Analysis 7 Kurvendiskussion

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Modellversuch MTC Anne-Frank-Gymnasium Sandersdorf
Kurvendiskussion
7
7 Kurvendiskussion von ganz- und gebrochenrationalen Funktionen
Die Schülerinnen und Schüler sollen in diesem Abschnitt ganz- und gebrochenrationale Funktionen
systematisch untersuchen. Dabei wenden sie ihre bisherigen Kenntnisse über Funktionen an. Die
genannten Funktionsklassen werden untersucht auf Eigenschaften wie

Nullstellen, Polstellen

Schnittpunkte mit der y-Achse

lokale Extrempunkte

Wendepunkte, Krümmungsverhalten

Verhalten im Unendlichen.
Aus den Untersuchungsergebnissen sollten die Schülerinnen und Schüler den Verlauf des
entsprechenden Funktionsgraphen ohne TI-92 Unterstützung skizzieren können. Ein Vergleich der
erhaltenen Ergebnisse mit den (grafischen) Darstellungen des TI-92 sollte ihnen u. a. deutlich
machen, dass eine Kurvendiskussion das Verhalten der Funktion vollständig erfasst, während die
Darstellungen im Grafikfenster stets nur einen Ausschnitt darstellen. Bei der Erstellung von
Funktionsbildern aus vorgegebenen Eigenschaften sollten die Schülerinnen und Schüler ohne Hilfe einen
Graphen von Hand erstellen können und dessen Verlauf anhand der Eigenschaften begründen können.
Std.
1.
Thema
Kurvendiskussion
Inhaltsübersicht
Kurvendiskussion als Anwendung
der vorhandener Kenntnisse über
Funktionen und ihren Ableitungen,
Schrittfolge für eine
Kurvendiskussion
2.-4. Untersuchung
Diskussion der Kurven
ganzrationaler Funktionen unterschiedlicher ganzrationaler
Funktionen, Erstellung von
grafischen Darstellungen von Hand
5.-7. Untersuchung
Diskussion der Kurven
gebrochenrationaler
unterschiedlicher ganzrationaler
Funktionen
Funktionen, Polstellen und
Asymptoten Erstellung von
grafischen Darstellungen von Hand
8.-10. Erstellung von
Rechnerische Ermittlung von
Funktionstermen und
Funktionseigenschaften und daraus
Graphen
Erstellung des Kurvenverlaufs,
Erstellung von Funktionstermen und
Graphen aus vorgegebenen
Eigenschaften
11.
Test
-1-
Einsatz TI-92
Beispielaufgabe für
Kurvendiskussion ohne TI-92
Nutzung des CAS und des
Funktionsplotters, Diskussion
der Grenzen der grafischen
Möglichkeiten des TI-92
Nutzung des CAS und des
Funktionsplotters, Diskussion
der Grenzen der grafischen
Möglichkeiten des TI-92
Nutzung des CAS, Nutzung
des Funktionsplotters zur
Darstellung und Kontrolle der
erhaltenen Ergebnisse
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Hinweise zur Nutzung des TI-92
Ein Schwerpunkt in diesem Abschnitt besteht in der Diskussion rationaler Funktionen. Durch die
Möglichkeiten des Computeralgebrasystems (CAS) läßt sich hier ein Zeitgewinn erzielen, der für ein
tieferes Verständnis der Eigenschaften und Graphen der betrachteten Funktionen genutzt werden kann.
Andererseits sollten die Schülerinnen und Schüler Fähigkeiten entwickeln die Rechnerfunktionen bei
einer Kurvendiskussion effektiv zu nutzen und erhaltene Ergebnisse kritisch zu werten.
Beispiel:
Untersuchen Sie die Funktion f mit f(x) =
1 5 4
x  x³  6 x auf Schnittpunkte mit den
10
3
Koordinatenachsen, lokale Extrema und Wendepunkte. Ermitteln Sie die Koordinaten entsprechender
Punkte. Untersuchen Sie das Verhalten von f(x) für x   .
Lösungsvorschlag mit TI-92:
Zunächst kann im Grafikfenster ein Funktionsbild (vgl. Bild 1) erstellt werden, dass Hinweise auf
Funktionseigenschaften gibt, die anschließend analytisch z. B. mit dem CAS untersucht werden. Durch
Anwendung vorhandener Kenntnisse erkennen die Schülerinnen und Schüler, dass es sich um eine
ganzrationale Funktion 5. Grades mit maximal 5 Nullstellen, 4 Extremstellen und 3 Wendestellen
handelt.. Der Bildausschnitt zeigt, dass mindestens 1 Nullstelle, 3 Wendestellen und höchstens 4
Extremstellen vorhanden sind. Mit dem CAS werden durch Anwendung notwendiger und hinreichender
Bedingungen diese Stellen berechnet (vgl. Bild 2-5)
(Bild 1)
(Bild 2)
(Bild 3)
(Bild 4)
-2-
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(Bild 5)
Ähnlich läßt sich bei der Diskussion gebrochenrationaler Funktionen vorgehen. Zu beachten ist, dass
der Grafikmodus des TI-92 z. B. bei Polstellen in der Regel keine korrekten Bilder erstellt
(vgl. Bemerkungen im Abschnitt 1 Funktionen).
Durch weitere Beispiele sollten die Schülerinnen und Schüler erkennen, dass erst die analytische
Untersuchung von Funktionen vollständige Aussagen über deren Eigenschaften liefert. Die grafische
Darstellung erfasst nur einen Ausschnitt der Eigenschaften von f.
Beispiel:
Die Funktion f mit f(x) =
0,001 x³  8 x²  28000 x  80000000
0,001 x  1
ist auf Polstellen, Nullstellen,
lokale Extrempunkte und Wendepunkte zu untersuchen. Bestimmen Sie die Koordinaten entsprechender
Punkte und skizzieren Sie den Graphen von f in einem Koordinatensystem.
Lösungsvorschlag mit TI-92:
Ein Zeichnen des Graphen im Standardfenster liefert keinen Graphen von f. Analytische
Untersuchungen führen zu den in den Bildern 6-8 gezeigten Ergebnissen. Die ermittelten Koordinaten
des lokalen Minimums und des Wendepunktes, sowie die Nullstellen und die Polstelle liefern
Anhaltspunkte zur Achseneinteilung des Koordinatensystems. Bild 9 zeigt eine Darstellung des Graphen
mit dem TI-92 (z. B. Achseneinteilung:  7000  x  11000 ;  2,5  10 7  y  9  10 7 ).
(Bild 6)
(Bild 7)
(Bild 8)
(Bild 9)
-3-
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Bei der Erstellung von Funktionsgraphen bzw. der Ermittlung von Funktionsgleichungen aus gegebenen
Eigenschaften sollten die Schülerinnen und Schüler zunächst rechnerunabhängig vorgehen und ihre
Ergebnisse durch Anwendung bekannter Sätze über rationale Funktionen begründen. Der TI-92 könnte
zur Kontrolle eingesetzt werden.
-4-
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Lehrbücher für Aufgaben:
[1] SCHMID, AUGUST; SCHWEIZER, WILHELM (Hrsg.): LS Mathematik Analysis Grundkurs
Gesamtausgabe. 1. Auflage. Stuttgart: Ernst Klett Schulbuchverlag GmbH, 1992
[2] BOCK, HANS; WALSCH, WERNER (Hrsg.): Mathematik entdecken-verstehen-anwenden
Analysis. 1. Auflage. München: R. Oldenbourg Verlag GmbH, 1993
[3] WEBER, KARLHEINZ; ZILLMER, WOLFGANG (Hrsg.): Mathematik Aufgabenbuch Analysis
Analytische Geometrie Stochastik Sekundarstufe II. 1. Auflage. Berlin: paetec Gesellschaft für Bildung
und Technik mbH, 1995
Aufgaben zum Abschnitt 7 Kurvendiskussion
1. Aufgaben aus [1]:
a) S. 118
Nr. 2-7
b) S. 119
Nr. 8-14
c) S. 122
Nr. 3-21
d) S. 123
Nr. 22-26
e) S. 184
Nr. 3-11
2. Aufgaben aus [2]:
a) S. 164
Nr. 20
b) S. 164
Nr. 21-22
c) S. 165
Nr. 26-29
3. Aufgaben aus
a) S. 53
b) S. 54
c) S. 54f.
(Kurvendiskussion ganzrationale Funktionen)
(Anwendungen zu Funktionseigenschaften)
(Bestimmung von Funktionstermen aus gegebenen Eigenschaften)
(Anwendungen)
(Kurvendiskussion gebrochenrationaler Funktionen)
(Kurvendiskussion ganzrationale Funktionen)
(Kurvendiskussion gebrochenrationale Funktionen)
(Ermittlung von Funktionstermen und Graphen)
[3]:
Nr. DA 110-DA 112 (Kurvendiskussion ganzrationale Funktionen)
Nr. DA 114-DA 115 (Kurvendiskussion gebrochenrationale Funktionen)
Nr. DA 119-DA 121 (Ermittlung von Funktionsgleichungen)
4. Von einer ganzrationalen Funktion f sei bekannt, dass sie die lokalen Extremstellen 2 und 5 hat.
Begründen Sie dass f mindestens eine Wendestelle hat.
5. Ein "beliebter" Fehler bei Funktionsuntersuchungen ist es, aus f'(a) = 0 zu schließen, dass f
an der Stelle a einen lokalen Extremwert hat. Geben Sie Gegenbeispiele an und begründen Sie.
6. 1931 erfand der estnische Optiker Bernhard Schmidt (1878-1935) einen neuen Fernrohrtyp für
fotografische Himmelsaufnahmen, den Schmidtspiegel, der heute auf keiner größeren Sternwarte
fehlt. Vor einem sphärischen Hohlspiegel ist eine Korrekturlinse angebracht, die auf der einen Seite
eben ist, während das Profil der Oberfläche der
anderen Seite durch folgende Funktionsgleichung
gegeben ist:
f ( x) 
x 4  r ² x²
;
4  (n  1)R³
x  [ r ; r ] . Dabei ist x
der
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Abstand von der Linsenmitte, r der Linsenradius, R der Krümmungsradius des Spiegels
und n der Brechungsindex des Glases
(vgl. Abb.).
Diskutieren Sie die Gleichung für n = 1,5; r = 8cm und R = 3r. Zeichnen Sie den Graphen in
ein Koordinatensystem mit geeigneter Achseneinteilung.
7. Ermitteln Sie die Stelle im Intervall [-3;3], an der der Graph von f mit
f(x) =
1 4 1
x  x³  6 x²  1 am steilsten ist.
6
3
8. Der Graph einer ganzrationalen Funktion 3. Grades geht durch den Nullpunkt des
Koordinatensystems. Er hat in P(1;1) ein Extremum und in Q(3;f(3)) einen Wendepunkt.
Bestimmen Sie die Funktionsgleichung.
9. Der Graph einer ganzrationalen Funktion 3. Grades hat an der Stelle x = -1 eine Nullstelle. Er
schneidet die y-Achse mit der Ordinate 2 und berührt die x-Achse an der Stelle x = 2.
Bestimmen Sie die Funktionsgleichung.
10. Bestimmen Sie Gleichung einer ganzrationalen Funktion 5. Grades, deren Graph zum
Koordinatenursprung symmetrisch ist und der im Punkt (  3 ; f( 3 ) ) ein lokales Minimum hat.
Der Graph der Funktion schneidet an der Stelle
5 die x-Achse und hat an dieser Stelle eine
Tangente parallel zur Geraden mit der Gleichung y = -10x.
11. Ein Betrieb produziert lediglich ein Produkt mit der Stückzahl x. Die Kostenfunktion K für dieses
Produkt hat die Gleichung K(x) = x³ - 15x² + 53x + 50.
a) Diskutieren Sie die Kostenfunktion K und stellen Sie den Graphen in einem Koordinatensystem
dar. Interpretieren Sie erhaltene Ergebnisse für Nullstellen, Extrema und Wendepunkte in bezug
auf das praktische Problem.
b) Beim Verkauf von x Mengeneinheiten wird ein Erlös von E(x) = 26,5x erzielt. Stellen Sie
die Gleichung der Gewinnfunktion G des Betriebes auf. Ermitteln Sie die Werte für diejenigen
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Mengeneinheiten bei denen der größte Gewinn bzw. größte Verlust für den Betrieb erzielt
wird.
12.
In einem Wirtschaftsunternehmen wurde die funktionelle Abhängigkeit zwischen Ertrag E(x) und
der Produktionsmenge x bestimmt durch die Gleichung E(x) = 2x² - 3x - 60. Die Funktion K
zur Beschreibung der Betriebskosten hat die Gleichung K(x) = 0.0001x³ - 0,01x² +
1
x +
3
0,1. Die Wirtschaftlichkeit des Unternehmens ist der Quotient aus Ertrag- und Kostenfunktion.
Untersuchen Sie die Wirtschaftlichkeit des Unternehmens durch eine Kurvendiskussion und
interpretieren Sie die erhaltenen Ergebnisse.
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Arbeitsblatt
Von einer Funktion f sind in den Teilaufgaben jeweils einige Eigenschaften gegeben. Erstellen Sie
einen Graphen von f, der den gegebenen Eigenschaften gerecht wird.
a) Nullstellen:
x1 = -7, x2 = 5, x3 = 8
Schnittpunkt mit der y-Achse:
Sy(0;-3)
Lokale Extrempunkte:
Pmin(-2;-4); Pmax(7;5
Es gilt:
lim f(x)   ;
x
lim f(x)  
x
b) Für alle x  R gilt:
f(x) > -2
Der Graph von f ist symmetrisch zur Geraden x = 2
Es gilt:
lim f(x)  2 und f(2) =
x
19
Für x < 2 ist f monoton wachsend
Für x > 2 ist f monoton fallend
-8-
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Arbeitsblatt
1.
Der Graph der Funktion h mit h(x) =
(Einstellungen 10  x  10 und
5 x  100 x³
wird mit dem TI-92 im Grafikfenster
3 x  200
10  y  10 ) dargestellt (siehe Abb.).
Anhand der Darstellung werden
folgende Eigenschaften für h ermittelt:
Die Funktion hat keine Extrema und
im Koordinatenursprung einen Wendepunkt.
Für alle x  R ist die Funktion monoton
fallend.
Beurteilen Sie die Aussagen. Korrigieren und vervollständigen Sie gegebenenfalls.
2. Die Funktion f mit f(x) =
0,001 x³  8 x²  28000 x  80000000
0,001 x  1
ist auf Nullstellen und lokale
Extrempunkte zu untersuchen. Bestimmen Sie die Koordinaten entsprechender Punkte und
skizzieren Sie den Graphen von f in einem Koordinatensystem.
3. Ermitteln Sie die Funktionsgleichung einer ganzrationalen Funktion dritten Grades, die im
Koordinatenursprung einen Wendepunkt hat. Der Anstieg der Tangente im Wendepunkt von f
beträgt m = -0,9. Außerdem gilt f(3) = 0.
4. Gegeben ist die Funktion f durch y = f(x) =
x²  1
; x  R.
x²  2
a) Untersuchen Sie die Funktion f auf Schnittpunkte ihres Graphen mit den Koordinatenachsen.
b) Ermitteln Sie Art und Lage lokaler Extrempunkte des Graphen der Funktion f.
c) Untersuchen Sie das Verhalten der Funktion f für x   und geben Sie eine Gleichung
der Asymptote des Graphen dieser Funktion an.
d) Zeichnen Sie die Asymptote und den Graphen der Funktion f im Intervall 4  x  4 in ein
und dasselbe Koordinatensystem.
(vgl. Schriftliche Abiturprüfung 1996 Mathematik Grundkurs, Aufgabe 1.1)
-9-
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