Analysis 7 Kurvendiskussion
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Modellversuch MTC Anne-Frank-Gymnasium Sandersdorf Kurvendiskussion 7 7 Kurvendiskussion von ganz- und gebrochenrationalen Funktionen Die Schülerinnen und Schüler sollen in diesem Abschnitt ganz- und gebrochenrationale Funktionen systematisch untersuchen. Dabei wenden sie ihre bisherigen Kenntnisse über Funktionen an. Die genannten Funktionsklassen werden untersucht auf Eigenschaften wie Nullstellen, Polstellen Schnittpunkte mit der y-Achse lokale Extrempunkte Wendepunkte, Krümmungsverhalten Verhalten im Unendlichen. Aus den Untersuchungsergebnissen sollten die Schülerinnen und Schüler den Verlauf des entsprechenden Funktionsgraphen ohne TI-92 Unterstützung skizzieren können. Ein Vergleich der erhaltenen Ergebnisse mit den (grafischen) Darstellungen des TI-92 sollte ihnen u. a. deutlich machen, dass eine Kurvendiskussion das Verhalten der Funktion vollständig erfasst, während die Darstellungen im Grafikfenster stets nur einen Ausschnitt darstellen. Bei der Erstellung von Funktionsbildern aus vorgegebenen Eigenschaften sollten die Schülerinnen und Schüler ohne Hilfe einen Graphen von Hand erstellen können und dessen Verlauf anhand der Eigenschaften begründen können. Std. 1. Thema Kurvendiskussion Inhaltsübersicht Kurvendiskussion als Anwendung der vorhandener Kenntnisse über Funktionen und ihren Ableitungen, Schrittfolge für eine Kurvendiskussion 2.-4. Untersuchung Diskussion der Kurven ganzrationaler Funktionen unterschiedlicher ganzrationaler Funktionen, Erstellung von grafischen Darstellungen von Hand 5.-7. Untersuchung Diskussion der Kurven gebrochenrationaler unterschiedlicher ganzrationaler Funktionen Funktionen, Polstellen und Asymptoten Erstellung von grafischen Darstellungen von Hand 8.-10. Erstellung von Rechnerische Ermittlung von Funktionstermen und Funktionseigenschaften und daraus Graphen Erstellung des Kurvenverlaufs, Erstellung von Funktionstermen und Graphen aus vorgegebenen Eigenschaften 11. Test -1- Einsatz TI-92 Beispielaufgabe für Kurvendiskussion ohne TI-92 Nutzung des CAS und des Funktionsplotters, Diskussion der Grenzen der grafischen Möglichkeiten des TI-92 Nutzung des CAS und des Funktionsplotters, Diskussion der Grenzen der grafischen Möglichkeiten des TI-92 Nutzung des CAS, Nutzung des Funktionsplotters zur Darstellung und Kontrolle der erhaltenen Ergebnisse Modellversuch MTC Anne-Frank-Gymnasium Sandersdorf Kurvendiskussion 7 Hinweise zur Nutzung des TI-92 Ein Schwerpunkt in diesem Abschnitt besteht in der Diskussion rationaler Funktionen. Durch die Möglichkeiten des Computeralgebrasystems (CAS) läßt sich hier ein Zeitgewinn erzielen, der für ein tieferes Verständnis der Eigenschaften und Graphen der betrachteten Funktionen genutzt werden kann. Andererseits sollten die Schülerinnen und Schüler Fähigkeiten entwickeln die Rechnerfunktionen bei einer Kurvendiskussion effektiv zu nutzen und erhaltene Ergebnisse kritisch zu werten. Beispiel: Untersuchen Sie die Funktion f mit f(x) = 1 5 4 x x³ 6 x auf Schnittpunkte mit den 10 3 Koordinatenachsen, lokale Extrema und Wendepunkte. Ermitteln Sie die Koordinaten entsprechender Punkte. Untersuchen Sie das Verhalten von f(x) für x . Lösungsvorschlag mit TI-92: Zunächst kann im Grafikfenster ein Funktionsbild (vgl. Bild 1) erstellt werden, dass Hinweise auf Funktionseigenschaften gibt, die anschließend analytisch z. B. mit dem CAS untersucht werden. Durch Anwendung vorhandener Kenntnisse erkennen die Schülerinnen und Schüler, dass es sich um eine ganzrationale Funktion 5. Grades mit maximal 5 Nullstellen, 4 Extremstellen und 3 Wendestellen handelt.. Der Bildausschnitt zeigt, dass mindestens 1 Nullstelle, 3 Wendestellen und höchstens 4 Extremstellen vorhanden sind. Mit dem CAS werden durch Anwendung notwendiger und hinreichender Bedingungen diese Stellen berechnet (vgl. Bild 2-5) (Bild 1) (Bild 2) (Bild 3) (Bild 4) -2- Modellversuch MTC Anne-Frank-Gymnasium Sandersdorf Kurvendiskussion 7 (Bild 5) Ähnlich läßt sich bei der Diskussion gebrochenrationaler Funktionen vorgehen. Zu beachten ist, dass der Grafikmodus des TI-92 z. B. bei Polstellen in der Regel keine korrekten Bilder erstellt (vgl. Bemerkungen im Abschnitt 1 Funktionen). Durch weitere Beispiele sollten die Schülerinnen und Schüler erkennen, dass erst die analytische Untersuchung von Funktionen vollständige Aussagen über deren Eigenschaften liefert. Die grafische Darstellung erfasst nur einen Ausschnitt der Eigenschaften von f. Beispiel: Die Funktion f mit f(x) = 0,001 x³ 8 x² 28000 x 80000000 0,001 x 1 ist auf Polstellen, Nullstellen, lokale Extrempunkte und Wendepunkte zu untersuchen. Bestimmen Sie die Koordinaten entsprechender Punkte und skizzieren Sie den Graphen von f in einem Koordinatensystem. Lösungsvorschlag mit TI-92: Ein Zeichnen des Graphen im Standardfenster liefert keinen Graphen von f. Analytische Untersuchungen führen zu den in den Bildern 6-8 gezeigten Ergebnissen. Die ermittelten Koordinaten des lokalen Minimums und des Wendepunktes, sowie die Nullstellen und die Polstelle liefern Anhaltspunkte zur Achseneinteilung des Koordinatensystems. Bild 9 zeigt eine Darstellung des Graphen mit dem TI-92 (z. B. Achseneinteilung: 7000 x 11000 ; 2,5 10 7 y 9 10 7 ). (Bild 6) (Bild 7) (Bild 8) (Bild 9) -3- Modellversuch MTC Anne-Frank-Gymnasium Sandersdorf Kurvendiskussion 7 Bei der Erstellung von Funktionsgraphen bzw. der Ermittlung von Funktionsgleichungen aus gegebenen Eigenschaften sollten die Schülerinnen und Schüler zunächst rechnerunabhängig vorgehen und ihre Ergebnisse durch Anwendung bekannter Sätze über rationale Funktionen begründen. Der TI-92 könnte zur Kontrolle eingesetzt werden. -4- Modellversuch MTC Anne-Frank-Gymnasium Sandersdorf Kurvendiskussion 7 Lehrbücher für Aufgaben: [1] SCHMID, AUGUST; SCHWEIZER, WILHELM (Hrsg.): LS Mathematik Analysis Grundkurs Gesamtausgabe. 1. Auflage. Stuttgart: Ernst Klett Schulbuchverlag GmbH, 1992 [2] BOCK, HANS; WALSCH, WERNER (Hrsg.): Mathematik entdecken-verstehen-anwenden Analysis. 1. Auflage. München: R. Oldenbourg Verlag GmbH, 1993 [3] WEBER, KARLHEINZ; ZILLMER, WOLFGANG (Hrsg.): Mathematik Aufgabenbuch Analysis Analytische Geometrie Stochastik Sekundarstufe II. 1. Auflage. Berlin: paetec Gesellschaft für Bildung und Technik mbH, 1995 Aufgaben zum Abschnitt 7 Kurvendiskussion 1. Aufgaben aus [1]: a) S. 118 Nr. 2-7 b) S. 119 Nr. 8-14 c) S. 122 Nr. 3-21 d) S. 123 Nr. 22-26 e) S. 184 Nr. 3-11 2. Aufgaben aus [2]: a) S. 164 Nr. 20 b) S. 164 Nr. 21-22 c) S. 165 Nr. 26-29 3. Aufgaben aus a) S. 53 b) S. 54 c) S. 54f. (Kurvendiskussion ganzrationale Funktionen) (Anwendungen zu Funktionseigenschaften) (Bestimmung von Funktionstermen aus gegebenen Eigenschaften) (Anwendungen) (Kurvendiskussion gebrochenrationaler Funktionen) (Kurvendiskussion ganzrationale Funktionen) (Kurvendiskussion gebrochenrationale Funktionen) (Ermittlung von Funktionstermen und Graphen) [3]: Nr. DA 110-DA 112 (Kurvendiskussion ganzrationale Funktionen) Nr. DA 114-DA 115 (Kurvendiskussion gebrochenrationale Funktionen) Nr. DA 119-DA 121 (Ermittlung von Funktionsgleichungen) 4. Von einer ganzrationalen Funktion f sei bekannt, dass sie die lokalen Extremstellen 2 und 5 hat. Begründen Sie dass f mindestens eine Wendestelle hat. 5. Ein "beliebter" Fehler bei Funktionsuntersuchungen ist es, aus f'(a) = 0 zu schließen, dass f an der Stelle a einen lokalen Extremwert hat. Geben Sie Gegenbeispiele an und begründen Sie. 6. 1931 erfand der estnische Optiker Bernhard Schmidt (1878-1935) einen neuen Fernrohrtyp für fotografische Himmelsaufnahmen, den Schmidtspiegel, der heute auf keiner größeren Sternwarte fehlt. Vor einem sphärischen Hohlspiegel ist eine Korrekturlinse angebracht, die auf der einen Seite eben ist, während das Profil der Oberfläche der anderen Seite durch folgende Funktionsgleichung gegeben ist: f ( x) x 4 r ² x² ; 4 (n 1)R³ x [ r ; r ] . Dabei ist x der -5- Modellversuch MTC Anne-Frank-Gymnasium Sandersdorf Kurvendiskussion 7 Abstand von der Linsenmitte, r der Linsenradius, R der Krümmungsradius des Spiegels und n der Brechungsindex des Glases (vgl. Abb.). Diskutieren Sie die Gleichung für n = 1,5; r = 8cm und R = 3r. Zeichnen Sie den Graphen in ein Koordinatensystem mit geeigneter Achseneinteilung. 7. Ermitteln Sie die Stelle im Intervall [-3;3], an der der Graph von f mit f(x) = 1 4 1 x x³ 6 x² 1 am steilsten ist. 6 3 8. Der Graph einer ganzrationalen Funktion 3. Grades geht durch den Nullpunkt des Koordinatensystems. Er hat in P(1;1) ein Extremum und in Q(3;f(3)) einen Wendepunkt. Bestimmen Sie die Funktionsgleichung. 9. Der Graph einer ganzrationalen Funktion 3. Grades hat an der Stelle x = -1 eine Nullstelle. Er schneidet die y-Achse mit der Ordinate 2 und berührt die x-Achse an der Stelle x = 2. Bestimmen Sie die Funktionsgleichung. 10. Bestimmen Sie Gleichung einer ganzrationalen Funktion 5. Grades, deren Graph zum Koordinatenursprung symmetrisch ist und der im Punkt ( 3 ; f( 3 ) ) ein lokales Minimum hat. Der Graph der Funktion schneidet an der Stelle 5 die x-Achse und hat an dieser Stelle eine Tangente parallel zur Geraden mit der Gleichung y = -10x. 11. Ein Betrieb produziert lediglich ein Produkt mit der Stückzahl x. Die Kostenfunktion K für dieses Produkt hat die Gleichung K(x) = x³ - 15x² + 53x + 50. a) Diskutieren Sie die Kostenfunktion K und stellen Sie den Graphen in einem Koordinatensystem dar. Interpretieren Sie erhaltene Ergebnisse für Nullstellen, Extrema und Wendepunkte in bezug auf das praktische Problem. b) Beim Verkauf von x Mengeneinheiten wird ein Erlös von E(x) = 26,5x erzielt. Stellen Sie die Gleichung der Gewinnfunktion G des Betriebes auf. Ermitteln Sie die Werte für diejenigen -6- Modellversuch MTC Anne-Frank-Gymnasium Sandersdorf Kurvendiskussion 7 Mengeneinheiten bei denen der größte Gewinn bzw. größte Verlust für den Betrieb erzielt wird. 12. In einem Wirtschaftsunternehmen wurde die funktionelle Abhängigkeit zwischen Ertrag E(x) und der Produktionsmenge x bestimmt durch die Gleichung E(x) = 2x² - 3x - 60. Die Funktion K zur Beschreibung der Betriebskosten hat die Gleichung K(x) = 0.0001x³ - 0,01x² + 1 x + 3 0,1. Die Wirtschaftlichkeit des Unternehmens ist der Quotient aus Ertrag- und Kostenfunktion. Untersuchen Sie die Wirtschaftlichkeit des Unternehmens durch eine Kurvendiskussion und interpretieren Sie die erhaltenen Ergebnisse. -7- Modellversuch MTC Anne-Frank-Gymnasium Sandersdorf Kurvendiskussion Arbeitsblatt Von einer Funktion f sind in den Teilaufgaben jeweils einige Eigenschaften gegeben. Erstellen Sie einen Graphen von f, der den gegebenen Eigenschaften gerecht wird. a) Nullstellen: x1 = -7, x2 = 5, x3 = 8 Schnittpunkt mit der y-Achse: Sy(0;-3) Lokale Extrempunkte: Pmin(-2;-4); Pmax(7;5 Es gilt: lim f(x) ; x lim f(x) x b) Für alle x R gilt: f(x) > -2 Der Graph von f ist symmetrisch zur Geraden x = 2 Es gilt: lim f(x) 2 und f(2) = x 19 Für x < 2 ist f monoton wachsend Für x > 2 ist f monoton fallend -8- 7 Modellversuch MTC Anne-Frank-Gymnasium Sandersdorf Kurvendiskussion 7 Arbeitsblatt 1. Der Graph der Funktion h mit h(x) = (Einstellungen 10 x 10 und 5 x 100 x³ wird mit dem TI-92 im Grafikfenster 3 x 200 10 y 10 ) dargestellt (siehe Abb.). Anhand der Darstellung werden folgende Eigenschaften für h ermittelt: Die Funktion hat keine Extrema und im Koordinatenursprung einen Wendepunkt. Für alle x R ist die Funktion monoton fallend. Beurteilen Sie die Aussagen. Korrigieren und vervollständigen Sie gegebenenfalls. 2. Die Funktion f mit f(x) = 0,001 x³ 8 x² 28000 x 80000000 0,001 x 1 ist auf Nullstellen und lokale Extrempunkte zu untersuchen. Bestimmen Sie die Koordinaten entsprechender Punkte und skizzieren Sie den Graphen von f in einem Koordinatensystem. 3. Ermitteln Sie die Funktionsgleichung einer ganzrationalen Funktion dritten Grades, die im Koordinatenursprung einen Wendepunkt hat. Der Anstieg der Tangente im Wendepunkt von f beträgt m = -0,9. Außerdem gilt f(3) = 0. 4. Gegeben ist die Funktion f durch y = f(x) = x² 1 ; x R. x² 2 a) Untersuchen Sie die Funktion f auf Schnittpunkte ihres Graphen mit den Koordinatenachsen. b) Ermitteln Sie Art und Lage lokaler Extrempunkte des Graphen der Funktion f. c) Untersuchen Sie das Verhalten der Funktion f für x und geben Sie eine Gleichung der Asymptote des Graphen dieser Funktion an. d) Zeichnen Sie die Asymptote und den Graphen der Funktion f im Intervall 4 x 4 in ein und dasselbe Koordinatensystem. (vgl. Schriftliche Abiturprüfung 1996 Mathematik Grundkurs, Aufgabe 1.1) -9-
