DGL-Übungen aus WS 05/06

Übungen zu MAPLE (W. Büttner)
31) Gegeben ist die DGL
dy ( x)
 x  y ( x) .
dx
a) Berechnen Sie die allgemeine Lösung y(x) der DGL.
Lösung:
y ( x)  _ C1 e x  x  1
b) Bilden Sie unter Verwendung des Ergebnisses von a) die Folge der
Lösungsfunktionen zu _C1 = -2, -1, 0, 1, 2 und stellen Sie diese für
 5  x  5 ,  5  y  5 gemeinsam grafisch dar !
32) Ein Körper besitzt zur Zeit t = 0 die Temperatur T0 und wird in der
Folgezeit durch vorbeistromende Luft der konstanten Temperatur TL
gekühlt (TL<T0).
Die Newton’sche DGL für T(t) lautet:
dT (t )
  a (T (t )  TL ) mit
dt
a  0.
Bestimmen Sie den zeitlichen Verlauf der Körpertemperatur T(t).
Lösung: T (t )  TL  e  a t (T 0  TL).Gegen welchen Endwert strebt T ?
Es seien T 0  30, TL  10, a  0,5. Stellen Sie T(t) grafisch dar für das
Zeitintervall 0  t  10 und den Temperaturbereich 0  T  30.
33) Die Vermehrung einer Insektenpopulation hängt ab vom Reproduktionsfaktor R>0, der kritischen Populationsdichte K>0 und kann (nach Verhulst)
durch folgende DGL beschrieben werden:
y ' (t )  R y (t ) (1 
y (t )
).
K
a) Lösen Sie diese DGL exakt für eine Anfangspopulation von y0 Tieren
(mit y0  0 ).
Lösung: y (t ) 
y0 K
y0  ( K  y 0 ) e  R t
Gegen welchen Endwert strebt y(t) ?
b) Stellen Sie y(t) grafisch dar für y0  1000 , R = 2 und K  106.
34) Gegeben ist das folgende DGL-System für die Funktionen x(t), y(t):
dx(t )
 2 x(t )  4 y (t )  cos( t )
dt
dy (t )
 x(t )  2 y (t )  sin( t )
dt
a) Bestimmen Sie die allgemeine Lösung
b) Bestimmen Sie die spezielle Lösung zu den Anfangsbedingungen
x(0)  0 ;
y(0)  1.
Lösung zu b):
x(t )   2 cos(t )  3sin( t )  8 t  2
y(t )  2 sin( t )  4 t  1 .
Zusatzaufgaben für die besonders schnellen Studenten/innen:
Z10) Die Differenzialgleichung eines schwingenden Systems mit Auslenkung
y(t), Anregung x(t) und Dämpfung d laute:
d 2 y (t )
 2d
d t2
dy (t )
 y (t )  x(t )
dt
3
 (t ) angeregt, wobei  (t ) die Heaviside2
Sprungfunktion ist (-> ?Heaviside).
Das System werde mit x(t ) 
Lösen Sie obige DGL mit der Option 'method = laplace' für die
1
1
Dämpfungen d  , d  und d  1 zu den Anfangsbedingungen
10
4
y(0) = 1; y ' (0)  0 .
Stellen Sie die zugehörigen drei Lösungsfunktionen zusammen mit x(t) in
verschiedenen Farben gemeinsam grafisch dar
für 0  t  20 und 0  y  2 !
Z11) Ein Körper bewege sich senkrecht zur Erdoberfläche (auf- oder abwärts)
mit der z-Koordinate z(t) und der Geschwindigkeit v(t ) 
dz (t )
. Wenn z
dt
und v nach oben positiv gezählt werden, dann lautet die DGL für v(t):
dv(t )
  g  k v(t ) v(t )
dt
(*)
(g > 0 Erdbeschleunigung, k > 0 Reibungskoeffizient).
a) Bestimmen Sie die allgemeine Lösung der DGL für k = 0.05
und g = 9,81mit der Fallunterscheidung
a1) v(t) > 0, d.h. Bewegung nach oben bzw.
a2) v(t) < 0, d.h. Bewegung nach unten.
b) Berechnen Sie mit dem Runge-Kutta-Verfahren die numerische
Lösung
b1) zu v(0) = + 10
bzw.
b2) zu v(0) = - 10
und stellen Sie die Lösungskurve in beiden Fällen für 0  t  8 grafisch
dar !
c) Substituieren Sie in der ursprünglichen DGL (*)
v(t ) 
dz (t )
dt
Sie erhalten dadurch eine DGL für z (t ) .
Lösen Sie diese DGL für k=0,05 und g=9,81 numerisch zu den
Anfangsbedingungen
dz
z (0)  0,
 10 .
dt t  0
Stellen Sie die Lösungsfunktion z(t) für 0  t  8 grafisch dar !