Optimale Kombination von Ressourcen

Mikro I
Optimale Kombination von
Ressourcen
• Inputs haben ebenso wie Outputs Preise. Der
Preis der Arbeit ist der Lohnsatz w,
der des Kapitals ist der Zinssatz r.
Normalerweise sind diese Preise am Markt
vorgegeben. Dann erhält man die Kosten C
wie folgt:
C = r K + wL
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185
Mikro I
Isokostenkurve
• Diese Gleichung läßt sich transformieren in
eine Budgetgerade, die die Isokostenkurve
(Kurve gleicher Kosten) genannt wird.
K

C/r
tan  = - w/r
K = C/r - (w/r)L
L
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186
Mikro I
Optimale Kombination
von Faktoren
• Der Unternehmer wird nun die technischen
Bedingungen der Produktion mit den
objektiven Alternativkosten des
Faktoreinsatzes abgleichen.
• Entweder er minimiert die Kosten bei
gegebenem Output;
• oder er maximiert den Output bei gegebenen
Kosten.
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187
Mikro I
Maximierung des Output bei
gegebenen Kosten
K
C/r
E
x1
x2
x3
L
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188
Mikro I
Maximierung des Output bei
gegebenen Kosten
• Um den Output bei gegebenen Kosten zu
maximieren, muß der Unternehmer K und L in
den Proportionen kaufen, bei denen gilt:
MRTSKL = w / r
• Das Gleiche gilt im übrigen auch, wenn die
Kosten bei gegebenem Output minimiert
werden sollen.
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189
Mikro I
Minimierung der Kosten bei
gegebenem Output
K
C3/r
C2/r
C1/r
E
x
L
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190
Mikro I
Expansions-Pfad
• Ein Expansions-Pfad ist der Ort aller
Gleichgewichtspunkte, für die
MRTSKL = w / r = konstant.
• Der Expansions-Pfad zeigt die Veränderung
der Faktorproportionen an, wenn der Output
bzw. die Kosten (Ausgaben) expandieren.
• Für eine linear-homogene PF ist der
Expansions-Pfad eine Gerade.
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191
Mikro I
Ausgabenelastizität für Faktoren
• Analog zur Einkommenselastizität für die
Nachfrage nach Gütern läßt sich auch eine
Ausgabenelastizität für die Nachfrage nach
Faktoren formulieren. Diese ist definiert:
LC = (dL / L) : (dC / C) bzw.
KC = (dK / K) : (dC / C) .
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192
Mikro I
Charakteristika von Faktoren
• Ein Produktionsfaktor ist superior bzw. inferior
je nach dem, wie seine Ausgabenelastizität
beschaffen ist.
•  LC > 1: Arbeit ist ein superiorer Faktor (A).
•  LC  1, aber > 0: Arbeit ist ein
normaler Faktor (B).
•  LC  0: Arbeit ist ein inferiorer Faktor (C).
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193
Mikro I
Charakteristika von Faktoren
K
ExpansionsPfad
L inferior
C
L superior
A
B
L
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194
Mikro I
Faktorpreis-Ausgaben-Funktion
K
0
C
B
A
x1
x2
x3
L
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195
Mikro I
Substitutions- und Output-Effekt
• Auch bei Faktorpreisänderungen ergibt sich ein
Substitutions- und ein Output-Effekt.
• Der Substitutionseffekt spiegelt die
Veränderung von K/L wider, die auf d(w/r)
zurückgeht, wobei der Output konstant bleibt.
• Der Output-Effekt ergibt sich, wenn die
erforderliche Einschränkung des Outputs bei
Konstanz der Kosten berücksichtigt wird.
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196
Mikro I
Substitutions- und Output-Effekt
K
B
A
C
x1
x2
L
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197
Mikro I
Substitutions- und Output-Effekt
• Die Ausgangslage sei der Punkt A.
• Der Faktor Arbeit verteuere sich, wodurch die
Isokostenkurve steiler wird.
• Der Punkt B zeigt die Faktorkombination,
die beim neuen Preisverhältnis gewählt würde,
wenn der Output konstant bliebe.
• Die Bewegung von B nach C stellt den OutputEffekt dar (bei Konstanz der Kosten!).
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198
Mikro I
Kostentheorie:
Noch einmal kurz- und langfristig
• “Langfristig” ist die Zeitspanne, die ausreicht,
um alle Produktionsfaktoren mengenmäßig
anzupassen.
• “Kurzfristig” ist weniger konkret:
– In einer Stunde kann fast nichts geändert werden.
– An einem Tag kann die Faktorauslastung variieren
– In einem Monat kann zusätzliche Kapazität
geschaffen werden
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199
Mikro I
Kostentheorie: Zusammenhang
zwischen PF und Kosten
• Wir unterstellen, daß der Unternehmer jeweils
im Optimum produziert
(sich auf dem Expansions-Pfad bewegt).
• Dann kann die langfristige Kostenkurve direkt
aus dem Expansionspfad abgeleitet werden.
• Sie stellt nichts anderes als das KostenÄquivalent des Outputs dar.
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200
Mikro I
Typischer Verlauf der Kostenkurve
K
C
D’
D
C
A
x
B
x
x
1
4
A’
B’
C’
x3
2
L
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x
x
x
x
1
2
3
4
x
201
Mikro I
Kurzfristige Kosten
• Wie gesagt: Es gibt mehrere kurzfristige
Perioden.
• Beispiel: Eine Firma möchte den Output
verdoppeln. Sie hat 20 Maschinen und benötigt
jetzt 10 Maschinen zusätzlich.
Wir nehmen an, es gäbe 3 kurzfristige
Perioden die entsprechend der Liefersituation
wie folgt definiert sind.
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202
Mikro I
Kurzfristige Kosten: Beispiel
Lieferzeit
in Monaten
0
Anzahl der
gelieferten
Maschinen
0
6
5
12
10
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203
Mikro I
Kurzfristige Kosten: Beispiel
K
30
25
20
D
C
A
B
2*x
x
LD LA
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LB
L
204
Mikro I
Kurzfristige Kosten: Beispiel
• Um den neuen Output zu produzieren, muß
kurzfristig der Arbeitsinput erhöht werden
(Annahme: L ist völlig flexibel).
• Kurzfristig übersteigt das Kostenniveau das
längerfristige Gleichgewichtsniveau.
• Oder anders: Die langfristigen Kosten können
niemals die kurzfristigen Kosten übersteigen.
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205
Mikro I
Dynamische Kostentheorie
• Eine dynamische Kostentheorie erforderte die
explizite Berücksichtigung von
Anpassungskosten an das langfristig optimale
Produktionsniveau bzw. die optimale
Kapitalakkumulation.
• Hier behalten wir die Dichotomie zwischen
lang- und kurzfristigen Kosten bei (komparativstatische Analyse).
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206
Mikro I
Fixe und variable Kosten
in der kurzen Periode
• Das Ertragsgesetz mit einem variable Faktor
mit der Produktionsfunktion x = x(L  K) führt
für einen festen Lohnsatz w unmittel-bar zur
Kostenfunktion
C=
x-1(x) * w + FC,
wobei FC die fixen Kosten der Produktion sind.
Geometrisch stellt x-1(x) eine Spiegelung der
PF an der 45 °-Linie dar.
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207
Mikro I
Fixe und variable Kosten
in der kurzen Periode
C Variable Kosten VC
A
B
FC
0
Niveau der fixen Kosten
FC
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x
208
Mikro I
Durchschnitts- und Grenzkosten
in der kurzen Periode
• Ein Fahrstrahl vom Ursprung zu einem
beliebigen Punkt auf der Kostenkurve mißt die
Durchschnittskosten (DC).
• Ein Fahrstrahl von FC zu einem beliebigen
Punkt auf der Kostenkurve mißt die
durchschnittlich variablen Kosten (DVC).
• Die Tangente an Punkte der Kostenkurve mißt
die Grenzkosten (MC).
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209
Mikro I
Durchschnitts- und Grenzkosten:
Geometrische Beziehungen
MC
C
DC
B
DVC
A
DFC
x
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210
Mikro I
Durchschnitts- und Grenzkosten:
Geometrische Beziehungen
• Im Schnittpunkt der durchschnittlich variablen
Kostenkurve (A) und der
Durchschnittskostenkurve (B) mit der
Grenzkostenkurve erreichen erstere
jeweils ihr Minimum.
• Die durchschnittliche Fixkostenkurve DFC ist
eine Hyperbel.
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211
Mikro I
Langfristige Kostentheorie
• Beispiel:
Wir nehmen einmal an, es gäbe drei
Größenordnungen für einen Betrieb, klein,
mittel und groß, je nach Kapitalausstattung.
• Dann lassen sich diese durch die jeweiligen
kurzfristigen Durchschnittskostenkurven wie
folgt beschreiben:
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212
Mikro I
Langfristige Kostentheorie
KDC1
KDC2
C
KDC3
x
x
1
2
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x
213
Mikro I
Langfristige Kostentheorie
• Solange der Output geringer ist als x1 wählt der
Unternehmer die Technologie 1.
• Liegt der Output zwischen x1 und x2, wählt er
die Technologie 2.
• Übersteigt der Output das Niveau x2, wählt er
die Technologie 3.
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214
Mikro I
Langfristige Kostentheorie
• An den Punkten x1 und x2 ist der Unternehmer
indifferent hinsichtlich der Technologie, es sei
denn, er habe Erwartungen hinsichtlich einer
Expansion (oder Kontraktion) des Outputs.
• Sofern Anpassungskosten
(Transaktionskosten) beim Übergang von einer
Technologie zur an-deren entstehen, verhält
sich der Unternehmer in der Nähe von x1 und
x2 “konservativ”.
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215
Mikro I
Langfristige Kostentheorie
• Kurzfristig muß der Unternehmer auf KDCKurven operieren, aber langfristig plant er auf
einer Langfristkostenkurve (LDC).
• Die LDC ist der Ort aller Punkte, die geringste
Stückkosten repräsentieren.
Sie läßt sich als “Umhüllende” einer Schar von
KDCs darstellen. In den Punkten T sei die LDC
jeweils tangent an die KDCs.
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216
Mikro I
Langfristige Kostenkurve
als “Umhüllende”
KDC1
C
KDC2
KDC3
T
T
T
LDC
x
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217
Till:
Mikro I
Langfristige Grenzkostenkurve:
Auch im Original so
Herleitung
????
KMC1
KDC1
KMC2 KDC2
C
A
B
D
C
x
E
LDC
x
1
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218
Mikro I
Langfristige Grenzkostenkurve:
Herleitung
• Bei x1 gilt im Punkt A: KDC1 = LDC.
• Für x < x1 gilt KDC1 > LDC.
• Dann muß gelten:
Bei Expansion von x auf x1 wird KMC1 < LMC
sein müssen, denn wir starten bei KDC1 > LDC
und erreichen KDC1 = LDC.
• Wir erhalten damit einen Punkt auf der LMCKurve, etwa B.
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219
Mikro I
Langfristige Grenzkostenkurve:
Herleitung
• Bei Kontraktion von einem Punkt x > x1 aus
gilt genau das Gegenteil. Hier wird KMC1 >
LMC sein müssen.
• Wir erhalten damit einen weiteren Punkt auf
der LMC-Kurve, etwa C.
• Weiterhin muß gelten: KMC1 = LMC
für x = x1 , also Punkt D.
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220
Mikro I
Langfristige Grenzkostenkurve:
Herleitung
• Weiterhin gilt, daß die LMC die LDC in ihrem
Minimum schneiden muß, denn es gibt nur
einen kurzfristigen Produktions-prozeß, bei
dem die minimalen KDC gleich den minimalen
LDC sind.
Dieser sei in Punkt E erreicht.
• Die LMC verhält sich damit genauso wie die
KMC, verläuft jedoch flacher.
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221
Mikro I
Till:
animieren
Langfristige Grenzkostenkurve
im Minimum der LDC
C
KMC2
KDC2
LMC
E
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LDC
222
Mikro I
Form der LDC-Kurve
• Sowohl KDC als auch LDC haben einen
U-förmigen Verlauf. Die Gründe hierfür sind
jedoch verschieden:
• Bei der KDC erklärt es sich daraus, daß das
Durchschnittsprodukt bei zum Teil fixen Inputs
irgendwann ein Maximum erreicht.
• Diese Erklärung gilt für LDC nicht, da es hier
keine fixen Inputs gibt.
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223
Mikro I
Skalenerträge der Produktion
(“Economies of Scale”)
• Skalenerträge entstehen durch Spezialisierung
und Arbeitsteilung (z.B. durch die bessere
Auslastung von Maschinen).
• Skalenerträge entstehen auch durch
technische Aspekte, z.B. durch den
größenabhängigen Einsatz von höherwertigen
Technologien.
• Aber warum sollten sich diese Effekte nicht
irgendwann auch erschöpfen ?
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224
Mikro I
Negative Skalenerträge der
Produktion
• Negative Skalenerträge können sich aus
Transport- und Informationsproblemen
ergeben.
• Negative Skalenerträge können sich auch aus
den Grenzen effektiven Managements
ergeben.
• Delegation und Dezentralisierung führen zum
Anstieg der LDC-Kurve.
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225
Mikro I
LDC-Kurven-Verläufe
• Skalenerträge sind
rasch erschöpft.
• “Natürliches Monopol“
LD
C
X
LD
C
• Vermutlich “typischer
Verlauf” X
LD
C
X
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226