es
erforderlich, die Anteile des Gesamtstroms zu ermitteln, die die Speisepunkte A und B übernehmen.
Die Berechnung der Stromverteilung auf die Speisepunkte A und A‘ nach Abbildung 25 erfolgt mittels der sogenannten
„Strommomente“ (Strommoment = Strom * Länge).
Bei Ausfall (Störungsfall) einer Einspeisung liegt ein einseitig gespeistes, mehrfach belastetes Kabel oder eine Leitung
vor.
Im Sonderfall kann die Aufteilung der Ströme ergeben, dass kein Abzweig von beiden Seiten gespeist wird, sondern
ein Abzweig vom Speisepunkt A und zwei Abzweige vom Speisepunkt A‘. Die Strecke zwischen den von A und A‘
gespeisten Abzweigen ist dann stromlos, da in beiden Abzweigen die gleiche Spannung vorliegt. Bei einer Ringleitung
muss der Spannungsfall beider Zweige gleich groß sein, da im Spannungstiefpunkt nur eine Spannung vorliegt. Ist
dieser Punkt gefunden – der auch als „Talpunkt“ bezeichnet wird –, wird das Kabel oder die Leitung so betrachtet, als
ob diese in diesem Punkt getrennt sind. Somit erhält man zwei Abzweige eines einseitig gespeisten Kabels oder einer
einseitig gespeisten Leitung, die einfach oder mehrfach belastetet sein kann.
Abbildung 25: Darstellung einer zweiseitig gespeisten, mehrfach belasteten Drehstromleitung und dem Spannungsabfall bei einseitiger und
zweiseitiger Speisung
IA und I’A sind Ersatzströme die am Ende der Leitung angreifen und den gleich hohen Spannungsabfall ergeben wie die
tatsächliche Stromverteilung. Um die Ersatzströme zu verstehen betrachten wir zunächst was passiert wenn nur
einseitig eingespeist wird. Wenn am Punkt A eingespeist wird, so ergibt sich der Spannungsabfall ΔU am Ende der
Leitung in Punkt A‘. Wenn jetzt alle Verbraucher durch nur einen einzigen Strom dargestellt werden sollen, so muss
dieser am Ende der Leitung, in Punkt B, denselben Spannungsabfall verursachen. Der Strom der am Ende der Leitung
der in Punkt B denselben Spannungsabfall erzeugt ist der Strom I’A.
n
L = ∑ di
(3.4.1)
i =1
n
2
2
⋅ ∑ IVi ⋅ =
⋅ I′ ⋅ L
i
γ ⋅A i 1
γ ⋅A A
=i 1 =
∆U=
n
∑ ∆U=i
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(3.4.2)
Seite - 33 -
Ortsnetzberechnung - Grundlagen
Entsprechend der Gleichung Fehler! Verweisquelle konnte nicht gefunden werden. verursacht der Strom I‘A den
gleichen Spannungsabfall am Ende der Leitung wie die die Summe der Verbraucherströme entlang der Leitung. Daraus
ergibt sich bei der Berechnung von I‘A die Gleichung Fehler! Verweisquelle konnte nicht gefunden werden.:
n 
i

2
2
⋅ ∑  IVi ⋅ ∑ di  =⋅ I A′ ⋅ L
γ=
⋅ A i 1=
j 1

 γ ⋅A
∆U =
n
I A′ =
∑I
i =1
→
n
∑I
i =1
Vi
⋅  i = I A′ ⋅ L
(3.4.3)
⋅ i
Vi
(3.4.4)
L
Damit im A auch derselbe Spannungsabfall wie zuvor erzeugt werden kann muss bei einer Einspeisung in Punkt B, der
Strom IA am Ende der Leitung fließen.
1 
n +1

2
2
⋅ ∑  IVi ⋅ ∑ di  =⋅ I A ⋅ L
γ ⋅ A i= n 
j = i +1
 γ ⋅A
∆U =
→
n +1


I
⋅
 Vi ∑ di  = I A ⋅ L
∑
i= n 
j = i +1

1
n +1


I
⋅
 Vi ∑ di 
∑
i= n
j = i +1

IA = 
L
(3.4.5)
1
(3.4.6)
n
I A + I A′ =
∑ IVi
(3.4.7)
i =1
=
IA
=
I A′
n
∑I
i =1
Vi
− I A′
(3.4.8)
Vi
− IA
(3.4.9)
n
∑I
i =1
Die einzelnen Abnehmerströme sind somit auf zwei Stromkomponenten am Anfang und am Ende der Leitung reduziert
worden.
3.4.2 Ersatzströme bei Wechselstrom
Wenn die Abnehmer verschiedene cos ϕ haben (bei einer Abweichung größer als 0,2 d.h außerhalb von (0,8 ≤
cos(𝜑𝜑) ≤ 1), so müssen die Ströme zur Ermittlung der Ersatzströme geometrisch addiert werden.
n
∑ IVi ⋅ cos (ϕi ) und
n
∑I
i 1 =i 1
Vi
⋅ sin (ϕi )
(3.4.10)
2
=
IA
 n
  n

 ∑ ( IVi ⋅ cos(ϕi ) ) − I′A ⋅ cos(ϕ ′A )  +  ∑ ( IVi ⋅ sin(ϕi ) ) − I′A ⋅ sin(ϕ ′A ) 
 i 1=
 i1

2
1  n
  n

=
I A′
I
⋅

⋅
cos(
ϕ
)
∑
Vi
i
i  +  ∑ IVi ⋅  i ⋅ sin(ϕi ) 

L  i 1=
 i1

′
I A + I=
A
2
(3.4.11)
2
( I A ⋅ cos(ϕ A ) + I′A ⋅ cos(ϕ ′A ) ) + ( I A ⋅ sin(ϕ A ) + I′A ⋅ sin(ϕ ′A ) )
2
(3.4.12)
2
(3.4.13)
Für Abnehmer mit gleichen cos ϕ, bzw. einer Abweichung um die 0,2 d.h 0,8 ≤ cos(𝜑𝜑) ≤ 1 oder für einen gemittelten
cos ϕm kann die Reduktion auf Ersatzströme analog zum Gleichstrom durchgeführt werden (siehe Beispiel 3-7).
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Seite - 34 -
Ortsnetzberechnung - Grundlagen
Beispiel 3-10: AC, mehrfachfachbelastet Leitung, IA und I‘A
Sie haben eine mehrfachbelastete Wechselstromleitung die durch nachfolgenden Daten spezifiziert. Die Spannung an
Punkt A und B ist gleich hoch. Gesucht ist IA und I‘A. Anmerkung: Das Bespiel wird auf drei unterschiedliche Arten
hinsichtlich des Umgangs mit dem Leistungsfaktor gelöst.
Abbildung 26: Mehrfachbelastet AC-Leitung
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Seite - 35 -
Ortsnetzberechnung - Grundlagen
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Seite - 36 -
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3.4.3 Ersatzströme bei Drehstrom
Sinngemäß wie bei Einphasenwechselstrom
Beispiel 3-11: Drehstom, IA und I‘A
Gegeben ist eine Drehstromverkabelung (Spannungen an den Endpunkten sind gleich hoch) aus Kupfer mit einer
Nennspannung von 400V mit dem unten dargestellten Aufbau. Gesucht sind die Ersatzströme IA und I‘A.
Abbildung 27: Drehstromverkabelung mehrfach belastete Leitung
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Seite - 37 -
Ortsnetzberechnung - Grundlagen
3.4.4 Speisepunkte mit ungleichen Potenzial
Wenn die Speisepunkte A und B verschiedene Potenziale haben, fließt zwischen A und B ein Ausgleichsstrom IAB auch
wenn kein Verbraucher vorhanden ist. Bei der Berechnung wird zunächst die Stromverteilung so ermittelt, als ob keine
Potenzialdifferenz bei den Speisepunkten vorliegen würde und überlagert anschließend den Ausgleichstrom.
Abbildung 28: Darstellung des Ausgleichstroms bei zwei Speisepunkten mit unterschiedlichen Potentialen
3.4.4.1
Gleich- und Wechselstrom
U A − U A'
RL
I AA ' =
(3.4.14)
2⋅ L
γ ⋅A
RL =
3.4.4.2
(3.4.15)
Drehstrom
I AA =
U A − U A'
3 ⋅ RL
(3.4.16)
RL =
L
γ ⋅A
(3.4.17)
3.4.5 Lastflussrechnung
Um den Lastfluss in einem Netz zu ermitteln müssen die Ersatzlasten an den Speisepunkten berechnet werden.
n
PA′ =
=
PA
∑P
i =1
Vi
⋅ i
(3.4.18)
L
n
∑P
i =1
Vi
− PA′
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(3.4.19)
Seite - 38 -
Ortsnetzberechnung - Grundlagen
Beispiel 3-12: Drehstrom Freileitung, UA≠U’A, gesucht A für ΔuΔ%max = 1%, Lastfluss
Gegeben ist eine mehrfachbelastete, zweifach gespeiste Freileitung. UA=404V und U’A=400V. Gesucht sind der
notwendige Querschnitt A für einen maximalen Spannungsabfall von 1% sowie der Lastfluss. Γ = 33Sm/mm²
Abbildung 29: Drehstromverkabelung mehrfach belastete, zweiseitig gespeiste Leitung
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Seite - 39 -
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3.5 Vermaschte Netze
3.5.1 Einfach vermaschte Netze
Voraussetzungen für die Berechnung:
• Gleichstrom
• Wechsel-, und Drehstrom mit einem ähnlichen cos(ϕ)
• Gleicher Leiterquerschnitt in allen Netzbereichen
3.5.1.1 Netzumwandlungsmethode
Die Strom- und Spannungsverteilung größerer vermaschter Netze sind nicht mehr manuell zu bestimmen. Kleine
vermaschte Netze lassen sich jedoch häufig durch die Stern-Dreieck-Umwandlung oder die Ausnutzung von
Symmetrien stark vereinfachen. Durch impedanzgetreue Umwandlung einzelner Netzteile versucht man die Struktur
des Netzes zu vereinfachen bzw. die Knotenpunktzahl zu verringern, wobei jedoch die Strom- und
Spannungsverhältnisse an den verbleibenden Knoten nach außen hin unverändert bleiben.
Rechengang:
1) Reduktion der Netzbelastung auf die Knotenpunkte
2) Netzumwandlung bis eine einfache Struktur überbleibt
3) Bestimmung der Strom- oder Leistungsverteilung im vereinfachten Netz und damit Berechnung des
Querschnitts oder des maximalen Spannungsabfalls
4) Netzrückwandlung und Bestimmung der Stromverteilung im Originalnetz
Reduktion der Netzbelastung auf die Knotenpunkte:
Bei der Reduktion der Netzbelastung auf die Knotenpunkte wird die Stromteileregel angewandt. Diese kann auf für
Leistungen verwendet werden. Dabei werden die gewünschten Belastungen auf den linken und rechten Knoten des
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Seite - 40 -
Ortsnetzberechnung - Grundlagen
betrachteten Abgangs aufgeteilt. Die Leistungsaufteilung kann über die Leitungslängen (bei gleichem Querschnitt und
Material) ermittelt werden. Die Strom-, Leistungsaufteilung kann so ermittelt werden, als würden die zwei
betreffenden Zweige parallel an einer Spannungsquelle hängen (d.h. Betrachtung einer reinen Parallelschaltung).
 2 ⋅ ( R′ ⋅ cos (ϕ ) + X ′ ⋅ sin (ϕ ) )
R2
2
I1 =
I⋅
bzw. I1 =
I⋅
=
R1 + R2
1 ⋅ ( R′ ⋅ cos (ϕ ) + X ′ ⋅ sin (ϕ ) ) +  2 ⋅ ( R′ ⋅ cos (ϕ ) + X ′ ⋅ sin (ϕ ) ) 1 +  2
P1= P ⋅
2
1 +  2
(3.5.1)
(3.5.2)
Die Berechnung einer Parallelschaltung kann die Vereinfachung über die Längen verwendet werden – Herleitung:
1

⋅ 2
(  1 ⋅  2 ) ⋅ γ 2 ⋅ A2
R1 ⋅ R2
1 1 ⋅  2
γ ⋅A γ ⋅A
R12 =
=
=
=
⋅
2
2
1
2
R1 + R2
γ
⋅
A
1 +  2
⋅

⋅
γ
⋅
A
+

⋅
γ
⋅
A
γ
⋅
A
(
)
1
2
+
γ ⋅A γ ⋅A
(3.5.3)
Beispiel 3-13: Vermaschtes Drehstromnetz UA=U’A, gesucht A für Δuv%max = 3%, Lastfluss
Gegeben ist ein vermaschtes Netz mit einer Spannung von UA=U’A=400V A. Gesucht ist der Querschnitt A für einen
maximalen Spannungsabfall von 3% sowie der Lastfluss. Die Leitung SL (Stichleitung) kann einen anderen Querschnitt
als das restliche Netz aufweisen. γ = 50Sm/mm²
P6=4kW
A
100m
l1
350m
200m
l5
l6
400m
l2
P1=6kW 300m
400m
l3
l7
A'
350m
l4
l10
400m
P5=8kW
P2=8kW
300m
l8
l9
600m
l11
500m
P3 =4kW - Leitung SL
Abbildung 30: Vermaschtes Drehstromnetz
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P4=10kW
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3.5.2 Vielfach vermaschte Netze
Ortsnetzberechnung - Grundlagen
Können vermaschte Netze nicht mehr durch Umrechnung auf einfache Strukturen zurückgeführt werden, so gibt es
zwei mögliche Varianten:
• Simulationsprogramme (Neplan)
• Nachbildung des Netzes in Modellen
3.6 Bauarten von Niederspannungsnetzen
•
•
•
Kabelnetze
Freileitungsnetze
Kabel-, und Freileitungen gemischt
4 Literaturverzeichnis
1. Schwab, Adolf J. Elektroenergiesysteme. Karlsruhe : Springer, 2009. ISBN: 978-3-540-92226-1.
2. Pistora, Gunter. Berechnung von Kurzschlussströmen und Spannungsfällen. s.l. : VDE Verlag, 2013.
5 Quellenverzeichnis:
Titelbild: http://www.trelco.ch/archiv.php?article=112
DI Dr. Emanuel Fuchs
DI Helmut Bauchinger
Seite - 48 -
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