AufgabengrUppe A

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Abschlussprüfung 1998 zum Erwerb der Fachhochschulreife an Berufsoberschulen
Mathematik (nichttechnische Ausbildungsrichtungen)
(Arbeitszeit für eine A- und eine S-Aufgabe insgesamt 180 Minuten)
Aufgabengruppe A
AI
1.0
Gegeben sind die reellen Funktionen
fk: x  fk (x); Df k =IR ,
fk(x) = (x-4)2(x + k) mit k  IR.
Der Graph einer solchen Funktion fk in einem kartesischen Koordinatensystem heißt Gfk.
1.1
Für einen geeigneten Wert des Parameters k hat die zugehörige Funktion fk eine
Stammfunktion F, deren Graph GF im Koordinatenursprung einen Wendepunkt besitzt.
Bestimmen Sie diesen Wert des Parameters k und den Funktionsterm F(x) der
Stammfunktion F.
(8BE)
Für alle folgenden Teilaufgaben sei k =2. Zur Funktion f2 gehört der Funktionsterm
f2 (x) =
1.2
1
8
( x - 4 )2(x + 2)
bzw.
f 2(x) = 18 x 3  34 x 2  4 .
Geben Sie die Nullstellen der Funktion f2 an und ermitteln Sie für den Graphen Gf2 Art und
Koordinaten der relativen Extrempunkte sowie die Koordinaten des Wendepunktes.
(10BE)
1.3
Zeichnen Sie den Graphen Gf2 mit Hilfe bisheriger Ergebnisse und einer geeigneten
Wertetabelle für -2,5  x  6 auf ein gesondertes DIN-A4-Blatt.
(6BE)
Maßstab auf beiden Achsen: 1 LE = 1 cm.
1.4.0 Die Funktion f2´ ist die 1. Ableitungsfunktion der Funktion f2. Der Graph dieser
Ablei-tungsfunktion f2´ wird mit Gf2´ bezeichnet.
1.4.1 Zeichnen Sie in das vorhandene Koordinatensystem für -2  x  6 den Graphen Gf2´ ein.
(3BE)
1.4.2 Berechnen Sie die Abszissen der Schnittpunkte der Graphen Gf2 und Gf2´.
(7BE)
1.4.3 Die y-Achse und die Graphen Gf2 und Gf2´ begrenzen im I. und IV. Quadranten des
Koordinatensystems ein Flächenstück. Markieren Sie dieses Flächenstück in der
vorhan-denen Zeichnung und berechnen Sie die Maßzahl seines Flächeninhalts.
1.5
(6BE)
Geben Sie unter Verwendung der vorhandenen Graphen die maximalen
Monotonie-intervalle der Stammfunktionen FC der Funktion f2 sowie Art und Abszisse des
relativen Extremums einer solchen Stammfunktion FC an.
(3BE)
Fortsetzung siehe nächste Seite
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Fortsetzung A I
1.6.0 Gegeben ist nun die reelle Funktion g : x  g( x ) 
1.6.1 Berechnen Sie den Grenzwert a =
3( x 2  4)
; Dg = IR\{-2}.
4( x  2)
lim g ( x ) .
x  2
Bestimmen sie diejenigen x-Werte mit x  Dg, für die gilt: |g(x)-a|< 1 .
2
(5BE)
1.6.2 Welcher mathematische Zusammenhang besteht zwischen der Funktion g und der
2.Ablei-tungsfunktion f2´´ der Funktion f2 (siehe 1.2)? Die Antwort ist genau zu
begründen.(3BE)
2
Ein allseits geschlossener Quader mit quadratischer Grundfläche der Seitenlänge a und mit
der Höhe h soll ein Volumen von 100 cm3 besitzen. Die von a abhängige Maßzahl der
Oberfläche dieses Quaders wird mit S(a) bezeichnet. Berechnen Sie a so, dass die Größe
S(a) ihren absolut kleinsten Wert annimmt. Weisen Sie die Art des Extremums ohne
Verwendung der 2. Ableitung der Funktion S nach.
(9BE)
(Teilergebnis: Verwenden Sie für S(a) die Form S(a) = 2a2 + 400 1 .)
a
Summe: 60
BE
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A II
1.0
Gegeben sind die reellen Funktionen
fk: x  f k (x) ; Dfk = IR ,
fk(x) =
1
9
(x4 - kx2 -9x2 + 9 k) mit k > 0 /\ k  IR.
Der Graph einer solchen Funktion fk in einem kartesischen Koordinatensystem heißt Gfk.
1.1.1 Untersuchen Sie den Graphen Gfk in Bezug auf Symmetrie.
(2BE)
1.1.2 Zeigen Sie, dass sich der Funktionsterm fk(x) auch in der Form fk(x) = 91 (x2 - k)(x2 - 9)
schreiben lässt, und ermitteln Sie Anzahl, Lage und Vielfachheit aller Nullstellen der
Funktion fk in Abhängigkeit von k.
(9BE)
1.1.3 Berechnen Sie k so, dass die Tangente an den Graphen Gfk an der Stelle xo = 1,5 parallel
zur Geraden mit der Gleichung y = - 92 x verläuft.
(4BE)
1.2.0 Setzen Sie für die folgenden Teilaufgaben k = 9.
1.2.1 Begründen Sie, dass für alle x  IR gilt: f9(x) > 0. Was kann daraus über die Lage des
Graphen Gf9 im Koordinatensystem gefolgert werden?
(3BE)
Für die folgenden Berechnungen sollte der Funktionsterm der Funktion f 9 in der Form
f9(x)= 1 x 4  2x 2  9
9
verwendet werden.
1.2.2 Ermitteln Sie für den Graphen Gf9 Art und Koordinaten aller relativen Extrempunkte sowie
die Koordinaten der Wendepunkte.
(11BE)
1.2.3 Zeichnen Sie den Graphen Gf9 mit Hilfe bisheriger Ergebnisse und einer geeigneten
Werte-tabelle für |x|  4. Verwenden Sie ein gesondertes DIN-A4-Blatt im Hochformat mit
dem Koordinatenursprung in der Blattmitte. Maßstab auf beiden Achsen: 1 LE = 1cm.
(6BE)
1.3.0 Die Parabel Gp ist der Graph der quadratischen Funktion p : x  p (x) ; Dp = IR.
Diese Parabel verläuft symmetrisch zur y-Achse, schneidet die x-Achse im Punkt N(3; 0)
und die Ordinate ihres Scheitelpunktes hat den Wert yS = -3.
1.3.1 Bestimmen Sie den Funktionsterm p(x) und zeichnen Sie die Parabel Gp im Bereich |x| < 4
in das unter Teilaufgabe 1.2.3 beschriebene Koordinatensystem ein.
(5BE)
1
(Teilergebnis: p (x) = 3 x2 – 3)
1.3.2 Die Graphen Gf9 und Gp schließen drei endliche Flächenstücke ein. Berechnen Sie für
jenes Flächenstück, das den Koordinatenursprung enthält, die Maßzahl seines
Flächeninhalts.
(6BE)
1.4.0 Die Funktion F ist diejenige Stammfunktion der Funktion f9 mit DF = IR, deren Graph GF
den Punkt A(-3; 0) enthält.
1.4.1 Bestimmen Sie den Funktionsterm F(x).
(3BE)
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1.4.2 Zeigen Sie unter Verwendung bereits vorhandener Ergebnisse ohne weitere Rechnung,
dass der Graph GF für alle x  IR echt monoton steigt. Begründen Sie auch, dass dieser
Graph genau zwei Terrassenpunkte enthält.
(5BE)
Fortsetzung siehe nächste Seite
Fortsetzung A II
2
Gegeben ist nun die reelle Funktion g: x  g (x) = 1x ; Dg = IR \{0}.
Bestimmen Sie unter Verwendung des Differenzenquotienten die Ableitung der Funktion g
an der festen, aber beliebigen Stelle xo  Dg .
Was lässt sich aus der Tatsache ihrer Differenzierbarkeit in Bezug auf Stetigkeit bzw.
Unstetigkeit der Funktion g an der Stelle xo folgern? Die Antwort ist ausführlich zu
begründen.
(6BE)
Summe: 60
BE
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Aufgabengruppe S
Stochastik
SI
Im Rahmen einer statistischen Erhebung wurden 5000 repräsentative Haushalte ausgewählt
und im Hinblick auf ihre Ausstattung mit Fernsehern, Radiorecordern sowie
Homecomputern untersucht. Dabei gaben 4500 Haushalte an, einen (oder mehr) Fernseher
zu besitzen, 4000 Haushalte verfügten über einen (oder mehr) Radiorecorder, aber 3500
Haushalte besaßen keinen Homecomputer. Genau 1200 der Haushalte konnten sowohl
Radiorecorder als auch Homecomputer aufweisen. Die daraus ermittelten relativen
Häu-figkeiten werden als Wahrscheinlichkeiten interpretiert.
1.0
Für das Zufallsexperiment: "Zufällige Auswahl eines Haushalts, werden folgende
Ereig-nisse betrachtet:
F:
“Der Haushalt besitzt einen (oder mehr) Fernseher.”
R: “Im Haushalt gibt es einen (oder mehr) Radiorecorder.”
C:
1.1
“Der Haushalt besitzt keinen Homecomputer.”
Zeigen Sie, dass die Ereignisse R und C vereinbar sowie stochastisch unabhängig
sind.(6BE)
Im Folgenden wird für alle drei Ereignisse F, R und C stochastische Unabhängigkeit
vorausgesetzt.
1.2
Berechnen Sie, mit welcher Wahrscheinlichkeit ein Haushalt sowohl mit Fernseher als
auch mit Homecomputer ausgestattet ist.
(2BE)
1.3
Bestimmen Sie für einen zufällig ausgewählten Haushalt mit Hilfe eines Baumdiagramms
alle möglichen Ausstattungsvarianten in Bezug auf die drei Gerätetypen. Ermitteln Sie für
dieses
Zufallsexperiment
auch
die
Wahrscheinlichkeiten aller denkbaren
Elementarereig-nisse.
(6BE)
1.4
Berechnen Sie jeweils die Wahrscheinlichkeit dafür, dass ein Haushalt
2
a)
mindestens zwei der drei Gerätetypen besitzt;
b)
höchstens einen der drei Gerätetypen besitzt;
c)
Fernseher oder Radiorecorder oder beides besitzt.
(6BE)
Die Wahrscheinlichkeit, dass ein Haushalt mit Homecomputer ausgestattet ist, beträgt
weiterhin p = 0,3. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeiten für folgende Ereignisse:
E1: "Von acht zufällig ausgewählten Haushalten besitzen nur genau die beiden letzten
Homecomputer."
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E2: “Von acht zufällig ausgewählten Haushalten sind höchstens zwei der drei zuletzt
ausgewählten Haushalte mit Homecomputer ausgestattet, alle anderen jedoch nicht.”
E3: “Von 20 zufällig ausgewählten Haushalten besitzen höchstens fünf Haushalte
Homecomputer.”
E4: “Von 50 zufällig ausgewählten Haushalten besitzen mindestens 10 und höchstens 18
Homecomputer.”
(9BE)
Fortsetzung siehe nächste Seite
Fortsetzung S I
3.0
Eine Zusatzbefragung betraf die Anzahl der pro Haushalt vorhandenen Radiorecorder.
Keiner der Haushalte besaß mehr als vier Radiorecorder. Die Zufallsgröße X gibt die
Anzahl der Radiorecorder in einem zufällig ausgewählten Haushalt an. Die
Wahrschein-lichkeitsverteilung der Zufallsgröße X lässt sich mit Hilfe der Parameter a, b,
c  IR wie folgt darstellen:
x
P(X = x)
0
1
2
3
4
0, 2
a
b
c
0,05
Außerdem gilt: P(X < 2) = 0,55 sowie P(X  2)= 0,70.
3.1
Berechnen Sie a, b und c. Stellen Sie die Wahrscheinlichkeitsverteilung der Zufallsgröße X
in Form eines Histogramms dar.
(7BE)
(Teilergebnis: a = 0,1; b = 0,25)
3.2
Berechnen Sie die Standardabweichung der Zufallsgröße X.
(4BE)
Summe: 40 BE
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S II
Für ein Zufallsexperiment wird ein Spielbrett mit roten (R) grünen (G) und blauen (B) Feldern
verwendet (siehe Zeichnung).
Start
G
B
R
G
B
R
Ferner steht je ein roter, grüner und blauer idealer Würfel zur Verfügung. Der rote Würfel trägt
auf einer Seitenfläche die 1, auf zwei Seiten die 2 und auf drei Seiten die 3. Der grüne Würfel
weist jede der drei Zahlen 1, 2 bzw. 3 mit gleicher Häufigkeit auf. Beim blauen Würfel kommt
die 2 auf zwei Seitenflächen, die 3 auf vier Seiten vor.
Der Ablauf eines Spiels geht folgendermaßen vor sich:
Zu Beginn wird eine Spielfigur auf das Startfeld gestellt und der rote Würfel geworfen. Die
Spielfigur wird um so viele Felder, wie die gewürfelte Augenzahl angibt, weitergezogen. Die
Farbe des Feldes, auf dem die Spielfigur nun steht, bestimmt die Farbe des Würfels, mit dem der
zweite Wurf erfolgt. Anschließend wird die Spielfigur um die dem zweiten Wurf entsprechende
Felderzahl nach rechts gezogen. Damit endet das Spiel.
1
Zeichnen Sie für das vorliegende Spiel mit   { GB,GR,...,RR} ein Baumdiagramm.
Berechnen Sie auch die Wahrscheinlichkeiten sämtlicher Elementarereignisse.
2.0
(6BE)
Als Treffer wird nun gewertet, wenn die Spielfigur am Ende eines Spiels auf einem grünen
Feld steht.
2.1
Zeigen Sie: Die Trefferwahrscheinlichkeit beträgt p = 0,25.
(2BE)
2.2
Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer bei fünfmaliger Durchführung des Spiels
an.
Stellen Sie die Wahrscheinlichkeitsverteilung der Zufallsgröße X in Form eines
Histo-gramms dar. Berechnen Sie den Erwartungswert  und die Standardabweichung 
der Zufallsgröße X und schraffieren Sie im Histogramm die Fläche mit der
Flächenmaßzahl
2.3
P(| X -  |   ).
Es werden nun folgende Ereignisse betrachtet:
(7BE)
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E1:
E2:
“Bei 50-maliger Durchführung des Spiels werden mindestens 10 Treffer erzielt."
“Bei 50-maliger Durchführung des Spiels werden bei weniger als einem Viertel der
Spiele Treffer erzielt."
Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeiten der Ereignisse E1 und E2. Untersuchen Sie auch,
ob die beiden Ereignisse stochastisch unabhängig sind.
(7BE)
Fortsetzung siehe nächste Seite
Fortsetzung S
II
2.4
Bestimmen Sie für die Ereignisse aus Aufgabe 2.3 folgende Wahrscheinlichkeiten:
a) P (E1  E2)
b) P(E1  E 2 ).
(6BE)
3
Nach etlichen Spielen entsteht der Verdacht, dass der rote Würfel häufiger als erwartet eine
1 zeigt (Gegenhypothese). Zur Überprüfung wird ein Signifikanztest der Länge 100 mit
dem roten Würfel durchgeführt. Geben Sie die Testgröße sowie die Art des
Signifi-kanztests an und ermitteln Sie den größtmöglichen Ablehnungsbereich der
Nullhypothese bei einem Signifikanzniveau von 1 %.
(6BE)
4.0
Bei einem zweiten Signifikanztest erklärt sich ein Spieler bereit, den roten Würfel als gut
anzuerkennen, wenn bei 50-maligem Würfeln höchstens 10-mal die 1 erscheint.
4.1
Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass der Spieler bei diesem Signifikanztest
den Würfel als “gezinkt" ablehnt, obwohl er in Wirklichkeit “gut" ist.
4.2
(4BE)
Erklären Sie mit eigenen Worten, worin bei diesem Test der Fehler 2. Art besteht. (2BE)
Summe: 40 BE