Satz 2 - Goethe

Mikro I
Der optimale Verbrauchplan
• Alle Güterbündel im Budgetraum sind dem
Haushalt in dem Sinne verfügbar, daß er kauft,
was er kann was objektiv verfügbar ist).
• Wenn der Haushalt unter dieser Beschränkung seinen Nutzen maximieren will, muß er
die objektiven mit den subjektiven
Alternativkosten vergleichen.
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Mikro I
Optimierungsansatz (graphisch)
y
E
U3
U1
0
U2
x
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Mikro I
Optimierungsansatz (analytisch)
• Der Haushalt kann die IK mit dem Niveau U3
nicht erreichen.
• Bestimmte x-y-Kombinationen auf dem
Nutzenniveau U1 kann er realisieren,
aber diese entsprechen nicht dem maximal
erreichbaren Nutzenniveau.
• Optimaler Punkt ist E,
wo gilt MRSxy = MUx/MUy = px/py.
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Mikro I
Optimierungsansatz (Bedingungen)
• Äquivalent dazu läßt sich auch schreiben:
MU y
MU x

px
py
oder allgemein für mehrere Güter
MU y
MU x
MU z

 ... 
px
py
pz
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Mikro I
Optimierungsansatz (mathematisch)
• Der mathematische Ansatz hierzu lautet:
• Maximiere U(x,y) u. d. N. (s.t.)
M  x  px  y  p y
Hierzu gibt es eine einfache Lösungstechnik:
Die Optimierung einer Lagrange-Funktion.
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Mikro I
Die Lagrange-Funktion
• Sie kombiniert die zu optimierende (kardinale
Nutzen-)Funktion und die Nebenbedingung der
Budgetgleichung wie folgt:
L  U (x , y )   (M  px x  py y )
Die Funktion hat drei unabhängige Variable,
x, y und . Dabei gibt  den Nutzenwert einer
zusätzlichen Einkommenseinheit an.
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Mikro I
Das Maximum der L-Funktion
• Wir differenzieren L und erhalten das folgende
Gleichungssystem:
L  U
 px  0
x
x
L
 U
 py  0
y
y
L  M  p x  p y  0

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x
y
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Mikro I
Die Marginalbedingung des
Konsumentengleichgewichts
• Aus den beiden ersten Gleichungen erhalten
wir (“Zweites Gossensches Gesetz”):
U
• MRSxy =
x  px
U
py
y
• oder |dy/dx| = px/py
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Mikro I
Lagrange Funktion: Beispiel
• Wir unterstellen die konkrete kardinale
Nutzenfunktion
U = (x + 2) (y + 1) =
U = xy + 2y + x + 2
• unter der Nebenbedingung (subject to)
M  x  px  y  p y
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Mikro I
Die Ermittlung des Optimums
Die partiellen Ableitungen von
L = xy + 2y + x + 2 + (M - pxx - pyy) sind:
 L x
= y + 0 + 1 + 0 + 0 - p x -  0 = 0
 L y
L 
= x + 2 + 0 +  0 + 0 - p y
= M - pxx - pyy
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=0
=0
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Mikro I
Auflösung des
Gleichungssystems (1)
• Zunächst lassen sich die drei Gleichungen wie
folgt vereinfachen:
y - lpx
x - lpy
-pxx - pyy
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= -1
= -2
= -M
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Mikro I
Auflösung des
Gleichungssystems (2)
• Dann schreiben wir das System als
Matrixgleichung wie folgt:
 0

 1
  px
1
0
 py
 px   x    1 
  

 py  y   2
  

0       M 
diese Gleichung Ab = c löst man nach b über die
Inverse von A und erhält b = A-1c
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Mikro I
Inversion der Matrix A
• Die Determinante D erhält man nach der
Sarrusschen Regel wie folgt:
D = 0 + pypx + pypx - 0 - 0 - 0 = 2pypx .
• Die Adjunkte Aij erhält man, indem man die
Zeilen i und Spalten j von A streicht und die
jeweilige Determinante berechnet. Dabei ist
das Vorzeichen von Aij = (-1)i+j.
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Mikro I
Die Adjunkte: Beispiele
• A11 =
 0
1  px  A11 = - py2


0  py 
 1
  px  p y 0 
• A23 =
 0
1  px  A23 = - px


0  py 
 1
  px  p y 0 
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Mikro I
Die Inverse von A
 py
1 
1
A 
 px p y
2p x p y 
 py

2
px p y
 px
 px
2
 py 

 px 
1 

Umformung ergibt...
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Mikro I
Die Inverse von A
A
1
 py

1
1

2p x
2
2p x 



p
1
x
1

2
2p y
2p y 


.
.
.
 (Die

Lösung für  wird nicht verfolgt!)


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Mikro I
Multiplikation mit dem Vektor c
•
Wir erhalten als Lösungen für x* und y*
x* 
py  M
2p x
1
2px  M 1
y* 

2py
2
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Mikro I
Allgemeine Nachfragekurven
• Wir können jetzt die optimalen Punkte der
Nachfrage von x und y in Abhängigkeit von den
bisher als konstant angenommenen Größen M,
px und py darstellen.
Wir erhalten dann die allgemeine
Nachfragekurven
x = x (M, px, py) bzw.
y = y (M, px, py) .
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Mikro I
Eigenschaften der Nachfragekurven
• Die Nachfragekurven sind eindeutig und für
gegebene Größen M, px und py einwertig.
Dies folgt aus der Konvexitätsannahme für die
Indifferenzkurven.
• Wenn sich alle Preise px und py sowie das
Einkommen M um den gleichen Faktor k
ändern, ändert sich die nachgefragte Menge
nicht. Das Realeinkommen bleibt konstant.
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Mikro I
Exkurs: Homogene Funktionen
• Eine Funktion y = y(x1, x2, ..., xn) ist
homogen vom Grade r, wenn gilt:
kr y = y(kx1, kx2, ..., kxn) .
• Eine Funktion, die homogen vom Grade 1 ist,
nennt man linear-homogen.
• Die Nachfragefunktion ist homogen vom Grade
0. (Es herrscht keine “Geldillusion”.)
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Mikro I
Spezielle Nachfragefunktionen
(Ernst Engel 1821-96)
• Engel-Kurve
Hier bleiben alle Preise konstant und wir
untersuchen die Veränderung der
nachgefragten Mengen als Folge von
Einkommensvariationen , also z. B.
x = x (M; px, py)
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Mikro I
Spezielle Nachfragefunktionen
• Wir untersuchen diese Abhängigkeit zunächst
im Güterraum (Koordinaten x, y). In diesem
Fall spricht man von der EinkommensKonsum-Kurve.
• Hierbei werden die gleichgewichtigen
Gütermengenkombinationen dargestellt, die
sich bei veränderndem Einkommen ergeben.
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Mikro I
Einkommens-Konsum-Kurve
C
y
B
A
U1
0
xA
xB
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U2
U3
xC
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Mikro I
Einkommensabhängige Nachfrage
• Die Punkte A, B und C zeigen den Verlauf der
nachgefragten Menge von x und y an, wenn
sich das Einkommen M erhöht.
• Die Kurve ist positiv steigend, wenn beide
Güter “normal” oder “superior” sind.
• Ansonsten spricht man von “inferioren” Gütern.
Hier nimmt die Nachfrage mit zunehmendem M
ab.
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Mikro I
Darstellung der Nachfrage nach
einem inferioren Gut
Hier ist das Gut x “inferior”.
y
U2
U1
0
xB xA
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x
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Mikro I
Einkommensexpansion bei linearhomogenen Nutzenfunktionen
Die EinkommensKonsum-Kurve ist
hier eine Gerade.
y
U3
U1
U2
x
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Mikro I
Die Darstellung der Engel-Kurve
x
M
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