spd04

Versuchsplanung
Literatur
Ledolter, Burrill, Statistical Quality
Control: Kap.14: Principles of Effective Experimental Design; Kap.15: Principles of Effective
Experimental Design; Kap.16: Taguchi Design
Methods for Product and Process Improvement.
Bergman, Klefsjö, Quality: Kap.7: Design
of Experiments; Kap.8: Robust Design.
Experiment
 Möglichkeit, Wissen über die uns
interessierenden Prozesse zu erwerben,
 etwa um Verbesserungspotentiale zu
identifizieren
 Entscheidung darüber, welche von
mehreren in Frage kommenden
Erklärungen für ein Qualitätsproblem
zutrifft
 Systematische Methode, Information über
das Wirken und Zusammen-wirken von
(Prozess-)faktoren zu sammeln
3.11.2004
Versuchsplanung
2
Lernprozesse: Beispiele
 Kundenbefragung zeigt
Notwendigkeit einer Änderung des
Bestellprozesses, Bedarf an Schulung
der Mitarbeiter, etc.
 Annahmekontrolle gibt Hinweise auf
Mängel in der Produktion eines
Lieferanten
 Prozesskontrolle hilft, special causes
der Variation zu identifizieren
3.11.2004
Versuchsplanung
3
Versuchsplanung
 Prinzipien und Regeln, nach denen
Experimente, d.i. das aktive Sammeln von
Information, gestaltet werden
 damit sie
 die notwendigen Informationen
 bei effizientem Einsatz der Ressourcen
liefern
 „… a well-planned experiment increases the
precision of the results 10- to 12-fold for
the same cost …“ (R.A. Fisher)
3.11.2004
Versuchsplanung
4
Experimente - Fragestellungen
 Material A oder Material B?
 Verfahren mit bestem Output?
 Ertrag verbessern? (Kombination von
Temperatur und Druck)
 Stahl einer bestimmten Härte
(Erzqualität, Zusätze, Temperatur,
Abkühlgeschwindigkeit, etc.)
 Produktionsprozess: Zielwert, geringste
Variation? (Welche Kombination der
Input-Faktoren?)
3.11.2004
Versuchsplanung
5
Dauerhaftigkeit von Sohlen
 20 Studierende, Material der Sohle: A, B
 Plan 1: Je 10 Studierende tragen Schuhe
mit A und B; A und B werden zufällig
zugeordnet (vollständig randomisiertes
Experiment)
 Plan 2: Jeder Studierende trägt je einen
Schuh mit A und B; A wird zufällig am
linken oder rechten Schuh getragen
(randomisiertes Block-Experiment)
3.11.2004
Versuchsplanung
6
Ertrag eines chem. Prozesses
 hängt ab von
 Temperatur (500o, 600o)
 Druck (60kg/cm2, 80kg/cm2)
 Katalysator (A, B)
 8 Faktorkombinationen
 je Kombination ein Durchlauf des
Experiments (eine Wiederholung)
 Randomisierung der Reihenfolge!
3.11.2004
Versuchsplanung
7
Aushärtezeit von Gips
 Variabilität soll kontrolliert werden
 Große Zahl von potentiellen
Einflussfaktoren
 z.B.: die Wirkung der Kalzinierung
(Ausglühen der Mischung von
Gipskörnern und Zitronensäure)
hängt vermutlich ab von Menge,
Temperatur und Säurekonzentration
3.11.2004
Versuchsplanung
8
Experimente: Wichtige Themen




Ziele eines Experiments
Verallgemeinerbarkeit
Response-Variable
Faktoren
3.11.2004
Versuchsplanung
9
Ziele eines Experiments
 Vergleich zweier Methoden (z.B.: Material
von Schuhsohlen)
 Optimierung des Ertrages (Ertrag eines
chemischen Prozesses)
 Minimieren der Variabilität der ResponseVariablen (Aushärtezeit von Gips)
 Adjustieren der Response-Variablen nahe
dem Zielwert
3.11.2004
Versuchsplanung
10
Verallgemeinerbarkeit
 Gültigkeit eines Experiments ist
beschränkt auf Bedingungen des
Experiments (Faktorwerte, regional,
etc.)
 Achtung! Off-line Experiment vs. online Produktion
3.11.2004
Versuchsplanung
11
Response-Variable
 univariat (z.B. Ertrag) oder
multivariat (z.B. Ertrag, Reinheit)
 quantitativ (z.B. Menge) oder
qualitativ (z.B. Geschmack, Qualität)
3.11.2004
Versuchsplanung
12
Faktoren
 interessierende (primäre) Faktoren
 nicht interessierende (sekundäre)
Faktoren
 Blocken ist gute Strategie, den Effekt
von sekundären Faktoren zu eliminieren
3.11.2004
Versuchsplanung
13
Beispiel: Kugelschreiber
Ausschussquote hängt ab von
 Qualität der Tinte (A oder B)
 Tag der Produktion?
 Nicht geblockt: Do, Fr: 1.5% (A), Sa, So: 5.8% (B)
 Blocken hilft gegen Vermengen
Do
B
A
B
A
B
B
A
A
A
B
Fr
B
B
A
B
B
A
A
B
A
A
Sa
A
A
A
B
B
B
A
B
B
A
So
B
A
A
B
B
A
A
B
A
B
3.11.2004
Versuchsplanung
14
Statistische Prinzipien
 Verwenden des Blockdesigns
 Block: Teilmenge der UE, die ähnliche
Bedingungen hinsichtlich eines sekundären
Faktors aufweist
 Randomisieren: Zufälliges Zuordnen
der UE zu den Behandlungen
 Eliminiert die Wirkung nicht kontrollierbarer Faktoren
 "Blocke alles, was zu blocken ist, und
randomisiere, was nicht zu blocken ist"
3.11.2004
Versuchsplanung
15
Statistische Prinzipien, Forts.
 Beachte Wechselwirkung von
Faktoren
 Vermeide change-one-factor-at-a-time
Vorgangsweise
 Strategie des Experimentierens
 Kleine Schritte, sequentielle Vorgangsweise
 „Beste Zeit, ein Experiment zu planen, ist
nach dem Experiment“
 25%-Regel (Box, Hunter & Hunter)
3.11.2004
Versuchsplanung
16
Begriffe
 Durchlauf des Experiments
 Behandlung der UE: Faktorkombination
 Wiederholung
3.11.2004
Versuchsplanung
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Vergleich von Mittelwerten
 Beispiel: Bruchlast von Bleistiftminen
 Marke A: nA = 6, x-barA = 45.8, sA =
4.31
 Marke B: nB = 6, x-barB = 39.5, sB =
4.59
 Vergleich: x-barA  x-barB = 45.8 
39.5 = 6.3
 unabhängige Stichproben, vollständig
randomisiertes Experiment
3.11.2004
Versuchsplanung
18
Statistische Signifikanz
 Merkmal X
 Population i (i=1,2): Xi, E(Xi) = mi,
SD(Xi) = si; Stichprobe: ni, x-bari,
X-bari  N(mi, si2/ni)
 Differenz:
d = X-bar1  X-bar2  N(md, sd2)
mit md = m1  m2 und
sd = √[s12/n1 + s22/n2]
3.11.2004
Versuchsplanung
19
Bruchlast, Forts.
 sd = √[4.312/6 + 4.592/6] = 2.57
 Test von H0: m1 = m2
gegen H1: m1 ≠ m2
 p-Wert = 2*P{Z > 6.3/2.57} =
0.0143
 H0 wird verworfen
 Ist der Unterschied von praktischer
Relevanz?
3.11.2004
Versuchsplanung
20
Vergleich von Schuhsohlen
 Material A: nA = 20, x-barA = 5.13, sA =
2.03
 Material B: nB = 20, x-barB = 5.40, sB =
1.94
 Vergleich: x-barA  x-barB = 5.13 
5.40 = - 0.27
 sd = √[(2.032 + 1.942)/20] = 0.628
 p-Wert = 2*P{Z < -0.27/0.628} =
0.628; H0 wird nicht verworfen
3.11.2004
Versuchsplanung
21
Vergleich von Schuhsohlen
 Randomisiertes Block-Experiment: Jeder
Studierende trägt je einen Schuh mit A
und B
 Response-Variable:
Differenz d = xA  xB
 d1, ..., d20; d-bar = -0.27; sd = 0.298
 SD(d-bar) = sd/n = 0.067
 p-Wert = 2*P{Z < -0.27/0.067} =
0.00005; H0 wird verworfen!
3.11.2004
Versuchsplanung
22
Faktorielle Experimente
 Die Response hängt von mehr als einem
Faktor ab
 Bei einem (2-stufigen) faktoriellen
Experiment interessieren bei jedem
Faktor zwei Werte (Niveaus)
 Beispiel: Ertrag eines chem. Prozesses
 Temperatur (1100, 1300)
 Reaktionszeit (50 min, 70 min)
3.11.2004
Versuchsplanung
23
Ertrag eines chem. Prozesses
Ertrag
3.11.2004
Temp.
R.Zeit
DS
Lf 1
Lf 2
110o
50min
55.0
55.5
54.5
130o
50min
60.6
60.2
61.0
110o
70min
64.2
64.5
63.9
130o
70min
68.2
67.7
68.7
Versuchsplanung
24
Ertrag eines chem. Prozesses
Ertrag
T R
DS
Lf 1
Lf 2
-
55.0
55.5
54.5
+ -
60.6
60.2
61.0
- +
64.2
64.5
63.9
+ +
68.2
67.7
68.7
-
3.11.2004
Versuchsplanung
25
Notation
 2k-faktorielles Experiment: 2-stufiges Experiment in k Faktoren
 Tabellierung (standard
form):
 Jede Spalte entspricht
einem Faktor
 Jede Zeile entspricht einer
Faktorkombination (einem
Durchlauf)
3.11.2004
Versuchsplanung
Faktor
1 2 3 …
- - - …
+ - - …
- + - …
+ + - …
- - + …
+ - + …
- + + …
+ + + …
26
Analyse der Ergebnisse
 graphische Darstellung
 Schätzen der Effekte der Faktoren
(Haupteffekte): Effekt einer Änderung
der Temperatur von 110o auf 130o
 T = (60.6 + 68.2)/2  (55.0 + 64.2)/2 =
64.4  59.6 = 4.8
= ( 55.0 + 60.6  64.2 + 68.2)/2
 R = (64.2 + 68.2)/2  (55.0 + 60.6)/2 =
66.2  57.8 = 8.4
= ( 55.0  60.6 + 64.2 + 68.2)/2
3.11.2004
Versuchsplanung
27
Wechselwirkung
 graphische Darstellung
 Effekt der Temperatur hängt vom
Niveau der Reaktionszeit ab
 TxR = (68.2  64.2)/2  (60.6  55.0)/2
=  0.8
= (+55.0  60.6  64.2 + 68.2)/2
3.11.2004
Versuchsplanung
28
23 faktorielles Experiment
 Ertrag eines chemischen Prozesses
 interessierende Faktoren:
 Temperatur (T; : 160o, +: 180o)
 Konzentration (C; : 20 %, +: 40 %)
 Katalysator (K; : Typ A, +: Typ B)
3.11.2004
Versuchsplanung
29
23 faktorielles Experiment, Fts.
 Haupteffekte
 T = (72+68+83+80)/4  (60+54
+52+45)/4 = 75.75  52.75 = 23.0
= (60+7254+6852+8345+80)/4
 C = 5.0
 K = 1.5
3.11.2004
Versuchsplanung
30
23 faktorielles Experiment, Fts.
 2-Faktoren Wechselwirkungen
 T(K:+) = (80+83)/2  (52+45)/2 = 81.5
 48.5 = 33.0
 T(K:) = (72+68)/2  (60+54)/2 = 70.0
 57.0 = 13.0
 TxK = (33  13)/2 = 10.0
= (+6072+546852+8345+80)/4
 Analog TxC = 1.5, KxC =0.0
3.11.2004
Versuchsplanung
31
23 faktorielles Experiment, Fts.
 3-Faktoren Wechselwirkung TxKxC:
 TxK(C:+) = (8045)/2  (6854)/2=
10.5
 TxK(C:) = (8352)/2  (7260)/2= 9.5
 TxKxC = (10.5  9.5)/2 = 0.5
= (60+72+5468+528345+80)/4
3.11.2004
Versuchsplanung
32
Statistische Signifikanz
der geschätzten Effekte
 Experiment ohne Wiederholungen:
Graphische Darstellungen
 Punkt-Diagramm
 QQ-Plot (normal probability plot)
 Experiment mit Wiederholungen:
Schätzer für s, Berechnung von
Konfidenzintervallen
3.11.2004
Versuchsplanung
33
Q-Q Plot
 Zu einem Datensatz soll überprüft
werden, ob die Daten von einem
normalverteilten Merkmal stammen
 Q-Q Plot oder Quantil-Quantil Plot,
auch normal probability plot
3.11.2004
Versuchsplanung
34
Ermitteln des Q-Q Plots
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
Stichprobe x1,…,xn
Sortiere die Beobachtungen aufsteigend
Bestimme die Rangzahlen
Bestimme die Ordnung i /(n +1) [oder (i -0.5)/n], die
sich für die Beobachtung mit Rang i ergibt, wenn wir
sie als (empirisches) Quantil auffassen
Bestimme zur Ordnung i /(n +1) das (erwartete)
Quantil der Standard-Normalverteilung (Normal
Score)
Bestimme zur Ordnung i /(n +1) das (erwartete)
Quantil der Normalverteilung mit Parametern
Streudiagramm (Normal Scores über X)
3.11.2004
Versuchsplanung
35
Konfidenzintervall für Effekte
 si: Schätzer aus Beobachtungen im iten von n Läufen eines 2k-faktoriellen
Experiments (i=1,…, 2k)
 sp: Schätzer aus "gepoolten" Daten
sp = [S(si)2/2k]
 95%-iges Konfidenzintervall für T
T - (2)SD(T), T + (2)SD(T)
mit SD(T) = sp/[(n)2k-2]
3.11.2004
Versuchsplanung
36
Ertrag eines chem. Prozesses
i
T R
1
-
DS
Lf 1
Lf 2
si
-
55.0
55.5 54.5
√0.50
2 + -
60.6
60.2 61.0
√0.32
3
- +
64.2
64.5 63.9
√0.18
4 + +
68.2
67.7 68.7
√0.50
sp = √[(0.50+…+0.50)/4] = 0.61
SD = 0.61 /√[(2)22-2] = 0.44
3.11.2004
Versuchsplanung
37
Ertrag eines chem. Prozesses, Fts.
 95%-iges Konfidenzintervall für TxR
-0.8 ± 2(0.44), (-1.68, 0.08)
 95%-iges Konfidenzintervall für T
4.8 ± 2(0.44), (3.9, 5.7)
 95%-iges Konfidenzintervall für R
8.4 ± 2(0.44), (7.5, 9.3)
3.11.2004
Versuchsplanung
38
Suppenwürze "Intermix"
 Beigefügte Menge soll möglichst
gleichmäßig sein.
 Faktoren
 Zahl der ports (P; : 1, +: 3)
 Temperatur (T; : Zimmertemperatur, +:
gekühlt)
 Chargen-Gewicht (W; : 1500 lb, +: 2000
lb)
 Zeit bis zum Abpacken (D; : 1 Tag, +: 7
Tage)
3.11.2004
Versuchsplanung
39
Fraktionale faktorielle
Experimente
 Reduktion der Zahl
der notwendigen
Läufe durch Verzicht
auf Schätzen der
Wechselwirkungen
 Beispiel 1: 23-1 fraktionales faktorielles
Experiment mit drei
Faktoren A, B und C
(C = AxB)
3.11.2004
Versuchsplanung
A
B
C
-
-
+
+
-
-
-
+
-
+
+
+
40
Beispiel 2: 27-4 Experiment
 Kommt mit 8 Läufen aus (27 = 128!)
A
B
C
D=AB
E=AC
F=BC
G=ABC
-
-
-
+
+
+
-
+
-
-
-
-
+
+
-
+
-
-
+
-
+
+
+
-
+
-
-
-
-
-
+
+
-
-
+
+
-
+
-
+
-
-
-
+
+
-
-
+
-
+
+
+
+
+
+
+
3.11.2004
Versuchsplanung
41
Confounding (Vermengen)
 Preis für Reduktion der Anzahl der Läufe: Es können nicht mehr alle Effekte
und Wechselwirkungen unabhängig
voneinander geschätzt werden
 Beispiel 1: Letzte Spalte entspricht C und
AxB; der sich ergebende (confounded)
Schätzer vermengt die beiden
 Beispiel 2: Spalte 4 entspricht Faktor D und
Wechselwirkung AxB, …, Spalte 7 entspricht
Faktor G und Wechselwirkung AxBxC
3.11.2004
Versuchsplanung
42
Suppenwürze "Intermix„, Fts.
 25-1 fraktionales faktorielles Experiment
mit fünf Faktoren P, T, W, D und
Mischdauer (M; : 60 sec, +:80 sec)
 Schätzer von M: vermengt mit
Wechselwirkung PxTxWxD
 Beachte: vermengt sind auch P und
TxWxDxM, PxT und WxDxM, PxTxW und
DxM, etc.
3.11.2004
Versuchsplanung
43
Genichi Taguchi
 Japanischer Ingenieur; Pionier in der
Anwendung von Versuchsplanung zur
Verbesserung von Produkten und
Prozessen; entwickelt
 Philosophie der Qualitätsverbesserung
 Methode der Versuchsplanung
 Deming-Preisträger
 Taguchi’s Methoden seit ca. 1980 auch
in den USA sehr populär
3.11.2004
Versuchsplanung
44
Taguchi's Impulse
 Bücher, seit ca. 1980 auf Englisch
 Taguchi & Wu (1985), Introduction to Off-
Line Quality Control.
 Taguchi (1986) Introduction to Quality
Engineering: Designing Quality into
Products and Processes.
 Konzepte
 Qualitätskosten
 Robuste Produkte und Prozesse
3.11.2004
Versuchsplanung
45
Qualitätskosten
 Verlust durch Abweichung von idealem
Produkt/Prozess
 höherer Aufwand für Gewährleistung
 geringere Kundenzufriedenheit
 schlechteres Image
 high quality Produkt:
 geringe Abweichung vom Zielwert
 während der gesamten Lebensdauer
 unter beliebigen Bedingungen der
Verwendung
3.11.2004
Versuchsplanung
46
Verlustfunktion
 enthält Kosten (pro Einheit) des
Produzenten und Konsumenten
L(y) = A(y-t)2/D2
A: erwartete Kosten bei Abweichung D
vom Zielwert t
 Bei Kosten B für Ausschuss: maximal
tolerierte Abweichung
d = D [B/A]
3.11.2004
Versuchsplanung
47
Robuste Produkte und Prozesse
 Effekte von ungünstigen Faktoren
während der Produktion und während
des Gebrauchs minimiert
 Produkt wird beschrieben in
 Produkt-Charakteristika: Variable, die
das Produkt am Markt positionieren
 Qualitäts-Charakteristika: Variable, in
denen Abweichungen vom idealen
Produkt auftreten
3.11.2004
Versuchsplanung
48
Negative Faktoren
 Äußere Störungen (Umgebung während
der Verwendung; Temperatur-,
Spannungsschwankungen, etc.)
 Innere Störungen (innerhalb des
Produktes; Abnutzung, etc.)
 Variationen der Produktion
(Vorprodukte, Kompetenz der
Mitarbeiter, Qualität der Ausrüstung,
etc.)
3.11.2004
Versuchsplanung
49
Reduktion der Variabilität
 des Produktes und
 des Produktionsprozesses
 durch
 Verbesserung des Designs des
Produktes und
 Verbesserung des Designs des
Produktionsprozesses
3.11.2004
Versuchsplanung
50
Taguchi’s Designmethode
 Für
 Experimente (orthogonale
Versuchspläne)
 Analyse der Variation der
Responsevariablen
 Produkt Design Prozess
 System Design
 Parameter Design
 Toleranz Design
3.11.2004
Versuchsplanung
51
System Design
 Entwurf des Produktes entsprechend
 den Anforderungen der Konsumenten
 den Möglichkeiten der Produktion
 Ergebnis ist ein Prototyp; Identifizierung
möglicher Störfaktoren in Produktion
und Verwendung
 kontrollierte Faktoren („Parameter“)
 nicht kontrolliert Faktoren (noise)
3.11.2004
Versuchsplanung
52
Parameter Design
 Festlegung jener Zielwerte der kontrollierten Faktoren, bei denen die Variabilität minimal ist; Experimente
 Behandlung von noise:
 Behandlung als kontrollierter Faktor,
wenn Ursache für Fehler
 Wahl der Werte der kontrollierten
Faktoren so, dass Effekt des noise
minimiert; Robustifizieren des
Produktes!
3.11.2004
Versuchsplanung
53
Parameter Design, Forts.
 Aufgabe des Design Prozesses ist
 die Festlegung, welche Faktoren
kontrolliert werden sollen und welche
nicht,
 die Festlegung der Werte der Faktoren
so, dass der Effekt des noise minimiert
wird
3.11.2004
Versuchsplanung
54
Toleranz Design
 Festlegung von reduzierten
Toleranzbereichen für die einzelnen
Faktoren, um die Variabilität des
Produktes zu verkleinern
 höherer Aufwand
 teurere Maschinen
 etc.
3.11.2004
Versuchsplanung
55
Versuchsplan
 inner array: Versuchsplan für die
kontrollierten Faktoren; deckt relevanten
Wertebereich ab (zwei bis vier Niveaus)
 outer array: Versuchsplan für
ausgewählte noise Faktoren
 orthogonale Versuchspläne (faktorielle
Designs, fraktional faktorielle Designs,
Lateinische Quadrate Design)
3.11.2004
Versuchsplanung
56
Ziel des Versuchs
 Kombination von Faktorenwerten so,
dass der Produktionsprozess ein Produkt
liefert
 nahe dem gewünschten Output
 mit
 minimaler Variation oder
 maximalem signal-to-noise Verhältnis
3.11.2004
Versuchsplanung
57
signal-to-noise Verhältnis
 SNsmall, wenn y möglichst klein sein soll
SNsmall = -10 log10 [Syi2/n]
 SNlarge, wenn y möglichst groß sein soll
SNlarge = -10 log10 [S(1/yi)2/n]
 SNtarget, wenn y möglichst nahe einem
Zielwert sein soll
SNtarget = 10 log10 [y-bar2/s2 – 1/n]
oder
SNtarget = 10 log10 [y-bar2/s2]
3.11.2004
Versuchsplanung
58
Kritik an Taguchi
 Versuchspläne der vorgeschlagenen
Experimente sind oft nicht effizient
 Interpretation der signal-to-noise
Verhältnisse oft schwierig
3.11.2004
Versuchsplanung
59