Unabhängigkeit von zwei Ereignissen

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Stochastische Unabhängigkeit von Ereignissen: Unabhängigkeit von zwei Ereignissen
Unabhängigkeit von zwei Ereignissen –
Ein ausführlicher Einstieg
Inhalt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1
Stoffverteilung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2
Vorbemerkungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3
Themen der Unterrichtsstunden
1
Wiederholung der bedingten Wahrscheinlichkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5
2
Definition der Unabhängigkeit zweier Ereignisse A und B . . . . . . . . . . . . .
7
3
Zusammenhänge zwischen Unvereinbarkeit und Unabhängigkeit . . . . . . . . 11
4
Sonderfälle bei der Unabhängigkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
5
Der „Übertragungssatz“ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
6
Anwendungsaufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
Material
1
2
Lungenkrebs durch Rauchen? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
Kompetenzprofil
Niveau: Oberstufe, grundlegend
Fachlicher Bezug: –
Kommunikation: begründen, diskutieren
Problemlösen: Probleme erkunden, Lösungsstrategie entwickeln
Modellierung: –
Medien: –
Methode: Einzelarbeit, Gruppenarbeit, Partnerarbeit
Inhalt in Stichworten: Baumdiagramm, bedingte Wahrscheinlichkeit, Unabhängigkeit, unvereinbare Ereignisse, Vierfeldertafel
Autor: Helmut Lerche
Quellen:
S. 25: Krebsinformationsdienst, Deutsches Krebsforschungszentrum, http://www.krebsinformationsdienst.de/tumorarten/lungenkrebs/index.php
S. 26: Spielkarten: © Jean Scheijen/www.vierdrie.nl; Dodekaeder: © Grum_l - Fotolia.com; S. 28: © Boris Ryaposov | Dreamstime.com;
S. 29: © IckeT - Fotolia.com; S. 30: © iconshow - Fotolia.com
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Stochastische Unabhängigkeit von Ereignissen: Unabhängigkeit von zwei Ereignissen
Stoffverteilung
Unterrichtsstunde
1. Stunde
Thema der Stunde und Unterrichtsverlauf
1
2
2. Stunde
Wiederholung der bedingten Wahrscheinlichkeit
Wiederholung: Die Definition für die bedingte Wahrscheinlichkeit
wird wiederholt und anhand einer Aufgabe zu einer fiktiven Raucher- / Lungenkrebs-Statistik angewandt.
Definition der Unabhängigkeit zweier Ereignisse A und B
Neudurchnahme: Ausgehend von der Aufgabe zur Raucher- / Lungenkrebs-Statistik wird zuerst die Definition der Unabhängigkeit
eines Ereignisses B von einem Ereignis A und dann die allgemeine
Definition der Unabhängigkeit zweier Ereignisse A und B behandelt. Diese allgemeine Definition wird anhand eines einfachen Skatkarten-Beispiels ausführlich eingeübt. Anschließend wird anhand
des Raucher- / Lungenkrebs-Beispiels gezeigt, dass aus „Ereignis B
ist abhängig von einem Ereignis A“ nicht gefolgert werden kann
„Aus A folgt B“.
Hausaufgabe: Aufgaben 3 und 4 von MA 2
Besprechung der Hausaufgabe
3
Zusammenhänge zwischen Unvereinbarkeit und
Unabhängigkeit
Neudurchnahme: Anhand des Skatkarten-Beispiels werden die Unterschiede zwischen Unvereinbarkeit und Unabhängigkeit deutlich
gemacht. Für zwei Ereignisse mit von null verschiedener Wahrscheinlichkeit wird bewiesen, dass aus ihrer Unvereinbarkeit ihre
Abhängigkeit folgt, und auch die zugehörige Kontraposition wird
behandelt.
4
Sonderfälle bei der Unabhängigkeit
Es wird untersucht, wann ein Ereignis von sich selbst unabhängig
ist, und es wird bewiesen, dass das unmögliche und auch das sichere
Ereignis von jedem Ereignis unabhängig sind.
Hausaufgabe: Aufgaben 5 und 6 von MA 2
3. Stunde
5
4. Stunde
6
Unterrichtsmittel
 MA 1: Lungenkrebs
durch Rauchen?
 MA 2: Aufgabenblatt
 MA 2
 MA 2
 MA 2
 MA 2
Besprechung der Hausaufgabe
Der „Übertragungssatz“
Neudurchnahme: Ausgehend von einer Vierfeldertafel zu bereits
besprochenen unabhängigen Ereignissen des Skatkarten-Beispiels
wird allgemein gezeigt, dass bei zwei unabhängigen Ereignissen die
zugehörige Vierfeldertafel eine Multiplikationstabelle ist und sich
die Unabhängigkeit von zwei Ereignissen A, B auf A, B bzw. A, B
bzw. A, B „überträgt“. Die im Unterricht behandelten Aufgaben 7
bzw. 8 von MA 2 verwenden Vierfeldertafel bzw. Baumdiagramm.
Hausaufgabe: Aufgaben 9, 10 und 11 von MA 2
 MA 2
Besprechung der Hausaufgabe
Anwendungsaufgaben
Neudurchnahme: Nun werden im Unterricht die Aufgaben 12, 13
und 14 von MA 2 behandelt, bei denen idealisierend die Unabhängigkeit von Ereignissen jeweils vorausgesetzt wird.
 MA 2
 MA 2
 MA 2
 MA 2
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Stochastische Unabhängigkeit von Ereignissen: Unabhängigkeit von zwei Ereignissen
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Vorbemerkungen
Nach der Behandlung der bedingten Wahrscheinlichkeit ist es sinnvoll, die Unabhängigkeit von zwei Ereignissen einzuführen, da deren Definition über die Gleichheit einer bedingten Wahrscheinlichkeit mit einer absoluten Wahrscheinlichkeit gut
zu motivieren ist.
Im Anschluss an diese Unterrichtseinheit könnte (z. B. für Seminararbeiten) die Unabhängigkeit von mehr als zwei Ereignissen behandelt werden. Auch für die Unabhängigkeit von Zufallsgrößen würde die vorliegende Abhandlung die Grundlagen liefern.
Fachwissenschaftliche
Einordnung
Reizvoll am Thema „stochastische Unabhängigkeit“ ist, dass deren Definition sehr
anschaulich über bedingte Wahrscheinlichkeit zu motivieren ist, dass dann bei
der Prüfung der Produktbedingung sehr exakt formal vorgegangen werden muss
und dass viele wirklichkeitsnahe Anwendungsaufgaben behandelt werden können,
welche die Unabhängigkeit als idealisierende Modellannahme voraussetzen. So
bietet diese Unterrichtseinheit eine gewisse Vielfalt, welche der Lehrer steuern kann,
je nachdem ob er mehr die abstrakten oder mehr die anwendungsmäßigen Aspekte
vermitteln will. Die Verwendung von Vierfeldertafeln und Baumdiagrammen trägt
zur Anschaulichkeit und Verständlichkeit der Thematik bei.
In der ersten Stunde demonstriert eine (fiktive) Statistik über die Raucher und
Lungenkrebskranken einer 100 000-Einwohner-Stadt, dass die Wahrscheinlichkeit
des Ereignisses „ein Lungenkrebskranker wird zufällig ausgewählt“ vom Ereignis
„ein Raucher wird zufällig ausgewählt“ beeinflusst wird, dass also das erste Ereignis
vom zweiten „abhängig“ ist. Damit ist der Boden bereitet für die Definition der Unabhängigkeit von zwei Ereignissen.
Methodischdidaktische
Hinweise
Bemerkungen:
• Beim Raucher- / Lungenkrebs-Beispiel sollten natürlich auch die gesundheitlichen
Probleme des Rauchens angesprochen werden.
• Bei der vorgegebenen Statistik ist weder der Begriff „Raucher“ noch der Begriff
„lungenkrebskrank“ klar definiert. Auch wäre eigentlich zu hinterfragen, wie
solch eine Statistik überhaupt zustande kommen kann. So ist die Angabe der Anzahl der momentanen Lungenkrebskranken schon deswegen problematisch, weil
diese noch gar nicht alle diagnostiziert sein müssen. Bei dem Beispiel geht es aber
in erster Linie um einen gut verständlichen und realitätsnahen Einstieg in die Thematik der Unterrichtseinheit.
Am Ende der ersten Stunde wird ein einfaches (Skatspiel-)Beispiel zur Unabhängigkeit behandelt und anhand des Raucher- / Lungenkrebs-Beispiels gezeigt, dass aus
„Ereignis B ist abhängig von Ereignis A“ nicht gefolgert werden kann: „Aus A folgt
B“.
In der zweiten Stunde wird es ziemlich abstrakt-theoretisch, aber eigentlich nicht
schwierig: Es werden Unterschiede und Zusammenhänge zwischen Unabhängigkeit
und Unvereinbarkeit und Sonderfälle zur Unabhängigkeit besprochen.
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Stochastische Unabhängigkeit von Ereignissen: Unabhängigkeit von zwei Ereignissen
In der dritten Stunde wird beim Skat-Beispiel die Vierfeldertafel als Multiplikationstabelle erkannt und dann der sogenannte Übertragungssatz allgemein bewiesen. Zum Schluss der Stunde wird eine Textaufgabe („Ehepaar mit drei Kindern“)
behandelt, bei der die Unabhängigkeit vom „gesunden Menschenverstand“ her nicht
unbedingt erwartet werden kann. Besonders verblüffend ist dann, dass sich bei einer
sehr ähnlichen Aufgabe („Ehepaar mit zwei Kindern“) statt Unabhängigkeit nun
Abhängigkeit beweisen lässt.
In der vierten Stunde wird in Anwendungsaufgaben nun nicht mehr die Unabhängigkeit mit der Produktbedingung bewiesen, sondern umgekehrt die Unabhängigkeit, d. h. die Produktbedingung, als idealisierende Annahme vorausgesetzt. Über
die Berechtigung dieser Idealisierung sollte bei jedem der Beispiele (Technisches
System, Wettervorhersage, Glücksspiel mit zwei Zufallsgeräten) diskutiert werden.
Beim letzten dieser Beispiele wird die Unabhängigkeit am Baumdiagramm behandelt.
Voraussetzungen
• Laplace-Formel
• Baumdiagramm, Vierfeldertafel
• Bedingte Wahrscheinlichkeit
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Stochastische Unabhängigkeit von Ereignissen: Unabhängigkeit von zwei Ereignissen
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1. Unterrichtsstunde
Für jeden Schüler eine Kopie von MA 1 und MA 2 erstellen. Der Lehrer sollte sich vorab zum Thema
„Lungenkrebs durch Rauchen“ informieren (z. B. im Internet auf der folgenden Seite:
http://www.krebsinformationsdienst.de/tumorarten/lungenkrebs/index.php).
Vorbereitung
1
Neudurchnahme
Wiederholung der bedingten
Wahrscheinlichkeit
Der Lehrer zeichnet an der Tafel einen Pfad eines Baumdiagramms und wiederholt mit den Schülern
die Definition der bedingten Wahrscheinlichkeit.
P(A)
A
PA (B)
P(A ∩ B)= P(A) ⋅ PA (B) (1. Pfadregel)
B
Für P(A) ≠ 0 folgt somit:
PA (B) =
P(A ∩ B)
P(A)
Die Elemente dieses Quotienten können auch mit einer Vierfeldertafel veranschaulicht werden:
A
B
A
P(A ∩ B)
B
P(A)
Der Lehrer verteilt das Arbeitsblatt MA 2. Im Unterrichtsgespräch wird nun eine Aufgabe zum Raucher / Lungenkrebs behandelt.
Aufgabe
Siehe Aufgabe 1 von Material MA 2
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 Material MA 2
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Stochastische Unabhängigkeit von Ereignissen: Unabhängigkeit von zwei Ereignissen
Lösung:
a)
L
L
R
80
24 920
25 000
R
20
74 980
75 000
100
99 900
100 000
b) Aufgrund der Laplace-Formel müssen alle absoluten Zahlen durch 100 000 dividiert werden, z. B.:
P(R ∩ =
L)
|R ∩L|
80=
=
|Ω|
100 000
0,0008
L
L
R
0,0008
0,2492
0,25
R
0,0002
0,7498
0,75
0,001
0,999
1
c) P=
R (L)
P(R ∩ L)
=
P(R)
0,0008
=
0,25
0,0032
= 0,32 %
P(L) = 0,0010 = 0,10 %
Dem Ereignis „ein zufällig ausgewählter Einwohner dieser Stadt hat Lungenkrebs“ weist man also eine mehr als dreifach so große Wahrscheinlichkeit zu,
wenn man weiß, dass man einen Raucher ausgewählt hat.
 Material MA 1
Bei dieser Gelegenheit teilt der Lehrer das Informationsblatt „Lungenkrebs durch Rauchen?“ aus und
macht einige Ausführungen zu diesem Thema. Insbesondere sollte darauf hingewiesen werden, dass
laut Krebsinformationsdienst (siehe die angegebene Internetadresse) etwa jeder zehnte Raucher im Laufe seines Lebens an Lungenkrebs erkrankt und in Deutschland jedes Jahr 110 000 bis 140 000 Menschen
an den Folgen des Rauchens, davon schätzungsweise 36 000 Menschen an Lungenkrebs durch Rauchen,
sterben.
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Stochastische Unabhängigkeit von Ereignissen: Unabhängigkeit von zwei Ereignissen
2
Definition der Unabhängigkeit zweier
Ereignisse A und B
Der Lehrer verdeutlicht zum Raucher- / Lungenkrebs-Beispiel noch einmal den folgenden Sachverhalt.
Das Eintreten des Ereignisses R hat Einfluss auf das Eintreten des Ereignisses L:
das Ereignis L ist vom Ereignis R „abhängig“.
Wäre PR(L) = P(L), würde das Ereignis R das Ereignis L nicht beeinflussen:
das Ereignis L wäre vom Ereignis R „unabhängig“.
Im Unterrichtsgespräch wird eine vorläufige Definition der Unabhängigkeit eines Ereignisses B von
einem Ereignis A aufgestellt.
Vorläufige Definition:
Gegeben sei ein Zufallsexperiment mit Ergebnisraum Ω und zwei Ereignissen A und
B. Die Wahrscheinlichkeit von A sei von null verschieden.
B heißt (stochastisch) unabhängig von A, wenn gilt: PA(B) = P(B)
Der Lehrer stellt den Schülern dazu folgende Frage.
Aufgabe
Warum ist hier die Voraussetzung P(A) ≠ 0 nötig?
Lösung:
Die bedingte Wahrscheinlichkeit PA (B) =
schiedenen Nenner P(A) definiert.
P(A ∩ B)
P(A)
ist nur für einen von null ver-
Die obige Definition wird weiter verallgemeinert.
Durch Einsetzen des Definitionsterms für die bedingte Wahrscheinlichkeit
P(A ∩ B)
PA (B) =
in die Definitionsgleichung für die Unabhängigkeit erhält man:
P(A ∩ B)
P(A)
P(A)
= P(B)
Auflösen nach P(A ∩ B) ergibt dann:
P(A ∩ B) = P(A) ⋅ P(B)
Um den Sonderfall P(A) = 0 nicht ausschließen zu müssen, verallgemeinert man nun
die obige Definition.
Allgemeinere vorläufige Definition:
Gegeben sei ein Zufallsexperiment mit Ergebnisraum Ω und zwei beliebigen
Ereignissen A und B.
Das Ereignis B heißt (stochastisch) unabhängig von dem Ereignis A, wenn die sogenannte „Produktbedingung“ P(A ∩ B) = P(A) ⋅ P(B) gilt.
Ist diese Gleichung nicht erfüllt, so heißt B (stochastisch) abhängig von A.
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Stochastische Unabhängigkeit von Ereignissen: Unabhängigkeit von zwei Ereignissen
Die Schüler lösen die folgende Aufgabe in Partnerarbeit.
Aufgabe
Kann aus der Unabhängigkeit eines Ereignisses B von einem Ereignis A umgekehrt
die Unabhängigkeit des Ereignisses A von dem Ereignis B gefolgert werden?
Lösung:
Sei B unabhängig von A. Dann gilt P(A ∩ B) = P(A) ⋅ P(B). Wegen der Kommutativität der Schnittmengenbildung und der Multiplikation gilt:
P(B ∩ A) = P(B) ⋅ P(A)
Also ist auch das Ereignis A von B unabhängig. Somit ist die zu untersuchende
Folgerung richtig.
Nun ist folgende allgemeine Definition naheliegend, die der Lehrer an der Tafel notiert.
Definition:
Gegeben sei ein Zufallsexperiment mit Ergebnisraum Ω und zwei
beliebigen Ereignissen A und B.
Die Ereignisse A und B heißen (voneinander) (stochastisch) unabhängig,
wenn Folgendes gilt:
P(A ∩ B) = P(A) ⋅ P(B)
Gilt diese Gleichung nicht, so heißen die Ereignisse (voneinander)
(stochastisch) abhängig.
Bemerkung:
Die Gleichung P(A ∩ B) = P(A) ⋅ P(B) wird als Produktbedingung, Produktregel, Produktgleichung oder Multiplikationssatz bezeichnet.
Der Lehrer verdeutlicht die Sprechweisen.
Bei zwei Ereignissen A und B sind folgende Sprechweisen gleichwertig:
A und B sind (voneinander) unabhängig, d. h. P(A ∩ B) = P(A) ⋅ P(B).
B und A sind (voneinander) unabhängig, d. h. P(B ∩ A) = P(B) ⋅ P(A).
A ist von B unabhängig.
B ist von A unabhängig.
Im Unterrichtsgespräch soll nun die Überprüfung der Produktbedingung bei einem einfachen Beispiel
ausführlich behandelt werden.
Aufgabe
 Material MA 2
Siehe Aufgabe 2 von Material MA 2
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Stochastische Unabhängigkeit von Ereignissen: Unabhängigkeit von zwei Ereignissen
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Lösung:
Es muss gezeigt werden, dass die Produktbedingung P(A ∩ B) = P(A) ⋅ P(B) erfüllt ist.
Schritt 1: Berechnung von P(A ∩ B)
Da es genau ein Herz-Ass gibt, gilt aufgrund der Laplace-Formel:
1
P(A ∩ B) =
32
Schritt 2: Berechnung von P(A)
Da es genau 4 Ass-Karten gibt, folgt wegen der Laplace-Formel:
P(A)
=
4=
32
1
8
Schritt 3: Berechnung von P(B)
Da es genau 8 Herz-Karten gibt, gilt aufgrund der Laplace-Formel:
P(B)
=
8=
32
1
4
Schritt 4: Berechnung von P(A) ⋅ P(B)
P(A) ⋅ P(B) = 1 ⋅ 1 = 1
8 4
32
Schritt 5: Überprüfung der Produktbedingung und Schlussfolgerung
P(A ∩ B) = 1 = P(A) ⋅ P(B)
32
Die Produktbedingung ist also erfüllt. Die beiden Ereignisse A und B sind somit
unabhängig.
In Einzelarbeit betrachten die Schüler noch einmal das Raucher- / Lungenkrebs-Beispiel (Aufgabe 1
von MA 2).
Aufgabe
Zeigen Sie mithilfe der Produktbedingung, dass die Ereignisse L und R nicht unabhängig sind.
Lösung:
Linke Seite der Produktbedingung:
P(L ∩ R) = 0,0008
Rechte Seite der Produktbedingung:
P(L) ⋅ P(R) = 0,001 ⋅ 0,25 = 0,00025
Es gilt also:
P(L ∩ R) ≠ P(L) ⋅ P(R)
Die Ereignisse L und R sind folglich nicht unabhängig.
Man kann auch formulieren: Das Ereignis L ist vom Ereignis R nicht unabhängig,
d. h., das Ereignis L ist vom Ereignis R abhängig.
Im Unterrichtsgespräch wird die folgende Aufgabe diskutiert.
Aufgabe
Kann man dies auch so formulieren?
„Das Ereignis R zieht das Ereignis L nach sich“ (kurz: „aus R folgt L“)?
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 Material MA 2
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Stochastische Unabhängigkeit von Ereignissen: Unabhängigkeit von zwei Ereignissen
Lösung:
Nein. Wäre die Formulierung richtig, müsste R ⊂ L gelten, d. h., jeder Raucher der
100 000-Einwohner-Stadt müsste auch lungenkrebskrank sein. Aus der Vierfeldertafel ist aber ersichtlich, dass 24 920 Raucher (noch) nicht lungenkrebskrank sind.
Bemerkung: Der Lehrer sollte an dieser Stelle darauf hinweisen, dass in der stochastischen Terminologie die Aussage „aus R folgt L“ bedeuten würde, dass es sich um eine sichere Prognose, also um eine
Wahrscheinlichkeit von 100 %, handelt. Tatsächlich liegt hier aber nur eine Wahrscheinlichkeit vor, die
kleiner als 100 % ist.
Hausaufgabe
 Material MA 2
Aufgaben 3 und 4 von MA 2
Tafelbild
Vorschlag für Tafelbild und Hefteintrag:
Raucher (R) / Lungenkrebskranke (L)
einer Stadt
1 Wiederholung der bedingten Wahrscheinlichkeit
P(A)
A
B
PA (B)
P(A ∩ B)= P(A) ⋅ PA (B) (1. Pfadregel)
L
L
R
80
24 920
25 000
Für P(A) ≠ 0 folgt somit:
R
20
74 980
75 000
PA (B) =
100
99 900
100 000
R
R
PR (L)
=
L
L
0,0008
0,2492
A
0,7498
0,75
0,001
0,999
1
0,0008
0,25
= 0,0032
= 0,32 %
0,10 %
> P(L) =
Die Elemente dieses Quotienten können auch mit einer Vierfeldertafel
veranschaulicht werden:
0,25
0,0002
P(R ∩ L)
=
P(R )
P(A ∩ B)
P(A)
B
P(A ∩ B)
A
2 Definition der Unabhängigkeit
zweier Ereignisse A und B
Gegeben sei ein Zufallsexperiment mit
Ergebnisraum Ω und zwei beliebigen
Ereignissen A und B.
Die Ereignisse A und B heißen (voneinander) (stochastisch) unabhängig,
wenn Folgendes gilt:
P(A ∩ B) = P(A) ⋅ P(B)
Gilt diese Gleichung nicht, so heißen die
Ereignisse (voneinander) (stochastisch)
abhängig.
B
P(A)
Hausaufgabe
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Stochastische Unabhängigkeit von Ereignissen: Unabhängigkeit von zwei Ereignissen
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2. Unterrichtsstunde
Aufgabe 3 von Material MA 2
Untersuchung der Produktbedingung:
Linke Seite:
3 = 1
P(A ∩ B) = P({1, 2, 3}) = 12
4
Rechte Seite:
6 ⋅ 6 =
P(A) ⋅ P(B) = 12
12
1⋅1
2 2
=
Besprechung der
Hausaufgabe
 Material MA 2
1
4
A und B sind also unabhängig.
Aufgabe 4 von Material MA 2
Siehe Vierfeldertafeln beim Raucher- / Lungenkrebs-Beispiel.
a) P(L ∩ R) = 0,0008 (Vierfeldertafel für die Wahrscheinlichkeiten) bzw.
P(L ∩ R)
= 10080000
= 0,0008 (Vierfeldertafel für die absoluten Häufigkeiten)
b) PL (R)
=
bzw.
PL (R)
=
P(L ∩ R )
=
P(L)
80
=
100
0,0008
=
0,001
0,8
= 80 % (Vierfeldertafel für die Wahrscheinlichkeiten)
0,8
= 80 % (Vierfeldertafel für die absoluten Häufigkeiten)
c) Linke Seite:
P(R ∩ L) =
0,0002
Rechte Seite:
P(R) ⋅ P(L) = 0,75 ⋅ 0,001 = 0,00075
Wegen 0,0002 ≠ 0,00075 sind also R und L nicht unabhängig, sondern abhängig.
3
Zusammenhänge zwischen Unvereinbarkeit
und Unabhängigkeit
Der Lehrer hebt anhand der Aufgabe zum Skatspiel den Unterschied zwischen „Unabhängigkeit“ und
„Unvereinbarkeit“ deutlich hervor.
Für die Unabhängigkeit muss die Produktbedingung erfüllt sein, bei der drei Wahrscheinlichkeiten vorkommen.
Bei der Unvereinbarkeit spielen Wahrscheinlichkeiten hingegen gar keine Rolle.
Zwei Ereignisse A und B heißen unvereinbar, wenn sie nicht gleichzeitig eintreten
können, d. h., wenn ihre Schnittmenge die leere Menge ist: A ∩ B = {}
Für unabhängige Ereignisse A und B gilt die Produktbedingung:
P(A ∩ B) = P(A) ⋅ P(B)
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Neudurchnahme
F. 5  12
Stochastische Unabhängigkeit von Ereignissen: Unabhängigkeit von zwei Ereignissen
Für unvereinbare Ereignisse A und B gilt die Summenregel:
P(A ∪ B) = P(A) + P(B)
Allgemein gilt für das „Oder-Ereignis“ A ∪ B:
P(A ∪ B) = P(A) + P(B) – P(A ∩ B)
Wenn A und B unabhängig sind, folgt hieraus speziell:
P(A ∪ B) = P(A) + P(B) – P(A) ⋅ P(B)
Die beiden Ereignisse A und B des Skatspiel-Beispiels der letzten Stunde sind wegen der nachgewiesenen Produktbedingung unabhängig, sie sind aber (wegen ihres
gemeinsamen Elements Herz-Ass) nicht unvereinbar, sondern vereinbar.
Die Beziehungen zwischen Unabhängigkeit und Unvereinbarkeit zweier Ereignisse werden im Unterrichtsgespräch behandelt.
Satz:
Seien A und B zwei Ereignisse, die beide eine von 0 verschiedene Wahrscheinlichkeit haben.
Dann folgt aus der Unvereinbarkeit von A und B ihre Abhängigkeit.
Im Unterrichtsgespräch wird der Satz bewiesen.
Da A und B unvereinbar sind, gilt:
A ∩ B ={ } ⇒ P(A ∩ B) = 0
Da laut Voraussetzung P(A) ≠ 0 und P(B) ≠ 0 folgt:
P(A) ⋅ P(B) ≠ 0
Damit folgt:
P(A) ⋅ P(B) ≠ P(A ∩ B)
Die Produktbedingung ist also nicht erfüllt. A und B sind daher abhängig.
Die zugehörige Kontraposition (weiterhin unter der Voraussetzung P(A) ≠ 0 und P(B) ≠ 0) sollen die
Schüler möglichst selbstständig aufstellen und neu beweisen.
Satz:
Seien A und B zwei Ereignisse, die beide eine von 0 verschiedene Wahrscheinlichkeit haben.
Dann folgt aus der Unabhängigkeit von A und B ihre Vereinbarkeit.
Beweis:
Da A und B unabhängig sind, gilt:
P(A) ⋅ P(B) = P(A ∩ B)
Da laut Voraussetzung P(A) ≠ 0 und P(B) ≠ 0 folgt:
P(A ∩ B) ≠ 0
Damit sind A und B vereinbar.
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Stochastische Unabhängigkeit von Ereignissen: Unabhängigkeit von zwei Ereignissen
4
Sonderfälle bei der Unabhängigkeit
Je nach Leistungsstand der Klasse lässt der Lehrer die folgende Aufgabe in Einzelarbeit oder im
Unterrichtsgespräch bearbeiten.
Aufgabe
Gibt es ein Ereignis, das von sich selbst unabhängig ist?
Lösung:
Um die Unabhängigkeit eines Ereignisses A von sich selbst zu prüfen, ist die Produktbedingung P(A ∩ B) = P(A) ⋅ P(B) für den Spezialfall B = A zu untersuchen.
Wegen A ∩ A = A lässt sich diese Gleichung kürzer schreiben:
P(A) = P(A)2
Diese Gleichung ist genau dann erfüllt, wenn P(A) = 0 oder P(A) = 1 ist.
Leistungsschwächeren Schülern dürfte an dieser Stelle die Substitution P(A) = x helfen, die zu der Gleichung x = x2 bzw. x ⋅ (1 – x) = 0, also zu x = 0 oder x = 1, führt. Die quadratische Gleichung x = x2 könnte
notfalls auch durch Probieren oder durch den Schnitt von Graphen gelöst werden.
Ein Ereignis ist also genau dann von sich selbst unabhängig, wenn es die Wahrscheinlichkeit 0 oder die Wahrscheinlichkeit 1 hat.
Somit ist das unmögliche Ereignis {} von sich selbst unabhängig, ebenso das sichere
Ereignis Ω.
Jetzt wird in arbeitsteiliger Gruppenarbeit gezeigt, dass diese beiden Ereignisse auch von jedem anderen Ereignis unabhängig sind. Die Schüler beschäftigen sich mit einer der folgenden beiden Aufgaben und präsentieren anschließend ihre Beweise.
Aufgabe
1. Beweisen Sie, dass das unmögliche Ereignis und jedes (beliebige) Ereignis B
(voneinander) unabhängig sind.
2. Beweisen Sie, dass das sichere Ereignis und jedes (beliebige) Ereignis B (voneinander) unabhängig sind.
Lösung:
1. Die linke Seite der Produktbedingung lässt sich folgendermaßen umformen:
P({} ∩ B) = P({}) = 0
Die rechte Seite der Produktbedingung ergibt:
P({}) ⋅ P(B) = 0 ⋅ P(B) = 0
Die Produktbedingung ist also erfüllt, d. h., {} und B sind unabhängig.
2. Linke Seite der Produktbedingung:
P(Ω ∩ B) = P(B)
Rechte Seite der Produktbedingung:
P(Ω) ⋅ P(B) = 1 ⋅ P(B) = P(B)
Die Produktbedingung ist also erfüllt, d. h. Ω und B sind unabhängig.
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Stochastische Unabhängigkeit von Ereignissen: Unabhängigkeit von zwei Ereignissen
Der Lehrer fasst die gefundenen Sätze an der Tafel zusammen.
Satz:
• Das unmögliche Ereignis {} und jedes (beliebige) Ereignis B sind
(voneinander) unabhängig.
• Das sichere Ereignis Ω und jedes (beliebige) Ereignis B sind
(voneinander) unabhängig.
Hausaufgabe
 Material MA 2
Aufgaben 5 und 6 von MA 2
Tafelbild
Vorschlag für Tafelbild und Hefteintrag:
Seien A und B zwei Ereignisse, die
beide eine von 0 verschiedene Wahrscheinlichkeit haben.
Dann folgt aus der Unvereinbarkeit von
A und B ihre Abhängigkeit bzw. aus
ihrer Unabhängigkeit ihre Vereinbarkeit.
3 Zusammenhänge zwischen Unvereinbarkeit und Unabhängigkeit
Zwei Ereignisse A und B heißen unvereinbar, wenn sie nicht gleichzeitig
eintreten können, d. h., wenn ihre Schnittmenge die leere Menge ist:
A ∩ B = {}
Für unabhängige Ereignisse A und B gilt die Produktbedingung:
P(A ∩ B) = P(A) ⋅ P(B)
Für unvereinbare Ereignisse A und B gilt die Summenregel:
P(A ∪ B) = P(A) + P(B)
Allgemein gilt für das „Oder-Ereignis“ A ∪ B:
P(A ∪ B) = P(A) + P(B) – P(A ∩ B)
Wenn A und B unabhängig sind, folgt hieraus speziell:
P(A ∪ B) = P(A) + P(B) – P(A) ⋅ P(B)
4 Sonderfälle bei der Unabhängigkeit
Ein Ereignis ist genau dann von sich
selbst unabhängig, wenn es die Wahrscheinlichkeit 0 oder die Wahrscheinlichkeit 1 hat.
Somit ist das unmögliche Ereignis {}
von sich selbst unabhängig, ebenso das
sichere Ereignis Ω.
Das unmögliche Ereignis und das sichere Ereignis sind jeweils von jedem (beliebigen) Ereignis B unabhängig.
Hausaufgabe
Unterrichts-Konzepte Wahrscheinlichkeitsrechnung und Statistik Stark Verlag
Stochastische Unabhängigkeit von Ereignissen: Unabhängigkeit von zwei Ereignissen
F. 5  15
3. Unterrichtsstunde
Aufgabe 5 von Material MA 2
a) Die Ereignisse L und R von Aufgabe 1 sind bekanntlich abhängig.
Wegen | L ∩ R | = 80 ≠ 0 sind sie aber nicht unvereinbar, sondern vereinbar.
b) Die Ereignisse R und R von Aufgabe 1 haben beide eine von null verschiedene Wahrscheinlichkeit (0,25 bzw. 0,75).
Sie sind abhängig, wie die Prüfung der Produktbedingung ergibt:
Linke Seite:
P(R ∩ R)= P({})= 0
Rechte Seite:
P(R) ⋅ P(R) = 0, 25 ⋅ 0,75 = 0,1875 ≠ 0
Ferner sind sie nicht vereinbar, sondern unvereinbar (R ∩ R =
{}).
Aufgabe 6 von Material MA 2
{}
R
R
L
{}
R
R
L
Ω
unvereinbar
unabhängig
unvereinbar
unabhängig
unvereinbar
unabhängig
unvereinbar
unabhängig
unvereinbar
unabhängig
vereinbar
abhängig
unvereinbar
abhängig
vereinbar
abhängig*)
vereinbar
unabhängig
vereinbar
abhängig
vereinbar
abhängig**)
vereinbar
unabhängig
vereinbar
abhängig
vereinbar
unabhängig
vereinbar
unabhängig
Ω
*)
**)
Untersuchung der Produktbedingung für R und L :
Linke Seite:
P(R ∩ L) =
0, 2492
Rechte Seite:
P(R) ⋅ P(L) = 0, 25 ⋅ 0,999 = 0, 24975
R und L sind also nicht unabhängig, sondern abhängig.
Untersuchung der Produktbedingung für R und L :
Linke Seite:
P(R ∩ L) =
0,7498
Rechte Seite:
P(R) ⋅ P(L) = 0,75 ⋅ 0,999 = 0,74925
R und L sind also nicht unabhängig, sondern abhängig.
Bemerkung: Die Relation „ist unabhängig von“ ist nicht transitiv, d. h., aus „A ist unabhängig von B“ und „B ist unabhängig von C“ muss nicht folgen „A unabhängig von C“.
Begründung (siehe obige Tabelle):
Man nehme A = R, B = Ω und C = R. R ist von Ω unabhängig, Ω ist von R unabhängig, aber
R ist von R nicht unabhängig, sondern abhängig.
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Besprechung der
Hausaufgabe
 Material MA 2
F. 5  16
Neudurchnahme
Stochastische Unabhängigkeit von Ereignissen: Unabhängigkeit von zwei Ereignissen
5
Der „Übertragungssatz“
Die Hinführung zu diesem Satz wird im Unterrichtsgespräch behandelt. Dazu wird das Skat-Beispiel
aus der 1. Unterrichtsstunde aufgegriffen.
Aufgabe
Erstellen Sie eine Vierfeldertafel zum Skat-Beispiel (Aufgabe 2 von MA 2) zu den
bereits als unabhängig bewiesenen Ereignissen A: „ein Ass wird gezogen“ und
B: „eine Herzkarte wird gezogen“.
Lösung:
A
A
B
1
32
7
32
1
4
B
3
32
21
32
3
4
1
8
7
8
1
Im Unterrichtsgespräch werden die Besonderheiten dieser Vierfeldertafel besprochen.
Aufgrund der Unabhängigkeit von A und B gilt:
P(A) ⋅ P(B) = P(A ∩ B) ⇒ 1 ⋅ 1 =1
8 4
32
Die (untere) „Randwahrscheinlichkeit“ 1 der (senkrechten) A-Spalte multipliziert
8
mit der (rechten) Randwahrscheinlichkeit 1 der (waagrechten) B-Zeile ergibt also
4
die Wahrscheinlichkeit 1 des entsprechenden „Kreuzungsfelds“.
32
Entsprechendes gilt für alle (senkrechten) Spalten und (waagrechten) Zeilen.
Der Lehrer stellt dazu den allgemeinen Satz vor, der im Unterrichtsgespräch bewiesen wird.
Satz:
Sind A und B zwei beliebige unabhängige Ereignisse mit den Wahrscheinlichkeiten a bzw. b, so ist die zugehörige Vierfeldertafel eine
Multiplikationstabelle.
Beweis:
Wegen der vorausgesetzten Unabhängigkeit von A und B kann man folgendermaßen
starten:
A
B
A
ab
b
1–b
B
a
1–a
1
Unterrichts-Konzepte Wahrscheinlichkeitsrechnung und Statistik Stark Verlag
Stochastische Unabhängigkeit von Ereignissen: Unabhängigkeit von zwei Ereignissen
F. 5  17
Die noch nicht eingetragenen Wahrscheinlichkeiten können nun durch Differenzbildungen berechnet werden:
A
A
B
a⋅b
b – a ⋅ b = (1 – a) ⋅ b
B
a – a ⋅ b = a ⋅ (1 – b)
b
1–b
a
1–a
1
Die restliche noch nicht eingetragene Wahrscheinlichkeit kann z. B. folgendermaßen
bestimmt und umgeformt werden:
P(B ∩ A) = (1 − a) − (1 − a) ⋅ b = (1 − a) ⋅ (1 − b)
Aus der folgenden Tabelle ist nun klar ersichtlich, dass eine Multiplikationstabelle
vorliegt.
A
A
B
a⋅b
(1 – a) ⋅ b
b
B
a ⋅ (1 – b)
(1 – a) ⋅ (1 – b)
1–b
a
1–a
1
Im Unterrichtsgespräch werden die Folgerungen daraus hergeleitet.
Wenn A und B unabhängig sind, dann gelten also außer der bekannten Gleichung
P(A ∩ B) = P(A) ⋅ P(B) noch drei weitere Gleichungen:
P(A ∩ B)= P(A) ⋅ P(B)
P(A ∩ B)= P(A) ⋅ P(B)
P(A ∩ B)= P(A) ⋅ P(B)
Die Unabhängigkeit der Ereignisse A, B „überträgt“ sich also.
Satz:
„Übertragungssatz“:
Sind zwei Ereignisse A und B unabhängig, so sind auch die folgenden
Ereignisse jeweils unabhängig:
• A und B
• A und B
• A und B
Zum Einüben der Multiplikationstabelle bzw. des Übertragungssatzes dient die folgende Aufgabe, welche die Schüler in Einzelarbeit lösen.
Aufgabe
Siehe Aufgabe 7 von Material MA 2
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 Material MA 2
F. 5  18
Stochastische Unabhängigkeit von Ereignissen: Unabhängigkeit von zwei Ereignissen
Lösung:
Die zugehörige Vierfeldertafel ist wegen der vorausgesetzten Unabhängigkeit eine
Multiplikationstabelle, die z. B. folgendermaßen erstellt werden kann:
A
A
B
3⋅2
5 3
2
=
5
2⋅2
5 3
4
=
15
2
3
B
3⋅1
5 3
1
=
5
2⋅1
5 3
2
=
15
1
3
3
5
2
5
1
P(C) =P(A ∩ B) =2 =0, 4 =40 %
5
P(D) = P(A ∩ B) = 2
15
≈ 0,133 = 13,3 %
P(E) =P(A ∩ B) + P(A ∩ B) =1 + 4 = 7 ≈ 0, 467 =46,7 %
5
15
15
3
P(F) =P(A ∪ B) =P(A) + P(A ∩ B) = + 4
5 15
=13 ≈ 0,867 =86,7 %
15
oder z. B. kürzer
P(F) =1 − P(D) =1 − 2 =13 ≈ 0,867 =86,7 %
15
15
Nun folgt eine etwas komplexere Aufgabe, die in Partnerarbeit gelöst wird.
Aufgabe
 Material MA 2
Siehe Aufgabe 8 von Material MA 2
Lösung:
a) Aufgrund der Pfadregeln
ergibt sich:
P(A)= 6= 3= 75 %
P(B)=
8
4=
8
4
1=
2
50 %
b) Linke Seite der Produktbedingung:
3
P(A ∩ B) =
8
Rechte Seite der Produktbedingung:
P(A) ⋅ P(B) = 3 ⋅ 1 = 3
4 2
8
Somit ist die Unabhängigkeit
von A und B bewiesen.
Der Lehrer weist nun darauf hin, dass bei der Hausaufgabe auf die nächste Stunde eine „Ehepaar mit
Kindern“-Aufgabe mit einer fast identischen Aufgabenformulierung dabei sein wird. Einziger Unterschied wird sein: Das Ehepaar hat jetzt nur zwei Kinder. Dann werden die Ereignisse A und B nicht
mehr als unabhängig, sondern als abhängig zu beweisen sein.
Den Schülern soll damit bewusst werden, dass ähnliche Aufgabenstellungen nicht immer ähnliche
Lösungen haben. Zur Beurteilung, ob zwei Ereignisse unabhängig sind oder nicht, ist daher eine genaue
rechnerische Überprüfung der Produktbedingung nötig.
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Stochastische Unabhängigkeit von Ereignissen: Unabhängigkeit von zwei Ereignissen
F. 5  19
Aufgaben 9, 10 und 11 von MA 2
Hausaufgabe
 Material MA 2
Vorschlag für Tafelbild und Hefteintrag:
Tafelbild
5 Der „Übertragungssatz“
Sind A und B zwei beliebige unabhängige Ereignisse, so ist die zugehörige Vierfeldertafel eine Multiplikationstabelle.
Sind zwei Ereignisse A und B unabhängig, so sind auch die folgenden
Ereignisse jeweils unabhängig:
• A und B
• A und B
• A und B
Hausaufgabe
Unterrichts-Konzepte Wahrscheinlichkeitsrechnung und Statistik Stark Verlag
F. 5  20
Stochastische Unabhängigkeit von Ereignissen: Unabhängigkeit von zwei Ereignissen
4. Unterrichtsstunde
Besprechung der
Hausaufgabe
 Material MA 2
Aufgabe 9 von Material MA 2
a)
A
A
B
0,14
0,61
0,75
B
0,06
(0,19)
(0,25)
0,20
(0,80)
(1,00)
Wegen (z. B.) 0,20 ⋅ 0,75 = 0,15 ≠ 0,14 ist die Vierfeldertafel keine Multiplikationstabelle.
Also sind A und B abhängig.
b)
C
C
D
18 %
42 %
60 %
D
12 %
28 %
40 %
30 %
70 %
100 %
P(„weder C noch D“) = P(C ∩ D) = 28 %
c)
F
F
E
E
45 %
30 %
75 %
15 %
10 % *)
25 %**)
60 %
40 %
100 %
*) P(G)
= P(E ∩ F ) = 1 – P(E ∪ F) = 1 – 90 % = 10 %
**) Wegen der Unabhängigkeit von E und F muss eine Multiplikationstabelle vorliegen.
Somit gilt:
P(F ∩ E)= P(F ) ⋅ P(E)
⇒ P(F )=
P(F ∩ E)
=
P(E)
10 %
=
40 %
10=
40
1=
4
25 %
Für die Ereignisse H und I gilt:
P(H) = P(E ∩ F) = 30 %
P(I) = P(E ∩ F) + P(E ∩ F ) = 30 % + 15 % = 45 %
Aufgabe 10 von Material MA 2
a) Aufgrund der Pfadregeln ergibt sich:
P(A)= 24= 12= 50 %
P(B)=
3=
4
75 %
b) Linke Seite der Produktbedingung:
P(A ∩ B) = 24 =12
Rechte Seite der Produktbedingung:
P(A) ⋅ P(B) = 12 ⋅ 43 = 83
Es gilt also:
P(A ∩ B) ≠ P(A) ⋅ P(B)
Somit ist die Abhängigkeit von A und B bewiesen.
Unterrichts-Konzepte Wahrscheinlichkeitsrechnung und Statistik Stark Verlag
Stochastische Unabhängigkeit von Ereignissen: Unabhängigkeit von zwei Ereignissen
F. 5  21
Aufgabe 11 von Material MA 2
a) Aufgrund der Pfadregeln ergibt sich:
1 = 0,1
P(A ∩ B) = 10
P(A) ⋅ P(B) =
=
=
( 101 + 103 ) ⋅ ( 101 + 103 )
4 ⋅ 4
10 10
16
100
= 0,16
Wegen 0,1 ≠ 0,16 sind A und B somit abhängig.
b) Falls das erste Los vor dem zweiten Ziehen
wieder zurückgelegt würde (was natürlich
sehr unrealistisch wäre), wären A und B
unabhängig.
4
P(A ∩ B) =
25
P(A) ⋅ P(B) =
=
=
=
( 254 + 256 ) ⋅ ( 254 + 256 )
10 ⋅ 10
25 25
2⋅2
5 5
4
25
Es würde also gelten:
P(A ∩ B) = P(A) ⋅ P(B) ⇒ A, B unabhängig
6
Anwendungsaufgaben
Der Lehrer gibt einen Einstieg in diese Stunde.
An mehreren Beispielen haben wir gesehen, dass die Untersuchung von zwei Ereignissen auf ihre Unabhängigkeit mithilfe der Produktbedingung zu überraschenden
Ergebnissen führen kann.
Bei den folgenden Aufgaben wollen wir den Spieß umdrehen und die Unabhängigkeit nicht beweisen, sondern ihre Gültigkeit voraussetzen. Wir werden also jetzt die
Produktbedingung nicht nachweisen, sondern sie voraussetzen.
Unterrichts-Konzepte Wahrscheinlichkeitsrechnung und Statistik Stark Verlag
Neudurchnahme
F. 5  22
Stochastische Unabhängigkeit von Ereignissen: Unabhängigkeit von zwei Ereignissen
Mit den Schülern wird nun diskutiert, wann dieses Vorgehen gerechtfertigt erscheint.
Natürlich sinkt mit diesem Vorgehen der Aufwand. (Für das vollständige Ausfüllen
der Vierfeldertafel benötigt man z. B. nur eine untere und eine rechte Randwahrscheinlichkeit). Zu akzeptierende Situationen für die – allerdings oft idealisierende –
Unabhängigkeits-Annahme könnten z. B. sein:
• Zwei verschiedene Würfel werden gleichzeitig geworfen, die sich nicht gegenseitig stören können, die also z. B. nicht durch eine Schnur miteinander verbunden
sind.
• Ein Würfel wird zweimal hintereinander geworfen und es wird angenommen, dass
nach dem ersten Wurf keine Abnutzungserscheinung auftritt.
• Bei einem Glücksspiel werden nacheinander mehrere verschiedene Zufallsgeräte
(z. B. Würfel und Glücksrad) benutzt, die nichts miteinander zu tun haben.
• Bei einem Herstellungsverfahren oder bei einem Kontrollverfahren arbeiten zwei
völlig getrennte, verschiedene Geräte, die sich in ihrer Wirkungsweise gegenseitig
nicht beeinflussen.
Die erste Aufgabe wird im Unterrichtsgespräch gelöst.
Aufgabe
 Material MA 2
Siehe Aufgabe 12 von Material MA 2
Lösung:
a) Mögliche Antworten:
• Antriebssystem eines zweimotorigen Flugzeugs mit den Geräten 1. Motor und
2. Motor, wenn diese unabhängig voneinander arbeiten.
• Datensicherungssystem eines Computers mit den Geräten 1. externe Festplatte
und 2. externe Festplatte, wenn auf diesen jeweils alle Dateien unabhängig
voneinander gespeichert werden.
b) P(A ∩ B) =−
1 P(A ∩ B) =−
1 a⋅b
c) P(A ∩ B) = (1 − a) ⋅ (1 − b)
d) Für das Risiko aus Teilaufgabe b gilt:
1 – 90 % ⋅ 95 % = 1 – 0,9 ⋅ 0,95 = 0,145 = 14,5 %
Bei einem sicherungskritischen System dürfte dieses Risiko viel zu hoch sein.
Für das Risiko aus Teilaufgabe c gilt:
(1 – 90 %) ⋅ (1 – 95 %) = (1 – 0,9) ⋅ (1 – 0,95) = 0,1 ⋅ 0,05 = 0,005 = 0,5 %
Das Risiko ist erheblich gesunken.
Das folgende Beispiel wird in Partnerarbeit gelöst.
Aufgabe
 Material MA 2
Siehe Aufgabe 13 von Material MA 2
Lösung:
Es werden die folgenden Ereignisse definiert:
M: „Wettermann hat recht.“
F: „Wetterfrosch hat recht.“
Unterrichts-Konzepte Wahrscheinlichkeitsrechnung und Statistik Stark Verlag
Stochastische Unabhängigkeit von Ereignissen: Unabhängigkeit von zwei Ereignissen
F. 5  23
Damit gilt:
M
M
F
72 %
8%
80 %
F
18 %
2%
20 %
90 %
10 %
100 %
a) P(M ∩ F) =
72 %
b) P(M ∩ F) =
2%
= 100 % − 2 %
= 98 %
c) 100 % − P(M ∩ F)
d) P(M ∩ F) + P(M ∩ F)= 18 % + 8 %= 26 %
e) P(M ∩ F) =
18 %
f) Bedingte Wahrscheinlichkeit:
P F (M)
=
P(F ∩ M)
=
P(F )
18 %
=
20 %
18
= 9=
20 10
90 %
g) Bedingte Wahrscheinlichkeit:
P M=
(F)
P(M ∩ F)
8%
= =
10 %
P(M)
80 %
Bemerkung: Bei den Teilaufgaben f und g kann die Wahrscheinlichkeit leichter
berechnet werden, wenn die Unabhängigkeit von F und M berücksichtigt wird:
P F=
(M) P(M)
= 90 %
P M=
(F) P(F)
= 80 %
Der Lehrer regt eine Diskussion an, ob bei diesem Beispiel die Unabhängigkeitsannahme gerechtfertigt
ist.
Als mögliche Aspekte der Diskussion sind denkbar:
• Den beiden Unternehmen könnten zum Teil gleiche Daten vorliegen, sodass keine
komplette Unabhängigkeit vorliegen würde.
• Die von den beiden Unternehmen angewandten Vorhersage-Theorien könnten
ähnlich sein, sodass keine vollständige Unabhängigkeit gegeben wäre.
• Die von den beiden Unternehmen benutzte Hardware könnte aus ähnlichen Teilen
bestehen, sodass keine totale Unabhängigkeit gegeben wäre.
Bei der nächsten Aufgabe ist die Unabhängigkeits-Annahme gerechtfertigt. Weil dabei Zufallsexperimente nacheinander durchgeführt werden, sind Baumdiagramme bzw. Baumdiagramm-Ausschnitte
besonders anschauliche Hilfsmittel. Die Aufgabe wird in Partnerarbeit gelöst.
Aufgabe
Siehe Aufgabe 14 von Material MA 2
Unterrichts-Konzepte Wahrscheinlichkeitsrechnung und Statistik Stark Verlag
 Material MA 2
F. 5  24
Stochastische Unabhängigkeit von Ereignissen: Unabhängigkeit von zwei Ereignissen
Lösung:
Der rote Sektor wird mit der Wahrscheinlichkeit 45° = 1 gedreht.
360° 8
Davon unabhängig wird eine gerade Augenzahl mit der Wahrscheinlichkeit 3 = 1
6 2
geworfen.
a) Wegen der Unabhängigkeit gewinnt man das Spiel mit folgender Wahrscheinlichkeit:
1⋅1
8 2
b) i)
=1
1
256
16
≈ 0,004 =
0, 4 %
ii) 1 + 15 + 15 = 31 ≈ 0,121 = 12,1 %
256
256
256
256
Kürzer:
1 − 225 = 31 ≈ 0,121 = 12,1 %
256
256
Bemerkung: Beim Baumdiagramm erkennt man die Unabhängigkeit daran, dass bei den Pfadabschnitten des 2. Spiels die gleichen Wahrscheinlichkeiten vorkommen wie bei den Pfadabschnitten des
1. Spiels.
Tafelbild
Vorschlag für Tafelbild und Hefteintrag:
6 Anwendungsaufgaben
Bei diesen Aufgaben wird der Spieß umgedreht und die Unabhängigkeit nicht bewiesen, sondern ihre Gültigkeit vorausgesetzt.
Zu akzeptierende Situationen für die Unabhängigkeits-Annahme
könnten z. B. sein:
• Zwei verschiedene Würfel werden gleichzeitig geworfen, die sich
nicht gegenseitig stören können, die also z. B. nicht durch eine
Schnur miteinander verbunden sind.
• Ein Würfel wird zweimal hintereinander geworfen und es wird
angenommen, dass nach dem ersten Wurf keine Abnutzungserscheinung auftritt.
• Bei einem Glücksspiel werden nacheinander mehrere verschiedene
Zufallsgeräte (z. B. Würfel und Glücksrad) benutzt, die nichts miteinander zu tun haben.
• Bei einem Herstellungsverfahren oder bei einem Kontrollverfahren
arbeiten zwei völlig getrennte, verschiedene Geräte, die sich in ihrer
Wirkungsweise gegenseitig nicht beeinflussen.
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F. 5  25
Stochastische Unabhängigkeit von Ereignissen: Unabhängigkeit von zwei Ereignissen
Material
MA 1
Kopiervorlage
Lungenkrebs durch Rauchen?
Was ist Lungenkrebs?
Lungenkrebs ist ein bösartiger Tumor, der
im Lungengewebe oder den tieferen Atemwegen (Bronchien) entsteht. Oft wird er
erst in fortgeschrittenem Stadium erkannt.
Ob er heilbar ist oder nicht, hängt unter
anderem davon ab, wie weit sich der Tumor im Körper ausgebreitet hat.
Welche Risikofaktoren für
Lungenkrebs gibt es?
Der größte Risikofaktor ist Tabakrauch
(durch Zigaretten, Zigarren, Pfeife oder
Wasserpfeife). Auch Passivrauchen erhöht
das Risiko. Es können aber auch Menschen, die immer Nichtraucher waren und
auch nicht Passivraucher waren, an Lungenkrebs erkranken. Es gibt nämlich z. B.
auch folgende Risikofaktoren:
• „Asbest“ aus älteren Gebäuden oder
am Arbeitsplatz
• das Edelgas Radon, das in bestimmten
Gegenden Deutschlands in natürlichem
Gestein vorkommt und über den Boden
in die Wohnungen gelangen kann
• Strahlenbelastung durch medizinische
Untersuchungen
• Dieselruß und andere Luftschadstoffe
Eine gesunde Lebensweise (z. B. an
Früchten und frischem Gemüse reiche Ernährung und körperliche Aktivität) kann
sich auf das Lungenkrebsrisiko positiv
auswirken.
Wer sich für sein persönliches Lungenkrebsrisiko interessiert, sollte mit seinem
Hausarzt sprechen – er kennt die individuelle Situation und kann auch über mögliche weitere Risikofaktoren informieren.
Hauptrisikofaktor Tabakrauch
Der Tabakrauch enthält Hunderte schädlicher Substanzen.
Männliche Raucher haben ein zwanzig bis
dreißigmal so großes Risiko, an Lungenkrebs zu erkranken, wie Nichtraucher. Raucherinnen haben ein neunmal so großes
Risiko, an Lungenkrebs zu erkranken, wie
Nie-Raucherinnen. Etwa jeder zehnte Raucher erkrankt im Laufe seines Lebens an
Lungenkrebs, im Durchschnitt 30 bis 40
Jahre nach Beginn des Tabakkonsums.
Jedes Jahr sterben in Deutschland schätzungsweise 36 000 Menschen an Lungenkrebs durch Rauchen.
Das Risiko hängt stark davon ab, wie viel
ein Mensch geraucht hat. Je früher Jugendliche zur Zigarette greifen, desto höher ist
das Risiko für ihre Gesundheit. Auch Passivrauchen erhöht das Risiko. 260 Nichtraucher sterben in Deutschland jährlich an
Lungenkrebs, weil sie Tabakrauch ausgesetzt waren.
Lohnt es sich, mit dem Rauchen
aufzuhören?
Ja! Nach Ende des Tabakkonsums sinkt das
Risiko, an Lungenkrebs zu erkranken. Der
Effekt zeigt sich schon nach wenigen
Jahren. Allerdings dauert es 20 bis 30 Jahre, bis sich das Lungenkrebsrisiko eines
Ex-Rauchers an das eines Nie-Rauchers
angeglichen hat. Am besten gar nicht mit
dem Rauchen anfangen, zumal das Rauchen neben Lungenkrebs auch viele andere
Krankheiten hervorrufen kann. In Deutschland sterben jedes Jahr 110 000 bis 140 000
Menschen an den Folgen des Rauchens!
Unterrichts-Konzepte Wahrscheinlichkeitsrechnung und Statistik Stark Verlag
F. 5  26
Stochastische Unabhängigkeit von Ereignissen: Unabhängigkeit von zwei Ereignissen
MA 2
Aufgaben
Arbeitsblatt
1. Eine Stadt hat 100 000 Einwohner. 25 000 Einwohner sind Raucher (R), 100 Einwohner sind an Lungenkrebs (L) erkrankt. 80 Einwohner sind lungenkrebskranke
Raucher.
a) Füllen Sie die zugehörige Vierfeldertafel für die absoluten Häufigkeiten vollständig aus.
L
L
R
R
Nun wird folgendes Zufallsexperiment betrachtet: Ein Einwohner dieser Stadt
wird zufällig ausgewählt. R bezeichnet jetzt das Ereignis „Ein Raucher wird ausgewählt“ und L das Ereignis „Ein Lungenkrebskranker wird ausgewählt“.
b) Erstellen Sie die vollständig ausgefüllte Vierfeldertafel für die zugehörigen
Wahrscheinlichkeiten.
c) Berechnen Sie nun die bedingte Wahrscheinlichkeit PR(L) und vergleichen
Sie diese mit der absoluten Wahrscheinlichkeit P(L).
2. Beim Skatspiel wird mit 32 Karten gespielt. Es
gibt 4 Farben (Karo, Herz, Pik, Kreuz) und von
jeder Farbe 8 Karten (Sieben, Acht, Neun, Zehn,
Bube, Dame, König, Ass). Aus dem Kartenstapel
wird eine Karte zufällig gezogen.
Zeigen Sie, dass die beiden Ereignisse A: „ein
Ass wird gezogen“ und B: „eine Herzkarte wird
gezogen“ (voneinander) unabhängig sind.
3. Gegeben ist ein ideales Dodekaeder (Zwölfflächner) mit den Aufschriften 1, 2, 3, ... , 11, 12
und das Zufallsexperiment „einmaliges Werfen
dieses Dodekaeders“ mit dem Ergebnisraum
Ω = {1, 2, 3, …, 11, 12}.
Untersuchen Sie, ob die folgenden Ereignisse
voneinander unabhängig sind:
A = {1, 2, 3, 4, 5, 6} und B = {1, 2, 3, 10, 11, 12}
Unterrichts-Konzepte Wahrscheinlichkeitsrechnung und Statistik Stark Verlag
Stochastische Unabhängigkeit von Ereignissen: Unabhängigkeit von zwei Ereignissen
4. Beziehen Sie sich bei den Berechnungen auf die Werte aus Aufgabe 1.
a) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass ein zufällig ausgewählter Einwohner dieser Stadt ein lungenkrebskranker Raucher ist?
b) Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass ein zufällig ausgewählter Lungenkrebskranker dieser Stadt Raucher ist.
c) Anschaulich ist klar, dass sich auch die Ereignisse R und L gegenseitig beeinflussen.
Beweisen Sie nun, dass die Ereignisse R und L voneinander abhängig sind.
5. Bei einem Zufallsexperiment werden zwei Ereignisse betrachtet, von denen
keines die Wahrscheinlichkeit 0 hat. Dann folgt bekanntlich aus ihrer Unvereinbarkeit ihre Abhängigkeit.
a) Zeigen Sie, dass man daraus nicht schließen kann, dass aus ihrer Abhängigkeit
ihre Unvereinbarkeit folgen muss.
Tipp: Suchen Sie ein Gegenbeispiel bei dem Raucher- / Lungenkrebs-Beispiel
aus Aufgabe 1.
b) Zeigen Sie, dass aus der Abhängigkeit zweier Ereignisse mit jeweils von null
verschiedener Wahrscheinlichkeit auch nicht ihre Vereinbarkeit folgen muss.
Tipp: Suchen Sie ein Gegenbeispiel bei dem Raucher- / Lungenkrebs-Beispiel
aus Aufgabe 1.
6. Beziehen Sie sich bei der folgenden Einfüll-Aufgabe auf die Bezeichnungen von
Aufgabe 1 und die hierzu bereits gewonnenen Erkenntnisse.
Tragen Sie in der folgenden Tabelle jeweils unvereinbar /vereinbar und unabhängig /abhängig ein.
{}
R
R
L
Ω
{}
R
R
L
Ω
7. Bei einem Zufallsexperiment seien A und B unabhängige Ereignisse mit den
Wahrscheinlichkeiten 3 bzw. 2 .
3
5
Berechnen Sie mithilfe einer Vierfeldertafel die Wahrscheinlichkeiten für die
folgenden Ereignisse:
C: „sowohl A als auch B“
D: „weder A noch B“
E: „entweder A oder B“
F: „A oder (auch) B“
Unterrichts-Konzepte Wahrscheinlichkeitsrechnung und Statistik Stark Verlag
F. 5  27
F. 5  28
Stochastische Unabhängigkeit von Ereignissen: Unabhängigkeit von zwei Ereignissen
8. Sie sind demnächst bei einem Ehepaar eingeladen, von dessen Kindern Sie nur wissen, dass es drei sind. Sie nehmen ferner
an, dass bei diesem Paar die Wahrscheinlichkeit für die Geburt eines Jungen immer
genau so groß wie die Wahrscheinlichkeit
für die Geburt eines Mädchens war.
Nun interessieren Sie sich für die folgenden Ereignisse:
A: „Die Kinder haben nicht alle das gleiche Geschlecht.“
B: „Das Ehepaar hat höchstens eine Tochter.“
a) Welche Wahrscheinlichkeiten ordnen Sie den Ereignissen A und B zu?
b) Zeigen Sie, dass dann die Ereignisse A und B voneinander unabhängig sind.
9. a) Zu zwei Ereignissen A und B gehöre die folgende nur teilweise ausgefüllte
Vierfeldertafel:
A
B
B
A
0,61
0,75
0,06
Untersuchen Sie die beiden Ereignisse auf Unabhängigkeit.
b) Zu zwei unabhängigen Ereignissen C und D gehöre die folgende nur teilweise
ausgefüllte Vierfeldertafel:
C
C
D
40 %
D
30 %
Vervollständigen Sie die Vierfeldertafel und bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass weder C noch D eintritt.
c) Gegeben ist ein Zufallsexperiment mit den unabhängigen Ereignissen E und F.
Das Ereignis E tritt mit 60 %iger Wahrscheinlichkeit ein. Die Wahrscheinlichkeit, dass das Ereignis E oder das Ereignis F eintritt, beträgt 90 %.
Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeiten für folgende Ereignisse:
G= E ∩ F
H: „Von den beiden Ereignissen tritt nur das Ereignis F ein.“
I: „Genau eines der beiden Ereignisse tritt ein.“
Tipp: Erstellen Sie die zugehörige Vierfeldertafel (Multiplikationstabelle).
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Stochastische Unabhängigkeit von Ereignissen: Unabhängigkeit von zwei Ereignissen
10. Sie sind demnächst bei einem Ehepaar eingeladen, von dessen Kindern Sie nur
wissen, dass es zwei sind. Sie nehmen ferner an, dass bei diesem Paar die Wahrscheinlichkeit für die Geburt eines Jungen immer genau so groß wie die Wahrscheinlichkeit für die Geburt eines Mädchens war.
Nun interessieren Sie sich für die folgenden Ereignisse:
A: „Die Kinder haben nicht alle das gleiche Geschlecht.“
B: „Das Ehepaar hat höchstens eine Tochter.“
a) Welche Wahrscheinlichkeiten ordnen Sie den Ereignissen A und B zu?
b) Zeigen Sie, dass dann die Ereignisse A und B voneinander abhängig sind.
11. Kurz vor Ende eines Festes sind im Loskorb eines Glückshafens
noch zwei Gewinnlose (g) und drei Nieten (n).
Jonas zieht hintereinander zwei Lose (zufällig) heraus.
A sei das Ereignis „Jonas gewinnt (mindestens)
mit seinem ersten Los“.
B sei das Ereignis „Jonas gewinnt (mindestens)
mit seinem zweiten Los“.
a) Zeigen Sie, dass die beiden Ereignisse
abhängig sind.
b) Wie müsste das Zufallsexperiment abgeändert
werden, damit die obigen beiden Ereignisse
unabhängig werden?
Tipp: Baumdiagramme
12. Gegeben sei ein technisches System mit zwei voneinander „unabhängig“ funktionierenden wichtigen Geräten I und II. A sei das Ereignis „Gerät I funktioniert
einwandfrei“. Die zugehörige Wahrscheinlichkeit werde mit a abgekürzt. B sei
das Ereignis „Gerät II funktioniert einwandfrei“. Die zugehörige Wahrscheinlichkeit werde mit b abgekürzt. Die zugehörige Vierfeldertafel schaut dann genauso wie die Multiplikationstabelle der 3. Unterrichtsstunde aus:
A
A
B
a⋅b
(1 – a) ⋅ b
b
B
a ⋅ (1 – b)
(1 – a) ⋅ (1 – b)
1–b
a
1–a
1
a) Welche Beispiele fallen Ihnen hierzu ein? Um welche technischen Geräte
könnte es sich handeln?
b) Das System funktioniere nur dann einwandfrei, wenn beide Geräte einwandfrei funktionieren.
Wie groß ist das Risiko, dass das System ausfällt?
c) Das System funktioniere genau dann einwandfrei, wenn mindestens eines der
beiden Geräte einwandfrei funktioniert.
Wie groß ist nun das Risiko, dass das System ausfällt?
d) Berechnen Sie für a = 90 % und b = 95 % die Risiken aus Teilaufgabe b und c.
Vergleichen Sie die Werte.
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F. 5  29
F. 5  30
Stochastische Unabhängigkeit von Ereignissen: Unabhängigkeit von zwei Ereignissen
13. Als eifriger Wetterbeobachter wissen Sie: Das meteorologische Institut „Wettermann“ irrt sich bei der
Wettervorhersage für den nächsten
Tag nur in etwa 10 % aller Fälle.
Ein Konkurrenzunternehmen, das
mit etwas älterer Software arbeitende Institut „Wetterfrosch“, liegt
dabei in ca. 20 % aller Fälle falsch.
Sie nehmen an, dass beide Firmen
völlig unabhängig voneinander
arbeiten. Nun schauen Sie sich im
Internet die Vorhersagen der
beiden Institute für den nächsten
Tag an.
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass
a) beide Unternehmen ins Schwarze treffen?
b) sich beide Unternehmen irren?
c) wenigstens ein Unternehmen richtig liegt?
d) genau ein Unternehmen richtig liegt?
e) nur der „Wettermann“ recht hat?
f) der „Wettermann“ recht hat, wenn der „Wetterfrosch“ irrt?
g) der „Wetterfrosch“ recht hat, wenn der „Wettermann“ irrt?
Tipp: Vierfeldertafel als Multiplikationstabelle
14. Bei einem Glücksspiel muss man zuerst ein (ideales) Glücksrad drehen (roter
Sektor: 45°) und dann noch einen (idealen) Würfel werfen.
Man gewinnt genau dann, wenn man den roten Sektor dreht und eine gerade
Zahl würfelt.
a) Wie groß ist die Gewinnchance, wenn man das Spiel einmal durchführt?
b) Nun wird das Spiel zweimal hintereinander gespielt.
i) Mit welcher Wahrscheinlichkeit gewinnt man jedes Mal?
ii) Mit welcher Wahrscheinlichkeit gewinnt man mindestens einmal?
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