AB6 – Trassierung

AB6 – Trassierung
Der Begriff Trassierung beschreibt das Entwerfen und Festlegen der Linienführung eines
Landverkehrsweges bzw. einer Trasse in Lage, Höhe und Querschnitt. Dazu werden mit
Hilfe von verschiedenen Entwurfsmethoden Trassierungselemente zu einer räumlichen
Linie zusammengefügt. Diese räumliche Linie muss nicht nur fahrdynamischen und
sicherheitsbezogenen Gesichtspunkten genügen, sondern sich auch gut in die Landschaft
einfügen und möglichst geringe Massenbewegungen oder Kunstbauwerke erzeugen
(Wirtschaftlichkeit).
Wir werden Verfahren kennenlernen, um die Trassierung von Straßen zu modellieren.
Dabei greifen wir auf Kenntnisse über ganzrationale Funktionen aus Jahrgang 11 zurück.
Ein Autobahnkreuz ist ein planfreier Knotenpunkt zweier Autobahnen. „Planfrei“ heißt
dabei, dass sich die Autobahnen nicht in der derselben Ebene kreuzen, also unter- bzw.
übereinander hergeführt werden. Die folgenden Abbildungen zeigen vier verschiedene
Bauformen in vereinfachter typisierter Darstellung.
Turbine
Kleeblatt
Malteser
Windmühle
a) Diskutiere die vier dargestellten Varianten hinsichtlich der Kriterien „Platzbedarf“,
„mögliche Geschwindigkeiten beim Autobahnwechsel“ und „Kosten durch
aufwändige oder viele Brücken".
Trassenstück III
2. Winkelhalbierende
Trassenstück I
Trassenstück II
Die oben abgebildete Kurve beschreibe die Linksabbiegung in einem Überwurf-Kreuz.
Vereinfachend nehmen wir an, dass das Kreuz rechtwinklig ist und die gesamte Trasse in
drei Teile zerlegt werden kann, wobei der mittlere Teil ein Viertelkreis mit Radius r ist.
Ziel: Gesucht ist eine ganzrationale Funktion, die Trassenstück I beschreibt. In den
Punkten A und B ist diese Kurve mit der Fahrbahn der Ausgangs-Autobahn (x-Achse)
und dem Kreisbogen II (Trassenstück II) verbunden.
Aus nachvollziehbaren Gründen sollte sich Trassenstück I in A lückenlos an die
Ausgangsautobahn anschließen. Ebenso muss Trassenstück I ohne Sprung in Trassenstück
II übergehen. Man nennt solche Übergänge sprungfrei bzw. stetig.
Zusätzlich fordert man, dass sich in diesen Punkten kein Steigungssprung ergeben soll,
damit das Lenkrad nicht plötzlich „herumgerissen“ werden muss. Die beiden sich
treffenden Kurven sollen also im Übergangspunkt die gleiche Steigung besitzen.
Übergänge, die im Übergangspunkt die gleiche Steigung haben, nennt man knickfrei oder
glatt bzw. differenzierbar.
Schließlich verlangt man noch, dass A ein Wendepunkt sein soll – das glättet den
Übergang. Übergänge, die im Übergangspunkt auch die gleiche „Krümmung“ haben,
nennt man krümmungsruckfrei bzw. zweimal differenzierbar.
Merke: Zwei Graphen von Funktionen f und g heißen im Übergangspunkt P(a/b)



sprungfrei bzw. stetig, falls f(a) = g(a).
knickfrei bzw. glatt bzw. differenzierbar, falls f´(a) = g´(a).
krümmungsruckfrei bzw. zweimal differenzierbar, falls f´´(a) = g´´(a).
b) Gib jeweils ein Beispiel für einen nicht sprungfreien, einen sprungfreien aber nicht
knickfreien sowie einen sprung- und knickfreien aber nicht krümmungsruckfreien
Übergang an.
c) Skizziere die Situation in einem Koordinatensystem.
d) Begründe, dass sich der Viertelkreis im Kurventeil II durch die Funktion k r mit der
Funktionsgleichung k r (x) = −√r 2 − x 2 und 0 ≤ x ≤ r beschreiben lässt. [Tipp: Satz des
Pythagoras]
e) Markiere die Bereiche, wo das Trassenstück I links- bzw. rechtsgekrümmt ist und
begründe, warum Trassenstück I durch eine ganzrationale Funktion mindestens
vierten Grades beschrieben wird. Gib die Anzahl der Bedingungen an, die zur
Bestimmung dieser Funktion notwendig sind.
f) Ermittle in Abhängigkeit von den beiden Parametern r (Radius des Viertelkreises) und
t (Übergangsstellen von der ersten Autobahn zur Überwurftrasse) die Bedingungen
zur Bestimmung der ganzrationalen Funktion fr,t vierten Grades.
g) Begründe, warum die erste Autobahn (x-Achse) in jedem Punkt At (−t/0) sprungfrei,
knickfrei und krümmungsruckfrei in das Trassenstück I übergeht. [Hinweis: Welche
Funktionsgleichung hat die x-Achse?]
h) Für Experten: Stelle mithilfe der Bedingungen aus f) in Abhängigkeit von den
Parametern r und t eine Gleichungssystem auf, löse es mit der Gaußverfahren und
3r
8r
6r
zeige, dass sich fr,t (x) = 4 ∙ x 4 + 3 ∙ x 3 + 2 ∙ x 2 − r (−t ≤ x ≤ 0, r, t ≥ 0) ergibt.
t
t
i) Zeige, dass fr,t mit fr,t (x) =
Bedingungen unter f) erfüllt.
t
3r
t4
8r
6r
∙ x 4 + t3 ∙ x 3 + t2 ∙ x 2 − r (−t ≤ x ≤ 0, r, t ≥ 0)
die
Merke: Dieses Verfahren, aus vorgegebenen Daten ein passendes Polynom abzuleiten,
nennt man Polynominterpolation.
Für unterschiedliche Abknickstellen At (−t/0) und verschiedene Kurvenradien r bzw.
Übergangspunkten Br (0/−r) und Cr (r/0) ergeben sich unterschiedliche Kurvenverläufe.
Folgende Abbildungen stellt für t = 80 und verschiedene r-Werte die entsprechenden
Graphen der Schar von Graphen dar.
j) Gib jeweils den Parameter r sowie die Funktionsgleichung f40,80 (x) an.
In der folgenden Abbildung werden Kurvenverläufe für ein festes r bzw. konstante
Punkte B50 (0/−50) und C50 (50/0)
bei unterschiedlichen Abknickstellen At (−t/
0) dargestellt.
k) Gib die Parameter t an und entscheide, welche der vier Graphen zur Modellierung von
Trassenstück I am besten geeignet ist. Begründe Deine Entscheidung.
l) Programmiere die obige Situation mithilfe des Programms GeoGebra und sende Deine
Programmierung an [email protected].
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8r
6r
Merke: Eine Funktion fr,t mit fr,t (x) = t4 ∙ x 4 + t3 ∙ x 3 + t2 ∙ x 2 − r (−t ≤ x ≤ 0, r, t ≥ 0)
beschreibt in Abhängigkeit der beiden Parametern r und t eine Schar von Funktionen
ganzrationaler Funktionen vierten Grades. Die Parameter r und t heißen Scharparameter
der Funktionenschar.
Neben den fünf Bedingungen aus Aufgabenteil f) soll der Übergang der beiden
Trassenstücke I und II im Punkt B50 (0/−50) ebenfalls krümmungsruckfrei sein. Ohne
1
Nachweis darf verwendet werden, dass k r ´´(0) = 𝑟 (Expertenaufgabe).
m) Leite fr,t zweimal ab und ermittle den t-Wert, für den das entsprechende Trassenstück
I im Punkt B50 (0/−50) krümmungsruckfrei in den Viertelkreis übergeht. Bestimme
den entsprechenden t-Wert für einen beliebigen Radius r.
Merke: Ein krümmungsruckfreier Übergang bedeutet anschaulich, dass es einen
Halbkreis gibt, der sich an beide Kurvenstücke gleichermaßen „anschmiegt“.
Weiterführende Aufgaben
Modellierung einer Umgehungsstraße
Eine Schnellstraße führt von A(0/4) nach B(4/0) durch den Ort D(2/2) (Einheit: 1 km).
a) Zeige, dass es eine lineare Funktion gibt, deren Graph durch die Punkte A, B und D
verläuft.
Nun soll eine Umgehungsstraße gebaut werden, die durch C(2/1) verläuft und in den
Punkten A und B sprung- und knickfrei in die Schnellstraße g mündet.
b) Ermittle das Gleichungssystem für die Koeffizienten einer ganzrationalen Funktion f
mit dem Grad 4, so dass f diese Bedingungen erfüllt. Löse das LGS mithilfe des TR.
[Hinweis: e und f können unmittelbar bestimmt werden.]
c) Begründe, warum die Übergänge A und B zusätzlich krümmungssprungfrei sind,
falls A und B Wendepunkte sind.
Modellierung eines Autobahnkreuzes
An einem Autobahnkreuz soll ein Straßenstück Gp(x) gebaut werden, auf dem man von
der Autobahn g zur Autobahn h wechseln kann. Die Autobahnen kreuzen sich unter
einem Winkel von 53°. Der geradlinige Abstand von A nach B beträgt 400 m. Beide Punkte
haben vom Kreuzungspunkt S den gleichen Abstand. Die Übergänge in A und B sollen
zunächst sprung- und knickfrei sein.
a) Übertrage die Situation in ein geeignetes Koordinatensystem. [Tipp: Nutze die
Symmetrie der Straßensituation aus.]
b) Bestimme einen Funktionsterm möglichst niedrigen Grades, der den Graphen von p(x)
möglichst gut wiedergibt. Erläutere alle Rechenschritte.
Nun sollen die Übergänge A und B zusätzlich krümmungssprungfrei sein.
c) Bestimme eine Funktionsgleichung p(x) für die neue Situation. [Tipp: Nutze wie in a)
die Symmetrie der Straßensituation aus.]
Modellierung einer Straßenkuppe
Beim Bau von Straßen gilt es Straßenkuppen oder –senken möglichst holperfrei zu
überwinden. Dazu können ganzrationale Funktionen verwendet werden. In der
nachfolgenden Abbildung sind die beiden Straßenstücke angegeben, die es geeignet zu
verbinden gilt.
a) Übertrage die Situation in ein geeignetes Koordinatensystem.
b) Ermittle eine Funktion möglichst niedrigen Grades, deren Graph zum Ausrunden der
beiden Straßenstücke vor und nach der Kuppe geeignet ist, so dass die Übergänge
sprung- und knickfrei sind.
c) Zeige, dass die Übergänge nicht krümmungsruckfrei sind und gib an, welchen Grad
die Modellfunktion von zwei sprung-, knick- und krümmungsruckfreien Übergangen
haben müsste.
Modellierung einer Verbindungsstraße
Zwei parallel laufende Straßen sollen miteinander
verbunden werden. Wenn die eine Straße auf der x-Achse
liegt und die andere Straße auf der Geraden mit y = 50, so
1
soll die Funktion fb,d mit fb,d (x) = b ∙ (d − x 2 )2 (b, d > 0)
eine neue Verbindungsstraße beschreiben.
a) Bestimme die Parameter b und c und gib den Grad der
Funktionenschar fb,d an. [b = 16200, d = 900]
b) Berechne fb,d ´(x), fb,d ´´ (x) und zeige, dass die Verbindungsstraße knick- aber nicht
krümmungssprungfrei in die beiden bestehenden Straßen einmündet.
c) Bestimme den Wendepunkt der Verbindungsstraße.
d) Untersuche, welchen Parameter man verändern müsste, wenn die beiden parallelen
Straßen statt 50 m einen anderen Abstand hätten, aber der horizontale Abstand der
beiden Straßen unverändert bei 30 m bliebe.
Lösungen der Einführungsaufgaben
a)
Kleeblatt
(Leverkusener
Kreuz)
Malteser
(Köln-Ost)
Vorteil



geringer Platzbedarf
einfache Bauweise, kostensparend
Umkehren
des
Kreuz
möglich
(zweimal abbiegen)

geringere Staugefahr, da Kreuz mit
höherer Geschwindigkeit durchfahren
werden kann.

Turbine (oft in
Großbritannien)
Windmühle
(USA)
Nachteil


geringere Staugefahr, da Kreuz mit
höherer Geschwindigkeit durchfahren
werden kann.
weniger aufwendig in der Baumweise
als das Malteserkreuz
höhere Geschwindigkeiten
Kleeblattkreuz möglich
als
bei

hohe
Staugefahr
durch
starkes
Absenken der Geschwindigkeit (z. B.
Leverkusener Kreuz)

aufwendige Baukonstruktionen in der
Mitte (vier Fahrbahnen übereinander),
kostenintensiv
kein Wenden möglich





größerer
Platzbedarf
Kleeblattlösung
kein Wenden möglich
als
bei
geringere Geschwindigkeiten als bei
Malteser oder Turbine
kein Wenden möglich
Näheres erfährst Du unter www.wikipedia.org/wiki/Autobahnkreuz
b) Der Übergang von A100 zu D ist nicht sprungfrei. In A175 ist ein sprungfreier aber nicht knickfreier
Übergang. Die durchgezogene Kurve hat in B50 einen knickfreien, aber nicht krümmungssprungfreien
Übergang (im Gegensatz zum Übergang in A100).
r
kr(x)
x
d) Nach dem Satz des Pythagoras (siehe Abbildung oben) gilt: k r 2 (x) + x 2 = r 2 . Umgeformt nach k r (x) ergibt
sich k r (x) = ±√r 2 − x 2 . Für den unteren Viertelkreis gilt daher: k r (x) = −√r 2 − x 2 .
e) Etwa in der Mitte der Trasse I liegt ein Rechts-Links-Wendepunkt. Daher wird Trasse I durch eine
Funktion mindestens vierten Grades beschrieben (mindestens zwei Wendestellen bedeuten mindestens zwei
Nullstellen der zweiten Ableitung, d. h. mindestens Grad zwei der zweiten und damit mindestens Grad vier
bei der Funktion). Daher werden mindestens fünf Bedingungen zur Modellierung von Trasse I benötigt.
f) fr,t(-t) = 0, fr,t ´(-t) = 0, fr,t ´´(-t) = 0, fr,t (0) = -r, fr,t ´(0) = 0
g) Die x-Achse hat die Funktionsgleichung g(x) = 0. Daher gilt g(-t) = g´(-t) = g´´(-t) = 0, so dass der
Übergang At(-t/0) sprung-, knick- und krümmungssprungfrei ist.
h) fr,t (x) = ax 4 + bx 3 + cx 2 + dx + e fr,t ´(x) = 4ax 3 + 3bx 2 + 2cx + d fr,t ´´(x) = 12ax 2 + 6bx + 2c
fr,t (0) = e: e = −r; fr,t ´(0) = 0: d = 0; fr,t (−t) = 0: t 4 a − t 3 b + t 2 c − r = 0; fr,t ´(−t) = 0: −4t 3 a + 3t 2 b − 2tc = 0
fr,t ´´(−t) = 0: 12t 2 b − 6tb + 2c = 0. Damit ergibt sich ein 3x3-LGS mit den Unbekannten a, b und c. Mit dem
3𝑟
8𝑟
6𝑟
Gaußverfahren ergibt sich in Abhängigkeit von t und r: a = 4 und b = 3 und c = 2 .
𝑡
𝑡
𝑡
i) Hier überprüft man die fünf Bedingungen fr,t(-t) = 0, fr,t ´(-t) = 0, fr,t ´´(-t) = 0, fr,t (0) = -r, fr,t ´(0) = 0.
j) r = 10, 20, 30, 40. Für r =40 und t = 80 ergibt sich: f40,80 (x) =
3
1024000
∙ x4 +
1
1600
∙ x3 +
3
80
∙ x 2 − 40.
k) t = 25, 100, 175, 250. Der Graph zu f50,175 scheint bei B50 einen annähernd krümmungssprungfreien
Übergang zu haben und ist daher am besten zur Modellierung geeignet.
m) fr,t ´(x) =
k 50 ´´(0) =
1
50
12r
t4
∙ x3 +
24r
t3
∙ x2 +
= f50,t ´´(0) ergibt
1
12r
t2
1
50
∙ x und fr,t ´´(x) =
=
600
t2
36r
t4
∙ x2 +
48r
t3
∙x+
12r
t2
⟺ t = √30000 ≈ 173
1
12r
Allgemein gilt: k r ´´(0) = = fr,t ´´(0) ⇔ = 2 ⇔ 𝑡 = √12 ⋅ 𝑟. Also für t ≈ 3,46r ist die Übergangsstelle von
𝑟
𝑟
t
Trasse I in den Viertelkreis krümmungssprungfrei.
Lösungen der weiterführenden Aufgaben
Modellierung einer Umgehungsstraße
a) Die Gerade g hat die Funktionsgleichung g(x) = -x + 4. D(2/2) liegt wegen 2 = -2+4 auf dieser Geraden.
b) f(0) = 4, f´(0) = -1, f(2) = 1, f(4) = 0, f´(4) = -1 liefert mit f(x) = ax 4 + bx 3 + cx 2 + dx + e und f´(x) = 4ax 3 +
3bx 2 + 2cx + d: e = 4 und d = -1 sowie die drei Gleichungen: 256a + 64b + 16c = 0, 256a + 48b + 8c = 0 und
1
16a + 8b + 4c = -1. Es ergeben sich mit dem TR oder mit Gaußverfahren die Lösungen: a = − , b = 0,5, c = -1.
Also: f(x) = −
1
16
16
𝑥 4 + 0,5𝑥 3 − 𝑥 2 − 𝑥 + 4.
c) Die Funktion g hat als lineare Funktion offenbar in den Übergangsstellen als zweite Ableitung den Wert
Null. Sind A und B WP, so ist hat auch die zweite Ableitung von f an den Übergangsstellen den Wert Null.
Modellierung des Autobahnkreuzes
a) Man nutzt die Symmetrie des Autobahnkreuzes aus und legt die Straße so, dass die Symmetrieachse auf
der y-Achse liegt. So können wir gerade Funktionen betrachten.
b) Ansatz: p(x) = ax2 + b und p`(x) = 2ax. Nun soll gelten: p(-200) = 0 und p´(-200) = tan (26,5) ≈ 0,49858.
Also folgt: 40000a + b = 0 und -400a = tan (26,5) ≈ 0,49858  a ≈ -0,00124645 und b = -40000a ≈ 49,85.
Insgesamt gilt nun p(x) ≈ -0,00125x + 50.
c) Nun muss zusätzlich gelten, dass p´´(-200) = 0 ist. Man wähle als Ansatz den achsensymmetrischen
Graphen einer Funktion vierten Grades: p(x) = ax4 + bx2 + c. Hier gilt: p´(x) = 4ax3 +2bx und p´´(x) = 12ax2 +
2b. Man erhält wie unter b): p(-200) = 0 und p´(-200) = tan (26,5) ≈ 0,49858 und p´´(-200) = 0. Es ergibt sich
folgendes LGS für a, b und c: 1600000000a + 40000b + c = 0 und -32000000a – 400 b = 0,49858 sowie 480000a +
2b = 0. Der TR liefert: a ≈ 7,79 10-9 und b ≈ -0,0018697 und c ≈ 62,32.
Modellierung einer Straßenkuppe
a) und b)
1
2
2
1
c) Man hat f`´´(0) und f´´(6) zu berechnen. Es gilt f´´(x) = 𝑥 − . Daher f`´´(0) = − ≠ 0 , f`´´(6) = −  0.
36
9
9
16
Also ist f an den Stellen x = 0 und x = 6 nicht krümmungssprungfrei. Eine solche Funktion müsste sechs
Bedingungen erfüllen, hätte also mindestens fünften Grad.
Modellierung der Verbindungsstraße:
a) fb,d (0) = 50:
d2
b
= 50 ⇔ d2 = 50b und fb,d (30) = 0:
1
4
4𝑑
b
𝑏
𝑏
b) fb,d ´(x) = ∙ (d − x 2 )(−2𝑥) = 𝑥 3 −
erhält f16200,900 ´(x) =
1
2
4050
𝑥 ⇒ fb,d ´´(x) =
x 3 − x und f16200,900 ´´(x) =
9
2
1
b
∙ (d − 900)2 = 0 ⇔ d = 900. Also b =
12
1
𝑏
1350
𝑥2 −
2
4𝑑
x2 − .
4
9
𝑏
d2
50
= 16200.
. Setze nun b = 16200 und d = 900 ein. Man
Es
gilt f16200,900 ´(30) = f16200,900 ´(0) = 0.
Allerdings gilt f16200,900´´(0) = − ≠ 0 und f16200,900´´(30) = ≠ 0. Daher sind die Übergänge sprung-, aber
9
9
nicht krümmungssprungfrei.
c) f16200,900 ´´(x) =
1
1350
f16200,900´´´(√300) =
2
x 2 − = 0 ⟺ 𝑥 = ±√300 ≈ 17,32.
1
625
9
√300 > 0 und f16200,900 (√300) =
20
9
: Re-Li-Wendepunkt W(17,332/22,22).
d) Es muss der Parameter b verändert werden, da er für die Streckung und Stauchung des Graphen in yRichtung verantwortlich ist.