x - Dr. F. Raemy

INTEGRALRECHNUNG
Die
Zylindermethode
Felipe Ramirez Diener
Fribourg – Schweiz – Mai 2008
Themen
Einleitung
Hauptansatz
Beispiel 1
Beispiel 2
Beispiel 3
Letzte Beispiel
◙
Einleitung
Zwiebeln und Stämme
¿Was ist die Zylindermethode?
Es ist eine Integralrechnungmethode, um das
Volumen von Drehkörpern zu bestimmen.
Die Methode, die wir normalerweisse im
Unterricht verwenden, ist nicht immer einfach zu
berechnen. Manchmal, für komplexe Funktionen,
kann das Integral überhaupt nicht berechnet
werden.
Zum Beispiel…
Bestimmen Sie das Rotationsvolumen des Drehkörpers,
der durch die Drehung der Fläche zwischen Funktion
und y-Achse um die Achse zwischen den Geraden x = 0
und x = 3 entsteht.
f(x) = −x3 + 4x2 − 3x + 1
Die Querschnittsmethode
Um das Volumen zu
bestimmen könnte man an
die Querschnittsmethode
denken.
In diesem Fall entstehen
horizantale Querschnitte
Aber…
y = −x3 + 4x2 − 3x + 1
x=?
Die Querschnitte sind, in
einigen Bereichen des Körpers
ganze Scheiben und in
anderen haben sie ein Loch im
Zentrum.
In diesem Fall müssen wir den
Radius von den ganzen
Scheiben und von den hohlen
Scheiben in Abhängigkeit von
der Variable y ausdrücken und
das ist logischerweise ein
bisschen schwierig zu
schaffen.
Trotzdem…
Die Zylindermethode
funktioniert ganz gut in
diesem Fall.
Mit der Zylindermethode man
teilt der Körper in verschieden
hohl Zylindern, alle mit dem
gleichen Zentrum. Nachher,
integriert man das Volumen
von diesen Zylindern, um das
Volumen des Körpers zu
bestimmen.
Zwiebeln und Stämme
Es ist sehr wichtig die geometrische Struktur der
Zylindermethode zu verstehen.
Zwiebeln und Stämme
Zwiebeln und Stämme
Hauptansatz
Die Zylindermethode
Zuerst…
Um das Volumen von
einen solchen Zylinder zu
berechnen muss man das
Volumen des inneren
Zylinders vom Volumen
des äusseren substrahieren
V  V2  V1
 r h r h
2
2
2
1
Dann…
V  V2  V1
  r22 h   r12 h
  (r22  r12 )h
  (r2  r1 )(r2  r1 )h
 r2  r1 
 2 
 (r2  r1 )h
 2 
 2 rhr
Das Volumen von einem Zylinder
V  2 rh r
V = (Kreiusmfang)(Höhe)(Dicke)
Das Volumen von einen Zylinder
V  2 rh r
V = (Kreisumfang)(Höhe)(Dicke)
Das Hauptproblem
Bestimmen Sie das Rotationsvolumen des Drehkörpers,
der durch die Drehung der Fläche zwischen Funktion und
y-Achse und die Region die sich zwischen die Funktion y
= f(x), mit f(x) > 0, die x-Achse und den Geraden x = a y
x = b, wo 0 < a < b.
Das Hauptproblem
Bestimmen Sie das Rotationsvolumen des Drehkörpers,
der durch die Drehung der Fläche zwischen Funktion und
y-Achse und die Region die sich zwischen die Funktion y
= f(x), mit f(x) > 0, die x-Achse und den Geraden x = a y
x = b, wo 0 < a < b.
Das Hauptproblem
Bestimmen Sie das Rotationsvolumen des Drehkörpers,
der durch die Drehung der Fläche zwischen Funktion und
y-Achse und die Region die sich zwischen die Funktion y
= f(x), mit f(x) > 0, die x-Achse und den Geraden x = a y
x = b, wo 0 < a < b.
Die Zylindermethode
Wir dividieren das Intervall
[a, b] in n Subintervallen
alle mit der gleiche Dicke.
Nennen wir xi* der
Mittelpunkt des i-enten
Subintervall.
Wir betrachten das Rechteck
Ri, das sich über das i-enten
Subintervall befindet mit
einer Höhe f (xi*).
Dann drehen wir es um die
y-Achse .
Die Zylindermethode
Wir bekommen einen
hohlen Zylinder mit dem
Volumen:
Vi  (2 xi *) f ( xi *) x
Die Zylindermethode
Wir machen n solche
hohle Zylinder, einer nach
dem anderem.
Dann, addieren wir alle
Volumen :
V   (2 x *) f ( x *) x
n
V
n
i
i 1
i
i 1
i
Die Zylindermethode
Die Näherung des
Volumens wird besser,
wenn n grösser wird
(Anzahl hohle Zylinder).
Wir können beweisen:
 (2 x *) f ( x *) x  
n
V  lim
n
i
i 1
b
i
a
2 x f ( x) dx
Hauptregel
Das Rotationsvolumen des Drehkörpers, der durch die
Drehung der Fläche zwischen Funktion und y-Achse
und die Region die sich zwischen die Funktion y = f(x),
mit f(x) > 0, die x-Achse und den Geraden x = a y x =
b, wo 0 < a < b, wird mit dem folgenden Integral
bestimmt:
V

b
a
2 x f ( x) dx
◙
Beispiel 1
Unsere erste Aufgabe
Wir erinneren uns zuerst daran…
Bestimmen Sie das Rotationsvolumen des Drehkörpers,
der durch die Drehung der Fläche zwischen Funktion
und y-Achse um die Achse zwischen den Geraden x = 0
und x = 3 entsteht.
f(x) = −x3 + 4x2 − 3x + 1
Wir erinneren uns zuerst daran..
Bestimmen Sie das Rotationsvolumen des Drehkörpers,
der durch die Drehung der Fläche zwischen Funktion
und y-Achse um die Achse zwischen den Geraden x = 0
und x = 3 entsteht.
f(x) = −x3 + 4x2 − 3x + 1
Die Zylindermethode
Wir dividieren den
Drehkörper in
verschiedene hohle
Zylinder, einer nach dem
anderem.
Die Zylindermethode
Die Höhe des Zylinders
ist von der Funktion
abhängig:
f(x) = −x3 + 4x2 − 3x + 1
Das Integral für das Volumen ist:

3
2 x f ( x) dx 
0
 2
 2


3
x( x 3  4 x 2  3 x  1) dx
0
3
( x 4  4 x 3  3 x 2  x) dx
0
3
 x
x 
99
4
3
 2    x  x    
2 0 5
 5
5
2
◙
Beispiel 2
Das Volumen eines
Kegels
Aufgabe: Der Kegel
Beweisen Sie mit Hilfe der
Zylindermethode, dass das
Volumen von einem Kegel
mit Höhe h und Radius r
mit der folgende Formel
repräsentiert werden kann:
1 2
V   r h.
3
Aufbau eines Kegels
Der Kegel kann betrachtet werden als die Drehung um
der y-Achse einer dreieckigen Fläche dessen Spitzen
(0,0), (r,0) und (0,h) sind, wo h und r Element der reellen
Zahlen sind.
Aufbau eines Kegels
Die Gleichung der Gerade, die durch die Punkte
(r,0) y (0,h) geht ist y = ( −h/r ) x + h, weil ihre
Steigung m = − h/r ist und ihr y-Achsenabschnitt
(0,h).
Die Zylindermethode
Wir bilden unseren Kegel
mit verschiedenen hohlen
Zylindern.
h
Die Radien sind von 0 bis
r definiert und die Höhen
sind von 0 bis h definiert.
r
Die Zylindermethode
Die Zylinder, die in der
Nähe des Zentrums sind,
haben einen kleineren
Radius, sind aber hoch.
Die anderen, die von dem
Zentrum entfernt sind,
haben ein grosses Radius
aber eine kleine Höhe.
El método de los casquetes cilíndricos
Die Höhe von den hohlen
Zylindern wird mit der
folgenden
Geradengleichung
bestimmt:
y = ( −h/r ) x + h.
Das Integral für das Volumen ist:
V

r
(2 x) f ( x)dx
0
 2

r
x  ( h r ) x  h  dx
0
r
x
1 2
x 

 2 h  x  x  dx  2 h   
r 
0 
 2 3r  0

r
2
3
 r2 r3 
1 2
2 1
 2 h     2 r h     r h
6 3
 2 3r 
◙
Beispiel 3
Eine Fläche, die von zwei
Funktionen definiert wird.
Regionen mit zwei Funktionen
Bestimmen Sie das
Rotationsvolumen des
Drehkörpers, der durch die
Drehung der Fläche zwischen den
Funktionen y = − x2 + 4x − 3 und
y = x3 − 6x2 + 12x − 5 und y-Achse
um die y Achse zwischen den
Geraden x = 1 und x = 3 entsteht.
Der Drehkörper
Drehkörper mit zwei Funktionen
In diesem Fall ist die Fläche
des Drehkörpers, die wir
drehen müssen, von zwei
Funktionen abhängig:
g ( x)  x  6 x  12 x  5
3
2
f ( x)   x 2  4 x  3
Die Zylindermethode
Denken wir dass diese
Körper aus verschiedenen
Zylindern entsteht.
Die Höhe des Zylinders
Hier, die Zylinder sind nicht
nur von Höhe und Radius
abhängig, sondern auch von
ihrer Stelle an der x-Achse:
Oben: y = x3 − 6x2 + 12x − 5
Unten: y = − x2 + 4x − 3
Die Höhe des Zylinders
In diesem Fall wird die
Höhe von einem
Hohlzylinder mit Radius x
folgendermassen
dargestellt:
g ( x)  f ( x)
 ( x3  6 x 2  12 x  5)  ( x 2  4 x  3)
 x3  5 x 2  8 x  2.
Das Integral für das Volumen wäre :

3
2 x  g ( x)  f ( x)  dx 
1
 2
1

3
1


3
2 x  x 3  5 x 2  8 x  2  dx
3
 x 5x 8x
2
 x  5 x  8 x  2 x  dx  2  5  4  3  x 

1
5
4
3
4
3
2
292
 12 x  75 x  160 x  60 x  

.
1
30
15
5
4
3
2
3
◙
Letztes Beispiel
Die Fläche dreht um eine
Parallele zur y- Achse
Die Aufgabe
Bestimmen Sie das Rotationsvolumen des Drehkörpers,
der zwischen x-Achse, die Funktion y = f(x) und den
Geraden x = 2, x = 3 entsteht und die Gerade x = 1 als
Rotationsachse hat.
f ( x)  2  x  2 x .
2
Der Drehkörper
f ( x)  2  x 2  2 x .
Das wichtigste
Der Radius von einen Zylinder,
der f(x) als Höhe hat, ist x – 1
und nicht x wie vorher. Warum?
Weil der Drehkörper um die
Gerade x = 1 dreht.
Das Integral für das Volumen
In diesem Fall ist das
Volumen aus dem fogenden
Integral zu bestimmen
V

3
2


2 (x  1) 2  x 2  2x dx
Das Integral für das Volumen
V

3
2
 4


2 ( x  1) 2  x 2  2 x dx

3
( x  1) dx  2
2

3
( x  1) x 2  2 x dx
2
Das erste Integral ist kein Problem. Um das zweite zu
berechnen, können wir die Substitution u = x2 − 2x
machen.
Deswegen ist du = 2(x − 1)dx.
Die Integrationsgrenzen sind: wenn x = 2, dann ist
u = 0 und wenn x = 3, dann ist u = 3. So dass:
Das Integral für das Volumen
V  4

3
( x  1) dx  
2
3

3
u1 2 du
0
x

2 3 2
 4   x     u   6  2 3
3
0
2
2
2
3
◙