Übung 5

Übungen zur Analysis I
(WS 2016/17)
5. Übungsblatt (15.11.2016)
Abgabe der Lösungen nächsten Dienstag bis 10:30 in der Vorlesung.
1 Überprüfen Sie die Existenz von Supremum, Infimum, Minima, Maxima
folgender Teilmengen von R und bestimmen Sie sie gegebenenfalls:
a) { 21k + n1 | k, n ∈ Z+ }.
n
o
b) x ∈ R |3 − 2x| < 5 .
(15+10 Punkte)
2 Sei P(N0 ) die Menge aller Teilmengen von N0 (vgl. Übung 3.1). Zeigen
Sie, dass es keine Bijektion f : N0 → P(N0 ) gibt.
(Tipp: Betrachten Sie M := {n ∈ N0 | n ∈
/ f (n)}).
(25 Punkte)
3 Zeigen Sie mit vollständiger Induktion für n ∈ Z+ , x1 , . . . , xn , y1 , . . . , yn ∈
R
n
n
n
X
X
X
2
2
(
xj y j ) ≤ (
xj )(
yj2 ).
j=1
j=1
j=1
(25 Punkte)
4 Beweisen Sie mit den Resultaten aus Abschnitt 1.2, dass es zu jeder reellen
Zahl x ∈ R ein n ∈ Z gibt mit n ≤ x < n + 1. (Bedenken Sie, dass dort
z.B. noch keine Dezimalbruch-Darstellung der reellen Zahlen zur Verfügung
steht. Evtl. benötigen Sie eine Fallunterscheidung für x ≥ 0, x < 0).
(25 Punkte)
Sie finden die Aufgabenblätter auch unter
http://reh.math.uni-duesseldorf.de/∼koehler/Lehre/2016-17/Vorlesung.html